AP_Engenharia Economica_2013_Edicao 08

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LUCIANA SARTORI MURARI QUEVEDO 
 
 
 
ENGENHARIA 
ECONÔMICA 
 
APOSTILA DIDÁTICA 
8ª EDIÇÃO 
2013 
 
 
Engenharia Econômica - 2 
 
Prof.a Luciana Sartori Murari Quevedo 
Índice 
 
1 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ENGENHARIA ECONÔMICA .................................... 3 
1.1 - O que é Engenharia Econômica para Engenharia ............................................... 3 
1.2 – Definição da Engenharia Econômica ....................................................................... 3 
1.3 – Formulação de Decisões .............................................................................................. 3 
2 - CONCEITOS FINANCEIROS BÁSICOS .............................................................................. 5 
2.1 - Taxa de Juros.................................................................................................................... 5 
2.2 – Rendimento de Capital ................................................................................................. 5 
2.3 – Regime de Capitalização a Juros Simples ............................................................. 6 
2.4 - Regime de Capitalização a Juros Compostos ....................................................... 7 
2.5 – Equivalência ente Períodos de Referência............................................................ 8 
2.6 - Taxa de Juros Nominal e Efetiva ............................................................................... 9 
2.6.1 - Taxa de Juros Nominal .......................................................................................... 9 
2.6.2 - Taxa de Juros Efetiva ............................................................................................. 9 
2.6.3 - Cálculo da Taxa de Juros Efetiva a partir da Taxa de Juros Nominal .. 9 
2.7 – Taxas de Juros Real e Aparente ............................................................................. 11 
2.7.1 – Taxas de Juros Aparente ................................................................................... 11 
2.7.3 – Transformação entre Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros Real 11 
3 - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS........................................................................................... 14 
3.1 – Introdução ...................................................................................................................... 14 
3.2 – Fluxo de Caixa ............................................................................................................... 14 
3.3 – Diagrama de Fluxo de Caixa .................................................................................... 14 
3.4 - Valor Futuro de um Pagamento Único .................................................................. 15 
3.5 - Valor Presente de um Pagamento Único .............................................................. 15 
3.6 - Série Uniforme de Pagamentos ............................................................................... 16 
3.6.1 - Valor Futuro de uma Série Uniforme ............................................................. 16 
3.6.2 - Valor Presente de uma Série Uniforme ......................................................... 17 
3.7 - Série Gradiente Uniforme .......................................................................................... 17 
3.7.1 - Valor Presente de Série Gradiente Uniforme .............................................. 17 
3.7.2 – Valor Futuro de Série Gradiente Uniforme ................................................. 18 
3.8 - Série Gradiente Crescente (Geométrica) ............................................................. 18 
3.8.1 - Valor Presente de Série Gradiente Crescente ............................................ 19 
3.8.2 – Valor Futuro de Série Gradiente Crescente ................................................ 19 
4 - MÉTODOS PARA COMPARAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS ...... 22 
4.1 - Método do Valor Presente Líquido (VPL) ............................................................. 22 
4.2 - Método do Valor Anual Equivalente (VAE) .......................................................... 23 
4.3 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) ......................................................... 25 
4.4 - Método Pay Back ........................................................................................................... 26 
4.5 - Método da TIR Incremental ...................................................................................... 26 
5 - INVESTIMENTOS SOB CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS ....................................... 28 
5.1 - Alternativas com Vidas Desiguais ........................................................................... 28 
6 - DEPRECIAÇÃO ........................................................................................................................ 29 
6.1 - Depreciação Linear ....................................................................................................... 29 
6.2 - Depreciação Exponencial ........................................................................................... 30 
6.3 - Depreciação Soma de Dígitos ................................................................................... 30 
7 - ALTERNATIVAS EM USO ..................................................................................................... 32 
8 - VIDA ECONÔMICA ................................................................................................................ 33 
 
Engenharia Econômica - 3 
 
Prof.a Luciana Sartori Murari Quevedo 
1 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ENGENHARIA ECONÔMICA 
 
 
1.1 - O que é Engenharia Econômica para Engenharia 
 
A constante busca por maximização dos lucros pode requerer ações que exijam 
investimentos financeiros por parte das empresas. Ações como: criação de novos 
produtos, construção de novas unidades indústrias, substituição de equipamentos, 
aquisição de novas tecnologias, novos sistemas para movimentação de materiais, entre 
outros. 
Na maior parte das situações de investimentos financeiros a quantidade de recursos 
disponíveis é insuficiente para atender a todas as oportunidades ou até mesmo 
necessidades existentes. Esta escassez de recursos leva a empresa a ter de decidir 
racional e cientificamente onde e como aplicar seus recursos, se o intuito for obtenção de 
máximo retorno. 
Independente do ramo a que pertençam, todas as empresas tem como objetivo 
maximizar seus lucros. Sendo assim, uma das áreas mais relevantes refere-se à alocação 
de recursos. Alocação esta, que deve ser realizada com a maior efetividade possível. Na 
maior parte dos casos, o investimento de capital assume vital importância devido a fatores 
como: (i) a irreversibilidade da aplicação; (ii) conseqüências futuras da aplicação; (iii) 
oferta de recursos inferior à demanda de gastos, entre outros. Como conseqüência, existe 
um profundo interesse pelo estudo de técnicas e critérios que direcionem as decisões de 
investimento, auxiliando o processo de tomada de 
decisões. Tais técnicas e metodologias são chamadas de 
analises econômicas, e por meio destas é possível se 
determinar a melhor oportunidade para a aplicação de 
recursos. 
Embora grande parte dos engenheiros trabalhe em 
áreas de operações, controle de qualidade, testes, 
automação, manutenção, entre outros, uma boa parte 
deles atua no campo financeiro. 
Neste contexto, o objetivo da engenharia 
econômica é preparar os engenheiros para 
atuarem na área da economia, ou seja, estudar os aspectos da economia, relevantes 
no exercício das atividades da engenharia. 
 
 
 
1.2 – Definição da Engenharia Econômica 
 
1.3 – Formulação de Decisões 
Objetivo da Engenharia 
Econômica é preparar os 
engenheiros para atuarem na 
área da economia 
Definição: a engenharia econômica é definida como um conjunto de técnicas que 
viabilizam a quantificaçãomonetária e avaliação econômica das 
alternativas de investimentos, possibilitando ao “gestor” o 
conhecimento das informações necessárias para a correta tomada de 
decisões. 
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O processo de tomada de decisões em alternativas de investimentos é constituído 
de etapas, sendo este, um procedimento útil para análises de alternativas e escolha de 
opções. 
O procedimento tem inicio com a identificação e apresentação de um problema a 
ser resolvido ou de uma função a ser executada - etapa 1: determinação do problema. 
O próximo passo se caracteriza pela apresentação de um conjunto de alternativas 
técnicas e economicamente viáveis, “incluindo a decisão de não fazer nada” - etapa 2: 
criação de alternativas de investimento. 
A seguir, definem-se cada alternativa destacando-se: as principais características, 
as limitações e os resultados esperados para cada alternativa criada na etapa 2 - etapa 3: 
definição das alternativas de investimento. 
Depois de definidas as alternativas, deve-se converter todas as informações para 
um fator comum, ou seja, 
conversão para aspectos 
monetários; uma vez que é 
impossível comparar alternativas 
expressas em diferentes 
parâmetros - etapa 4: conversão de 
alternativas de investimentos. 
Considerando-se todas as 
alternativas, já convertidas, são 
aplicadas as técnicas da análise 
econômica, por meio dos métodos 
de avaliação de alternativas da 
Engenharia Econômica – etapa 5: avaliação de alternativas. 
Por fim, considerando-se as informações da etapa 5, pode-se optar por uma ou 
mais alternativas - etapa 6: tomada de decisão. 
 
