CURVAS POLARES

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Coordenadas Polares 
O sistema de coordenadas polares é um outro recurso que podemos utilizar para localizar 
pontos no plano e conseqüentemente, representar lugares geométricos através de 
equações, o que é de grande utilidade em várias áreas da Matemática, como por exemplo, 
no cálculo de áreas limitadas por duas ou mais curvas planas, áreas de superfícies, etc. 
Este fato você terá oportunidade de comprovar quando cursar as disciplinas de Cálculo I-A 
e Cálculo IV. 
Este sistema é geralmente utilizado quando a equação cartesiana de um lugar geométrico 
apresenta dificuldades operacionais na sua utilização, devido, por exemplo, ao grau elevado 
de suas variáveis. Na maioria das vezes a equação deste lugar geométrico em coordenadas 
polares é simples e de fácil manipulação. 
O Sistema Polar 
O sistema polar é constituído de um eixo e um ponto fixo sobre este. O eixo chamamos de 
eixo polar e o ponto fixo de pólo. 
A todo ponto P do plano associamos um par de elementos: o primeiro é a distância do ponto 
P ao polo e o segundo é o ângulo formado pelo eixo polar e a semi-reta de origem O e que 
passa por P (figura1). 
 
Marcamos este ângulo como fazemos em trigonometria, ou seja, no sentido antihorário o 
ângulo é positivo, caso contrário, o ângulo é negativo. Observemos o plano polar da figura 
2. 
Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, θ), onde θ representa qualquer ângulo. 
O ponto A podemos também associar as coordenadas (2, 2θ). Dê pelo menos mais um par 
de coordenadas polares para os outros pontos que aparecem nesta figura. 
Costumamos também utilizar o sinal negativo anterior à primeira coordenada polar do ponto 
P, distância do ponto P ao polo, para significar que esta distância deve ser marcada na 
semi-reta oposta a semi-reta de origem O e que passa por P. Deste modo, ao ponto A 
podemos também associar o par de coordenadas (-2, ). Dê um par de coordenadas polares 
para o ponto F da figura 2, com a primeira coordenada negativa. 
Costumamos chamar o par de coordenadas polares de um ponto P(r, ), onde r>0 e é maior 
ou igual a zero e menor que 2 , de conjunto principal do ponto P. Observemos que, por esta 
definição, o polo é o único ponto do plano polar que não possui um conjunto principal. O 
conjunto principal do ponto F na figura 2 é o par (3, /3). 
Podemos concluir então que cada par de coordenadas polares está associado a um único 
ponto do plano, mas um ponto do plano está associado a um conjunto infinito de pares de 
coordenadas polares. 
Vamos investigar se é possível obter uma expressão matemática que represente todas as 
coordenadas de um ponto P, com exceção do polo. Seja P( r, ) o conjunto principal do ponto 
P. Considerando o sentido anti-horário, observemos a figura 3: 
 
Se considerarmos o sentido horário, figura 4, temos: 
 
Podemos então concluir que a expressão matemática dada a seguir representa todas as 
coordenadas polares do ponto P. 
Equações polares de curvas 
De modo análogo ao sistema de coordenadas cartesianas, uma equação polar de uma 
curva estabelece uma relação entre as coordenadas polares (r, ) de todos os pontos desta 
curva. Por exemplo, a equação r = 2 é uma equação polar da curva constituída de todos os 
pontos do plano que possuem um par de coordenadas (2, ), podendo assumir um valor real 
qualquer.Observemos a figura 5 
Que curva esta equação representa? E a equação r = -2 representa que curva? O ponto P(-
2, 45o) pertence à curva de equação r = 2? 
Podemos concluir que se um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz a 
uma equação polar, não podemos garantir a não existência de um outro par de 
coordenadas polares deste mesmo ponto que satisfaça a esta equação. Em outras 
palavras, o fato que um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz a uma 
equação polar de uma curva, não garante que este ponto não pertença à esta curva. 
Esboce a curva de equação = 45o. 
Definição: Dizemos que duas ou mais equações são equivalentes se elas representam o 
mesmo lugar geométrico. 
As equações r = 2 , 2r = 4 e r = -2 são equações equivalentes, pois representam o círculo 
de centro no polo e raio 2. Observemos que a segunda equação pode ser obtida da 
primeira, bastando multiplicar ambos os membros por 2. No entanto, a terceira não pode ser 
obtida da primeira através das operações fundamentais. Mesmo assim, são equivalentes. 
Teorema: Seja f(r, ) = 0 uma equação polar de uma curva C. As equações polares da forma 
são equivalentes a equação f(r, ) = 0, ou seja representam também a curva C. 
Definição: Um conjunto M de equações polares é chamado conjunto abrangente de uma 
curva C, se qualquer ponto de C, distinto do polo, com qualquer par de coordenadas 
polares, satisfaz a uma das equações de M. Por exemplo: M ={ r = -2 , r = 2 } é um conjunto 
abrangente do círculo de centro no polo e raio 2. Mas, N = { r = 2} não é um conjunto 
abrangente para este círculo, pois o ponto P(- 2, 45o) não satisfaz a uma equação de N. 
O conjunto M = { x2 = 4 } é um conjunto abrangente do círculo descrito acima? Um conjunto 
abrangente de uma curva é uma ferramenta matemática de grande utilidade na verificação 
se um dado ponto P(r, ), distinto do polo, pertence ou não à uma dada curva C. 
O Teorema dado a seguir estabelece um processo de determinação de um conjunto 
abrangente de uma curva C. 
Teorema: Seja F(r, ) = 0 uma equação de uma curva C. O conjunto é um conjunto 
abrangente de C. 
 
