5 - MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA 
 Apresentação da Disciplina – 10/04/2019 
1) Matemática Básica 
 
1.1 Números 
1.2 Frações 
1.3 Números Decimais 
1.4 Potencialização 
1.5 Radiciação 
1.6 Expressões Numéricas 
1.7 Equações de 1º Grau 
1.8 Razão 
1.9 Proporção 
1.10 Regra de Sociedade 
1.11 QUIS 
 
2) Operações Sobre Mercadorias 
 
2.1 Porcentagem 
2.2 Desconto de Acréscimo 
2.3 Lucro e Prejuízo 
2.4 Acréscimos e Descontos Sucessivos 
 
3) Capitalização Simples e Composta 
 
3.1 Capitalização Simples 
3.2 Desconto Simples 
3.3 Capitalização Composta (A partir daqui, Calculadora HP e LOGARITMO) 
3.4 Desconto Composto 
3.5 Valor Presente e Futuro 
 
4) Calculadora HP 12C 
 
4.1 Conhecendo a Calculadora 
4.2 Operações Aritméticas Simples 
4.3 Porcentagem 
4.4 Capitalização Simples 
4.5 Capitalização Composta 
4.6 Valor Presente e Valor Futuro 
 
5) FÓRUM 
 
5.1 Menor Taxa de Juros no Mercado...será mesmo? (Fórum Tópico criado por Elio 
Melim Júnior) 
5.2 O peso do preço baixo! (Fórum Tópico criado por Rafael de Souza) 
 
 
 
1) Matemática Básica 
1.1) Números 
Vamos abordar o mais essencial dos elementos da Matemática: os Números. Para iniciar, vamos 
às definições fundamentais de Número e de Conjuntos Numéricos. 
 
Número: Um número é um conceito matemático para a representação de medida, ordem ou 
quantidade. Os números são classificados em Conjuntos Numéricos. 
Conjunto Númericos: São compreendidos como os conjuntos dos números que possuem 
características semelhantes, representados por uma letra do Alfabeto e dispostos entre chaves, 
os Principais Conjuntos Numéricos são: 
Números Naturais: Representado pela letra N. 
Exemplo: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... } 
 
Números Inteiros: Representado pela letra Z. 
É o conjunto dos números naturais e seus opostos não nulos. 
Exemplo: 
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
 
Números Racionais: Representado pela letra Q. 
É todo número que pode ser representado pelo quociente de dois números, ou seja: 
 
O conjunto dos números racionais é composto por todos os números inteiros acrescidos 
pelos números fracionários, dízimas periódicas e números decimais. 
 
Números Irracionais: Representado pela letra I. 
É todo número que não pode ser representado pelo quociente de dois números. 
Exemplos: 
• √2 = 1,414213562 
• √3 = 1,73205080 
• O número π = 3,141592... (n° pi – constante de Arquimedes) 
• O número e = 2,718281... (constante de Euler) 
 
Números Reais: Representado pela letra R. 
É a união de todos os conjuntos anteriores, ou seja: 
Exemplo: R = Q ∪ I símbolo de união 
 
REFERÊNCIAS E LINKS RECOMENDADOS: 
NETTO, A. A. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 10ª Ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
FILHO, N. C.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática financeira, engenharia 
econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11ª Ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 3ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2002. 
DANTE, L. R. Formulação e Resolução de Problemas de Matemática. 1ª Ed. Ática, 2010. 
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 3ª Ed. Ática, 2012. 
FILHO, N. C.; KOPITTKE, B. H. Análise de Investimentos: matemática financeira, engenharia 
econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11ª Ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
GOMES, J.; MATHIAS, W. Matemática Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
GUIDORIZZI, H. L. Mário F. Matemática para Administração. 1ª Ed. LTC, 2002. 
HAZZAN, S.; BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Cálculo - funções de uma variável e cálculo ― 
funções de várias variáveis. 2ª Ed. Saraiva, 2010. 
HOJI, M. Administração financeira e orçamentária: matemática financeira aplicada, estratégias 
financeiras, orçamento empresarial. 9ª Ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. dos S. Coleção Matemática e Realidade. 6ª Ed. Atual, 2009. 
LEITHOLD. L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 1988. 
MACEDO, L. R. de; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática Aplicada. Curitiba: 
Editora Ibpex, 2006. 
NETTO, A. A. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 10ª Ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª Ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002. 
SILVA, E. M.; SILVA, E. M.; SILVA, S. M.. Matemática Básica para Cursos Superiores. 1ª Ed. São 
Paulo: Atlas, 2002. 
 
Links 
http://comoescreve.com.br 
http://duvidas.dicio.com.br 
http://g1.globo.com/economia 
http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica 
http://revistaescola.abril.com.br 
http://www.brasilescola.com/matematica 
http://www.sbm.org.br 
http://www.significados.com.br 
http://www.somatematica.com.br 
http://www.somatematica.com.br 
https://epxx.co/ctb/hp12c.php 
https://pt.wikipedia.org/wiki 
https://www.algosobre.com.br/matematica-financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://comoescreve.com.br/
http://duvidas.dicio.com.br/
http://g1.globo.com/economia
http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica
http://revistaescola.abril.com.br/
http://www.brasilescola.com/matematica
http://www.sbm.org.br/
http://www.significados.com.br/
http://www.somatematica.com.br/
http://www.somatematica.com.br/
https://epxx.co/ctb/hp12c.php
https://pt.wikipedia.org/wiki
https://www.algosobre.com.br/matematica-financeira
 
 
 
1) Matemática Básica 
 
1.2) Frações: 
Vamos compreender os diferentes tipos de Frações, bem como suas utilizações em cálculos de 
situações diversas. 
 
Já utilizada por civilizações antigas, as Frações podem ser definidas como a razão entre dois 
números (ou grandezas). 
 
 
De forma geral, podemos representar uma Fração da seguinte maneira: 
 
b ≠ 0 (Ou seja, B deve ser DIFERENTE de Zero ! 
 
(*) Como digitar o sinal de DIFERENTE no teclado: No Word você pode pressionar ALT 
(esquerdo mais 8800 na parte numérica do teclado com NumLock ativado) 
Para compreender melhor o conceito de Fração, observe o exemplo prático a seguir: 
 
 
Ao observarmos visualmente, fica mais fácil compreender este conceito tão utilizado no dia a dia 
do profissional. Vamos relembrar outras maneiras de se trabalhar com números na forma de 
Fração: 
 
Frações Equivalentes: As frações equivalentes representam a mesma parte do todo. 
 
 
Você percebeu que as regiões mais escuras representam a mesma parte do todo? 
Assim, são frações equivalentes, logo . 
No método prático de obtenção de frações equivalentes é preciso multiplicar ou dividir o 
numerador e o numerador por um mesmo número (diferente de zero), conforme o exemplo 
abaixo: 
Obter frações equivalentes a 
 
 
 
Portanto, são frações equivalentes, ou seja, . 
 
Simplificação de Frações: Ao simplificar uma fração estamos obtendo uma fração equivalente 
dividindo o numerador e o denominador por um mesmo número (diferente de zero). Tal processo 
pode ser feito por meio de duas formas: 
 
Método de divisões sucessivas: 
 
 
 
Método direto: 
 
Nos dois casos acima, o numerador e o denominador da fração 3 não podem ser divididos 
simultaneamente 
 7 
 
 
por um mesmo número natural. Aqui, os números 3 e 7 são primos entre si, por isso podemos 
afirmar que 3 é uma fração irredutível. 
 7 
 
 
 
 
Adição e Subtração de Frações: 
As adições e subtrações de frações devem respeitar duas condições de operações: 
 
1º) Frações com denominadores iguais: Quando os denominadores são iguais, os 
numeradores devem ser somados ou subtraídos de acordo com os sinais operatórios e o valor do 
denominador mantido. 
Exemplos: 
 
 
 
 
2º) Frações com denominadores diferentes: Cria-se um novo denominador através do cálculo 
do Mínimo Múltiplo Comum – MMC dos denominadores fornecidos. O novo denominador deveráser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando o quociente pelo numerador 
correspondente, constituindo novas frações proporcionalmente iguais às anteriores e com 
denominadores iguais. 
 
Observe: 
 
 
 
 
Multiplicação com Frações: 
 
Na multiplicação de números na forma de fração, devemos multiplicar numerador por 
numerador e denominador por denominador. Vale ressaltar que, em alguns casos, pode-se 
simplificar as multiplicações antes de obter o produto. 
 
Observe os exemplos: 
 
 
 
Divisão com Frações: 
 
Na divisão com frações, é preciso repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da 
segunda. Observe: 
 
 
 
 
 
 
Não esqueça: trabalhar com números fracionários será essencial sempre que precisarmos chegar 
a um resultado ou quantidade menor que um número inteiro - como cálculos de áreas ou custos 
por área de um imóvel, por exemplo! 
 
 
 
 
 
 
1) Matemática Básica 
 
1.3) Números Decimais: 
 
O tema é referente aos Números Decimais, e para compreendermos melhor o assunto, é preciso 
dar atenção especial a um elemento essencial para a representação de um número decimal: 
 
Um número decimal possui sua parte inteira e sua parte decimal, e ambas são separadas pela 
famosa “vírgula”! 
Observe a divisão nestes dois casos: 
 
Com base neles, podemos perceber que: 
Número ANTES da vírgula → Parte Inteira 
Número APÓS a vírgula → Parte Decimal 
Quantidade de algarismos representados APÓS a vírgula → Total de Casas Decimais 
 
A seguir, clique em cada um dos botões abaixo para relembrar sobre como trabalhar com os 
números decimais nas quatro operações básicas! 
 
Viu só?! A vírgula não é importante somente na estruturação de textos e frases. Quando se trata 
de Sistema de Numeração Decimal, ela também faz toda a diferença para chegarmos ao 
resultado desejado. 
 
 
 
1) Matemática Básica 
1.4) Potencialização 
A Potenciação é um tipo de operação matemática relacionada diretamente com a multiplicação, 
e muito utilizada para facilitar esse tipo de cálculo, podemos representar uma multiplicação de 
fatores iguais através dela, conforme a seguinte representação: 
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/4#infografico-1_1
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/4#infografico-1_1
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/4#infografico-1_2
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/4#infografico-1_2
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/4#infografico-1_1
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/4#infografico-1_2
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/4#infografico-1_3
 
 
Observe cada um dos elementos na representação a seguir: 
 
É importante destacar alguns Casos Particulares envolvendo Potências. Neles, a e b são 
números reais e m e n números inteiros. 
 
• 1º Caso 
Em uma potenciação, cujo expoente é zero, a potência é sempre igual a 1 (com base diferente 
de zero). 
a0 = 1 
Exemplos: 
40 = 1 
1250 = 1 
• 2º Caso 
Em uma potenciação, cujo expoente é um, a potência é sempre igual à base. 
a¹ = a 
Exemplos: 
5¹ = 5 
12¹ = 12 
 
 
• 3º Caso 
Em uma potenciação, cuja base é um, a potência é sempre igual a 1. 
1n = 1 
Exemplos: 
16 = 1 
121 = 1 
 
 
• 4º Caso 
Em uma potenciação, cuja base é zero, com expoente diferente de 0, a potência é sempre igual 
a 0. 
0n = 0 
Exemplos: 
07 = 0 
025 = 0 
Além de reconhecer as partes de uma Potência, e seus casos mais frequentes, é preciso 
conhecer suas 7 propriedades fundamentais. 
 
