Gabarito Prova1 2018 1

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Universidade Federal de Uberlândia 
Faculdade de Engenharia Mecânica 
Projetos de Elementos de Máquinas / 2018_1 
 Prof. Cleudmar A. Araújo 1ª Prova (Sem Consulta) Valor: 25 pts 
Dia 24/05/18 (19:00 – 22:00) Sala 1C103 Valor: 25 pts 
 
 
1 
 
Questão única: A figura abaixo mostra um rolo de pressão utilizado para laminar um material. O 
rolo é acionado por um par de ECDR. O rolo de pressão é posicionado paralelamente a outro rolo 
(Fig. 1). O rolo é projetado para exercer uma força normal e constante de 30 lbf/in ao longo do seu 
comprimento (direção y) e uma força distribuída ao longo de seu comprimento que empurra o 
material processado pelo espaço livre entre os dois rolos. O torque necessário para laminar o 
material aplicado pelo rolo motor é de 43,4 N m a uma rotação de 300 rpm. O rolo, mostrado na 
fig. 1, possui um diâmetro de 4 pol, pesa 13 Kgf e a coroa possui 80 dentes. O pinhão é ligado ao 
eixo do motor elétrico cuja rotação é de 1200 rpm. O rendimento total do sistema é de 90%. 
Considerando os parâmetros de projetos abaixo, determine: 
 
 Considere a Potência do motor para o projeto 
 Fator de razão de dureza unitário (Cw, CH). 
 Fator de temperatura unitário (Yθ, KT) 
 Fator de distribuição de carga unitário (km, KH) 
 Fator de tamanho unitário (Ks) 
 Fator de condição de superfície unitário (Cf, ZR) 
 Fator de sobrecarga de 1,2 (Ko) 
 Fator de espessura de borda unitário (KB) 
 Índice de qualidade das engrenagens: 8 
 Largura de face de 1,5 pol 
 Ângulo de pressão 20º 
 Material das engrenagens: Aço endurecido por completo, grau 1 (E=200 
GPa; =0,3; HB=370) 
 
a) Dentro de uma confiabilidade de 90% e uma segurança de 5 é possível afirmar 
que um pinhão de módulo 3 estaria dimensionado para evitar o desgaste dentro de 
uma vida de 30000h? 
b) Considerando o par de ECDR, quais as cargas são impostas aos mancais (O) e 
(A), durante o processamento do material? 
c) Se o pinhão fosse modificado para uma engrenagem helicoidal, com ângulo de 
hélice de 25º, considerando os parâmetros similares de projeto do item (a), qual o 
nível máximo de tensão nos dentes considerando o efeito do desgaste superficial? 
 
 
 
 
 
 
 
 COROA 
y 
z 
 
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2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
OBS.: Eventuais fórmulas e unidades não fornecidas devem ser conhecidas. 
Use : 1 hp  1 cv = 736 W ; 1 lbf=4,45 N; 1 Kgf = 10 N; 1 ft= 12 in; 1 in=25,4 mm 







SIunidades
1
UnidosEstadosnoshabituaisunidades
J
BH
t
so
t
Bmd
so
t
Y
KK
bm
KKKW
J
KK
F
P
KKKW


 








SIunidades
UnidosEstadosnoshabituaisunidades
1 I
R
w
H
so
t
E
f
p
m
so
t
p
c
Z
Z
bd
K
KKKWZ
I
C
Fd
K
KKKWC










Z
N
F
FP
RT
N
f
t
all
YY
Y
S
KK
Y
S
S


 







Z
WN
H
HP
RT
HN
H
c
allc
YY
CZ
S
KK
CZ
S
S


 , 
 
 
MOTOR 
PINHÃO 
MANCAL 
ROLO SUPERIOR 
ROLO INFERIOR 
MATERIAL 
COROA 
MANCAL LIVRE O MANCAL A 
MANCAL 
 
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3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
12
)1(5650
3/2
Qv
B
BA



 
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4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dw
L
Tan
 
 

 
 
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5 
 
SOLUÇÃO: 
 
