transformada_laplace

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
A TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 Muitos problemas práticos de engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos 
atuados por agentes descontínuos ou impulsivos. Com estes problemas os métodos já estudados 
são, muitas vezes, de aplicação inconveniente. Um outro método, particularmente bem 
apropriado a estes problemas, embora tenha utilidade muito mais geral, está baseado na 
transformada de Laplace. Em transformada de Laplace vamos descrever a operação deste 
importante método, acentuando problemas típicos que aparecem na engenharia. 
 
1 – INTEGRAIS IMPRÓPRIAS. 
 
 Se g(x) é definida para ,xa ∞<≤ a sendo uma constante, então a integral imprópria 
 é definida por: ∫
∞ 
a 
dx).x(g
∫∫ ∞→
∞
=
R 
a 
R
 
a 
g(x).dx limdx).x(g (01) 
 
se o limite existe. Quando o limite existe diz-se que a integral imprópria converge; caso 
contrário, diz-se a integral imprópria diverge. 
 
Exemplos: 
1) Determine se a integral 
 
2 2
1 dx
x
∞
∫ converge. 
 
Resolução: 
 
Como 
 
2 2 2
1 1 1lim lim lim 
2 2
RR
R R R
dx
x Rx→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − +∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1= , a integral imprópria converge 
para o valor 1
2
. 
 
2) Determine se a integral 
 
 9
1 dx
x
∞
∫ converge. 
 
Resolução: 
 
Como ( ) 9
 9
1lim lim ln lim ln ln 9
R R
R R R
dx x R
x→∞ →∞ →∞= = −∫ = ∞ , a integral imprópria diverge. 
 
 
2
OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
3) Determine os valores de s para os quais a integral imprópria 
 
 0
sxe d
∞ −∫ x converge. 
 
Resolução: 
 
Para , 0s =
 
 
 0
sxe d
∞ −∫ x =
 (0)
 0
xe dx
∞ −∫ =
 
0
 0
lim (1) lim lim 
R R
R R R
dx x R→∞ →∞ →∞= = = ∞∫ 
 
Logo, a integral imprópria diverge. Para 0,s ≠ 
 
 0
sxe dx
∞ −∫ =
 
0 0
1 1 1lim lim lim 
x RR sx sx sR
R R Rx
e dx e e
s s s
=− − −
→∞ →∞ →∞=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − +∫ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 
 
Quando logo, o limite é 0, 0;s sR< − > ∞ e a integral diverge. Quando logo, 
o limite é 1/ e a integral converge. 
0, 0;s sR> − <
s
 
 
2 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
 Seja ( )f x definida em ∞<≤ x0 e seja s uma variável real arbitrária. A Transformada 
de Laplace de f(x), designada por { }( )f xL ou F(s), é: 
 
{ } 
 0
( ) ( ) e ( )sxf x F s f x d
∞ −= = ∫L x (02) 
para todos os valores de s que tornem convergente a integral. 
 
 Ao calcular a integral em (02), a variável s é considerada como constante, pois a 
integração é em relação a x. Nos exemplos seguintes calculam-se as transformadas de Laplace de 
várias funções elementares. 
 
Exemplos: 
 
1) Determine a transformada de Laplace de ( ) 1f x ≡ . 
Resolução: 
Aplicando a definição 
{ } 
 0
( ) ( ) e ( )sxF s f x f x dx
∞ −= = ∫L , temos: 
 *
 0
1( ) e (1)sxF s dx
s
∞ −= = =∫L{1} 
para . 0s >
 
* Usando os resultados obtidos no exemplo 3 da seção anterior. 
 
3
OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
2) Determine a transformada de Laplace de 2( )f x x= . 
 
Resolução: 
Aplicando a definição e duas vezes a integração por partes, obtemos: 
 R2 2 2
 0 0
( ) { } e lim esx s
R
F s x x dx x dx
∞ − −
→∞= = =∫ ∫L
x = 
2
2 3
0
2 2lim
x R
sx sx sx
R
x
x xe e e
s s s
=
− − −
→∞ =
⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
2
2 3
2 2lim sR sR sR
R
R Re e e
s s s
− − −
→∞
⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠3
2
s
 
Para o caso, , 0s <
2
lim sR
R
R e
s
−
→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∞ , e a integral imprópria diverge. 
Já para o caso, , o uso reiterado da regra de L’Hospital indica que 0s >
 
2 2
2 3
2 2lim lim lim lim 0sR sR sR sRR R R R
R R Re
s se s e s e
−
→∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= e 
 
2
2 2lim lim lim 0sR sR sRR R R
R Re
s se s e
−
→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 = 
 
Outrossim, 3
2lim 0sR
R
e
s
−
→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = , diretamente; logo, a integral converge a 3
2( )F s
s
= . 
 
Por outro lado, o caso especial , temos 0s =
 
3 R2 (0) 2 2
 0 0 0
e e lim lim
3
sx x
R R
Rx dx x dx x dx
∞ ∞− −
→∞ →∞= = =∫ ∫ ∫ = ∞ 
 
Finalmente, combinando todos os casos, obtemos { }2 32x s=L , . 0s >
 
3) Determine { }axeL . 
 
Resolução: 
Aplicando a definição, obtemos: 
{ } R ( )
 0 0
( ) e lim eax sx ax a s x
R
F s e e dx dxL
∞ − −
→∞= = =∫ ∫ 
( ) ( )
0
1 1lim lim
x Ra s x a s R
R R
x
e e
a s a s s a
=− −
→∞ →∞=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
s a>− , para . 
 
Note-se que quando s a≤ , a integral imprópria diverge. 
 
 
4
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4) Determine { } sen axL . 
 
Resolução: 
Aplicando a definição e integrando por partes duas vezes, obtemos: 
{ } R
 0 0
( ) ln e lim e sx sx
R
F s ax sen axdx sen axdxL
∞ − −
→∞= = =∫ ∫ 
2 2 2 2
0
 cos lim
s s
x Rsx sx
R
x
se sen ax ae ax
a a
=− −
→∞ =
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
 
2 2 2 2 2 2 2
 cos lim
s s s s
sR sR
R
se sen aR ae aR a a
a a a
− −
→∞
⎡ ⎤= − − + =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ 2a+
, para . 0s >
 
 
5) Determine { } 1 4( ) se ( )
 1 4
se x
f x f x
se x
− ≤⎧= ⎨ >⎩L
 
Resolução: 
{ } 4 
 0 0 4
( ) ( ) e ( ) e ( 1) e (1)sx sx sxF s f x f x dx dx dx
∞ ∞− − −= = = − +∫ ∫ ∫L 
4 R 4
4
 40
1 1 1lim e lim e e
xsx x
sx R
R R
x
e edx
s s s s
=− −
− −
→∞ →∞=
⎛ ⎞= + = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ s ss − 
42 se
s s
− 1= − , para 0s >
 
Obs: Para solucionar as transformadas simplificando nosso trabalho, devemos utilizar a tabela 
abaixo: 
 
Tábua de Transformadas 
 ( )f x { }( ) ( )F x f x=L 
01. 1 
0)(s 
s
1 > 
02. x 
0)(s 
s
1
2 > 
03. 1( 1,2,3,..)nx n− = 0)(s 
s
)!1n(
n >
− 
04. x 
0)(s s.
2
1 2
3
>π − 
05. 
x
1 
0)(s s.
 
2
1
>π − 
06. ...)3,2,1(
2/1 =− nx n 0)(s .
2
)12)...(5).(3).(1( 2/1 >− −−nn sn π 
 
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07. axe a)(s 
as
1 >− 
08. sen ax 
0)(s 
as
a
22 >+ 
09. cos ax 
0)(s 
as
s
22 >+ 
10. senh ax ) a (s 
as
a
22 >− 
11. cosh ax ) a (s 
as
s
22 >− 
12. . x sen ax 
0)(s 
)as(
as2
222 >+ 
13. .cos x ax 
0)(s 
)as(
as
222
22
>+
− 
14. 1,2,....)(n e.x ax1n =− a)(s 
)as(
)!1n(
n >−
− 
15. ax sen.ebx b)(s 
a)bs(
a
22 >+− 
16. ax cos.ebx b)(s 
a)bs(
bs
22 >+−
− 
17. .cos sen ax ax ax− 
0)(s 
)as( 222
>+ 
a2 3
 
Nem todas as funções admitemtransformada de Laplace. Dão se a seguir as condições a 
serem impostas a ( )f x para assegurar a convergência da integral imprópria 
(sx{ }
 0
( ) ( ) e ).
 
f x F s x dx= = ∫L . f
∞ −
 
efinição: Uma função D ( )f x se diz de ordem exponencial α se existem constantes 0, e M xα 
( )xe f x Mα− ≤ para todo 0x x≥tais que . 
 