• 1ª Propriedade Multiplicação de potências de mesma base: 
Em uma multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e soma os expoentes. 
am • an = am+n 
 
 
 
 
 2ª Propriedade Divisão de potências de mesma base: 
Em uma divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai os expoentes. 
am : an = am-n, a ≠ 0 
Exemplo: 
46 ÷ 43 = 46-3 = 43 
Ou 
 
 
 
 3ª Propriedade Potência de um produto: 
Em uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, eleva-se cada um 
deles a esse expoente. 
 
 
 
 4ª Propriedade Potência de um quociente: 
Em uma divisão com dividendo e divisor elevados ao mesmo expoente, eleva-se cada um deles a 
esse expoente. 
 
 
 
 
 5ª Propriedade Potência de potência: 
Em uma potência elevada a um expoente qualquer, conserva-se a base e multiplica os expoentes. 
 
 
 
 
 6ª Propriedade Potência com expoente inteiro negativo: 
Em uma potência com expoente negativo, inverte-se a base e eleva ao oposto do expoente. 
 
 
 
 
 
 
 7ª Propriedade Potência com expoente racional: 
Pode-se escrever uma potência com expoente da seguinte forma: 
 
 
* Considerando que: a e b são números reais e m e n números inteiros. 
Ainda que aplicada moderadamente às tarefas profissionais rotineiras, a potenciação é um tema 
fundamental para auxiliar no avanço do pensamento matemático. 
1) Matemática Básica 
1.5) Radiciação 
A Radiciação, podemos definir Raiz como sendo uma operação inversa à potenciação. Em sua 
essência, ela representa, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário, observe 
a seguir, os elementos de uma operação de Radiciação: 
 
 
 
No que tange ao presente tema, é importante atentar-se às duas restrições básicas que 
envolvem os índices dos radicais, que podem ser pares ou ímpares. 
 
QUANDO RESTRIÇÃO EXEMPLOS 
N PAR Existe solução real somente quando 
o radicando for maior ou igual a 
zero. 
√16= 4, pois 4² = 16 
 
√(-16) não tem solução real, pois nenhum 
número elevado ao quadrado é igual a -16. 
N ÍMPAR Sempre existe solução real. 3√27 = 3, pois 3³ = 27 
 
3√(-27) = -3, pois (-3)³ = -27 
A seguir, vamos conhecer 2 casos particulares relacionados ao tema: 
 
 DESCRIÇÃO EXEMPLOS 
1º 
CASO 
A raiz de um radicando nulo também é 
nula. 
 
n√0 = 0 
√0 = 0, pois 03 = 0 
 
6√0 = 0, pois 06 = 0 
2º 
CASO 
A raiz de um radicando igual a 1 é sempre 
igual a 1. 
 
n√1 = 1 
√1 = 1, pois 12 = 1 3√1 = 1, pois 
13 = 1 
 
 
O que é raiz quadrada? Definição de raiz quadrada 
 
A raíz quadrada de um número 'a' é un número x tal que x2 = a, em outras palavras, um número x 
cujo quadrado é 'a'. Por exemplo, 12 é a raíz quadrada de 144 porque 122 = 12•12 = 144, -12 é a 
raíz quadrada de 144 porque (-12)2 = (-12)•(-12) = 144. 
Tabela de raiz quadrada de 1 a 100 arredondadas até o milésimo mais próximo 
número quadrado Raiz 
1 1 1,000 
2 4 1,414 
3 9 1,732 
4 16 2,000 
5 25 2,236 
6 36 2,449 
7 49 2,646 
8 64 2,828 
9 81 3,000 
10 100 3,162 
11 121 3,317 
12 144 3,464 
13 169 3,606 
14 196 3,742 
15 225 3,873 
16 256 4,000 
17 289 4,123 
18 324 4,243 
19 361 4,359 
20 400 4,472 
21 441 4,583 
22 484 4,690 
23 529 4,796 
24 576 4,899 
25 625 5,000 
26 676 5,099 
27 729 5,196 
28 784 5,292 
29 841 5,385 
30 900 5,477 
31 961 5,568 
32 1.024 5,657 
33 1.089 5,745 
34 1.156 5,831 
35 1.225 5,916 
36 1.296 6,000 
37 1.369 6,083 
38 1.444 6,164 
39 1.521 6,245 
40 1.600 6,325 
41 1.681 6,403 
42 1.764 6,481 
43 1.849 6,557 
44 1.936 6,633 
45 2.025 6,708 
46 2.116 6,782 
47 2.209 6,856 
48 2.304 6,928 
49 2.401 7,000 
50 2.500 7,071 
 
51 2.601 7,141 
52 2.704 7,211 
53 2.809 7,280 
54 2.916 7,348 
55 3.025 7,416 
56 3.136 7,483 
57 3.249 7,550 
58 3.364 7,616 
59 3.481 7,681 
60 3.600 7,746 
61 3.721 7,810 
62 3.844 7,874 
63 3.969 7,937 
64 4.096 8,000 
65 4.225 8,062 
66 4.356 8,124 
67 4.489 8,185 
68 4.624 8,246 
69 4.761 8,307 
70 4.900 8,367 
71 5.041 8,426 
72 5.184 8,485 
73 5.329 8,544 
74 5.476 8,602 
75 5.625 8,660 
76 5.776 8,718 
77 5.929 8,775 
78 6.084 8,832 
79 6.241 8,888 
80 6.400 8,944 
81 6.561 9,000 
82 6.724 9,055 
83 6.889 9,110 
84 7.056 9,165 
85 7.225 9,220 
86 7.396 9,274 
87 7.569 9,327 
88 7.744 9,381 
89 7.921 9,434 
90 8.100 9,487 
91 8.281 9,539 
92 8.464 9,592 
93 8.649 9,644 
94 8.836 9,695 
95 9.025 9,74796 9.216 9,798 
97 9.409 9,849 
98 9.604 9,899 
99 9.801 9,950 
100 10.000 10,000 
Referências: 
• Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n 
• Babylonian method (Wikipedia) 
• Manually calculate the square root of a number with Javascript 
 
Conheça 6 Propriedades de radiciação dispostas nos quadros abaixo: 
 
 
1ª Propriedade 
Se o índice do radical e o expoente do radicando forem iguais, a raiz será igual ao radicando. 
https://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-babilnico-para-aproximao-de-raz.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method
https://gist.github.com/joelpt/3824024
 
Exemplos: 
 
 
 
2ª Propriedade 
A raiz enésima de um produto é igual ao produto das raízes enésimas. Exemplos: 
 
 
 
 
 
3ª Propriedade 
A raiz enésima de um produto é igual ao produto das raízes enésimas. Exemplos: 
 
A raiz enésima de um quociente é igual ao quociente das raízes enésimas. 
 
Exemplo: 
 
 
4ª Propriedade 
Ao multiplicar ou dividir o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor, a raiz 
não sofre alteração. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
5ª Propriedade 
 A raiz de uma raiz pode ser representada por um único radical. O índice será sempre igual ao 
produto dos índices das raízes iniciais. 
 
Exemplo: 
 
 
6ª Propriedade 
O numerador é o expoente da potência do radical e o denominador é o índice do radical. 
 
Exemplos: 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Matemática Básica 
 
1.6) Expressões Numéricas 
As Expressões Numéricas, um dos conteúdos indispensáveis para solucionarmos problemas 
cotidianos – e de Matemática Financeira! 
 
Uma expressão numérica é composta por uma sequência de operações matemáticas 
envolvendo números e símbolos. 
 
É importante salientar que, para solucionar um problema matemático, precisamos seguir 4 
etapas básicas: 
 
• 1. Conhecer e dominar as operações básicas da matemática. 
• 2. Realizar a correta interpretação dos dados contidos no enunciado do problema. 
• 3. Converter as informações principais a um modelo matemático. 
• 4. Efetuar cuidadosamente os cálculos para a resolução. 
• 
Agora, você saberia responder qual o resultado da expressão numérica abaixo? 
32 + 7 x 2 – 15 
Se você concluiu que a resposta correta é 63, não seguiu as prioridades que estabelecem a 
ordem das operações matemáticas dispostas na expressão e, infelizmente, não chegou à 
resposta correta. 
Em uma expressão numérica, deve-se obedecer a ordem para efetuar as operações: 
Conhecer a sequência adequada pode facilitar – e muito – o seu cálculo, além de permitir que 
você chegue ao resultado correto! 
No caso da nossa expressão 32 + 7 x 2 – 15, as prioridades serão, nesta ordem: multiplicação - 
adição - subtração. 
 
Resolução 
 
Além da ordem específica de operações, alguns símbolos poderão estar presentes nas 
expressões numéricas, e estes também possuem uma ordem a ser respeitada, assim como no 
caso das operações matemáticas: 
 
 
 Agora, se acrescentarmos “parênteses” em nossa mesma expressão numérica: 
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/7#infografico-1
(32 + 7) x 2 – 15 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Matemática Básica 
 
1.7) Equações de 1º Grau 
É hora de revisar seus conhecimentos a respeito das Equações do 1º Grau: 
 
Equação é uma sentença matemática que envolve uma ou mais variáveis por meio de uma 
igualdade. 
Resolver uma equação é obter a solução ou raiz, ou seja, determinar os valores das incógnitas de 
modo que a igualdade seja mantida. 
Uma Equação do 1º Grau, na verdade, é um problema matemático que possui ao menos uma 
incógnita (valor desconhecido por nós, ao início da resolução). Esta incógnita é representada por 
uma letra qualquer, geralmente o “x”: daí a origem da expressão popular “o ‘x’ da questão”! 
Como você já sabe, o método mais prático para resolver uma equação é isolando a incógnita. 
Equação 1 
 
Equação 2 
 
Equação 3 
 
 
1) Matemática Básica 
 
1.8) Razão: A razão é o quociente entre dois números, e a proporção é a igualdade 
entre duas razões 
Sobre Razão a mesma pode ser definida como sendo o quociente entre dois números e podemos 
representar a razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, da seguinte maneira: 
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/8#podcast-x-questao
 
No caso da Razão, lemos que: “a está para b” ou “a para b”. Nesta razão, a e b são chamados : 
a antecedente 
b consequente 
Por exemplo: 
A razão entre 10 e 2 é: 
A razão entre 9 e 27 é: 
 
→ Algoritmo da divisão: 
Dividendo← a | b → Divisor 
 Resto ← c d → Quociente 
 
Exemplo: Em uma sala de aula com 50 alunos, 30 são meninos e 20 são meninas. 
 