 
No entanto, algumas restrições nos impedem de garantir soluções exatas. Desta 
forma podemos apenas assegurar soluções heurísticas efetivas. Este conhecimento é 
importante no momento de tomada de decisão. Algumas das restrições são: 
1) Muitas vezes não é possível se levantar todas as alternativas; 
2) Existe uma dificuldade em se considerar todas as variáveis que influenciam uma 
alternativa; 
3) Os modelos pressupõem taxas de juros ao longo do horizonte de planejamento, as 
quais podem sofrer alterações; 
4) O fato de se analisar “suposições” futuras compromete a possibilidade de garantir 
respostas exatas, conferindo um caráter “heurístico” aos resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumidamente: 
1) determinação do problema; 
2) criação de alternativas de investimento; 
3) definição das alternativas de investimento; 
4) conversão de alternativas de investimentos; 
5) avaliação de alternativas; 
6) tomada de decisão. 
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2 - CONCEITOS FINANCEIROS BÁSICOS 
 
 
2.1 - Taxa de Juros 
 
 
Matematicamente: i = 
0c
juros
 (1) 
 
onde: i = taxa de juros; 
 juros = juros (cobrados ou recebidos); 
co = capital inicial; 
 
 
 
2.2 – Rendimento de Capital 
 
 
 
Matematicamente: � = �� − �� (2) 
 
onde: R = rendimento de capital; 
C n = capital no período n; 
C0 = capital inicial; 
 
 
Toda vez que se fala em taxa de juros e regime de capital, surge a necessidade de 
se relacionar o conceito de regime de capitalização. Sendo assim: 
 
 
 
Definição: taxa de juros é definida com a razão entre os juros decorrentes 
(cobrados ou recebidos) no final do período e o capital inicial 
utilizado. 
Definição: denomina-se rendimento de capital, à diferença entre o valor inicial 
(montante principal) e o valor final obtido. 
Definição: regime de capitalização é o processo de formação de juros, ou seja, a 
forma como a taxa de juros incide sobre o capital. 
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Os principais tipos de regime de capitalização são: 
a) regime de capitalização a juros simples, 
b) regime de capitalização a juros compostos. 
 
 
 
2.3 – Regime de Capitalização a Juros Simples 
 
 
Matematicamente: C n = ( )inC .10 + (3) 
 
onde: C n = capital no período n; 
C0 = capital inicial; 
i = taxa de juros; 
n = numero de períodos. 
 
 
Exercícios: 
 
2.1) Qual é a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de $ 1.300 que produz 
após um ano um montante de $ 1.750? 
 
2.2) Calcular um rendimento de capital de $ 80.000 aplicados durante 28 dias à taxa de 
juros simples de 60% am. 
 
2.3) Aplicando $ 80.000 durante 17 meses, resgatamos $ 140.000. Qual é a taxa de juros 
simples ganha na operação? 
 
2.4) Um capital de juros de $ 4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicados pelo 
prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% at, a segunda a juros simples de 6% 
at e a terceira a juros simples de 10% at. Se o rendimento da primeira parcela for de $ 
160 e o rendimento das três parcelas totalizarem $ 1.320, calcular o valor de cada parcela. 
 
2.5) Dois capitais, um de $ 2.400 e o outro de $ 1.800, foram aplicados a uma mesma 
taxa de juros simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias 
rendeu $ 17 a mais que o segundo em 30 dias. 
 
 
 
 
Definição: denomina-se regime de capitalização a juros simples, ao regime de 
capitalização, no qual a taxa de juros incide apenas sobre o capital 
(montante) inicial, chamado de principal. 
Engenharia Econômica - 7 
 
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2.4 - Regime de Capitalização a Juros Compostos 
 
 
Matematicamente: C n = ( )niC +10 (4) 
 
onde: C n = capital no período n; 
C0 = capital inicial; 
i = taxa de juros; 
n = numero de períodos. 
 
 
Exercícios: 
 
2.6) Refazer os exercícios 2.1 a 2.5 considerando taxa de juros composta. 
 
2.7) Qual será o valor pago pelo empréstimo de $ 2.100,00 por um período de 2 meses, a 
uma taxa de juros de 19% a.a.? 
 
2.8) Qual o número de períodos necessários para que um principal de $ 2.100,00, 
submetido a uma taxa de juros de 2,0% am, se transforme em capital final de $ 
25.000,00? 
 
2.9) Em que prazo um capital de $ 18.000 acumula um montante de $ 83.743 à taxa 
efetiva de 15% am? 
 
2.10) Uma empresa pretende comprar um equipamento de $ 100.000 daqui a quatro anos 
com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se 
os juros efetivos ganhos forem de: 13% at; 18% aa; 14%as; 12% am. 
 
2.11) Uma casa é vendida por $ 261.324,40 à vista. Se o comprador se propuser pagar $ 
638.000 daqui a quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na 
proposta. 
 
2.12) Dois capitais, o primeiro de $ 2.400 e o segundo de $ 1.800, foram aplicados, 
respectivamente, por 40 e 32 dias. Considerando uma taxa efetiva ganha pelo primeiro 
capital de 5% am e sabendo-se que esse capital rendeu $ 100 a mais do que o segundo, 
determinar a taxa mensal ganha pelo segundo capital. 
 
2.13) Um certo capital após quatro meses transformou-se em $ 850,85. Esse capital 
diminuído dos juros ganhos nesse prazo reduz-se a $ 549,15. Calcular o capital e a taxa 
de juros efetiva am ganha na aplicação. 
 
Definição: denomina-se regime de capitalização a juros compostos, ao regime de 
capitalização onde a taxa de juros incide sobre o capital inicial 
(principal) e, sobre os juros acumulados no período anterior. 
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2.14) Suponha que uma pessoa foi fazer uma compra e lhe foi oferecido duas opções: (1) 
pagar o produto a vista por um valor de R$ 897,00 ou (2) pagar em 3 vezes – 30, 60 e 
90 dias – de R$ 407,00 fixas. Considerando que a taxa de juros do mercado é de 19%, 
determinar qual a melhor opção. 
 
2.15) Uma empresa comprou móveis para o escritório. A loja propôs pagar em 12 parcelas 
(sem entrada) de $ 1970,00. Se a loja utiliza uma taxa de juros de 4% am, determine 
qual deve ser máximo valor a ser pago, se opagamento for à vista? 
 
2.16) Considerando o valor a vista calculado na questão anterior, qual seriam os valores 
das parcelas se o pagamento fosse feito: 25% do valor da compra pago a vista, e o 
restante pago em 15 vezes (considere a taxa de juros do exercício anterior). 
 
2.17) Qual deverá ser o valor pago a vista se a loja propuser pagar 12 parcelas de $ 
1970,00 sendo uma entrada e mais 11 vezes? 
 
2.18) Uma empresa fez um investimento em um imóvel comprando hoje por $ 75000,00 e 
pretende vendê-lo daqui a 5 anos por $ 79990,00. Se a taxa de juros de mercado for de 
12% aa, qual o rendimento que a empresa terá com esta transação. 
 
2.19) Qual seria o rendimento se o imóvel não fosse pago a vista e sim com uma entrada 
de 45% e o restante pago em duas parcelas anuais, sob uma taxa de juros de 15% ao 
semestre? 
 
 
 
2.5 – Equivalência ente Períodos de Referência 
 
 Quando se desejar mudar o período de referência de uma taxa de juros o 
procedimento de equivalência direta, somente pode ser executado no caso regime de 
capitalização a juros simples. Por exemplo: uma taxa de juros de 12% aa pode ser 
transformada em taxa mensal, simplesmente dividindo-se por dose, resultando em 1% 
am. No caso de regime de capitalização a juros compostos a taxa mensal (como a do 
exemplo acima) deverá ser encontrada por meio de uma expressão que calcula a 
equivalência entre taxas. 
 
