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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Prof. Ortega
E-mail: antonio.ortega@uninove.br
APRESENTAÇÃO DO DOCENTE
O Professor Ortega é bacharel em Administração de Empresas pela Faculdade Campos Salles, pós-graduado em Administração Contábil e Financeira pela Fundação Armando Álvares Penteado – FAAP, MBA em Gestão Empresarial pela Fundação Getulio Vargas – FGV e Mestrando em Administração com linha de pesquisa em finanças, pela Universidade de São Caetano do Sul – USCS.
Profissionalmente atuou por mais de 20 anos em empresas de médio e grande porte na gestão financeira. Atualmente dedica-se à docente da graduação e pós-graduação da Universidade Nove de Julho.
“Só sei que nada sei”
Sócrates
“Faze o que tu queres, há de ser o todo da Lei.”
Aleister Crowley
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
INTRODUÇÃO
A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da matemática financeira.
 
( Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco envolvido em várias operações de créditos.
( Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.
( Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.
REGRA DE TRÊS
Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
 
A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas.
Exemplos:
1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?
Resolução: (grandezas diretamente proporcionais)
Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido.
Chamamos de x o valor que desejamos conhecer.
Então dispomos em duas colunas:
 Comprimento(m) Preço(R$)
 6 15
 8 x
Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:
 6 15
 8 x
 Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:
 6 = 15
 8 x
 e determinamos o valor de x:
 x = 8 . 15 ( x = 120 ( x = 20 
 6 6
 Logo, o preço procurado é: R$ 20,00
2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? 
Resolução: (grandezas inversamente proporcionais)
Então dispomos em duas colunas:
 Operários Dias
 6 10
 20 x
A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim:
 6 10
 20 x
Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias):
 20 10
 6 x
 Daí:
 20 = 10
 6 x
 e determinamos o valor de x:
 x = 6 . 10 ( x = 60 ( x = 3
 20 20
 Logo, serão necessários: 3 dias.
PERCENTAGEM (%)
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo:
“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”
“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.”
“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”
“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.”
Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.
Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem.
	No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual.
Representando:
O principal por P;
A porcentagem por p;
A taxa por i;
Temos, genericamente: 
3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?
Resolução: 
Neste caso teremos que:
 p 10
800 100
100p = 800 . 10
100p = 8000
 p = 8000/100
 p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00
OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
São problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias (lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias). 
Vendas com LUCRO
A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.
Sobre o Preço de Custo:
 PV = (1 + i)PC
Onde: PV é o Preço de Venda 
 i é a taxa
 PC é o Preço de Custo 
4) Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.
Resolução:
PV = (1 + 0,08) . 500
PV = (1,08) . 500 ( PV = R$ 540,00 
Sobre o Preço de Venda:
 
5) Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser este preço?
Resolução:
PV = 60 .
 1- 0,25
PV = 60 ( PV = R$ 80,00 
 0,75
Vendas com PREJUÍZO
Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.
Sobre o Preço de Custo:
 PV = (1 - i)PC
6) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esseobjeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?
Resolução:
PV = (1 - 0,4) . 30
PV = (0,6) . 30 ( PV = R$ 18,00 
Sobre o Preço de Venda:
 