Determine as razões descritas abaixo: 
a) Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos. 
Número de meninas: 20 
Total de alunos: 50 
A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo quociente, 
que é uma divisão representada como fração: 
20 = 0,4 
50 
b) Razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos. 
Número total de meninos: 30 
Número total de alunos: 50 
A razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos: 
30 = 0,6 
 50 
Sistema Legal de Medidas 
A necessidade da padronização das medidas no mundo e sobre a criação de um sistema mais 
preciso deram origem ao Sistema Métrico Decimal em 1791. Porém mais tarde o mesmo fora 
substituído pelo- International System of Units (SI) -conhecido por nós como Sistema 
Internacional de Unidades. 
Medida padrão de Comprimento: É representado simbolicamente pela letra “m”(lê-se metro) 
Unidade no SI: m 
Tabela 1.0 
km hm dam m dm cm mm 
÷10 ÷10 ÷10 1 X10 X10 X10 
Múltiplos do Metro: 
• dam : Decâmetro -> equivale a 10 vezes a grandeza padrão”m” 
• hm: Hectômetro -> Equivale a 102 vezes a grandeza padrão “m” 
• km: Quilômetro -> Equivale a 103 vezes a grandeza padrão “m” 
Submúltiplos do Metro: 
• dm: Decímetro -> Equivale a 10-1 (1/10) vezes a grandeza padrão “m” 
• cm: Centímetro -> Equivale a 10-2 (1/100) vezes a grandeza padrão “m” 
• mm: Milímetro -> Equivale a 10-3 (1/1000) vezes a grandeza padrão “m” 
Exemplo: Converta as medidas abaixo: 
• A) 2 km para “m”: Pela tabela 1.0 Vemos que o km é 1000(mil vezes) maior que o metro 
então basta multiplicarmos 2km x1000= 2000m.Ou seja, desloca-se a virgula três casas 
para a direita. 
 
• B) 30 hm para “cm”: Pela tabela 1.0 Vemos que o hm é 10.000( dez mil vezes) maior 
que o centímetro então basta multiplicarmos 30hm x10000=300.000 cm.Ou seja, desloca-
se a virgula quatro casas para a direita. 
 
• C) 5000m para “km”. Neste exemplo percebemos que o metro é 1000(mil 
vezes) menor que o quilometro. Logo basta dividirmos o valor (5000) por 1000. Ou seja, 
desloca-se a vírgula três casas para a esquerda. 
5000m ÷1000=5km 
 
• D) 35,6cm para “dam”. Da mesma forma como o centímetro é três vezes menor que o 
decametro desloca-se a vírgula três vezes para a esquerda, que é a mesma coisa de 
dividirmos por 1000(mil). Portanto 35,6 cm/1000=0,0356 dam 
 
Pé, jarda e Polegada não pertencem ao SI, são definidos pelo sistema inglês de unidades. 
• 1 Polegada (in) = 2,54 cm 
• 1 Pé (ft) = 30,48 cm 
• 1 Jarda (yd) = 91,44 cm 
Medida padrão de massa: É representado simbolicamente pela letra “g” (lê-se o grama) 
Unidade no SI: Kg 
kg 
(Quilograma) 
hg 
(Hectograma) 
dag 
(Decagrama) 
g (grama) dg 
(Decigrama) 
cg 
(Centigrama) 
mg 
(Miligrama) 
÷10 ÷10 ÷10 1 X10 X10 X10 
Obs: 1ton=1000kg 
As regras de conversão se aplicam conforme ensinado acima. A titulo de exemplo podemos citar 
que; 
• 200g=0,2kg 
• 1g=1000mg 
Medida padrão de superfície ou área: É representado simbolicamente por “m2” (lê-se metro 
quadrado). Considera-seuma unidade derivada do metro. 
Unidade no SI: m2 
Km2 Hm2 Dam2 M2 Dm2 Cm2 Mm2 
÷100 ÷100 ÷100 1 X100 X100 X100 
ATENÇÃO: Para convertermos agora devemos ver que é necessário "pularmos" de duas 
em duas “casas”. Observe: 
• 4 m2=40000 cm2 
• 1 dam2=100 m2 
Medida padrão de volume ou capacidade: É representado simbolicamente por “m3” (lê-
semetro cúbico). Considera-se uma unidade derivada do metro. 
Km3 Hm3 Dam3 M3 Dm3 Cm3 Mm3 
÷1000 ÷1000 ÷1000 1 X1000 X1000 X1000 
Obs:1dm3=1L 
ATENÇÃO: Para convertermos devemos ver que é necessário “pularmos “de três em três 
“casas”. Observe: 
• 1m3=1000 dm (1000 Litros) 
• 1dm3= 0,000001 dam3 
 
 
Algumas conversões importantes: 
Grandeza: Tempo: SI= segundos “s” 
1min=60s 
60min=1hora 
1hora=3600s 
Temperatura: SI= Kelvin “K” (escala absoluta) 
Conversão: TºC/5=TºF/9=TK/5 
Ângulo 
SI= radiano “rad” 
180º= π rad 
ESCALA 
A Escala é um recurso muito utilizado quando não conseguimos representar um elemento no 
papel ou em terceira dimensão em seu tamanho real (como uma planta arquitetônica ou um 
mapa, por exemplo). 
O cálculo da Escala dá-se da seguinte maneira: 
 
Observe abaixo, sabemos que a escala é uma informação necessária e importante em um mapa. 
 
 
 
Geralmente, ela está representada na parte inferior na ilustração. 
 
No caso do nosso exemplo, a escala é de 1:450000 (lê "Um por quatrocentos e cinquenta mil). 
Ou seja: 
Cada 1 cm da imagem impressa representa 450 mil centímetros na realidade; Cada centímetro 
representa 4500 metros; ou, ainda, cada centímetro equivale a 4,5 quilômetros! 
 
Você sabe qual a forma correta de encontrar a medida do comprimento real de um terreno? 
Resolução 
 
A escala da planta de um terreno é 1:3000. Sabendo que o comprimento está representado por 
um segmento de 3 cm, qual a medida do comprimento real deste terreno? 
Neste caso, temos: 
 
 
 
Para encontrar a medida do comprimento real deste terreno, deve-se utilizar a informação 
fornecida (medida no desenho é 3 cm) e encontrar uma razão equivalente à escala. 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
Resposta: A medida do comprimento real do terreno é de 9000 cm, ou seja, 90 metros. 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
Antes de finalizar, precisamos ainda falar sobre Porcentagem, tema recorrente para quem 
trabalha com mercado financeiro, já que é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, 
expressar índices inflacionários e deflacionários, além de prever descontos, aumentos, definir 
taxas de juros, entre outros benefícios para o âmbito comercial. 
 
Porcentagem é a razão entre dois números, sendo o consequente igual a 100. 
 
Partindo de um número qualquer (representado por 'x'), temos que x% equivale à razão 
centesimal x/100. 
 
Portanto, utiliza-se o símbolo %, que significa por cento (ou divisão por cem). 
 
Atualmente, existem diversos sites que servem como verdadeiras calculadoras virtuais de 
porcentagem - o que facilita muito o processo no dia a dia. Mas, o ideal é que você saiba efetuar 
um cálculo de porcentagem sozinho, mesmo sem um computador por perto! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.profcardy.com/calculadoras/porcentagem.php
http://www.profcardy.com/calculadoras/porcentagem.php
1) Matemática Básica 
 
1.9) Proporção 
Sobre Proporção que é originária do latim “proportione”, a palavra Proporção representa a 
igualdade entre Razões. 
 
O matemático árabe Al-Kassadi foi quem empregou, pela primeira vez, o símbolo "..." para 
representar proporções. 
Mais à frente, por volta de 1537, o matemático italiano Niccolò Fontana (conhecido como 
Tartaglia) avançaria nos estudos das representações de Proporção. 
Usualmente, dizemos que números - representados aqui como a, b, c e d - formam uma 
proporção quando: 
 
Vale destacar que os Termos de Proporção (a, b, c e d) recebem nomes específicos: 
 
a e d EXTREMOS 
b e c MEIOS 
A seguir vamos entender melhor sobre a propriedade fundamental das proporções. 
É importante notar que, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
Tal preceito é representado da seguinte maneira: 
 
No exemplo a seguir, vamos verificar se as razões formam uma proporção. Essa verificação só é 
possível por meio da propriedade fundamental das proporções. 
 
 
O raciocínio é simples. Como o resultado final da multiplicação de 120 • 16 e, em seguida, de 48 • 
40 será o mesmo (ambos os cálculos totalizam 1920), podemos afirmar que as razões formam 
uma proporção. 
 
 
 
 
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/10#modal-id-01_proportione
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/10#modal-id-02_razoes
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/10#modal-id-03_niccolo
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/aluno/academico/curso/147266/655/rota/10#modal-id-04_equacao
Exemplo: Encontre o valor de x nas proporções. Considere que “o produto dos extremos 
é igual ao produto dos meios”. 
 
a) 2 = 5 
 x 10 
5 . x = 2 . 10 
5x = 20 
 x = 20 
 5 
 x = 4 
 
b) 1,5 = x 
 3 2 
3 . x = 2 . 1, 5 
3x = 3 
X= 3 
 3 
x = 1 
 
Exemplo: 
 
Escreva as razões, determine a proporção e encontre o valor de x no problema a seguir: 
A razão entre a altura de um prédio vertical e a medida de sua sombra, em determinada 
hora do dia, é de 15 para 5. Se a sombra medir 4 metros, qual é a altura do prédio? 
 
A fração das duas razões deve ser estruturada com a medida do prédio no numerador e a 
medida da sombra no denominador. O que queremos encontrar é a medida do prédio, que 
chamaremos de x, quando a sombra mede 4 m. 
15 = x 
 5 4 
5x = 60 
x= 60 
 5 
x = 12 m 
O prédio possui 12 metros de altura. 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Sabemos que a Regra de Três Simples é um processo prático de resolver problemas que 
envolvam quatro valores, dos quais um deles é desconhecido. 
Seu método de resolução é, essencialmente, organizar os dados em uma tabela por meio da 
separação das respectivas grandezas. 
Vamos observar um exemplo prático de aplicação da Regra de Três Simples! 
 
Regra de Três Simples 
 
João está viajando de carro nos Estados Unidos e precisa percorrer 92 milhas para chegar ao 
próximo destino. Sabendo que 1 milha corresponde 1,6 km, quantos km ele precisa 
percorrer? 
 
Vamos representar as informações na planilha: 
Milhas Km 
1 1,6 
92 X 
 
Para obter o resultado, vamos utilizar o seguinte cálculo: 
 
Então, temos que: 
 
 
 
 
1) Matemática Básica 
 
1.10) Regra de Sociedade 
A Regra de Sociedade para entender melhor o tema, acompanhe o exemplo abaixo: 
 
 
Imagine a seguinte situação: Você e mais dois colegas corretores vão dividir três mil e oitocentos 
reais, uma quantia referente à comissão sobre a venda de um imóvel. 
 
 
Ora, para determinar a quantia que cabe a cada um, basta dividi-la igualmente entre os três, 
certo? Mas...E se o tempo dedicado por cada corretor for diferente? 
 
Então, um critério “mais justo” seria uma divisão diretamente proporcional ao tempo dedicado 
por cada corretor, ou ainda, uma divisão inversamente proporcional à quantidade de faltas de 
cada corretor no período. 
 
 
Este é o princípio da Divisão Proporcional, bem útil em situações envolvendo a regra de 
sociedade, abordando as divisões de lucros, prejuízos, sociedade em investimentos, entre outras 
situações de repartição de capitais. 
 
 
 
 
 
 
 
Números Diretamente Proporcionais 
Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são diretamente proporcionais quando a 
igualdade entre as respectivas razões possuem o mesmo valor. 
 
Esse valor é chamado de coeficiente de proporcionalidade e é representado pela letra k. 
 
 
a) Definição: 
 
 
b) Propriedade: 
 
 
 
Agora, observe atentamente ao exemplo relacionado a números diretamente proporcionais. 
Nele são determinados os valores de x e y, sabendo que 6,8, 16 são diretamente proporcionais a 
30, x, y. 
 