Matematicamente: ( ) ( ) ( ) =+=+=+ 2121 111 semma iii (5) 
 
onde: ia = taxa de juros ao ano, 
 im = taxa de juros ao mês, 
 isem = taxa de juros ao semestre. 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica - 9 
 
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2.6 - Taxa de Juros Nominal e Efetiva 
 
2.6.1 - Taxa de Juros Nominal 
 
 
As características das taxas de juros nominais são: 
(i) aplica-se em operações de juros simples, 
(ii) é suscetível de ser proporcionalizada k vezes em seu período de referência de 
modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo, 
(iii) é uma taxa referencial, 
(iv) é calculada com base no valor nominal de aplicação ou empréstimo. 
 
Matematicamente: Cn = C0 
mk
n
k
j ⋅






+1 (6) 
 
onde: jn = taxa de juros nominal, 
k = numero de vezes em que os juros são capitalizados no período em que se 
refere a taxa de juros nominal, 
m = prazo de aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal. 
 
 
 
2.6.2 - Taxa de Juros Efetiva 
 
 
 
2.6.3 - Cálculo da Taxa de Juros Efetiva a partir da Taxa de Juros Nominal 
 
Se a taxa de juros for nominal, a taxa de juros efetiva proporcional por período de 
capitalização poderá ser determinada dividindo-se a taxa nominal pela freqüência de suas 
capitalizações. 
 
 
 
Definição: taxa de juros nominal, é a taxa de juros onde os juros podem ser 
capitalizados mais de uma vez durante o período a que se refere à 
taxa de juros (período de referência). 
Definição: taxa de juros que prevê a incidência de juros apenas uma única vez 
em cada período a que se refere à taxa de juros, ou seja, a unidade 
de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. 
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Assim: 
 
Matematicamente: i = 11 −







+
k
n
k
j
 (7) 
 
 
onde: i= taxa de juros efetiva. 
jn = taxa de juros nominal, 
k = numero de vezes em que os juros são capitalizados no período em que se 
refere a taxa de juros nominal. 
 
 
Exercícios: 
 
2.20) Um banco oferece uma taxa de juros de financiamento de 7,9% am capitalizada 
diariamente. Qual a taxa de juros real envolvida no empréstimo? 
 
2.21) Se forem depositados $ 1500,00 em uma conta que rende 5,8% aa capitalizado 
mensalmente, por um período de 7 meses, qual o valor final obtido? Qual o valor ganho 
no investimento? 
 
2.22) Supondo a possibilidade de abrir uma caderneta de poupança qual a melhor opção 
entre as seguintes taxas: Banco A: 15% aa capitalizado diariamente, Banco B: 15,5% aa 
capitalizado trimestralmente, Banco C: 16% aa capitalizado anualmente. 
 
2.23) Dada à taxa efetiva de 48% aa, determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre 
e ao semestre. 
 
2.24) Se uma aplicação de $ 18.000 à taxa de nominal de 180% aa capitalizada 
mensalmente resultou em um montante de $ 36.204,48, quantos meses o capital ficou 
aplicado? 
 
2.25) Uma aplicação de $ 18.000 rendeu juros efetivos de $ 4.200 em quatro meses. Qual 
seria o rendimento em 11 meses? 
 
2.26) Um capital de $ 24.000 aplicados à taxa de 120% aa capitalizada mensalmente 
rendeu $ 5.040. Determine o prazo da operação. 
 
2.27) Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro, à taxa de 20% aa 
capitalizada semestralmente, e o segundo, a 18% aa capitalizada trimestralmente. 
Considerando que os juros do primeiro excederam em $ 6.741 os juros do segundo e o 
primeiro capital é $ 10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais. 
 
 
 
 
 
 
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2.7 – Taxas de Juros Real e Aparente 
 
 
2.7.1 – Taxas de Juros Aparente 
 
 
2.7.2 – Taxas de Juros Real 
 
 
 
 
2.7.3 – Transformação entre Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros Real 
 
 Para transformar uma taxa de juros aparente em taxa de juros real deve-se utilizar 
a relação abaixo: 
 
 
Matematicamente: ( ) ( ) ( )rap iIi +⋅+=+ 111 (8) 
 
onde: iap = taxa de juros aparente, 
 I = taxa de inflação, 
 ir = taxa de juros real. 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: chamam-se taxas de juros real àquelas onde o valor da taxa de 
inflação interfere nos cálculos de avaliação de investimentos e foi 
considerada aos cálculos da taxa de juros. 
Definição: chamam-se taxas de juros aparente àquela onde o valor da taxa de 
inflação, interfere nos cálculos de avaliação de investimentos e ainda 
não foi considerada. 
Definição: chamam-se taxas de juros real àquelas onde o valor da taxa de 
inflação interfere nos cálculos de avaliação de investimentos e foi 
considerada aos cálculos da taxa de juros. 
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Exercícios: 
 
2.28) Determine a taxa de juros real que a empresa vai pagar, se lhe for cobrado uma 
taxa de juros de 11,3% ao trimestre capitalizado mensalmente e uma taxa de inflação de 
7,11% ao bimestre capitalizado mensalmente. 
 
2.29) Encontre o valor da taxa de juros real anual (ou seja, ao ano), considerando uma 
taxa de juros de 6,72% ao semestre capitalizada quinzenalmente e uma taxa de inflação 
de 3,0% aa. 
 
2.30) Em quanto tempo $ 7000,00 dobra o valor, se a taxa de juros for de 10% am 
capitalizada semanalmente e a taxa de inflação for de 15% aa? 
 
2.31) O Sr. Joaquim quer dar de presente para cada neto $ 10.000,00, daqui a 3 anos. Se 
ele colocar o dinheiro no banco, a taxa de juros será de 5% am e a taxa de inflação de 
9,3% aa. Quanto o Sr. Joaquim tem que depositar, sabendo que ele tem 7 netos? 
 
2.32) Quantos meses levará para $ 7.000,00 render no mínimo $ 1.590,00 a taxa de juros 
de 13,25% aa capitalizada semanalmente e taxa de inflação de 3,9% ao semestre? 
 
2.33) Uma empresa deseja comprar equipamentos para a fábrica. Cada equipamento foi 
orçado em $ 5.750,00 e a empresa irá comprar 15 unidades. A taxa de juros cobrada será 
de 0,79% am. Determine a melhor proposta: (a) à vista, (b) entrada de 40% do valor 
inicial mais 10 parcelas de $ 2.090,00, (c) entrada mais 12 parcelas de $ 3.000,00, (d) 
entrada de 20%, 5 parcelas de $ 7.100,00 e mais 14% do valor à vista na data da última 
parcela. 
 
2.34) Suponha que uma pessoa foi fazer uma compra e lhe foi oferecido duas opções: (1) 
pagar o produto a vista por um valor de R$ 897,00 ou (2) pagar em 3 vezes – 30, 60 e 90 
dias – de R$ 407,00 fixas. Considerandoque os juros do mercado são de 19% aa, 
determinar qual a melhor opção. 
 
2.35) Deseja-se comprar um produto que é oferecido na loja à prestação em 24 meses. A 
forma de pagá-lo é uma entrada de R$ 1.000,00 e mais 24 parcelas fixas de mesmo valor. 
Todo o dinheiro não gasto é colocada na poupança, a qual costuma dar um rendimento 
médio de 42,6% aa. Qual o máximo valor que pode ser pago pelo produto, no caso de 
comprá-lo a vista? 
 
2.36) O proprietário de uma pequena confecção verificou que o caixa de sua empresa 
necessitava de recursos na forma de dinheiro para que pudessem ser saldados 
compromissos salariais de seus funcionários. No momento a alternativa era descontar 
duplicatas em agência bancária. O valor necessário para o pagamento dos funcionários é 
de R$ 320.000,00, o valor possuído em duplicatas é de R$ 570.000,00 com prazo de 
vencimento para 60 dias. O banco está cobrando uma taxa de desconto de 24%. O 
proprietário conseguirá pagar os funcionários? Qual a taxa de juros anual cobrada pelo 
banco? 
 
Engenharia Econômica - 13 
 
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2.37) O Sr. Benedito, dono de uma mercearia toma emprestado de um agiota a quantia 
de R$ 790.000,00, entregando-lhe uma nota promissória de R$ 1.380.000,00 com 
vencimento para 6 meses. Qual a taxa de juros anual e mensal cobrada pelo agiota? 
 
2.38) O Sr. X colocou uma quantia de R% 51.000,00 em uma conta poupança que rende 
juros segundo a taxa de 25,5% aa. Devido à inflação ele deixou o dinheiro investido por 3 
anos. Após este período a taxa de juros passou para 23% aa nos 3 primeiros meses e 
para 9% aa nos meses seguintes. Ao final dos 4 anos qual o saldo na conta do Sr. X? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica - 14 
 
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3 - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
 
3.1 – Introdução 
 
Normalmente, ao se decidir por qualquer 
investimento, os pagamentos e recebimentos 
decorrentes deste, ocorrem em datas distintas. Isto 
traz problemas para os cálculos financeiros, visto 
que, em hipótese alguma valores em datas distintas 
podem ser comparados. 
 
Assim tem-se a lei básica da engenharia 
econômica: 
 
“Uma determinada quantia, possui diferentes valores em datas distintas. 
Em outras palavras, um total de dinheiro pode ser equivalente a um total 
diferente, em diferentes instantes de tempo, sob circunstancia”. 
 
 
 
3.2 – Fluxo de Caixa 
 
 
 
 
3.3 – Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
 
 
Para a representação do diagrama de fluxo de caixa, utilizam-se alguns parâmetros, 
como: 
(i) horizonte de planejamento – período de extensão da análise econômica, 
(ii) pagamentos e recebimentos – representados por segmentos de retas 
ordenadas, 
(iii) linha de representação do diagrama – valores representados para cima da 
linha indicam valores positivos, ou seja, valores de recebimentos, ao 
“Uma determinada 
quantia, possui diferentes 
valores em datas distintas. 
Em outras palavras, um 
total de dinheiro pode ser 
equivalente a um total 
diferente, em diferentes 
instantes de tempo, sob 
circunstancias diferentes”. 
Definição: chama-se fluxo de caixa ao conjunto de todos os pagamentos e 
recebimentos ocorridos em um horizonte de tempo. 
Definição: chama-se diagrama de fluxo de caixa, à representação gráfica do 
fluxo de caixa. 
Engenharia Econômica - 15 
 
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contrário, valores representados para baixo, indicam valores negativos, ou 
seja, valores de pagamentos. 
 
 
Exercícios: 
 
3.1) Monte o fluxo de caixa da seguinte transação: um empréstimo foi feito no valor de R$ 
15.000,00, para ser pago em 9 meses. Os juros são de 0,19% am. Considere ainda que 
todo mês o empresário deverá pagar os juros do período. O principal emprestado deverá 
ser pago da seguinte forma: 17% no primeiro mês, 60% no 3o mês e o restante no final 
do pagamento (mês 9). 
 
 
 
3.4 - Valor Futuro de um Pagamento Único 
 
 
 
Matematicamente: F = P ( )ni+1 (9) 
 
onde: F = valor futuro de um pagamento único, 
 P = valor presente de um pagamento futuro, 
( )ni+1 = fator de valor futuro de um pagamento único. 
 
 
 
3.5 - Valor Presente de um Pagamento Único 
 
 
Matematicamente: P = ( )ni
F
+1 (10) 
 
onde: F = valor futuro de um pagamento único, 
 P = valor presente de um pagamento futuro, 
Definição: Determine-se valor futuro (F) de um pagamento (ou recebimento) à 
quantia na data n, que equivale ao mesmo valor do capital na data 
anterior (P). 
Definição: denominamos valor presente (P) de um pagamento (ou recebimento) à 
uma quantia na data “0”, que equivale financeiramente, a um 
determinado capital futuro (F), com ocorrência na data n. 
Engenharia Econômica - 16 
 
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( )ni
F
+1 = fator de valor presente de um pagamento único. 
 
 
 
3.6 - Série Uniforme de Pagamentos 
 
 
 
3.6.1 - Valor Futuro de uma Série Uniforme 
 
Matematicamente: F = U 
( )






−+
i
i n 11
 (11) 
 
 
onde: F = valor futuro equivalente a todas as parcelas uniformes, 
 U = valor do pagamento uniforme em cada período, 
 i = taxa de juros incidente, 
 n = horizonte da série de pagamentos ou recebimentos, 
( )






−+
i
i n 11
= fator de acumulação de capital de uma série uniforme. 
 
 
Exercícios: 
 
3.2) Deseja-se comprar um automóvel novo cujo preço hoje é $ 54.000,00. Pretende-se 
dar uma entrada de 20% e pagar o restante em parcelas fixas em 18 meses. Determine 
do valor máximo que as parcelas podem ter considerando uma taxa de juros de 2,1% am 
capitalizada diariamente. 
 
 
 
 
Definição: denomina-se valor futuro de uma série uniforme, à quantia resultante 
da soma de todos os desembolsos ou recebimentos, previamente 
transportados para a data futura, n. 
Definição: denominamos série uniforme de pagamentos, a uma sucessão de 
desembolsos ou recebimentos, de mesma quantia, acontecendo a 
intervalos regulares de tempos, iniciando no período 1. 
Engenharia Econômica - 17 
 
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3.6.2 - Valor Presente de uma Série Uniforme 
 
 
Matematicamente: P = U 
( )
( ) 




⋅+
−+
ii
i
n
n
1
11
 (12) 
 
 
onde: P = valor presente equivalente a todas as parcelas uniformes, 
 U = valor do pagamento uniforme em cada período, 
 i = taxa de juros incidente, 
 n = horizonte da série de pagamentos ou recebimentos, 
( )
( ) 




⋅+
−+
ii
i
n
n
1
11
= fator de acumulação de capital de uma série uniforme. 
 
 
 
3.7 - Série Gradiente Uniforme 
 
 
 
3.7.1 - Valor Presente de Série Gradiente Uniforme 
 
Matematicamente: P = G 
( )
( )












⋅+
−
−+
ii
n
i
i
n
n
1
11
 (13) 
 
Definição: denomina-se valor presente de uma série uniforme, à quantia 
resultante da soma de todos os desembolsos ou recebimentos, 
previamente transportados para a data presente, data zero. 
Definição: a série gradiente uniforme caracteriza-se por uma sequencia de 
pagamentos que ocorrem a intervalos regulares de tempo, iniciando-
se no período 2, com valores de G, 2G, 3G,.... 
Definição: o valor presente de uma série gradiente uniforme corresponde a 
transportar todos os pagamentos para a data zero da série e então, 
somá-los nesta data. 
Engenharia Econômica - 18 
 
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onde: P = valor presente equivalente a todas as parcelas gradientes uniformes, 
 G = valor do pagamento gradiente uniforme em cada período, 
 i = taxa de jurosincidente, 
 n = horizonte da série de pagamentos ou recebimentos, 
 
( )
( )












⋅+
−
−+
ii
n
i
i
n
n
1
11
 = fator de acumulação de capital de uma série gradiente. 
 
 
3.7.2 – Valor Futuro de Série Gradiente Uniforme 
 
Matematicamente: F = G 
( )






−
−+
i
n
i
i n
2
11
 (14) 
 
onde: F = valor futuro equivalente a todas as parcelas gradientes uniformes, 
 G = valor do pagamento gradiente uniforme em cada período, 
 i = taxa de juros incidente, 
 n = horizonte da série de pagamentos ou recebimentos, 
 
( )






−
−+
i
n
i
i n
2
11
= fator de acumulação de capital de uma série gradiente. 
 
