Integrais de linha de curvas fechadas

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Universidade Federal de São João Del-Rei
Departamento de Matemática e Estatística
Lista 6 - Cálculo Vetorial
Prof.- Wilman Rodas
Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
1)
∮
C
x2 dx+ (4x+ y) dy, ao longo do triângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e
(2, 0), no sentido anti-horário.
2)
∮
C
(y2+
√
4− x2) dx+ (ln y− 4x) dy, ao longo de retângulo de vértices
(0, 0), (3, 0), (3, 2) e (0, 2), no sentido anti-horário.
3)
∮
C
−2x2y dx+
√
8− ln(y + 2) dy, ao longo do paralelogramo de vértices
(0, 0), (2, 0), (3, 2) e (1, 2), no sentido horário.
4)
∮
C
(x + 4y + yexy sen (exy) )dx + (cos(y) + 5x + xexy sen (exy) )dy, ao
longo da curva C parametrizada por γ(t) = (2 cos t, 5 sen t), pi
2
≤ t ≤ 2pi.
5)
∮
C
(y2+ ln(1+ x6)) dx+ (2xy+ sen (5+ 4y2)) dy, onde C é a fronteira
da região de R2 limitada por y = x, y = −x e x2 + y2 = 4, com y ≥ 0. A
curva C está orientada no sentido horário
6)
∮
C
√
y dx+
√
x dy, onde C é o contorno formado pelas retas y = 0, x = 1
e a parábola y = x2, no sentido anti-horário.
7)
∮
C
(2xy+ xe3x
2+2) dx+ (4x2 + ln(y2 +4y+2)) dy, e C é a poligonal de
vértices A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2) e D(−1, 0), de A para D.
8)
∮
C
(
x2 − y2
2
) dx+ (
x2 + 2y
2
) dy, onde C é a fronteira da região
D = {(x, y) ∈ R2/ 1 ≤ 4x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0} orientada no
sentido anti-horário.
9) Seja o campo vetorial ~F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) de classe C1 de-
finida em U = R2 − {(0, 0)}, e suponha que ∂F2
∂x
= ∂F1
∂y
+ 4 em U. Sabendo
ainda que:
∫
γ
~F .d~r = 6pi sendo γ a circunfêrencia de centro (0, 0) e raio 1 ori-
entada no sentido anti horário. Calcule
∮
C
~F .d~r, onde C : 4y2 + 25x2 = 100,
orientada no sentido anti-horário.
1
10)
∮
C
2x dx+(cos y+2y+ arctg(y)) dy, onde C é a curva parametrizada
por γ(t) = ((1 + sen t) cos t, (1 + sen t) sen t), t ∈ [0, pi].
Gabarito:
1)8 2)− 36 3)− 64/3 4)2− sen 5 + 15pi
2
5)−8
√
2
2
6)− 3/10
7)18− 1
6
(e2 − e5) 8)7/4 9)42pi 10)0.
2