Relatório I- FISEXP III - UFF

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
INSTITUTO DE FÍSICA 
FÍSICA EXPERIMENTAL III - TURMA BD – 17/08/2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LABORATÓRIO I: 
TEORIA DE ERROS E GRÁFICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DAVID TOLEDO LANNES 
IVAN MIRANDA DE ALMEIDA 
ANA CAROLINA DO S. LEITE 
 
 
 
 
2 
 
RESUMO: 
O presente experimento tem como objetivo revisar os 
conteúdos de teoria de erros e confecção de gráficos a partir das 
medições indicadas no experimento realizado em sala de aula. 
 
RESULTADOS EXPERIMENTAIS: 
Para a obtenção dos dados abaixo, o grupo utilizou de materiais 
como régua, paquímetro, um objeto cilíndrico, balança e papel 
milimetrado. 
A primeira parte do experimento consiste em medir a altura e o 
diâmetro do objeto cilíndrico (que possui massa (m) de 249,80 ± 0,10 
g), utilizando régua e paquímetro para o registro dos dados na tabela 
1 abaixo. 
 
Medidas Paquímetro Régua 
Altura (h) 45,00 ± 0,05 mm 44,0 ± 0,5 mm 
Diâmetro (d) 50,90 ± 0,05 mm 50,0 ± 0,5 mm 
Área (A) 2034 ± 4 mm2 1962 ± 39 mm2 
Volume (V) 91530 ± 282 mm³ 86328 ± 2697 mm³ 
Densidade (𝜌) 2700 ± 1,1 × 10−6 g/mm³ 290 ± 1,2 × 10−5 g/mm³ 
Tabela 1 – Registro de dados 
O cálculo da área da seção transversal do cilindro é dado por: 
 
𝐴 = 
𝜋 × 𝑑²
4
 (1) 
Como exemplo da aplicação da fórmula (1) tem se o resultado 
abaixo para a régua: 
𝐴 = 
𝜋 × 50,0²
4
= 1962 𝑚𝑚² 
O cálculo do erro dessa medida foi feito a partir da fórmula de 
propagação de erros. 
∆𝐴 = 
𝜕𝐴
𝜕𝑑
× ∆𝑑 (2) → ∆𝐴 = 
2𝜋𝑑
4
× 0,5 = 39 𝑚𝑚² 
 
O cálculo do volume é dado por: 
 
𝑉 = 𝐴 × ℎ (3) → 2034 × 50,90 = 91530 𝑚𝑚3 
 
O erro do volume é calculado de maneira análoga a fórmula (2): 
∆𝑉 = 
𝜕𝑉
𝜕𝐴
× ∆𝐴 + 
𝜕𝑉
𝜕ℎ
× ∆ℎ (4) → ∆𝑉 = ℎ × ∆𝐴 + 𝐴 × ∆ℎ 
 
∆𝑉 = 45 × 4 + 2034 × 0,05 = 282 𝑚𝑚³ 
3 
 
Agora a última parte desta etapa do experimento consiste no 
cálculo da densidade do objeto cilíndrico. 
 
𝜌 = 
𝑚
𝑉
 (5) → 𝜌 = 
249,80
91530
= 2,7 × 10−3 
𝑔
𝑚𝑚³
 
 
O erro da densidade é calculado de maneira análoga a fórmula 
(2): 
∆𝜌 = 
𝜕𝜌
𝜕𝑚
× ∆𝑚 + 
𝜕𝜌
𝜕𝑉
× ∆𝑉 (6) → ∆𝜌 =
1
𝑉
× ∆𝑚 + 
𝑚
𝑉²
× ∆ℎ 
 
∆𝜌 = 
1
91530
× 0,10 + 
249,80
91530²
× 0,05 = 1,1 × 10−6
𝑔
𝑚𝑚³
 
 
 
 
A segunda parte do experimento consiste na utilização dos 
métodos dos mínimos quadrados (MMQ) a partir dos dados da tabela 
2 abaixo para a confecção do gráfico em anexo. 
 
 
Tabela 2 – Volume V versus massa m 
 
 
Lembrando do método de regressão linear temos que: 
 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� (7) 
 
𝑏 = 
𝑛 ∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖− ∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑌𝑖
𝑛 ∑ 𝑋𝑖2−(∑ 𝑋𝑖)²
 (8) 
 
 
 
 
4 
 
Substituindo os dados em (7) e (8), se tem: 
𝑏 = 
5 × 50980,5 − 93,7 × 2845
5 × 1782,91 − (93,7)²
= −87 
𝑐𝑚³
𝑔
 
 
�̅� = 
∑ 𝑌𝑖
𝑛
 (9) �̅� = 
∑ 𝑋𝑖
𝑛
 (10) 
 
 �̅� =
2845
5
= 569 �̅� =
93,7
5
= 18,74 
Aplicando os resultados de (9) e (10) em (7): 
𝑎 = 569 + 87 × 18,74 = 2190 𝑐𝑚³ 
 Ao fim tem se a reta: 
𝑦 = 2190 − 87𝑥 (11) 
 Os cálculos das incertezas nos coeficientes angular e linear 
podem ser obtidos usando as fórmulas abaixo: 
 
𝜎2(𝑎) = 𝜎²
∑ 𝑋𝑖²
∆
 (12) e 𝜎2(𝑏) = 
𝜎²𝑛
∆
(13) 
 Com ∆ = 𝑛 ∑ 𝑋𝑖2 − (∑ 𝑋𝑖)² (14) e 𝜎2 = 
∑ 𝑋𝑖²
𝑛
− �̅�² (15) 
𝜎2(𝑎) = 140 𝑐𝑚3𝑒 𝜎2(𝑏) = 7 𝑐𝑚3/𝑔 
 
 
 Ao fim tem se que: 
 
𝑎 = 2190 ± 140 𝑐𝑚3 
𝑏 = −87 ± 7 𝑐𝑚3/𝑔 
 
 
 
5 
 
 
PERGUNTAS: 
 
Parte I 
• É preciso realizar a propagação dos erros presentes nas 
medidas feitas quando calculamos medidas indiretas utilizando a 
fórmula (2). 
• Nem sempre o erro da medida é igual ao erro do equipamento 
utilizado na medida, o operador do instrumento de medição, bem 
como as condições do ambiente em que é feita a medida, introduzem 
erros adicionais no resultado da medição. 
 
Parte II 
• O gráfico da curva y = bx + a corta o eixo y em y = a. Logo, 
obviamente, nem todo gráfico deve passar pelo ponto (0,0). 
• Uma escala uniforme garante que a visualização do gráfico 
permitirá a identificação de comportamentos, ou melhor, da 
dependência entre as variáveis envolvidas (ex: dependência linear). 
• Não é correto colocar os valores dos pontos experimentais 
nos eixos dos gráficos, pois isso pode causar uma poluição visual 
desnecessária. 
• Um maior número de pontos garante uma maior confiança na 
conclusão obtida pelo experimento.