Sistema de transformação de coordenadas polares e cartesianas 
Uma das maneiras de se relacionar os sistemas de coordenadas polares e cartesianas é 
considerando o eixo polar coincidindo com o eixo OX e o polo coincidindo com a origem do 
sistema cartesiano. Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas 
polares (r, ). A figura a seguir nos ajuda a estabelecer as relações: 
 
Exemplo 1 - Determine: (a) as coordenadas polares do ponto P(-2 , 2); (b) as coordenadas 
cartesianas do ponto Q(2, arctg 1/2( 1o quadrante)); (c) uma equação polar da curva C: y = 
2x +1; (d) uma equação cartesiana da curva G: r(1 + cos ) = 2. 
Solução: 
 
 
 
 
Simetrias 
O fato de sabermos se uma dada curva é, ou não, simétrica em relação a um ponto(ou a um 
eixo) é, sem sombra de dúvidas, muito útil no esboço dessa curva. 
Estudaremos nesta seção as simetria em relação: ao polo, ao eixo polar e ao eixo que 
possui equação, = 90o. Este último eixo é também conhecido por eixo à 90o. 
Seja P(r, ) um ponto do plano polar e P' o seu simétrico em relação ao polo. Observe a 
figura a seguir, ela nos ajuda a obter um par de coordenadas polares de P'. 
 
De modo análogo, a figura a seguir nos fornece um par de coordenadas polares dos pontos 
A e B, simétricos de P em relação ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente. 
 
Exemplo 2 - Determine as coordenadas polares dos pontos A, B e C simétricos de P (2,3 /4) 
em relação ao polo, ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente. 
 
Definição: Dizemos que uma curva G é a curva simétrica da curva C em relação ao eixo s 
(ou em relação ao ponto O), se para todo ponto P de C, o ponto P’, simétrico de P em 
relação ao eixo s (ou em relação ao ponto O), é um ponto de G, e todo ponto Q’ de G é 
simétrico em relação ao eixo s (ou em relação ao ponto O), de algum ponto Q de C. 
 
Sejam P( r, ) um ponto da curva C e P’( r’, ’) o ponto de G simétrico de P em relação ao eixo 
s( ou em relação ao ponto O). Podemos então estabelecer as relações de transformações 
entre coordenadas de P e P’. 
Considerando F(r, ) = 0 uma equação polar da curva C e utilizando as igualdades acima 
obtemos: F(g(r’), h( ’)) = 0, que é uma equação polar que relaciona as coordenadas de P’, 
logo é uma equaçãoda curva G. 
Exemplo: Determine a curva simétrica da curva C : r = 2 sen 2 , em relação: a) ao eixo 
polar; b) ao eixo à 90º; c) ao polo. 
 
Quando a simétrica de uma curva C em relação ao eixo s ( ou ao ponto O) coincide com ela 
própria, dizemos que a curva C é simétrica em relação a s ( ou em relação a O). 
No exemplo anterior, podemos concluir diretamente que C é simétrica em relação ao eixo à 
90o. No entanto, mesmo que as equações dos itens a e b sejam diferentes da equação de 
C, temos que averiguar se estas são equações equivalentes à equação de C. Para isso, 
vamos determinar um conjunto abrangente de C. 
 
O que podemos concluir? Equação Polar da Reta 
É bem comum defrontarmos com problemas de interseção de curvas em polar, onde uma 
delas é uma reta. Assim, embora a equação cartesiana de uma reta seja simples, 
necessitamos conhecer equações polares de retas. Para determinarmos uma equação polar 
de uma reta, consideraremos dois casos: 
I - A reta passa pelo polo. 
Neste caso, todos os pontos dessa reta satisfazem à equação = , assim esta é uma 
equação polar dessa reta. Exemplos: r : = 3/2 , s : = 0 , t : = 75 . Verifique que o conjunto 
abrangente de uma reta deste tipo é M = { = + n ; n }, que é infinito. 
I - A reta não passa pelo polo 
 
Consideremos uma reta s tal que a distância do polo à reta s é n. Seja N( n, ) o pé da 
perpendicular traçada à reta s que passa por O. 
Se o ponto P(r, ) pertence à reta s e é distinto de N, podemos considerar o triângulo 
ONP. Observemos que - é a medida de um dos ângulos deste triângulo. Assim, todos os 
pontos P(r, ) que pertence à reta s, satisfaz a equação: 
- ) = n 
r cos( 
É fácil verificar que o ponto N( n, ) também satisfaz esta equação, daí podemos concluir que 
esta equação é uma equação polar da reta s. 
Exemplo: Considere o paralelogramo ABCD, onde A(0, 123 ), B(4, /3) e o ponto C é o 
simétrico de B em relação ao eixo à 90 . Determine um par de coordenadas polares do 
vértice D e as equações polares das retas suporte dos lados e das diagonais deste 
paralelogramo. 
 
Solução: Como o ponto C é simétrico de B em relação à eixo à 90 , podemos concluir que o 
triângulo ABC é isósceles da base CB. Por outro lado, como a reta CB e o eixo polar são 
perpendiculares ao eixo à 90 , temos que a reta CB é paralela ao eixo polar. Daí podemos 
concluir que: o vértice D é ponto do eixo polar e o ângulo ABC é igual a /3 . Portanto o 
triângulo ABC é equilátero. Consequentemente, d(C,B) = d(A,B) = 4. Mas, ABCD é um 
paralelogramo, podemos então concluir que d(A,D) também é 4. Logo, um par de 
coordenadas polares de D é ( 4, ). 
As retas AB, AC e AD passam pelo polo, daí suas equações polares são: = /3, = 
2/3 e = 0 , respectivamente. A reta CB não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada 
do polo à esta reta é o ponto (2 3,/2) . Assim, r cos( - /2 ) = 2 3 , ou ainda, r sen = 2 3 é uma 
equação polar da reta BC. 
 