7) Uma casa que custava R$ 96.000,00 foi vendida com prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.
Resolução:
PV = 96.0000 .
 1+ 0,20
PV = 96.0000 ( PV = R$ 80.000,00 
 1,2
Abatimentos Sucessivos
Neste item, vamos aprender a calcular os abatimentos sucessivos sobre uma importância resultante de um negócio efetuado. Sendo que o Valor Líquido (VL) é dado por:
 VL = P(1 – i1)(1- i2)(1 – i3) .... (1 – in)
 Onde i1, i2, i3, ...., in são as taxas sucessivas
NOTA:
Para aumentos sucessivos, temos:
M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) .... (1 + in)
8) Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido da mesma?
Resolução:
VL = P(1 – i1)(1- i2)(1 – i3) 
VL = 48.000(1 – 0,01)(1 - 0,04)(1 – 0,05) 
VL = 48.000(0,90)( 0,96)(0,95) 
VL = 48.000(0,802800) ( VL = R$ 39.398,40 
9) Supomos que um objeto de R$ 800,00 incide 6%, 4% e 3% respectivamente a impostos federal, estadual e municipal. Qual o preço final do objeto?
Resolução:
M = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)
M = 800(1 + 0,06)(1 + 0,04)(1 + 0,03)
M = 800(1,06)(1,04)(1,03)
M = 800(1,135472) ( M = R$ 908,38 
E X E R C I C I O S
REGRA DE TRÊS
1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg?
 R. R$
2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$
3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?
R. R$
4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. voltas
5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? R. horas
6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para fazer o mesmo muro? R. dias
7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. dias
8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. kg
9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? R. dias
10) Um ônibus, a uma velocidade medi de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. horas
11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. dias
12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas três máquinas impressoras? R. horas ou horas e minutos
PORCENTAGEM
13) Calcule as porcentagens:
a) 8% de R$ 700,00 R p = 
b) 5% de R$ 4.000,00 R. p = 
c) 12% de R$ 5.000,00 R. p = 
d) 1,2% de R$ 40,00 R. p = 
14) Qual a taxa percentual que:
a) 125 representa de 250? R. i = %
b) 112 representa de 320? R. i = %
c) 28 representa de 80? R. i = %
d) 352 representa de 1800? R. i = %
15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: 
a) R$ 3.672,00		b) R$ 3.780,00		c) R$ 3.792,00	d) R$ 3.900,00
16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários ausentes? R. i = %
17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia:
 R$ 367,20 x 4
 ou
 R$ 1.080,00 à vista
Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. %
18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO:
R. %
	 DESINFETANTE PINHO CHEIRO
	Água
	47g
	Álcool
	12g
	Sabão
	7g
	Óleo pinho
	34g
	TOTAL
	100g
19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado obtido foi o seguinte:
	PREFERENCIA 
	NÚMERO DE PESSOAS
	Azul
	11
	Branco
	9
	Preto
	1
	Verde
	10
	Amarelo
	14
	Vermelho
	5
Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ?
R. %; %; %; %; %; %.
20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos estudantes ausentes? R. i = %
OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
21) Uma pessoa aplicou R$ 13.000,00 e teve um rendimento de 18% sobre o valor aplicado. Qual foi o valor de seu rendimento? R. R$ 
22)Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 7,20 para lucrar 30% ? R. R$
23) Uma caneta que custava R$ 0,60 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa caneta? R. R$
24) Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4%. Qual o novo valor dessa prestação? R. R$
25) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12%, qual o preço que deverá vender a mesma? R. R$
26) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o total de descontos? R. R$
27) Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor apurado na venda? R. R$
28) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? R. R$
29) Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vende-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último? R. R$
30) Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra? R. %
31) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? R. R$
32) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado? R. R$
33) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? R. % 
34) Uma mercadoria foi vendida, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto havia custado? R. R$
35) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na verdade teve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro? R. R$
36) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para ganhar 15% sobre o preço de custo? R. R$
37) Uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? R. VL =R$
38) Uma fatura de R$ 5.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? R. M = R$
39) Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual o valor líquido da fatura? R. VL = R$
40) Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410,00, perdendo, nessa transação,a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo. R. R$
41) Sobre um objeto de R$ 12.000,00 incidi imposto federal de 8% e um estadual de 3%. Qual o preço final desse objeto? R. VL = R$
42) Baseado no exercício anterior, se os impostos fossem respectivamente de 9% e 3,5%. Qual seria o preço final desse objeto? R. VL = R$
43) Uma empresa oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 8,5% e 2,5%. Sabendo-se que o valor da fatura é de R$ 50.000,00, qual o valor líquido da mesma?
R. VL = R$
44) Determine o preço final de um artigo de R$ 3.500,00 incidindo impostos de 8,5% e 5%. 
R. VL = R$
45) Uma nota promissória de R$ 3800,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofreu aumentos sucessivos de 4% e 6%. Determine o valor a ser pago por essa nota promissória.
R. M = R$ 4189,12
JUROS (J)
	É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista:
de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc.
de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.
Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio ou de terceiros.
Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P)
	É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros.
Taxa (i)
	É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por exemplo:
taxa de inflação;
taxa real de juros;
taxa acumulada;
taxa unitária;
taxa percentual;
taxa over;
taxa equivalente;
taxa nominal, entre outras.
Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
	É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo:
período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc.
período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.
Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como estão sendo tratados nos problemas.
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S)
	É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J).
Assim temos:		M = C + J
Partindo da fórmula acima, temos que:	J = M – C e C = M - J
Exemplo 01:
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?
Solução algébrica:
J = 78,25 		C= 1.568,78		M = ?
M = C + J
M = + 
M = R$ 
Exemplo 02:
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?
Solução algébrica:
C = 1250,18		M= 1380,75		J= ?
J = M - C
J = – 
J = R$ 
Exemplo 03:
Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25 ?
Solução algébrica:
M= 1500,00		J=378,25		C= ?
C = M - J
C = – 
C = R$ 
Regimes de Capitalização
	São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente.
Exemplo 04:
Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta ?
Solução algébrica: 01
Regime de Capitalização Simples
	n
	Capital aplicado (R$)
	Juros de cada período
	Valor acumulado ou montante
	1
	1000,00
	1000 . 10% = 100
	1000 + 100 = 1100
	2
	1000,00
	1000 . 10% = 100
	1100 + 100 = 1200
	3
	1000,00
	1000 . 10% = 100
	1200 + 100 = R$ 1300,00
Solução algébrica: 02
Regime de Capitalização Composta
	n
	Capital aplicado (R$)
	Juros de cada período
	Valor acumulado ou montante
	1
	1000,00
	1000 . 10% = 100
	1000 + 100 = 1100
	2
	1100,00
	1100 . 10% = 110
	1100 + 110 = 1210
	3
	1210,00
	1210 . 10% = 121
	1210 + 121 = R$ 1331,00
JUROS SIMPLES
Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.
Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:
	 J= PV . i . n
Colocando o PV em evidência, teremos: 
	 PV = J
 i.n
Colocando o n em evidência, teremos:
 n = J 
 PV.i
Colocando o i em evidência, teremos:
 
 i = J ou i = FV - 1
 	 PV.n PV
Exemplo 05:
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês.
 
Solução algébrica: 
J = 1250 . 0,055 . 5	
J = R$
Exemplo 06:
Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês ? 
Solução algébrica: 
J= 342,96
PV = 342,96
 0,025 . 11		
PV = 342,96 = R$ 
 0,275
Exemplo 07:
Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ?
 
Solução algébrica: 
i = 2,14
 537,17 . 1		
i = 2,14 = 0,003984....
 537,17
i = 0,003984 . 100
i = 0,3984% ao dia
imensal = 0,3984 . 30
imensal = %
Exemplo 08:
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês ?
Solução algébrica: 
n = ? 	PV = R$ 967,74	i = 1,5% ao mês	J= R$ 226,45
n = 226,45 = 226,45
 967,74 . 0,015	 14,52	
n = meses ou meses e dias
 
 OBSERVAÇÃO:
- A parte inteira 15 representa os 15 meses.
-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).
Exemplo 09:
André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros?
Solução algébrica: 
PV = 15,00 
FV = 23,75
N = 6 meses
i(ac) = ?
imensal = ?
Montante (M) ou Valor Futuro (FV)
Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, onde tenhamos que:
FV = PV + J e J = PV . i . n
Assim teremos: 
 FV = PV( 1 + i . n)
Exemplo 10:
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?
Solução algébrica: 
n = 90 dias ou (3meses) 	PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ?
FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3)
FV = 84.975,59(1 + 0,0435)
FV = 84.975,59(1,0435)
FV = R$
Capital (C) ou Valor Presente (PV)
A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante ou Valor Futuro (FV).
Assim teremos: FV = PV(1 + i . n)
Colocando PV em evidência:
 PV = FV
 (1 + i . n)
Exemplo 11:
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.
 Solução algébrica: 
PV = 84.248,00
 (1 + 0,0177 . 3)
PV = 84.248,00 = 84.248,00 
 (1 + 0,0531 ) 1,0531
PV = R$
E X E R C Í C I O S 
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a taxa correspondente. R. i = %
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = %
4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = % a. trim.
5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias? 
R. PV = R$
6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ?
 R. J = R$
7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$
8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R. i = a m.
9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha? R. i = % aa
10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$
11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?
R. i = % am.
12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?
R. PV = R$
Mais ............ Exercícios
1) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês.
2) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Determine o juro obtido
3) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% a.s. Obtenha os Juros e o Montante. 
4) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m.? 
5) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês?
6) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$108.000,00, à taxa de juros simples de 4% ao mês?
7) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$280.000,00, durante 15 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês?
8) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$23.600,00, no prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês? 
9) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$20.000,00, se transforme à taxa de 3% ao mês, em R$23.600,00? 
Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes
	Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .
Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.
Exemplo 12:
Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ?
 
