APOSTILA 1 Estatística (1)

Prévia do material em texto

1 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ – UNESPAR 
Professor Mestre Maurício Barbosa 
 mauricioskai@gmail.com 
 
1-INTRODUÇÃO 
 
 
1.1-DEFINIÇÃO: Estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece 
métodos para a coleta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados 
experimentais, visando a tomada de decisões. 
 
 
1.1-POPULAÇÃO: O termo população se refere a todos os indivíduos ou a todos 
objetos do grupo com mesmas características. Exemplos: a totalidade dos habitantes de 
uma determinada região, população de parafusos, livros, árvores, etc. 
 
 
1.3-AMOSTRA: É um subconjunto de uma população. Este subconjunto pode ou 
não ser representativo da população. 
 
 
1.4-ESTATÍSTICAS: São medidas obtidas através de dados coletados em 
amostras. 
 
 
1.5-PARÂMETROS: São medidas populacionais que podem ser obtidas por um 
censo ou estimadas por meios de dados amostrais. 
 
 
1.6-ESTATÍSTICA DESCRITIVA: Parte da estatística que procura somente 
descrever e analisar um certo grupo, sem tirar quaisquer conclusões ou inferências sobre 
um grupo maior. 
 
 
1.7-ESTATÍSTICA INDUTIVA: Parte da estatística que utiliza métodos 
científicos para fazer afirmações e tirar conclusões sobre características ou parâmetros de 
uma população, baseando-se em resultados de uma amostra. 
 
1.8-VARIÁVEIS: É o que esta sendo analisado no interior de uma população e que 
possibilita a geração de dados distintos ao longo dessa mesma população. Podem ser: 
 
 
 
 2 
 1.8.1-QUALITATIVAS: Quando seus valores forem expressos por 
atributos(não numéricos). Podem ser: 
 
 a) NOMINAIS (sexo, estado civil, ...) 
 
 b) ORDINAIS (Cultura: ensino fundamental, ensino médio,...) 
 
 
 1.8.2-QUANTITATIVAS: São as inerentemente numéricas. Podem ser: 
 
 a) CONTÍNUAS: Quando podem assumir qualquer valor em certo 
intervalo da reta real. Exemplos( peso, altura,...) 
 
 b) DISCRETAS: Quando assumem valores pontuais, geralmente de 
números inteiros. ( número de filhos, números de erros em um 
livro,...). 
 
 
 
2-ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
 
 
2.1-COLETA DE DADOS: Após a definição do problema a ser estudado e o 
estabelecimento do planejamento da pesquisa (forma pelo qual os dados serão coletados; 
cronograma das atividades; custos envolvidos, exames das informações disponíveis, 
delineamento da amostra) o passo seguinte é a coleta de dados, que consiste na busca ou 
compilação dos dados das variáveis, componentes do fenômeno a ser estudado. Podem ser 
classificadas como: 
 
 
 2.1.1-Quanto ao tempo: 
 
a) Contínua: quando realizada permanentemente.(nascimento, 
casamentos, óbitos, etc). 
 
b) Periódica: quando é feita em intervalos de tempo.(censo) 
 
c) Ocasional: quando efetuada sem época preestabelecida. 
 (epidemias, catástrofe). 
 
COLETA DE 
DADOS 
CRÍTICA 
DOS 
DADOS 
APRESENTAÇÃO 
DOS DADOS 
TABELAS 
GRÁFICOS 
ANÁLISE E 
CONCLUSÕES 
 3 
 
 2.1.2-Quanto à forma: 
 
a) Direta: quando os dados são obtidos na fonte 
originária.(nascimento registrados nos cartórios, 
opiniões obtidas em pesquisa de opinião pública, 
vendas registradas em notas da empresa, etc.) 
 
b) Indireta: quando os dados obtidos provêm da coleta 
direta.(pesquisa agrícola obtida em uma secretaria 
específica do governo ou no IBGE, etc.) 
 
 
2.2-CRÍTICA DOS DADOS: Objetivando a eliminação de erros capazes de 
provocar futuros enganos de apresentação e análise, procede-se a uma revisão crítica dos 
dados, suprimindo os valores estranhos ao levantamento. Podem ser: 
 
 
 2.2.1-Crítica Externa: quando visa às causas dos erros por parte do 
informante, tais como a distração ou má interpretação das perguntas de 
um questionário. 
 
