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1 Equações de Conservação Equação de Conservação de Massa (continuidade) Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear (2a Lei de Newton) Equação de Bernoulli Equação de Energia (1a Lei da termodinâmica) Equação de Bernoulli Modificada Instalações hidráulicas Perda de carga Fator de atrito 2 Teorema de Transporte de Reynolds Se F = grandeza extensiva >>> f = F / m = grandeza intensiva (por unidade de massa) d = volume infinitesimal d m = massa infinitesimal >>> d m = r d d F = grandeza no volume infinitesimal >>> d F = f d m = f r d permite transformar as equações p/ sistemas (massa fixa) em eqs. p/ volumes de controle (volume fixo) dm = r d sistema dm = r d SC VC V2 V1 Taxa de variação de uma propriedade extensiva F de um sistema Taxa de variação da propriedade extensiva F dentro do VC Taxa líquida de escoamento da propriedade extensiva F saindo pela SC = + 3 d m=r dA L= =r dA Vn dt Taxa líquida de escoamento da propriedade extensiva F saindo pela SC: Para um dA na SC: Taxa líquida da grandeza F saindo na SC dm = r d SC VC V2 V1 Taxa de variação da propriedade extensiva F dentro do VC: = =F VCVCVC d t dm t d t rff SC AdnV rf = F SCVCsistema dAnVd ttd d rfrf SCSCSC dAnVddtddtdm )()/()/( == frfrf V V Vn Vn Vn 4 Equação de Conservação de Massa Sistema: 0. = sistema td md cteémassaasistemaPara dm = r d sistema Então, para Volume de controle: Variação com o tempo da vazão líquida de massa saindo da massa no volume de controle através da superfície de controle = SCVC AdnVd t 0 rr grandeza extensiva (F )= massa = m grandeza intensiva (f )= m/m = 1 5 Conservação de Massa = SCVC AdnVd t 0 rr dAemmássicavazãomddAVn == r VCmd VC = r Se escoamento entra, Vn < 0 Se escoamento sai, Vn > 0 q n V == SCSCSC AdVAdVAdnV nrqrr cos SCnasaindomassadelíqvazãoAdV SC n =r nemprojetadaVVn = 6 entradasaída saídaentrada AVAVAdVAdVAdnV SC rrrrr = = Considere um VC com 1 entrada e 1 saída: Se o escoamento é à área: na entrada cos q = - 1 e na saída cos q = +1 == saídaAentradaAsaídaAentradaASC AdVAdVAdnVAdnVAdnV qrqrrrr coscos saientra saientra VCtt mmAVAVmd VC === rrr Então: 0= entradasaídat AVAVd VC rrr 7 Regime permanente: / t=0 Hipóteses: O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas O estado da massa em cada ponto do VC não varia com o tempo Fluxo de massa através da SC e o estado de massa que cruza a SC não variam com o tempo Então: = SC AdnV 0 r E para RP, e VC com 1 entrada e 1 saída: ctemou = se mm = = se mm 0== t m t VC VC d r 8 Conservação de Massa Para fluido Incompressível (r = cte) - obs: se V é constante, cairemos no mesmo resultado abaixo = SCVC AdnVd t 0 Para fluido Incompressível (r = cte) e regime permanente: = SC AdnV 0 r m AV ==. = Vazão volumétrica = SCVC AdnVd t 0 rr 9 1. Considere o escoamento em regime permanente de água através do dispositivo mostrado na figura. As áreas são: A1= 185 cm 2; A2=462cm 2; A3=A4=370cm 2. A vazão em massa saindo através da seção (3) é m3=56,5 kg/s. A vazão em volume entrando pela seção (4) é de 4=0,028 m 3/s. Na seção (1) a velocidade é uniforme e igual a Se a propriedades forem consideradas uniformes através de todas as entradas e saídas de fluxo, determine a velocidade do escoamento na seção (2). 30 60 (3) (4) (2) (1) x y Exercícios smîV /31 = 10 2. Um tanque com volume de 0,05 m3 contem ar a pressão absoluta de 800kPa e temperatura de 15oC. Em t=0, o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65 mm2. O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 300 m/s e massa específica de 6 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante de tempo. Determine a taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque, em t=0. 11 3) Água escoa num tubo com diâmetro de 2 m. A velocidade dentro do tubo é dada por Determine: a) A vazão volumétrica de água entrando no tubo; b) A velocidade média no tubo menor com diâmetro de 20 cm. Considere regime permanente. Obs: velocidade média é definida como a vazão volumétrica dividida pela área. smiRrV /)/( 221 = r 3. Equação de Conservação de Quantidade de Movimento (2ª. Lei de Newton) Na formulação integral, vamos usar o teorema de transporte de Reynolds: Propriedade extensiva Propriedade intensiva F m F =f = F VC SCsist dAnVd tdt d rfrf Conservação de Quantidade de Movimento Linear V Vm = =F f = VC SCsist dAnVVdV tdt Vmd rr)( Taxa de variação da quantidade de movimento no volume de controle Taxa de transporte de quantidade de movimento através da superfície de controle Pela segunda Lei de Newton: = ext sist F dt Vmd )( = VC SC ext dAnVVdV t F rr = = = z VC SC yyy VC SC xxx F dAnVvdv t F dAnVvdv t F rr rr Exemplos: 1) 2) 3) Uma correia transportadora recebe areia de um alimentador a uma taxa de 500 kg/s. A velocidade da areia saindo do alimentador é de 5 m/s. A correia se move a 3 m/s. Desprezando o atrito da correia, calcule a força necessária para mover a correia enquanto ela está carregada. A areia sobre a correia move-se com a velocidade da correia. 4) Considere o escoamento simétrico ao redor de um cilindro. O volume de controle,excluindo o cilindro é mostrado na figura. A distribuição de velocidade a jusante do cilindro é aproximada por uma parábola, como mostrado. Determine a força de arrasto por metro do comprimento transversar agindo sobre o cilindro. A massa específica do ar é 1,23 kg/m3 5) 6) 20 21 ( Aj = 0,10 m 2) 22
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