Listas 1 a 8 Equações Diferencias Prof. Matheus Santos (todas as listas)

Prévia do material em texto

MAT01167 - Equações Diferenciais II - 2018/2
Lista 1
1. Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
a) x(t) = e2t − 4, x′ − 2x = 8
b) y(x) = 3xex, y′′ − 2y′ + y = 0
c) z(s) =
√
s2 − a2 , dz
ds
=
s√
s2 − a2 , para a 6= 0
d) x(t) = 3(t+ 2), 4x′′ − tx′ + x = 6
2. Esboce o campo de direções das seguintes equações:
a) y′ = 2y − 1
b) y′ = x
y
c) y′ = y(2− y)
3. A figura a seguir mostra o campo de direções da equação y′ = (y − 1)(3 − y). Determine o limte
lim
t→+∞ y(t) para a solução y(t) satisfazendo:
a) y(0) = 3, 5
b) y(0) = 3
c) y(0) = 2
d) y(0) = 1
e) y(0) = 0, 5
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4. Prove que a seguinte relação define uma solução implícita da equação diferencial dada:
y = Ce
y
x , y′ =
y2
xy − x2
5. Determine todos os valores de m para os quais a função y(x) = xm é solução em todo o intervalo
(−∞,+∞) da equação diferencial
x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0.
6. Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
a) y(x) = 5e−x,
{
y′ + y = 0
y(0) = 5 b) y(t) =
∫ t
0
e2(t−s)s2 ds,
{
y′ = 2y + t2
y(0) = 0
7. Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
a) y′ = xy
1 + x2
b) y − (1 + x)y′ = 0
c) y′ = xex+y
d) dy
dt
= y − y2
e) x ln y dy
dx
=
(
x+ 1
y
)2
8. Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
 y′ =
lnx
1 + y2
y(1) = 0
b)

dy
dx
=
x2
1 + y2
y(2) = 1
c)
{
y′ tg x = y
y
(pi
6
)
= −1
2
d)
{
x2y′ = y − xy
y(−1) = −1
e)
{
y′ = 4(y2 + 1)
y
(pi
4
)
= 1
9. a) Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial
y′ = − x− 2
2 (y − 1) .
b) Completando os quadrados na resposta do item anterior, mostre que a solução geral é uma família
de elipses. Faça um esboço destas elipses.
c) Para o problema de valor inicial que se obtém acrescentando a condição inicial y(2) = 0, dê a
expressão da solução e seu intervalo máximo de definição.
10. Resolva o problema de valor inicial abaixo, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
y′ =
1 + y
x− 1 , y(−1) = −3 .
11. Resolva a equação diferencial
y′ =
x
2 + y
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo,
resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da
solução:
a) y(0) = 0
b) y(−3) = −3
c) y(−2) = 0
12. Resolva a equação diferencial y′ = x3y2 . Faça um esboço da família das soluções. Encontre a expressão
e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
a) y(0) = 4
b) y(−
√
3) = −1
2
c) y(1) = −1
d) y(−2) = 0
13. Resolva a equação diferencial √
1 + x2
dy
dx
= x
(
y − 1)3 .
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das
condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
a) y(0) = 0
b) y(0) = 1
c) y(0) = 2
d) y(0) = 1
2
14. Para a equação diferencial
(1 + x2)
1
2
dy
dx
= xy3 ,
resolva o problema de valor inicial com cada uma das condições iniciais encontrando, em cada caso, o
intervalo máximo de definição da solução:
a) y(0) = 2
b) y(0) = 0
15. Usando algum software adequado, trace os campos de direções associados às equações abaixo. A partir
daí tente intuir o comportamento das soluções. A seguir, resolva as 3 primeiras equações por separação
de variáveis e observe que as soluções realmente são tangentes às direções dadas pelo campo de direções
soluções feitos anteriormente:
a) y′ = x
y
b) y′ = 1− y
c) y′ = xy
1 + x2
d) y′ = 2x
x+ y
No GeoGebra (https://www.geogebra.org/graphing), por exemplo, para visualizar o campo de direções
da EDO y′ = 2xy escreva na barra de Entrada (na parte superior esquerda da tela): CampoDeDireções(2xy)
e pressione Enter. Se o idioma do seu navegador estiver configurado para inglês, digite SlopeField(2xy).
Uma solução da EDO y′ = 2xy é y = ex2 . Depois de traçar o campo de direções, na barra de En-
trada escreva y = e(x2) e observe que esta curva é tangente às direções dadas pelo campo de direções.
(Aumentando o zoom, isso fica mais evidente.)
16. Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de y = φ(x), a inclinação
da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.
17. a) Dê o domínio da funcão y = |x|2/3.
b) Calcule a derivada y′(x) para x em cada um dos intervalos (−∞, 0) e (0,∞) e justifique que y′(0)
não existe.
c) Verifique que a função y = |x|2/3 é uma solucão de 3xy′−2y = 0 em cada um dos intervalos (−∞, 0)
ou (0,∞).
RESPOSTAS
2) a)
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
b)
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
c)
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
3) a) 3
b) 3
c) 3
d) 1
e) −∞
5) m = 2.
7) a) y(x) = C
√
1 + x2
b) y = C
(
1 + x
)
c) y = − ln (ex − xex + C)
d) y(t) = Ce
t
1 + Cet
e) 1
3
y3 ln y − 1
9
y3 =
1
2
x2 + 2x+ ln |x|+ C
8) a) y + y
3
3
=
x3
3
− 4
3
b) y = −senx
c) y + y
3
3
+ x− x lnx = 1
d) y(x) = e
−1− 1x
x
e) y(x) = tg
(
4x− 3pi
4
)
9) a) x
2
2
− 2x+ y2 − 2 y = C
b)
c) y(x) = 1−
√
1− (x− 2)
2
2
, I = (2−
√
2, 2 +
√
2)
10) y = x− 2 definida no intervalo I = (−∞, 1) .
11) x2 − y2 − 4 y = C , família de hipérboles (complete o quadrado para para ver isto).
a) y =
√
x2 + 4− 2 , I = (−∞,∞) = R
b) y = −2−
√
x2 − 8 , I = (−∞,−
√
8)
c) y = −x− 2 , I = (−∞, 0)
12) y = 4
C − x4 , y = 0
a) y = 4
1− x4 , I = (−1, 1)
b) y = 4
1− x4 , I = (−∞,−1)
c) y(x) = − 4
3 + x4
, I = R = (−∞,∞)
d) y(x) = 0 , I = R = (−∞,∞)
No gráfico abaixo estão representadas algumas
soluções. Identifique as expressões encontradas ao
lado com com alguma curva do gráfico.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
0
13) − 1
2 (y − 1)2 =
√
1 + x2 + C , y = 1
a) y(x) = 1−
(
3− 2
√
1 + x2
)− 12
, I =
(
−
√
5
2
,
√
5
2
)
b) y(x) = 1 , I = R
c) y(x) = 1 + 1√
3− 2√1 + x2
, I =
(
−
√
5
2
,
√
5
2
)
d) y(x) = 1− 1√
6− 2√1 + x2
, I = (−2
√
2 , 2
√
2 )
14) a) y(x) =
(
9
4
− 2(1 + x2) 12
)− 12
, I =
(
−
√
17
8
,
√
17
8
)
b) y = 0 , I = R
15) (c) Campo de direções e uma solução (y = 2
√
1 + x2)
-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
0
16) y′ = x2 + y2
17) a) (−∞,∞)
b) y′(x) =