Exemplos: 
 
1) Prove que 2( )f x x= é de ordem exponencial α para todo 0α > . 
 
 Aplicando a regra de L’Hospital, obtemos: 
2
2 2 2lim lim lim 0x x xx x x
x xe xα α
−
→∞ →∞ →∞= = = = 2limx xe e eα αα α→∞
Escolhamos 1M = (Qualquer outro número positivo também serve). Então, como 
2 1e x M− xα ≤ = a 2lim x
x
e xα−→∞ = ue existe um 00 , segue-se q x tal que 0x x≥ . par
 
( ) f x sen a= x é de ordem exponencial α para todo 0α ≥ . 2) Prove que 
 
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Notemos que 1sen ax ≤ e que lim 0
x
e→∞
xα− = para 0α > . Então, escolhendo Aplicando 
1M = , segue-se que existe um a regra de L’Hospital, obtemos: 
2
2
2lim lim lim 0x x xx x xe x e e eα α αα α→∞ →∞ →∞= = = = 
mos 1
2 2lim x
x
x xα−
→∞
 Escolha M = (Qualqu outro n bém ser úmero positivo tam erve). Então, como 
2lim 0x
x
e xα−→∞ = , segue-se que existe 0x tal que 
xe Mα− ≤ 0x x≥ . Para . 0, xe Mαα −= = para 
 x xe sen ax e Mα α− −≤ ≤ , se 0x x≥ . 
 
Definição: Uma função ( )f x é contínua por partes em um intervalo aberto a x b< < se: 
(1) ( )f x é continua para todo ponto de a x b< < com possível exceção de, no máximo, um 
número finito de pontos 1 2 3, , ,..., nx x x x , e 
(2) nesses pontos ont , existem de desc inuidade os limites de ( )f x , à direita e à esquerda 
(respectivamente lim ( )
jx x
f x+→ e lim ( )jx x
f x−→ ) onde ( 1, 2, 3,..., )j n= . 
ote-se que uma função contínua é contínua por partes. N
 
Definição: Uma função ( )f x é contínua por partes em um intervalo fechado se: 
nden tervalo aberto, 
 a x b≤ ≤
(1) é continua por partes no correspo te in
(2) existe o limite ( )f x à direita de x a= , e 
) existe limite de ( )f x à esquerda de x b=(3 . 
Teor
 
ema: Se ( )f x é contínua por partes em um intervalo finito, fech 0ado x b≤ ≤ , b > 0 , e se 
( )f x é de ordem exponencial α , então a transformada de Laplace de ( )f x existe para s α> . 
xemplos: 
 
1) Determine se 
≥
 
E
2 1 0
( )
1/ 0 
x x
f x
x x
⎧ += ⎨ <⎩
é contínua por partes em [ ]1,1− . 
o int alo
 
 A função dada é contínua em todo erv [ ]1,1− , exceto em 0x = . Portan e 
existem o
to, s
s limites à direita e à esquerda em 0x = , ( )f x será parcialmente con emtínua [ ]1,1− . 
Temos: 
lim ( ) lim( 1) 1f x x2
0 0x x+ +→ →
= + = 
0 0x x
1lim ( ) limf x
x− −→ →
= = −∞ 
omo o limite à esquerda não existe, C ( )f x não é contínua por partes em [ ]1,1− . 
 
 
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2) Determine se 
3
 1
0 0 1
( )
 1< 0
 1 
x
sen x x
x
f x
e x
x x
π >⎧⎪ ≤ ≤⎪= ⎨ − <⎪⎪ ≤ −⎩
é contínua por partes em [ ]2,5− . 
 
A função dada é contínua em [ ]2,5− , exceto nos dois pontos 1 20 e 1x x= = − . (Note-se que 
( )f x é contínua em 1x = . Nos dos pontos de descontinuidade, encontramos: 
0 0
lim ( ) lim 0 0
x x
f x+ +→ →= = 
0
0 0
lim ( ) lim 1x
x x
f x e e− −→ →= = = 
e 
1
1 1
lim ( ) lim x
x x
f x e+ +
−
→− →−
= = e 3
1 1
lim ( ) lim 1
x x
f x x− −→− →−= = − 
Como todos os limite necessários existem, ( )f x é contínua por partes em [ ]2,5− . 
 
Lista de Exercícios Propostos para a Revisão dos Conceitos 
 
1) Determine se as seguintes integrais impróprias convergem: 
a) 
 1/ 2
 1
x dx
∞ −∫ Resposta: diverge b)
 3/ 2
 5
x dx
∞ −∫ Resposta: Converge 
 
2) Determine valores de s (se houver) para os quais as seguintes integrais impróprias são 
convergentes: 
a) 
 
 0
sxe dx
∞
∫ Resposta: b)0s <
 
 0
sxxe d
∞ −∫ x Resposta: 0s >
 
3) Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das funções abaixo e compare 
com a tábua de transformadas: 
a) , c é uma constante b) cxf =)( ( )f x x= 
c) ( ) cos f x = bx d) 3( )f x x= 
e) ( ) . xf x x eα= 
 
4) Determine { ( )}f xL , 
 0 2
) ( )
2 2
x x
a f x
x
≤ ≤⎧= ⎨ >⎩ 
1 0 1
) ( ) 1< 4
0 4 
x
x
b f x e x
x
≤ ≤⎧⎪= ≤⎨⎪ >⎩
 
Resposta:
2 2
2
1 1) ( ) ) ( )
1
x se e ea F s b F s
s s
− − −− −= = + −
( 1) 4( 1)s se
s
− − −− 
 
5) Prove que 4( ) xf x e= é de ordem exponencial α para todo 4α ≥ . 
 
6) Prove que ( ) cos 7f x = x é de ordem exponencial α para todo 0α ≥ . 
 
 
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7) Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em [ ]1,5− : 
a) b) 
2 2
( ) 4 0 2
 0 
x x
f x x
x x
⎧ ≥⎪= <⎨⎪ ≤⎩
<
2
2
1/( 2) 2
( )
5 2 
x x
f x
x x
⎧ − >⎪= ⎨ ≤⎪⎩
 
c) 2
1( )
( 2)
f x
x
= − d) 2
1( )
( 2)
f x
x
= + 
Resposta: a) sim, b) não, , c) não, 
2
lim ( )
x
f x+→ = ∞ 2lim ( )x f x−→ = ∞ , d) sim, ( )f x é contínua em [ ]1,5− .
 
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PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Os seis teoremas que seguem, além de outros aspectos, são úteis para o cálculo de transformadas 
de Laplace. Para simplificar os enunciados, formulamos a seguinte definição: 
 
Definição: ( )f x α∈E se: 
(1) f(x) é definido para todo ∞<≤ x0 ; 
(2) é contínua por partes em todo intervalo fechado 0;b ,bx0 >≤≤ e 
(3) f(x) é de ordem exponencial α 
 
Em outras palavras, estamos considerando funções que satisfazem às hipóteses do teorema 
seguinte: 
 
Teorema: Se ( )f x é contínua por partes em um intervalo finito, fechado 0 x b≤ ≤ , , e se 0b >
( )f x é de ordem exponencial α , então a transformada de Laplace de ( )f x existe para s α> . E 
que, além disso, são bem definidas em seus pontos de descontinuidade. Decorre do Teorema 
enunciado anteriormente que, se ( )f x Eα∈ , então ( ) { ( )}F s f x=L existe para s α> . 
 