Para encontrar o valor de x: 
 
Para encontrar o valor de y: 
 
Resposta: os valores de x e y são, respectivamente, 40 e 80. 
 
 
Números Inversamente Proporcionais 
Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são inversamente proporcionais quando um 
número está para o inverso do outro e a igualdade entre as respectivas razões possuem o 
mesmo valor. Esse valor é chamado de coeficiente de proporcionalidade e é representado pela 
letra k. Observe na definição: 
 
Propriedade: 
 
 
 
Vamos observar um exemplo envolvendo números inversamente proporcionais. 
 
Conhecimento 
 
Objetivo: Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a: 3, 5 e 6. 
 
 
 
 
 
Para encontrar o valor de a) 
 
 
 
 
Para encontrar o valor de b) 
 
 
 
Para encontrar o valor de c) 
 
 
 
 
Resposta: os valores a, b, c são respectivamente: 100, 60 e 50 
 
 
Antes de finalizar a unidade, que tal observarmos a resolução daquele problema lá do início, 
sobre a divisão proporcional da quantia aos três corretores?! 
Resolução 
 
Os três corretores deverão dividir R$ 3800,00, quantia referente à comissão sobre a venda de um 
imóvel. Precisamos determinar a quantia que cada um receberá, sabendo que o tempo dedicado 
de cada um a essa venda foram, respectivamente: 2, 3 e 5 meses. 
 
Para resolver, basta dividir a comissão em partes diretamente proporcionais ao tempo dedicado 
por cada corretor, pois quanto maior a dedicação, maior a comissão. 
 
 
 
Pela Propriedade: 
 
 
 
 
Para encontrar o valor de a) 
 
 
 
Para encontrar o valor de b) 
 
 
Para encontrar o valor de c) 
 
 
Resolução 
 
Portanto, a divisão se dará da seguinte forma: 
Corretor A, com 2 meses de dedicação → R$ 760,00; 
Corretor B, com 3 meses de dedicação → R$ 1140,00; 
Corretor C, com 5 meses de dedicação → R$ 1900,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Matemática Básica 
 
1.11) QUIS (Exercícios) 
 
1) Qual é o resultado da operação 5,69 + 3,81 = 9,50 
 
 
2) Resolva a equação 6x – 10 = 2x + 6 
 
 6x – 2x = 10 + 6 
 4x = 16 
 x = 16 
 x = 4 
 
 
3) Calcule a raiz quadrada de 144 ? 
 
Resposta é porque 122 = 12•12 = 144 
 
 
 
4) O Cálculo de 2 elevado a 8 é ? 
 
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Operações Sobre Mercadorias 
 
2.1) Porcentagem 
Vamos aprofundar nosso conhecimento sobre um cálculo muito comum em qualquer atividade 
financeira: a Porcentagem. 
 
Porcentagem é a razão entre duas quantidades, cujo denominador é 100 (cem). Seu símbolo: %. 
 
 
A seguir, você poderá conhecer três casos distintos envolvendo porcentagem. Vale observar que, 
para cada um deles, são apresentadas três maneiras diferentes de resolução! 
 
1º Caso: Quanto é 55% de R$ 1.600,00 ? 
1ª resolução: 
 
 
 
2ª resolução: 
 
 
 
3ª resolução: 
 
 
 
Resposta: 55% de R$ 1600,00 é R$ 880,00. 
 
 
2º Caso: 80% de quanto é R$ 900,00 ? 
 
1ª resolução: 
 
 
 
2ª resolução: 
 
 
 
3ª resolução: 
 
 
Resposta: 80% de R$ 1125,00 é R$ 900,00. 
 
 
 
3º Caso: R$ 650,00 é quanto por cento de R$ 2600,00? 
 
1ª resolução: 
 
 
Resposta: R$ 650,00 é 25% de R$ 2600,00. 
 
 
Cálculos de porcentagem são estritamente essenciais para a Matemática Financeira, pois 
conferem suporte aos incontáveis processos e movimentos financeiros, bem como auxiliam na 
representação do mercado de ações ligados às operações de compra e venda. 
 
Além disso, elas são a base para a elaboração de gráficos comparativos, qualitativos e 
quantitativos, e para a constituição de alíquotas de diversos impostos que precisamos declarar 
anualmente para não sermos abocanhados todos os anos pelo leão! 
 
 
 
2) Operações Sobre Mercadorias 
 
2.2) Desconto e Acréscimo 
 
Vamos aprender um pouco mais sobre outro tema fundamental para ampliarmos nossa bagagem 
de conhecimentos: Desconto e Acréscimo. 
 
 
 
No universo imobiliário, dificilmente veremos uma imagem como esta, recorrente no comércio 
varejista, que estampa uma porcentagem tão elevada de desconto para atrair o consumidor. 
 
a) Uma mercadoria tem um desconto de 14%(Off) sobre o valor de R$ 1.200,00 = R$ 168,00 
 
 R$ 1.200,00 - R$ 168,00 = R$ 1.032,00 resposta da mercadoria com desconto 
 
 
 
b) Mais existe uma fórmula mais direta de realizar este cálculo: 
 
Sabemos que o valor a ser ajustado corresponde a 100% e neste caso ele sofrerá um reajuste de 
14%. Desta forma o novo valor corresponderá a 86%: 86: 100 = 0,86 (fator de desconto), logo 
teremos: 
 
 R$ 1.200,00 x 0,86 = R$ 1.032,00 resposta da mercadoria com desconto 
 
 
 
 
 
 
Com os acréscimos, a história é um pouco diferente: geralmente, uma porcentagem de juros 
aplicada sobre um produto parcelado, por exemplo, é aquela informação minúscula, quase 
ilegível, no final do panfleto ou anúncio: são as famosas jogadas comerciais! 
Observe o problema prático a seguir, onde é apresentada uma situação de aumento e desconto 
em uma operação financeira: 
Um imóvel à venda tem seu valor anunciado por R$ 250.000,00. Devido às circunstâncias do 
mercado imobiliário, o valor de venda sofrerá um acréscimo de 20%. 
 
Qual será o novo valor de venda desse imóvel? 
 
Podemos resolver o problema por meio de dois métodos distintos: a Regra de Três e o Fator de 
Multiplicação. 
 
 
a) Pela Regra de Três, temos: 
 
 
Assim o acréscimo será de R$ 50.000,00 
Valor Venda do imóvel = (R$ 250.000,00) 
+ acréscimo = (R$ 50.000,00) 
Total é = R$ 300.000,00. 
 
Resposta: O valor de venda do imóvel é de R$ 300.000,00 
 
b) Pelo Fator de Multiplicação, temos: 
O valor anunciado correspondente a 100% sofrerá um acréscimo de 20%. Dessa forma, o novo 
valor corresponderá a 120% (100% + 20%). 
Como 120% = = 1,2 → que o fator de aumento. 
 
Assim, o valor de venda desse imóvel será: 250.000 • 1,2 = 300.000 
 
Resposta: o valor da venda do imóvel será de R$ 300.000,00. 
 
 
 
 
2) Operações Sobre Mercadorias 
2.3) Lucro e Prejuízo 
 
Vamos falar sobre Lucro e Prejuízo. Quando falamos de lucro, a regra é clara: 
 
 
Para fazer um bom negócio em uma operação comercial, é necessário que o preço de venda 
supere o preço de compra. 
 
 
Portanto, caso o preço de uma compra supere o preço de venda, podemos afirmar que houve 
prejuízo na operação comercial. 
 
Na tabela a seguir, você conhecerá as variáveis utilizadas nas relações de lucro e prejuízo e 
como são representadas: 
 
VARIÁVEIS COMO SÃO REPRESENTADAS 
Preço de Custo PC 
Preço de Venda PV 
Lucro (PV – PC) L 
Prejuízo (PC – PV) P 
Taxa de Lucro/Prejuízo i 
 
 
Você sabe o que é lucro? 
 
O lucro, em uma operação comercial, ocorre quando o preço de venda é maior que o preço de 
custo. 
 
Determinar o lucro é muito simples: basta calcular a diferença entre o preço de venda e o preço 
de custo. Observe o cálculo: 
 
PV > PC → L = PV – PC 
 
 
a) LUCRO: 
Um determinado imóvel foi vendido por R$ 210.000,00. Sabendo que ele havia sido adquirido por 
R$ 180.000,00, a transação representa uma situação de lucro ou prejuízo ? De quanto ? 
 
PV = 210.000 
PC = 180.000 
 
Calculamos: 
PV > PC → LUCROM 
L = PV – PC 
 
L = 210.000 – 180.000 
L = 30.000 
 
Resposta: a venda do imóvel representa uma situação de lucro de R$ 30.000,00. 
 
 
 
Você sabe calcular o lucro sobre o preço de custo? É relativamente simples. Vamos lá: 
 
Para determinar a taxa de lucro sobre o preço de custo, basta calcular a razão entre o lucro e o 
preço de custo. 
 
O resultado obtido é multiplicado por 100 e é representado em porcentagem (%). Como o lucro é 
a diferença entre os preços de venda e de custo, temos: 
 
 
b) LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO: 
Um determinado imóvel foi vendido porR$ 210.000,00. Sabendo que ele havia sido adquirido por 
R$ 180000,00, qual a taxa de lucro sobre o preço de custo? 
Temos novamente: 
 
PV = 210.000 
PC = 180.000 
 
 
Resolvemos o cálculo: 
 
 
Resposta: a taxa de lucro sobre o preço de custo foi de 16,67%. 
É hora de aprender como determinar a taxa do lucro sobre o preço de venda: 
Para determinar a taxa de lucro sobre o preço de venda, basta calcular a razão entre o lucro e 
o preço de venda. 
 
Novamente, o resultado obtido é multiplicado por 100 e é representado em porcentagem (%). 
Como o lucro é a diferença entre os preços de venda e de custo, nesse caso temos: 
 
 
Um determinado imóvel foi vendido por R$ 210.000,00. Sabendo que ele havia sido adquirido por 
R$ 180.000,00, qual a taxa de lucro sobre o preço de venda? 
 
Como já sabemos: 
 
PV = 210.000 
PC = 180.000 
 
 
 
Resolvemos: 
 
 
 
Resposta: a taxa de lucro sobre o preço de venda foi de 14,29%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você sabe o que é Prejuízo? 
 
Vamos aprender sobre algo que nem todo mundo gosta de fazer, mas é necessário: calcular o 
prejuízo! Por definição, temos que: 
 
 
O prejuízo, em uma operação comercial, ocorre quando o preço de custo é maior que o preço de 
venda. 
 
 
Para determinar esse prejuízo, basta calcular a diferença entre o preço de custo e o preço de 
venda. Usamos a fórmula: 
 
PC > PV → P = PC – PV 
 
 
a) Taxa de Prejuízo – Preço de Custo: 
 
Na situação anterior, um determinado imóvel foi vendido por R$ 168.000,00. Sabendo que ele 
havia sido adquirido por R$ 210.000,00, qual a taxa de prejuízo sobre o 
preço de custo? 
 
Temos novamente: 
PV = 168.000 
PC = 210.000 
 
 
 
Calculamos: 
 
 
Resposta: a taxa de prejuízo sobre o preço de custo foi de 20%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Taxa de Prejuízo – Preço de Venda: 
 
 
Para finalizar, vamos observar o conceito e uma aplicação prática relacionada ao prejuízo sobre 
o preço de venda. 
 
Para determinar a taxa de prejuízo sobre o preço de venda, basta calcular a razão entre o 
prejuízo e o preço de venda. 
 
Como já sabemos: o resultado obtido é multiplicado por 100 e é representado em porcentagem 
(%). Como o prejuízo é a diferença entre os preços de venda e de custo, nesse caso temos: 
 
 
Ainda falando da situação anterior, um determinado imóvel foi vendido por R$ 168.000,00. 
Sabendo que ele havia sido adquirido por R$ 210.000,00, qual a taxa de prejuízo sobre o preço 
de venda? 
Repetimos: 
PV = 168.000 
PC = 210.000 
 
 
Calculamos: 
 
 
Resposta: a taxa de prejuízo sobre o preço de venda foi de 25%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Operações Sobre Mercadorias 
 
2.4) Acréscimos e Descontos Sucessivos 
Conhecer grande parte das operações matemáticas financeiras é estar preparado para realizar 
cálculos que envolvem acréscimos e descontos sucessivos. 
 
E é justamente sobre esta característica tão presente em diversas situações - principalmente por 
conta da crescente alta da inflação, em que produtos e serviços aumentam de forma mais 
acelerada - que trata esta nossa Unidade de Estudo! 
 
O Acréscimo e/ou Desconto Sucessivo, como o nome já anuncia, trata da variação de mais de 
um acréscimo ou desconto sobre valores já incididos anteriormente, obtidos de outras aplicações. 
 
 
Exemplo de Acréscimo e Desconto Sucessivo: 
O valor de venda de um imóvel anteriormente de R$ 300.000,00 foi reajustado em 15% passando 
a custar R$ 345.000,00. Seis meses mais tarde, ele sofreu uma nova alteração um aumento de 
10%. Na Regra do Acréscimo Sucessivo, este novo aumento de 10% é calculado sobre o novo 
acréscimo, ou seja, sobre os R$ 345.000,00 e não sobre aqueles R$ 300.000,00 iniciais. 
 
Acréscimo Sucessivo: Calculado sobre o novo valor, já atualizado após último acréscimo ou 
abatimento. 
 
Parece uma regra simples, mas trata-se de um equívoco muito comum em operações comerciais. 
O novo valor do imóvel após o segundo acréscimo passou a ser de R$ 379.500,00 
 
 
A mesma regra pode ser aplicada para os descontos sucessivos, ou seja, passados outros seis 
meses, o valor daquele nosso imóvel, sofreu abatimento de 25% será que ele voltou a custar os 
R$ 300.000,00 iniciais? 
 
Desconto Sucessivo: Calculado sobre o novo valor, já atualizado após último acréscimo ou 
abatimento. 
 
É evidente que não! Já que o desconto também é aplicado sobre o valor atual de R$ 379.500,00, 
portanto ao abatermos 25% sobre este valor, o imóvel passará a custar R$ 284.625,00. 
 
 
Sobre a Taxa Única de Acréscimo e Desconto, podemos afirmar que um produto pode sofrer: 
• um acréscimo após o outro; 
• um desconto após o outro; 
• acréscimos e descontos sucessivos em uma operação comercial. 
O valor final será o produto entre o valor inicial e os fatores (acréscimo e/ou desconto). Observe a 
representação: 
 
 
 
Conhecimento 
 
Um imóvel sofreu alteração de valor nos últimos 3 meses. No primeiro mês, sofreu um aumento 
de 6%, no segundo, mais um aumento de 8%, no terceiro mês, um desconto de 5%. 
 
Se, antes dessas operações, o valor do imóvel era R$ 300.000,00, qual o valor dele depois 
desses 3 meses? Para resolver, basta identificar corretamente os dados. Confira a seguir. 
 
VI = R$ 300000,00 → valor inicial do imóvel 
f1 = 1,06 → fator de aumento no 1º mês 
f2 = 1,08 → fator de aumento no 2º mês 
f3 = 0,95 → fator de desconto no 3º mês (Cuidado, pois aqui é o desconto) 
 
 
Assim: 
VF = 300000 • 1,06 • 1,08 • 0,95 
VF = 326268,00 
 
 
Resposta: depois de 3 meses o valor do imóvel será de R$ 326.268,00 
 
 
Exemplo: No mês de Janeiro, Juliana ganhava um Salário de R$ 600,00 
Nos meses de janeiro (5%) março (8%) e abril (4%) seu salário foi aumentado 
 
Quantos reais a Juliana passou a ganhar no mês de Abril ? 
FEVEREIRO: 
VFev = 600 + 5% 
VFev = 630 
 
MARÇO: 
VFev = 630 + 8% 
VMar = 680,40 
 
ABRIL: 
VMar = 680,40 + 4% 
VMar = 680,40 + 27,22 
VAbr = 707,62 
 
 
 
 
Aumentos e Descontos 
 
Exemplo 1 
 
 
Uma mercadoria que custava R$ 450,00 reais sofreu um reajuste de 15% de acordo com 
a inflação do período. Qual é o seu preço atual? 
 
Podemos determinar 15% de R$ 450 = R$ 67,50 e somar o valor a R$ 450, obtendo R$ 
517,50. Mas também podemos utilizar uma forma mais direta de cálculo, observe: 
 
Sabemos que o valor a ser reajustado corresponde a 100% e, na situação, sofrerá um 
reajuste de 15%, dessa forma, o novo valor corresponderá a 115% ou 115/100 = 1,15. 
Assim, podemos realizar a seguinte multiplicação: R$ 450,00 * 1,15 = R$ 517,50. O valor 
1,15 corresponde ao fator de reajuste referente a 15%. 
 
Observe a tabela a seguir, ela demonstrará alguns fatores de aumento e desconto. 
 
 
Aumento 
 
 
 
Desconto 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Uma loja de eletrodomésticos está oferecendo um desconto de 14% nas compras feitas 
com pagamento à vista. Qual o valor de uma geladeira de R$ 1.200,00 na promoção 
oferecida? 
 
100% – 14% = 100/100 – 14/100 = 1 – 0,14 = 0,86 (fator de desconto) 
 
R$ 1.200,00 * 0,86 = R$ 1.032,00 
 
Portanto, o preço da geladeira na promoção será de R$ 1.032,00. 
 
Outro Exemplo: - O preço de um imóvel sofreu duas valorizações seguidas 10% no 1º ano e 
20% no 2º ano. Calcule o percentual desse imóvel após os dois anos. 
Explicação passo-a-passo: Chamamos por x o preço inicial do imóvel. 
No 1° ano, ele aumentou em 10%. Sabemos que 10% de x é igual a 0,10·x. Logo: 
x + 0,10x = 1,10x 
1,10x é o preço do imóvel no fim do 1° ano. 
No 2° ano, ele sofreu um aumento de 20%. Então, calculemos quanto é 20% de 1,10x. 
0,20·1,10x = 0,22x 
Logo, o novo preço do imóvel é: 
1,10x + 0,22x =1,32x 
1,32x é o preço do imóvel no fim do 2° ano. 
1,32x - x = 0,32 ⇒ 32% 
Resposta: - Portanto, o percentual de aumento desse imóvel após os dois anos foi de 32%. 
 
Outro Exemplo: - Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a variações 
no mercado, seu preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custarR$ 
225,00. O preço desse produto, antes do aumento, era, em reais: 
a) 225,00 
b) 240,00 
c) 260,00 
d) 300,00 
Resposta: 
 
Observe um problema simples de acréscimo percentual: 
 
1) Um reajuste inflacionário de 25% alterou o preço de uma mercadoria que custava R$70,00. 
Qual é o preço do produto após o aumento? 
Relembrando conceitos de porcentagem, obtemos que 25% = 0,25. Sabendo que o valor do 
produto em decimas é igual a 0,100, podemos afirmar que acrescentar 25% do valor é somar 
0,100 e 0,25. Ou seja, o valor final é 1,25. 
70 * 1,25 = 87,50 
O valor do produto após o ajuste inflacionário é R$87,50. 
 
Agora precisamos compreender como funcionam aumentos e descontos sucessivos, ou seja, 
quando existe mais de um ajuste percentual em cima de um valor. 
 
Veja um exemplo: 
 
Um certo produto era vendido a R$50,00 e, com a chegada das festas de final de ano, sofreu um 
acréscimo de 20%. Porém, após as festividades nem todo o estoque foi vendido e o dono da loja 
resolveu abater o preço em 25%. Qual o valor do produto após as festividades? 
Muitas pessoas se confundem na hora de resolver questões como essa e pensam que subtrair 
uma porcentagem por outra e aplicar o valor no preço do produto é a forma certa de resolvê-lo. 
Mas, na verdade, precisamos multiplicar as duas porcentagens para obter a porcentagem final. 
Acrescentar 20% é igual a multiplicar 1,20 ao valor do produto, e descontar 25% seria multiplicar 
0,75 ao valor do produto. Conhecendo as porcentagens, devemos multiplicá-las e depois 
multiplicar ao resultado ao valor do produto. 
1,2 * 0,75 = 0,9 
50 * 0,9 = 45 
Ou seja, o valor final do produto foi R$45,00. 
 
Exercícios Resolvidos: 
1) A proprietária de uma loja de produtos importados, devido a instabilidade cambial e a escassez 
de mercadorias, realizou quatro acréscimos sucessivos de 5%, 6%, 3% 9%, respectivamente 
sobre cada produto. Se fosse realizar um único acréscimo aos produtos, equivalente a esses 
quatro acréscimos, qual seria a porcentagem? 
5% = 1,05 / 6% = 1,06 / 3% = 1,03 / 9% = 1,09 
1, 05 * 1,06 * 1,03 * 1,09 = acréscimo total ao produto 
O acréscimo total é igual a 1,2495, ou seja, aproximadamente 25%. 
2) Um veículo novo custa R$ 30.000,00 e sofre depreciações de 20% e 15% nos dois primeiros 
anos. Qual o valor do veículo após a depreciação? 
Descontos de 20% e 15% = 0,8 e 0,85 
0,8 * 0,85 = 0,68 
30.000 * 0,68 = 20.400 
O valor do carro após dois anos é R$20,400. 
3) Um comerciante realizou em um mês dois aumentos sucessivos em uma mercadoria. Em 
um primeiro momento aumentou 7% e após 10 dias aumentou 12%. De quantos por centos foi o 
aumento? Se o produto antes dos aumentos custava R$ 12,50, quanto passou a custar depois 
dos dois aumentos? 
Aumentos de 7% e 12% = 1,07 e 1,12 
1,07 * 1,12 = 1,1984 
1,1984 * 12,50 = 14,98 
O valor total dos aumentos é aproximadamente 20% e o produto passou a custar R$14,98. 
 
 
 
 
Acréscimos / Aumentos com porcentagens 
 
Vamos estudar agora qual o cálculo que devemos fazer para realizar um aumento (ou acréscimo) 
utilizando porcentagens. 
 
Dedução através de exemplo 
 
Um produto de R$ 550 sofreu um aumento de 22%. Quanto passou a custar? 
 
Valor após aumento = R$ 550 + 22% de R$ 550 
 
Valor após aumento = 550 + 0,22 . 550 
 
Colocando 550 em evidência (fator comum): 
 
550 . ( 1 + 0,22 ) = 550 . 1,22 = R$ 671 
 
Portanto, podemos concluir que a fórmula é: 
 
Valor após aumento = Valor inicial . (1 + %) 
 
Exemplo 1 
 
Um produto custa R$ 530,00 e sofrerá um aumento de 8,5%. Quanto passará a custar? 
 
Resolução 
 
Transformando a porcentagem em decimal: 8,5% = 0,085 
 
Valor após aumento = valor inicial . (1 + %) 
 
Valor final = 530 . (1 + 0,085) = 530 . 1,085 = R$ 575,05 
Exemplo 3 
 
Um produto, após um aumento de 15%, passou a custar R$ 112,93. Qual era o valor antes do 
aumento? 
 
Resolução 
 
112,93=𝑥.(1+0,15) 
 
112,93=𝑥.1,15 
 
𝑥=112,93/1,15=𝑹$ 𝟗𝟖,𝟐𝟎 
 
Exemplo 2 
 
Um produto custava R$ 320,00 e, após um aumento, passou a custar R$ 347,20. Qual foi o 
percentual do aumento? 
 
Resolução 
 
347,20=320,00.(1+𝑥) 
 
347,20/320,00=1+𝑥 
 
1,085=1+𝑥 
 
𝑥=1,085−1 
 
𝑥=0,085 
 
Ou seja: o aumento foi de 8,5% 
 
 
 
 
 
Decréscimos / Descontos com porcentagens 
 
Vamos estudar agora qual o cálculo que devemos fazer para realizar um desconto (ou 
decréscimo) utilizando porcentagens. 
 
Dedução através de exemplo 
 
Um produto de R$ 550 sofreu um desconto de 22%. Quanto passou a custar? 
 
Valor após desconto = R$ 550 – 22% de R$ 550 
 
alor após desconto = 550 – 0,22 . 550 
 
Colocando 550 em evidência (fator comum): 
 
550 . ( 1 – 0,22 ) = 550 . 0,78 = R$ 429 
 
Portanto, podemos concluir que a fórmula é: 
 
Valor após desconto = Valor inicial . (1 - %) 
 
Exemplo 4 
 
Um produto custa R$ 240,00 e será oferecido com um desconto de 15%. Quanto passará a 
custar? 
 
Resolução 
 
Transformando a porcentagem em decimal: 15% = 0,15 
 
Valor após desconto = valor inicial . (1 - %) 
 
Valor final = 240 . (1 - 0,15) = 240 . 0,85 = R$ 204,00 
 
Exemplo 5 
 
Um produto custava R$ 480,00 e, após um desconto, passou a custar R$ 420,48. Qual foi o 
percentual do desconto? 
 
Resolução 
 
420,48=480,00.(1−𝑥) 
 
420,48/480,00=1−𝑥 
 
0,876=1−𝑥 
https://youtu.be/7oVDZ_t7s6o
https://youtu.be/7oVDZ_t7s6o
 
𝑥=1−0,876 
 
𝑥=0,124 
 
Ou seja: o desconto foi de 12,4% 
 
Exemplo 6 
 
Um produto, após ter um desconto de 8%, passou a custar R$ 19.195,80. Qual era o valor antes 
do desconto ser dado? 
 
Resolução 
 
19195,80=𝑥.(1−0,08) 
 
19195,80=𝑥.0,92 
 
𝑥=19195,80/0,92=𝑹$ 𝟐𝟎.𝟖𝟔𝟓,𝟎𝟎 
 
 
 
 
QUIS (Exercícios) 
 
1) Porcentagem é a razão entre duas quantidades cujo denominador é: 
 Resposta: O denominador é 100 
 
 
2) Para obter lucro em uma operação comercial é necessário que: 
 Resposta: O preço de Venda supere e preço de Compra 
 
3) O prejuízo em uma operação comercial acontece quando: 
 Resposta: O preço de Custo é maior que o preço de Venda 
 
4) O que é Inflação? 
 Resposta: É um índice econômico que representa o aumento no nível de 
preços. 
 
3) Capitalização Simples e Composta 
 
3.1) Capitalização Simples 
Nesta Unidade estudaremos as Aplicações da Capitalização Simples e Composta. Nesta primeira 
Unidade de Estudo vamos aprender um pouco mais sobre a Capitalização Simples. 
https://youtu.be/qh6PeeeXG5c
https://youtu.be/qh6PeeeXG5c
A utilização do regime de juros simples é muito rara. O juro é calculado sempre sobre o capital 
inicial, ou seja, para cada período de tempo é acrescentado sempre o mesmo valor. 
Taxa de Juro 
 
Juro é o rendimento de uma aplicação após certo período ou, ainda, o quanto aumentou uma 
dívida. É representado em unidade monetária. 
A soma do Capital com o Juro é chamada Montante. 
M = C + J → J = M – C 
 
 
A Taxa de Juros é a Representação da razão entre o Juro e o Capital. É um valor de 
rendimento de uma aplicação ou de correção de uma dívida e pode ser representada na forma 
percentual ou unitária. Assim: 
 
 
Exemplo: Qual é a taxa de juros num empréstimo de R$ 100,00 a ser resgatado por R$ 140,00 
no final de um período anual, temos: 
 
 Capital Final: R$ 140,00 
( - ) Capital Inicial: R$ 100,00 
 Juros: R$ 40,00 
 
Taxa = R$ 40,00 = 0,40 (ou 40% a.a) 
 100 
 
 
Observe algumas relações entre taxa de juros em suas duas formas de representação: 
 
Forma percentual Forma unitária 
0,7% ao dia ou 0,7% a.d. 0,007 ao dia ou 0,007 a.d. 
1,5% ao mês ou 1,5% a.m. 0,015 ao mês ou 0,015 a.m. 
21,3% ao bimestre ou 21,3% a.b. 0,213 ao bimestre ou 0,213 a.b. 
39,9% ao trimestre ou 39,9% a.t. 0,399 ao trimestre ou 0,399 a.t. 
91,2% ao semestre ou 91,2% a.s. 0,912 ao semestre ou 0,912 a.s. 
146,8% ao ano ou 146,8% a.a.1,468 ao ano ou 1,468 a.a. 
Veja como é a relação entre essas duas formas: 
 
 
Exemplo: 
- Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de R$ 1.600,00 a ser resgatado por R$ 
2.000,00? Lembre-se que a taxa de juros é a razão entre o juro e o capital. No exemplo, tem-se: 
 
 
C = 1600 
M = 2000 
i = ? 
 
 
Para calcular o juro: 
J = M – C 
J = 2000 – 1600 
J = 400 
 
 
Assim temos: 
 
 
Resposta: a taxa de juros cobrada é de 25%. 
 
 
A Taxa Exata é a taxa de juros que considera os dias conforme o calendário anual, ou seja, 365 
ou 366 dias no ano e 28, 29, 30 ou 31 dias no mês. 
 
A Taxa Comercial é a convenção usada nas operações comerciais, ou seja, meses de 30 dias 
e anos de 360 dias. 
 
 
 
 
 
 
Taxas Proporcionais 
 
Para as situações que envolvem o regime de juros simples, a taxa e o período devem estar na 
mesma unidade. 
Quando isso não acontece, é necessário converter um deles. Assim, ambos apresentarão a 
mesma unidade de tempo. Pode-se fazer essa conversão por meio da seguinte relação: 
 
 
Taxa Mensal: 
Calcule a taxa mensal proporcional a 16% ao ano. 
Como 1 ano corresponde ao período de 12 meses, temos: 
 
 
 
 
 
Taxa Semestral: 
 
Calcule a taxa semestral proporcional a 6,5% ao mês. 
Como 1 semestre corresponde ao período de 6 meses, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Na tabela abaixo, é possível analisar algumas taxas proporcionais: 
 
Ano comercial ao dia ao mês ao bimestre ao trimestre ao semestre 
18% a.a. 0,05% a.d. 1.5% a.m. 3% a.b. 4,5% a.t. 9% a.s. 
54% a.a. 0,15% a.d. 4.5% a.m. 9% a.b. 13,5% a.t. 27% a.s. 
 
 
 
 
 
 
Juros Simples 
 
Neste regime, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial, ou seja, a cada período “soma-se” 
sempre o mesmo valor. 
Assim, considerando um capital C aplicado a juros simples i, durante n períodos de tempo, 
temos: 
 
Juros após 1 período → J1 = 1 • C • i 
Juros após 2 períodos → J2 = C • i + C • i = 2 • C • i 
Juros após 3 períodos → J3 = C • i + C • i + C • i = 3 • C • i 
... 
Juros após n períodos → Jn = C • i + ... + C • i = n • C • i 
 
Portanto: J = C • i • n 
 
Montante 
 
O montante de um investimento (ou de um empréstimo) é a soma do capital com o juro obtido 
pela aplicação (ou pago pelo empréstimo), ou seja: 
 
M = C + J 
 
Nas situações que envolvem o montante, temos a seguinte representação: 
 
M = C + J → M = C + C • i • n 
M = C (1 + i • n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você poderá visualizar 4 exemplos de questões resolvidas com a utilização de montante. 
 
Exemplo 1) : Calcule o valor dos juros ganhos sobre um capital de R$ 4.500,00, aplicado por 
um ano, a uma taxa simples de 25% a.a. Temos: 
 
J = ? 
C = 4500 
n = 1 ano 
i = 25% a.a. = 0,25 
 
 
J = C • i • n 
J = 4500 • 0,25 • 1 
J = 1125 
 
 
Para calcular o juro: 
J = M – C 
J = 2000 – 1600 
J = 400 
 
Resposta: o valor correspondente aos juros é de R$ 1.125,00. 
 
 
 
Exemplo 2) : Qual é a taxa simples que transforma R$ 8.500,00 em um montante de R$ 
13.600,00 em um ano? Dados: 
i = ? 
C = 8500 
M = 13600 
n = 1 ano 
 
M = C(1 + i • n) 
13600 = 8500(1 + i • 1) 
13600 = 8500(1 + i) 
13600 : 8500 = 1 + i 
1,60 = 1 + i 
1,60 – 1 = i 
0,60 = i 
i = 60% a.a. 
 
Resposta: a taxa correspondente é de 60% ao ano. 
 
 
 
 
 
Exemplo 3) : Determine os juros a serem recebidos pela aplicação, a uma taxa de 24% a.a., de 
um capital de R$ 8.200,00, durante 8 meses. Dados: 
J = ? 
i = 24% a.a. = 0,24 
C = 8200,00 
n = 8 meses 
 
A taxa e tempo não apresentam a mesma unidade de tempo. Antes de efetuar o cálculo é 
necessário converter um deles. Como 1 ano tem 12 meses, terá que dividir por 12, ou seja: 
 
i = 24% a.a. = 0,24 a.a. = (0,24 ÷ 12) a.m. = 0,02 ao mês. 
 
Assim: 
 
J = C • i • n 
J = 8200 • 0,02 • 8 
J = 1312 
 
Resposta: os juros a serem recebidos são iguais a R$ 1.312,00. 
 
 
Exemplo 4) : Um cliente aplicou certa quantia em um fundo de investimento em ações. Após 7 
meses resgatou todo o valor investido e percebeu que sua aplicação dobrou. Qual a rentabilidade 
média ao mês que este fundo rendeu? Dados: 
 
C = x (o valor aplicado não foi fornecido) 
n = 6 meses 
M = 2x (resgatou o dobro do valor x aplicado) 
i = ? 
 
Assim: 
J = M – C 
J = 2x – x 
J = x 
 
 
Logo: 
J = C • i • n 
x = x • i • 7 
x : x = i • 7 
1 = i • 7 
1 : 7 = i 
0,142857... = i 
 
Resposta: a rentabilidade média foi de 14,29% ao mês. 
 
 
 
Exemplo da Videoaula: 
 
Vamos observar a Taxa de Juros cobrada num empréstimo de R$ 100,00 a ser resgatado por R$ 
140,00 num final de um período anual, para isso: 
 
 Capital Final: R$ 140,00 - 
Capital Inicial: R$ 100,00 
Juros R$ 40,00 
 
 
Taxa = R$ 40,00 = 0,40 (ou 40% a.a) 
 100 
 
 
Já que a Taxa de Juro é representada em percentual e em base unitária. 
Neste caso, portanto, a taxa anual é de 40% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Capitalização Simples e Composta 
 
3.2) Desconto Simples 
O tema desta unidade é Desconto Simples. Em uma operação financeira, conceder desconto 
nada mais é do que trazer para um valor presente um valor futuro. 
 
Quando o pagamento de um título de crédito é antecipado, um abatimento chamado de desconto 
é efetuado. 
 
O mesmo acontece para o resgate de uma aplicação financeira. Os títulos de crédito possuem 
datas de vencimento predeterminadas, mas o devedor tem o direito de antecipar o pagamento ou, 
em alguns casos, resgatar a aplicação. 
 
Na tabela a seguir, vamos revisar os termos mais comuns em operações de desconto: 
 
TERMO O que é? 
Dia do Vencimento Data estabelecida para vencimento do título. 
Tempo ou Prazo Quantidade de dias entre a data da negociação e o vencimento. 
Valor Nominal Valor indicado no título e que deve ser pago no dia do vencimento. 
Valor Atual Valor a ser pago ou recebido em data anterior ao vencimento. 
 
Termos Utilizados 
Juros simples Descontos simples 
Capital (Valor Atual) Valor Atual ou Valor líquido 
Montante (Valor Futuro) Valor Nominal ou Valor de Face 
O Desconto é a diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: 
o desconto comercial ou bancário (fora) e o desconto racional (dentro). 
 
DESCONTO COMERCIAL 
 
O desconto comercial, também chamado de desconto bancário ou desconto por fora, é o 
desconto mais comum e utilizado. É calculado sobre o valor nominal (valor de face ou valor 
futuro) do título. 
 
Considere Dc o Desconto comercial, A o Valor Atual ou Valor Líquido, N o Valor Nominal ou Valor 
de Face, i a taxa de desconto e n o tempo de antecipação. Para calcular o valor do desconto 
temos: 
Dc = N • i • n 
 
Como o Desconto é a diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual (D = N – A), para 
calcular o Valor Atual tem-se: 
Dc = N • i • n → N – A = N • i • n → A = N – N • i • n → A = N • (1 – i • n) 
 
Fórmula do Valor Atual é A = N • (1 – i • n) ou A = N – Dc ou Dc = N – A 
 
 
 
Exemplo de desconto comercial: 
 
Um título com o valor nominal de R$ 200.000,00 vai ter desconto à taxa de 6% ao 
mês. Faltando 90 dias para o vencimento do título, calcule o valor do desconto 
comercial e o valor atual comercial. Temos os seguintes dados: 
 
N = 200.000 
i = 6% a.m. = 0,06 (taxa de desconto) 
n = 90 dias = 3 meses (tempo de antecipação) 
Dc = ? 
A = ? 
 
 
Cálculo do desconto: 
Dc = N • i • n 
Dc = 200.000 • 0,06 • 3 
Dc = 36.000,00 
 
 
Cálculo do valor atual: 
A = N – Dc 
A = 200.000 – 36.000 
A = 164.000,00 
 
 
Resposta: o valor do desconto comercial é R$ 36.000,00 e o valor atual comercial é R$ 
164.000,00. 
 
 
 
Exemplo de desconto comercial da Videoaula: 
 
Um título com o valor nominal de R$ 120.000,00 vai ser descontado à taxa de 3% ao mês. 
Faltando 90 dias para o vencimento do título, calcule o valor do desconto comerciale o valor atual 
comercial. 
 
N = 120.000 
i = 3% a.m. = 0,03 (taxa de desconto) 
n = 90 dias = 3 meses (tempo de antecipação) 
Dc = ? 
A = ? 
 
Cálculo do desconto: 
Dc = N • i • n 
Dc = 120.000 • 0,03 • 3 
Dc = 10.800,00 
 
Cálculo do valor atual: 
A = N – Dc 
A = 120.000 – 10.800 
A = 109.200,00 
 
Resposta: o valor do desconto comercial é R$ 10.800,00 e o valor atual comercial é R$ 
109.200,00. 
 
Desconto Simples Exercícios Resolvidos 
01 – (FCC – TRE) Uma pessoa descontou um título, de valor nominal R$ 1.650,00, 20 meses 
antes de seu vencimento e recebeu a quantia de R$ 1.386,00. Se for utilizado o desconto simples 
comercial (desconto simples por fora), a taxa mensal de desconto foi de: 
 
Solução do exercício: 
A partir dos dados informados podemos calcular o valor do desconto, basta subtrair o valor 
nominal pelo valor atual. Com o valor do desconto podemos usar a fórmula do desconto simples 
comercial para calcular a taxa de desconto. Resposta é 0,08% a.m 
 
 
02 – (CESGRANRIO) Um título no valor de R$ 20.000,00, c/ vencimento para 90 dias, foi 
descontado a uma taxa de 4% ao mês (desconto simples). O valor do desconto, em reais: 
Solução do exercício: Não foi informado se é desconto simples comercial ou racional, então 
vou considerar como sendo comercial e se não tiver o resultado nas opções fazemos pelo 
racional. Foi informado todos os dados, basta aplicar a fórmula. A única observação é passar o 
prazo de dias para mês. A Resposta é referente ao desconto comercial: R$ 2.400,00 
 
 
03 – (FCC – SEAD) Um título de valor nominal R$ 500,00 foi descontado dois meses antes do 
vencimento, sendo de R$ 450, 00 o valor líquido recebido. Se o desconto utilizado foi o comercial 
simples (desconto simples por fora), a taxa de desconto utilizada foi de, a Resposta é de 5% 
Solução do exercício: vamos calcular o valor do desconto usando a fórmula geral do desconto – 
subtraindo o valor nominal do valor atual – e depois usamos a fórmula do desconto simples 
comercial para calcular a taxa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
04 – (FCC – SEFAZ) Um título é descontado em um banco 5 meses antes de seu vencimento 
com a utilização do desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 36% ao ano. Caso 
este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, também a uma 
taxa de desconto de 36% ao ano, o correspondente valor atual superaria o valor atual anterior em 
R$ 517,50. O valor do desconto apurado com a utilização da operação de desconto racional 
simples é. Resposta é R$ 3.450,00 
 
Solução do exercício: Para facilitar o entendimento, vou dividir a solução do exercício em partes. 
1º parte: Calcular o valor do desconto simples comercial e depois o valor atual comercial. 
 
 
2º parte: Calcular o valor do desconto simples racional e depois o valor atual racional. 
 
 
3º parte: essa parte exige a interpretação do trecho “o correspondente valor atual superaria o 
valor atual anterior em R$ 517,50”. Portanto, o valor atual racional é igual ao valor atual comercial 
mais 517,5. Vamos escrever essa equação e substituir com os valores calculados nas partes 1 e 
2. Ao final dessa etapa vamos encontrar o valor nominal do título. 
 
4º parte: o exercício pede o valor do desconto racional simples, portanto vamos calcular o valor 
atual racional e depois calculamos o valor do desconto racional. 
 
 
Pronto. Exercício resolvido. O valor do desconto simples racional é R$3.450,00. 
 
05 – (FCC – SABESP) Um título será descontado em um banco 4 meses antes de seu 
vencimento. Se for utilizada a operação de desconto racional simples, a uma taxa de desconto de 
24% ao ano, então o valor atual do título será de R$ 30.000,00. Se for utilizada a operação de 
desconto comercial simples, também a uma taxa de desconto de 24% ao ano, o correspondente 
valor do desconto será, em R$. A Resposta é R$ 2.592,00 
 
Solução do exercício: esse exercício requer duas etapas. 
1º etapa: vamos usar a fórmula do valor atual racional para calcular o valor nominal do título. 
 
 
 
2º etapa: agora calculamos o desconto simples comercial usando a fórmula. 
 
 
 
DESCONTO RACIONAL 
O desconto racional, também chamado de desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é 
pouco utilizado. É calculado sobre o valor atual (valor líquido) do título. 
 
Considere Dr o Desconto Racional, A o Valor Atual ou valor Líquido, N o Valor Nominal ou Valor 
de Face, i a taxa de desconto e n o tempo de antecipação. Para calcular o valor do desconto 
temos: 
Dr = A • i • n 
 
Como o Desconto é a diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual (D = N – A), para 
calcular o Valor Atual tem-se: 
 
 
Fórmula do Valor Atual é A = N 
 1 + i • n 
 
 
Exemplo de desconto racional: 
 
Um título com o valor nominal de R$ 200.000,00 vai ter desconto à taxa de 6% a.m. Faltando 90 
dias para o vencimento do título, calcule o valor do desconto racional e o valor atual racional. 
Temos os dados: 
 
N = 200.000 
i = 6% a.m. = 0,06 (taxa de desconto) 
n = 90 dias = 3 meses (tempo de antecipação) 
Dr = ? 
A = ? 
 
Para calcular o valor do desconto é necessário saber o Valor Atual, então: 
 
Cálculo do desconto: 
Dr = N – A 
Dr = 200.000 – 169.491,53 
Dr = 30.508,47 
 
Resposta: o valor do desconto racional é R$ 30.508,47 e o valor atual comercial é R$ 
169.491,53. 
 
 
Exemplo de desconto comercial da Videoaula: 
 
Um título com o valor nominal de R$ 120.000,00 vai ser descontado à taxa de 3% ao mês. 
Faltando 90 dias para o vencimento do título, calcule o valor do desconto racional e o valor atual 
racional. 
 
N = 120.000 
i = 3% a.m. = 0,03 (taxa de desconto) 
n = 90 dias = 3 meses (tempo de antecipação) 
Dr = ? 
A = ? 
 
 
Para calcular o valor do desconto é necessário saber o Valor Atual, então: 
 
 
A = N 
 1 + i • n 
 
 
A = 120.000 
 1 + 0,03 * 3 
 
 
A = 120.000 
 1 + 0,09 
 
 
A = 120.000 
 1,09 
 
 
A = 120.000 
 1,09 
 
A = 110.091,74 
 
 
Cálculo do desconto: 
Dr = A • i • n 
Dr = 120.000 – 110.091,74 
Dr = 9.908,26 
 
 
 
Resposta: o valor do desconto racional é R$ 9.908,26 e o valor atual comercial é R$ 
110.091,74 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE DESCONTO COMPOSTO 
 
 
Questão 1 (BNB – FGV). Um título de valor nominal R$ 8.800,00 é pago dois meses antes do 
vencimento com desconto comercial composto a uma taxa de 5% ao mês. O valor descontado é 
de: 
 
Resolução: Utilizando a fórmula de desconto comercial composto: 
 
A = N.(1 – i)n 
 
Onde: 
A = valor atual 
N = valor nominal 
A = N.(1 – i)n 
A = 8.800 . (1 – 0,05)² 
A = 8.800.0,95² 
A = 8.800.0,9025 
A = 7.942 
 
Resposta: É R$ 7.942,00 
 
 
Questão 2 (Banestes – FGV). Uma duplicata tem valor nominal de R$ 4.000,00 e vencerá daqui a 
dois meses. Se ela for descontada hoje pelas regras do desconto comercial composto, à taxa de 
desconto de 10% ao mês, o valor descontado será: 
 
Resolução: Podemos calcular o desconto comercial composto, através da fórmula: 
 
A = N.(1 – i)n 
Onde: 
A = valor atual 
N = valor nominal 
i = taxa 
n = prazo 
 
A = N.(1 – i)n 
A = 4000 . (1 – 0,1)² 
A = 4000 . 0,9² 
A = 4000 . 0,81 
A = 3240 
 
Resposta: É R$ 3.240,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 (Banestes – FGV). Um título foi descontado dois meses antes de seu vencimento, 
com taxa de desconto composto igual a 20% ao mês. Como o desconto foi comercial, o valor 
atual correspondeu a R$ 1.843,20. Caso o desconto tivesse sido racional, o valor resgatado seria: 
 
Resolução: Utilizando a fórmula de desconto comercial composto: 
 
A = N.(1 – i)n 
1843,2 = N . (1 – 0,2)² 
1843,2 = N . 0,8² 
1843,2 = N.0,64 
N = 1843,2/0,64 
N = 2880 
 
Agora que encontramos o valor nominal do título, podemos utilizar a fórmula de desconto 
comercial composto: 
 
N = A.(1 + i)n 
2880 = A . (1 + 0,2)² 
2880 = A.1,2² 
2880 = A.1,44 
A = 2880 / 1,44 
A = 2000 
Resposta: É R$ 2.000,003) Capitalização Simples e Composta 
 
3.3) Capitalização Composta 
 
É hora de conhecermos conceitos e aplicações relacionadas à Capitalização Composta. 
 
A maioria das operações financeiras emprega o regime dos juros compostos. 
 
Os chamados Juros Compostos são, geralmente, usados no financiamento de compras em médio 
prazo (ou em longo prazo), além daquelas efetuadas com cartão de crédito. Estão também 
presentes nas aplicações financeiras em Caderneta de Poupança, nos empréstimos bancários, 
entre outros. 
Para abrir nossa unidade, vamos relembrar alguns conceitos e aplicações relacionados 
aos Juros Compostos. 
No regime de capitalização composta, em cada intervalo de tempo, o juro sempre é calculado 
sobre o valor acumulado até o início do intervalo atual, seja na aplicação ou no empréstimo de 
dinheiro. 
Assim, considerando um capital C aplicado a juros simples i, durante n períodos de tempo, e M o 
montante acumulado no período, temos os seguintes montantes: 
 
Montante após 1 período → M1 = C + C • i = C • (1 + i)1 
Montante após 2 períodos → M2 = M1 • (1 + i) = C • (1 + i) • (1 + i) • = C • (1 + i)2 
Montante após 3 períodos → M3 = M2 • (1 + i) = C • (1 + i)2 • (1 + i) • = C • (1 + i)3 
... 
Montante após n períodos → Mn = Mn-1 • (1 + i) = C • (1 + i)n 
Portanto: 
M = C • (1 + i)n 
 
Sendo que (1 + i)n → fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. 
 
O montante de um investimento (ou de um empréstimo) é a soma do capital com o juro obtido 
pela aplicação (ou pago pelo empréstimo), temos: 
M = C + J 
 
Assim: 
M = C + J → C + J = C • (1 + i)n → J = C • (1 + i)n – C 
J = C • [(1 + i)n – 1] 
 
 
 
 
Vamos conferir 4 exemplos de aplicação de montante. 
 
 
 
1º Exemplo: Calcular o montante de uma aplicação de R$ 210.000,00, pelo prazo de 180 dias, à 
taxa de juros compostos de 3% ao mês. Temos os dados: 
 
M = ? 
C = 210000 
n = 180 dias = 6 meses 
i = 3% a.m. = 0,03 
 
Então calculamos: 
 
M = C • (1 + i)n 
M = 210000 • (1 + 0,03)6 
M = 210000 • 1,036 
M = 250.750,98 
 
 
Resposta: o montante é de, aproximadamente, R$ 250.750,98. 
 
 
 
 
2º Exemplo: Qual é o valor dos juros produzidos na aplicação no regime de capitalização 
composta do capital de R$ 80.000,00, à taxa mensal de 1,2%, por 4 meses? Dados: 
 
J = ? 
C = 80000 
i = 1,2% a.m. = 0,012 
n = 4 meses 
 
Calculamos: 
 
J = C • [(1 + i)n – 1] 
J = 80000 • [(1 + 0,012)4 – 1] 
J = 80000 • [1,0124 – 1] 
J = 80000 • 0,048870932736 
J = 3.909,67 
 
Resposta: o valor dos juros é, aproximadamente, R$ 3.909,67. 
 
 
 
 
 
 
 
3º Exemplo: Em que prazo um empréstimo de R$ 28.000,00 será quitado em um único 
pagamento de R$ 62.300,00, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 5% ao mês? 
 
Dados: 
 
C = 28000 
M = 62300,00 
I = 5% a.m. = 0,05 
 
Com isso, calculamos: 
 
M = C • (1 + i)n 
62300,00 = 28000 • (1 + 0,05)n 
62300,00 : 28000 = 1,05 n 
2,225 = 1,05 n 
 
Neste momento seria possível prosseguir com o cálculo utilizando logaritmo, 
conteúdo aprendido no ensino médio, mas será utilizado uma tabela auxiliar 
para encontrar o valor de n. 
 
Observe, na tabela a seguir, que os valores de n encontram-se na 1ª coluna (da esquerda para a 
direita). As taxas de juros compostos estão distribuídas na 
 
 
1ª linha (de cima para baixo). 
 
 
 
 
 
 
 
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/discovirtual/avas/tti_alfama/matematica_financeira/assets/img/unid3/tematica3/infografico-1_1.jpg
 
Na tabela, devemos encontrar, na coluna indicadora da taxa (i = 5 %), um valor aproximado a 
2,225 (razão entre o montante e o capital), para descobrir o tempo (n). 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
n = 17 
 
Resposta: o empréstimo será quitado em 17 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/discovirtual/avas/tti_alfama/matematica_financeira/assets/img/unid3/tematica3/infografico-1_2.jpg
4º Exemplo: A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00, 
sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 22.753,61 no final de 8 meses. 
Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Temos os seguintes dados: 
 
C = 16.000,00 
M = 22.753,61 
n = 8 meses 
i = ? 
 
Então calculamos: 
M = C • (1 + i)n 
22.753,61= 16.000 • (1 + i)8 
22.753,61 : 16.000 = (1 + i)8 
1,42 = (1 + i)8 
 
Neste momento seria possível prosseguir com o cálculo utilizando logaritmo, conteúdo 
aprendido no ensino médio, mas será utilizada uma tabela auxiliar para encontrar o valor de n. 
 
Observe, na tabela a seguir, que os valores de n encontram-se na 1ª coluna (da esquerda para a 
direita). As taxas de juros compostos estão distribuídas na 1ª linha (de cima para baixo). 
 
 
 
Na tabela, devemos encontrar, na linha indicadora do período 8 (n = 8), um valor aproximado a 
1,88 (razão entre o montante e o capital), para descobrir a taxa (i). 
 
Assim: 
 
i = 4,5 
 
Resposta: a taxa cobrada pela loja é de 4,5% ao mês. 
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/discovirtual/avas/tti_alfama/matematica_financeira/assets/img/unid3/tematica3/infografico-1_1.jpg
http://ibrep.alfamaoraculo.com.br/discovirtual/avas/tti_alfama/matematica_financeira/assets/img/unid3/tematica3/infografico-1_3.jpg
4º Exemplo (Vídeo Aula): A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 
16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 52.512,15 no final de 
27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Temos os seguintes dados: 
 
C = 16.000,00 
M = 52.512,15 
n = 27 meses 
i = ? 
 
 
Solução: 
 
M = C • (1 + i)n 
M= C(1 + i) 27 
52.512,15 = 16.000,00 (1 + i) 27 
52.512,15 : 16.000,00 = (1 + i) 27 
3,28201 = (1 + i) 27 
i = (3,28201) 1/27 – 1 
i = 1,045 
i = 1,045 – 1 x 100 = 4,5% a.m. 
 
 
 
 
Fazer o exemplo acima também na Calculadora HP 12 e deverá dar o mesmo resultado. 
 
 
 
Três maneiras de se resolver: 
 
1) Através das fórmulas como no exemplo acima; 
 
 
2) Por meio da Tabela Financeira; 
 
 
 
3) Por meio da Calculadora Financeira HP 12C: 
 
 
Na calculadora digite R$ 52.512,15 FV R$ 16.000,00 CHS PV 27 n i = 4,5% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando há necessidade de calcular o tempo (prazo) ou a taxa de juros envolvidos em juros 
compostos, exige-se um recurso auxiliar: tabela financeira (utilizada nos exemplos anteriores) ou 
calculadora (que veremos em unidade posterior). 
 
Taxas equivalentes é outro tema que merece nossa atenção! 
 
No regime de capitalização composta, a taxa e o período devem estar na mesma unidade. 
Quando isso não acontece, é necessário obter a taxa equivalente. Assim, ambos apresentarão a 
mesma unidade de tempo. 
As taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante (aplicadas ao mesmo 
capital, durante o mesmo prazo). 
 
Como os capitais e os montantes são iguais, são obtidas igualando os fatores de capitalização, 
elevados aos expoentes convenientes. 
 
Na tabela a seguir, observe como as taxas são representadas: 
 
COMO SÃO REPRESENTADAS O QUE SIGNIFICAM 
ia Taxa equivalente para capitalização anual 
is Taxa equivalente para capitalização semestral 
it Taxa equivalente para capitalização trimestral 
im Taxa equivalente para capitalização mensal 
id Taxa equivalente para capitalização diária 
 
 
Observe algumas taxas equivalentes: 
 
 
 
 
 
 
 
TAXAS EQUIVALENTES: 
Determine a taxa anual composta equivalente a 3% ao mês. Temos os dados: 
 
ia = ? 
im = 3% = 0,03 
Dessa forma, calculamos: 
 
(1 + ia) = (1 + 0,03)12 
1 + ia = 1,0312 
1 + ia = 1,42576 
ia = 0,42576 
 
 
Resposta: a taxa anual composta equivalente a 3% ao mês é de 42,58% ao ano. 
 
 
Pressione a tecla f , depois REG , f novamente e, em seguida, CLX . 
 
 
 
Pressione a tecla f seguida do número indicativo de casas decimais desejadas. 
 
 
 
Neste exemplo, usaremos 2 casas. 
 
 
Digite 1, ENTER 
Digite 0.03 e a tecla + 
 
 
 
Digite 12 e a tecla yx 
Digite 1 e a tecla – 
Digite 100 e a tecla x 
 
 
Resposta: