matematica financeira

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Taxa Nominal
É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. A taxa nominal é em geral uma taxa anual.
Exemplo:O senhor Arildo possui um capital de R$ 3.000,00 e este está aplicado a uma taxa nominal de 30% ao ano, capitalizado mensalmente num ano. Qual é o montante da taxa efetiva anual?Observe, se a capitalização ocorre mensalmente, a taxa nominal de 30% ao ano NÃO será utilizada para calcular o valor dos juros. Então ela é conhecida como sendo uma taxa “FALSA”. Logo, a taxa de 30% ao ano não coincide com o período de capitalização que ocorre mensalmente.Conclui-se que, se no exemplo atrás, menciona que “será capitalizado mensalmente” significa que a taxa de capitalização será uma taxa mensal. Então “a uma taxa nominal de 30% ao ano” é uma taxa nominal pois não indica a realidade.
Exemplo:
a) A taxa nominal de 70% a.a., capitalizado trimestral.
b) A taxa nominal de 60% a.a., capitalizado mensal.
Como a taxa nominal é muito utilizada no mercado, embora ela não represente a taxa efetiva o cálculo efetuado será proporcional. Por exemplo:
a) 120% a.a., capitalizado mensal - 120 dividido por 12 meses120 / 12 = 10% ao mês
b) 30% ao ano, capitalizado trimestralmente - 30 dividido por 3 meses30 / 3 = 10% ao trimestre
 
Taxas Efetivas
As taxas efetivas são as taxas que coincidem com o período de capitalização.                                   
Exemplo:
a) A taxa efetiva de 10% ao mês, capitalizado mensal.
b) A taxa efetiva de 15% ao semestre, capitalizado semestral.
c) A taxa efetiva de 1000% ao ano, capitalizado anual.Para realizar o cálculo da taxa efetiva deve-se utilizar a fórmula abaixo:
if = (1+i/k) k - 1
if = taxa efetiva
i = taxa nominal
k = frequência de capitalização
Exemplo
Um banco emprestou R$5.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal qual a taxa efetivaPara resolução utiliza-se a taxa de 36% em sua forma decimal, onde 36 dividido por 100 seja igual a 0,36.
if  =  (1 + i/k)k  -  1   
if =  (1 + 0,36 / 12)12 -  1   
if  =  (1 + 0,36 / 12)12  -  1  
if  =  (1 +  0,03)12  -  1  
if  =  ( 1,03)12  -  1  
if  =  (1,425760886846178945447841)  -  1  
if  =  (0,425760886846178945447841) Transformando O VALOR ENCONTRADO em VALOR PERCENTUAL
if  =  if  =  (0,425760886846178945447841)  * 100
if  =  42,57%  aproximadamente
Taxas Equivalentes
As taxas são equivalentes quando as duas taxas são aplicadas a um mesmo capital e produzem o mesmo juro ao final de um ano.
A fórmula para cálculo da taxa equivalente:
 
 
 
Ie = (1+i)n - 1
 
ie = taxa equivalente
i = taxa do período
n = número de períodos
 
Exemplo:
Um recurso de R$ 4.000,00 está aplicado a uma taxa nominal de 36% ao ano, capitalizado mensalmente num ano. Determinar o montante da taxa efetiva anual.
Se 36% ao ano é capitalizado mensalmente, as taxas do período e da capitalização não coincidem.
Lembrete: Montante, é o valor futuro do recurso aplicado ao final de um determinado período de tempo, a uma determinada taxa de juros. A fórmula utilizada é:
M = C (1 + i) n
M = Montante ou Valor Futuro
C = Capital/Recurso aplicado ou Valor Presente
i   = Taxa
n  = Período ou tempo
 
Vamos dividir a taxa “Nominal” por 12(meses) para que possamos então encontrar uma taxa proporcional mensal à taxa dada em anos.
i  =  36 % ao ano dividido por 12 meses, tem-se:
i  =  3 %   ao mês  à 3 dividido por 100 transforma-se em decimal  à 0,03
 
M = ?
C = 4.000,00
i   = 0,03
n  = 12 meses
 
M = C (1 + i) n
M = 4.000,00   x  (1 + 0,03) 12
M = 4.000,00   x ( 1,03) 12
M = 4.000,00  x  1,425760886846178945447841
M = 5703,043547384715781791364
Montante é aproximadamente R$ 5.702,04
 
Pudemos observar que o recurso inicial era de R$4.000,00 e agora o montante é de R$5.702,04 que foi conseguido através dos juros.
 Juros = Montante – Capital/Recurso
 
J = M - C
J = 5.702,04  -  4.000,00
J = R$ 1703,04
Para calcular a taxa efetiva anual, fazemos:
 
i = (Juros / Capital Inicial) x 100
i =  (1.703,04/ 4.000,00)  x 100
i =  0,425760886846178945447841 x 100
i = 42,57 aproximandamente
 
Juros Compostos
Este é o regime de capitalização mais comumente usado. 
Nele, os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior.
Exemplo: Um capital de R$ 10.000,00 aplicado no regime de juros compostos por 3 meses à taxa de 10% ao mês.
Relembrando:  Montante simples,
Montante Simples = Valor do Capital + Juros do período
Montante Composto (Valor futuro), sabemos que a taxa é capitalizada e deve-se atualizar o capital antes de recalcular os juros.
            Montante Composto = Capital x (1 + taxa) número de períodos ou tempo
OBS.: Quando se faz necessário a conversão NUNCA, NUNCA, NUNCA se deve alterar a taxa. A conversão será feita SEMPRE no prazo/no tempo/no período, pois a taxa é capitalizada no sistema de juros compostos.
Exemplo:
A empresa Empregar está sendo modificada e necessita de móveis novos. Para esta compra ela aplicou o capital de R$20.000,00 pelo período de 1 ano e com a taxa de 40% ao ano.
M = 20.000 (1 + 0,40)1
M = 20.000 (1,40)2
M = 20.000  x 1,96   =>   M = R$ 39.200,00
 
Fazendo o cálculo utilizando a calculador HP12C
1) Digita-se o valor do capital 20.000
2) A tecla CHS
3) A tecla PV (valor presente)
4) Digita-se 40 e a tecla i (a taxa que está sendo utilizada)
5) Digita-se 1 e a tecla n.(tempo)
6) Pressionar a tecla FV (Valor Futuro ou Montante) e obteremos o resultado.
 
Rendas
Renda é uma sucessão de depósitos ou prestações, em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida. A estes capitais disponíveis chamamos “termos” ou “anuidades” e podem ser iguais ou não. Se os valores dos termos forem iguais aos valores das Rendas, serão chamados de Termos Constantes ou Rendas Constantes; se forem variáveis, serão chamadas de Rendas Variáveis. O espaço de tempo que sucede entre os vencimentos de dois termos consecutivos recebe o nome de período da renda e é sempre o mesmo.
Tipos de Rendas
a) Rendas certas ou anuidades:
Ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. Por exemplo a compra de uma TV Led em 7 prestações de R$200,00.
b) Rendas aleatórias:
Ocorrem quando pelo menos um dos seus elementos não pode ser previamente determinado. Por exemplo: pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado).
 
Quanto à data de vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ter três situações:
a) Renda imediata:
 Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Por exemplo: a compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato.
b) Rendas antecipadas:
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero.
c) Rendas diferidas:
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero. Este tipo de renda é mais conhecido na matemática financeira com o nome de carência.
Fonte: Helenara Sampaio (Classificação de Rendas)
Sistemas de Amortização
Considere que uma dívida deve ser paga em prestações periódicas e com vencimento ao fim de cada período. Quando a dívida vai sendo paga, dizemos que ela está sendo amortizada. Veremos os sistemas de amortização mais utilizados que são: S.A.C. – Sistema de Amortização Constante e o Sistema PRICE criado pelo inglês Richard Price, este sistema diferencia do anterior pelo uso da taxa proporcional.   
O S.A.C. - Sistema de Amortização Constante trabalha com amortizações fixas, ou seja constantes, já o sistema PRICE trabalha com prestações fixas e com amortizações variáveis. O sistema PRICE é comum em empréstimos habitacionais, por exemplo, o Minha Casa Minha Vida.
Exemplo:
Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberaçãodo dinheiro. A taxa é de 5% ao mês. Pelo sistema SAC.
Como este sistema prevê uma amortização constante, antes de saber o valor das prestações é necessário saber o valor da amortização. Assim:
Amortização = Capital dividido pelo número de períodos
Amortização = Capital / tempo
A = C / n
                                   C = 5.000,00
                                   n = 10 prestações mensais
                                    i  = 5 % ao mês
A = C / n
A = 5.000 / 10
A = R$ 500,00 então a amortização será de quinhentos reais por mês.
Fazendo o cálculo utilizando na calculador HP12C
5.000 CHS PV
1 n                  (será calculado um mês)
5 i                   (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV       (future value)
FV = R$ 5.250,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual temos:
Juros = FV - PV
Juros = 5250,00 – 5.000,00
Juros = 250,00
Neste sistema de amortização sabe-se que:
O valor da prestação será igual ao valor da amortização somado aos juros produzidos no período
Assim, para o primeiro mês tem-se: que o valor da prestação, ou seja, o PMT será de:
R$ 500,00(amortização)+ R$ 250,00 (com os juros) = 750,00 (valor da 1ª prestação)
Tem-se a seguinte tabela para o primeiro mês.
Para o cálculo do segundo mês:
Saldo atual será R$ 5.000,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = R$ 4.500,00.
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
4.500 CHS PV
1 n                  (será calculado um mês)
5 i                   (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV       (value future)
FV = R$ 4.725,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual. Temos então:
Juros = FV - PV
Juros = 4725 - 4500
Juros = 225
Para o cálculo do terceiro mês:
Saldo atual será R$ 4.500,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00= R$ 4.000,00.
 
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
4000 CHS PV
1 n                  (será calculado um mês)
5 i                   (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV       (value future)
FV = R$ 4.200,00
 
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual temos:
Juros = FV - PV
Juros = 4200 – 4.000
Juros = 200
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 200 = 700,00
 
Para o cálculo do quarto mês:
Saldo atual será R$ 4.000,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = R$ 3.500,00.
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
3500 CHS PV
1 n                  (será calculado um mês)
5 i                   (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV       (value future)
FV = R$ 3.675,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual temos:
Juros = FV - PV
Juros = 3.675 – 3.500
Juros = 175
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 175 = 675,00
Para o cálculo do quinto mês:
Saldo atual será R$ 3.500,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = R$ 3.000,00.
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
3000 CHS PV
1 n                  (será calculado um mês)
5 i                   (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV       (value future)
FV = R$ 3.150,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual. Temos então:
Juros = FV - PV
Juros = 3.150 – 3.000
Juros = 150
 
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 150 = 650,00
 
Confira a tabela abaixo com 5 meses calculados:
O problema dizia que teria 10 parcelas para pagar a dívida. Seguindo os passos mencionados acima, complete a tabela até o décimo mês:
Veja a tabela S.A.C. completa !!!!!!!
RESPOSTAS do exercício
ATENÇÃO
 O Valor da AMORTIZAÇÃO é diminuído do valor do Saldo Atual, resultando nos juros que a pessoa está pagando.
O Saldo Atual no último mês é zerado, pois após 10 meses pagando o empréstimo, a pessoa liquida a dívida.
SISTEMA PRICE A taxa é dada em termos anuais; as prestações são mensais e no cálculo é utilizada a taxa proporcional.
Exemplo:
Uma financeira emprestou R$ 100.000,00, a taxa de juro cobrada é de 18% ao ano e o pagamento deve ser feito em 6 meses. Qual o valor das prestações utilizando o sistema Price.
C =100.000,00
n = 6 prestações mensais
i = 18 % ao ano
Taxa equivalente = 18% a.a. / 12 (número de meses)
Te = 18 / 12  è  Te = 1,5 ao mês.
Fazendo o cálculo utilizando na calculador HP12C
IMPORTANTE: não apague/limpe a memória da calculadora HP12C após iniciar este cálculo, pois trata-se de uma sequência.
100.000,00 CHS PV
6 n
1,5 i
PMT
Sendo PMT = R$ 17.552,52 ou o valor da prestação durante seis meses
No sistema de amortização PRICE, os valores das prestações são fixos, porém as amortizações são VARIÁVEIS.
A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, fará com que sejam calculados os JUROS, então continuando na calculadora HP, tecle os comandos:
Tecle o número 1, agora a tecle f, e tecle n
N é a tecla de amortização quando ativado a função f.
No visor da calculadora aparecerá o valor de R$ 1.500,00 que caracterizam os JUROS.
A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, fará com que seja calculado a AMORTIZAÇÃO, então continuando na calculadora HP, tecle os comandos:
Procure a tecla   “X <> Y” e Tecle
No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 16.052,52 que indica o valor de AMORTIZAÇÃO.
 
Agora pressione a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois valores acima mencionados de juros e amortização 1.500,00 + 16.052,52 = 17.552,52 que é a Prestação do Período:
Sem perder nenhum dos valores até o momento, siga a sequência abaixo para encontrar o valor do SALDO ATUAL.
Pressione RCL PV
No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 83.947,48 que indica o valor do SALDO ATUAL.
A saber: A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor presente com a tecla PV.
Com a sequência de comandos executados na ordem informada neste documento, foi possível montar a primeira linha da tabela do sistema PRICE:
Caros alunos, para calcularem as demais linhas da tabela acima e chegar até 6 prestações mensais, basta não perder a memória da calculadora e iniciar a sequência de comandos novamente.
Tecle o número 1, agora a tecle f, e tecle n
N é a tecla de amortização quando ativada a função f.
Na calculadora aparecerá o valor de R$ 1.259,21 que caracterizam os JUROS.
A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, fará com que seja calculada a AMORTIZAÇÃO. Então continuando na calculadora HP, tecle os comandos:
Procure a tecla   “X <> Y” e Tecle
Na calculadora aparecerá o valor R$ 16.293,31 que indica o valor de amortização.
Agora pressione a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois valores acima mencionados de juros e amortização 1.259,21 + 16.293,31 = 17.552,52 que é a prestação do período:
Sem perder nenhum dos valores até o momento, siga a sequência abaixo para encontrar o valor do SALDO ATUAL.
 
Pressione RCL PV
Na calculadora aparecerá o valor R$ 67.654,17 que indica o valor do SALDO ATUAL.
A saber: A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor presente com a tecla PV.
Com a sequência de comandos executadas na ordem informada neste documento, foi possível montar a segunda linha da tabela do sistema PRICE:
 Atividade: Como você está estudando é muito importante que finalize até a sexta parcela do financiamento, mas não limpe a memória da calculadora.
Veja a tabela PRICE completa !!!!!!!
RESPOSTAS do exercício
Além dos sistemas de amortização SAC e PRICE, existem outros que são importantes para você conhecer.
Sistema de Amortização Misto, também conhecidos como SAM. O cálculo deste sistema resume-se em: para cada um dos valores de seu plano de pagamentos somam-se aqueles obtidos pelo Sistema Francês (SAF), com os do Sistema de Amortização Constante (SAC), dividindo-se o resultado por dois.
Desta forma:
As amortizações são crescentes
Os juros são decrescentes
As prestações são decrescentes
Sistema de Amortizações Variáveis. (Parcelas Intermediárias)
Usados pelas incorporadoras nas vendas financiadasdiretamente aos mutuários.
Fonte: Helenara Sampaio (Sistemas Mistos e Variáveis)
WEB AULA 1
Unidade 1
Observe o diagrama acima que demonstra a composição do conjunto numérico, onde se encontram:
 Números Naturais (N)
Compõe o conjunto dos Números Naturais todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Sua representação é feita pela letra N em maiúscula.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …} incluindo o zero.
Para sinalizar que o zero está excluído do conjunto do números Naturais coloca-se um asterisco (*) após a letra representativa N:
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}
Números Inteiros (Z)
O que são os números inteiros? Como surgiram? Qual o motivo de existirem?
Quando uma pessoa empurra um carro, este carro reage com uma força de mesma intensidade. Como representar esta força contrária?
Então, o números inteiros são os números positivos e negativos.
Como nos números naturais existe a possibilidade de excluir o número zero, nos números inteiros também existe esta possibilidade. Para esta representação é necessário o asterisco, observe:
 Números Racionais (Q)
Há muitos anos a raça humana necessitou dividir um objeto em partes iguais. Então, nesse momento, surgiram os números racionais, que estão relacionados a uma razão entre dois números inteiros.
Logo, este conjunto de Números Racionais é composto de todos os números inteiros (Z), também pelos números decimais finitos (por exemplo, 243,4456) e pelos números decimais infinitos periódicos (são denominados dízimas periódicas, que nada mais são que uma sequência de algarismos que se repetem infinitamente na parte decimal do número).
 Números Irracionais (I)
O Conjunto dos Números Irracionais necessariamente é formado por números decimais infinitos não-periódicos, ou seja, não contendo dizimas periódicas. E não podem ser representados por meio de uma fração. A representação é pela letra I.
Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 1:
Números Reais (R)
O Conjunto dos Números Reais é a união de todos os conjuntos citados até o momento, sendo o conjunto dos racionais com os irracionais.
Lembrete para multiplicação e divisão:
Multiplicação de sinais iguais o resultado sempre será positivo, pois a regra nos mostra que “sinais iguais é igual a mais”:
Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 2:
(+ 4)  *  (+ 4)  =  + 16
Multiplicação e sinais diferentes o resultado sempre será negativo, pois nos mostra a regra que “sinais diferentes menos”:
Matemática Comercial e Financeira - Exemplo 3:
(+ 4)  *  (- 4)  =  - 16
 
Vamos estudar Potência!!
É necessário relembrar o que é potência e como aplicá-la,
Pois para os cálculos de matemática financeira a potência será utilizada. A potência indica a multiplicação de fatores iguais, ou seja, o número de vezes em que o número irá se multiplicar.
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 3:
Propriedades das Potências
As potências utilizam a propriedade da distribuição para a multiplicação/divisão.
a) ( 7  x  2 ) 3 =  73  x  23  =  343 x  8 = 2744
 
Casos Especiais
a)    O número um elevado a qualquer número será sempre um.  12 = 1; 1200 = 1; 11234 = 1
b)    O número zero elevado a qualquer número será sempre zero. 02 = 0; 056 = 0; 03456 = 0
c)    Um número qualquer elevado ao expoente um, será ele mesmo.  21 = 2; 2341 = 234;  56781 = 5678
d)    Todo e qualquer número elevado ao expoente zero, será sempre igual a um.    20 = 1; 440 = 1; 9870 = 1
e)    Potência de potência conserva-se a base e multiplica-se os expoentes.  (23 )2 = 26 = 64
f)     Expoentes diferentes com mesma base, na multiplicação, somam-se os expoentes.  am . an  =  am + n     à 21  * 23  = 24
g)    Expoentes diferentes com mesma base, na divisão subtraem-se os expoentes.23 x 21  = 22
h)   Expoente negativo, inverte-se o número e o expoente passa a ser positivo
Funções
É definida uma função na relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde cada elemento de A se associe com um único elemento de B.
 
Funções Marginais – Em Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação
Exemplos aplicados:
1)Uma panificadora vende o pão francês a R$0,50 a unidade.
a) Obtenha a função receita R(x);
b) Calcule R(22);
c) Qual a quantidade de pães que devem ser vendidos para dar uma receita de R$33,00?
a) R(x) = 0,50 * x
b) R(22) = 0,50 *22 = 11,00
c) 33 = 0,50 * x  è  x = 33/0,50 è x = 66 pães
Raciocínio Lógico
Para Rohmann, lógica é em essência, a procura de um método pelo qual se possam isolar os raciocínios válidos e coerentes dos inválidos e incoerentes.
A lógica pode ser indutiva ou dedutiva:
Dedutiva: Partindo-se de duas premissas aceitas, deduz-se a conclusão.
Exemplo: Se todas as vacas são ruminantes e Mimosa é uma vaca, então Mimosa é ruminante.
Indutiva: Depende da experiência.
Mimosa digere os alimentos por meio da ruminação; se todas as vacas que observamos fazem o mesmo, podemos declarar que ruminar é um traço característico das vacas.
Proposições
É um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Exemplo: O Brasil é um pais da América do Sul.
As proposições podem ser verdadeiras ou falsas.
Exemplos: A neve é branca; A lua é quadrada.
Símbolos da linguagem do calculo proposicional: p, q, r, s para indicar as proposições.
Exemplos: A neve é branca: p
                   A lua é quadrada: q
TAUTOLOGIA
Chama-se tautologia toda proposição composta cuja ultima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade).
A tabela verdade é o método mais utilizado para verificação se uma forma simbólica é ou não tautologia.
Exemplo:
Se eu tiver dinheiro, vou à praia e à fazenda.
Onde : p – eu tiver dinheiro
             q – vou à praia
              r – vou à fazenda
DERIVADAS
Derivada é uma representação da taxa de variação instantânea de uma determinada função.
Por exemplo, se a função f(x) = x2  representa a produção(em centenas)  de sapatos da empresa Saltos Altos e x represente as horas trabalhadas.
Esta função nos demonstra que conforme as horas vão aumentando, sua produção está crescendo o dobro.
Vamos analisar a produção em 2horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=2  f(2) = 22 è f(2) = 4 (centenas) = 400 sapatos
Vamos analisar a produção em 3horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=3  f(3) = 32 è f(3) = 9 (centenas) = 900 sapatos
Entre a segunda e a terceira hora de trabalho, foram produzidos 900- 400 = 500 sapatos
Vamos analisar a produção em 6 horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=6  f(6) = 62 è f(6) = 36 (centenas) = 3.600 sapatos
Vamos analisar a produção em 7 horas è Aplicando na função f(x) = x2,
x=7  f(7) = 72 è f(7) = 49 (centenas) = 4.900 sapatos
Entre a sexta e a sétima hora de trabalho, foram produzidos 4.900- 3.600 = 1300 sapatos
Analisando a empresa Saltos Altos, observamos que as produções são diferentes, apesar de estarmos falando de apenas 1 hora trabalhada. Matematicamente expondo, dizemos que a taxa de variação média entre a segunda e a terceira hora de trabalho foi de 500 sapatos e a taxa de variação média entre a sextaa e a sétima hora de trabalho foi de 1.300 sapatos.
Afirmamos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até b (x variando de a até b) pode ser definida por:
Derivada
A função derivada, apresenta algumas fórmulas para a determinação de algumas funções derivadas. Trazemos uma tabela a seguir trazendo a função e sua derivada.
Exemplos:
Aplicando as fórmulas de derivação, encontre as derivadas das seguintes funções:
Máximos e mínimos na derivadas
Uma das situações práticas das funções derivadas é permitir que possamos conhecer os intervalos do domínio onde uma função é crescente, decrescente ou constante. Pelo Se uma função for crescente, sua derivada será POSITIVA no intervalo, quando for decrescente, a derivada será NEGATIVA.
Exemplo-  A empresa Saltos Altos produz uma sandália com o custo mensaldado pela função C(x) = -1x3 - 2x2 + 10x +20. Cada sandália é vendida a R$31,00.  Calcule a quantidade de sandálias que deve ser produzida e vendida para dar o máximo de lucro mensal.
O resultado de qual a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal é x=7.
 
Juros  Simples
“Quando alguém diz: Guarde dinheiro na caderneta poupança pois irá render juros e correções monetárias.”
Este dinheiro que se deposita nos bancos é denominado de Capital, ou ainda denominado de Valor Presente da negociação.
O valor que este capital rendeu após um determinado período são os Juros.
Ou seja,
Juro é uma determinada compensação financeira que se recebe ou se paga quando emprestamos, ou recebemos determinados valores por um tempo pré-estabelecido.
A capitalização pode ser de duas formas:
JUROS SIMPLES: é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
JUROS COMPOSTOS: é aquele que será calculado a cada intervalo de tempo que será a cada intervalo acrescido a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Fonte: http://www.somatematica.com.br
E você sabe o motivo de existir Juros?
Se eu quero comprar um imóvel, mas não possuo o dinheiro necessário, posso solicitar um empréstimo a um banco. Quando devolver o dinheiro emprestado ao banco haverá um valor a mais, que se chama juro do dinheiro que o banco me emprestou.
Os juros podem ser calculados pela seguinte fórmula:
Sendo:
J = juro
C = capital
i = taxa
t = tempo  ou n=tempo
 
Quando o problema mencionar tempo em:
Ano, a fórmula acima.
Meses, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 1200.
Dias, a fórmula acima será alterada no denominador de 100 para 36000.
OBS.: No livro da disciplina utiliza-se a fórmula J = , neste caso a taxa deverá sempre estar na forma centesimal.
 