Solução algébrica:
PV = 15.000,00
i = 28% ao ano
n = 92 dias
J = ?
Juros Exato e Comercial
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo: Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias.
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias.
Exemplo 13:
Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a taxa de 48% ao ano. Pede-se:
 a) Determinar os juros exato
 b) Determinar os juros comercial
Solução algébrica: 
PV = R$ 14.500
i = 48% ao ano
a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$
 365
b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$
 360
E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e JUROS EXATO E COMERCIAL 
Considerar o ano comercial (360 dias)
1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). R. Jcom = R$ e Jex = R$
2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. 
R. Jex = R$ e Jcom = R$ 
3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para:
7 dias; R. %
29 dias; R. %
1 mês; R. %
32 dias; R. %
1 trimestre; R. %
45 dias; R. %
1 semestre; R. %
4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. R. J = R$
5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. 
R. J = R$
6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês. 
R. i22dias = %
7) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
a) 9% ao trimestre 		b)24% ao semestre 		c) 0,04% ao dia 	d)30% ao ano. 
R.	a) % ao mês; 		b) % ao mês; 		c) % ao mês; 	d) % ao mês
8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. R$
9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. R.	R$
DESCONTOS
	É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. 
	Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto( método exponencial).
Desconto Racional Simples ou “ pordentro”
O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples.
Vamos aplicar as seguintes fórmulas:
Para calcular o desconto racional simples:
 DRS = VN – VL
 
O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula:
 DRS = VN . id . nd
 ( 1 + id . nd )
Para calcular o valor líquido:
 VL = VN - DRS .
 
O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula:
 
 VL = VN .
 ( 1 + id . nd )
Exemplo 01:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido?
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; 
 id = 2,5% ao mês; DRS = ?
DRS = 25000,00 . 0,025 . 2
 ( 1 + 0,025 . 2 )
DRS = 1250
 1,05
DRS = R$ 
VL = VN - DRS
VL = 25000 – 1190,48
VL = R$ 
Desconto Bancário ou Comercial ou “ por fora ”
O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título.
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:
 DBS = VN . id . nd e VL = VN – DBS
OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS
Exemplo 02:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido?
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; 
 i = 2,5% ao mês; DBS = ?
DBS = 25000,00 . 0,025 . 2
DBS = R$
VL = 25000 – 1250,00
VL = R$
Exemplo 03:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção?
 
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; 
 id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;
i = 2,8% ao mês(empréstimo)
VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ?
ONDE:
D = despesas
DIOF = despesas com IOF
Dadm = despesas administrativas
VL = VN – DBS – DIOF - Dadm
DBS = VN . Id . nd
DBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00
Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00
DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50
VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50
VL= R$
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa desta operação será:
i = FV - PV
 PV . nd
i = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = % ao mês
 23.438,50 . 2 46.967,00
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção. 
Operações com um conjunto de títulos
Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de títulos ou duplicatas.
Exemplo 04:
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?
	Duplicata
	Valor(R$)
	Prazo(vencimento)
	A
	2.500,00
	25 dias
	B
	3.500,00
	57 dias
	C
	6.500,00
	72 dias
Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.
Solução algébrica:
a)Duplicata A:
DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$
 30 
b)Duplicata B:
DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$
 30 
c)Duplicata C:
DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$
 30 
Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$
E X E R C Í C I O S
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DBS = R$
2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = %
3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir:
6.000 15 dias 
3.500 25 dias 
2.500 45 dias 
R. VL = R$
4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
R. VL = R$
5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao mês. R. VL = R$
	Duplicatas
	Valor (R$)
	Prazo (vencimento)
	X
	 800,00
	13 dias
	Y
	 1350,00
	29 dias
	Z
	 2430,00
	53 dias
6) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$
7) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$
8) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$
9) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes de seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? R. VL = R$ 
10) João deve a um banco R$ 190.000,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de: R. VL = R$
11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? R. VN = R$
12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$
13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. id = %
14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. nd = dias
 
JUROS COMPOSTOS
	Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros.
	O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.
	