2
3
|x|− 13 , se x > 0
−2
3
|x|− 13 , se x < 0
MAT01167 - Equac¸o˜es Diferenciais II - 2018/2
Lista 2
1. Determine as soluc¸o˜es das seguintes equac¸o˜es diferenciais:
a) 6x2y + 2xy2 +
(
2x3 + 2x2y
)
y′ = 0
b) 2xey − y senx+ (cosx− 2 + x2ey)y′ = 0
2. Resolva a equac¸a˜o 3x2y+ 2xy+ y3 +
(
x2 + y2
)
y′ = 0 , encontrando um fator integrante dependendo so´
de x.
3. Resolva a equac¸a˜o y +
(
2xy − e−2y)y′ = 0 , usando um fator integrante dependendo so´ de y.
4. Verifique que a equac¸a˜o
2x−2ex − xy2 + 2xyy′ = 0
admite um fator integrante dependendo so´ de x e resolva a equac¸a˜o.
5. Verifique que a equac¸a˜o (
3 y + y2 +
(
2 + y
)
senx
)
y′ + y cosx = 0
admite um fator integrante dependendo so´ de y, pore´m na˜o admite um fator integrante que depende
somente de x. Resolva a equac¸a˜o.
6. Verifique que a equac¸a˜o (
1 + ex
)
y − (x+ ex)y′= 0
admite um fator integrante dependendo so´ de y e tambe´m fator integrante dependendo so´ de x. Resolva
a equac¸a˜o de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.
7. Encontre a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es:
a) y′ + ay = x
b) x y′ − y = x2 cosx
c) y′ + y tg x = x senx cosx , y(0) = 2
d) (x2 + 1)
dy
dx
− x y = 1
e) y′ = e2 x + y − 1 , y(0) = 1
f) 2x y + 3x2 + (x2 + 2) y′ = 0
8. Encontre a soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es
a) 2y2 + 3x+ 2xyy′ = 0
b) (2
cosx
x
− senx)y2 + 2 cosx yy′ = 0
c) x+ (x2 + 4)yy′ = 0, y(4) = 0
9. Resolva a equac¸a˜o y′ +
y
x
− senx = 0 .
10. Seja u = u(t) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
um. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o de u e´ diretamente proporcional a`
diferenc¸a u − um, isto e´, du
dt
= − k (u − um) . Considere um corpo aquecido a 120oC e´ posto em um
ambiente a 30oC e sabe-se que em 5 min sua temperatura e´ de 90oC.
a) Encontre a expressa˜o de u como func¸a˜o de t
b) Em quanto tempo sera´ atingida a temperatura de 45oC?
11. No instante t0 = 0 um tanque conte´m 200 ` de soluc¸a˜o contendo 1 grama de corante por litro. A´gua
pura entra no tanque a` raza˜o de 2 `/min e mistura sai a` mesma raza˜o.
a) Encontre a equac¸a˜o diferencial para a quantidade Q(t) de corante no tanque em cada instante (note
que a taxa de variac¸a˜o de Q(t) e´ igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada
instante )
b) Encontre a soluc¸a˜o Q(t) do problema acima para a condic¸a˜o inicial Q(0) = 1 grama
c) Quanto tempo transcorre ate´ que a concentrac¸a˜o de corante atinja 1% da concentrac¸a˜o original?
12. Uma populac¸a˜o de mosquitos, na auseˆncia de outros fatores, aumenta a uma raza˜o em cada instante
proporcional a` populac¸a˜o corrente.
a) Sabendo que a populac¸a˜o dobra a cada semana e que no instante inicia t0 = 0 e´ de 200.000
indiv´ıduos, encontre a expressa˜o do nu´mero de indiv´ıduos em func¸a˜o do tempo. Observac¸a˜o: Os
dados do problema nos permitem dizer que
dN
dt
= λN, com N(t+ 1) = 2N(t).
b) Resolva o mesmo problema do item (a), supondo agora que exista uma espe´cie de pa´ssaros predadores,
que comem 20.000 mosquitos por dia (ou, 140.000 por semana, se voceˆ preferir usar a semana como
unidade de tempo). A populac¸a˜o de mosquitos vai se tornar extinta ou na˜o? Justifique sua resposta.
13. Uma forc¸a eletromotriz de 100 cos t e´ aplicada a um circuito RC em se´rie no qual a resisteˆncia e´ de 100
ohms e o capacitor de 10−4 farad. (Num circuito RC em se´rie com uma resisteˆncia R, um capacitor
C e forc¸a eletromotriz V (t) a carga Q(t) no capacitor satisfaz a equac¸a˜o RQ′(t) +
1
C
Q(t) = V (t). )
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial e´ Q(0) = 0
14. Uma bacte´ria em forma de esfera de raio r = r(t), alimenta-se atrave´s de sua superf´ıcie. A alimentac¸a˜o
tem a tendeˆncia a fazer com que seu volume aumente a uma taxa, a cada momento, proporcional a`
a´rea da superf´ıcie. Ale´m disto, o metabolismo da bacte´ria faz com que seu volume tenda a diminuir a
uma taxa, em cada momento, proporcional ao volume. Expressando a superf´ıcie e o volume em func¸a˜o
do raio, justifique que este satisfaz a uma equac¸a˜o diferencial da forma
dr
dt
= a− b r (a > 0 , b > 0 constantes) .
Existe um valor limite para o raio? Este limite e´ atingido em um tempo finito?
15. A concentrac¸a˜o de CO2 no ar de uma sala com capacidade de 5000 m
3 e´ de 0,3%. Comec¸a a ser
bombeado para dentro da sala ar contendo 0,1% de CO2 a` raza˜o de 100 m
3 por minuto. Apo´s bem
misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
a) Encontre a porcentagem de CO2 na sala depois de 10 min.
b) Depois de quanto tempo sera´ atingida uma concentrac¸a˜o de CO2 de 0,2%?
RESPOSTAS
1) a) x2y2 + 2x3y = C
b) ycosx+ x2ey − 2y = C
2)
(
3x2y + y3
)
e3x = C
3) xe2y − ln |y| = C , y = 0
4) y2e−x − x−2 = C
5)
(
y + senx
)
y2 ey = C
6) Fatores integrantes: µ1(y) = y
−2 e µ2(x) = (x+ ex)−2 Soluc¸a˜o geral: y = C
(
x+ ex
)
7) a) Se a 6= 0 , a soluc¸a˜o geral e´ y = x
a
− 1
a2
+ Ce−ax. Para a = 0 e´ y =
x2
2
+ C
b) y(x) = x (C + senx)
c) y =
(−x cosx+ senx+ 2) cosx
d) y = x+ C
√
1 + x2
e) y = 1− ex + e2 x
f) y =
C − x3
x2 + 2
8) Encontre a soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es
a) x2y2 + x3 = C
b) x2y2 cosx = C
c) ey
2
(x2 + 4) = 20
9) y x+ x cosx− senx = C
10) option u(t) = 30 + 90 · e− t (ln 3−ln 2)5 = 30 + 90 ·
(
3
2
)− t5
optiion t1 =
5 (ln 3 + ln 2)
ln 3− ln 2 ≈ 22.09 min.
11) a) Q′(t) = − 1
100
Q(t)
b) Q(t) = e−
t
100
c) 100 ln 100 ≈ 460.51 min.
12) a) Q(t) = 200 000 et ln 2 = 200 000 2t , t medido em semanas.
b) Q(t) =
(
200 000− 140 000
ln 2
)
et ln 2 +
140 000
ln 2
. Como o coeficiente da exponencial e´ negativo, para
um t suficientemente grande Q(t) vai se anular. Logo, a populac¸a˜o de mosquitos se torna extinta.
Fazendo os ca´lculos, encontramos que ela se torna extinta em aproximadamente 6.67 semanas.
13) Q(t) = − 100
10001
e−100t +
100
10001
cos t+
1
10001
sen t .
14) lim
t→∞ r(t) =
a
b
, mas este valor nunca e´ atingido em um tempo finito, a menos que o raio inicial r0 ja´ tenha
este valor, pois, resolvendo a E.D., r =
a
b
+
(
r0 − a
b
)
e−b t .
15) a) 0,26% de CO2.
b) t = 50 ln 2 ≈34,65 min.
MAT01167 - Equac¸o˜es Diferenciais II - 2018/2
Lista 3
1. Resolva os problemas a seguir:
a)

y′ =
y
x
+ x y3
y
(
1
2
)
=
√
8
3
b) 2
dy
dx
− y
x
+ y3 cosx = 0
c) (1− x3) dy
dx
− 2 (1 + x) y = y 52
d) y′ = ky − ay3
2. Qual das seguintes EDOs tem algumas de suas soluc¸o˜es esboc¸ada na figura a` direita?
(a) y′ = y(y + 1)2
(b) y′ = y(y + 1)2(y − 2)
(c) y′ = y2(y + 1)(y − 2)
(d) y′ = y(y + 1)2(y + 2)(y − 2)
(e) y′ = y2(y + 1)(2− y)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
0
3. Baseado no gra´fico da func¸a˜o f(y) mostrado abaixo, esboce a famı´lia de soluc¸o˜es da equac¸a˜o y′ = f(y).
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
4. Suponha que, inicialmente, haja N(0) = 300 peixes em uma criac¸a˜o. Se a cada unidade de tempo sa˜o
pescados P peixes, o nu´mero N(t) de peixes em cada instante t e´ dado pela equac¸a˜o
N ′ =
(
3
4
− 1
800
N
)
N − P
Encontre o valor ma´ximo de P (valor inteiro) para que a populac¸a˜o de peixes nunca chegue a zero.
5. Considere a EDO y′ = a(y2 − 1)(y + 2) onde a e´ um nu´mero real na˜o nulo.
a) Como podemos ter a > 0 ou a < 0, fac¸a, para cada um destes casos, o esboc¸o das soluc¸o˜es desta
equac¸a˜o sem resolveˆ-la, encontre suas soluc¸o˜es de equil´ıbrio e classifique-as em esta´vel, insta´vel ou
semi-esta´vel.
b) Para que valores de a a equac¸a˜o apresenta somente dois pontos de equil´ıbrio esta´veis?
6. Sem resolver a equac¸a˜o diferencial y′ = sen y, fac¸a um esboc¸o das soluc¸o˜es e encontre as soluc¸o˜es de
equil´ıbrio, dizendo em cada caso se o equil´ıbrio e´ esta´vel, insta´vel ou semi-esta´vel.
7. Seja y(t) a populac¸a˜o de camaro˜es na lagoa dos Patos, supondo que os camaro˜es sa˜o capturados a uma
taxa constante R camaro˜es por semana e a populac¸a˜o satisfaz a equac¸a˜o log´ıstica
y′ = a(y − by)y −R
onde a > 0, b > 0 e R > 0.
a) Determine os dois pontos de equil´ıbrio (y1 e y2) para R <
a2
4b
, esboce o gra´fico das soluc¸o˜es e analise
sua estabilidade.
b) Prove que se a populac¸a˜o inicial e´ menor que y(0) < y1 < y2, os camaro˜es se extingem em um
tempo finito, pore´m se y(0) > y1 a populac¸a˜o tende a y2 quando t cresce.
c) Para R =
a2
4b
, a EDO possui um u´nico ponto de equilibrio que e´ semi-esta´vel.
d) Para R >
a2
4b
, a populac¸a˜odecresce.
8. Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equac¸a˜o de primeira ordem:
a) 1 + (y′)2 = 2 y y′′
b)
{
y′′ + (y′)2 = y
y(0) =
3
2
, y′(0) = 1
c) y y′′ + (y′)2 = 0
d)
{
y y′′ = (y′)2 + y2 y′
y(0) = −1
2
, y′(0) = 1
9. Para a EDO a seguir y′′ = x
(
y′
)2
, determine:
a) a soluc¸a˜o geral;
b) a expressa˜o e o intervalo ma´ximo de definic¸a˜o para a soluc¸ao que satisfaz y(0) = 3 y′(0) = 2.
10. Resolva:
a) y′′ − 2y′ − 3y = 0
b) y′′ + 2y′ = 0
c) y′′ − y′ − 2y = 0
d) 4y′′ − 4y′ + y = 0
e) y′′ + 2y′ + 10y = 0
f)
{
y′′ + 9y = 0
y
(pi
2
)
= 2, y′
(pi
2
)
= 1
g)
{
y′′ + 2y = 0 = 0
y(0) = 2, y′(0) = −1
h) y′′ + 4y′ + 3y = 0
i)
{
y′′ − 2 y′ + y = 0
y(0) = 1, y′(0) = 1
j)
{
y′′ + 2 y′ + 5 y = 0
y(0) = 1, y′(0) = −2
11. Encontre uma EDO do tipo y′′ + ay′ + by = 0 que tenha o seguinte sistema fundamental de soluc¸o˜es:
a) {e2x, ex}
b) {e2x, e−x}
c) {e5x, xe5x}
d) {e−x cosx, e−x senx}
12. Considere o PVI {
4y′′ − y = 0
y(0) = 2, y′(0) = β
Determine β para o qual se tenha lim
t→+∞ y(t) = 0 .
13. Determine as condic¸o˜es que α e β devem satisfazer para que a soluc¸a˜o do PVI{
y′′ − y′ − 2y = 0
y(0) = α, y′(0) = β
satisfac¸a a condic¸a˜o lim
t→+∞ y(t) = 0.
