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Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2015.1 – Lista 2 18 – LIMITES LATERAIS Em todos os exemplos e exercícios anteriores, quando falamos em lim x→a f(x) , não fazemos restrições sobre como x se aproxima de a. Na verdade, quando escrevemos lim x→a f(x) , queremos dizer que x se aproxima de a de duas formas: com valores de x maiores que a (aproximação pela direita de a), e com valores de x menores que a (aproximação pela esquerda de a). No entanto, para algumas funções, podem ocorrer certas restrições para x, que vamos abordar nos exemplos a seguir. EXEMPLO 1 Considere a função f(x) = . Como o nosso conjunto universo é o conjunto dos números reais, para que essa nossa função faça sentido, devemos ter x ≥ 2. Assim, não faz sentido x se aproximar de 2 pelo lado esquerdo, e portanto não possui significado. Precisamos considerar um novo limite, que chamaremos de limite lateral. E para entendermos melhor esse caso, vamos fazer x se aproximar de 2, com valores maiores do que 2. Neste caso, dizemos que x tende a 2 pela direita, e escrevemos . Veja que quando x tende a 2 pela direita, a função f(x) = tende a zero. Vamos representar isto da seguinte forma: Que lemos: limite de f(x) quando x tende a 2 pela direita, é igual a zero. EXEMPLO 2 De forma análoga, considerando a função f(x) = , veja que só podemos falar no limite de f(x) quando x se aproxima de 2 pela esquerda, e representaremos da seguinte forma: Que lemos: limite de f(x) quando x tende a 2 pela esquerda, é igual a zero. EXEMPLO 3 Considere a função f(x) = , x ≠ 0. Podemos fazer x se aproximar de zero tanto pela direita quanto pela esquerda. Mas, agora temos uma nova situação. Como | x |= x, se x ≥ 0 −x, se x < 0 ⎧ ⎨ ⎩ , temos que e lim x→0− f(x) = −1 . Neste exemplo, apesar dos dois limites laterais, direita e esquerda, existirem, eles são diferentes. Quando isto acontece, dizemos que o não existe. EXEMPLO 4 Considere a função f(x) = x 2, se x ≤1 2− x, se x >1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Neste caso, lim x→1+ f(x) = 1 e lim x→1− f(x) = 1. Agora, como os limites laterais são iguais, dizemos que lim x→1 f(x) = 1. PROPRIEDADE: Se lim x→a+ f(x) = L e lim x→a− f(x) = L , então lim x→a f(x) = L . E mais, se lim x→a+ f(x) ≠ lim x→a− f(x) , então lim x→a f(x) não existe. x 2− x 2 lim x 2 → − x 2+→ x 2− x 2 x 2 lim f(x) lim x 2 0 + +→ → = − = 2 x− x 2 x 2 lim f(x) lim 2 x 0 − −→ → = − = | x | x x 0 lim f(x) 1 +→ = x 0 lim f(x) → 14 19 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Em cada item a seguir, ache o limite indicado, se existir. Em seguida, faça um esboço do gráfico de cada função. a) lim x→−4+ f(x) lim x→−4− f(x) lim x→−4 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ b) lim x→0+ f(x) lim x→0− f(x) lim x→0 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ c) lim x→2+ f(x) lim x→2− f(x) lim x→2 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ d) lim x→1+ f(x) lim x→1− f(x) lim x→1 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ e) lim x→1+ f(x) lim x→1− f(x) lim x→1 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ f) f(x) = 2x + 3, se x <1 4, se x = 1 x2 + 2, se x >1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ lim x→1+ f(x) lim x→1− f(x) lim x→1 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ g) f(x) = x +1, se x < −1 x2, se −1≤ x ≤1 2− x, se x >1 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ lim x→−1+ f(x) lim x→−1− f(x) lim x→−1 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ e lim x→1+ f(x) lim x→1− f(x) lim x→1 f(x) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 2. Calcular , se existir, sendo . 3. Calcular , se existir, sendo . x 4 se x 4 f(x) 4 x se x 4 + ≤ −⎧ = ⎨ − > −⎩ 2 se x 0 f(x) 1 se x 0 3 se x 0 <⎧ ⎪= − =⎨ ⎪− >⎩ 2x se x 2f(x) 8 2x se x 2 ⎧⎪ ≤= ⎨ − >⎪⎩ 2x 3 se x 1 f(x) 2 se x 1 7 2x se x 1 + <⎧ ⎪= =⎨ ⎪ − >⎩ 3x 1 se x 1 f(x) 3 x se x 1 − ≤⎧ = ⎨ − >⎩ ( ) x 1 lim f x → ( ) 2 x 1, se x 1 2f x x , se x 1 +⎧ >⎪= ⎨ ⎪ <⎩ ( ) x 2 lim f x → ( ) x 1, se x 2f x 2 x, se x 2 − >⎧ = ⎨ − <⎩ 15 4. Calcular , se existir, sendo . 5. Dada , calcule , se existir. 6. Calcule se existir: a) , se b) , se c) , se 7. Dada , calcule a de modo que exista . 8. Dadas as funções a seguir, encontre os valores de a e b para que exista qualquer que seja o valor real de p. 9. Considere a função dada por f(x) = !x", conhecida como a função maior inteiro, onde !x" significa o maior inteiro que é menor ou igual a x, ou simplesmente a parte inteira de x. Calcule se existir: a) !x" b) !x" c) !x" 10. O valor do é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 20 – GABARITO DE 19 1. a) 8, 0, ∃ b) – 3, 2, ∃ c) 4, 4, 4 d) 5, 5, 5 e) 2, 2, 2 f) 3, 5, ∃ g) 1, 0, ∃ , 1, 1, 1 2. 1 3. ∃ 4. 4 5. 0 6. a) – 1 b) /∃ c ) /∃ 7. a = 6 8. a) a = 10 e b = –23 b) a = 2 e b = –3 9. a) 1 b) 0 c) /∃ 10. d ( ) x 1 lim f x → ( ) 4, se x 1f x 6, se x 1 ≠⎧ = ⎨ =⎩ ( ) 2x , se x 0 f x x , se x 0 2 ⎧ <⎪= ⎨ >⎪ ⎩ ( ) x 0 lim f x → ( ) x 0 lim f x → ( ) 22x 1, se x 0f x 2x 1, se x 0 ⎧⎪ − <= ⎨ − >⎪⎩ ( ) x 0 lim f x → ( ) 2, se x 0f x 2, se x 0 >⎧ = ⎨− <⎩ ( ) x 1 lim f x → ( ) x 1 f x x 1 − = − ( ) 2x a, se x 1f x 3x 5, se x 1 + ≥⎧ = ⎨ + <⎩ ( ) x 1 lim f x → lim x→p f x( ) 2 2x 1 se x 3 a)f(x) ax b se 3 x 5 x 2 se x 5 ⎧ + ≤ ⎪ = + < <⎨ ⎪ + ≥⎩ 3x 6a se x < 3 b)f(x) 3ax 7b se 3 x 3 x 12b se x >3 + −⎧ ⎪= − − ≤ ≤⎨ ⎪ −⎩ f :!→ " lim x→1+ lim x→1− lim x→1 lim x→0+ 1 x − 1 x2 + x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 16 GRÁFICOS 1. 17 Fim – lista 2
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