Lista de exercícios de Taxas relacionadas

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26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
1 
Taxas Relacionadas 
 
Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema 
de taxas relacionadas. 
 Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas 
envolvendo taxas relacionadas. 
 
1 – Faça uma figura, se isso for possível; 
2 – Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem 
de t. 
3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t. 
4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 
5 – Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4. 
6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da 
quantidade desejada. 
 
Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real. 
 
Exemplos: 
 
1) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da 
escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por 
segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades de 
comprimento da parede? 
 
Resolução: 
- Definição das variáveis: 
t → tempo decorrido desde que a escala começou a deslizar pela parede em segundos. 
y → distância do chão ao topo da escada. 
x → distância do pé da escada ate a parede. 
- Figura (desenho esquemático) 
 
- Fatos numéricos conhecidos: 
3=
dt
dx
 
?=
dt
dy
 quando x = 15 
 
- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
222 25=+ xy 
22 625 xy −= 
x
y
25
x
y
25
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
2 
- Derivando em relação a t: 
22 625 xy −= 
dt
dx
x
dt
dyy 202 −= 
dt
dx
y
x
dt
dy
2
2
−= 
dt
dx
y
x
dt
dy
−= 
 
 
- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na equação: 22 625 xy −= 
40022562515625 22 =−=−=y 
20400 ±=±=y portanto: 
20=y 
 
Encontrando agora 
20=



ydt
dy
 
25,2
4
93
20
15
−=−=⋅−=
dt
dy
 
 
Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo. 
O sinal negativo significa que y é decrescente, quanto t cresce. 
 
 
2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A 
água “flui” no tanque a uma taxa de min2 3m . Com que velocidade o nível da água estará se 
elevando quando sua profundidade for de 5m? 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (min) com que a água “flui” no tanque. 
V → volume em m3 de água. 
h → nível em (m) com que a água esta se elevando no tanque. 
r → raio em (m) do nível da água no tanque. 
4m
r m
h m
16 m
4m
r m
h m
16 m
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
3 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
min
3
2 m
dt
dV
= 
min?
m
dt
dh
= quando mh 5= 
mh 16= para mr 4= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
4
4 hrrh =⇒= 
hrV ⋅⋅= 2
3
pi
 
3
2
16343
hhhV ⋅
⋅
=⋅





⋅=
pipi
 
 
5- Derivando em relação a t: 
3
163
hV ⋅
⋅
=
pi
 
dt
dhh
dt
dhh
dt
dV
16
3
163
2
2 ⋅
=⋅⋅⋅
⋅
=
pipi
 
dt
dV
hdt
dh
⋅
⋅
= 2
16
pi
 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Encontrando agora 
5=



hdt
dh
 
min22
5 25
322
5
1616 m
dt
dV
hdt
dh
pipipi ⋅
=⋅
⋅
=⋅
⋅
=


 
min
5
407,0 m
dt
dz
=


 
 
 
3) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a 
uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual 
eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,2km do cruzamento e o 
segundo a 0,15km? 
Resolução: 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
 
 
P
y (km)
x (km)
z (k
m)
direção 
sul
direção 
leste
P
y (km)
x (km)
z (k
m)
direção 
sul
direção 
leste
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
4 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (h) desde que os carros começaram a se aproximar. 
x → distância em (km) do primeiro carro em relação a P (direção leste). 
y → distância em (km) do segundo carro em relação a P (direção sul). 
z → distância em (km) entre os dois carros. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
h
km
dt
dx 90−= kmx 2,0= 
h
km
dt
dy 60−= kmx 15,0= 
h
km
dt
dz (?)= kmz (?)= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
222 yxz += 
 
5- Derivando em relação a t: 
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz
z 222 += 






+=
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz
z 22 
z
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz +
= 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Devemos encontrar z, substituindo na equação: 222 yxz += 
25,00625,015,02,0 2222 ==+=+= yxz 
Encontrando agora 
25,0=



zdt
dz
 
25,0
)60(15,0)90(2,0
25,0
−⋅+−⋅
=
+
=


z
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz
 
h
km
dt
dz 108
25,0
−=


 
 
 
4) Um avião voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no sentido oeste, 
tomando como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da 
projeção vertical do avião em relação ao solo. 
Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a 
velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a 
projeção vertical do avião for de 610m? 
1- Figura (desenho esquemático) 
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
5 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (s) com que o avião se desloca na direção oeste. 
θ → ângulo de elevação (em radianos) do feixe luminoso emitido pelo holofote em relação ao solo. 
x → distância em (m) medida horizontalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião em 
relação ao solo. 
y → distância em (m) medida verticalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião no solo. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
s
m
dt
dx 4,152−= mx 610= 
s
radianos
dt
d (?)=θ radianos(?)=θ 
 my 1220= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
x
tg
x
y
tg 1220=⇒= θθ 
θθ 22 1sec tg+= 
5- Derivando em relação a t: 
'1220)'( 





=
x
tgθ
 
dt
dx
xdt
d
⋅−=⋅ 2
2 1220sec θθ 
dt
dx
xdt
d
⋅
⋅
−=
θ
θ
22 sec
1220
 
 
6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: 
22
610
12201220
=⇒=== θθ tg
x
tg 
5sec54121sec 222 =⇒=+=+= θθ 
)4,152(
5610
1220
sec
1220
2222 −⋅
⋅
−=⋅
⋅
−=
dt
dx
xdt
d
θ
θ
 
srad
dt
d /
10
1
=
θ
 
 
θ
P (avião)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direção
oeste
θ
P (avião)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direção
oeste
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
6 
5) Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazão de água é constante, valendo 
0,5m3/s. Determine a velocidade de subida do nível da água. 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (s) com que a água estasendo vazada no tanque. 
h → altura em (m) do tanque cúbico (aresta vertical). 
V → volume do tanque cúbico. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
s
m
dt
dV 35,0= hhAV b ⋅=⋅= 22 
s
m
dt
dh (?)= mh 2= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
hV ⋅= 4 
5- Derivando em relação a t: 
dt
dh
dt
dV
⋅= 4 
dt
dV
dt
dh
⋅=
4
1
 
6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: 
s
m
dt
dh 125,0
4
5,05,0
4
1
==⋅= 
 
6) Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinando-a de tal forma que ela 
se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que 
velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (s) com que a criança empina a pipa 
x → distância em (m) medida horizontalmente entre a criança e a projeção vertical da pipa no solo. 
y → distância em (m) medida verticalmente entre a pipa e o solo. 
z → distância em (m) medida entre a pipa e a criança. 
 
x
yz
P
x
yz
P
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
7 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
s
m
dt
dx 3= mx (?)= 
s
m
dt
dy 0= my 40= 
s
m
dt
dz (?)= mz 50= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
222 yxz += 
5- Derivando em relação a t: 
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz
z 222 += 
z
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz +
= 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Devemos encontrar z, substituindo na equação: 222 yxz += 
900160025004050 2222 =−=−=−= yzx 
30=x 
Encontrando agora 
50=



zdt
dz
 
50
90
50
040330
=
⋅+⋅
=
dt
dz
 
s
m
dt
dz
5
9
= 
 
 
7) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 
5m3/min. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12m? 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo (em min.) com que o balão esta sendo inflado. 
d → diâmetro (em m) do balão esférico. 
V → volume (em m3) do balão esférico. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
.min(?)
d m
dt
d
= md 12= 
.min
e 35V m
dt
d
= mVe (?)= 
 
dd
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8 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
3
33
3
683
4
23
4
3
4 dddrVe ⋅=⋅=





⋅=⋅=
pi
pipipi 
2
2 drrd =⇒= 
 
5- Derivando em relação a t: 
3
6
dVe ⋅=
pi
 
dt
dd
dt
dd
dt
dVe d
2
d3
6
22
⋅⋅=⋅⋅⋅=
pipi
 
dt
dV
dt
d e
⋅⋅= 2d
12d
pi
 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Encontrando agora 
12
d
=



ddt
d
 
.min22 72
5
144
105
21
12
d
12d me
dt
dV
dt
d
pipipipi
==⋅⋅=⋅⋅= 
.min.min 022,072
5d mm
dt
d
≅=
pi
 
 
 
8) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm3/min. 
Ache a taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de diâmetro. 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo (em min.) com que a bola de neve esta se formando. 
r → raio (em cm) com que a bola de neve esta crescendo. 
V → volume (em cm3) da bola de neve que esta se formando. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
.min(?)
r cm
dt
d
= cmr 2
2
4
== 
.min
e 38V cm
dt
d
= cmVe (?)= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
3
3
4
rVe ⋅= pi 
 
5- Derivando em relação a t: 
3
3
4
rVe ⋅= pi 
dd
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
9 
dt
d
r
dt
d
r
dt
dVe r4r3
3
4 22
⋅⋅=⋅⋅⋅= pi
pi
 
dt
d
r
dt
dVe r4 2 ⋅⋅= pi 
dt
dV
rdt
d e
⋅
⋅
= 24
1r
pi
 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Encontrando agora 
2
r
=



rdt
d
 
pipipipi 2
1
16
8
44
88
24
1r
2 ==
⋅
=⋅
⋅
=
dt
d
 
.min2
1r cm
dt
d
⋅=
pi
 
 
 
9) Suponha que quando o diâmetro da bola de neve do exercício anterior (exercício 8) for de 6cm, 
ela pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de 1/4cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o 
raio estará variando, quando o raio for de 2cm. 
.min64
1r cm
dt
d
⋅=
pi
 
 
 
10) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte 
cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará 
crescendo quando o monte tiver 8m de altura? 
.min8
5 m
dt
dh
pi
= 
 
 
11) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do 
tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de 
aumento do volume do tumor naquele instante? 
dia
cm
dt
dV 3001,0 pi= 
 
 
12) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do 
tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de 
crescimento da sua área? 
dia
cm
dt
dA 2004,0 pi= 
 
 
13) Uma pedra é jogada em um lago, provocando uma onde circular de raio r, o qual varia com o 
tempo a uma taxa constante de 3cm/s. Calcule a taxa de variação, com o tempo, da área do circulo 
limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20cm. {PB e9.6} 
s
cm
dt
dA 21203202 pipi =⋅⋅= 
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
10 
14) Um balão esférico, que esta sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma 
taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variação do seu volume, no instante em que seu raio 
vale 2m. 
s
m
dt
dV 38,0 pi= 
 
 
15) Um cubo de metal, que esta sendo aquecido, mantém sua forma. Uma aresta aumenta a uma 
taxa que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de 
expansão do volume do cubo no instante t0. 
s
cm
dt
dV 315= 
 
 
16) Uma moeda que esta sendo aquecida, mantém sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de 
variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do diâmetro, num 
instante em que o diâmetro mede 1cm. 
cm
dt
dd
dt
dA
2
pi
= 
 
 
17) Uma escada, de comprimento 2m, desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. Em 
um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma à razão de 0,3m/s. 
Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão. 
sm
dt
dy /094,0−≅ 
 
 
18) Uma escada, 6m de comprimento, apóia-se durante seu movimento, no chão e na parede 
vertical. Em um instante t0, o seu topo dista 3,6m do chão, e a sua base afasta-se da parede vertical à 
taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0. 
sm
dt
dy /
3
4
−=