 
 
3.8 - Série Gradiente Crescente (Geométrica) 
 
 
Os valores das parcelas seguintes podem ser obtidos a partir do valor da primeira 
parcela, uma vez que a série gradiente crescente aumenta segundo uma taxa g. Assim, a 
relação entre os termos de uma série gradiente crescente podem ser expressos pela 
relação abaixo. 
Definição: o valor futuro de uma série de gradiente uniforme corresponde a 
transportar todos os pagamentos para a data do último pagamento da 
série e então, somá-los nesta data. 
Definição: a série gradiente crescente (geométrica) caracteriza-se por uma 
sequencia de pagamentos que ocorrem a intervalos regulares de 
tempo, iniciando-se no período 1, com o primeiro pagamento no valor 
de A1 e os seguintes nos valores de A 2 , A 3 .... 
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Matematicamente: An = A1 ( ) 11 −+ ng (15) 
 
 
onde: An = parcela da série gradiente crescente no período n (ou seja, n-ésima parcela), 
 A1 = primeira parcela da série gradiente crescente, 
 g = taxa de crescimento da série gradiente crescente, 
 n = período n do horizonte de planejamento. 
 
 
3.8.1 - Valor Presente de Série Gradiente Crescente 
 
Matematicamente: P = A1 ( )
( )
( ) ( ) 




+⋅−
+
−
−
n
n
igi
g
gi 1
11
 (16) 
 
onde: P = valor presente equivalente a todas as parcelas gradientes crescentes, 
 A1 = primeira parcela da série gradiente crescente, 
 g = taxa de crescimento da série gradiente crescente, 
 i = taxa de juros incidente, 
 n = período n do horizonte de planejamento, 
( )
( )
( ) ( ) 




+⋅−
+
−
−
n
n
igi
g
gi 1
11
= fator de acumulação de capital de uma série gradiente 
 crescente. 
 
 
3.8.2 – Valor Futuro de Série Gradiente Crescente 
 
Matematicamente: F = A1 
( )
( )
( )
( ) 




−
+
−
−
+
gi
g
gi
i nn 11
 (17) 
 
onde: F = valor futuro equivalente a todas as parcelas gradientes crescentes, 
 A1 = primeira parcela da série gradiente crescente, 
 g = taxa de crescimento da série gradiente crescente, 
Definição: o valor presente de uma série gradiente crescente corresponde a 
transportar todos os pagamentos para a data zero da série e então, 
somá-los nesta data. 
Definição: o valor futuro de uma série de gradiente crescente corresponde a 
transportar todos os pagamentos para a data do último pagamento da 
série e então, somá-los nesta data. 
Engenharia Econômica - 20 
 
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 i = taxa de juros incidente, 
 n = período n do horizonte de planejamento, 
( )
( )
( )
( ) 




−
+
−
−
+
gi
g
gi
i nn 11
= fator de acumulação de capital de uma série gradiente 
 crescente. 
 
 
Exercícios: 
 
3.3) Considere um fluxo de caixa formado por 3 séries e 1 valor único: (1º) uma série 
uniforme positiva com a primeira parcela na data zero e a última no mês 10, (2º) uma 
série gradiente positiva, com a primeira parcela na data 4 e última no mês nove, (3º) uma 
série gradiente negativa com a primeira parcela na data 3 e a última no mês 7 e (4º) um 
valor único negativo no mês 5. O valor de todo o diagrama de fluxo calculado no mês 10 é 
$ 210.770,00. Sabe-se que o valor da série uniforme positiva é 5 vezes maior que o valor 
da primeira parcela da série gradiente. Sabe-se também, que o valor único é 7 vezes 
maior que a primeira parcela da série gradiente e que a série uniforme negativa, tem o 
valor 3 vezes menor que o da primeira parcela da série gradiente. Utilizando a taxa de 
juros de 11,17% aa capitalizada semestralmente, monte a expressão que calcularia o 
valor das séries e do valor único. Calcule-a. 
 
3.4) A empresa XYZ terá de fazer uma poupança para conseguir fazer um investimento 
em divulgação de um produto que estará lançando no dia das crianças de 2014. Então, 
decidiu fazer uma poupança, com depósitos mensais, sendo o primeiro depósito na data 
de hoje (ou seja, mês abril) e o último depósito no mês de setembro de 2014. No mês 
seguinte ao último depósito a empresa fará 3 retiradas: a 1ª no mês de outubro de 2014, 
a 2ª no mês de novembro e a 3ª no mês de dezembro. Se cada uma das três parcelas 
fosse retirada no mês do último depósito (setembro), o valor de cada retirada seria de $ 
51.000,00. Considerando a taxa de juros que você calculou no exercício anterior, monte a 
expressão que determinaria o valor das parcelas que devem ser depositadas (considere 
que todas as parcelas depositadas serão iguais). 
 
3.5) A Empresa XYZ fará um investimento pagando à vista $ 1.000.000,00. Considere a 
taxa de inflação de 7,5% aa e uma taxa de financiamento de 6,1% ao semestre 
capitalizado mensalmente. Determine: (a) o Banco Ricos S.A. ofereceu um financiamento 
permitindo que a empresa pague conforme o diagrama de fluxo abaixo; qual o valor de F7 
para que o total pago seja o mesmo ($ 1.000.000,00); (b) se a empresa desejar financiar 
pagando em 3 parcelas iguais, após 90, 180 e 270 dias; qual o valor pago em cada 
parcela, se o total pago for 8 % maior que o total à vista. 
 
 
A imagem não pode ser exibida. Talvez o computador não tenha memória suficiente para abrir a imagem ou talvez ela esteja corrompida. Reinicie o computador e abra o arquivo novamente. Se ainda assim aparecer o x vermelho, poderá ser necessário excluir a imagem e inseri-la novamente.
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3.6) Considere um fluxo de caixa com 11 anos. As taxas de juros envolvidas são: juros de 
9,1% as capitalizado mensalmente e inflação de 0,3% asemana. O fluxo é composto por 
algumas séries como mostrado no diagrama abaixo. A soma das séries no futuro é R$ 
780.000,00. A soma da série uniforme correspondente a custos e da série uniforme de 
valor x é R$ 71.790,00. Determine o valor da parcela U e da parcela x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x/5 
71.790,00 
780.000,00 
U 
U/2 
x 
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4 - MÉTODOS PARA COMPARAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE 
INVESTIMENTOS 
 
Quando se fala em comparar diferentes alternativas de investimentos surge um 
conceito importante, o conceito de Taxa Mínima Atrativa de Retorno (TMAR). A taxa 
mínima atrativa de retorno é a taxa de juros considerada “ideal” para calcular parâmetros 
referentes a um investimento de tempo. 
 
 
 
4.1 - Método do Valor Presente Líquido (VPL) 
 
 
Assim, para calcular o Valor Presente Liquido, basta transportar todos os 
recebimentos para a data zero do diagrama de fluxo de caixa e então, somá-los nesta 
data. 
 
Matematicamente: ( )∑= +=
m
j
n
j
i
X
VPL
0 1 
 (18) 
 
onde: VPL = valor presente líquido, 
Xj = valor da parcela número j, 
i = valor da TMAR. 
 
O método do VPL pode ser utilizado em duas 
circunstâncias:(i) para determinar a atratividade 
(viabilidade) de alternativas de investimentos e, (ii) 
para comparar diferentes alternativas de 
investimentos. 
 
 
No primeiro caso, quando o método é utilizado 
para determinar a atratividade de investimentos, deve-
se calcular o VPL e proceder conforme o roteiro: 
(a) casos onde VPL>0: investimento é atrativo; 
(b) casos onde VPL<0: investimento não é atrativo; 
(c) casos onde VPL=0: nada afirmar. 
 