14. As oscilac¸o˜es livres em um sistema massa–mola com amortecimento supercr´ıtico sa˜o governadas pela
equac¸a˜o diferencial y′′ + 5 y′ + 6 y = 0 . A massa inicia seu movimento a partir da posic¸a˜o inicial
y(0) = 2 , com velocidade inicial y′(0) = v0 . Qual a condic¸a˜o que v0 deve satisfazer para que a massa
passe uma vez pela posic¸a˜o de equil´ıbrio?
RESPOSTAS
1) a) y =
2
√
2 x√
1− 4x4
b) xy−2 = cosx+ x senx+ C, y = 0
c) y =
(
C (1− x)2 − 3
4(1 + x+ x2)
)− 23
, y = 0
d) y(x) = ±
(
Ce−2kx +
a
k
)− 12
2) (c)
3) .
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
0
4) 112
5) a) Para a > 0 os pontos de equil´ıbrio: y = −2 insta´vel , y = −1 esta´vel , y = 1 insta´vel.
Para a < 0 os pontos de equil´ıbrio: y = −2 esta´vel , y = −1 insta´vel , y = 1 esta´vel.
b) a < 0
6) As soluc¸o˜es de equil´ıbrio sa˜o as y = npi. O equil´ıbrio e´ esta´vel para n ı´mpar e insta´vel para n par.
7) y1 =
a−√a2 − 4bR
2b
, y2 =
a+
√
a2 − 4bR
2b
8) a) 4 (C1 y − 1) = (C1 x+ C2)2
b) y =
x2
4
+ x+
3
2
c) y = ±
√
C1 x+ C2
d) 2 y − 3 = 8 y e 3 x2
9) a) y =
1
C1
ln
∣∣∣∣C1 + xC1 − x
∣∣∣∣+ C2 , y = − 2C1 arctan
(
x
C1
)
+ C2 , y = C , y =
2
x
+ C
b) y = ln
(
1 + x
1− x
)
+ 3 para x ∈ (−1, 1).
10) a) y = C1e
−t + C2e3t
b) y = C1 + C2e
−2t
c) y = C1e
−t + C2e2t
d) y = C1e
1
2 t + C2te
1
2 t
e) y = e−t (C1 cos 3t + C2 sen 3t)
f) y =
1
3
cos 3t − 2 sen 3t
g) y = 2 cos
(√
2 t
)− 1√
2
sen
(√
2 t
)
h) y = C1e
−t + C2e−3t
i) y = et
j) y (t) = −1
2
e−t sen (2 t) + e−t cos (2 t)
11) a) y′′ − 3y′ + 2y = 0
b) y′′ − y′ − 2y = 0
c) y′′ − 10y′ + 25y = 0
d) y′′ + 2y′ + 2y = 0
12) β = −1
13) β = −α
14) v0 < −6
MAT01167 - Equac¸o˜es Diferenciais II - 2018/2
Lista 4
1. Encontre a soluc¸a˜o geral de cada equac¸a˜o a seguir:
a) y′′ − 2y′ − 3 y = 3e2 x − 3xe−x
b) y′′ + 2y′ = 3 + 4 sen(2x)x
c) y′′ − y′ − 2y = xe−x + 2e−x − e2 x
d) y′′ − y′ − 2y = 1 + sen(2x) + e−x
e) y′′ − 2y′ − 3 y = 2xe3 x
f) y′′ + 6y′ + 13y = sen(2x)
g) y′′′ + 6y′′ + 9y′ + 4y = xe−x
2. Encontre a soluc¸a˜o de cada problema de valor inicial a seguir:
a)
{
y′′ + y = senx
y(0) = 2, y′(0) = −1
b)
{
y′′ + 4y = cos(2x)
y(0) = 0, y′(0) = 0
c)
{
y′′ − 2y′ + y = tet + 4
y(0) = 1, y′(0) = 1
d)
{
y′′′ − 2y′′ + 4y′ − 8y = sen(2x)− 1
y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 1
3. Indique de que forma deve-se procurar uma soluc¸a˜o particular das equac¸o˜es diferenciais, sem, contudo,
determinar os coeficientes:
a) y′′ − 3y′ = x3 − 2e3x + cos(2x)
b) y′′ + 9y = cos 3x+ 2 sen(2x)
c) y′′ − 2y′ = x2 − 4e2x + sen(2x)
d) y′′ − 3y′ + 2y = x3ex + x2e5x
e) y′′′ − 5y′′ + 9y′ − 5y = x3e2x senx+ x cosx
f) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = xe−x − x
4. Considere o PVI {
y′′ + by′ = 3
y(0) = 1 , y′(0) = 0
Encontre o comportamento da soluc¸a˜o quando t −→ +∞ para todos os valores poss´ıveis de b (na˜o
esquec¸a de b = 0).
5. Resolva pelo me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros:
a) y′′ − 8y′ + 16y = e
4x
x2
b) y′′ + 9y = 9 cossec(3x) ( 0 < x <
pi
3
)
c) y′′ + 2 y′ + y = e−x lnx
d) y′′ + 4y′ + 4y =
e−2x
1 + x2
Revisa˜o sobre o me´todo dos coeficientes a determinar:
Equac¸a˜o y′′(x) + py′(x) + qy(x) = f(x)
f(x) Formato da soluc¸a˜o particular yp(x)
Pn(x)=a0+a1x+· · ·+anxn xk(A0 +A1x+ · · ·+Anxn)
Pn(x)e
αx xk(A0 +A1x+ · · ·+Anxn)eαx
Pn(x)e
αx
{
cos(βx)
sen(βx)
xk[(A0 + · · ·+Anxn)eαx cos(βx) + (B0 + · · ·+Bnxn)eαx sen(βx)]
Onde k = 0, 1 ou 2 e´ o menor nu´mero natural que garante que nenhum termo de yp(x) seja soluc¸a˜o
da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente. Em outras palavras, nos treˆs casos acima k e´, respectivamente:
o nu´mero de vezes que 0 e´ raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica, o nu´mero de vezes que α e´ raiz da equac¸a˜o
caracter´ıstica, o nu´mero de vezes que α+ βi e´ raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica.
RESPOSTAS
1) a) y = −e2 x+
(
3
16
x+
3
8
x2
)
e−x+C1 e−x+C2 e3 x
b) y =
3
2
x− 1
2
cos(2x)− 1
2
sen(2x) +C1 +C2 e
−2 x
c) y =
(
−7
9
x− 1
6
x2
)
e−x − 1
3
x e2 x + C1 e
−x +
C2 e
2 x
d) y =
(
−7
9
x− 1
6
x2
)
e−x − 1
3
x e2 x + C1 e
−x +
C2 e
2 x
e) y = −1
2
+
1
20
cos(2x) − 3
20
sen(2x) − 1
3
x e−x +
C1 e
2 x + C2 e
−x
f) y =
(
1
4
x2 − 1
8
x
)
e3 x + C1 e
3 x + C2 e
−x
g) y = C1e
−3x sen(2x) + C2e−3x cos(2x) +
1
25
sen(2x)− 4
75
cos(2x)
h) y = C1e
−x + C2xe−x + C3e−4x
1
18
(x3 − x2)e−x
2) a) y = −1
2
x cosx+ 2 cosx− 1
2
senx
b) y =
1
4
x sen(2x)
c) y = 4 t et − 3 et + 1
6
t3et + 4
d) y =
(
1
23
+
x
16
)
cos(2x) +
1
8
−
(
1
8
+
x
16
)
sen(2x)− 1
4
cos(2x) +
3
32
e2x
3) a) y = Ax+B x2 + C x3 +Dx4 + Exe3 x + F cos(2x) +G sen(2x)
b) y = x (A cos(3x) +B sen(3x)) + (C cos(2x) +D sen(2x))
c) y(x) = (Ax2 +Bx+ C)x+Dxe2x + E cos(2x) + F sen(2x)
d) y = (A+Bx+ Cx2 +Dx3)xex + (E + Fx+Gx2)e5x
e) y = x(A0 +A1x+A2x
2 +A3x
3)e2x senx+ x(B0 +B1x+B2x
2 +B3x
3)e2x cosx+ (D0 +D1x) senx+
(E0 + E1x) cosx
f) y = x3(A+Bx)e−x + C +Dx
4) Resolvendo o PVI encontra-se y(t) =
3e−bt
b2
+
3t
b
+
b2 − 3
b2
se b 6= 0 e y(t) = 3t
2
2
+ 1 se b = 0. Portanto
em qualquer um dos 3 casos b > 0, b < 0 ou b = 0 tem-se lim
t→+∞ y(t) = +∞ (em cada um deles por uma
raza˜o diferente).
5) a) y = −e4x lnx+ C1e4x + C2xe4x
b) y = C1 cos(3x) + C2 sen(3x)− 3x cos(3x) + sen(3x) ln(sen(3x))
c) y =
1
2
x2e−x lnx− 3
4
x2e−x + C1e−x + C2xe−x
d) y = −e−2x ln
√
1 + x2 + xe−2x arctanx+ C1e−2x + C2xe−2x
MAT01167 - Equac¸o˜es Diferenciais II - 2018/2
Lista 5
1. Inicialmente o tanque A conte´m 90 litros de a´gua salgada com 10 gramas de sal por litro e o tanque
B conte´m 90 litros de a´gua pura. No instante t0 = 0, a´gua pura entra no tanque A a` raza˜o de 8 l/h
e a mistura sai do tanque A para o tanque B a uma raza˜o de 9 l/h. O tanque A recebe a mistura do
tanque B a uma raza˜o de 1 l/h e a mistura do tanque B sai para fora do sistema a uma raza˜o de 8 l/h.
a) Deduza as EDO’s que representam x(t) a quantidade
de sal no tanque A no instante t e y(t) a quantidade
de sal no recipiente B no instante t.
b) Determine x(t).
-
-
A B
��9
XXz ��:
XXy
2. Para que valores de a o limite de todas as soluc¸o˜es do sistema{
x′ = 2x + ay
y′ = 3x− 4y
e´ (0, 0) quando t→∞? (origem assintoticamente esta´vel)
Encontre a soluc¸a˜o geral dos sistemas de equac¸o˜es a seguir.Esboce o plano de fase e descreva o
comportamento das soluc¸o˜es quando t −→ +∞. Verifique se a soluc¸a˜o X(t) = (x(t), y(t)) = (0, 0) e´
atrator, fonte, sela, foco (espiral) ou centro.
3.
{
x′ = 3x− 2y
y′ = 2x− 2y
4.
{
x′ = 2x− y
y′ = 3x− 2y
5.
{
x′ = −x− 4y
y′ = x− y
6.
{
x′ = x− 2y
y′ = 3x− 4y
7.
{
x′ = x + y
y′ = 4x− 2y
8.
{
x′ = 2x− 5y
y′ = x− 2y
9.
{
x′ = 4x− 3y
y′ = 8x− 6y
10.
{
x′ = x + 2y
y′ = −5x− y
11.
{
x′ = 3x + 6y
y′ = −x− 2y
12.
{
x′ = 3x− 2y
y′ = 4x− y
Resolva os Problemas de valor inicial a seguir e esboce a soluc¸a˜o no plano de fase:
13.
 x
′ = 3x− 2y
y′ = 2x− 2y
x(0) = 0, y(0) = −1
14.
 x
′ = 4x + 3y
y′ = x + 2y
x(0) = 0, y(0) = 2
RESPOSTAS
1) x(t) = 450e−
1
15 t + 450e−
2
15 t
2) a < −8
3
3) X(t) = C1e
−t
( −1
−2
)
+ C2e
2t
(
2
1
)
Sela.
4) X(t) = C1e
−t
(
1
1
)
+ C2e
−2t
( −2
−3
)
Atrator.
5) X(t) = C1e
t
(
1
1
)
+ C2e
−t
( −1
−3
)
Sela.
6) X(t) = C1e
−3t
(
1
−4
)
+ C2e
2t
(
1
1
)
Sela.
7) X(t) = C1e
−t
(
2 cos 2t
sen 2t
)
+ C2e
−t
( −2 sen 2t
cos 2t
)
Foco (espiral) esta´vel.
8) X(t) = C1
(
5 cos t
2 cos t + sen t
)
+C2
(
5 sen t
− cos t + 2 sen t
)
Centro
9) X(t) = C1
(
3
4
)
+ C2e
−2t
( −1
−2
)
10) X(t) = C1
( −2
1
)
+ C2e
t
(
3
−1
)
11) X(t) = C1
( −2 cos 3t
cos 3t + 3 sen 3t
)
+ C2
( −2 sen 3t
sen 3t− 3 cos 3t
)
Centro
12) X(t) = C1e
t
(
cos 2t
cos 2t + sen 2t
)
+ C2e
t
(
sen 2t
− cos 2t + sen 2t
)
Foco (espiral) insta´vel.
13) X(t) =
3
5
e−t
(
1
−1
)
− 1
5
e4t
(
3
2
)
14) X(t) = −3
2
et
(
1
−1
)
− 1
5
e5t
(
3
1
)
MAT01167 - Equac¸o˜es Diferenciais II - 2018/2
Lista 6
1. Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo me´todo das se´ries de poteˆncias, encontrando ate´ o
termo de ordem 5:
a)
{
y′′ − (1 + x2) y = 0
y(0) = −2, y′(0) = 2
b)
{
xy′′ − y′ + xy = 0
y(2) = 1, y′(2) = 2
c)
{
y′′ + xy′ + x2y = 0
y(−1) = 3, y′(−1) = −1
d)
{
xy′′ + 2 y′ − x2y = 0
y(2) = 1, y′(2) = −1
e)
{
y′′ − (2x + 5)y′ − y = 0
y(−2) = 1, y′(−2) = 1
f)
{
xy′′ − (x− 2)y′ − y = 0
y(2) = −1, y′(2) = 1
g)
{
y′′ + (senx) y′ + (cosx) y = 0
y(0) = 2, y′(0) = 1
h)
{
x2y′′ + (1 + x) y′ + 3(lnx) y = 0
y(1) = 2, y′(1) = 0
2. Resolva os problemas a seguir envolvendo a equac¸a˜o de Cauchy-Euler
a) x2y′′ − 2y = 0
b) x2y′′ + xy′ = 0
c) x2y′′ + xy′ + 4y = 0
d) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0
e) 3x2y′′ + 6xy′ + y = 0
f)
{
x2y′′ + 3xy′ = 0
y(1) = 0, y′(1) = 4
g)
{
x2y′′ + xy′ + y = 0
y(1) = 1, y′(1) = 2
3. Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Legendre
(1− x2)y′′ − 2xy′ + p(p + 1)y = 0,
onde p e´ um paraˆmetro real. (Para encontrar duas soluc¸o˜es L.I. para a equac¸a˜o acima, encontre y1(x)
soluc¸a˜o satisfazendo y1(0) = 1 e y
′
1(0) = 0. Depois encontre y2(x) soluc¸a˜o satisfazendo y2(0) = 0 e
y′2(0) = 1. A soluc¸a˜o geral sera´ y = C1y1 + C2y2)
4. Encontre a soluc¸a˜o geral pelo Me´todo de Frobenius
a) 2x2y′′ − x(x− 1)y′ − y = 0
b) 4x2 y′′ + 2x y′ − x y = 0
RESPOSTAS
1) a) y = −2 + 2x− x2 + x
3
3
− x
4
4
+
7x5
60
+ · · ·
b) y = 1 + 2(x− 2)− 5
12
(x− 2)3 − 1
32
(x− 2)4 + 13
480
(x− 2)5 + · · ·
c) y = 3− (x + 1)− 2 (x + 1)2 + 2
3
(x + 1)3 +
1
4
(x + 1)4 − 7
30
(x + 1)5 + · · ·
d) y = 1− (x− 2) + 3
2
(x− 2)2 − 3
4
(x− 2)3 + 1
2
(x− 2)4 − 1
5
(x− 2)5 + · · ·
e) y = 1 + (x + 2) + (x + 2)2 +
5
6
(x + 2)3 +
5
8
(x + 2)4 +
5
12
(x + 2)5 + · · ·
f) y = −1 + (x− 2)− 1
4
(x− 2)2 + 5
24
(x− 2)3 − 1
12
(x− 2)4 + 11
240
(x− 2)5 + · · ·
g) y = 2 + x− 1
2
x2 − 1
3
x3 +
1
3
x4 +
1
10
x5 + · · ·
h) y(x) = 2− (x− 1)3 + 5
4
(x− 1)4 − 27
20
(x− 1)5 + · · ·
2) a) y =
C1
x
+ C2x
2
b) y = C1 + C2 lnx
c) y = C1 cos(2 lnx) + C2 sen(2 lnx)
d) y =
C1
x2
+
C2
x2
lnx
e) y = C1
√
x cos
(√
3
6
lnx
)
+ C2
√
x sen
(√
3
6
lnx
)
f) y = 2− 2
x2
g) y = cos(lnx) + 2 sen(lnx)
3) y = C1y1 + C2y2 onde
y1(x) = 1− p(p + 1)
2!
x2 +
p(p− 2)(p + 1)(p + 3)
4!
x4 − p(p− 2)(p− 4)(p + 1)(p + 3)(p + 5)
6!
x6 + · · ·
e
y2(x) = x− (p− 1)(p + 2)
3!
x3+
(p− 1)(p− 3)(p + 2)(p + 4)
5!
x5− (p− 1)(p− 3)(p− 5)(p + 2)(p + 4)(p + 6)
7!
x7+. . .
4) A soluc¸a˜o geral e´ dada por y = C1y1 + C2y2 onde
a) y1(x) = x
(
1 +
x
5
+
x2
5 · 7 +
x3
5 · 7 · 9 + · · ·
)
e y2(x) = x
− 12
(
1 +
x
2
+
x2
2 · 4 +
x3
2 · 4 · 6 + · · ·
)
b) y1(x) =
√
x
( ∞∑
n=0
1
(2n + 1)!
xn
)
e y2(x) =
∞∑
n=0
1
(2n)!
xn
MAT01167 - Equac¸o˜es Diferenciais II - 2018/2
Lista 7
1. Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema na˜o
tem soluc¸a˜o.
a) y′′ + 3y = 0, y(0) = 1, y(pi) = 0
b) y′′ + y = 0, y(0) = 1, y(pi) = a
c) y′′ + y = 0, y(0) = 0, y′(pi) = 1
d) y′′ + 2y = 0, y′(0) = 1, y′(pi) = 0
e) y′′ + y = 0, y(0) = 0, y(L) = 0
f) y′′ + y = 0, y′(0) = 1, y(L) = 0
g) y′′ + y = x, y(0) = 0, y(pi) = 0
h) y′′ + 3y = cosx, y′(0) = 0, y′(pi) = 0
i) x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0, y(1) = −1, y(2) = 1
2. Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de λ para os quais o problema de valor de contorno
tenha soluc¸o˜es na˜o triviais e exiba essas soluc¸o˜es.
a) y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
b) y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y(L) = 0
c) y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y′(pi) = 0
d) y′′ + λy = 0, y′(0) = 0, y(pi) = 0
e) y′′ + λy = 0, y′(0) = 0, y′(pi) = 0
f) y′′ + λy = 0, y′(0) = 0, y(L) = 0
3. Determine a expansa˜o em se´rie de Fourier das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) a func¸a˜o 2pi–perio´dica tal que f(x) = x2 , para −pi ≤ x ≤ pi .
b) f(x) a func¸a˜o de per´ıodo 6 satisfazendo
f(x) =
 0, −3 6 x < −11, −1 6 x 6 1
0, 1 < x 6 3
c) f(x) a func¸a˜o cujo gra´fico e´ dado abaixo
00
d) f(x) a func¸a˜o cujo gra´fico e´ dado abaixo
-5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66
-2-2
-1-1
11
22
33
00
4. Obtenha o desenvolvimento em se´rie de cossenos para a func¸a˜o
f(x) =
{
1 , se 0 < x < 1
0 , se 1 < x < 2
5. Obtenha o desenvolvimento em se´rie de senos para a func¸a˜o
f(x) =
{
x , se 0 < x ≤ 1
1 , se 1 ≤ x < 2
RESPOSTAS
1) a) y = cos
√
3x− cotg
√
3pi sen
√
3x
b) Se a 6= −1 na˜o ha´ soluc¸a˜o. Se a = −1 ha´ infinitas soluc¸o˜es: y = cosx+ C senx.
c) y = − senx
d) y = (cotg
√
2pi cos
√
2x+ sen
√
2x)/
√
2
e) y = 0 se L na˜o e´ mu´ltiplo de pi. y = C sen(x) se L e´ mu´ltiplo de pi.
f) y = − tgL cosx+ senx, se L na˜o e´ da forma L = pi
2
+ npi, n ∈ N;
na˜o possui soluc¸a˜o se L e´ dessa forma.
g) na˜o possui soluc¸a˜o
h) y =
1
2
cosx
i) y = −5
2
x+
3
2
x2
2) a) λn = n
2, yn(x) = sen(nx); n = 1, 2, 3, . . .
b) λn = (npi/L)
2, yn(x) = sen(npix/L); n = 1, 2, 3, . . .
c) λn = [(2n− 1)/2]2, yn(x) = sen[(2n− 1)x/2]; n = 1, 2, 3, . . .
d) λn = [(2n− 1)/2]2, yn(x) = cos[(2n− 1)x/2]; n = 1, 2, 3, . . .
e) λ0 = 0, y0(x) = 1; λn = n
2, yn(x) = cos(nx); n = 1, 2, 3, . . .
f) λn = [(2n− 1)pi/2L]2, yn(x) = cos[(2n− 1)pix/2L]; n = 1, 2, 3, . . .
3) a) f(x) =
pi2
3
− 4
(
cosx
12
− cos 2x
22
+
cos 3x
32
− · · ·
)
b) f(x) =
1
3
+
2
pi
∞∑
n=1
1
n
sen
(npi
3
)
cos
(npix
3
)
=
1
3
+
√
3
pi
(
cos
(pix
3
)
+
1
2
cos
(
2pix
3
)
− 1
4
cos
(
4pix
3
)
− 1
5
cos
(
5pix
3
)
+ . . .
)
c) f(x) =
pi
4
+
2
pi
(
cosx
12
+
cos 3x
32
+
cos 5x
52
+ · · ·
)
−
(
senx1
+
sen 2x
2
+
sen 3x
3
+ · · ·
)
d) f(x) = 1 +
8
pi2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos
(
(2n− 1)pix
2
)
= 1 +
8
pi2
(
cos
(pix
2
)
+
1
32
cos
(
3pix
2
)
+
1
52
cos
(
5pix
2
)
+ . . .
)
4) f(x) =
1
2
+
2
pi
∞∑
n=1
(−1)n−1
2n− 1 cos
(2n− 1)pix
2
5) f(x) = − 1
pi
∞∑
n=1
1
n
sennpix+
2
pi
∞∑
n=0
(
1
2n+ 1
+
2 (−1)n
pi(2n+ 1)2
)
sen
(2n+ 1)pix
2
MAT01167 - Equac¸o˜es Diferenciais II - 2018/2
Lista 8
1. Resolva pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis:
a)