FÓRMULAS:
 Para calcular o Montante:FV = PV( 1 + i )n
 Para calcular o Capital: 
PV = FV
 ( 1 + i )n
 
 
Para calcular a Taxa:
 FV QQ/QT
 i = - 1 . 100
 PV
Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada)
 QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)
Para calcular o prazo :
 
 n = LN (FV/ PV)
 LN(1 + i)
Onde: LN = Logaritmo neperiano
Para calcular os juros :
 J = PV[(1 + i )n – 1]
Exemplo 01:
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Solução algébrica:
FV = 5000(1 + 0,04)5 
FV = 5000(1,04)5 
FV = 5000(1,2166529) 
FV = R$
Exemplo 02:
Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ?
 
Solução algébrica:
PV = FV = 14000
 ( 1 + i ) n (1,15)n
 
PV = 14000 = R$
 2,31306 
Exemplo 03:
A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja ?
Dados:
i = ?
PV = R$ 10.210,72
FV = R$ 14.520,68
n = 276 dias
Solução algébrica:
i = 14.520,68 30/276 - 1 . 100
 10.210,72 
 i = {(1,422101...)0,108696... – 1} . 100 
 i = {0,039018...} . 100 
i = % ao mês
Exemplo 04:
Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?
Dados:
n = ? i = 3% ao mês
PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33 
Solução algébrica:
 LN 41.524,33 
 24278,43 
n = 
 LN ( 1 + 0,03)
 
 n = LN(1,710338)
 LN(1,03) 
 n = 0,536691...
 0,029559...
 n = ... meses
Exemplo 05:
Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês.
 Dados:
PV = R$ 1.000,00?
i = 10% ao mês
n = 5 meses
J = ?
Solução algébrica:
J= 1000[(1 + 0,10)5 – 1] 
J= 1000[(1,10)5 – 1] 
J= 1000[1,61051 – 1] 
J= 1000[0,61051 ] 
J= R$ 
Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir:
1 ano exato = 365 ou 366 dias;
1 ano = 360 dias;
1 semestre = 180 dias;
1 trimestre = 90 dias;
1 mês comercial = 30 dias;
1 mês exato = 29 ou 31 dias;
1 quinzena = 15 dias.
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo
n = Q (Quero) , sempre considerando o prazo em dias.
 T (Tenho)
Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):
 FV = PV (1 + i )Q/T
 
Exemplo 06:
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. 
Dados:
PV = R$ 13.500,00
i =25% ao ano
n = 92 dias
FV = ? 
Solução algébrica:
FV = 13500(1 + 0,25)92/360
FV = 13500(1,25)0,255556
FV = 13500(1,058683)
FV = R$
E X E R C Í C I O S 
1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$
2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 
3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = aprox. 56
4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano? R. i = % am.
5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% durante 7 meses. R. J = R$
6) A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 pode transformar-se em R$ 35.112,26, considerando um período de aplicação de 7 meses ? R. i = %am
7) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.
R. PV = R$ 
8) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?
R. J = R$ 
9) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$
10) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$ 10.000,00. R. PV = R$
11) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?
R. n = anos
12) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período?
R. FV = R$
13) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.
	BANCO
	X
	Y
	Z
	Taxa
	2% ao mês
	2% ao trim
	2,5% ao mês
	prazo
	2 bimestre
	2 trimestre
	3,5 meses
Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco
 R. FVx = R$ ; FVy = R$ e FVz = R$
Qual é a melhor opção?
Desconto Racional Composto
	O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto.
 