 2.2.2-Crítica Interna: quando se observa o material constituído pelos 
dados coletados. Verificação de erros na digitação dos dados,cópias. 
 
2.3-APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Após a crítica, convém 
organizarmos os dados de maneira prática e racional, para o 
melhor entendimento do fenômeno que se está estudando. Sua 
apresentação pode ocorrer por meios de tabelas ou gráficos. 
 
2.3.1-TABELA: é uma matriz onde se registra os dados de um evento. É composta 
em: 
 
 
 a) Cabeçalho: é a apresentação do que a tabela está procurando 
representar. Deve conter o suficiente para que sejam respondidas as 
seguintes questões: O quê? Onde? Quando? 
 
 b) Corpo: é à parte da tabela composta por colunas e sub-colunas, 
dentro das quais são colocados os dados apurados. 
 
 c) Rodapé: parte inferior, onde se registra a fonte dos dados. 
 
 
 
 
 4 
 
EXEMPLOS: 
 
 2.3.1.2-TABELA SIMPLES: É a representação de valores de uma única variável. 
 
 
Vendas de imóveis realizadas pelas maiores 
imobiliárias da cidade de São Paulo em 2003 
 
IMOBILIÁRIA UNIDADES VENDIDAS 
Altaplan 
Lopes 
Nosso Teto 
Procasa 
5186 
4273 
4992 
3426 
TOTAL 17877 
Fonte: Setor Imobiliário de São Paulo 
 
2.3.1.2-TABELA DE DUPLA ENTRADA OU DE CONTIGÊNCIA: é a representação, 
em uma única tabela, de valores de mais de uma variável, isto é, a conjunção de duas 
tabelas. 
 
Taxa de desemprego 
 grande São Paulo –2002/2007 
 
MÊS/ANO PORCENTAGEM (%) 
DEZEMBRO MASCULINO FEMININO 
2002 
2003 
2004 
2005 
2006 
2007 
13,0 
12,4 
10,7 
12,0 
12,6 
14,4 
16,3 
14,6 
15,3 
15,1 
16,4 
19,4 
TOTAL 75,1 97,1 
Fonte: DIEESE 
 
*DIEESE: Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Sócio-Econômicos 
Instituição de pesquisa, análise e assessoria, sem fins lucrativos, mantida por sindicatos, federações, 
confederações e centrais de trabalhadores 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
2.3.1.3-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA: É uma série estatística onde os 
dados encontram-se dispostos em classes ou categorias. 
 
 
Média geral dos alunos segundo o sexo 
colégio São Paulo – 1º bimestre - 2008 
 SEXO 
MÉDIAS MASCULINO FEMININO. TOTAL 
40|--- 50 1 0 1 
50|--- 60 3 0 3 
60|--- 70 14 6 20 
70|--- 80 11 16 27 
80|--- 90 2 8 10 
90|---100 0 4 4 
TOTAL 31 34 65 
Fonte: Colégio São Paulo 
 
2.3.2-GRÁFICOS: A representação gráfica dos dados de um fenômeno tem por finalidade 
dar uma idéia, a mais imediata possível, dos resultados obtidos, permitindo chegar-se a 
conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. 
Não há apenas uma maneira de representar graficamente uma série estatística. A escolha do 
gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. 
 
 
2.3.2.1-CARACTERÍSTICAS DO GRÁFICO 
 
 SIMPLICIDADE 
 CLAREZA 
 VERACIDADE 
 
 
 2.3.2.2-ELEMENTOS E NORMAS 
 
 Título: acima do gráfico, completo, claro e conciso; 
 
 Fonte: abaixo do gráfico; 
 
 Moldura: para dar efeito estético ao gráfico; 
 
 Legenda: não deve prejudicar a leitura do gráfico; 
 
 Desenho: no desenho incluem-se apenas as coordenadas necessárias para guiar a 
leitura do gráfico; 
 
 Escala: a escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita e a vertical de 
baixo para cima; 
 
 6 
 Cor: o colorido não deve causar ilusões de ótica. 
 
 Forma: a altura do gráfico deve ter, aproximadamente, 75 % da largura, de modo 
que, incluindo o título e o rodapé, a moldura do gráfico assuma mais ou menos , a 
forma quadrada. 
 
2.3.2.3-TIPOS DE GRÁFICOS 
 
 
 Diagramas: construídos com o auxílio de figuras geométricas em duas dimensões. 
 
 Cartogramas: é a representação sobre cartas geográficas. 
 
 Esteriogramas:gráficos representados por meio de volumes. 
 
 Pictogramas: é a representação gráfica através de figuras. 
 
 
Os gráficos mais utilizados na Estatística são os diagramas, dentre os quais 
destacam-se: 
 
A) Gráficos em Colunas ou em Barras: é a representação de uma série por 
meio de retângulos, dispostos verticalmente ( em colunas ) ou 
horizontalmente ( em barras); 
 
B) Gráficos de Linhas: é a representação de uma série por meio de uma linha 
poligonal; 
 
C) Gráfico de Setores: é constituído com base em um círculo, e é empregado 
sempre que se deseja ressaltar a participação do dado no total; 
 
D) Gráficos Comparativos: é a representação de mais de uma variável em um 
mesmo gráfico; 
 
 
GRÁFICOS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
i) Histogramas 
ii) Polígonos de Freqüência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
EXEMPLOS: 
 
Iremos representar exemplos de tabelas e os gráficos correspondentes. 
 
 
2.3.2.4-GRÁFICOS DE COLUNAS 
 
 
 
Importação de Petróleo – Brasil - 2006 
Meses Volume (1000 m
3
) 
Janeiro 
Fevereiro 
Março 
Abril 
Maio 
Junho 
Julho 
Agosto 
Setembro 
Outubro 
Novembro 
Dezembro 
1291 
1837 
2089 
1717 
2160 
2484 
1941 
2754 
2146 
1701 
1481 
1494 
Fonte: Secretaria de Comércio Exterior (SECEX). 
Nota: (m3) = metro cúbico. Os dados relativos à importação de petróleo incluem óleo cru e 
condensado 
 
 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Vo
lu
m
e 
(1
00
0 
m
3)
 
Meses
Importação de Petróleo - Brasil - 2006
 
Fonte: Secretaria de Comércio Exterior (SECEX). 
Nota: (m3) = metro cúbico. Os dados relativos à importação de petróleo incluem óleo cru e condensado 
 8 
 
 
2.3.2.5-GRÁFICO DE BARRAS 
 
 
 
Brasileiros residentes no exterior – 2004 
 
Pais Nº de Brasileiros 
África 
Alemanha 
Argentina 
Espanha 
Estados Unidos 
Itália 
Japão 
Paraguai 
3.126 
36.096 
15.404 
10.361 
598.526 
40.118 
201.139 
460.846 
Fonte:Relatório da Divisão de Assistência Consular do Ministério de Relações Exteriores 
 
 
 
 
0 100 200 300 400 500 600 700
Áfr ica
Aleman ha
Argentina
Espanha
Estados Unidos
Itália
Japão
Paraguai
Nº de Brasileiros (1000)
P
a
ís
es
Brasileiros residentes no exterior - 2004
 
 9 
2.3.2.6-GRÁFICO DE LINHAS 
 
 
 TAXA DE CRESCIMENTO DA POPULAÇÃO, POR DÉCADA 
BRASIL – ANOS 40 / ANOS 90 
ANOS TAXA DE CRESCIMENTO (%) 
40 
50 
60 
70 
80 
90
* 
26,2 
34,9 
32,9 
27,7 
22,0 
14,5 
Fonte: revista Isto É, julho/98 
 
Nota: 
*
 Projeção. 
 
 
TAXA DE CRESCIMENTO DA POPULAÇÃO, POR 
DÉCADA - BRASIL - ANOS 40/ ANOS 90
0
5
10
15
20
25
30
35
40
40 50 60 70 80 90*
ANOS
P
E
R
C
EN
T
U
A
L
 
Fonte: revista Isto É, julho/98 
 
Nota: 
*
 Projeção. 
 
