lentes e espelhos

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ESPELHOS E LENTES
ESPELHOS PLANOS
Fig 1. Uma fonte luminosa pontual O, chamada objeto, está a uma 
distância p de um espelho plano. Raios luminosos provenientes de O são 
refletidos pelo espelho. Se o olho de um observador intercepta alguns 
dos raios refletidos, ele tem a impressão de que existe uma fonte 
luminosa pontual I atrás do espelho, a uma distância i. A fonte fictícia I é 
uma imagem virtual do objeto O.
1
Embora para os povos primitivos os espelhos tivessem propriedades 
mágicas, origem de lendas e crendices que estão presentes até hoje, 
para a física são apenas superfícies polidas que produzem reflexões 
regular. A forma geométrica da superfície determina as 
propriedades do espelho.
Fig 2. A figura ao lado 
mostra dois raios. O raio 
Ob é perpendicular ao 
espelho e o raio Oa 
fazendo um ângulo 
arbitrário θ com a 
normal à superfície do 
espelho. 
2
Os triângulos aOba e aIba têm um lado comum e três ângulos iguais e são 
portanto congruentes (têm a mesma forma e tamanho), de modo que os 
lados horizontais têm o mesmo comprimento. Logo,
Ib Ob=
onde Ib e Ob são as distâncias entre o espelho e a imagem e entre o espelho 
e o objeto, respectivamente. Por convenção, as distâncias dos objetos são 
consideradas positivas e as distâncias de imagens virtuais são consideradas 
negativas. Assim, as distâncias p e i são relacionadas por:
 (espelho plano)i p= −
Fig. 3 – Um feixe estreito de raios 
provenientes de O penetra no olho 
depois de ser refletido pelo espelho. 
Apenas uma pequena região do 
espelho, nas vizinhanças do ponto a, 
está envolvida nesta reflexão. A luz 
parece se originar em um ponto I 
atrás do espelho.
Formação da Imagem de um Objeto – Espelho Plano
3
Na figura acima (fig.4) representamos um objeto vertical de altura h0 (valor 
que se considera positivo) e à distância p (que também se considera 
positivo). Para encontrar a imagem do objeto basta encontrar a imagem do 
ponto O. Fazendo sair desse ponto dois raios luminosos. O raio 1 incide 
normalmente no espelho. O raio 2 incide segundo um ângulo α e emerge, 
portanto, fazendo um ângulo α com a normal, de acordo com as leis da 
reflexão. Os dois raios emergentes não se encontram. Mas o seu 
prolongamento encontra-se atrás do espelho, no ponto I, que é a imagem 
virtual de O. Da semelhança dos triângulos OMN e IMN resulta que o 
tamanho da imagem é igual à do objeto, ou seja, hi = h0. 
A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto, em qualquer situação 
de formação de imagem, denomina-se ampliação, m; ou seja;
 ou (ampliação)i
o
h im m
h p
= = −
Para um espelho plano m = 1.
4IMAGENS – ESPELHOS PLANOS
A imagem de qualquer figura ou objeto em um espelho plano é formada 
pela imagem de cada um de seus pontos.
Podemos concluir que as imagem das figuras acima são:
• Direta (não é invertida) e igual (de mesma altura) em relação ao
objeto
• Virtual, isto é, formada pelos prolongamentos dos raios refletidos 
pelo espelho.
Figura 5
Fig. 6
Associação de Espelhos – os espelhos planos podem ser associados, 
isto é, colocados lada a lado em ângulos ou dispostos paralelamente entre si. 
Essas associações podem deslocar ou multiplicas o número de imagens de um 
objeto.
5
Atividades – Montagens com espelhos planos 
1) Associação de espelhos – dois espelhos iguais (dispostos com um livro);
2) Caleidoscópio – três tiras retangulares iguais de espelhos dispostos na forma de 
prisma triangular.
3) Imagem aprisionada – três espelhos, retangulares ou quadrados, dispostos 
perpendicularmente entre si.
4) Periscópio – dois espelhos planos retangulares iguais, dispostos em ângulo de 45o . 
Fig. 7
6
Espelhos Esféricos – é qualquer superfície ou calota esférica 
espelhada. Se a parte espelhada for interna, o espelho é côncavo; se for 
externa, o espelho é convexo. O espelho côncavo pode ser obtido 
encurvando um espelho plano para dentro e o convexo para fora (ver figuras 
abaixo).
Fig.9 Espelho côncavo Fig.10 Espelho convexo
No espelho côncavo temos imagem 
mais afastada e maior do que no 
espelho plano.
No espelho convexo temos imagem 
mais próxima e menor do que no 
espelho plano.
Alguns elementos dos espelhos esféricos
C, centro de curvatura: centro de 
curvatura da esfera que contém a calota;
V, vértice: centro geométrico da calota;
r, raio de curvatura: raio da calota 
esférica (distância entre C e V);
S, eixo principal: reta que contém C e V;
S’, eixo secundário: reta qualquer que 
contém C, mas não passa por V.
Fig.8
7
Figuras acima: (a) Em um espelho côncavo, a luz paralela 
incidente é trazida para o foco real em F, no lado R do 
espelho. (b) Em um espelho convexo, a luz paralela 
incidente parece divergir de um foco virtual em F, no lado V 
do espelho.
O ponto F é chamado de foco do espelho ( ou ponto focal), e sua 
distância até o centro do espelho é a distância focal f do espelho.
Para o espelho côncavo dizemos que o foco é real (situado do lado 
R) e para o espelho convexo dizemos que o foco é virtual (situado 
do lado V). A distância focal f do espelho côncavo é considerada 
uma grandeza positiva, enquanto a do espelho convexo é 
considerada uma grandeza negativa.
Para ambos os espelhos, a distância focal f está relacionada ao raio 
de curvatura r (positivo para o espelho côncavo e negativo para o 
espelho convexo) por:
1
2 (espelho esférico)f r=
Fig.11 Fig.11
8
Relação entre a distância p do objeto ao espelho, a distância i da imagem ao 
espelho e a distância focal f, que é
1 1 1 (espelho esférico)
p i f
+ =
Prova: Da figura (teorema: um ângulo externo de um triângulo é 
igual à soma dos dois ângulos internos opostos) temos ;
Fig. 12 - Um objeto puntiforme O forma uma imagem puntiforme real I, 
por reflexão em um espelho esférico côncavo.
 e 2 2 β α θ γ α θ α γ β= + = + ⇒ + =
o o o
1
2 
ac ac ac f r
p r i
α β γ= = = =�	
(*)
(**)
De (*) e (**), ficamos com
1 1 1 (espelho esférico)
p i f
+ =
9
1 1 2 
Das equações 
1 1 1 
r i p
p i r
p i f
p i f
 + = ⇒ →∞ ∴ = − + = ⇒ →∞ ∴ =
O tamanho do objeto, ou da imagem, medidos perpendicular ao eixo
central do espelho é chamado de altura. Na figura 5, os 
comprimentos das setas O e I representa a altura ho do objeto e a 
altura hi da imagem. A razão entre estas alturas é a amplitude lateral 
m produzida pelo espelho. Por convenção, a amplitude lateral 
sempre inclui um sinal (+), se a imagem tem a mesma orientação do 
objeto; e um sinal (-) se a orientação é contrária. Logo, 
 
 
(amplitude lateral) ou i
o
h im m
h p
= = −
Fig. 13 – (a) Um objeto O, na margem interna ao ponto focal de um 
espelho côncavo, e sua imagem virtual I. (b) o objeto no ponto 
focal F. (c) O objeto além do ponto focal, e sua imagem real I. 
10
Fig. 14 – Em (a) e (b) Quatro raios podem ser desenhados para determinar a imagem de 
um objeto num espelho côncavo. Para a posição mostrada no objeto, a imagem é real, 
invertida, e menor do que o objeto. Em (c) e (d) Quatro raios podem ser desenhados para 
determinar a imagem de um objeto num espelho convexo. A imagem é sempre virtual, 
com a mesma orientação do objeto, e menos do que o objeto.
Como traçar os Raios – Espelho Côncavo e Convexos
Podemos localizar graficamente a imagem de qualquer ponto fora do eixo, 
traçando quaisquer dois dos quatros raios especiais (veja os raios 1, 2, 3, 4 
na figura abaixo): 
I - Um raio paralelo ao eixo central se reflete passando pelo ponto focal 
(raio 1 em (a)).
II - Uma raio que passa pelo ponto focal se reflete paralelo ao eixo central 
(raio 2 em (a)).
III – Um raio que passa pelo centro de curvatura C se reflete retornando 
pelo mesmo caminho (raio 3 em (b).
IV – Um raio que tem seu pontode reflexão na interseção do espelho com o 
eixo central, centro do espelho, se reflete simetricamente, em relação ao 
eixo central (raio 4 em (b).
11Superfícies Refratoras Esféricas
Vamos examinar imagens formadas pela refração dos raios luminosos em 
interfaces esféricas. A luz será emitida por um objeto pontual O em um meio 
de índice de refração n1 e incidirá em uma interfase esférica com um meio de 
índice de refração n2. Nosso principal interesse é determinar se o raio 
luminoso, depois de refratado na interface, formarão uma imagem real ou 
virtual, e isto depende dos valores relativos dos índices de refração e da 
geometria da situação em questão. 
Na próxima página será apresentada figuras mostrando a formação de seis 
modos pelos os quais uma imagem pode se formar por refração em uma 
superfície esférica. 
Espelhos Esféricos Interfases Esféricas
As imagens reais se formam do 
mesmo lado do espelho em que 
se encontra o objeto, enquanto as 
imagens virtuais se formam do 
lado oposto.
As imagens formadas por 
refração em uma interfase são 
virtuais quando se encontram do 
mesmo lado (meio) do objeto e 
reais quando se encontram do 
lado oposto.
1 1 1 2
p i f r
+ = = 1 2 2 1n n n n
p i r
−+ =
 
 
i
o
h im
h p
= = −
m positivo – imagem direta
m negativo – imagem invertida
Obs: espelho plano m = 1.
 
 1
0 2
ih n im
h n p
= = −
Obs: para superfície refletora plana
 1 2 0n n
p i
+ =
12
Fig. 15 – Seis modos pelos os quais uma imagem pode ser formar por 
refração em uma superfície esférica de raio r e centro de curvatura C. A 
superfície separa um meio de índice de refração n1 de um meio de índice de 
refração n2. O objeto pontual O está sempre no meio de índice de n1, à 
esquerda da superfície. A superfície “amarela” é q que possui maior índice 
de refração. Imagem reais são formadas nos casos (a) e (b), em (c), (d), (e) e 
(f) são formadas imagens virtuais.
13Lentes Delgadas
Uma lente é um corpo transparente limitado por duas 
superfícies refratoras cujos eixos centrais coincidem. Vamos 
nos limitar ao caso de lentes delgadas, isto é, de lentes nas 
quais a distância objeto p, a distância da imagem i e os raios 
de curvatura r1 e r2 das duas superfícies da lente são muito 
maiores que a espessura da lente.
Propriedades das lentes
A propriedade característica de uma lente do tipo mostrado 
na figura abaixo é que todo raio paralelo ao eixo da lente que 
passa para o outro lado da lente converge para o ponto F2 e 
forma uma imagem real nesse ponto. Tal lente é chamada de 
lente convergente. O ponto F1 é chamado de primeiro foco, 
o ponto F2 é o segundo foco (foco real) e a distância f é 
chamada distância focal.
Fig.16
Fig.17
14
A figura abaixo mostra uma lente divergente; dois raios paralelos 
que incidem sobre a lente divergente depois da refração. Os focos de 
uma lente divergente (ou negativa) estão em posições invertidas em 
relação aos focos de uma lente convergente. 
¾ Relação entre p, i e f – lentes delgadas
Fig.18
Na fig.18, os dois ângulos α são iguais, os dois ângulos β também são iguais. 
Os dois triângulos retângulos OQE e IQ’E são semelhantes, os triângulos 
EAF2 e IQ’F2 também são semelhantes. As razões entre os lados 
correspondentes dos triângulos semelhantes são iguais. Logo,
15
 
 
(*) (**)
 ou ou eo i i o i i
o o
h h h h h hi i f
p i h p f i f h f
−= − = − = − = −−��	�
 ��	�
Igualando (*) e (**), temos (***)1 i i f i
p f f
−= = −
Dividindo (***) por i, ficamos com
(relação objeto-imagem - lente delgada)
1 1 1 
p i f
+ =
(ampliação - lente delgada) im
p
= −De acordo com (*), temos
Pelo exposto acima, vimos que as equações fundamentais para as lentes 
delgadas são correspondente as obtidas para espelhos esféricos.
A equação do fabricante de lentes é dada por
1 2
1 1 1( 1)n
f r r
 = − −  
As regras de sinais apresentados abaixo podem ser usadas para as
superfícies refletoras e refratoras planas e esféricas:
1. A distância do objeto p é positiva quando o objeto está do lado dos raios incidentes 
sobre a superfície (objeto real) e negativa no caso contrario;
2. A distância da imagem i é positiva quando a imagem está do lado dos raios que 
emergem da superfície (imagem real) e negativa caso contrário;
3. O raio de curvatura r é positivo quando o centro de curvatura está do lado dos raios 
que emergem da superfície e negativo no caso contrário;
4. A ampliação m é positiva quando a imagem é direta e negativa quando ela é 
invertida.