 DRC = VN – VL
 VL = VN .……
 (1 + id)nd
Exemplo 01:
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento.
Dados:
VN = 5000; id = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ?
Solução algébrica:
VL = 5000 .……
 (1 + 0,035)3
 VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= …
 (1,035)3 1,10872
DRC = 5000 – 4509,71 = R$
Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)
Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar:
 DBC = VN – VLOnde: DBC = Desconto Bancário Composto
 VL = VN (1 + id)-nd
Exemplo 02:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido.
 Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 60dias (2 meses); 
 id = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ? 
VL = 25000(1+ 0,025)-2
VL = 25000(1,025)-2
VL = 25000 . 0,9518144
VL = R$ 23795,35
DBC = 25000 – 23795,35 = R$
E X E R C Í C I O S 
1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título? 
R. VL = R$ 
2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento. R. DRC = R$
3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na conta e o valor do Desconto Bancário concedido.
R. VL = R$ e DBC = R$
4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$
5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC = 
6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DBC? R. VL = R$ e DBC = R$ 
7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DBC.
R. VL = R$ e DBC = R$
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS
Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.
	A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.
Taxas Equivalentes a Juros Compostos
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. 
 ieq = ( 1 + ic)Q/T - 1. 100
Onde:
ieq = taxa equivalente
ic = taxa conhecida
QQ = Quanto eu Quero
QT = Quanto eu Tenho
Exemplo 01:
Calcular a equivalência entre as taxas:
	Taxa Conhecida
	Taxa equivalente para:
	a) 79,5856% ao ano
	1 mês
	b) 28,59% ao trimestre
	1 semestre
	c) 2,5% ao mês
	105 dias
	d) 0,5 ao dia
	1 ano
	e) 25% (ano comercial)
	1 ano exato ( base 365 dias)
Solução algébrica:
 a)
ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100
ieq = { 1,049997 - 1 } . 100
ieq = { 0,049997 } . 100
ieq = % ao mês
Solução algébrica: 
	Solução algébrica c) ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100
ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100
ieq = { 1,090269 - 1 } . 100
ieq = { 0,090269 } . 100
ieq = %ao período
Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação
Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e comerciais).
	Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:
Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação. 
Sendo:
C: capital inicial
R: taxa real de juros
I: taxa de inflação
i: taxa aparente
 
Exemplo 01:
Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período for 11,9% ?
Resolução:
i = ? 	R = 9%ao ano I = 11,9%
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)
(1 + i) = (1,09) . (1,119)
(1 + i) = 1,22
 i = 1,22 - 1
 i = 0,22 . 100 → i = % ao ano
Exemplo 02:
Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for 11,9% ?
Resolução:
i = 22% ao ano R = ? I = 11,9%
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)
 (1,22) = (1+ R) . (1,119)
 1,22 = (1 + R)
 1,119 
 1,09 = (1 + R)
 1,09 – 1 = R
 0,09 = R
 R = 0,09 . 100 → R = % ao ano
Exemplo 03:
Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for no período 9% ?
Resolução:
I = ? 	R = 9%ao ano i = 22% ao ano
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I)
 (1,22) = (1,09) . (1 + I)
 1,22 = (1 + I)
 1,09 
 1,119 = (1 + I)
 1,119 – 1 = I
 0,119 = I
 I = 0,119 . 100 → I = % ao ano
Taxa Nominal de juros 
	Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a taxa de juros. A taxa nominal é aquela cujo o período de capitalização não coincide com aquela a que ela se refere.
 Veja as suas características a seguir:
Aplica-se diretamente em operações de juros simples.
É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “n” vezes em seu período referencial de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dos juros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juros compostos.
Exemplos de taxas nominais:
18% ao ano capitalizada mensalmente;
5% ao mês capitalizada diariamente;
8% ao semestre capitalizada mensalmente e etc...
Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (capitalizada duas vezes por ano), o montante ao fim de um ano será:
 FV = PV 1 + ij 2.1
 2 
	Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (capitalizada 12 vezes por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será:
 FV = PV 1 + ij 12.3
 12 
	Em geral, podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicado pelo prazo “m” a uma taxa nominal “ij” com juros capitalizados “n” vezes durante o período referencial da taxa nominal:
 
 FV = PV 1 + ij n.m
 n 
 Para o cálculo do capital:
 PV = FV
 1+ ij n . m -1
 n
Onde: 
ij = taxa de juros nominal
n = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal;
m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal;
PV = capital da aplicação;
FV = montante
Exemplo 04:
Calcular o montante de um investimento de R$ 1200,00 aplicado por 3 anos a juros nominal de 16% ao ano, capitalizados mensalmente.
Solução algébrica:
Dados:
PV = 1200	 	m = 3 anos	 ij = 16%ao ano	 n = 12		FV = ?
FV = 1200 1 + 0,16 12.3
 12 
FV = 1200 (1 + 0,01333)36
 
FV = 1200(1,01333)36
FV = 1200 . 1,61076
FV = R$
Exemplo 05:	
Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a 9% ao mês capitalizados diariamente.
Solução algébrica:
Dados:
PV = 200		m = 27dias (período não inteiro) 	 ij = 9%ao mês 	 n = 30dias	FV = ?
FV = 200 1 + 0,09 30 . (27/30)
 30 
 