DADOS: 
 inlbfFN 30
= 30 x 4,45/25,4 =5,26 N/mm 
 rpmnr 300
=31,4 rd/s 
 30000vida h
= 1.800.000 min 
 ind r 4
= 101,6 mm 
 rpmnm 1200
= 125,7 rd/s 
2,1oK
 
1BK
 
8VQ
 
1,5 b in
=38,1 mm 
Material: Aço endurecido por completo, grau 1 
 GPaE 200
;
3,0
;
370HB
 
1 HW CC
 
1 TKY
 
1 Hm KK
 
1SK
 
1 Rf ZC
 
Ts=Trolo= 43,4 N m 
Ang. de pressão= 20o 
Zc = 80 
Rendimento = 90% 
 
 
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6 
 
a) Verificação do pinhão quanto ao desgaste (14 pts) 
- Representação das forças no rolo laminador (Indicar forças de reação, escolhendo 
um sentido): Cotas em mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Procedimento: (1,4 pts) 
A Potência Útil é da ordem de, 
𝑁𝑢 = 𝑇 × 𝑛𝑟𝑜𝑙𝑜 = 43,4 × 300 × 
2𝜋
60
≅ 681,7 𝑊 ≅ 1,9𝐶𝑉 
 
O A 
X 
Y
A 
 130 N 
Fr 
30 lbf/in 
 44,45 101,6 101,6 44,45 69,85 
Z 
Ft 
Fh lbf/in 
X 
 44,45 101,6 101,6 44,45 69,85 
O A 
 
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7 
 
No motor, Nm= 1,9/0,9 = 2,1 cv e o torque no eixo motor é: 
2,1 x 736= Tm x 1200 x π/30 ~ Tm = 12,0 N m (0,7 pts) 
No par tem-se que: 
𝑛𝑝
𝑛𝑐
=
𝑍𝑐
𝑍𝑝
→ 𝑍𝑝 =
300
1200
× 80 → 𝑍𝑝 = 20𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (0,7 pts) 
CRITÉRIO DE DESGASTE 
I
R
W
H
Svo
t
Ec
Z
Z
bd
K
KKKWZ 
 
Onde: 
2,1oK
 
1SK
 
1 RH ZK
 
   mminb 1,385,1 
 
Mpa
EE
Z
G
G
p
p
E 191
11
1
2
1
22






















 





 (0,7 pts) 
12
sincos



G
G
N
tt
I
m
m
m
Z
 
4Gm 
 (0,7 pts) 
1( )Nm ECDR
 (0,7 pts) 
129,0
5
4
2
20sin20cos


 II ZZ
 (0,7 pts) 
Diâmetro Primitivo 
𝑑𝑤1 = 𝑚 × 𝑍1 
 
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Supondo m=3 
𝑑𝑤1 = 3 × 20 = 60𝑚𝑚 (0,7 pts) 
 
Coeficiente Dinâmico 
B
V
A
VA
K 




 

200 
  7,7015650  BA
 
 (0,7 pts) 
  629,01225,0 3
2
 vQB 







s
m
nrV mp 77,303,0
60
2
1200
 (0,7 pts) 
Substituindo os valores tem-se que: 
23,1VK
 (0,7 pts) 
Força Tangencial 
2 2
 12,0 401 N 90,0 lbf
0,06
tW Tm
d
   
 (0,7 pts) 
Logo: 
 
401 1,2 1,23 1 1 1
191 271
60 38,1 0,129
c c Mpa       
 
 (0,7 pts)
 
Verificação da Resistência ao desgaste: 
Z
WN
H
C
allC
YY
ZZ
S
S

 ,
 
1WZ
 
1Y
 
CT 120
 Fator de temperatura 
 
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9 
 
Confiabilidade 
𝑌𝑧 = 0,658 − 0,0759 × ln(1 − 𝑅) → 𝑌𝑧 = 0,83 (0,7 pts) 
Ciclagem de Tensão 
𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 → 30000 ℎ × 1200
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
𝑚𝑖𝑛
× 60
𝑚𝑖𝑛
ℎ
= 2,16 × 109𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 (0,7 pts) 
𝑍𝑁 = 1,4488 𝑁
−0,023 = 1,4488 (2,16 × 109)−0,023 → 𝑍𝑁 ≅ 0,88 Parte superior 
 (0,7 pts) 
𝑍𝑁 = 2,466 𝑁
−0,056 = 2,466 (2,16 × 109)−0,056 → 𝑍𝑁 ≅ 0,74 Parte inferior 
 