 10 
2.3.2.7-GRÁFICO DE SETORES 
 
 
Fonte: AUM-FECEA 
 
2.3.2.8-GRÁFICOS COMPARATIVOS 
 
 
Migração rural, em milhões, por década, 
em alguns Estados Brasileiros - Anos 70 e 80 
 
ESTADOS 
ANOS 
70 80 
BAHIA 
RIO GRANDE DO SUL 
PARANÁ 
MINAS GERAIS 
0,7 
1,4 
2,4 
2,4 
1,0 
1,1 
1,5 
1,6 
Fonte: revista Isto É, julho/98 
 
 
 
 Primeiro atendimento que os moradores de Apucarana procuram 
em caso de doenças - 2000
60,33%
16,49%
10,51%
4,17%
8,51%
Posto de Saúde/PAM Médico ou Hospital Particular Convênio de Saúde Trata por conta própria Outras
 11 
 
Fonte: revista Isto É, julho/98 
 
2.3.2.9-HISTOGRAMA 
 
 
Média geral dos alunos segundo o sexo 
Colégio São Paulo – 1º bimestre - 2008 
MÉDIAS Nº de Alunos 
40|--- 50 1 
50|--- 60 3 
60|--- 70 20 
70|--- 80 27 
80|--- 90 10 
90|---100 4 
TOTAL 65 
Fonte: Colégio São Paulo 
 12 
0
5
10
15
20
25
30
N
º d
e 
Al
un
os
Médias
Média geral dos alunos - Colégio São Paulo -
2008
40 50 60 70 80 90 100
 
Fonte: Colégio São Paulo 
 
 
2.3.2.10-POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA 
 
 
Média geral dos alunos segundo o sexo 
colégio São Paulo – 1º bimestre – 2008 
 
MÉDIAS Nº de Alunos 
40|--- 50 1 
50|--- 60 3 
60|--- 70 20 
70|--- 80 27 
80|--- 90 10 
90|---100 4 
TOTAL 65 
Fonte: Colégio São Paulo 
 
 
 
 13 
0
5
10
15
20
25
30
N
º d
e 
Al
un
os
Médias
Média Geral dos Alunos - Colégio São Paulo 
2008
40 50 60 70 80 90 100
 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
 
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
As medidas de posição de uma distribuição são valores que representam as 
tendências de concentração dos dados observados. Possibilitam representar um conjunto de 
dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida. 
 
 
3.1-MÉDIA 
 
A medida de tendência central mais usada para descrever resumidamente uma 
distribuição de freqüência é a média. São valores centrais que caracterizam uma 
distribuição. 
 
 
3.1.1-“MÉDIA ARITMÉTICA” 
 
 
a) Média Aritmética Simples 
 
n
xxxx
x n


321
 

n
x
x
n
i
i
 1
 (dados amostrais) 
 
 
N
x
n
i
i
 1 (dados populacionais) 
 
 
 
 
 
b) Média Aritmética Ponderada 
 
n
nn
ppp
pxpxpx
x



...
...
21
2211
 





n
i
i
n
i
ii
p
px
x
1
1 (dados amostrais) 
 
 




n
i
i
n
i
ii
p
px
1
1 (dados populacionais) 
 15 
 
EXEMPLOS 
 
01) Se um estudante fez quatro provas e obteve as notas 83, 94, 95 e 86, determine sua 
nota média. 
 
 
02) Se um estudante fez quatro provas com os sues respectivos pesos na relação abaixo: 
 
Nota Peso 
40 
60 
40 
90 
1 
2 
3 
4 
Determine sua média 
 
 
03) Determinar a média da distribuição: 
Renda Familiar 
(milhares de $) 
 
Nº de Famílias 
2 |-------- 4 
4 |-------- 6 
6 |-------- 8 
8 |-------- 10 
10 |-------- 12 
5 
10 
14 
8 
3 
Total 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Calcule a média das séries: 
 
a) 1 ,2, 8, 10, 12, 16, 21, 30. 
b) 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 
c) 3,4; 7,8; 9,23; 12,15 
 
02) Calcule a idade média dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada 
Faculdade, em anos. 
 
Idade(anos) Nº de alunos 
17 
18 
19 
20 
21 
3 
18 
17 
8 
4 
 16 
03) Calcule o número de acidentes por dia em uma determinada esquina. 
 
Nº de acidentes 
por dia: xi 
Nº de dias 
0 
1 
2 
3 
4 
30 
5 
3 
1 
1 
 
04) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. 
Calcule o salário médio destes funcionários. 
 
