Teoremas Booleanos

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Teoremas para uma variável 
Teoremas para mais de uma variável 
9 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 
10 𝑥. 𝑦 = 𝑦. 𝑥 
11 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + z 
12 𝑥. 𝑦. 𝑧 = (x.y).z = x.y.z 
13a 𝑥. 𝑦 + 𝑧 = 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑧 
13b (w+x).(y+z) = w.y + x.y +w.z+x.z 
14 𝑥 + 𝑥. 𝑦 =x 
15𝑎 𝑥 + 𝑥 . 𝑦 =x+y 
15𝑏 𝑥 + 𝑥. 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 
Exemplo 1: 
• Simplifique a expressão 𝑦 = 𝐴. 𝐵 . 𝐷 + 𝐴. 𝐵 . 𝐷 
Usando o teorema (13), coloca-se 𝐴. 𝐵 em evidência: 
𝑦 = 𝐴. 𝐵 (𝐷 + 𝐷 ) 
Usando-se o teorema (8), o termo entre parêntesis vale 1. Assim: 
𝑦 = 𝐴. 𝐵 . 1 
Usando-se o teorema (2): 
𝑦 = 𝐴. 𝐵 
 
Exemplo 2: 
• Simplifique a expressão z = 𝐴 + 𝐵 . (𝐴 + 𝐵) 
Usando o teorema (13), expande-se a expressão: 
𝑧 = 𝐴. 𝐴 + 𝐴 . 𝐵 + 𝐵. 𝐴 + 𝐵. 𝐵 
Aplicando-se o teorema (4): 𝐴 . 𝐴 = 0 e 𝐵. 𝐵 = 𝐵 [teorema (3)] 
𝑍 = 0 + 𝐴 . 𝐵 + 𝐵. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴. 𝐵 + 𝐵 
Colocando-se em evidência a variável B [teorema (13]): 
𝑧 = 𝐵(𝐴 + 𝐴 + 1) 
Finalmente, usando-se os teoremas (2) e (6), temos: Z = B 
Exemplo 3: 
• Simplifique a expressão x = 𝐴. 𝐶. 𝐷 + 𝐴 . 𝐵. 𝐶. 𝐷 
Colocando-se em evidência os termos comuns CD, temos: 
𝑥 = 𝐶. 𝐷. (𝐴 + 𝐴 . 𝐵) 
Usando-se o teorema (15a): 
𝑋 = 𝐶.𝐷. (𝐴 + 𝐴 . 𝐵) 
Ou: 
𝑋 = 𝐴. 𝐶. 𝐷 + 𝐵. 𝐶. 𝐷 
 
Teoremas de DeMorgan 
16 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 . 𝑦 
17 (𝑥. 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 
Exemplo 4: 
• Simplifique a expressão z = 𝐴 + 𝐶 . (𝐵 + 𝐷 ) 
Usando o teorema (17): 
𝑧 = (𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷 ) 
Usando-se o teorema (16): 
𝑍 = (𝐴 + 𝐶) + 𝐵 + 𝐷 = 𝐴 . 𝐶 + 𝐵 . 𝐷 
Cancelando-se as inversões duplas: 
𝑧 = 𝐴. 𝐶 + 𝐵 . 𝐷 
 
Exercícios 
• Simplique: 
1 - 𝑦 = 𝐴. 𝐶 + 𝐴. 𝐵. 𝐶 Use: (13) e (14) 
2 - 𝑦 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶. 𝐷 + 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 . 𝐷 Use: (13) e (8) 
3 - 𝑦 = 𝐴 . 𝐷 + 𝐴. 𝐵. 𝐷 Use: (13) e (15b)