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Apostila Concreto I

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metálicas) e prensa universal, capaz de 
aplicar força de tração. Os ensaios de tração indireta e tração na flexão surgiram buscando contornar essas 
dificuldades, e o resultado serve como parâmetro para a estimativa da resistência à tração direta, como 
permitida pela NBR 6118. 
 A resistência à tração indireta (fct,sp) é determinada no ensaio de compressão diametral, prescrito na 
NBR 7222[23], desenvolvido por F.L. Lobo Carneiro na década de 50, sendo o ensaio conhecido 
mundialmente por Brazilian test ou splitting test. O ensaio consiste em comprimir longitudinalmente o 
corpo de prova cilíndrico 15 x 30 cm segundo a direção do seu diâmetro, como mostrado na Figura 2.7. 
Quando as tensões de compressão (σII) são aplicadas no corpo de prova, ocorrem ao mesmo tempo tensões 
de tração (σI) perpendiculares na direção diametral, horizontais, que causam o rompimento do corpo de 
prova, separando-o em duas partes. 
F
F
d
h
F
F
σ ll
lσ
_+
lσ llσ
 
Figura 2.7 – Resistência do concreto à tração determinada por ensaio de compressão diametral.[24] 
 
 A resistência do concreto à tração indireta por compressão diametral é determinada pela equação: 
 
hd
F2f sp,ct
pi
= Eq. 2.1 
com as notações indicadas na Figura 2.7. 
 
 Materiais 
 
17 
A NBR 6118 (item 8.2.5) permite estimar a resistência à tração direta (fct) como 90 % da 
resistência à tração por compressão diametral: 
 
fct = 0,9 fct,sp Eq. 2.2 
 
 A resistência à tração na flexão (fct,f), determinada conforme a NBR 12142[25], consiste em 
submeter uma viga de concreto simples ao ensaio de flexão simples, como mostrado na Figura 2.8. A viga 
é submetida a duas forças concentradas iguais, aplicadas nos terços do vão. Em normas estrangeiras são 
encontradas outras configurações para o ensaio, com corpos de prova e vãos diferentes dos prescritos pela 
norma brasileira. 
 
_
+
P
2
P
2
h = 15
b = 15
20 20 20
5 l = 60 cm 5
70
=
P l
b h2
Diagrama de tensões
t
 
 
 
Figura 2.8 – Ensaio de resistência à tração na flexão. 
 
Quando a tensão de tração atuante na viga alcança a resistência do concreto à tração e provoca uma 
fissura, geralmente posicionada entre as forças aplicadas, imediatamente ocorre a ruptura da viga. 
A resistência à tração na flexão corresponde à tensão aplicada na fibra mais tracionada, no instante 
da ruptura, sendo avaliada pela equação: 
 
2f,ct hb
Pf l= Eq. 2.3 
 
 A resistência à tração máxima na flexão é também chamada “módulo de ruptura”. A estimativa da 
resistência à tração direta em função da resistência à tração na flexão é dada por (NBR 6118, item 8.2.5): 
 
fct = 0,7 fct,f Eq. 2.4 
 
Na falta de ensaios para determinação dos valores de fct,sp e fct,f , a resistência média à tração direta 
pode ser avaliada em função da resistência característica do concreto à compressão (fck), por meio das 
expressões (NBR 6118, item 8.2.5): 
 
a) para concretos de classes até C50 
 
3 2
ckm,ct f3,0f = Eq. 2.5 
com: 
 
 Materiais 
 
18 
fctk,inf = 0,7 fct,m Eq. 2.6 
 
fctk,sup = 1,3 fct,m Eq. 2.7 
 
b) para concretos de classes C55 até C90 
 
fct,m = 2,12 ln (1 + 011fck) Eq. 2.8 
 
com fct,m e fck em MPa. Sendo fckj ≥ 7 MPa, a Eq. 2.5 a Eq. 2.8 podem também ser usadas para idades 
diferentes de 28 dias. Os valores fctk,inf e fctk,sup são os valores mínimo e máximo para a resistência à tração 
direta. 
 
2.5 Resistência do Concreto no Estado Multiaxial de Tensões 
 
Conforme o item 8.2.6 da NBR 6118, estando o concreto submetido às tensões principais σ3 ≥ σ2 ≥ 
σ1 , deve-se ter: 
 
σ1 ≥ - fctk Eq. 2.9 
 
σ3 ≤ fck + 4 σ1 Eq. 2.10 
 
sendo as tensões de compressão consideradas positivas e as de tração negativas (Figura 2.9). 
 
 fcct f
c f
 σ1
 σ3
 
Figura 2.9 – Resistência no estado multiaxial de tensões. 
 
 
2.6 Módulo de Elasticidade do Concreto 
 
 O módulo de elasticidade é um parâmetro numérico relativo à medida da deformação que o 
concreto sofre sob a ação de tensões, geralmente tensões de compressão. Os concretos com maiores 
resistências à compressão normalmente deformam-se menos que os concretos de baixa resistência, e por 
isso tem módulos de elasticidade maiores (Figura 2.10). O módulo de elasticidade depende muito das 
características e dos materiais componentes dos concretos, como o tipo de agregado, da pasta de cimento e 
a zona de transição entre a argamassa e os agregados. 
 
 
 Materiais 
 
19 
Corpo deformado
 
a) concretos de baixa resistência e baixos módulo de 
elasticidade; 
Corpo original
 
b) concretos de alta resistência e altos módulos de 
elasticidade; 
Figura 2.10 – Deformações num cilindro com concretos de baixa e alta resistência à compressão. 
 
 A importância da determinação dos módulos de elasticidade está na determinação das deformações 
nas estruturas de concreto, como nos cálculos de flechas em lajes e vigas (Figura 2.11). Nos elementos 
fletidos, como as vigas e as lajes por exemplo, o conhecimento das flechas máximas é muito importante e é 
um dos parâmetros básicos utilizados pelo projetista estrutural. 
Flechas máximas
Linha elástica
 
Figura 2.11 – Flecha em viga de concreto armado. 
 
O módulo de elasticidade é avaliado por meio do diagrama tensão x deformação do concreto (σ x 
ε). Devido a não linearidade do diagrama σ x ε (não-linearidade física), o valor do módulo de elasticidade 
pode ter infinitos valores. Porém, tem destaque o módulo de elasticidade tangente, dado pela tangente do 
ângulo (α’) formado por uma reta tangente à curva do diagrama σ x ε. Um outro módulo também 
importante é o módulo de elasticidade secante, dado pela tangente do ângulo (α’’) formado pela reta 
secante que passa por um ponto A do diagrama (Figura 2.12). O módulo deve ser obtido segundo ensaio 
descrito na NBR 8522.[26] 
 
cσ
εc
A
 
Figura 2.12 - Determinação do módulo de elasticidade do concreto à compressão. 
 
 Materiais 
 
20 
 Na falta de resultados de ensaios a NBR 6118 (item 8.2.8) permite estimar o valor do módulo de 
elasticidade inicial aos 28 dias segundo a expressão: 
 
a) para fck de 20 a 50 MPa 
 
ckEci f5600E α= Eq. 2.11 
 
sendo: αE = 1,2 para basalto e diabásio; 
 αE = 1,0 para granito e gnaisse; 
 αE = 0,9 para calcário; 
 αE = 0,7 para arenito. 
 
b) para fck de 55 a 90 MPa 
 
3/1
ck
E
3
ci 25,110
f10.5,21E 





+α= Eq. 2.12 
 
com Eci e fck em MPa. 
 
 O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente 
para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, pode ser obtido pelo 
método de ensaio da NBR 8522[26], ou estimado pela expressão: 
 
ciics EE α= Eq. 2.13 
sendo: 0,1
80
f2,08,0 cki ≤+=α 
 
 A NBR 6118 (item 8.2.8) fornece uma tabela com valores arredondados que podem ser utilizados 
no projeto estrutural, considerando o granito como agregado graúdo (Tabela 2.3). 
 
Tabela 2.3 – Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência característica do 
concreto à compressão, considerando o granito como agregado graúdo (NBR 6118, Tabela 8.1). 
Classe de resistência C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci (GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
Ecs (GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
 
 Segundo a NBR 6118, “Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção 
transversal, pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de 
elasticidade secante Ecs .” 
 O módulo de elasticidade em uma idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a 
seguir, substituindo fck por fcj :

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