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 4:
Neste primeiro exemplo observe que temos um tempo em ano, mês e dias e vamos transformar tudo em dias.
Calcule os juros de um capital de R$ 80.000,00 quando aplicados à taxa de 7% ao ano durante 3 anos.
 Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 5:
Vamos trabalhar com a outra fórmula. Este exercício traz a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim o denominador da fórmula de 100 será 1200, conforme mencionado anteriormente.
Calcular o juro simples de um capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros de 8% a.a. pelo prazo de 6 meses.
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 6:
Agora vamos trabalhar com a outra fórmula. Este exercício traz a taxa de juros em anos e o tempo em meses, assim o denominador da fórmula de 100 será 36000, conforme mencionado anteriormente.
Calcular o juro simples de um capital de R$ 3.000,00 aplicado a taxa de juros de 3% a.a. pelo prazo de 100 dias.
Pela fórmula teremos:
Aprofundando conhecimento !!!!!!!
Note que a taxa de juros sempre informa a qual período corresponde, por exemplo: 3% a.a, 2% a.t. ou 1% a.m.
  
Notem que pela fórmula     é possível encontrar o Capital aplicado, o tempo ou ainda a taxa, não somente os juros. Para tanto você aluno deverá prestar muita atenção no enunciado do problema.
 
Montante Simples
Montante é o valor final do investimento, ou seja, o valor atual/capital somado com os juros produzidos no período de aplicação.
Se o capital de R$3.000,00 aplicados e que após 6 rendeu  R$300,00 de juros, o montante agora será de R$3.300,00.
Desconto Simples
Denomina-se desconto o valor menor que o valor real da divida. Imagine que hoje você efetuou uma compra de roupas, com vencimento para daqui a 30 dias no valor de R$ 550,00. Mas cinco dias após a compra você acaba por receber um dinheiro que não estava esperando. Então decide saldar a dívida e se dirige a loja para efetuar o pagamento. Chegando lá, o Senhor Sebastião responsável pelo recebimento verifica que sua fatura e contata que o  vencimento será somente daqui a 20 dias. Neste momento o Senhor Sebastião diz: “Liquidando a dívida hoje, você obterá um desconto de 5% sobre o valor de R$ 550,00, sendo ele então R$ 27,50.”  Este valor de R$ 27,50 é o valor do desconto recebido.  Ou seja, o Desconto é a operação inversa ao Montante.
xistem dois tipos de Desconto Simples que se deve:
Desconto Racional (ou também chamado “por dentro”)
Desconto Comercial (ou chamado de “por fora”) à utilizado no comércio de modo geral e operações financeiras.
Para a utilização da fórmula deve-se saber:
N = Valor Nominal do título à É o valor de fato do título que aparece no documento (promissória, cheque, etc...)
A = Valor Atual comercial à Valor da liquidação, ou seja, valor no ato da liquidação.
Desconto à Caracteriza-se pela diferença (-) entre o Valor Nominal do título e o Valor atual do título (Valor liquidado).
d =  Desconto comercial à Para efetuar este de desconto cálculo utiliza-se o valor Nominal e o valor Atual do título, é o desconto.
i = a taxa de desconto
t = tempo
Fórmula para o Cálculo do Desconto por Fora  à d:
Desconto por dentro à D à É basicamente o inverso do Desconto por fora, pois neste calcula-se o desconto sobre o valor atual e soma-se a ele(valor atual) o valor obtido(desconto), desta forma determina-se o Valor Nominal.
Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 7:
Qual é o desconto por fora de um título de R$ 10.000,00 descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de 15% ao ano.
 Matemática Comercial e Financeira – Exemplo 8:
Qual o desconto por dentro de um título de R$2.000,00, com vencimento para 3 meses, sabendo que a taxa é de 2,5 % ao mês.