FV = 200(1,00300)27
FV = 200 . 1,08424
FV = R$
 
 
E X E R C I C I O S 
1) Determinar a taxa: 
a) anual equivalente a 2% ao mês R. %
b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. %
c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. %
d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. %
2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = %aa
3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = %aa
4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = %aa
5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ 5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5% ao ano ? R. i = %aa
6) Emprestamos um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da operação? R. R = %aa
7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real? R. R = %
8) Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1300,00 aplicado por 3 anos a juros nominais de 16% ao ano, capitalizados mensalmente. R. FV = R$
9) Qual o valor de resgate para um capital de R$ 300,00 aplicado pelos seguintes prazos e taxas ?
6 meses a 28% ao ano capitalizados mensalmente R. FV = R$
8 meses a 18% ao semestre capitalizados mensalmente R. FV = R$
27 meses a 12 % ao trimestre capitalizado mensalmente R. FV = R$
7 meses a 28% ao ano capitalizado trimestralmente R. FV = R$
10) Uma aplicação de R$ 1000,00 foi efetuada em 17/03/1995 para resgate em 24/06/1998. Para uma taxa de juros nominal de 12% ao mês com capitalização diária, calcular o valor do resgate (considerando ano civil). R. FV = R$
11) Em quantos meses um capital de R$ 5.000,00 aplicado a juros nominal de 120% ao ano capitalizado mensalmente, produz um montante de R$ 11.789,75? R. m = ano ou 9 meses
12) Um capital de R$ 15000,00 é aplicado por 180 dias à taxa nominal de 24% ao trimestre capitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate. R. FV = R$ 
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.
Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.
Uniformes – que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes.
Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível. 
Classificação das séries de pagamentos
a) Quanto ao tempo
Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos;
Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.
b) Quanto à constância ou periodicidade
Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;
Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
c) Quanto ao valor dos pagamentos
Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais;
Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento
Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da série;
Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou seja, ocorrerá em períodos seguintes.
e) Quanto ao momento dos pagamentos
Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série de pagamentos; 
Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.
Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação (PMT) será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada através da seguinte fórmula:
 (1 + i)n - 1 
 PV = PMT
 (1 + i)n . i
EXEMPLO 01:
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação.
Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00
Resolução algébrica:
 (1 + i)n - 1
PV = PMT
 (1 + i)n . i
 (1 + 0,035)6 - 1
PV = 1500
 (1 + 0,035)6 . 0,035
 (1,035)6 - 1
PV = 1500
 (1,035)6 . 0,035
 1,229255 - 1
PV = 1500
 1,229255 . 0,035
 0,229255
PV = 1500
 0,043024
PV = 1500[5,328553]
PV = R$ 
Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula:
 (1 + i)n . i 
 PMT = PV
 (1 + i)n - 1
EXEMPLO 02:
Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?
Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT = ?
Resolução algébrica:
 (1 + 0,05)5 . 0,05
PMT = 500
 (1 + 0,05)5 - 1
 (1,05)5 . 0,05
PMT = 500
 (1,05)5 - 1
 1,276282 . 0,05
PMT = 500
 1,276282 - 1
 0,063814
PMT = 500
 0,276282
PMT = 500[0,230975]
PMT = R$ 
Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte fórmula:i 
 PMT = FV
 (1 + i)n - 1
EXEMPLO 03:
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos.
 Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT = ?
Resolução algébrica:
 0,04
PMT = 5000
 (1 + 0,04)7 - 1
 0,04
PMT = 5000
 (1,04)7 - 1
 0,04
PMT = 5000
 1,315932 - 1
 0,04
PMT = 5000
 0,315932
PMT = 5000[0,126610] 
PMT = R$ 
Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:
 PV
 LN 1 - . i 
 PMT 
 n = - 
 
 LN(1+ i) 
EXEMPLO 04:
Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento.
 Dados: PV = 1750 n = ? i = 3% ao mês PMT = 175,81
Resolução algébrica:
 1750
 LN 1 - . 0,03 
 175,81 
 n = - 
 
 LN(1+ 0,03) 
 
 LN [1 – (9,953928) . 0,03 ] 
 n = -
 LN(1,03)
 