Definição: o método do Valor Presente Líquido consiste em avaliar a alternativa 
de investimento como se todo ele ocorresse na data presente, ou 
seja, como se todos os pagamentos e recebimentos fossem 
realizados na data zero do diagrama de fluxo de caixa. 
O método do VPL pode ser 
utilizado em duas 
circunstâncias: (i) para 
determinar a atratividade 
(viabilidade) de alternativas de 
investimentos e, (ii) para 
comparar diferentes 
alternativas de investimentos. 
Engenharia Econômica - 23 
 
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No segundo caso, quando o método do VPL for utilizado para comparar diferentes 
alternativas de investimentos, deve-se calcular o VPL para todas as alternativas e então, 
escolher a alternativa de maior VPL (ou no caso de todos os VPLs serem negativos e, 
houver a necessidade de optar por uma alternativa, escolher aquela com o valor de VPL 
menos negativo). 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
4.1) Uma empresa decide construir uma nova unidade. Os investimentos iniciais são de $ 
150.000. Os custos de iniciam em $ 170.000, aumentando $ 15.000 nos 8 primeiros anos 
e $ 25.000 nos 6 seguintes, totalizando uma vida útil de 14 anos. Duas reformas para 
manutenção são previstas: a primeira com 6 anos, custando $ 120.000 e a segunda 6 
anos depois da primeira, no valor de $ 152.070. Os rendimentos previstos são de $ 
300.000 por ano. Passados 14 anos, a empresa pretende de desfazer do imóvel, por um 
valor de venda de $ 95.000. Utilizando o método do VPL, determine a atratividade do 
investimento (TMAR 22% aa). 
 
4.2) Uma empresa do setor metal mecânico comprou um torno de comando numérico, 
prevendo utilizá-lo por 5 anos, devido a sua depreciação. O valor investido foi R$ 
2.777.800 e o residual esperado é de R$ 987.500. Considerando a taxa de atratividade de 
23% aa, custos R$ 14.900 no ano 1 aumentando 11% por ano nos próximos 2 anos e 
14% aa nos 2 anos finais, rendimentos R$ 21.900 do ano 2 ao 4. A compra deste torno é 
atrativa para a empresa? 
 
 
 
4.2 - Método do Valor Anual Equivalente (VAE) 
 
Em outras palavras, o método consiste em transformar todos os valores do 
diagrama do fluxo de caixa em uma única série uniforme de pagamentos ou 
recebimentos. 
VPL > 0: investimento é atrativo; 
VPL < 0: investimento não é atrativo; 
VPL = 0: nada afirmar 
Definição: o método do Valor Anual Equivalente consiste em transformar todos 
os valores do diagrama de fluxo de caixa - somando-os e dividindo-os 
- em valores constantes ao de todo horizonte do fluxo. 
Engenharia Econômica - 24 
 
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Matematicamente: 
( )
( ) 





−+
⋅+
⋅=
11
1
n
n
i
iiVPLVAE (19) 
 
onde: VAE = valor anual equivalente, 
VPL = valor presente líquido, 
Xj = valor da parcela número j, 
i = valor da TMAR. 
 
 
Analogamente ao método do VPL o método do VAE pode ser utilizado em duas 
circunstancias: (i) para determinar a atratividade 
(viabilidade) de alternativas de investimentos e, (ii) 
para comparar diferentes alternativas de 
investimentos. 
No caso de se utilizar o método do VAE para 
determinar a atratividade de investimentos deve-se 
calcular o valor do VAE das alternativas e proceder 
conforme o roteiro: 
(d) casos onde VAE>0: investimento é atrativo; 
(e) casos onde VAE<0: investimento não é atrativo; 
(f) casos onde VAE=0: nada afirmar. 
 
No segundo caso, quando o método do VAE 
for utilizado para comparar diferentes alternativas 
de investimento, deve-se calcular o VAE para todas 
as alternativas e então escolher a alternativa de 
maior VAE (ou no caso de todos os VAEs serem 
negativos e, houver a necessidade de optar por 
uma alternativa, escolher aquela com valor de VAE menos negativo). 
 
 
 
Exercícios: 
 
4.3) Refazer os exercícios 4.1 e 4.2 utilizando o método VAE. 
 
4.4) Uma planta industrial foi montada, com um investimento de R$ 8.700.000.000,00. 
Imagina-se trabalhar nesta plataforma por 6 anos. Para tentar evitar uma desatualização 
muito grande um up grade foi programado para o 3o. ano de uso, no valor de R$ 
1.100.000.000,00. Os custos operacionais só se farão sentir a partir do ano 2 iniciando no 
O método do VAE pode ser 
utilizado em duas 
circunstâncias: (i) para 
determinar a atratividade 
(viabilidade) de alternativas de 
investimentos e, (ii) para 
comparar diferentes 
alternativas de investimentos. 
VAE > 0: investimento é atrativo; 
VAE < 0: investimento não é atrativo; 
VAE = 0: nada afirmar 
Engenharia Econômica - 25 
 
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valor de R$ 1.900.000,00 aumentando R$ 8.750,00 (por ano) até o final da vida útil da 
planta. O rendimento obtido com pesquisas será de R$19.799.000,00 (por ano) nos 4 
primeiros anos e R$ 23.780,00 (por ano) nos 2 últimos anos. Você, um dos envolvidos no 
projeto ficou encarregado de definir a viabilidade da planta industrial. 
 
 
 
4.3 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
Isto significa dizer que a TIR é a taxa de juros que iguala os valores de pagamentos 
e recebimentos, ou seja, é a taxa de juros que anula o valor do VPL (iguala VPL a zero 
fazendo o total de recebimentos igual ao total de pagamentos). 
 
Matematicamente: 0=→= VPLiTIR 
 
 ( )∑= =+→=
m
j
n
j
i
X
iTIR
0
0
1 (20) 
 
onde: TIR = valor da taxa interna de retorno, 
Xj = valor da parcela número j, 
i = valor da TMAR. 
 
 
Para o calculo da TIR pode-se recorrer a duas 
formas básicas: (i) escrever a expressão do VPL, igualá-
la a zero e então encontrar o valor da taxa i (TIR) ou, (ii) 
optar pelo método iterativo. No caso do método iterativo, 
devem-se supor valores para i de modo a encontrar um 
valor de VPL negativo e outro positivo; plotar os valores 
no gráfico e por semelhança de triângulos determinar o 
valor da taxa TIR. 
 
Diferentemente dos métodos do VPL e do VAE, o 
método da TIR na sua forma original somente pode ser 
utilizado em uma circunstância: determinar a atratividade 
(viabilidade) de alternativas de investimento. 
Depois de encontrada a taxa TIR esta deverá ser 
comparada à taxa TMAR, segundo o roteiro abaixo: 
(a) TIR>TMAR: investimento é atrativo; 
(b) TIR<TMAR: investimento não é atrativo; 
(c) TIR=TMAR: nada afirmar. 
 
Definição: o método da taxa interna de retorno consiste em determinar o valor 
da taxa de juros que equilibra os valores de recebimentos e 
pagamentos. 
O método da TIR original pode 
ser utilizado em uma única 
circunstâncias: para 
determinar a atratividade 
(viabilidade) de alternativas de 
investimentos. 
Engenharia Econômica - 26 
 
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Exercícios: 
 
4.5) Refazer os exercícios 4.1, 4.2 e 4.4 utilizando o método TIR. 
 
 
4.4 - Método Pay Back 
 
 
Muito utilizado em ambientes empresariais ele é considerado dentro da Engenharia 
Econômica como um método conceitualmente incorreto. Isto pois, não considera 
diferentes valores do dinheiro em diferentes datas. 
 
 
4.5 - Método da TIR Incremental 
 
O método da TIR pode ser utilizado para avaliar diferentes alternativas de 
investimentos desde que se façam algumas modificações. A este “novo” método da TIR 
chamamos de método da TIR incremental. 
 
