Introdução à Matemática Atividade Semana 4

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE VIRTUAL DO ESTADO DE SÃO PAULO 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALLINE YANO 
RA 1822221 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA 
Resolução Atividade para Avaliação Semana 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dracena 
2018 
1. [1,5 pontos] Resolva a equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟏𝒙 + 𝟗𝟖 = 𝟎 , sabendo que 𝒙 = 𝟕 
 é uma raiz da equação. 
 
SOLUÇÃO: 
Sendo 𝑥 = 7 → 𝑥 − 7 = 0. Dividindo a equação em questão por 𝑥 − 7 temos: 
𝑥ଷ − 12𝑥ଶ + 21𝑥 + 98 𝑥 − 7 
− 𝑥ଷ + 7𝑥ଶ 𝑥ଶ − 5𝑥 − 14 
0 − 5𝑥ଶ + 21 + 98 
 + 5𝑥ଶ − 35𝑥 
 0 − 14𝑥 + 98 
 + 14𝑥 − 98 
 0 0 
 
Logo: 
𝑥ଷ − 12𝑥ଶ + 21𝑥 + 98 = 0 
(𝑥 − 7)(𝑥ଶ − 5𝑥 − 14) = 0 
 
Aplicando Bhaskara temos: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏ଶ − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(−5) ± ඥ(−5)ଶ − 4 × 1 × (−14)
2 × 1
 
𝑥 =
5 + √81
2
 𝑒 𝑥 =
5 − √81
2
 
𝑥 = 7 𝑒 𝑥 = −2 
 
Sendo assim, as raízes são 7 e -2 
 
 
 
 
2. [1,5 pontos] Obtenha o resto da divisão do polinômio: 
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏 por 𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙 
 
SOLUÇÃO 
𝑥ହ − 2𝑥ସ + 6𝑥ଷ − 𝑥ଶ + 6𝑥 + 1 𝒙𝟑 − 𝒙 
− 𝑥ହ + 𝑥ଶ 𝑥ଶ − 2𝑥 + 7 
0 − 2𝑥ସ + 7𝑥ଶ − 𝑥ଶ + 6𝑥 + 1 
 + 2𝑥ଶ − 2𝑥ଶ 
 0 + 7𝑥ଶ − 3𝑥ଶ + 6𝑥 + 1 
 − 7𝑥ଶ + 7𝑥 
 − 3𝑥ଶ + 13𝑥 + 1 
 
O resto de ௉(௫)
ொ(௫)
 é −3𝑥ଶ + 13𝑥 + 1 
 
3. [2,0 pontos] Determine a matriz inversa de 𝑨 = ቂ𝟏 𝟎𝟒 𝟐ቃ. 
 
 Solução: 
A matriz inversa de A é A-1. Sabendo que 𝐴 × 𝐴ିଵ = 𝐼, onde I é a matriz identidade, 
temos: 
ቔ1 04 2ቕ × ቂ
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑ቃ = ቂ
1 0
0 1ቃ 
൤ 𝑥 + 0𝑐 𝑦 + 0𝑑4𝑎 + 2𝑐 4𝑦 + 2𝑤൨ = ቂ
1 0
0 1ቃ 
⎩
⎨
⎧ 𝑎 = 1 
𝑏 = 0 
4𝑎 + 2𝑐 = 0 → 4 × 1 + 2𝑐 = 0 → 𝑐 = −2 
4𝑏 + 2𝑑 = 1 → 4 ∗ 0 + 2𝑑 = 1 → 𝑑 = 1/2
 
 
Logo 𝐴ିଵ ൤ 1 0−2 1 2⁄ ൨ 
 
4. [1,5 pontos] Determine o(s) valor(es) de 𝝁 ∈ ℝ sabendo que 𝑨 = ቂ𝝁 𝟏𝟎 𝟑ቃ e que 
𝑨𝟐 = ቂ𝟒 𝟏𝟎 𝟗ቃ 
 
SOLUÇÃO: 
Sabendo que 𝐴 × 𝐴 = 𝐴ଶ temos: 
ቂ𝜇 10 3ቃ × ቂ
𝜇 1
0 3ቃ = ቂ
4 1
0 9ቃ 
൤𝜇
ଶ + 0 𝜇 + 3
0 + 0 0 + 9
൨ = ቂ4 10 9ቃ 
൜ 𝜇
ଶ = 4
𝜇 + 3 = 1 → 𝜇 = 1 − 3 → 𝜇 = −2
 
 
Sendo assim 𝜇 = −2 
 
5. [1,5 pontos] Determine o(s) valor(es) reais de 𝝁, tais que (𝑨 − 𝝁𝑰) = 𝟎, sendo 
𝑨 = ቂ−𝟐 𝟓𝟎 𝟒ቃ e I a matriz identidade de ordem 2. 
 
SOLUÇÃO 
ቂ−2 50 4ቃ − 𝜇 × ቂ
1 0
0 1ቃ = 0 
ቂ−2 50 4ቃ − ൤
𝜇 0
0 𝜇൨ = 0 
൤−2 − 𝜇 50 4 − 𝜇൨ = 0 
൜−2 − 𝜇 = 0 → 𝜇 = −24 − 𝜇 = 0 → 𝜇 = 4 
 
Logo, 𝜇 = −2 𝑜𝑢 𝜇 = 4 
 
6. [2,0 pontos] Como você apresentaria o estudo de matrizes para alunos do 
Ensino Médio? Descreva brevemente uma estratégia para motivar esse estudo e 
conquistar o interesse dos alunos (no máximo 1 lauda). 
 
SOLUÇÃO 
 
Conteúdos: Matrizes 
Objetivos geral: Introduzir o conceito de matrizes fazendo referência com o uso de 
dados de uma tabela. 
Objetivos Específicos: Exemplificar o uso de matrizes para situações cotidianas e 
também em outras áreas. 
Recursos: Material permanente (quadro) 
Metodologia: 
Momento1: Introdução do conceito de matrizes 
Objetivo: Apresentar o conceito de matrizes e a representação genérica de uma 
matriz. 
Desenvolvimento 
Vamos organizar dados utilizando uma tabela. Observe por exemplo o boletim de 
um aluno: 
 1°Bimestre 2° Bimestre 3° Bimestre 4° Bimestre 
Português 6 8 7 8 
Matemática 9 8 7 7 
Geografia 6 6 8 7 
Ciências 8 9 8 6 
Quando estamos organizando dados em linhas e colunas, ou seja, em uma tabela, 
estamos criando matrizes. Várias operações realizadas por computadores são 
fundamentadas nas matrizes, sendo estas utilizadas largamente na estatística, 
economia, física e nos mais diversos campos da ciência. 
Mas para facilitar, vamos pensar num exemplo mais cotidiano, na barraca de 
pastel da dona Maria. Podemos fazer uma tabela com os ingredientes que ela usa: 
 Ovos Farinha Carne 
Pastel 3 6 3 
Coxinha 4 4 2 
Kibe 1 1 6 
ou então numa tabela com os preços de cada ingrediente que dona Maria precisa: 
 
 Preço Base (R$) 
Ovo 0,30 
Farinha 0,50 
Carne 1,20 
Agora vamos transformar os dados do exemplo da barraca de Pastel da dona 
Maria em uma matriz. Matrizes normalmente recebem uma letra como nome e ficam 
entre colchetes e parênteses. 
Tabela dos Ingredientes (I) Tabela Preço (P) 
𝐼 = ൥
3 6 3
4 4 2
1 1 6
൩ 
 
𝑃 = ൥
0,30
0,50
1,20
൩ 
A matriz I possui 3 linhas e 3 colunas, logo essa é uma matriz quadrada 3x3, ou 
matriz quadrada de ordem 3. O nome QUADRADO se dá a todas as matrizes que 
possuem o mesmo número de linhas e colunas. Já a matriz P é uma matriz 3x1, pois 
possui 3 linhas e 1 coluna. 
Supondo que queremos conferir o quanto de carne uma coxinha precisa. Se 
pensarmos na tabela, basta ver a linha da coxinha e se dirigir até a coluna da carne, ou 
seja, esse dado está na 2ª linha e na 3ª coluna. O mesmo se aplica as matrizes ao se 
orientar pela linha e coluna. 
 
Representação Geral de uma Matriz 
 
Assim: 
- Uma matriz sempre é representada por uma letra maiúscula como nome; 
- Os elementos de uma matriz são representados pela mesma letra da matriz, só que 
minúscula; 
- Acompanhando a letra minúscula seguem dois índices “i,j”, cujo o primeiro indica em 
que linha o elemento se encontra, e o segundo indica em que coluna; por exemplo, 𝑎ଶ,ଷ 
é o elemento que está na 2° linha e 3° coluna.