𝑆𝐶 = 322𝐻𝐵 + 29100 → 𝑆𝐶 = 1022,5[𝑀𝑝𝑎] (0,7 pts) 
,
1022,5 0,88 1084
1 0,83
C all
H HS S
  
 
 ou 
,
1022,5 0,74 912
1 0,83
C all
H HS S
  
  
Logo, 
𝜎𝐶 = 𝜎𝐶,𝑎𝑙𝑙 → 271 =
1084
𝑆𝐻
 𝜎𝐶 = 𝜎𝐶,𝑎𝑙𝑙 → 271 =
912
𝑆𝐻
 
 SH = 4 (0,7 pts) 𝑆𝐻 = 3,4 
Portanto, não estaria dimensionado para segurança de 5. (0,7 pts) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
 
b) Reações de Apoio (6 pts) 
 
 Procedimento: (0,5 pts) 
 
- Representação das forças no rolo laminador (Indicar forças de reação, escolhendo 
um sentido): Cotas em mm. DCL : (0,5 pts) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Plano X-Y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Plano X-Z) 
Oy 
Ay 
X 
Y
A 
 130 N 
Fr 
5,26 N/mm 
 44,45 101,6 101,6 44,45 69,85 
Z 
Ft 
Fh N/mm 
X 
 44,45 101,6 101,6 44,45 69,85 
A 
Ax 
Oz Az Ax 
 
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11 
 
As forças representadas no DCL anteriores são forças de reação. O torque a ser 
aplicado no laminador deve ser suficiente para gerar uma força (Fh) que é uma força 
resultante para laminar o material, ou seja, 
𝑇 = 𝐹ℎ .
𝑑𝑟
2
 𝐹ℎ = 
43400 𝑥 2
101,6
= 854,3 𝑁 𝑁𝑜 𝑟𝑜𝑙𝑜~4,2
𝑁
𝑚𝑚
~24 𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛 (Com 
perdas) (0,5 pts) 
 
 Ou, solução sem perdas : Fh = 4,2/0,9 = 4,7 N/mm= 26,7 lbf/in (0,5 pts) 
 
- Cálculo de Fr e Ft 
Tcoroa = 43,4 = Ft Dc/2 Ft= (43400 x 2)/(3 x 80) = 361,7 N (Com perdas) (0,5 pts) 
 Fr= Ft x tg 20o = 131,7 N (Com perdas) (0,5 pts) 
 
 Ou, 
 Ft= 401 N (Sem perdas) (0,5 pts) 
 Fr= Ft x tg 20o = 146 N (Sem perdas) (0,5 pts) 
 
Portanto, com perdas as reações serão: 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 = 0 (0,5 pts) 
 
Plano XY 
∑ 𝐹𝑦 = 0 → (5,26 × 203,2) − 130 + 131,7 + 𝑂𝑦+𝐴𝑦 = 0 
∑ 𝑀𝑜 = 0 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 
130 × 146,05 − 1068,8 × 146,05 − 𝐴𝑦 × 292,1 − 131,7 × 361,95 = 0 
 
𝐴𝑦 = −632,6[𝑁] (0,5 pts) 
𝑂𝑦 = −437,9[𝑁] (0,5 pts) 
 
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12 
 
Plano XZ 
∑ 𝐹𝑧 = 0 → 𝑂𝑧+𝐴𝑧 − 361,7 + 853,4 = 0 
∑ 𝑀𝑜 = 0 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
−853,4 × 146,05 − 𝐴𝑧 × 292,1 + 361,7 × 361,95 = 0 
𝐴𝑧 = 21,5[𝑁] (0,5 pts) 
𝑂𝑧 = −513,2[𝑁] (0,5 pts) 
𝐴 = √632,62 + 21,52 = 633[𝑁] (0,5 pts) 
𝑂 = √437,92 + 513,22 = 675[𝑁] (0,5 pts) 
 
A solução sem considerar as perdas seria: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 = 0 (0,5 pts) 
Plano XY 
∑ 𝐹𝑦 = 0 → (5,26 × 203,2) − 130 + 146,3 + 𝑂𝑦+𝐴𝑦 = 0 
∑ 𝑀𝑜 = 0 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 
130 × 146,05 − 1068,8 × 146,05 − 𝐴𝑦 × 292,1 − 146,3 × 361,95 = 0 
 
𝐴𝑦 = −650,7[𝑁] (0,5 pts) 
𝑂𝑦 = −434,4[𝑁] (0,5 pts) 
 
Plano XZ 
∑ 𝐹𝑧 = 0 → 𝑂𝑧+𝐴𝑧 − 401 + 955 = 0 
 
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13 
 
∑ 𝑀𝑜 = 0 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
−955 × 146,05 − 𝐴𝑧 × 292,1 + 401 × 361,95 = 0 
𝐴𝑧 = 19,4[𝑁] (0,5 pts) 
𝑂𝑧 = −573,4[𝑁] (0,5 pts) 
𝐴 = √650,72 + 19,42 = 651[𝑁] (0,5 pts) 
𝑂 = √434,42 + 573,42 = 719,4[𝑁] (0,5 pts) 
 
 
c) Tensão máxima de desgaste para um pinhão de ECDH, ψ=25o (5 pts) 
> Procedimento: 0,3 
I
R
W
H
Svo
t
Ec
Z
Z
bd
K
KKKWZ 
 
Onde: 
2,1oK
 
1SK
 
1 RH ZK
 
   mminb 1,385,1 
 
Mpa
EE
Z
G
G
p
p
E 191
11
1
2
1
22






















 





 
Diâmetro Primitivo 
𝑑𝑤1 = 𝑚𝑡 × 𝑍1 
 
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14 
 
Sabendo que mn=3, tem-se que, mt=mn/cosψ=3/cos 25o= 3,31 (0,3 pts) 
𝑑𝑤1 = 3,31 × 20 = 66,2𝑚𝑚 (0,3 pts) 
 
Coeficiente Dinâmico 
B
V
A
VA
K 




 

200 
  7,7015650  BA
 
  629,01225,0 3
2
 vQB 
2
1200 0,0331 4,16
60
p m
m
V r n
s
  
       
 
 (0,3 pts) 
Substituindo os valores tem-se que: 
1,24VK 
 (0,3 pts) 
Força Tangencial 
2 2
 12,3 371,6 N 83,5 lbf
0,0662
tW Tm
d
   
 (0,3 pts) 
Cálculo do fator geométrico: 
12
sincos



G
G
N
tt
I
m
m
m
Z
 
4Gm 
 
Φt= 21,9o (0,3 pts) 
 
 
 
 
 
 
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15 
 
PN = (π mn) cos φn= π 3 cos 20= 8,86 mm (0,3 pts) 
a = mt = 3,31 mm (0,3 pts) 
rp= 33,1 mm (0,3 pts) 
rG=132,4 mm (0,3 pts) 
rbp=rp cosφt= 33,1 cos 21,9=30,7 mm (0,3 pts) 
rbG=rG cos φt= 132,4 cos 21,9 = 122,9 mm (0,3 pts) 
Portanto, Z= 15,5 mm (0,3 pts) 
mN=0,60 (0,3 pts) 
Com isso, 
 
cos 21,9 sin 21,9 4
0,231
1,2 5
I IZ Z
 
  
 (0,3 pts) 
Logo: 
 
371,6 1,2 1,24 1 1 1
191 186
66,2 38,1 0,231
c c Mpa       
 
 (0,2 pts)
 
 
Portanto, a tensão máxima devido ao desgaste é de 186 MPa ou 27 KPsi.