Transformada Laplace (1)

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Transformada	
  de	
  Laplace	
  
Cap.	
  6,	
  Kresyszig	
  	
  	
  
Jefferson	
  Soares	
  da	
  Costa	
  
	
  
2	
  
Introdução	
  	
  
3	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Seja f(t) for uma função definida para todo t ≥ 0, sua Transformada 
de Laplace, se existir é definida por: 
Quando a integral converge temos um F que é função de s. 
Definição 
4	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Transformada Inversa 
Além disso, a função dada f(t) definida anteriormente é chamada de 
transformada inversa de F(s), sendo denotada por 
5	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Exemplo 01: 
Considere f(t) = 1 quando t ≥ 0. Obtenha F(s). 
Para s > 0 
6	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Exemplo 02: 
Considere ƒ(t) = eat quando t ≥ 0, onde a é uma constante. Obtenha 
Para s – a > 0, ou seja s > a 
7	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Linearidade da Transformada de Laplace 
A transformada de Laplace é uma operação linear; ou seja, para 
funções f(t) e g(t) quaisquer cujas transformadas existem, e para 
constantes a e b quaisquer, a transformada de af(t) + bg(t) existe, e 
Este resultado é possível devido a linearidade da Integral 
8	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Exemplo 03 
Encontre as transformadas de cosh(at) e senh(at). 
Sabendo que 
9	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Exemplo 04 
Demonstre as fórmulas: 
Chamaremos de Lc a transformada do cos(ωt) e Ls a de sen(ωt), 
assim ficamos com: 
10	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Exemplo 04 
Continuação 
Resolvendo o sistema ficamos com: 
e 
11	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Exemplo 05 
Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = tn+1 
12	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Resumo das Principais Transformadas de Laplace (Tabela 01:) 
13	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Primeiro Teorema do desvio. Desvio S 
O que acontece com a transformada de Laplace se substituirmos s 
por s–a 
Prova 
14	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Exemplo 06 
Encontre as tranformadas de f(t) = eatcos(ωt) e f(t) = eatsen(ωt) 
15	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Existência da Transformada de Laplace 
Uma função f(t) possui uma transformada de Laplace se ela não 
crescer muito depressa, ou seja se para todo t ≥ 0 e para algumas 
constantes M e k, ela satisfizer à restrição de crescimento 
f(t) não precisa ser contínua em todo o intervalo a ≤ t ≤ b, f(t) só 
precisa ser contínua por intervalos 
(2)	
  
16	
  
Transformada	
  de	
  Laplace.	
  Transformada	
  Inversa.	
  Linearidade	
  e	
  Desvio	
  s	
  	
  
Existência da Transformada de Laplace 
Como f(t) é contínua por intervalos, e–st f(t) é integrável em intervalos 
finitos quaisquer no eixo t . De (2), e supondo que s > k (o que será 
necessário para a existência da última das integrais a seguir), 
obtemos a prova da existência da transformada a partir de 
17	
  
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Transformadas de Laplace de Derivadas 
No caso mais geral para derivadas de ordem n temos: 
18	
  
Exemplo 01 
Encontre a tranformada de f(t) = tsen(ωt) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
19	
  
Exemplo 02 
Encontre a tranformada de f(t) = cos(ωt) e g(t) = sen(ωt) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Para f(t) = cos(ωt), temos que 
Disto obtemos que, 
20	
  
Exemplo 02 (cont.) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Para f(t) = cos(ωt), temos que 
Disto obtemos que, 
21	
  
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Transformadas de Laplace de Integrais 
22	
  
Exemplo 03 
Encontre as tranformadas inversas de e 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
1
s(s2 +ω 2 )
1
s2 (s2 +ω 2 )
Para temos, 1
s(s2 +ω 2 )
Para temos, 1
s2 (s2 +ω 2 )
23	
  
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Equações diferenciais, problemas de valor inicial 
Considere o problema de valor incial: 
Etapa 1: Encontrar a equação subsidiária 
24	
  
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Equações diferenciais, problemas de valor inicial 
Etapa 2: Solução da equação subsidiária 
Onde, Q(s) é chamada função de transferência 
Observe que Q(s) não depende de r(t) nem das condições iniciais 
25	
  
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Equações diferenciais, problemas de valor inicial 
Etapa 3: Encontrar a transformada inversa de Y(s) 
Tabela de trasformadas de Laplace 
26	
  
Resumo das Principais Transformadas de Laplace (Tabela 01:) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
27	
  
Exemplo 04 
Resolva: 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Etapa 01: 
Etapa 02: 
28	
  
Exemplo 04 (cont.) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Etapa 03: 
29	
  
Exemplo 05 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Resolva: 
30	
  
Exemplo 05 (cont.) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
31	
  
Exemplo 06 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Resolva: 
As condições iniciais são apresentadas para um t = t0 > 0, fazemos 
 de modo que t = t0, e consequentemente 
 
Desta forma ficamos com: 
32	
  
Exemplo 06 (cont.) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Ficamos então com: 
33	
  
Exemplo 06 (cont.) 
Transformadas	
  de	
  Derivadas	
  e	
  Integrais.	
  EDOs	
  
Voltando para t temos: 
Calculando a transformada Inversa: 
34	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Função Degrau Unitário (Função de Heaviside) 
A função Degrau Unitário ou função de Heaviside u(t < a) é 0 para 
t > a, apresenta um salto de tamanho 1 em t = a (onde podemos 
deixá-la indefinida) e vale 1 para t > a, como na fórmula: 
Este tipo de função é amplamente usada em engenharia, podemos 
destacar os estudos envolvendo circuitos elétricos, a função é 
utilizada quando ocorre uma bateria é ligada ao circuito 
35	
  
FunçãoDegrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Função Degrau Unitário (Função de Heaviside) 
A transformada de Laplace da Função de Heaviside é dada pela 
expressão: 
36	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Funções Definidas por partes 
Podemos utilizar a função de Heaviside para expressar funções 
definidas por partes, de modo que torna mais simples o cálculo de 
sua transformada de Laplace. 
! ! = 0!"#!! se t < π se t ≥ π 
Percebam que para t < π, a função cos(t) é “desligada” 
! ! = cos ! !(! − !)!
37	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Exemplo 07 
Expresse a função abaixo com o auxílio de funções de Heaviside 
! ! = −130 !!!
se 0 ≤ t < 1 
se 1 ≤ t < 2 
se t ≥ 2 	
  
	
  ! ! = !−1 1− ! ! − 1 + 3 ! ! − 2 − ! ! − 1 !! ! ! = !−1− 2! ! − 1 + 3!(! − 2)!!
38	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Segundo Teorema do Desvio 
39	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Exemplo 08 
! ! = −130 !!!
se 0 ≤ t < 1 
se 1 ≤ t < 2 
se t ≥ 2 
Como vimos no exemplo 07, g(t) pode ser expressa da seguinte 
forma: 
Encontre a transformada de Laplace de g(t) 
! ! = !−1− 2! ! − 1 + 3!(! − 2)!!
Assim temos que ℒ ! ! = !−ℒ 1 − 2ℒ ! ! − 1 + 3ℒ{! ! − 2 }!! ℒ ! ! = !− 1! − 2!!!! + 3!!!!! !
40	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Exemplo 09 
Encontre a transformada de inversa de F(s) 
Reescrevendo F(s) como frações parciais temos: 
! ! = ! + 1!! + !! − 6!!!! ! = −1/6! + 3/10(! − 2)+ 2/15(! − 3)!!Utilizando a tabela de transformadas de Laplace e encontrado a 
inversa temos: 
! ! = −16 + 310 !!! − 215 !!!! !!
41	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Exemplo 10 
Encontre a transformada de inversa f(t) de 
42	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Exemplo 11 
Determine a equação de movimento do sistema massa-mola abaixo: 
Para resolver o problema utilizaremos transformada de Laplace 
Encontrando a transformada inversa de F(s) temos: 
43	
  
Função	
  Degrau	
  Unitário:	
  Desvio	
  t	
  
Exemplo 11 (cont.) 
44	
  
Impulsos	
  Curtos.	
  Função	
  Delta	
  de	
  Dirac.	
  	
  
Impulsos Curtos. Função Delta de Dirac. 
Os fenômenos de natureza impulsiva, como a ação de forças em 
curtos períodos de tempo apresentam diversas aplicações, como por 
exemplo: Um sistema mecânico é atingido pelo golpe de um martelo, 
quando se bate numa bola de tênis com uma raquete, e assim por 
diante 
A medida que k⟶0	
  se a função fk(t – a) se aproxime de: 
Que é denominada função Delta de Dirac 
45	
  
Impulsos	
  Curtos.	
  Função	
  Delta	
  de	
  Dirac.	
  	
  
Propriedades da Função Delta de Dirac 
Impulso: 
Peneiração ou Filtragem 
46	
  
Impulsos	
  Curtos.	
  Função	
  Delta	
  de	
  Dirac.	
  	
  
Transformada de Laplace da função Delta de Dirac 
Para obter a transformada de Laplace da função delta de Dirac 
escrevemos fk(t – a) como: 
Então tomamos a transformada de Laplace: 
Tomando o limite de k⟶0,	
  ficamos com: 
47	
  
Exemplo 01 
Impulsos	
  Curtos.	
  Função	
  Delta	
  de	
  Dirac.	
  	
  
Encontre a solução da EDO abaixo, que modela o sistema massa – 
mola, quando o mesmo sofre um Golpe de Martelo: