12 - Aplicaçoes Derivada

Prévia do material em texto

Aplicações de
Derivada
1
Taxas Relacionadas
• Nesses problemas, tentaremos encontrar a
taxa segundo a qual uma quantidade varia
em relação a outras, cujas taxas de variação
são conhecidas
2
Estratégia
1. Associe uma letra a cada quantidade que
varia com o tempo e às demais que são
relevantes ao problema. Defina cada letra
2. Identifique as taxas de variação conhecidas
e aquela que deve ser encontrada.
Interprete a taxa como uma derivada
3
Estratégia
3. Encontre uma equação que relacione as
variáveis do passo 2, esboçando uma
figura das relações
4. Derive a equação do passo 3 em relação ao
tempo para obter uma relação entre as
taxas de variação conhecidas e a
desconhecida
5. Substitua os valores conhecidos das taxas e
das variáveis e resolva a equação.
4
Exemplos
dt
dx
x
dt
dy 23
Se 2x e 4dt
dx
, temos:
484.2.3 2 
dt
dy
5
1 – Suponha que x e y sejam funções
diferenciáveis de t relacionadas pela equação
3xy  . Encontre dy/dt no instante t=1 se x=2
e dx/dt = 4 neste instante.
2 – Suponha que o óleo derramado através de uma
ruptura de um navio-tanque se espalhe de forma
circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2
pés/s. Com que velocidade a área do
derramamento está crescendo quando seu raio for
de 60 pés.
6
A área de um círculo é 2rA  , (r = raio). Como a
área aumenta em função do tempo, sua velocidade
é dt
dr
r
dt
dA
2 . Quando 60r pés, o raio cresce com
velocidade 2dt
dr
pés/s. Assim, a área cresce com
velocidade:
spés
dt
dA /2402.60.2 2 
7
3 – Uma escada de 5m de
comprimento está
recostada em uma parede.
A base da escada
escorrega, afastando-se da
parede a uma taxa de 2
cm/s. Com que velocidade
cai o topo da escada, no
momento em que a base
da escada está a 3m da
parede?
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
222 5 yx então:
myy 453 222 
Então, derivando em relação ao tempo,
temos:
022 
dt
dyy
dt
dx
x
.
Como 300x cm, 2dt
dx
cm/s,
400y cm:
0.400.22.300.2 
dt
dy
scm
dt
dy /5,1
800
1200 
8
4 – Um campo de beisebol é um quadrado cujos
lados medem 90 pés. Suponha que um jogador
correndo da segunda para a terceira base tenha
uma velocidade de 30 pés/s no instante em que
está a 20 pés da terceira base. Qual a taxa de
variação da distância do jogador à base do
batedor naquele instante?
9
851085009020 222222  zzzyx
Derivando em relação ao tempo:
dt
dz
z
dt
dyy
dt
dx
x 222  .
Como 20x , 30dt
dx
(x está diminuindo),
90y , 0dt
dy
 e 8510z :
 
dt
dz
.8510.20.90.230.20.2 
spés
dt
dz /5,6
85
60 
10
5 – Um tanque tem a forma de um cone
invertido, tendo altura H=5m e raio do
topo circular igual R=2m. Encontrando-se
inicialmente vazio, o tanque começa a
encher-se de água, a uma vazão constante
de 240 litros por minuto. Exprima a
velocidade com que sobe o nível da água
(dh/dt), em função da profundidade h.
11
O volume da água, quando esta tem profundidade h,
é dado por V =
hr 2
3
1

, sendo r o raio da superfície
(circular) da água.
Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por
razões de semelhança de triângulos, temos 52
hr 
,
daí, 5
2h
r 
Como
hrV 2
3
1

, teremos que
3
2
75
4
5
2
3
1 hhhV  


12
Logo:
dt
dhh
dt
dV 23
75
4
Como a vazão é constante:
min/24,0min/240 3ml
dt
dV 
, então:
dt
dhh23
75
424,0 
dt
dh
h
2
.4
25.24,0

min/
2
3
2 mhdt
dh


13
6 – O lucro de uma empresa com a venda de x
produtos é
2
4
1500)( xxxL  . As vendas aumentam à
taxa de 10 unidades por dia. Determine a taxa de
variação do lucro no momento em que a empresa
vendeu 500 unidades.
14
Taxa de Variação do lucro é
dt
dx
x
dt
dx
dt
dL
2
1500  .
Como 10dt
dx
e 500x , temos:
diaR
dt
dL /$250010.500
2
110.500 
7 – Um balão esférico está sendo enchido com ar à taxa
de min/5,4 3cm . Determine a taxa de variação do raio
do balão quando o raio é de 2 cm.
15
Volume de uma esfera:
3
3
4
rV 
Derivando em relação ao tempo:
dt
dr
r
dt
dr
r
dt
dV 22 43
3
4
  .
Como cmr 2 e min/5,4 3cmdt
dV  :
min/
16
5,42.45,4 2 cm
dt
dr
dt
dr

 
Teorema de Rolle
16
Teorema de Rolle. Se a
função é contínua no
intervalo [a,b], derivável em
todos os pontos interiores
do intervalo e se anula nas
extremidades dele, então
existe, ao menos um ponto
intermediário x=c, a<c<b,
onde a derivada se anula, i.
e., f’(x)=0, para x=c
cc-x
M
c+x
Teorema de Rolle
17
8 – Encontre os dois pontos de corte do gráfico da
função 45)( 2  xxxf com o eixo-x e confirme que
f´(c)=0 em algum ponto entre esses dois pontos de
corte.
Pontos de corte:
045)( 2  xxxf . Então: 4x ou 1x
Derivando a função: 52)('  xxf , que tem raiz em 2
5x .
Como 2
5x está entre 1 e 4, isso confirma o Teorema de Rolle
Teorema do
Valor Médio
18
Teorema do valor médio
(Teorema de Lagrange):
dada uma função contínua f
definida num intervalo fechado
[a,b] e diferenciável em (a,b),
existe algum ponto c em (a,b)
tal que
Geometricamente, isto significa
que a tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa c é
paralela à secante que passa
pelos pontos de abscissas a e
b.
Teorema do Valor Médio
19
O teorema do valor médio também tem uma
interpretação em termos físicos:
Se um objeto está em movimento a se a sua
velocidade média é v, então, em algum instante do
seu percurso, a velocidade nesse instante também é
v.
Teorema do Valor Médio
20
9 – Um motorista dirige em uma estrada reta com limite
de velocidade de 80 km/h. Às 8:05 sua velocidade era
de 75 km/h e, 5 minutos depois e 10 km adiante sua
velocidade era de 80 km/h. Explique por que o motorista
poderia receber uma multa por excesso de velocidade.
A velocidade média do automóvel é:
hkmkmKm
tt
ss
V
if
if
m /120min/2
min5
10 

Como a velocidade é uma função contínua e derivável pelo TVM,
em algum momento sua velocidade instantânea foi de
hkm /120 , logo, neste instante ele poderia ter levado uma
multa.
21
Traçando Gráficos e resolvendo
Problemas de Otimização
22
Objetivos
• Usaremos o cálculo para:
– Analisar o comportamento de funções
– Analisar seus gráficos
– Solucionar problemas de otimização
– Ajudar na aproximação de solução de equações
23
Crescimento e Decrescimento
• Utilizaremos ferramentas matemáticas para:
– Determinar a forma exata de um gráfico
– Localizar, de maneira precisa, seus aspectos-
chave
• O que é uma função crescente?
• Decrescente?
• Constante?
24
25
Crescimento e Decrescimento
• Teorema
– Seja f uma função contínua em um intervalo
fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto
(a, b):
a) Se ’(x) > 0 para todo valor de x em (a, b), então
 é crescente em [a, b].
b) Se ’(x) < 0 para todo valor de x em (a, b), então
 é decrescente em [a, b].
c) Se ’(x) = 0 para todo valor de x em (a, b), então
 é constante em [a, b].
26
Definição
O ponto c de uma função f é um ponto crítico
de f se f ’(c) = 0 ou f ’(c) não existe.
27
Valor Máximo e Mínimo
Seja f uma função gráfica em um conjunto S de
reais, e seja c um número em S.
(i) f(c) é o valor máximo de f em S se f(x) ≤
f(c) para todo x em S.
28
Valor Máximo e Mínimo
(ii) f(c) é o valor mínimo de f em S se f(x) ≥
f(c) para todo x em S.
Os valores máximo e mínimo de f em S, se
existirem, são chamados máximo e mínimo
absolutos de f .
29
Exemplos
1 – Seja 24)( xxf  . Determine os extremos de f nos
seguintes intervalos:a) [-2, 1]
30
Exemplos
b) (-2, 1)
31
Exemplos
c) (1, 2]
32
Exemplos
d) (1, 2)
33
Exemplo 2
2 – Seja 21)( xxf  . Determine os extremos de f nos
seguintes intervalos:
a) [-1, 2]
34
Exemplo 2
b) [-1, 2)
35
Teorema do Valor Extremo
Se uma função f é contínua em um intervalo
fechado [a, b], então f toma seu valor máximo e
seu mínimo ao menos uma vez em [a, b].
36
Determinar os Extremos de uma função
contínua em [a, b]
1. Determinar todos os pontos críticos de f em
(a, b)
2. Calcular f(c) para cada ponto crítico c obtido
em 1
3. Calcular os valores extremos f(a) e f(b)
4. Os valores máximo e mínimo de f em [a,b] são
o maior e o menor valores da função
calculados segundo 2 e 3.
37
3 – Se xxxf 12)( 3  , determine os valores
máximo e mínimo de f no intervalo [-3, 5].
1. 123)('12)( 23  xxfxxxf
Pontos críticos são: 2x e 2x
2. 16)2(2.122)2( 3  ff
    16)2(2122)2( 3  ff
3. 65)5(5.125)5( 3  ff
    9)3(3123)3( 3  ff
4. Logo, )65,5( é o máximo absoluto e
)16,2(  é o mínimo absoluto no intervalo.
38
4 – Se 2)1()( 3/2  xxf , determine o
máximo e o mínimo de f no intervalo [0, 9].
1.
    3/1
3/2
13
2)('21)(  xxfxxf
Ponto crítico é: 1x
2.   2211)1( 3/2 f
3.   321210)0( 3/2 f
  624219)9( 3/2 f
4. Logo, )6,9( é o máximo absoluto e )2,1( é o
mínimo absoluto no intervalo.
39
Extremos Locais
Seja c um número no domínio de uma função f .
(i) f(c) é um máximo local de f se existe um
intervalo aberto (a, b) contendo c, tal que f(x)
≤ f(c) para todo x em (a, b).
(ii) f(c) é um mínimo local de f se existe um
intervalo aberto (a, b) contendo c, tal que f(x)
≥ f(c) para todo x em (a, b).
40
Extremos Locais
41
Teste da Derivada Primeira
Seja c um ponto crítico de , se  é contínua em c e
diferenciável em um intervalo aberto I contendo c,
exceto, possivelmente, em c:
(i) Se ’ passa de positiva para negativa em c, então (c)
é máximo local de .
(ii) Se ’ passa de negativa para positiva em c, então (c)
é mínimo local de .
(iii) Se ’(x)>0 ou ’(x)<0 para todo x em I exceto x=c,
então (c) não é extremo local de .
42
Concavidade
• O sinal da derivada primeira revela onde o
gráfico é crescente, decrescente ou constante.
• Mas não indica sua curvatura
• Definição
– Se  é diferenciável em um intervalo aberto I, então
dizemos que  tem concavidade para cima em I se ’
é crescente em I e tem concavidade para baixo em I
se ’ é decrescente em I.
43
Concavidade
• Teorema
– Seja  duas vezes diferenciável em um intervalo
(a, b)
a) Se ’’(x) > 0 para cada valor de x em (a, b), então
 tem concavidade para cima em (a, b).
b) Se ’’(x) < 0 para cada valor de x em (a, b), então
 tem concavidade para baixo em (a, b).
44
Pontos de Inflexão
• Definição: Ponto de
inflexão é o ponto onde a
concavidade muda no
gráfico de uma função.
45
Teste da Derivada Segunda
Seja c um ponto crítico de , se  é contínua em c
e diferenciável em um intervalo aberto I
contendo c, exceto, possivelmente, em c:
(i) Se ’’(c)<0, então (c) é máximo local de .
(ii) Se ’’(c)>0, então (c) é mínimo local de .
(iii) Se ’’(c)=0, então o teste é inconclusivo.
46
Construção de Gráfico
1. Achar o domínio de f
2. Determinar se f é contínua em seu domínio.
Se não for, classificar as descontinuidades
3. Calcular os interceptos x (zeros da função) e y
(f(0))
4. Determinar os intervalos de crescimento e
decrescimento, bem como os pontos de
máximo e mínimo locais
47
Construção de Gráfico
5. Determinar a concavidade e os pontos de
inflexão
6. Determinar as assíntotas:
1. Horizontal: Se ou então
a reta y=L é uma assíntota horizontal
2. Vertical: Se ou então a
reta x=a é uma assíntota vertical
Lxf
x
 )(lim Lxfx  )(lim
 )(lim xfax  )(lim xfax
48
Exemplos
5 – Estude a função 23)( 3  xxxf e esboce seu gráfico.
1º) Domínio = R
2º) f é contínua em todo domínio, pois é um polinômio
3º) Zeros da função: 2x e 1x
f(0) = 2
5º) Cresce em     ,11,
Decresce em  1,1
Máx local: (-1, 4) mín. local (1,0)
4º) 33)(' 2  xxf
0)(' xf se 1x ou 1x
49
Exemplos
8º)    23lim 3 xxx   23lim 3 xxx
Logo, a função não possui
assíntotas
7º) Conc. Cima em (0,  )
Conc. Baixo em (  , 0)
Ponto Inflexão (0, 2)
        








x
y
6º) 00)(''
6)(''


xsexf
xxf
50
Exemplos
6 – Estude a função xxexf )( e esboce seu gráfico.
1º) Domínio = R
2º) f é contínua em todo domínio
3º) Zeros da função: 0x
f(0) = 0
5º) Cresce em  1,
Decresce em  ,1
Máx local: (1, 1e ) = (1, 0.37)
mín. local: não tem
4º)   xexxf  1)('
0)(' xf se 1x
51
Exemplos
8º) 
x
x
xelim
  0lim  xx xe
Assíntota horizontal: x = 0
7º) Conc. Baixo em  2,
Conc. Cima em  ,2
Ponto Inflexão (2, 2 2e ) = (2, 0.27)
6º) 20)(''
)2()(''

 
xsexf
exxf x
        








x
y
52
Exemplos
7 – Esboce o gráfico de 16
82)( 2
2


x
x
xf
1º) Domínio = R-{-4, 4}
2º) f é descontínua em 44  xex
3º) Zeros da função: 22  xex f(0) = 1/2
4º) 22 )16(
48)('  x
x
xf
0)(' xf se 0x
)(' xf se 4x
5º) Cresce em    0,44, 
Decresce em     ,44,0
Máx local: (0, 1/2)
mín. local: não tem
53
8º) 216
82lim
16
82lim 2
2
2
2











 x
x
x
x
xx
Logo, y=2 é assíntota horizontal
7º) Conc. Cima em     ,44,
Conc. Baixo em  4,4 (-4, 4)
Ponto Inflexão: não tem






 16
82lim 2
2
4 x
x
x






 16
82lim 2
2
4 x
x
x






 16
82lim 2
2
4 x
x
x






 16
82lim 2
2
4 x
x
x
Logo, x = 4 e x = -4 são assíntotas verticais
6º)  
  
4)(''0)(''
16
16348
16
768144)('' 32
2
32
2




xsexfxtemnãoxf
x
x
x
x
xf
54
Exemplos
           






















x
y
55
Problemas de Otimização
• Problemas para minimizar ou maximizar uma
função contínua em um intervalo fechado
• Problemas para minimizar ou maximizar uma
função contínua em um intervalo infinito ou
finito e aberto.
56
Procedimentos
1. Fazer uma figura do problema e identificar asquantidades relevantes
2. Obter a fórmula para a quantidade a ser otimizada
3. Usando as condições do problema, eliminar variáveis,expressar a quantidade a ser otimizada como funçãode uma variável
4. Observando as restrições do problema, identificar ointervalo de valores possíveis para a variável
5. Se possível, encontrar os pontos de máximo emínimo.
57
Exemplos
1 – Devemos projetar um jardim retangular,
protegido por uma cerca. Qual é a maior área
possível desse jardim se temos 100 m de
cerca?
Se x = comprimento do jardim
Y = largura do jardim
Então, a área A =
O perímetro é:
Quais os valores possíveis de x?
Achar o máximo da função nesse intervalo.
58
Exemplos
2 – Uma caixa aberta deve ser feita de uma
folha de papelão medindo 16x30 cm, cortando
quadrados iguais nos cantos e dobrando os
lados. Qual o tamanho dos quadrados para se
obter uma caixa com o maior volume?
59
Exemplos
3 – A figura abaixo mostra umpoço de petróleo no
mar em um ponto W a 5 km do ponto A mais próximo
de uma praia reta. O petróleo é bombeado de W até
um ponto B na praia, a 8 km de A da seguinte forma:
de W até um ponto P na praia, entre A e B sob a
água, e de P até B, através de uma tubulação
colocada ao longo da praia. Se o custo for R$
1.000.000,00/km sob a água e R$ 500.000,00/km
por terra, onde P deve estar localizado para
minimizar o custo?
60
Exemplos
4 – Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro
(1000 cm3) de líquido. Como escolher a altura e o
raio para minimizar a quantidade de material usado
na confecção da lata?
Área :
Volume:
61
Exemplos
5 – Uma forma líquida de penicilina fabricada por
uma firma farmacêutica é vendida à granel a um
preço de R$ 200,00 a unidade. Se o custo total de
produção (R$) para x unidades for
2003,080000.500)( xxxC 
E se a capacidade de produção da empresa for de, no
máximo, 30.000 unidades em um tempo
especificado, quantas unidades de penicilina devem
ser fabricadas e vendidas naquele tempo para
maximizar o lucro?