A reta DB também não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada do pólo à esta reta 
é o ponto N'( 2, 2/3) , pois as diagonais de um losango são perpendiculares e se 
interceptam no ponto médio de ambas. Daí, r cos( - 2/3 ) = 2 é uma equação da reta DB. 
Finalmente a reta DC, que também não passa pelo polo. Seja M(m,) o pé da perpendicular 
traçada do polo à reta DC. No triângulo DMA os ângulos com vértices em M e D são /2 e /3, 
respectivamente. Daí, o ângulo com vértice em O é /6. Conseqüentemente, w = - /6 = 5/6 e 
m = 4 cos /6 = 2 3 . Logo, r cos( - 5 /6 ) = 23 é uma equação polar da reta DC. 
Observações: 
I - Consideremos M um conjunto abrangente de uma s de equação r cos( - ) = n. Daí, 
Assim temos , (-1) r cos( ( - ) + m ) = n. 
m par : r cos( - ) = n. m ímpar : (-r) (- cos( - ) = n. Ou ainda, r cos( - ) = n. 
Logo, M = { r cos( - ) = n } é um conjunto abrangente de s. Portanto, qualquer ponto de s, 
com qualquer par de coordenadas polares, tem que satisfazer a esta equação! O que é, 
sem sombra de dúvidas, muito útil, como veremos mais adiante. 
I - Quando uma reta s não passa pelo polo, além de utilizarmos a equação r cos( - ) = n , 
costumamos desenvolver o cos( - ) , obtendo: 
r [cos cos + sen sen ] = n cos (cos)/n + sen (sen)/n = 1/r 
s : A cos + B sen = 1/r 
Fazendo, A = (cos )/n e B = (sen )/n obtemos uma outra forma da equação polar da reta 
 
Daí, reta DC: ( -1/4) cos + (3 / 12)sen = 1/r 
Nós ainda podemos obter a equação da reta DC acima , utilizando a observação I. De fato, 
consideremos a reta DC: A cos + B sen = 1/r . 
Como sabemos que os pontos C(4, 2/3) e D(4, ) satisfazem a equação da reta CD, 
podemos fazer as substituições abaixo: 
A cos + B sen = 1/4 
Temos então o sistema: 
Cuja solução é A = -1/4 e B = 3 / 12 . 
Exemplo: Determine uma equação polar reta t que passa pelo ponto P( 4, /2) e é 
perpendicular à reta s: 3 cos - 4 sen = 25/r. 
Solução: Como a reta s não passa pelo polo, temos: A = 3/25 = (cos )/n B = - 4/25 = (sen )/n 
Daí, tg = - 4/25 . 25/3 = - 4/3 , = arc tg - 4/3 , que podemos escolher no segundo quadrante. 
 
Então: cos = - 3/5 e 3/25 = (- 3/5) /n . Daí, n = ( - 3/5)(25/3) = - 5 .Consequentemente, Ns(-5, 
arc tg - 4/3 [2 quadrante] ) é o pé da perpendicular traçada do polo à reta s. 
 
Observemos a figura anterior, como a reta t é perpendicular à reta s podemos concluir que o 
quadrilátero ONQN é um retângulo. 
Além disso, o ângulo de N é arc tg 3/4 , sen = 3/5 e cos = 4/5. Utilizando o fato do ponto P( 
4, /2) pertence a t, temos: t : r cos( - ) = n. Assim, 4 cos ( /2 - ) = n 4 sen = n , daí, n = 4 .3/5 
= 12/5. Logo, t : r cos( - arc tg 3/4(1 quadrante) ) = 12/5 , ou na outra forma: 
 
Equação Polar do Círculo 
A equação cartesiana de um círculo é bem simples, como a equação cartesiana da reta. 
Entretanto, não são raros os momentos que precisamos determinar soluções de problemas 
que envolvem o círculo e outras curvas cujas equações cartesianas não são simples, mas 
suas equações polares são. Daí, a necessidade de conhecermos a equação polar de um 
círculo. 
Para estabelecermos uma equação polar do círculo, utilizaremos a noção de distância entre 
dois pontos, por isso precisaremos determinar uma fórmula de distância entre dois pontos 
em coordenadas polares. Um modo razoavelmente simples para isso é utilizar a bem 
conhecida fórmula da distância entre dois pontos em coordenadas cartesianas. 
De fato, sejam P(x,y) e P(x,y) , assim, 
Então se P(r,) e P(r,) , utilizando as fórmulas de transformações entre cartesianas e polares, 
obtemos: 
Logo, 
Agora estamos aptos a estabelecer a equação polar do círculo. Consideremos um círculo 
de centro no ponto C(r,) e de raio R. 
 
ou seja, R = r - 2 r r cos( - ) + r . Que é uma 
equação polar do círculo. 
Para todo ponto P(r, ) deste círculo temos que d(P,C) = R , assim: 
Exemplo: O segmento PQ é uma diagonal de um quadrado. Sabendo que P(4,/3) e Q(4, 
5/6) determine uma equação polar do círculo inscrito e do círculo circunscrito a este 
quadrado. 
Solução: Sabemos que um quadrado é decomposto por uma de suas diagonais em dois 
triângulos retângulos isósceles e congruentes, cuja hipotenusa coincide com esta diagonal. 
Como o triângulo OPQ satisfaz estas condições, podemos concluir que o pólo é um vértice 
desse quadrado. Além disso, os centros dos círculos inscrito e circunscrito a um quadrado 
coincidem o ponto de interseção de suas diagonais e estas são congruentes e se cortam no 
ponto médio de ambas. 
 
 
Por outro lado, os raios dos círculos inscrito e circunscrito são 2 ( metade do lado) e 
2 2 ( metade da diagonal), respectivamente. Daí, 
 
 
Observações 
r - 2 r r cos( - ) + r = R Então, 
Daí, [(-1)r] - 2 [(-1)r] r cos( [ - ] + m ) +r = R 
I - Consideremos M um conjunto abrangente de um círculo C de equação M = {[(-1)r] - 2 [(-
1)r] r cos( [ + m ] - ) + r = R , m }. m par : r - 2 r r cos( - ) + r = R m ímpar: (- r ) - 2(- r )r(- cos( 
- )) + r = R , ou ainda, r - 2 r r cos( - ) + r = R 
Logo, o conjunto M = {r - 2 r r cos( - ) + r = R } é unitário. Daí, um ponto qualquer do círculo, 
distinto do pólo, com qualquer par de coordenadas polares satisfaz a equação polar desse 
círculo, na forma anterior. 
I - De modo análogo ao que fizemos para reta, desenvolvendo o cos( - ) temos : r - 2 r r[cos 
cos + sen sen ] + r - R = 0 r + r ( - 2 r cos ) cos + r ( - 2 r sen) sen + ( r - R ) = 0 Fazendo, a = 
- 2 r cos b = - 2 r sen c = r - R obtemos uma outra forma para a equação polar de um 
círculo: 
r + a r cos + b r sen + c = 0 
No exemplo anterior, temos C = (2 2, 
7/12) 
e Rcric = 2 , então: 
Logo, Ccirc: r + (- 2 + 2 3) r cos + (- 2 - 2 
3) r sen = 0 
 
b = -2 2 2 sen 7/12 = - 4 2 2/4 (1 + 3) = - 2 - 2 3 c = ( 2 2) - (2 2) = 0 Poderíamos também 
utilizar a observação I. De fato, os pontos C, D e O pertencem ao círculo circunscrito, logo 
satisfazem a equação r + a r cos + b r sen + c = 0 Ou seja, 
( Observemos que o contrário também é verdade, ou seja, quando c = r - R = 0 , temos r = 
R . E portanto o círculo passa pelo polo). 
P(4, /3) 4 + a 4 cos /3 + b 4 sen /3 = 0 , ou 
seja, 16 + 4 a 1/2 + 4 b 3/2 = 0 
 
Cuja solução é a = - 2 + 2 3 e b = - 2 - 2 3. 
Daí, 8 - a 3 + b = 0. Temos então o sistema: 8 + a + b 3 = 0 8 - a 3 + b = 0 
Determine os coeficientes a, b e c , para o círculo inscrito do exemplo anterior e compare 
com os coeficientes determinados para o círculo circunscrito. O que você pode concluir 
quando dois círculos são concêntricos? 
Exemplo : Determine uma equação polar do círculo C tangente ao eixo polar e que é 
concêntrico com o círculo C: r - 4 r sen - 5 = 0 . 
Solução : Comparando as equações r - 4 r sen - 5 = 0 e r + a r cos + b r sen + 
c = 
0 , temos que: 
Observemos que a = 0 e r não é zero, pois b = - 4. 
Daí, cos = 0 e pode ser /2 . 
Consequentemente, r = 2 e ( 2, /2 ) é um par de coordenadas polares 
do centro do 
a = 0 = - 2 r cos b = - 4 = - 2 r sen círculo C, que coincide com o centro do círculo C. Por 
outro lado, C é tangente ao eixo polar, assim, R = 2. 
Daí, a = 0 , b = - 4 e c = r - R = 0. 
Logo, C : r - 4 r sen = 0 
Discussão e traçado de curvas 
Um dos problemas estudados pela Geometria Analítica é: "Dado uma equação esboçar o 
lugar geométrico que ela representa" . Resolver este problema, nem sempre é uma tarefa 
simples, muitas vezes requer recursos avançados do cálculo. Aqui, nos restringiremos a 
recursos matemáticos elementares, pois cálculo não é pré-requisito para MAT.002. 
Tudo começa com análise ou discussão de uma equação da curva e posteriormente 
compõe-se uma tabela de pontos que orientará o esboço do lugar geométrico. Vamos dividir 
a análise ou discussão da equação nas seguintes etapas: 
I - Verificação se a curva passa pelo polo. I - Construção de um conjunto abrangente da 
curva. 
I - Interseções com eixos polar e à 90. IV - Estudo de simetrias. V - Análise da extensão da 
curva. 
O exemplo dado a seguir pode ser utilizado como modelo para o esboço de uma curva 
qualquer. 
Exemplo: Esboce a curva C de equação r = 2 + 2 cos . Solução: Análise ou discussão da 
equação: 
I - Verificação se a curva passa pelo polo. 
Aqui, basicamente procuramos a resposta para a pergunta: " Existe para o qual r = 0? " 
, daí cos = -1 E pode ser . 
No nosso exemplo, temos: 0 = 2 + 2 cos 
Assim, o polo satisfaz a essa equação com o par de coordenadas O( 0 , ). Portanto, a curva 
C passa pelo polo. 
I - Construção de um conjunto abrangente da curva. 
n par r = 2 + 2 cos 
n ímpar -r = 2 + 2( - cos ), ou seja, r = - 2 + 2 cos 
I - Interseção com os eixos: 
a) Eixo polar: todo ponto P do eixo polar possui um par de coordenadas ( r, 0). Aqui, vamos 
verificar que pontos com esta característica satisfazem às equações do conjunto M, ou seja, 
b) Eixo à 90: todo ponto P do eixo à 90 possui um par de coordenadas ( r, /2). De modo 
análogo ao item anterior, vamos verificar que pontos com esta característica satisfazem às 
equações do conjunto M, ou seja, 
r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos /2 = 0 , P (- 2 , 
/2) 
 