ut = α
2 uxx
u(0, t) = 0 , u(L, t) = 0
u(x, 0) = x
b)

ut = α
2 uxx
u(0, t) = 0 , u(L, t) = 0
u(x, 0) = 3 sen
pix
L
+ 2 sen
3pix
L
c)

ut = α
2 uxx
ux(0, t) = 0 , ux(pi, t) = 0
u(x, 0) = 2 senx
Note que as condic¸o˜es de contorno neste
problema envolvem as derivadas de u.
Portanto, o problema para a func¸a˜o X(x)
sera´ diferente. Vale conferir o que foi feito
no exerc´ıcio 2.e) da Lista 7.
d)

utt = uxx
u(0, t) = 0 , u(10, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = 0
onde f(x) =
{
2x/10 0 6 x 6 5
2(10− x)/10 5 < x 6 10
e)

utt = α
2 uxx
ux(0, t) = 0 , u(pi, t) = 0
u(x, 0) = senx
ut(x, 0) = 0
Aqui tambe´m o problema para a func¸a˜o
X(x) sera´ diferente. Ver exerc´ıcio 2.d) da
Lista 7.
f)

utt = α
2 uxx
u(0, t) = 0 , u(L, t) = 0
u(x, 0) = x (L− x)
ut(x, 0) = 0
g)

ut = uxx
u(0, t) = 0 , u(pi, t) = 0
u(x, 0) = 100
h)

ut = α
2 uxx
u(0, t) = 0 , u(20, t) = 60
u(x, 0) = 25
i)

ut = uxx
u(0, t) = 30 , u(30, t) = 0
u(x, 0) =
x(60− x)
30
j)

uxx + uyy = 0
u(0, y) = 0 , u(a, y) = 0
u(x, 0) = 0 , u(x, b) = g(x)
onde g(x) =
{
x 0 6 x 6 a/2
a− x a/2 < x 6 a
k)

uxx + uyy = 0
u(0, y) = 0 , u(a, y) = y
u(x, 0) = 0 , u(x, b) = 0
l)

uxx + uyy = 0
u(0, y) = 1 , u(pi, y) = 1
u(x, 0) = 0 , u(x, pi) = 1
Me´todo da Separac¸a˜o de varia´veis
i) Procure soluc¸o˜es da forma u(x, t) = X(x)T (t) e obtenha as duas EDO que devem satisfazer X(x),
e T (t) .
ii) Aplique as condic¸o˜es de fronteira.
iii) Resolva a EDO espacial com as condic¸o˜es de fronteira encontradas no item anterior.
iv) Resolva a EDO temporal.
v) Fac¸a a superposic¸a˜o das soluc¸o˜es.
vi) Determine os coeficientes utilizando a condic¸a˜o inicial (as condic¸o˜es iniciais).
2. Resolva o seguinte problema para a corda vibrante, onde a posic¸a˜o inicial f(x) e´ dada pelo gra´fico
abaixo:
utt = α
2 uxx
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = 0
��
��
��A
A
A
a
h
L
f(x)
3. Resolva o seguinte problema para a corda vibrante, onde a posic¸a˜o inicial f(x) e´ dada pelo gra´fico
abaixo:
utt = α
2 uxx
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = 0
�
�
� @
@
@
L/3 2L/3
1
L
f(x)
RESPOSTAS
1) a) u(x, t) =
2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
e−
α2n2pi2t
L2 sen (
npix
L
)
b) u(x, t) = 3e−
α2pi2t
L2 sen
pix
L
+ 2e−
9α2pi2t
L2 sen
3pix
L
c) u(x, t) =
4
pi
− 8
pi
∞∑
n=1
1
(2n− 1) (2n+ 1) e
−4α2n2t cos 2nx
d) u(x, t) =
8
pi2
∞∑
n=1
1
n2
sen
npi
2
sen
npix
10
cos
npit
10
e) u(x, t) = − 8
pi
∞∑
n=0
1
(2n− 1) (2n+ 3) cos
(2n+ 1)α t
2
cos
(2n+ 1)x
2
f) u(x, t) =
8L2
pi3
∞∑
n=0
1
(2n+ 1)3
cos
(2n+ 1)pi α t
L
sen
(2n+ 1)pi x
L
g) u(x, t) =
200
pi
∞∑
n=1
1− (−1)n
n
e−n
2t sennpi
h) u(x, t) = 3x+
∞∑
n=1
70 cosnpi + 50
npi
e−
α2n2pi2t
400 sen
npix
20
i) u(x, t) = 30− x+
∞∑
n=1
cne
−n2pi2t900 sen
npix
30
, onde cn =
60
n3pi3
(2(1− (−1)n)− n2pi2(1 + (−1)n))
j) u(x, y) =
4a
pi2
∞∑
n=1
1
n2
sen(npi/2)
senh(npib/a)
sen
npix
a
senh
npiy
a
k) u(x, y) =
bx
2a
− 4b
pi2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos
(2n− 1)piy
b
senh
(
(2n−1)pix
b
)
senh
(
(2n−1)pia
b
)
l) u(x, y) = u1(x, y) + u2(x, y) onde u1(x, y) =
2
pi
∞∑
n=1
1− (−1)n
n senhnpi
senhny sennx
e u2(x, y) =
2
pi
∞∑
n=1
1− (−1)n
n senhnpi
senny(senhnx+ senhn(pi − x))
2) u(x, t) =
2hL2
pi2 a (L− a)
∞∑
n=1
1
n2
sen
npi a
L
cos
npi α t
L
sen
npi x
L
3) u(x, t) =
6
√
3
pi2
(
cos
αpit
L
sen
pix
L
− 1
52
cos
5αpit
L
sen
5pix
L
+
1
72
cos
7αpit
L
sen
7pix
L
)
− . . .