Teorema 01: (Linearidade). Se 1( )f x Eα∈ e 2 ( )f x Eα∈ então para duas constantes quaisquer 
1 2 1 1 2 2 , ( ) ( ) c e c c f x c f x Eα+ ∈ e 1 1 2 2{c ( ) ( )}f x c f x+L = . 1 1 2 2{ ( )} { ( )}c f x c f x+L L
 
Exemplos: 
1) Determine . 2( ) se ( ) 3 2F s f x x= +
Solução: 
Utilizando o teorema 1 (linearidade) e a tabua de transformadas de Laplace, temos: 
=)s(F ℒ{ 3 +2x2 } = 3 ℒ{1} + 2 ℒ{x2} = 33 s
4
s
3
s
22
s
13 +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
 
2) Determine . ( ) se ( ) 2 3cos 2F s f x sen x x= +
Solução: 
Utilizando o teorema 1 (linearidade) e a tabua de transformadas de Laplace, temos: 
F(s) = ℒ{ 2 sen x + 3 cos 2x} = 2ℒ{ sen x} + 3ℒ{cos 2x} = 
4s
s3
1s
12 22 +++ = 4s
s3
1s
2
22 +++ 
 
3) Determine . 2( )e ( ) 2 3 4F s f x x x= − +
Solução: 
Aplicando reiteradamente o teorema 1, obtemos: 
2 2( ) = 2 3 4} 2 { } 3 { } 4 {1}F s x x x x− + = − +L{ L L L 3 22 1 12 3 4s s s
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 2
4 3 4
s s s
− + 
 
Teorema 02: Se ( )f x Eα∈ , então, para qualquer constante a, 
{ ( )} ( ) ( )axe f x F s a s aα= − >L + 
 
 
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Exemplos: 
 
1) Determine 2{ 5xe sen x−L }
 
Solução: Há duas maneiras de resolver este problema. 
 
a) Aplicando diretamente a equação que define a transformada de Laplace: 
{ } 
 0
( ) ( ) e ( )sxf x F s f x dL
∞ −= = ∫ x , 
Obtemos: { }2 25 5 ( 2) 25xe sen x sL − ⋅ = + + 
Observação: ver Tábua de transformadas, item 15. 
 
b) Aplicando o Teorema 2 com , temos: 2 e ( ) 5a f x sen= − = x
 
{ } 2 5( ) ( ) { 5 } 25F s f x sen x sL L= = = + 
2
2
5{ 5 } ( 2) ( )
( 2) 25
xe sen x F s s a
s
α− ⋅ = + = > ++ +L 
2) Determine . { cos 2 }xe x x−L
Solução: 
 
Seja ( ) cos 2f x x= x . Pela tábua de transformada, item 13, temos: 
2
2 2
4( )
( 4)
sF s
s
−= + 
Então, pelo Teorema 2, com , 1a = −
2
2 2
( 1) 4{ cos 2 } ( 1) 
[( 1) 4]
x se x x F s
s
− + −= + = + +L 
 
Teorema 03: Se ( )f x Eα∈ , então, para qualquer inteiro positivo , n
{ ( )} ( 1) [ ( )
n
n n
n
d ]x f x F s
ds
= −L 
Nos casos particulares e , se reduz a: 1n = 2n =
2
{ ( )} '(
{ ( )} "(
)
)
x f x F s
x f x F s
⋅ = −
⋅ =
L
L
 
Exemplos: 
1) Determine 4{ }xxeL 
Solução: Este problema pode ser resolvido de três maneiras diferentes: 
 
a) Aplicando diretamente a equação que define a transformada de Laplace: 
{ } 
 0
( ) ( ) e ( )sxf x F s f x dL
∞ −= = ∫ x , 
 
 
11
OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
Obtemos: { }4 21( 4)xxe sL = − 
Observação: ver Tábua de transformadas, item 14. 
b) Aplicando o Teorema 2 com , temos: 4 e ( )a f x= x=
2
1)(L)}({L)(
s
xxfsF === 
4
2
1{ } ( 4) ( )
( 4)
xe x F s s a
s
α⋅ = − = > +−L 
c) Aplicando o Teorema 3, aqui com 4( ) e 1xf x e n= = , obtemos: 
{ } 4 1( ) ( ) { }
4
xF s f x e
s
L L= = = − 
4
2
1 1{ } '( )
4 ( 4)
x dx e F s
ds s s
⎛ ⎞⋅ = − = − =⎜ ⎟− −⎝ ⎠L 
 
2) Determine { cos }x ax⋅L 
Solução: Tomando ( ) cos f x = ax , temos, pela Tábua de transformadas de Laplace 
{ } 2 2( ) ( ) sF s f x s aL= = + 
Aplicando o Teorema 3, obtemos 
( )
2 2
2 2 2 2
{ cos } d s s ax ax
ds s a s a
L
⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + 2
 
o que está de acordo com o item 13 da Tábua de transformadas de Laplace. 
 
3) Determine . 7 / 2{ }xL
Solução: 
Definamos ( )f x ≡ x . Então 7/ 2 3 3 ( )x x x x f x= = e, pela Tábua de Transformada de Laplace, 
item 4, 
3
3 3 3/ 2
3
1 105{ } ( 1)
2 16
d 9 / 2x x s
ds
π π− −⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠L s 
 
o que concorda com a Tábua de transformada de Laplace, item 6, para n = 4. 
 
Teorema 04: Se ( )f x Eα∈ e se 
0
( )lim
x
f x
x+→
 existe, então: 
 
 
 
1 ( ) ( )
s
f x F t
x
∞⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫L dt 
 
 
 
12
OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
Exemplo: 
1) Determine 3sen x
x
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭L 
Solução: 
 
Tomando ( ) 3f x sen= x , obtemos, pela tábua de transformada de Laplace, 
 
2
3( )
9
F s
s
= + ou 2
3( )
9
F t
t
= + 
Aplicando então o Teorema 4, obtemos: 
2 2
 3 3 3lim
9 9
R
s sR
sen x dt dt
x t t
∞
→∞
⎧ ⎫ = =⎨ ⎬ + +⎩ ⎭ ∫ ∫L 
R slim lim 
3 3 3 2
R
R R
s
t sarc tg arc tg arc tg arc tgπ
→∞ →∞
⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 
 
Teorema 05: Se ( )f x Eα∈ , então 
 
 0
1( ). ( )
x
f t dt F s
s
⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭∫L 
Exemplo: 
1) Determine { }0 2x sen tdt∫L 
Tomando ( ) 2f t sen= t , temos, pela tábua de transformada de Laplace, que 
( )2( ) 2 / 4 ou ( ) 2 /( 4)F t t F s s= + = +2 e, então, do Teorema 5, temos: 
{ } 2 20 1 2 2 2 4 ( 4x sen tdt s s s s⎛ ⎞= =⎜ ⎟ )+ +⎝ ⎠∫L 
 
Teorema 06: Se ( )f x é periódica com período ω, isto é, se ( ) ( )f x f xω+ = , então 
0
( ).
{ ( )}
1
sx
s
e f x dx
f x
e
ω
ω
−
−= −
∫L 
Exemplos: 
1) Prove que se ( ) ( )f x f xω+ = − , então 
0
( ).
{ ( )}
1
sx
s
e f x dx
f x
e
ω
ω
−
−= −
∫L (1) 
Como 
( 2 ) [( ) )] ( ) [ ( )] ( )f x f x f x f x f xω ω ω ω+ = + + = − + = − = 
( )f x é periódica de período 2ω . Então, aplicando o Teorema 6 com ω substituído por 2ω , 
temos: 
2
0
2
( ).
{ ( )}
1
sx
s
e f x dx
f x
e
ω
ω
−
−= −
∫L = 
2
0
2
( ). ( )
1
sx sx
s
e f x dx e f x dx
e
ω ω
ω
ω
− −
−
+
−
∫ ∫ 
Substituindo y x ω= − na segunda integral, vem: 
2
( )sxe f x dx
ω
ω
−∫ = ( )0 0( ). [ ( )] ( )s y s sy s sye f y dy e e f y dy e e f yω ωω ω ωω− + − − − −+ = − = −∫ ∫ ∫0 dyω
 
 
13
OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
A última integral, após a mudança de variável muda para x , é igual a 
0
( )s sxe e f x
ωω− −− ∫ dx 
Assim, 
0
2
(1 ) ( )
{ ( )}
1
s sx
s
e e f x dx
f x
e
ωω
ω
− −
−
−= =−
∫L 0(1 ) ( )
(1 )(1 )
s sx
s s
e e f x dx
e e
ωω
ω ω
− −
− −
− =− +
∫ 0 ( )
(1 )
sx
s
e f x dx
e
ω
ω
−
−+
∫ 
 
2) Determine { ( )}f xL para a onda quadrada da figura abaixo. 
 
Solução: 
 
Este problema pode ser resolvido de duas maneiras diferentes: 
 
a) Notando que ( )f x é periódica de período 2ω = , e que em 0 x 2< ≤ pode ser definida 
analiticamente por: 
 1 0 1
( )
1 1 2
x
f x
x
< ≤⎧= ⎨− < ≤⎩ 
vem, pelo Teorema 6, 
2
0
2
( )
{ ( )}
1
sx
s
e f x dx
f x
e
−
−= −
∫L 
 
Como 
2 1 2 2 2
0 0 1
1 1( ) (1) ( 1) ( 2 1) ( 1)sx sx sx s s se f x dx e dx e dx e e e
s s
− − − − −= + − = − + =∫ ∫ ∫ − − 
 
Decorre que: 
2 2
2
( 1) (1 ) 1( )
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
s s s
s s s
e eF s
s e s e e s e
− −
− − −
− − −= = =− − + + s
e−
− = 
 
/ 2 / 2 / 2
/ 2 / 2 / 2
1 1 tanh
(1 ) ( ) 2
s s s s
s s s s
e e e e
e s e s e e s
− −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
s 
 
b) A onda quadrada ( )f x também satisfaz à equação ( 1) ( )f x f x+ = − . Assim, aplicando (1) do 
exemplo 1 do Teorema 6 com 1ω = , obtemos: 
 
( )( )1 10 0( ) (1) 1/ 1 1{ ( )} 
1 1 1
sx sx s
s s s
e f x dx e dx s e s
2
f x t
e e e s
− − −
− − −
−= = = =− − +
∫ ∫L g 
 
14
OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
3) Determine a transformada de Laplace da função cujo gráfico é o da figura seguinte: 
 
Solução: Note que ( )f x é periódica de período 2ω π= , e que em 0 2x π≤ < pode ser definida 
analiticamente por: 
 0
( )
2 2
x x
f x
x x
π
π π π
≤ ≤⎧= ⎨ − < <⎩ 
 
Pelo Teorema 6, temos: 
2
0
2
( ).
{ ( )}
1
sx
s
e f x dx
f x
e
ππ
−
−= −
∫L 
 
Como 
2 2 2 2
2 20 0
1 1( ). (2 ) ( 2 1) ( 1)sx sx sx s s se f x dx e xdx e x dx e e e
s s
π π π π π π
π π− − − − − −= + − = − + =∫ ∫ ∫ − 
 
Decorre que 
2 2
2
(1/ )( 1){ ( )}
1
s
s
s ef x
e
π
π
−
−
−= −L =
2 2
2 2
(1/ )( 1) 1 1 1 tanh 
(1 )(1 ) 1 2
s s
s s s
s e e s
e e s e s
π π
π π π
π− −
− − −
⎛ ⎞− −= =⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
 
 
4) Determine 4 4
0
1 3
xx te x e sen tdt
t
−⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭∫L . 
Solução: 
 
Aplicando o Teorema 2 com no resultado do exemplo 1, do Teorema 4, obtemos: 4a = −
 
41 4 3 tg 
2 3
x se sen x arc
x
π− +⎧ ⎫ = −⎨ ⎬⎩ ⎭L 
 
Segue-se então do Teorema 5 que 
 
4
0
1 1 3 
2 3
x t se sen tdt arc tg
t s s
π− 4+⎧ ⎫ = −⎨ ⎬⎩ ⎭∫L 
e do Teorema 3, temos: 
 
4
2 2 20
1 1 4 3 
2 3 [9 (
x t sx e sen tdt arc tg
t s s s
π− +⎧ ⎫ = − +⎨ ⎬ + +⎩ ⎭∫L
3
4) ]s
 
 
Finalmente, aplicando o Teorema 2 com 4a = , concluímos que a transformada procurada é: 
 
2 2 2
1 3 
2( 4) ( 4) 3 ( 4)( 9)
sarc tg
s s s s
π − +− − − + 
 
15
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BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: 
a) 3 3cos 2x x+ Resposta: 4 26 3 4
s
s s
+ + 
b) 25 7x xe e−+ Resposta: 5 7
2 1s s
+− + 
c) 22 cos x x Resposta:
2
2 3
4 ( 3)
( 1)
s s
s
−
+ 
d) 22 cosx x e x− Resposta:
2
2 3
4( 1)[( 1) 3]
[( 1) 1]
s s
s
+ + −
+ + 
e) 2 4x sen x Resposta:
2
2 3
8(3 16)
( 16)
s
s
−
+ 
f) 2xxe Resposta: 3/ 21 ( 2)
2
sπ −− 
g) 
0
 
x
t sen t dt∫ Resposta: 2 22( 1)s + 
h) ∫x t dtte0 3 cos Resposta: 21 3( 3) 1ss s⎡ ⎤−⎢ ⎥− +⎣ ⎦ 
 
i) ( )f x na figura seguinte: 
 
Resposta: 1
(1 )ss e−+ 
j) ( )f x na figura seguinte: 
 
Resposta:
2
2 2
1
(1 )
s s
s
e se
s e
− −
−
− −
− 
 
 
l) ( )f x na figura seguinte: 
 Resposta: 
2
2 2
( 1) 1s
s
s e s−
−(1 )s e
+ + −
− 
 
16
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TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE 
 
Definição: Uma transformada inversa de Laplace de uma função , designada por )(sF
ℒ-1 )}({ sF , é outra função que goza da propriedade ℒ)(xf )()}({ sFxf = . 
 
Exemplos: 
 
1) Se 
s
sF 1)( = , então ℒ-1 1)}({ =sF , pois ℒ
s
1}1{ = . 
2) Se 
1
1)( 2 += ssF , então ℒ
-1 xsensF =)}({ , pois ℒ
1
1}{ 2 += sxsen . 
3) Determine ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ 22 )1(
2
s
s . 
Solução: Pela tábua das transformada de Laplace, item 12, com 1=a , ℒ 22 )1(
2}{ +=⋅ s
sxsenx , 
portanto: ℒ−1 .
 )1(
2
22 xsenxs
s ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ 
 
Teorema 1: (Teorema de Unicidade) Se ℒ ≡ℒ e se e são ambas 
contínuas em 
)}({ xf )}({ xg )(xf )(xg
,0 ∞<≤ x então )()( xgxf ≡ . 
 
Uma dada função pode ter várias, uma só ou nenhuma transformada inversa de Laplace. O 
Teorema 1, entretanto, garante que se tem uma transformada inversa de Laplace contínua, 
, então é a única transformada inversa, contínua, de . Daqui por diante, 
convencionaremos que ℒ
)(sF
)(sF
)(xf )(xf )(sF
-1 )}({ sF representará essa única transformada inversa contínua, 
quando existe. 
 
Teorema 2: (Linearidade) Se as transformadas inversas de Laplace de duas funções e 
existem, então, para quaisquer constantes e 
)(1 sF
)(2 sF 1c .2c
 
ℒ-1 =⋅+⋅ )}()({ 2211 sFcsFc ⋅1c ℒ-1 + )}({ 1 sF ⋅2c ℒ-1 )}({ 2 sF 
 
Exemplo: 
1) Determine ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
s
1 
Solução: Pela Tábua das transformadas de Laplace, item 5, ℒ
sx
π=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ 1 ; logo 
ℒ−1 .1
xs
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ π Aplicando então o Teorema 2 (linearidade), obtemos: 
 
ℒ−1 ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
π
π
s
1
ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
s
1
= ⋅π
1
ℒ−1
xs
11 ⋅=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
π
π
 
 
Os dois métodos abaixo, juntamente com o Teorema anterior, são úteis para o cálculo de 
transformadas inversas. 
 
17
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
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técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
 
• MÉTODO DO COMPLEMENTO DO QUADRADO 
 
Todo polinômio quadrático em pode ser posto sob a forma s .)( 22 hksa ++⋅
 
Em particular, 
22
2
22
22
222
)(
42
 
22
hksa
a
bc
a
bsa
a
bc
a
bs
a
bsacs
a
bsacbsas
++⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅+⋅=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⋅=++
 
onde: 
2a
bk = e 2
2
4
 
a
bch −= 
 
Exemplos: 
 
1) Determine ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+− 92
1
2 ss
. 
Solução: Na tábua das transformadas de Laplace não consta nenhuma função com esta forma. 
Entretanto, completando o quadrado, obtemos: ( )2222 8)1()19()12(92 +−=−++−=+− sssss 
logo, 
( ) ( )22222 8)1( 8818)1( 1921 +−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+−=+− ssss 
 
Aplicando, então, o teorema 2 (linearidade) a tábua das transformadas de Laplace, item 15, com 
8=a e encontramos: ,1=b
 
 ℒ−1 ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+− 8
1
92
1
2 ss
 ℒ−1 ( ) xsenes x 8818)1( 1 22 ⋅⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−
 
2) Determine ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++
+
84
4
2 ss
s . 
Solução: Na tábua das transformadas de Laplace não consta nenhuma função com esta forma. 
Completando, entretanto, o quadrado no denominador, temos: 
 
2222 2)2()48()44(84 ++=−+++=++ sssss 
 
Esta última expressão também não consta da Tábua das transformadas de Laplace. Mas, 
escrevendo o numerador como 2)2(4 ++=+ ss e decompondo a fração, temos: 
 
22222 2)2(
2
2)2(
2
84
4
+++++
+=++
+
ss
s
ss
s 
 
Então, pelos itens 15 e 16 da Tábua das transformadas de Laplace, obtemos: 
 
ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++
+
84
4
2 ss
s = ℒ−1 +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++
+
22 2)2(
2
s
s
ℒ−1 xsenexe
s
xx 22cos
2)2(
2 22
22 ⋅+⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++
−− 
 
18
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
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• MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS 
 
Toda função da forma , onde tanto como são polinômios em s, pode ser 
escrita como soma de frações tais que o denominador de cada uma é um polinômio do primeiro 
grau ou do segundo grau, elevado a certa potência. O método exige apenas que: 
)(/)( sbsa )(sa )(sb
 
- O grau de seja inferior ao grau de (se tal condição não se verificar, devemos 
primeiro dividir o numerador pelo denominador e considerar, para efeito de decomposição, 
apenas o termo que contém o resto); 
)(sa )(sa
 
- seja fatorável em um produto de polinômios do primeiro e/ou do segundo grau, 
distintos, elevados a diversas potências. 
)(sb
 
O método se desenvolve como segue. A cada fator de da forma corresponde uma 
soma de m frações da forma: 
)(sb ,)( mas −
 
m
m
as
A
as
A
as
A
 )(
 . . .
)( 2
21
−++−+− 
 
A cada fator de da forma corresponde uma soma de p frações, da forma: )(sb ( ,2 pcbss ++ )
 
( ) ( )ppp cbss
CsB
cbss
CsB
cbss
CsB
++
+⋅++++
+⋅+++
+⋅
222
22
2
11 . . . 
 