 
Observemos que com apenas estes quatro pontos fica difícil imaginarmos o traçado da 
curva C. 
IV - Estudo de simetrias. 
Simetria em relação: a) Ao eixo polar: Seja G a curva simétrica de C em relação ao eixo 
polar: 
G : r = 2 + 2 cos( - ) r = 2 + 2 cos Daí, G coincide com C e portanto a curva C é simétrica em 
relação ao eixo polar. 
Este fato nos sinaliza que, para a construção do esboço dessa curva é suficiente fazermos 
variar de 0 até e utilizarmos esta simetria para obtermos os outros pontos necessários. b) 
Ao eixo à 90: Seja G' a curva simétrica de C em relação ao eixo à 90: 
G' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos Como esta equação não pertence ao conjunto M, G' não 
coincide com C e portanto a curva 
C não é simétrica em relação ao eixo à 90 c) Ao polo: Seja G'' a curva simétrica de C em 
relação ao polo: 
Como esta equação não pertence ao conjunto M, G'' não coincide com C e portanto a curva 
C não é simétrica em relação ao polo. 
V - Análise da extensão da curva. 
Este item tem como um dos objetivos determinar se existe, ou não, um círculo de raio R, tal 
que todos os pontos da curva são pontos interiores a este círculo. Ora, como r representa a 
distância dos pontos da curva ao polo, basta verificar se r assume um menor e um maior 
valor. 
Quando este círculo existe, dizemos que a curva possui extensão limitada. Caso contrário, 
dizemos que a curva não possui extensão limitada. 
No nosso exemplo C: r = 2 + 2 cos , o menor valor que r assume é zero, pois a curva passa 
pelo polo. E o maior valor é 4, pois o maior valor que o cosseno assume é 1. Logo, os 
pontos de C são pontos interiores do círculo de centro no polo e raio 5, por exemplo. 
Portanto, C possui extensão limitada. Por outro lado, como a Geometria que estudamos 
trabalha com os números reais, interessa-nos apenas os valores de que estão associados a 
um número real r. Os valores de que não satisfazem a essa condição devem ser excluídos 
e portanto não fazem parte da Tabela. 
Observemos que para a curva C: r = 2 + 2 cos , qualquer valor de está associado a um 
número real r. 
Pela análise acima, podemos concluir que é suficiente considerarmos 0 , para construímos 
um esboço da curva C. 
Tabela e Esboço 
 
Como vimos no exemplo anterior, fazer um esboço de uma curva é uma tarefa trabalhosa. 
Esta tarefa pode ser simplificada se conseguimos identificar a curva através de sua 
equação, pois neste caso, alguns pontos principais são suficientes para fazermos um 
esboço. Daremos a seguir as equações de algumas curvas mais conhecidas em 
Matemática e os seus respectivos esboços. 
Limaçon 
Esta curva também conhecida de Caracol possui equação polar do tipo: 
ou r = a + b sen 
r = a + b cos onde, a, b são números reais distintos de zero. 
 
Quando os números a e b possuem módulos iguais, costumamos chamar o Limaçon de 
Cardióide, devido a sua forma que lembra o desenho de um coração. Clique nas equações 
a seguir para ver as animações das curvas. 
r = 1 + 2 cos r = 2 + 2 cos r = - 3 + 2 cos 
Após identificarmos um Limaçon através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser 
obtido, verificando se este passa pelo polo e determinando seus pontos de interseção 
com os eixos polar e à 90 
Exemplos 
Esboce as curvas dadas a seguir: 1. C : r = 2 + cos 
C é um Limaçon e não passa pelo polo, pois quando r = 0 , cos = -2 e não existe que 
satisfaçaa essa condição. 
Cálculo do conjunto abrangente de C : ( -1) r = 2 + cos( + n ), n n par r = 2 + cos n ímpar - r 
= 2 + ( - cos ) , ou seja, r = - 2 + cos 
M = { r = 2 + cos , r = - 2 + cos } Interseção com: a) Eixo polar: 
 
 
2. C : r = 1 + 3 sen C é um Limaçon. 
Observemos que para r = 0, temos que sen = - 1/3 . Daí, = arc sen - 1/3 e ( 0 , arc sen - 1/3) 
é par de coordenadas polares do polo que satisfaz a esta equação. Logo a curva passa 
pelo polo. 
M = { r = 1 + 3 sen , r = - 1 + 3 sen } 
Cálculo do conjunto abrangente de C: ( -1) r = 1 + 3 sen( + n ), n n par r = 1 + 3 sen n ímpar 
- r = 1 + 3( - sen ), ou seja, r = - 1 + 3 sen Interseção com: a) Eixo polar: 
 
 
Rosáceas 
Toda curva de equação polar do tipo: 
ou r = a sen n 
r = a cos n onde, a * , n e n 1 , chamamos de Rosácea. 
O número de pétalas de uma Rosácea depende do número n: 
Se n é par, temos 2n pétalas. Se n é ímpar, temos n pétalas. 
 
r = 3 sen 2 r = 4 cos 5 
Clique nas equações a seguir para ver as animações das curvas. Observações: 
I - Para = /2n ou = /n , temos r = 0 . Daí, toda Rosácea passa pelo polo. 
I - As extremidades das pétalas de uma Rosácea distribuem - se igualmente espaçadas no 
intervalo de 0 à 2. Assim, se conhecemos uma dessas extremidades, as outras são 
facilmente determinadas, adicionando ao arco dessa extremidade o ângulo obtido quando 
dividimos 2 pelo números de pétalas. Chamaremos a medida desse ângulo de 
espaçamento entre as extremidades. 
escolher = /2n e o ponto P(a , /2n ) é uma extremidade de uma 
pétala. 
I - Sem perda de generalidade, consideremos a Rosácea C: r = a sen n . Para os pontos 
dessa curva mais afastados do polo, temos r = a . Chamamos estes pontos de 
extremidades de uma pétala. Por exemplo, se r = a , temos sen n = 1 , daí podemos Por 
outro lado, observemos que os pontos de uma Rosácea são pontos interiores ao círculo de 
centro no polo e raio igual a a + 1. Daí, a Rosácea tem extensão limitada. 
Além disso, se consideramos uma reta s que passa pelo polo e por uma das extremidades 
de uma pétala, por exemplo, podemos considerar s: = /2n . Estudando a simetria em 
relação a s, temos: 
 
r = r e = + 2 ( – ) = 2 - 
Aqui, = /2n , daí r = r e = 2(/2n) - = /n - 
Seja G a curva simétrica de C em relação à reta s , então: G: r= a sen n ( /n - ) r = a sen ( - n 
), daí , G : r= a sen n Ou ainda, G : r = a sen n , logo a curva C é simétrica em relação à reta 
s. 
Raciocínio análogo nos leva a concluir que uma Rosácea é simétrica em relação às retas 
que passam pelo polo e por uma das extremidades de suas pétalas. 
IV - Consideremos ainda a Rosácea C: r = a sen n , pelo item anterior, o ponto P(a, /2n) é 
uma extremidade de uma pétala. Seja o menor ângulo tal que P(0, /2n + ) satisfaz a 
equação dessa Rosácea, ou seja: 
0 = a sen n(/2n + ) . Daí, sen (/2 + n ) = 0 
Como a Rosácea é simétrica em relação à reta = /2n , temos que P(0, /2n - /2n) satisfaz 
também a equação da mesma. Daí podemos concluir que cada pétala dessa Rosácea está 
compreendida entre os lados de um ângulo que mede o dobro de /2n , ou seja, /n. 
De modo análogo, pode-se mostrar que se a Rosácea possui equação r = a cos n , cada 
pétala está compreendida entre os lados de ângulo que mede /n. 
Exemplos: a)Seja C = 2 cos 2 . Observemos que o valor de n é igual a 2. Assim, que cada 
pétala 
abaixo e à esquerda ) 
dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /2.( Figura b) 
Seja C = - 2 sen 3 . Observemos que o valor de n é igual a 3. Assim, que cada pétala dessa 
Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /3.( Figura abaixo e à 
direita ) . 
 
Após identificarmos uma Rosácea através de sua equação, o seu traçado rápido pode ser 
obtido, determinando as seguintes características de suas pétalas: número, espaçamento 
entre as extremidades e extremidades. 
Exemplos 
Esboce as curvas dadas a seguir: C : r = - 3 cos 2 C é uma Rosácea de 4 pétalas. O 
espaçamento entre as extremidades das pétalas é igual a 
2/4, ou seja /2. Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma pétala, 
fazendo r = 3 em sua equação: 
3 = - 3 cos 2 , daí cos 2 = -1 e 2 pode ser . Portanto, = /2 e P( 3, /2) é uma extremidade de 
uma pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas , 
obtemos as outras extremidade das 
pétalas: P( 3, ) , P( 3, 3/2) e P( 3, 2) 
 
C : r = 2 sen 3 C é uma Rosácea de 3 pétalas. O espaçamento entre as extremidades das 
pétalas é igual a 
2/3. Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma pétala, fazendo r 
= 2 em sua equação: 
2 = 2 sen 3 , daí sen 3 = 1 , daí , 3 = /2 e = /6 . Logo, P( 2, /6) é uma extremidade de uma 
pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas , obtemos as 
outras extremidade das pétalas: P( 2, 
5/6) e P( 2, 3/2) 
 
Lemniscata Toda curva de equação polar do tipo: 
r = a cos 2 ou r = a sen 2 
onde, a * , chamamos de Lemniscata. 
 
Observações: 
I - Para = /4 ou = /2, temos r = 0 . Daí, toda Lemniscata passa pelo polo. I - Como r está 
elevado a uma potência par, a Lemniscata é simétrica em relação ao polo. 
I - Consideremos C: r = a cos 2 , assim, r = (a cos 2) . Daí, r é real quando a cos 2 0. 
Se a > 0, temos que cos 2 0 . E então 2 é um arco do 1 e 4 quadrantes, ou seja: -/2 2 /2 . 
Daí, -/4 /4. 
Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos concluir que esta curva está localizada 
na região ilustrada a seguir. 
 
Se a < 0, temos que cos 2 0 . E então 2 é um arco do 2 e 3 quadrantes, ou seja: 
Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos concluir que esta curva está localizada 
na região ilustrada a seguir. 
 
Faça um estudo análogo para C : r = a sen 2. 
IV - Observemos que os pontos P( a , ) que satisfaz a equação de uma Lemniscata são os 
mais afastados do polo. Chamamos estes dois pontos de extremidades. Daí, os pontos de 
uma Lemniscata são pontos interiores do círculo de centro no polo e raio R = a + 1 . Logo, a 
Lemniscata possui extensão limitada. 
V - De modo análogo ao feito para a Rosácea, podemos mostrar que a Lemniscata é 
simétrica em relação à reta que passa pelo polo e por uma das suas extremidades. 
Após identificarmos uma Lemniscata através de sua equação, o seu traçado rápido pode 
ser obtido, determinando as seguintes características: região onde a curva se localiza e as 
extremidades. 
Exemplos 
Esboce as curvas dadas a seguir: C : r = - 9 cos 2 C é uma Lemniscata e podemos 
escrever: r = (- 9 cos 2) Daí, cos 2 0 . E então 2 é um arco do 2 e 3 quadrantes, ou seja: /2 2 
3/2 . Assim, /4 3/4. 
9 = - 9 cos 2 , daí, cos 2 = -1, ou seja, 2 = Assim, podemos considerar = /2 , A(3, 
As suas extremidades são A( 3 , ) e B ( -3 , ). Substituindo na equação obtemos: 
/2) e B(-3,/2). Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos esboçar: 
Daí, sen 2 0 . E então 2 é um arco do 1 e 
2 quadrantes, ou seja: 0 2 
 
C : r = 9 sen 2 C é uma Lemniscata e podemos escrever: r = (9 sen 2 ) Assim, 0 /2. As suas 
extremidades são A( 3 , ) e B ( -3 , ). Substituindo na equação obtemos: 9 = 9 sen 2 , daí, 
sen 2 = 1, ou seja, 2 = /2. 
Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos esboçar: 
 
Espiral de Arquimedes Toda curva de equação polar do tipo r = a , a *, chamamos Espiral 
de Arquimedes. 
 
Observações: 
I - Estudando a simetria desta curva em 
relação ao eixo à 90, temos : r' = - r e ' = - 
 
Então a equação da curva G simétrica de 
C será: - r' = a (-') 
Daí , G: r'= a '. Ou ainda, 
I - Para = 0, temos r = 0 . Daí, toda Espiral de Arquimedes passa pelo polo. G: r = a , logo G 
coincide com C e portanto C é simétrica em relação ao eixo à 90. 
I -Não existe um círculo tal que os pontos de uma Espiral de Arquimedes sejam pontos 
interiores. Logo, esta curva não possui extensão limitada. 
IV - Consideremos a Espiral C: r = 2 e observemos as tabelas a seguir: 
 
 
Distinguimos então dois ramos dessa curva unidos pelo polo e que são simétricos, um do 
outro, em relação ao eixo à 90 . Por esta razão estes ramos se interceptam em pontos 
sobre este eixo. 
 
Clique na equação para ver a animação da curva: r = 2 
0 ou 0 ) e utilizar a simetria em relação 
ao eixo à 90 
 
Após identificarmos uma Espiral de Arquimedes através de sua equação, o seu traçado 
rápido pode ser obtido, determinando alguns pontos de um dos seus ramos( 
Esboce a curva C : r = - 3 
Exemplo: 
 
C é uma Espiral de Arquimedes. Construindo a tabela para 0 e utilizando a simetria em 
relação ao eixo à 90 , temos o esboço: 
 
Interseção de curvas 
Muitas vezes a resolução de uma situação problema recai na determinação dos pontos de 
interseção de curvas. Este problema em geral é resolvido determinando as soluções do 
sistema construído pelas equações das curvas envolvidas. 
Em coordenadas polares, a resolução deste problema requer um pouco mais de cuidado, 
pois um ponto do plano possui um número infinito de pares de coordenadas polares e pode 
acontecer que um ponto de interseção das curvas envolvidas, satisfaça uma equação com 
um par de coordenadas e a uma outra com outro par de coordenadas. 
Consequentemente, nenhum desses pares será uma solução para o sistema formado pelas 
equações das curvas envolvidas. 
Contornamos desta dificuldade, utilizando as equações dos conjuntos abrangentes das 
curvas. Constituímos sistemas combinando as equações desses conjuntos abrangentes. As 
soluções encontradas constituirão as coordenadas polares de todos os pontos de 
interseção das curvas, exceto talvez o polo. Assim, para concluímos a interseção, teremos 
ainda que verificar se cada uma dessas curvas passa pelo polo. 
O fato de conhecermos as curvas através das suas equações, poderá fornecer dados 
concretos que, na maioria das vezes, reduzem a necessidade de resolução de todos os 
sistemas construídos com as equações dos conjuntos abrangentes das curvas envolvidas, 
como veremos nos exemplos dados a seguir. 
Exemplos: Determine o conjunto S dos pontos de interseção das curvas dadas a seguir: 
a)C: r = 4 cos 2 e C: r = 2. 
Resolução: 
Consideremos os conjuntos M = {r = 4 cos 2 , r = - 4 cos 2} e M = {r = 2, r = - 2}, conjuntos 
abrangentes de C e C , respectivamente. Então temos os sistemas: 
 
Por substituição podemos obter as soluções do sistema I: 2 = 4 cos2 . Daí, cos 2 = 1/2 e 
assim, 2 = /3 ou 2 = - /3. Ou ainda, = - /6 ou = - /6. 
Logo, temos os pontos P(2, /6) e P(2, -/6). Resolvendo o sistema I: 
De modo análogo, com as soluções dos sistema I e IV, Obtemos os pontos de interseção: 
 
Finalizando, observemos que a curva C: r = 2, não passa pelo polo. Assim, podemos 
concluir que o polo não é um dos pontos de interseção dessas curvas. Logo, 
 
Gostaríamos de chamar a atenção que poderíamos obter o conjunto S resolvendo apenas 
um dos sistemas acima se utilizarmos o nosso conhecimentos sobre as curvas 
pétalas é /2 e uma extremidade é o ponto 
Q(4,0) 
E a curva C é um círculo de 
centro no polo e raio 2 
envolvidas. De fato, a curva C é uma Rosácea de quatro pétalas, o espaçamento entre as 
 
Se considerarmos os pontos obtidos no sistema I, os outros pontos são facilmente 
determinados utilizando as simetrias da Rosácea e do círculo. 
b) C: r = 4 - 6 sen e C: = - /6 
Resolução: 
Consideremos os conjuntos abrangentes de C e C , M ={ r = 4 - 6 sen 2 , r = - 4 
Aqui precisamos um pouco mais de cuidado, pois M é infinito. Uma opção é resolvermos os 
sistemas obtidos combinando uma equação de M com as equações de M e esboçarmos as 
curvas envolvidas. Então temos os sistemas: 
 
Por substituição podemos obter as soluções do sistema I: 
 
A curva C: r = 4 - 6 sen é um Limaçon. Observemos que para r = 0 temos que sen = 2/3 . 
Daí, = arc sen 2/3. Logo a curva passa pelo polo. 
Interseção com: a) Eixo polar: 
 
Por outro lado, C: = - /6 é uma reta que passa pelo polo e faz um ângulo de - /6 com o eixo 
polar. Como as duas curvas passam pelo polo, este é um dos pontos de interseção. 
Observemos a tabela a seguir: 
 
Ela nos assegura que os esboços das curvas C e C é: 
E, portanto, E, portanto, 
 
Lista de exercícios 
 
a) A representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar. b) Três outros 
conjuntos de coordenadas polares para os pontos P e P. c) Quais desses pontos coincidem 
com o ponto P(3,2310). d) O conjunto principal de coordenadas polares do ponto P. e) Um 
conjunto de coordenadas polares (r,) do ponto P , tal que r > 0 e ( -7 , - 5 ). 
2. Em cada um dos itens a seguir, identifique o lugar geométrico do ponto que se move e 
faça um esboço desse lugar. 
a) Um ponto P(r,) se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial 
( ), seu raio vetor( r) permanece constante e igual a 4. b) Um ponto se move de maneira 
que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial permanece constante e 
igual a 45. 
a) C: r = 4 b) C: =/2 
c) C: r = 2 cos d) C: r = 2 cos4 
3. Determine um conjunto abrangente para cada uma das curva dadas a seguir: 
a) P( -1, /6) e C: r 2 - 2 cos 2 = 0. 
4. Verifique se o ponto P pertence à curva C, quando: 
/2) e C: r(1- 3 sen ) = 4. 
c) P(4,/2) e C: r = 4 sen 3 . 
 
a) C: r = 2 + 2 cos e C: = /4. 
b) C r = 3 e C: r = 6 sen 2 . 
c) C: r = 2 - 2cos e C: r = 16 cos 2. 
d) C: r = 4 - 2sen e C: r - r sen = 4. 
5. Determine as interseções das curvas C e C, analiticamente. 
6. Determine o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos de coordenadas 
retangulares: 
a) (3/2, (-3)/2) b) ( 3,-2) c) (cos2, sen2) 
a) 2x - y = 0 b) x 
+ y - 2y = 0 c) x y = 2 d) x - 4y = 4 
7. Transforme a equação retangular dada em sua forma polar: 8. Transforme a equação 
polar dada em sua forma retangular: 
a) r cos - 2 = 0 b) r = 4 cos 2 c) r(1 + 2 cos ) = 4 
9. Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto P(4,4 /3). 
10. Dado o círculo C: r + 4 r cos - 3r sen - 15 = 0 , determine uma equação polar do círculo 
concêntrico com o círculo C e que passa pelo ponto P(4,45). 
1. Dado o círculo C: r - 4 3 r cos + 4 r sen + 7 = 0 , determine uma equação polar do círculo 
concêntrico com C e cujo raio é o dobro do raio de C. 
12. Determine uma equação polar da reta s que passa pelo P(3,60), sabendo que o 
segmento OP é normal à reta s. 
13. Determine a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC, sabendo que o vértice A é o 
polo e que os vértices B e C pertencem à reta s: r cos( + 15) = 1. 
a) é paralela ao eixo à 90 
b) é perpendicular ao eixo à 90 
14. Determine uma equação polar da reta m que passa pelo ponto P(-2,330) e que: 
c) é paralela à reta s: = /6. 
d) é perpendicular à reta t: r(cos + sen ) = 2. e) passa pelo ponto Q(1,-30). f) passa pelo 
ponto R(4,210). 
15. Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto Q simétrico de P(2, /3) em 
relação : 
a) ao eixo polar b) ao eixo à 90 c) ao polo. 
16. Considere a curva C: r = 2 sen 2. a) Determine uma equação polar da curva C’ simétrica 
de C em relação: 
(i) ao eixo polar (i ) ao eixo à 90 
(i) ao polo. 
b) Verifique se C é simétrica em relação: 
(i) ao eixo polar (i ) ao eixo à 90 (ii) ao polo. 
17. Determine uma equação polar do círculo de centro no ponto C, simétrico de C(-2,-60) 
3/6 cos - 1/6 sen 
em relação ao polo e que é tangente à reta s: 1/r = - 
a) r = 2 sec b) r = -2 sen 2 c) r = 3 - 4 cos 
d) r = 2 sen e) r = 8 cos 2f) r = 2 sen3 
18. Esboce as curvas dadas a seguir: g) r = 2 h) r = 4 + 2 sen i) r = 4 cos 2 
1. b) P(1,120), P(1,480) e P(- 1,300). 
P( 2,45) , P(- 2,-135) , P(- 2,225 ). 
c) P d) P(3,150 ) e) P(1, -16 /3) 
2. a) Círculo : r = 4 b) reta = 45o. 
3 a) E(C) = { r = 4 , r = -4} b) E(C) = { = 
(2n+1)/2 ; n } 
c) E(C) = {r = 2 cos } d) E(C) = { r = 2 cos 4 , r = - 2 cos 4 } 
4. a) Sim b) Sim c) Não d) Sim. 
 
6. a) ( 3, 5 /3) b) ( 13, 2 + arc tg(-2/3) ) c) ( 1,2) 
7. a) = arc tg 2 b) r = 2 sen 
c) r sen 2 = 4 d) r cos - 4 r sen = 4 
8. a) x = 2 b) x + y = 2 ( (x - y)) ; x y. c) 3x - y - 16x + 
16 =0 
9 A( - 2 + 
13, 0) e B( - 2 - 13, 0). 
10 r + 4 r cos - 3 r sen - 16 - 2 2 = 0 
1 r - 4 3 r cos + 4 r sen - 20 = 0 
12 s : 3 = r cos( - 60) 
13 h = 1 
14. a) m: 3 = r cos( - ) b) m: r cos( - /2) = 1 
c) m: 3 = r cos( - 120) d) m : (2 + 6) /2 = r cos( - 135) 
e) m: = 150; f) m: 1/r = - 3/4 cos + 1/4 sen . 
b) ( (-1) 2 , 2 /3 + n ) , n c) ( (-1) 2 , 4 /3 + n ) , n . 
16. a) ( i ) r = -2 sen 2 ( i ) r = -2 sen 2 r = 2 sen 2 
b) ( i ) Não ( i ) Não (ii ) Sim