Para utilizar o método da TIR incrementaldeve-se seguir o roteiro, a seguir: 
(i) ordenar as alternativas de investimentos em 
ordem crescente de investimentos inicial; 
(ii) pegar a primeira alternativa da lista e calcular 
sua TIR; 
(iii) comparar a TIR da primeira alternativa com a 
TMAR; no caso da TIR se maior, estabelecer esta 
alternativa como alternativa corrente aceitável; no 
caso contrário (TIR menor) pegar a próxima 
alternativa da lista; 
(iv) testar as alternativas em ordem, até encontrar a primeira alternativa corrente 
aceitável (TIR da alternativa maior que a TMAR); 
TIR > TMAR: investimento é atrativo; 
TIR < TMAR: investimento não é atrativo; 
TIR = TMAR: nada afirmar 
Definição: o método Pay Back determina o período necessário para que uma 
alternativa de investimento se pague e comece a dar retorno 
financeiro. 
O método da TIR incremental 
pode ser utilizado para 
comparar diferentes 
investimentos. 
Engenharia Econômica - 27 
 
Prof.a Luciana Sartori Murari Quevedo 
(v) pegar a próxima alternativa da lista não testada e subtraí-la da alternativa corrente 
atrativa (subtrair valores do diagrama de fluxo nas suas respectivas datas) encontrando o 
incremento da alternativa corrente aceitável menos a alternativa da lista; 
(vi) calcular a TIR do incremento e compará-la com a TMAR: no caso de TIR ser maior, 
considerar a alternativa da lista, como a nova alternativa corrente aceitável, em caso 
contrário, descartar a alternativa da lista, manter a mesma alternativa corrente aceitável e 
testar a próxima alternativa da lista; 
(vii) repetir os passos (v) e (vi) até terminarem as alternativas da lista; 
(viii) a melhor alternativa entre todas, será a ultima alternativa corrente aceitável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica - 28 
 
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5 - INVESTIMENTOS SOB CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS 
 
 
5.1 - Alternativas com Vidas Desiguais 
 
Quando analisamos alternativas de investimentos com vidas desiguais, surgem 
algumas perguntas: 
 
1) O que fazer com os recursos financeiros durante a diferença de prazo? 
2) Como suprir os serviços prestados pela alternativa de menor vida durante a diferença 
de prazo? 
3) Será que podemos utilizar a mesma TMAR para alternativas com vidas diferentes? 
 
No caso de alternativas com vidas desiguais existem então, duas possibilidades: (i) 
analisar as alternativas considerando o método do VAE ou, (ii) encontrar a coincidência de 
horizontes entre as duas alternativas e então, utilizar qualquer um dos métodos de 
comparação de alternativas de investimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica - 29 
 
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6 - DEPRECIAÇÃO 
 
 
Contabilmente a depreciação pode ser entendida como uma parcela do custo de 
produção, decorrente do desgaste de um ativo. Economicamente, a depreciação deve ser 
vista como uma fonte de recurso. 
 
Esta perda de valor pode ocorrer basicamente devido a dois fatores: (i) uso do 
bem, e/ou (ii) desatualização do bem. 
 
 
 
6.1 - Depreciação Linear 
 
 
Matematicamente: N
RCd −= 0 (21) 
 
 dnDn ⋅= (22) 
 
 nn DCC −= 0 (23) 
 
onde: d = valor “anual” da depreciação, 
C 0 = valor original do ativo, 
R = valor residual do ativo, 
N = vida útil do ativo, 
D n = depreciação acumulada após n anos, 
C n = valor contábil do ativo após n anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: depreciação é a perda de valor de um bem físico, não recuperado por 
meio de serviços de manutenção. 
Definição: na depreciação linear a carga de depreciação é uma função do valor 
original do ativo, da vida útil estimada e do valor residual do ativo. 
Engenharia Econômica - 30 
 
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6.2 - Depreciação Exponencial 
 
Matematicamente: N C
RT
0
1−= (24) 
 
 
onde: T = carga de depreciação no período. 
 
 
 
6.3 - Depreciação Soma de Dígitos 
 
Matematicamente: ∑
=
=
N
n
nSD
0
 (25) 
 
 
( )
2
1+⋅
=
nnSD (26) 
 
 
( ) ( )RC
SD
Nnd N −⋅
−−
= 0
1
 (27) 
 
 
( )[ ]
( ) ( )RCnn
Nnd N −⋅+⋅
−−⋅
= 01
12
 (28) 
 
 
 
onde: C 0 = valor original do ativo, 
R = valor residual do ativo, 
N = vida útil do ativo, 
dn = depreciação acumulada após n anos, 
C n = valor contábil do ativo após n anos. 
 
 
Definição: a diferença da depreciação do tipo exponencial em relação à linear 
está no fato de apresentar uma carga maior de depreciação nos 
primeiros aos da vida útil do ativo. 
Definição: na depreciação do tipo soma de dígitos a carga anual de depreciação 
também é decrescente, ou seja, a carga depreciada é maior nos 
primeiros anos. 
Engenharia Econômica - 31 
 
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Exercícios: 
 
6.1) Uma empresa fez um investimento em um imóvel comprando hoje por $ 75000,00 e 
pretende vendê-lo daqui a 5 anos por $ 79990,00. Se a taxa de juros de mercado for de 
12% aa, qual o rendimento que a empresa terá com esta transação, considerando 
depreciação exponencial de 2% aa. 
 
6.2) Qual a taxa de depreciação do imóvel da questão 6, considerando uma depreciação 
linear? Qual o valor deste imóvel com três anos de uso? 
 
6.3) Qual o valor do imóvel da questão 6.1 com dois anos de uso? 
 
6.4) Uma empresa está fazendo uma intervenção em seu processo produtivo e no 
momento analisa o que fazer em um de seus postos de produção. Inicialmente obteve 2 
propostas: comprar um equipamento usado 4 anos em bom estado ou alugar um 
equipamento similar. Qual a opção mais atrativa? 
O equipamento alugado possui vida útil estimada de 8 anos pagando por ele um aluguel 
anual no valor de $ 12.000. Os custos com manutenção iniciam-se no ano 1 em um valor 
de $ 290, aumentando 120 ao ano até o ano 4, estabilizando por 2 anos voltando a 
crescer 90 ao ano. Os rendimentos são de $ 1400 até o ano 3, aumentando $ 280 por ano 
até o ano 6, estabilizando. 
O equipamento usado possui investimento $ 60.800 com upgrade de $ 8900 no ano 4. Os 
custos com manutenção são de $ 1300 até o ano 4 aumentando $ 190 ao ano durante 3 
anos. Custos extras de $ 770 a partir do ano 3 aumentando $ 400 ao ano, se estabilizando 
e, voltando a aumentar $ 50 ao ano. Os rendimentos são de $ 990 mais 740 ao ano, 
estabilizando-se e, voltando a aumentar $ 680 ao ano. Rendimentos extras ocorrem do 
ano 3 ao 7 no valor de $ 990. Um bônus foi acertado para ser recebido no ano 4 no valor 
de $ 2200. 
Considere taxa máxima de atratividade de 12% aa, e uma depreciação exponencial de 
9,8% aa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica - 32 
 
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7 - ALTERNATIVAS EM USO 
 
Quando se analisam alternativas em uso, seja no caso de comprá-las ou no caso de 
manter uma alternativa já em uso, deve-se desprezar o passado. Consideramos que 
sempre estamos na data zero e desta forma nenhum rendimento ou pagamento anterior a 
este período deve ser considerado. Deve-se apenas considerar o valor do bem na data de 
hoje. 
Em outras palavras, significa pensar que duas situações podem ocorrer: (a) 
permanecer com um bem em uso e/ou (ii) investir em outra alternativa. 
 
Em ambos os casos devem-se calcular o valor da alternativa, considerando os 
métodos de depreciação. Após determinar o valor do ativo na data de hoje, deve-se 
proceder como se esta alternativa estivesse sendo comparada nesta data. 
 
 
Exercícios: 
 
7.1) Uma empresa comprou há dois anos uma frota de caminhões por $ 1.050.000,00, 
com a intençãode usá-la por 7 anos. Considerando uma depreciação linear de $ 34000,00 
por ano e uma taxa de juros de 18% aa, determine se a empresa deve permanecer com a 
frota. 
 
7.3) Supondo que a empresa da questão anterior tenha um custo anual de $ 88000,00 e 
um lucro de $ 155000,00 por ano nos 4 primeiros anos e de $ 147700,00 nos anos 
seguintes. Determine se ainda é interessante permanecer com a frota. 
 
7.4) Considerando o exercício anterior, determine qual a melhor opção: permanecer com a 
frota em uso (frota atual) ou comprar uma frota nova igual a que está em uso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica - 33 
 
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8 - VIDA ECONÔMICA 
 
 
A análise de substituição de um equipamento por outro deve ser feita levando-se 
em consideração as circunstancias mais favoráveis para cada equipamento. Deve-se fazer, 
portanto, a análise da vida econômica do bem. 
 
 
Matematicamente: 
( )
( ) 





−+
⋅+
⋅−=
11
1
n
n
i
iiVPLCAE (29) 
 
 
onde: CAE = custo anual equivalente, 
VPL = valor presente líquido, 
n = horizonte de planejamento, 
i = valor da TMAR. 
 
 
Exercícios: 
 
8.1) Uma empresa possui a 3 anos uma prensa pneumática. Quando a empresa fez a 
compra planejava utilizá-la por 11 anos. Considere para esta prensa uma depreciação 
linear de $ 3.500,00 por ano. Suponha os valores de recebimentos e pagamentos. Foi 
oferecido para esta empresa comprar uma prensa automática com 4 anos de uso, 
submetida a uma depreciação exponencial. Encontre a vida econômica da melhor 
alternativa. 
 
8.2) Suponha que a vida econômica encontrada na questão anterior seja no ano 9. Nesta 
data a empresa deve decidir se continua com esta prensa automática ou se troca por 
igual, porém, nova. Determine qual a melhor alternativa. 
 
8.3) Um automóvel custa quando novo $ 60.000. A revista 4 Rodas divulga a cotação dos 
carros usados. Com 1 ano de uso, $ 42.000; com 2 anos, $ 35.000; com 3 anos, $ $ 
29.000; com 4 anos, $ 22.000; com 5 anos, $ 17.000. Os custos de manutenção crescem 
com o tempo, ao fim de 1 ano: $ 1.500, de 2 anos: $ 3.000, a seguir tais custos 
aumentam $ 3.000 por ano. Sendo o custo de oportunidade do capital de 6% aa (“juros”): 
(a) qual a vida econômica do carro novo?, (b) uma pessoa deve comprar um carro novo 
ou com 1 ano de uso? 
 
8.4) Uma empresa do setor metal mecânico comprou há 3 anos um torno de comando 
numérico, prevendo utiliza-lo por 5 anos, devido a sua depreciação ser do tipo soma de 
dígitos. O valor investido foi R$ 2.777.800 e o residual esperado é de R$ 987.500. 
Considerando a taxa de atratividade de 23% aa, custos R$ 14.900 no ano 1 aumentando 
Definição: vida econômica de um ativo é o tempo de utilização que minimiza seu 
custo anual equivalente (CAE). 
Engenharia Econômica - 34 
 
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R$100 por ano nos próximos 2 anos e R$ 150 por ano nos 2 anos finais, rendimentos 
R$21.900 do ano 2 ao 4. Este torno deve ser trocado hoje? Caso contrário quando? 
 
8.5) Uma rede de supermercados decidiu fazer um investimento para fortalecer sua 
posição no mercado. Após abrir concorrência surgiram duas oportunidades (abaixo 
descritas). Considere taxa de juros real de 32,16% aa. Determine: qual a melhor opção 
para a Companhia e por quanto tempo a empresa deverá permanecer com o 
investimento. 
 
Investimento A: 
(fluxo de caixa em moeda corrente; depreciação do tipo exponencial: Taxa 8% aa) 
 
 
 
Investimento B: 
(fluxo de caixa em moeda de hoje; depreciação exponencial) 
 
 
 
 
 
 
 
180.000 
14.000 
17.400 
20.000 + 4.000 
22.000 
R 18.000 + 800 
210.000 
30.000 + 1.000 
19.800 
42.000 + 1.200 
80.000 
24.000 
Engenharia Econômica - 35 
 
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8.6) Um sistema supervisor foi adquirido a 9 anos, com vida estimada de 11 anos e uma 
depreciação do tipo exponencial no valor de 13% aa. Seu investimento inicial foi de R$ 
479.00,00, tendo um up grade programado para 5 anos após sua compra, no valor de 
15% do investimento inicial. Os custos se dividem em dois: de materiais, iniciando em R$ 
7.800,00 e aumentando R$ 1.000,00 por anos nos 3 últimos anos de vida do 
equipamento; e os operacionais, no valor de R$ 13.700,00. Os rendimentos são de R$ 
21.800,00, aumentando R$ 1.800,00 por ano nos anos 2, 3, 4 e 5, se estabilizando no 
final. Deseja-se saber se, para uma taxa de atratividade de 27% aa: 
(a) a vida econômica do sistema e, (b) este sistema deve ou não ser substituído hoje por 
outro igual a ele, porém, novo. 
 
8.7) Uma planta industrial foi montada a 3 anos, com um investimento de R$ 
8.700.000,00. Imaginava-se trabalhar nesta plataforma por 6 anos, mesmo porque sua 
depreciação é do tipo exponencial a uma taxa de 15% aa. Para tentar evitar uma 
desatualização muito grande um upgrade foi programado para o 3o. ano de uso, no valor 
de R$ 1.100.000,00. Os custos operacionais só se farão sentir a partir do ano 2 iniciando 
no valor de R$ 1.900,00 aumentando R$ 8.750,00 (por ano) até o final da vida útil da 
planta. O rendimento obtido com pesquisas ser de R$ 19.799,00 (por ano) nos 4 primeiros 
anos e R$ 23.780,00 (por ano) nos 2 últimos anos. Você, um dos envolvidos no projeto 
ficou encarregado de definir a melhor data para a substituição da planta industrial. 
 
8.8) Devido à qualidade do trabalho, coube a você definir qual a nova concepção da 
planta industrial: (i) continuar usando a configuração atual, (ii) adquirir uma planta nova 
do mesmo tipo que a em uso, (iii) adquirir uma planta nova concorrente, (iv) adquirir a 
planta concorrente, porém, com 3 anos de uso: 
 
planta concorrente: investimento R$ 14.300.000,00; residual R$ 11.000.000,00; 
depreciação linear; vida útil de 8 anos; rendimentos com pesquisas R$ 17,998,00 (por 
ano) do ano 1 ao 7, rendimentos com convênios R$ 19.900,00 no ano 2 aumentando R$ 
1.500,00 (por ano) até o ano 5; custos com manutenção R$ 2.200,00 por ano, nos 5 
últimos anos, custos com materiais R$ 7.900,00 no ano 1 aumentando R$ 8.700,00 (por 
ano) até o ano 6. 
 
7.5) A máquina A foi adquirida há dois anos no valor de U$ 400.000,00, tendo uma vida 
estimada de 5 anos e um residual de U$ 227.000,00, considerando uma depreciação do 
tipo soma de dígitos. Os rendimentos obtidos são: duas parcelas de U$ 2.000,00, uma no 
ano 3 e outra no ano 4 e; uma parcela de U$ 13.000,00 no ano 1, aumentando U$ 570,00 
por ano até o ano 5. Os custos necessários são: uma parcela de U$ 7.700,00 no ano 2 
aumentando U$ 397,00 ao ano até o ano 5 e; e uma manutenção programada no ano 3 
no valor de U$ 9.000,00. 
 
Máquina B: depreciação exponencial na taxa de 7% aa; vida útil de 6 anos com residual 
de U$ 317.000,00, custo de material U$ 9.500,00 no ano 1 aumentando U$ 299,00 por 
ano até o ano 5, custo de manutenção de U$ 2.980,00 nos anos 2, 3 e 4. Rendimentos: 
um valor de U$ 10.000,00 do ano 1 ao 5, uma parcela de U$ 4.100,00 aumentando U$ 
990,00 ao ano até o ano 6. 
Determine: (a) a vida econômica da máquina; (b) a empresa decidiu hoje analisar a 
viabilidade de trocar o equipamento, sendo as opções: uma máquina A nova, a máquina A 
em uso, uma máquina B nova, uma máquina B com 2 anos de uso; (c) determine a vida 
econômica da alternativa escolhida.