Aqui, ) são constantes a determinar. kji CeBA , ...,,2,1,;...,,2,1( pkjmi ==
 
Em seguida, iguala-se a fração à soma de frações obtida como acima. Eliminado 
denominadores eidentificando coeficientes de potências iguais de s, chegaremos a um conjunto 
de equações lineares nas incógnitas . Resolvido esse sistema, estão determinados os 
coeficientes. 
)(/)( sbsa
kji CeBA ,
 
Exemplos: 
 
1) Utilize o método das frações parciais para decompor ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅+ )1()1(
1
2ss
. 
Solução: Ao fator linear associamos a fração ),1( +s );1/( +sA e ao fator quadrático 
associamos a fração Escrevemos então: 
),1( 2 +s
).1/()( 2 ++ sCBs
 
11)1()1(
1
22 +
+++≡+⋅+ s
CBs
s
A
ss
 (I) 
 
Eliminando denominadores, obtemos: 
 
 
)1()()1(1 2 +⋅+⋅++⋅≡ sCsBsA (II) 
ou 
)()()(100 22 CACBsBAsss +++⋅++⋅≡+⋅+⋅ 
 
 
19
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
Identificando coeficientes de iguais potências de s, concluímos que: 
 
 solução desse sistema de equações lineares é: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
=+
1
0
0
CA
CB
BA
 
A 2/1e2/1,2/1 =−== CBA . 
 
evando esses valores em (I), obtemos a decomposição em frações parciais: L
 
1
2121211
1)1()1( 22 +
+−++=+⋅+ ssss = 
s
)1(
1
2
1111 s
)1(212 22 +⋅++⋅−+⋅ sss 
 
Um método alternativo: Tem-se também o s alternativo para determinar as eguinte processo
constantes A, B e C, em (I). Como (II) deve valer para todo s, deve valer, em particular, para 
1−=s . Levando este valor em (II), encontramos imediatamente 2/1=A . A expressão (II) deve 
também para 0=s . Levando este valor, juntamente co 2/1 em (II), obtemos 
2/1=C . Finalmente, fazendo s igual a qualquer outro valor em (II), de mos .2/1
valer m =A
termina −=B 
 
ine ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅+ )1()1(
1
2ss
2) Determ . 
Solução: Na tábua das transformadas de Laplace não consta nenhuma função com esta forma. 
ℒ−1
Utilizando os resultados do exemplo anterior e o teorema 2 (linearidade), obtemos: 
 
 ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅+ 2
1
)1()1(
1
2ss
 ℒ−1 ⋅−⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ 2
1
1
1
s ℒ
−1 ⋅+⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ 2
1
12s
s
ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+1
1
2s
. 
 
ortanto, 
ℒ−1
P
 xsenxe
ss
x ⋅+⋅−⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅+
−
2
1cos
2
1
2
1
)1()1(
1
2 
 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅−
+
)1()2(
3
ss
s4) Utilize o método das frações parciais para decompor . 
Solução: Aos fatores lineares ),1()2( +− ses associamos, respectivamente, as frações )2/( −sA 
e ).1/( +sB Escrevemos então:
 
 
12)1()2(
3
++−≡+⋅−
+
s
B
s
A
ss
s (I) 
 
liminando denominadores, obtemos: E
 
)2()1(3 −⋅++⋅≡+ sBsAs (II) 
Para a determinação de A e B, utilizaremos o processo alternativo sugerido no exemplo 1. 
 
Fazendo 1−=s e em seguida 2=s em (II), obtemos imediatamente .3/23/5 −== BeA 
 
Assim, 
1
1
3
2
2
1
3
5
1
32
2
35
)1()2(
3
+⋅−−⋅≡+−−≡+⋅−
+
ssssss
s 
 
 
20
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
ine ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅−
+
)1()2(
3
ss
s4) Determ . 
 
olução: Na tábua das transformadas de Laplace não consta nenhuma função com esta forma. 
ℒ−
S
Utilizando os resultados do exemplo anterior e o teorema 2 (linearidade), obtemos: 
 
1 ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅−
+
3
5
)1()2(
3
ss
s
ℒ−1 ⋅−⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
− 3
2
2
1
s
ℒ−1 xx ee
s
−⋅−⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ 3
2
3
5
1
1 2 
 
ine ℒ−1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅ )4(
1
2ss
5) Determ . 
 
olução: Na tábua das transformadas de Laplace não consta nenhuma função com esta forma. S
Utilizando o método das frações parciais, obtemos: 
 
)4(
)()4(
4)4(
1
2
2
22 +⋅
⋅+⋅++⋅≡+
+⋅+≡+⋅ ss
sCsBsA
s
CsB
s
A
ss
 (I) 
 
liminando os denominadores, temos: 
 ou (II) 
 
entificando coeficientes de iguais potências de s, concluímos que: 
 
E
 
sCsBsA ⋅+⋅++⋅≡ )()4(1 2 AsCsBAss 4)(100 22 +⋅+⋅+≡+⋅+⋅
Id
 
4
1e0,
4
1
14
0
0
−===⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=+
BCA
A
C
BA
 
 
ssim, usando este resultado em conjunto com o teorema 2 (linearidade), obtemos: 
ℒ−
A
 
1 ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅ 4
1
)4(
1
2ss
ℒ−1 ⋅−⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
4
11
s
ℒ−1 xx
s
s 2cos
4
1
4
12cos
4
11
4
1
42
⋅−=⋅−⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ 
 
21
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de: 
a) 
2
1
+s Resposta: b) 
xe 2−
4
1
2 +s Resposta: xsen 22
1 
c) 
9)2(
2
2 +−s Resposta: xsene
x 3
3
2 2 ⋅ 
d) 
5)1( 2 ++s
s Resposta: xsenexe xx 5
5
15cos ⋅⋅−⋅ −− 
e) 
7)1(
12
2 +−
+
s
s Resposta: xsenexe xx 7
7
37cos2 ⋅⋅+⋅ 
f) 
12
1
2 +s Resposta: xsen 2
1
2
1 
 
2) Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de: 
a) 
22
1
2 +− ss Resposta: b) xsene
x ⋅
52
3
2 ++
+
ss
s Resposta: xsenexe xx 22cos ⋅+⋅ −−
c) 
4/172 +− ss
s Resposta: xsenexe xx 2
4
12cos )2/1()2/1( ⋅⋅+⋅ 
d) 
53
1
2 ++
+
ss
s Resposta: xsenexe xx
2
11
11
1
2
11cos )2/3()2/3( ⋅⋅−⋅ −− 
 
3) Utilize o método das frações parciais para decompor: 
a) 
)1()1(
2
2
2
+⋅− ss
s Resposta: 
1
1
1
1
2 +
++− s
s
s
 b) 
1
1
2 −s Resposta: 1
2/1
1
2/1
+
−+− ss 
c) 22 )1()1(
2
−⋅+ ss Resposta: 22 )1(
1
1
1
1 −+−
−++ sss
s 
 
4) Determine as transformadas inversas de Laplace das funções do exercício anterior. 
 Respostas: a) b) xsenxex ++ cos xx ee −−
2
1
2
1 c) xx exex ⋅+−cos
 
5) Determine as transformadas inversas de Laplace de: 
a) 
)134(
132
2 +−⋅
−
sss
s Resposta: xe x 3cos1 2 ⋅+−
b) 
1
)1(2
2 +−
−⋅
ss
s Resposta: xsenexe xx
2
3
3
2
2
3cos2 )2/1()2/1( ⋅⋅−⋅ 
c) 22 )9( +s
s Resposta: xsenx 3
6
1 ⋅ (ver Tábua, item 12) 
d) 
)1()1(
2/1
)1()1(2
1
22 −−⋅−=−−⋅−⋅ ssssss 
 Resposta: xsenhexee xxx
2
5
52
1
2
5cosh
2
1
2
1 )2/1()2/1( ⋅⋅++− 
e) 
4/52
)2/1(
2/542 22 ++
⋅=++ ss
s
ss
s Resposta: xsenexe xx
2
1
2
1cos
2
1 ⋅−⋅ −− 
 
Observação: Não foram digitados os problemas resolvidos: 24.5; 24.7; 24.9; 24.11 e 24.13.
 
22
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
• Convoluções: 
 
Sejam ( )f x Eα∈ e ( )g x Eα∈ . A convolução de ( ) e ( )f x g x é: 
 
 0
( ) * ( ) ( ). ( )
x
f x g x f t g x t d= ∫ t− (01) 
 
Exemplo: 
 
1) Se 3( ) xf x e= e , então: 2( ) xg x e= 3 2( ) , ( )t xf t e g x t e ( )t−= − = e 
 
3 2( - ) 3 2 2 2 2 2 3 2
0
 0 0 0
( ) * ( ) . . . . ( 1)
x x x t x
t x t t x t x t x t x x x
t
xf x g x e e dt e e e dt e e dt e e e e e e
=−
=
⎡ ⎤= = = = = − =⎣ ⎦∫ ∫ ∫ −
 
Teorema 01: ( )* ( ) ( )* ( )f x g x g x f x= 
 
Exemplos: 
1) Para ( ) e ( )f x g x , como no exemplo 1 de convolução, determine verificando 
assim o Teorema 01. 
( )* ( )g x f x
Solução: 
Com 3( ) 2( ) e ( )x t tfx t e g t e−− = = , temos: 
 
 2 3( )
 0 0
( )* ( ) ( ) ( )
x x t x tg x f x g t f x t dt e e dt−= − =∫ ∫
 3 3 3 3
0 0
 ( 1)
x t xx t x t x x x
t
e e dt e e e e e e
=− − −
=⎡ ⎤= = − = − + =⎣ ⎦∫ 2x− 
 
o que, pelo exemplo 1 de convolução, é igual a ( )* ( )f x g x . 
 
2) Calcule ( )* ( )f x g x se 2( ) e ( )f x x g x x= = . 
Solução: 
Aqui 2 2( ) e ( ) ( ) 2 2f t t g x t x t x xt t= − = − = − + . 
Assim, 
 
2 2
 0
( ) * ( ) ( 2 )
x
f x g x t x xt t dt
 2 2
 0 0 0
 2 + 
x x x= − +∫ 3x tdt x t dt t dt= − =∫ ∫ ∫ 
 
2 3 4
2 412
2 3 4 12
x x xx x x= − + = . 
 
3) Demonstre o Teorema 01. 
Solução: 
Fazendo a substituição x tτ = − no membro direito de 
 
 0
( ) * ( ) ( ). ( )
x
f x g x f t g x t d= ∫ t− , temos: 
 
 0
( ) * ( ) ( ). ( )
x
f x g x f t g x t d= −∫ t = 
 0
 
( ). ( )
x
f x g dτ τ τ−∫ = 
 0
 
( ). ( )
x
g f x dτ τ τ− −∫ 
 = 
 
0
( ). ( )
x
g f x dτ τ τ−∫ = ( )* ( ) g x f x
 
 
23
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
eorema 02 (Teorema da Convolução) 
e
T
 
S { ( )} ( ) e { ( )} ( )f x F s g x G s= =L L , então: 
 
{ ( )* ( )} { ( )}* { ( )} ( )* ( )f x g x f x g x F s G s= =L L L 
 
Para efeito de aplicação, é conveniente exprimir o Teorema 02, como 
 (02) 
 
s vezes, é mais fácil calcular do que 
 
{ ( )* ( )} ( )* ( )F s G s g x f x=-1L
À ( )* ( )g x f x ( )* ( )f x g x . Escreve-se então, utilizando o 
 
xemplos: 
 Determine 
Teorema 01, como 
 
{ ( )* ( )} ( )* ( )F s G s g s f s=-1L 
E
 
2
1
( 4)s s
⎧ ⎫⎨ ⎬+⎩
-1L1) ⎭ por convoluções. 
 
olução: S
2
1
( 4)s s
⎧ ⎫⎨ ⎬+⎩ ⎭ = 2
1 1
4s s
⋅ + Observe que 
Definido ( )2( ) 1/ e ( ) 1/ 4F s s G s s= = + , temos, pela Tábua de transformada de Laplace, 
1( ) 1 e ( ) 2
2
f x g x sen= = x . Segue-se então, dos Teoremas 1 e 2, que 
{ }21 ( )* ( ) ( )* ( )( 4) F s G s g x f xs s
⎧ ⎫ = =⎨ ⎬+⎩ ⎭
-1 -1L L =
 
 0 0
1 1= ( ). ( ) 2 (1) (1 cos 2 )
2 4
x x
g t f x t dt sen t dt x⎛ ⎞− = = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 
 
ine L-1 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
− 2)1(
1
s2) Determ por convoluções. 
Solução: 
Definindo ,
1
1)()( −== ssGsF então 
L-1
xexgxf == )()( e
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ 1 { }( )* ( ) ( )* ( )F s G s f x g s= = 0 0 0( ) ( ) t x t x xx x xf t g x t dt e e dt e dt xe∫ ∫ ∫−− = = = − 2)1(s = L-1
 
 Função Degrau Unitário 
 função degrau unitário é definida por: 
•
 
A
 
0 0
( )
1 0
se x
u x
se x
<⎧= ⎨ ≥⎩ 
 
24
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
Como conseqüência imediata da definição, temos, para qualquer número c, 
 
se x c0 
( )
1 
u x c
se x c
<⎧
 
Observação
se
cxu
cxse
cxse
cxu
1
0
)(
01
00
)( 
 
x c− é dado por: 
− = ⎨ ≥⎩ 
: ⎩⎨
⎧
≥
<=−⇒⎩⎨
⎧
≥−
<−=−
cxse
cx
O gráfico de u
 
( )
 
 
Teorema 03: 1{ ( )} csu x c e
s
−− =L . 
a função ( )f x definida para , a função: 
(
 
se x c
x c
0x ≥Dada um
 
0 
( ). )
( - )
u x c f
f x c se x c
<⎧− − = ⎨ ≥ 
representa uma translação de 
⎩
 
( )f x de c unidades na direção positiva do eixo x . Por exemplo, se 
( )f x é definida graficamente pela figura 2 a seguir, então ( )* ( )u x c f x c− − é graficamente 
representada pela figura 3. 
 
Teorema 04: Se ( )f x Eα∈ 
Reciprocamente, 
 
 
{ ( 0cse F s−-1L
figura 1
 
 
e ( ) { ( )}F s f x=L , então . { ( ) ( )} ( )csu x c f x c e F s−− − =L
0 
)} ( ) ( )}
( ) 
x c
u x c f x c
f x c x c
<⎧= − − = ⎨ − ≥⎩ 
25
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
Exemplos: 
1) Prove que ( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )f x g x h x f x g x f x h x+ = + . 
Solução: 
( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]
x
 
0
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
x
( )*[f x g
0
x h x f t g x t h x t dt+ = − + −∫ = f t g x t f t h x t dt− + −∫ = 
 
 =
0 0
[ ( ) ( ) [ ( ) ( )
x x
f t g x t dt f t h x t dt− + −∫ ∫ ( )* ( ) ( )* ( )f x g x f x h x= + 
 
2) Prove o Teorema 3: 1{ ( )} csu x c e
s
−− =L 
Solução: 
)} ( ) (0) (1)
csx sx sx
c
x c e u x c dx e dx e dx
∞ ∞− − −− = = +∫ ∫ ∫ = 
 
0 0
{ (u −L
 lim lim
sR scRsx sx
c cR R
e ee dx e dx
s
− −∞ − −
→∞ →
−= = = −∫ ∫ ∞ 1 sces −= ( se ) 
 
3) Faça o gráfico da função ) . 
Solução: 
bserve que 
2) 3)
1 2 1 3
x x
e u
x x
0s >
( ) ( 2) ( 3f x u x u x= − − −
O
0 2 0 3
( (u x x
< <⎧ ⎧− = − =⎨ ⎨≥ ≥⎩ ⎩ 
Assim, 
0 0 0 2
( ) ( 2) ( 3) 1 0 1 2 3
1 1 0 3
x
f x u x u x x
x
− = <⎧⎪= − − − = − = ≤ <⎨⎪ − = ≥⎩
 
cujo gráfico é a figura seguinte: 
 
 
26
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técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
4) Use a função degrau unitário para dar uma definição analítica da função representada 
graficamente na figura seguinte: 
 
 
Solução: 
Observe que ( )f x é a função ( ) , 0g x x x= ≥ , transladada de quatro unidades na direção 
positiva do eixo x . Assim, . ( ) ( 4) ( 4) ( 4)( 4f x u x g x u x x= − − = − − )
 
5) Determine { }( )g xL se 20 4( ) ( 4) 
x
g x
x x 4
<⎧= ⎨ − ≥⎩
 
 
Solução: 
Definindo 2( )f x x= , então pode ser dada compactamente por ( )g x
2( ) ( 4) ( 4) ( 4)( 4)g x u x f x u x x= − − = − − . 
 
Observando então que 3{ ( )} ( ) 2 /f x F s= =L s e aplicando o Teorema 4, concluímos que 
2 4
3
2{ ( )} { ( 4) ( 4) } sg x u x x e
s
−= − − =L L 
 
6) Determine { }( )g xL se 20 4( ) 4
x
g x
x x
<⎧= ⎨ ≥⎩
 
Solução: 
Primeiro devemos determinar uma função ( )f x tal que 2( 4)f x x− = . Feito isto, podemos 
escrever como e aplicar o Teorema 4. Ora, ( )g x ( ) ( 4) ( 4)g x u x f x= − − 2( 4)f x − = x
6
 só se 
 
2 2( ) ( 4 4) ( 4) 8 1f x f x x x x= + − = + = + + 
Como 
2
3 2
2 8 16{ ( )} { } 8 { } 16 {1}f x x x
s s s
= + + = + +L L L L 
 
Segue-se que 
4
3 2
2 8 16{ ( )} { ( 4) ( 4)} sg x u x f x e
s s s
− ⎛ ⎞= − − = + +⎜ ⎟⎝ ⎠L L 
 
 
27
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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Determine e se )(*)( xgxf )(*)( xfxg xxf 4)( = e .)( 2xexg =
Resposta: )12(2 +− xe x
 
2) Utilize convoluções para determinar a transformada de Laplace de: 
a) 
)2()1(
1
−⋅− ss b) )()(
1
ss ⋅ c) )1(
2
+⋅ ss 
Resposta: a) b) xx ee −2 x c) )1(2 xe−−⋅
 
3) Determine ℒ 1− ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅ )4(
1
22 ss
 por convoluções, tomando 
4
)(1)( 22 +== s
ssGe
s
sF . 
Compare com o resultado do exemplo 1 do teorema de convolução. 
 
4) Prove que, para qualquer constante ,k )].(*)([)(*)]([ xgxfkxgxfk⋅=⋅ 
 
5) Faça o gráfico de ).4()2(2)( −−−= xuxuxf 
Resposta: 
 
6) Faça o gráfico de ).4()3(2)2()( −+−−−= xuxuxuxf 
Resposta: 
 
 
28
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}
 
7) Determine ℒ para { )(xg
a) b) ⎩⎨
⎧
≥−
<=
1),1(
1,0
)(
xsexsen
xse
xg
⎩⎨
⎧
≥+
<=
2,1
2,0
)( 3 xsex
xse
xg
Resposta: 2
1( ) 
1
sa e
s
−
+ 
3 2
2
4 3 2
( ) ( ) ( 2) ( 2) 
se ( ) 6 12 9;
6 12 12 9( ) s
b g x u x f x
f x x x x
G s e
s s s s
−
= − −
= + + +
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
8) Determine ℒ para 1− { } )()( xfsF =
a) se
s
ssF π−+= 4)( 2 b) 
se
s
sF −= 31)( 
Respostas: ( ) ( )cos2( )a u x xπ π+ − 21( ) ( 1) ( 1)
2
b x u x− − 
 
9) Faça o gráfico das funções encontradas no exercício anterior. )(xf
 
Respostas: 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29
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• TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE DERIVADAS 
 
Emprega-se o método das transformadas de Laplace para resolver problemas de valor inicial 
dados por uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes. 
 
)(..... 011
1
1 xgybdy
dxb
dx
ydb
dx
ydb n
n
nn
n
n =++++ −
−
− (01) 
 
Juntamente com as condições iniciais 
 
,)0( 0cy = 1)0(' cy = , ..., (02) 1)1( )0( −− = nn cy
 
O resultado abaixo é essencial. 
 
Teorema 1: Denotemos ℒ{ ( ) por Y(s). Se y(x) e suas (n–1) primeiras derivadas são contínuas 
para e são de ordem exponencial 
}y x
0≥x α e se αEdx
yd
n
n
∈ , então: 
 
ℒ )0()0(...)0(')0()( )1()2()2()1( −−−− −⋅−−⋅−⋅−⋅=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ nnnnn
n
n
yysysyssYs
dx
yd (03) 
 
Aplicando (02), podemos escrever (03) como 
 
ℒ 12
2
1
1
0 ...)( −−
−− −⋅−−⋅−⋅−⋅=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
nn
nnn
n
n
cscscscsYs
dx
yd (04) 
 
Em particular, para n = 1 e n = 2, obtemos: 
 
ℒ 0)()}('{ csYsxy −⋅= (05) 
 
ℒ (06) 10
2 )()}(''{ cscsYsxy −⋅−⋅=
 
 
30
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técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
• SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE VALOR INICIAL 
 
Para resolver o problema de valor inicial dado por (01) e (02), primeiro tomam-se as 
transformadas de Laplace de ambos os membros da equação diferencial (01), obtendo-se uma 
equação algébrica em Y(s). Resolve-se em seguida esta equação, em relação a Y(s), e toma-se a 
transformada inversa de Laplace, obtendo =)(xy ℒ . 1− )}({ sY
 
Exemplos: 
1) Resolva .2)0(;05' ==− yyy
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace de ambos os membros da equação diferencial, e aplicando 
o teorema da linearidade, obtemos }.0{}{5}'{ LyLyL =− Aplicando então a expressão (05) 
com vem ,20 =c 0)(5]2)([ =−− sYsYs donde .5
2)( −= ssY Finalmente, tomando a 
transformada inversa de obtemos: ),(sY
y(x) = ℒ =ℒ1− )}({ sY 1− ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
− 25
2
s
ℒ 1− xe
s
52
5
1 =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
− 
 
2) Resolva .0)0(;5' 5 ==− yeyy x
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace de ambos os membros da equação diferencial, e aplicando 
o teorema da linearidade, obtemos Aplicando a tábua das 
transformadas e a expressão (05), com 
}.{}{5}'{ 5xeLyLyL =−
,00 =c vem: 
5
1)(5]0)([ −=−− ssYsYs donde 2)5(
1)( −= ssY 
Finalmente, tomando a transformada inversa de obtemos: ),(sY
y(x) = ℒ =ℒ1− )}({ sY 1− xex
s
5
2)5(
1 =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
− 
Observação: ver tábua de transformadas de Laplace, item 14). 
 
3) Resolva .1)0(;' ==+ yxsenyy
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace de ambos os membros da equação diferencial, e aplicando 
o teorema da linearidade, obtemos: 
}{}{}'{ xsenLyLyL =+ ou 
1
1)(]1)([ 2 +=+−⋅ ssYsYs 
Resolvendo em relação a vem: ),(sY
1
1
)1()1(
1)( 2 +++⋅+= ssssY 
 
Tomando a transformada inversa e determinando o resultado, vem: 
 
xsenxeexsenxe
s
L
ss
LsYLxy xx
x
2
1cos
2
1
2
3
2
1cos
2
1
21
1
)1()1(
1)}({)( 12
11 +−=++−=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅+==
−−
−
−−−
 
 
31
OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
4) Resolva .2)0(',2)0(;04'' ===+ yyyy 
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace, temos: 
}0{}{4}''{ LyLyL =+ 
Aplicando a expressão (06) com ,2e2 10 == cc obtemos: 
0)(4]22)([ 2 =+−−⋅ sYssYs ou 
4
2
4
2
4
22)( 222 +++=+
+=
ss
s
s
ssY 
 
Finalmente, tomando a transformada inversa de Laplace, obtemos: 
xsenx
s
L
s
sLsYLxy 22cos2
4
2
4
2)}({)( 2
1
2
11 +=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+==
−−− 
 
5) Resolva .5)0(',1)0(;04'3'' ===+− yyyyy 
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace, obtemos: 
 
}0{}{4}'{3}''{ LyLyLyL =+− 
 
Aplicando as expressões (05) e (06) com ,5e1 10 == cc temos: 
 
0)(4]1)([3]5)([ 2 =+−⋅−−−⋅ sYsYsssYs ou 
43
2)( 2 +−
+=
ss
ssY 
 
Finalmente, tomando a transformada inversa de Laplace, vem: 
 
xsenexesYLxy xx
2
77
2
7cos)}({)( )2/3()2/3(1 +== − 
 
6) Resolva .4)0(',1)0(;42''' 2 ===−− yyxyyy
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace, temos: 
 
}{4}{2}'{}''{ 2xLyLyLyL =−− 
 
Aplicando as expressões (05) e (06) com ,4e1 10 == cc obtemos: 
 
3
2 8)(2]1)([]4)([
s
sYsYsssYs =−−⋅−−−⋅ ou 
)2(
8
2
3)( 232 −−⋅+−−
+=
sssss
ssY 
 
Finalmente, tomando a transformada inversa de Laplace, vem: 
 
32222
3
8
3
1223
3
2
3
5)}({)( 222221 −+−+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−+−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −== −−−− xxeeeexxeesYLxy xxxxxx 
 
 
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OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
7) Resolva .0)0(',1)0(;8'4'' ===++ yyxsenyyy 
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace, temos: 
 
}{}{8}'{4}''{ xsenLyLyLyL =++ 
 
Como vem: ,0e1 10 == cc
 
 
1
1)(8]1)([4]0)([ 2
2
+=+−⋅+−−⋅ ssYsYsssYs ou )84()1(
1
84
4)( 222 ++⋅++++
+=
sssss
ssY 
 
Finalmente, tomando a transformada inversa de Laplace, vem: 
 
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++−++== −−−−− xsenexexsenxxsenexesYLxy xxxx 2
130
12cos
64
4
65
7cos
65
422cos()}({)( 22221
 
 
xxsenxsenxe x cos
65
4
65
72
130
1312cos
65
692 −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += − 
 
Ao contrário do que ocorre nos métodos anteriores (nos quais primeiro se determina a solução 
geral da equação diferencial, e em seguida se levam nela as condições iniciais para determinação 
das constantes arbitrárias), o método das transformadas de Laplace em geral resolve todo o 
problema de valor inicial em um só passo. A única exceção é quando as condições iniciais não 
são dadas em Para tal caso, vejamos os exemplos a seguir: .0=x
 
Exemplos: 
1) Resolva .2)(;05' ==− πyyy 
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace de ambos os membros da equação diferencial, e aplicando 
o teorema da linearidade, obtemos: 
}0{}{5}'{ LyLyL =− 
Aplicando então a expressão (05) com )0(0 yc = arbitrário, temos: 
0)(5])([ 0 =⋅−−⋅ sYcsYs donde 5)(
0
−= s
csY 
Tomandoa transformada inversa, chega-se a: 
xec
s
LcsYLxy 50
1
0
1
5
1)}({)( ⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−⋅==
−− 
Utilizamos agora a condição inicial para determinar . 0c
 
O resultado é: 
π5
0 2
−= ec 
e 
)(52)( π−= xexy 
 
 
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OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
2) Resolva .0)1(',0)1(;2'3'' ===+− − yyeyyy x
Solução: 
Tomando as transformadas de Laplace, temos: 
 
}{}{2}'{3}''{ xeLyLyLyL −=+− ou 
1
1)(2])([3])([ 010
2
+=+−⋅−−−⋅ ssYcsYsccssYs 
 
Aqui, devem permanecer arbitrárias, pois representam e , respectivamente, 
ainda desconhecidas. Assim, 
10 e cc )0(y )0('y
 
)23()1(
1
23
1
23
3)( 22120 +−⋅+++−++−
−=
sssss
c
ss
scsY 
 
Utilizando o método das frações parciais e notando que, 
 
)2()1(232 −⋅−=+− ssss 
 
obtemos: 
=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−+−
−+++⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−+−
−⋅+⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−
−+−⋅==
−−−−
2
3/1
1
2/1
1
6/1
2
1
1
1
2
1
1
2)}({)( 111
1
0
1
sss
L
ss
Lc
ss
LcsYLxy 
 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−++−+−= − xxxxxxx eeeeeceec 22120 3
1
2
1
6
1)()2( 
 xxx eeccecc −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
6
1
3
1
2
12 21010 
onde: .
3
1 e 
2
12 101100 ++−=−−= ccdccd 
Levando as condições iniciais nesta última equação, obtemos ;
3
1 e 
2
1 3
1
2
0
−− =−= eded logo, 
xxx eeexy −−− ++−=
6
1
3
1
2
1)( 322 
 
3) Resolva 0)0(',0)0();('2" ===+− yyxfyyy . 
Solução: 
Nesta equação, não se especifica Tomando transformadas de Laplace, e designando 
 por obtemos: 
).(xf
)}({ xfL ),(sF
2
2
)1(
)()(ou )()(]0)([2]0)0()([ −==+−⋅−−⋅−⋅ s
sFsYsFsYsYsssYs 
Pela Tábua das transformadas de Laplace, item 14, .
)1(
1
2
1 xxe
s
L =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−
− Assim, tomando a 
transformada inversa de e utilizando convoluções, concluímos que: )(sY
 
∫ −== x tx dttxftexfxexy 0 )()(*)( 
 
 
 
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OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
4) Resolva ⎩⎨
⎧
≥
<====+
1 2
1 0
)( se 0)0(',0)0();("
x
x
xfyyxfyy
Solução: 
Note-se que Tomando transformadas de Laplace, obtemos: ).1(2)( −= xuxf
 
s
exuLxfLsYssYs
s−
=−==+−⋅−⋅ 2)}1({2)}({)(]0)0()([ 2 
ou 
)1(
2)( 2 +⋅=
−
ss
esY s 
Como 
x
s
sL
s
L
ss
L cos22
1
212
)1(
2
2
11
2
1 −=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+−⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅
−−− 
 
decorre do teorema (04) que 
 
)1()]1(cos22[
)1(
2)( 2
1 −⋅−−=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⋅⋅=
−− xux
ss
eLxy s 
 
5) Resolva .0)0('',0)0(';''" ===+ yyeyy x
Solução: 
Tomando transformadas de Laplace, obtemos: 
 
}{}'{}'"{ xeLyLyL =+ 
 
Aplicando então o teorema (01) com 3=n e a expressão (05), temos: 
 
1
1]0)([]0)0()0()([ 23 −=−⋅+−⋅−⋅−⋅ ssYssssYs ou )()1(
1)( 3 sss
sY +⋅−= 
 
Finalmente, utilizando o método das frações parciais e tomando a transformada inversa de 
Laplace, obtemos: 
 
xsenxe
s
s
ss
Lxy x
2
1cos
2
1
2
11
1
2
1
2
1
1
2
1
1)( 2
1 −++−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
+−+−=
− 
 
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OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO LIVRO: 
BRONSON. R. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão 
técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
 
posta 2−= 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: 
a) Res y1)0(;02' ==+ yyy : xe
b) Resposta: 1)0(;22' ==+ yyy 1=y 
c) Resposta: 1)0(;2' ==+ yeyy x xx eey
3
1
3
2 2 += − 
d) Resposta: 1)1(;02' ==+ yyy )1(2 −−= xey
e) Resposta: 0)1(;05' ==+ yyy 0=y 
f) Resposta: 1)0(',1)0(;0" ===− yyyy xey =
g) 1)0(',0)0(;" ===− yyxsenyy Resposta: xseneey xx
2
1
4
3
4
3 −−= − 
h) Resposta: 0)0(',1)0(;" ===− yyeyy x xxx xeeey
2
1
4
3
4
1 ++= − 
i) 0)0(',0)0(;23'2" ===−+ yyxsenyyy Resposta: xsenxeey xx 2
65
72cos
65
4
26
1
10
1 3 −−−= − 
j) Resposta: 2)0(',0)0(;" ===+ yyxsenyy xxxsen cos
2
1
2
5 − 
k) Resposta: 3)0(',4)0(;0'" −===++ yyyyy xsenexey xx
2
3
3
2
2
3cos4 )2/1()2/1( −− −= 
l) Resposta: 1)0(',1)0(;35'2" 2 ===++ − yyeyyy x xsenexeey xxx 2
10
132cos
5
2
5
3 2 −−− ++= 
m) 0)0(',0)0();4(3'5" ==−=−+ yyxuyyy 
Resposta: )4()4(
2
37
373
5)4(
2
37cosh
3
1
3
1 )4()2/5()4()2/5( −⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−+−= −⋅−−⋅− xuxsenhexey xx 
n) 1)(',0)(;0" −===+ ππ yyyy Resposta: xseny = 
o) 0)0('',0)0(',0)0(;5''' ====− yyyyy Resposta: xeey xx
2
3cos
3
10
3
55 )2/1(−++−= 
p) Resposta: 0)0(''',0)0('',0)0(',1)0(;0)4( =====− yyyyyy xeey xx cos
2
1
4
1
4
1 ++= − 
 
 
 
36
	Tábua de Transformadas
	Juntamente com as condições iniciais