 
 LN [1 – (0,298618) ] 
 n = -
 LN(1,03)
 
 LN[0,701382 ] 
 n = -
 LN(1,03)
 
 -0,354702 
 n = -
 0,02956
 
 
 n = - - 12 ( n = meses
 
Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:
	 
EXEMPLO 05:
Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador.
Dados: FV = 30.032,62 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n = ?
Resolução algébrica:
	 
 30032,62 . 0,0008
 LN +1 
 150
 n = - 
 LN(1+ 0,0008)
 24,026096
 LN + 1 
 150
 n = - 
 LN(1,0008)
 
 LN[ 0,160174 + 1] 
 n = - 
 LN(1,0008)
 LN[ 1,160174 ] 
 n = - 
 LN(1,0008)
 0,148570
 n = - ( n = 185,712500 ( n = meses
 0,000800
 
Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT) de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV), através da seguinte fórmula:
 
 
 FV = PMT (1 + i )n - 1 
 i
EXEMPLO 06:
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período?
Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ? 
Resolução algébrica:
	
FV = 100 (1 + 0,008)360 - 1
 0,008
FV =100 (1,008)360 - 1
 0,008
FV = 100 17,611306 - 1
 0,008
FV = 100 16,611306 ( FV = 100 (2076,4132) ( FV = R$
 0,008
E X E R C Í C I O S
1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. R. FV = R$ 
2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$
3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses. 
R. PMT = R$
4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.
R. PMT = R$
5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor da prestação. R. PMT = R$
6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $ 100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$
7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?
R. n = aprox. anos
8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. R. PMT = R$
9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor das prestações. R. PMT = R$
10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de $ 120. R. n = aproxima. meses
11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia de R$ 200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês. R. FV = R$
12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês?
R. PMT = R$ 
13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800, 00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$
14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5%ao mês, quanto possuirá em 2
 anos? R. FV = R$
15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro do conceito de renda postecipada ?
R. PMT = R$
16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter um montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = prestações
 
17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas de R$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestação vencerá um mês depois da compra. Calcule o valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao mês. R. PV = R$
18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela um mês depois do recebimento do dinheiro. Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento. 
R. n = ou prestações
 
19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendo o pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois do recebimento do dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao mês.
R. PV = R$
 
20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas mensais de R$ 1.200,00 num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R. PV = R$
.
Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA
	As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n). 
Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)
	Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possível calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
 (1 + i)n –1
 PV = PMT
 (1 + i )n-1 . i
EXEMPLO 01:
Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço à vista desta mercadoria.
Resolução algébrica:
Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ?
 (1 + 0,05)4 –1
PV = 185
 (1 + 0,05 )4-1 . 0,05
 (1 ,05)4 –1
PV = 185
 (1,05 )3 . 0,05
 1,215506 –1
PV = 185
 1,157625 . 0,05
 0,215506 
PV = 185
 0,057881
PV = 185[ 3,723248 ]
PV = R$
Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)
	Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
 (1 + i)n-1 . i
 PMT = PV
 (1 + i )n - 1
EXEMPLO 02:
Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento.
Resolução algébrica:
Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00
 (1 + 0,0199)36-1 . 0,0199
PMT = 17800
 (1 + 0,0199 )36 - 1
 (1,993039)35 . 0,0199
PMT = 17800
 (1,0199 )36 - 1
 0,039661
PMT = 17800
 2,032700 - 1
 0,039661
PMT = 17800
 1,032700
PMT = 17800[ 0,038405 ]
PMT = R$ 
Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n)
	Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será possível calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
 PV . i
 ln 1 - 
 n = - PMT. (1 + i)
 
 ln(1 + i)
EXEMPLO 03:
Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?
Resolução algébrica:
Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00
 1500 . 0,03
 ln 1 - 
 n = - 170,72 . (1 + 0,03)
 
 ln(1 +0,03)
 45
 ln 1 - 
 n = - 170,72 . (1,03)
 
 ln(1,03)
 45
 ln 1 - 
 n = - 175,84
 
 0,029559
 
 ln [1 - 0,255972 ]
 n = - 
 0,029559
 
 ln [ 0,744028 ]
 n = - 
 
 0,029559
 - 0,295596
 n = - 
 0,029559
 n = - { - 10,000275 }
 n = meses 
Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)
	Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: