Apostila de Matrizes (8 páginas, 40 questões, com gabarito)

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SUMÁRIO
PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES
Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou
1 . INTRODUÇÃO	1
2 . DEFINIÇÃO	1
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MATRIZ	2
4 . MATRIZES ESPECIAIS	2
de ordem m × n.
 (

)Exemplo: A2 × 3 =  3 4
 5 1
dem dois por três.
2 é uma matriz de or-
 (

)0
MATRIZ QUADRADA	2
MATRIZ IDENTIDADE	2
MATRIZ NULA	2
MATRIZ TRANSPOSTA	2
. IGUALDADE DE MATRIZES	3
. ADIÇÃO DE MATRIZES	3
. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES	3
. MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR MATRIZ	3
. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES	4
. MATRIZ INVERSA	4
Referências	8
1 . INTRODUÇÃO
Muitas vezes, para designar com clareza certas situações é necessário um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em li- nhas e colunas, formando o que se chama matriz.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Os estudantes de um colégio responderam a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou Português?” Cada estudante escolheu uma única matéria. As respostas foram computadas e alguns dados colocados no quadro:
	
	Sexo
	Matéria
	Masculino
	Feminino
	Matemática
	137
	98
	Português
	105
	117
a) Quantos estudantes escolheram a Matemática?
b) Quantos estudantes do sexo feminino respon- deram à pergunta? R: a) 235 alunos; b) 215 alunos
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à pergunta? R: 457 alunos
2) Observe a matriz seguinte e responda:
Observe por exemplo a seguinte situação:
As vendas de uma editora em relação aos livros de Matemática, Física e Química, no primeiro trimestre de um ano, podem ser expressas pela tabela a seguir.
10 
 (
1
)

17 
 (

) 4
0	1
3	7
6 12 
11 8
5 
 (
9
)

2 
 (

)2 5
	
	Janeiro
	Fevereiro
	Março
	Matemática
	20000
	32000
	45000
	Física
	15000
	18000
	25000
	Química
	16000
	17000
	23000
Se quisermos saber:
· Quantos livros de Matemática foram vendidos em Fevereiro, basta olharmos o número que está na primeira linha e na segunda coluna;
· Quantos livros de Física foram vendidos em Ja- neiro, basta olharmos o número que está na se- gunda linha e na primeira coluna;
· 	Quantos livros de Química foram vendidos nos 3 meses, basta somarmos os números da tercei- ra linha. E assim por diante.
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, de- nomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:
a) 
De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4
b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª
coluna? R: 3
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11
g) Qual o resultado da soma dos números da 2ª
coluna? R: 20
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela
20000
15000
 (

)16000
32000
18000
17000
45000
25000
 (

)23000
20000
 (

)ou 15000
16000
32000
18000
17000
45000 
 (

)25000 
23000 
ilustra os resultados da pesquisa. R: (e)
2 (
Denomina-se matriz 
m × n 
(lê-se m por n) qualquer tabela retangular formada por 
m 
li- nhas e 
n 
colunas, sendo m e n números inteiro maior que zero.
). DEFINIÇÃO
d) C = (c )
tal que
cij  0 parai  j . R = ( )
 (
3
)
ij 3 × 3

 ij
 1 parai  j
e) (
c
)D = (dij)2 × 4, com dij =
i - j
R = ( )
 
4 . MATRIZES ESPECIAIS
4.1 (
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
)MATRIZ QUADRADA
Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois por dois ou simplesmente ordem 2.
A2 × 2 =
2
5
3
1
ou simplesmente, A2 =
2
5
3
1
 (
(a) 
20
(b) 
21
(c) 
24
(d) 
25
(e) 
27
)De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? R: (e)
Observação: Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i = j formam a diago- nal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secun- dária.
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MA- TRIZ
diagonal secundária
 (

a


a
11
a
12
a
13 




a
21
a
22
a
23
 


31
a
32
a
33
 

)O elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij em que i representa a linha e j a coluna na qual o elemento se encontra. Uma ma- triz A, do tipo m × n será escrita, genericamente, assim:
diagonal principal
4.1 MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada de ordem n em que
 a	a12
a13
 a1n 
todos os elemento da diagonal principal são iguais
 11
	a 1 e os outros elementos são iguais a zero, seu
 a21
 (

)A =  a31
a22 a32
a23 a33
 a2n 
 (

) a3n 
símbolo é igual a In.
1 0 0
 	
		 
1 0		
am1
am2
am3
 amn 
Exemplos: I2 = 
 , I3 = 0 1
0 .
		0 1
0 0 1
ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se: ma- triz A, dos elementos aij, do tipo m × n.
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que aij
= i + j.
Resolução:
	
4.2 MATRIZ NULA
É qualquer matriz que possui todos os ele- mentos iguais a zero. Simboliza-se a matriz nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem n por 0n.
A matriz é do tipo 2 x 2 então, generica- mente,
Exemplos: 0
3 × 2
0
 (

)= 0
0
 (

)0 , 02
0 0
 (
=
) (
,
)0 0
a11
a12 
0 0		
a	a			
 21	22 
0 0 0
Resta descobrir quem são esses termos a
11,
03 = 0 0 0 , 01 × 4 = 0 0
0 0 
 (

) (

) (
0
) (
0
) (
0
) (


)a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j. Então,		
usando os cálculos auxiliares:
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 + 2 = 4
a11
a12 
2 3
4.3 
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja A uma matriz de ordem m × n deno- mina-se transposta de A a matriz de ordem n × m obtida, isto é, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
Logo a matriz a
a	 é igual a 3 4 .
Indica-se transposta de A por At.
 21
22 		
1 2
EXERCÍCIOS BÁSICOS
4) Escreva as matrizes:
Exemplo: Seja a matriz A = 3
 (
7
) (

)


5
 (

)0 3  2
a sua trans-
a) (
 
 
 
 
 
 
 
)A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R = ( )
posta é At
1 3 7
 (
=
)	
2 5 0
b) A = (aij)3 × 2
tal que aij
= i - j.
 
R = ( )
 
	 2  3
c) (
 
 
 
 
)B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j. R = ( )
5 . IGUALDADE DE MATRIZES
x
 y	2 0
 (
Duas matrizes 
A 
e 
B 
são iguais se, e somente se, tem a mesma ordem e seus elementos cor- respondentes (que estão na mesma linha e na mesma coluna) são iguais.
) 
b) y
+  z  = 

R: x = 10; y = 10 e z = 5
 	 	1 5
 z 	 4	 9 

c) (
3
) (

x
)

	 
 (
+
)y 	x
 (

) (
t
) (

)2 z	
	
 (
=
)3	10 
 (
z
) (
4
)	
	
1 
 (

)1 8 R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6
EXERCÍCIOS BÁSICOS
5) Calcule os termos desconhecidos:
b) 
	y
 (

 
x
) (

)3x t 
 y	z
 (
+
)	
- y 2
 6
 (
=
)
14 
7 
 R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6
0 
 (

)a
a) (
c
)

b 	 6
 (
d
) (
5
) (
=
)	
	
3
 (
8
) R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8

7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
b) x
3  =  6
3
 (
Sendo 
A 
e 
B 
duas matrizes do tipo m × n, de- nomina-se 
diferença 
entre 
A 
e 
B 
(representada por A – B) a soma da matriz oposta de 
B.
A – B = A + (-B)
)R: x = 6 e y = 4
 (
5
) (

) (
5
) (
8
) (

) (

) (

)	2y 		
m n 
c)  p
q 
= I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1
EXERCÍCIOS BÁSICOS
d) m
0  =  3 0
9) 
Calcule:
 0 n  1 
 0 5
R: m = 3 e n = 4
8
3
			
a)   -   =
e) y	0	 = I
R: x = 0 e y = 1
7
2
6
3
R: ( )
 
 (
0
) (

) (

)	x  y 	2
 (

2
)b) 
3	0
 (
-
)	
2 = R: (	)
x  y	b	
5 3
1 4
1 5
f) (

)
 y
a - b = 
 (

) (
1
) (

) (

)5
 R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3
 (
8
)
9

 (

1
)c) 6
		
 (
-
)2	4 	0 1 2
3 1 0	6 5 1
 (
=
)R: ( )
 
g) a  b
3d  = 

R: a = 2; b = 3 e d = 3
			
 (

) 2b 
	2
2a- d
6
1 7
10) Dadas as matrizes A =
2 	 
 (
1
)6  , B = 6  e
h) z
x - 5x  6  = I
 	 
2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1
 3 
2 
0	y - 1	
 0 
 	 
6) Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem	C =  4  , calcule:
 	 
) e c) ( )
ij		
R: a) ( ); b) ( 
2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t para que
- 2 
se tenha
 x  y
 (

)2x  y
t  z 
 (

)t  z
	
 (
a) 
A + B – C
b) 
A B + C
c) 
A B – C
)= A. R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2
(Veja a resolução dessa questão )
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES
11) 
Determine x, y e z sabendo que:
x	3	 1 0
 (
Dada duas matrizes 
A 
e 
B 
do mesmo tipo m × n denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por 
A + B
, a matriz C do tipo m × n na qual cada elemento é obtido 
adi- 
cionando os elementos correspondentes de A e B.
) 	
a) y	-
 =   4
 	5		 R: x = 13; y = 1 e z = 2
 z 	8	  6 
 	 		
x	y	1 5
 	 	
b) y	- z	=

R: x = 25; y = 10 e z = 8
 	 	 2 
 z 	 0 	 8 
 (
4

)EXERCÍCIOS BÁSICOS
 
c) (
1
) (

)x
 
 (

)6  -

- x

 (
z
) (

)4 =
12 
y
 (

) (
4
) (
1
) (

) (

)R: x = 6; y = 2 e z = 1
7) (
2
) (

)Dadas as matrizes A = 
 , B =  4 1
	2 z
- 3			
3	
0 1
7 0
 2
d) (
x
) (
y
) (

) (

)
	 2
 (
1
) (
-
) (

)2	
 (

)
- 3 
 (
e
)
-1
 (
=
)
4 
 R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou
C = 
5
0  , calcule:
- 2 


z = 3
z 	- 5
- 1
 8 1 0
8) Determine x, y, z e t, sabendo que:
8 
. MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR
 (
Se
 
A
 
é
 
uma
 
matriz
 
m
 
×
 
n,
 
de
 
elementos
 
a
ij
,
 
e

 
é um número real, então 

A 
é uma matriz
 
m
× n cujos elementos são 

a
ij
.
) (
a) 
A + B = 
R: (
 
)
 
 
 
 
c) 
B + C = 
R: (
 
)
 
 
 
 
 
 
b) 
A + C = 
R: (
 
)
 
 
 
 
 
d) 
A + B + C =
 
R:
 
(
)
 
 
 
 
 
 
)MATRIZ
x
 
a) y
 		
 (
3
) (
1
 
0
)+ 1 =  4 
R: x = 7; y = 10 e z = 0
EXERCÍCIOS BÁSICOS
 	 		
 z 	 		
2 0 1
0 - 1 2
 	5
 5 
12) 
Sendo A = 
 4 1
 e B = 
3	5
 , de-
0	6
 (
a) 
5A 
=
)termine:
R: ( )
 
 (
b) 
-2B =
)R: ( )
 
d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitó- ria do Comercial? R: a
c) 1 A =
2
 
 (
R:
 
(
)
) 
41
e) Considerando que um time ganha três pontos
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
)d) 2A + B = R: ( )
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
)e) 5A – 02 x 3 = R: ( )
na vitória e um ponto no empate, calcule, fazendo uma multiplicação de matrizes, quantos pontos fez
 
 (
 
)cada time. R: ( ); América: 1pt, Bota Fogo: 7 pts, Nacional: 2 pts e Comercial: 5 pts
13) (

)Se A = 1
2
 , B =
 (
3

)0
- 1

 1
3 

- 2
e C = 1 2
 (
,
) (

) (

) 4 3
 
f) Qual foi a classificação final do torneio? R: Bota Fogo
campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América 4º lugar
 (
 
 
 
 
 
 
)calcule 3A + 2B - 4C. R: (	)
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
 (
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto da matriz 
A 
pela matriz 
B 
é a matriz C = (cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz 
A
, pelos elementos da coluna 
j
, da matriz 
B
, e somando-se os produ- tos obtidos.
Para dizer que a matriz 
C 
é o produto de 
A
 
por
B
, vamos indicá-la por AB.
)
Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
14) Determine os produtos:
16) 
Para a fabricação de caminhões, uma in- dústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:
	Componentes/modelos
	A
	B
	C
	Eixos
	2
	3
	4
	Rodas
	4
	6
	8
Para os primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
	Modelo/Meses
	Janeiro
	Fevereiro
	A
	30
	20
	B
	25
	18
	C
	20
	15
Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308 rodas no mês de Fevereiro.
10 (
Dada uma matriz quadrada 
A
, de ordem 
n
, se 
X 
é uma matriz tal que AX = I
n
 e XA = I
n
, então 
X 
é denominada 
matriz inversa 
de 
A 
e é indicada por
 
A
-1.
). MATRIZ INVERSA
6
a) 
1
5
b) 
2
4
5 2 4
 	
0 1 3
4 7 4
 	
1 0 2
3
R: ( )
 (
=
) 
 (
=
)R: ( )
 
 (

) 
Quando existe a matriz inversa de A, dize- mos que A é uma matriz inversível ou não- singular.
c) 
2
0 .I2 = R: ( )
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Determine, se existir, a inversa de cada uma
5
d) (
3
)

1 0	5
 (
2
2
) (

 

) 	- 1
1	6 
 (

)4 - 3
 (
=
)R: [ 
 
 ]
 
das seguintes matrizes:
1 3
e) (
2
) (

)	5
4 0
6 5
 (
1
 
2
) 
 
2 3
0
 (
4
)

2
 
 (
= 
R: 
[
) (
a) A 
= 

1 3

R: (
 
)
c) A
=

2

 
4
3

5

R: (
 
 
 
 
 
 
 
)
 
 
b) A 
= 

 
5 8

R: 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
)
d) A
=

1 1
2

3
R: (
 
 
 
 
)
 
(Veja a resolução 

)
) ]
 
 (
1
)	6 
	  3 5 
f) - 2
1  
 = R: ( )
 (
3
) (
4
)	 - 1 2 
	
15) O quadro abaixo registra os resultados obti- dos por quatro times em um torneio em que todos se enfrentam uma vez:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
18) Um técnico de basquetebol descreveu o de- sempenho dos titulares de sua equipe em sete jogos através da matriz:
 (
Vitórias
Empates
Derrotas
América
0
1
2
Botafogo
2
1
0
Nacional
0
2
1
Comercial
1
2
0
)18 17 
18 17 21 18 
2 0
 (

)15 16 
18 18 22 
21 1 8
20 19 20 

21 14 14 
2 2
 (

)
18 
19 
22 20 
18 12 
20 18 22 
14 20 17 
2 3
1 8
a) Represente a matriz A = (aij) correspondente.
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3
c) O que representa o elemento a23 da matriz A?
R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo
Cada elemento aij dessa matriz é um número de pontos marcados pelo jogador de número i no jo- go j.
a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3
no jogo 5? R: 14
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4? R: 90
c) Quantos pontos marcou o jogador de número 2
em todos os jogos? R: 128
19) Obtenha , , de modo que a matriz:
23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura: R: (e)
 (

)A = x2


 5x  6
0

 (
0
) (
1º b
2º b
3º b
4º b
Matemática
5,0
4,5
6,2
5,9
Português
8,4
6,5
7,1
6,6
ciências
9,0
7,8
6,8
8,6
est. sociais
7,7
5,9
5,6
6,2
)
 (

)x2 - 6x  8 
Seja igual à matriz nula de ordem 2. R: S = {2, 3, 4}
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz qua-
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual
 (
(a)
A
=

2


8
4

5

(c) 
A =
 

2

5
8


(e) 
n.d.a.
(b)
A
=

2

5
8


(d) 
A = 

2

8


5
)drada de ordem 2 tal que aij = Nessas condições: R: (c)
2i  j para i  j
 (
.
) (

i
) 2  1 parai  j
do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem acima apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:
	(a)
	(b)
	(c)
	(d)
	(e)
 (


) (


)21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij)
 (


a
ij
 

 
 
1
 
s
e
i
 

 
j


a
 
 

 
 
0
 
s
e
i
 

 
j

 
ij


b
ij
 

 
 
1
 
s
e
i
 

 
j
 

 
4


b
 
 

 
 
0
 
s
e
i
 

 
j
 

 
4

 
ij
)estão assim definidas: R: (d)
1 1 1 1 
 
2 2 2 2 
 1 1 1 1 
 
 4 4 4 4 
1
 (
1
) 
 
1
 
1
 1 
 (
2
) 
 
 1 
 2 
 (
1
) 
 
 2 
 (
1) 
 
 2 
 1 
 
 (
4
) 
 1 
 4 
 (
1
) 
 
 4 
 (

 

) 1 
 4 
em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
	
	1
0
0
	0
	0
	1
1
	0
	1
	
	1 0
	1
	0

1
0

	(a)
	
	1
	
	
	1
	
	(e)
	
	1
	
	
	
	0
	
	
	0
	
	
	
	1
	
	
	0 0
1
	0
	1
	1
1
	0
	1
	
	(b)
	
	1
	
	
	2
	
	
	
	
	0
	
	
	0
	
	
22)(Enem-2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4 x 4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usan- do produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
24)(UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante. A matriz P fornece o número de por- ções de arroz, carne e salada usados na composi- ção dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante.
	
1 arroz
 
C  3 carne
2 salada
 
	arroz carne salada
2 1 1 prato P1
	
P  1 2 1 prato P2
2 2 0 prato P3
	
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a)
	7 
(a) 9
 
8
 
	 9 
(c) 1 1
	
 4 
	
	 2 
(e)  2 
 
 4
 
	 4
(b)  4
 
 4
 
	2 
(d) 6 
 
 8 
 
	
25)(UNAMA-2006/2)	Nas matrizes
 (

) (

)Modelo	Pr eço Unitário
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: R: (e)
A  	X
	Y

 (
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

1 
 
1 1 1
 


2 
2 2 2
 




 
1 1 1 1
 


 
4 4 4 4
 




1


1


 


1


 


1


 
1
 


 
2
 


 
 


 
1
 


 
2
 


 
1
 


 
 


 
2
 


 
1
 


 
 


 
2 


 
1
 


 
4
 


 
 


 
1
 


 
4
 


 
1
 


 
 


 
4
 


 
1
 


 
 


 
4 

)	Z
R$ 5.600,00 
 (
e
)R$ 5.800,00 
 (

)R$ 6.000,00 
Trimestre\ Modelo	X	Y	Z 
	
B  

1º Trimestre
2º Trimestre
25	30
15	20
50
40
estão repre-
sentados os preços unitário das motonetas em função do modelo e a quantidade vendida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma revendedora de motonetas, respectivamente. Com base nesses dados, podemos afirmar que a receita obtida por
essa revendedora no 1º trimestre de 2006 foi de: R: (b)
1	1	1 X	963 6
(c) 0	11 6 . Y = 143 6
	  		
 (
(a) 
R$ 720.000,00
(c) 
R$ 560.000,00
(b) 
R$ 614.000,00
(d) 
R$ 440.000,00
)0	-1	1 Z	 144 
1	-1	1 X	963 6
(d) 0	11 6 . Y = 143 6
	  		
26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a
transmissão nervosa, coagulação do sangue e con-
0	-1
1	1
1
1 
Z
X
 144 
963 6
tração muscular; atua também na respiração celu-
(e) 0 11	6  . Y = 143 6
	  		
lar, além de garantir uma boa formação e manu- tenção de ossos e dentes. A tabela 1 abaixo mos-
0	1
-1
Z
 144 
tra que a ingestão diária recomendada de cálcio por pessoa varia com a idade.
Foi por essa importância que o cálcio tem para o corpo humano que a diretora de uma escola
resolveu calcular a quantidade de cálcio que teria de usar nas refeições diárias dos seus alunos para suprir a essa necessidade. A tabela 2 abaixo mostra a quantidade de alunos por idade existente nessa escola.
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria que usar nas refeições desses alunos é: R: (e)
	(a) 286.000
	(c) 300.000
	(e) 322.000
	(b) 294.000
	(d) 310.000
	
27)(UEPA-2008) Uma campanha foi deflagrada para angariar alimentos não perecíveis com o ob- jetivo de amenizar problemas gerados em uma
28)(UEPA-2006) Para a confecção de um car- taz, uma gráfica dispõe das cores: preto, amarelo, vermelho e azul, cujas doses têm preços unitários, em reais, representado pela matriz A abaixo. Atendendo à solicitação do cliente, a gráfica apre- sentou um orçamento com as possíveis combina- ções de cores, cujas quantidades de doses utiliza- das em cada cartaz estão representadas pela ma- triz B abaixo. Nessas condições, o cartaz de menor custo terá preço de: R: (d)
Dados:
	(a) R$ 13,00
	(c) R$ 11,00
	(e) R$ 9,00
	(b) R$ 12,00
	(d) R$ 10,00
	
29)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio comer- cializam três tipos de fruta com períodos de safra parecidos: manga, abacate e cupuaçu. No período da safra os três vendem o quilo de cada uma des- sas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 3,00 e, na entressafra, por R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 6,00. Sobre a comercialização dessas frutas, considere que R: (c)
região assolada pelas secas. Os alimentos doados foram: arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de
1kg, totalizando 1.436kg desses alimentos. Sa-
1 2
 (
2
)A = 
	4
3 , matriz que representa o preço das
 (
6

)
be-se que a terça parte do número de sacos de
frutas na safra e na entressafra;
feijão, somados aos	2
11
do número de sacos de
20 
 (

)B =	15 
25 1 5
 (

)20 1 0 , matriz que representa uma
açúcar, dá um total de 292kg e que há 144kg de
10 15 
5 
açúcar a mais que de feijão. Se X é a quantidade	quantidade (Kg) comercializada dessas frutas;
de sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a re-
presentação matricial do sistema formado, toman-
t
 (
y
)C = 

u v , matriz que representa o produto
 (
z


)w	
do por base esses dados, é: R: (a)
1	1	1 X	143 6
(a) 0 11 6 . Y = 963 6
A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas representam o valor arrecadado, respectivamente, por Pedro, João e Antônio, com a venda dessa quantidade de
frutas.
	  		
0
1
- 1 1
1	1
Z
X
 144 
143 6
Sobre o valor arrecadado na venda, é correto afirmar que
(b) 0	11 6 . Y = 160 6
	  		
0	-1	1 Z	 144
(a) Na safra, com a venda de 20 kg de manga, 25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pedro arre- cadou t = R$ 85,00.
(b) Na entressafra, com a venda de 10 kg de manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, An- tônio arrecadou z = R$ 110,00.
(c) Na safra, com a venda de 25 kg de manga, 20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu, João u = R$110,00.
(d) Na entressafra, com a venda de 20 kg de manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, Jo-
34)(PUC-SP) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. Se C = A + B, então C2 é igual a:
	(a)
	1

0
	0
1
	(c) 1
0
	0

	(e) -1 0 
	
 0 -1
	(b)
	0

1
	1
0
	(d)  0
-1
	- 1

	
R: (e)
35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2, onde
ão arrecadou w = R$ 170,00
(e) Na entressafra, com a venda de 15 kg de manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu,
aij =
i  j sei  j . Se At
 (

i
 
-
 
j
 
sei
 

 
j
)
é a matriz transposta de A,
Pedro arrecadando y = R$ 170,00.
30)(IFPA-2011) Considere três dias da semana, D1, D2 e D3, e três medidas de temperaturas fei- tas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A matriz a se- guir descreve a medida de temperatura verificada nesses três dias da semana. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade de temperatura em graus Celsius Ti em cada dia Dj , sendo i {1, 2, 3} e j {1, 2, 3}.
Analisando a matriz, não podemos afirmar que
(a) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C.
(b) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C.
(c) a média das temperaturas, no dia D3, é de 30°C.
(d) a soma das temperaturas Ti verificadas nos dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente, 30,8°C.
(e) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia D1, é 54°C. R: (d)
EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS DE VESTIBULARES
31)(UFES) Os valores de x e y que satisfazem a
equação matricial: R: (b)
então a matriz B = A2 – At é igual a:
	(a) 4 - 1 0
	
7	1 4
	(c) 1  7
7 1 1
	
	(e) 2  8
	
2 1 6
	(b)  3	 3
 1 1 7
	
	(d)  2	0 
- 1 1 2
	
	
R: (c)
EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS DE VESTIBULARES
36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipula- ção, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e C, expressas na tabela abaixo, em gramas:
	
	A
	B
	CI
	10
	30
	60
	II
	20
	50
	30
As substâncias podem ser compradas em dois for- necedores: F1 e F2. O custo por grama das subs- tâncias em cada fornecedor está expresso em re- ais na tabela a seguir:
	
	F1
	F2
	A
	4
	2
	B
	5
	4
	C
	3
	5
Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos pelo fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor. Considerando que o pagamento é feito à vista, determine como o farmacêutico pode combinar a compra das três
x - 2
	
 (
(a) 
x = - 1 e y = - 1
(c) 
x = 2 e y = - 1
(b) 
x = 1 e y = 1
(d) 
x = 2 e y = 2
) 4 2 x
3y 
+ 
 1
7 	 4
 = 
- y 	5
5 são:
 (

)1
substâncias de modo a gastar o mínimo possível.
37)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão inter- ligados por vôos diretos e/ou com escalas. A = (aij), abaixo, descreve a forma de interli- gação dos mesmos, sendo que:
32)(FGV-SP) Sendo A =
triz A2 + A3.
0
1
2
2
 (

)0 , obtenha a ma-

· 
aij = 1 significa que há vôo direto (sem escala) do aeroporto i para o aeroporto j;
· aij = 0 significa que não há vôo direto do aero- porto i para o aeroporto j.
A diagonal principal de A é nula, significando que
33)(Unifor-CE) Os números reais x e y que sa-
não há vôo direto de um aeroporto para ele mes-
tisfazem o sistema matricial
- 1	2 x
=  4
mo.
 2 - 1 y	 2
0 1 1
	  		
A = 1 0 1
 (
0
) (
0
) (
1
) (


)são tais que seu produto é igual a: R: (c)		
 (
(a) 
– 2
(b) 
– 1
(c) 
0
(d) 
1
(e) 
2
)	
Seja A2 = A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com uma
escala. Com base nessas informações, julgue os itens.
a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aeroporto
3, mas não há vôo direto do aeroporto 3 para o 1.
b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3 com uma escala.
EXERCÍCIOS EXTRAS
38) Dois alunos A e B, apresentaram a seguinte pontuação em uma prova de português e em outra de matemática:
	
	Português
	Matemática
	aluno A
	4
	6
	aluno B
	9
	3
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da prova de matemática é x, obtenha, através de produto de matrizes, a matriz que fornece a pon- tuação total dos alunos A e B.
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B
apresentam mesma pontuação final?
39) Um fast-food de sanduíches naturais vende dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os in- gredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas se- guintes quantidades (em gramas) por sanduíches:
	
	Sanduíche A
	Sanduíche B
	queijo
	18g
	10g
	salada
	26g
	33g
	rosbife
	23g
	12g
	atum
	-
	16g
Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B. Qual foi a quantidade necessária de cada ingrediente para a preparação desses 16 sanduíches? Represente-a na forma de produto de matrizes.
40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = (aij) abaixo,
5
 (
0
)
A = 
 (
4
)

0 2
 (
3
)
 (

)1	
 (
1
)2	
, na qual aij representa quantas uni-
Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas.
dades do material j serão empregadas para fabri- car uma roupa do tipo i.
a) Quantas unidades do material 3 serão em- pregadas na confecção de uma roupa do tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos
Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém...
Renato Russo
Apostila atualizada em 6/8/2017
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Referências
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São Paulo: Ática, 2000, v.3.