Salários $ Nº de 
Funcionários 
400 |----500 
500 |----600 
600 |----700 
700 |----800 
800 |----900 
900 |----1000 
12 
15 
8 
3 
1 
1 
 
05) Um imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro 
abaixo: 
 
Aluguel $ Nº de Casas 
 0 |----200 
200 |----400 
400 |----600 
600 |----800 
800 |----1000 
30 
52 
28 
7 
3 
Calcule o aluguel médio para estas residências 
 
06) Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão-de-obra 
gasto na revisão completa deum motor de jato. O seguinte quadro foi obtido: 
 
Tempo de mão-de-obra 
(horas) 
Nº de motores 
 0 |------4 
 4 |------8 
 8 |------12 
12 |------16 
16 |------20 
1 
5 
10 
12 
4 
 17 
a) Determine o número médio de horas de mão-de-obra necessário para a revisão de cada 
motor. 
b) Com base nesta informação, qual deve ser o tempo total de mão-de-obra para a revisão 
de dez motores que aguardam revisão? 
c) Se a empresa dispõe no momento de dois homens trabalhando 12 horas por dia nestas 
revisões conseguirá provavelmente revisar estes dez motores em quatro dias? 
 
07) A média para aprovação em determinada disciplina é 5,0 pontos. Se um estudante 
obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em 
questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado. 
 
 
3.2- MEDIANA 
 
 
 É o valor que ocupa exatamente o meio de uma série, quando seus valores estão 
dispostos em ordem crescente ou decrescente. 
 
 
3.2.1-Dados simples: 
 
 
a) Se n for ímpar, a mediana será o elemento central: 
Exemplo: 3, 5 ,8, 10, 15 
Md = 8 
 
 
b) Se n for par, a mediana será a média entre os elementos centrais. 
Exemplo: 5, 6, 10, 13, 18, 21 
 
Md = 
10 13
2
115

 ,
 
 
 
3.2.2-Dados Agrupados: 
 
 
a) Distribuição Discreta 
 
Se os dados estão apresentados em uma distribuição discreta, eles já estão 
naturalmente ordenados. 
Assim, basta verificar se o número de elementos da série é impar ou par e 
aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior. 
Se n for ímpar, a mediana será o elemento central de ordem 
2
1n
. 
 18 
Caso n seja par, a mediana será a média entre os elementos centrais de 
ordem 
2
n
 e 
1
2

n
 
 
EXEMPLOS: 
 
Determine a mediana das séries: 
a) 
xi fi 
2 
5 
8 
10 
12 
1 
4 
10 
6 
2 
 
b) 
xi fi 
2 
5 
8 
10 
12 
10 
6 
2 
1 
4 
 
c) 
xi fi 
0 
1 
2 
3 
5 
3 
5 
8 
10 
6 
 
 
 
 
b) Distribuição Contínua 
 
1º Passo: independente se n par ou ímpar, na distribuição contínua, determina-
se a posição da mediana, através de: 
 
2
n
p 
 
 
 
 19 
2º Passo: identifica-se a classe que contém a mediana pela freqüência 
acumulada. 
 
3º Passo: aplica-se a fórmula 
 
 
fi
hFaa
n
liMd








2 na qual: 
 
li = limite inferior da classe da mediana; 
n = número de elementos da série; 
Faa = freqüência acumulada anterior à classe que contém a 
mediana; 
fi = freqüência absoluta da classe da mediana; 
h = amplitude de classe ou tamanho da classe; 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
Dada a distribuição dos salários da companhia Beta , determine o salário mediano. 
 
Nº de Salários 
Mínimos 
Nº de 
Funcionários 
 3|------- 6 
 6|------- 9 
 9|-------12 
12|-------15 
15|-------18 
18|-------21 
12 
18 
20 
10 
5 
3 
 
 
3.3- MODA 
 
 
 É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de dados. Existem 
séries de dados em que nenhum valor aparece mais vezes que outros. Neste caso não 
apresenta moda. São séries amodais. Em outros casos, pode aparecer dois ou mais valores 
de concentração. Dizemos, então, que a série tem duas ou mais modas (bimodal, trimodal). 
 
 
 
 
 20 
3.3.1. Dados Simples: 
 
Para a distribuição simples, a identificação da moda é facilitada pela simples 
observação do elemento que apresenta maior freqüência. 
 
 Exemplo: 4, 6, 6, 7, 9, 9, 9, 14. 
 
 Mo = 9 
 
 
3.3.2. Dados Agrupados: 
 
a) Distribuição Discreta 
 
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: 
basta fixar o valor da variável de maior freqüência. 
 
 
EXEMPLO: 
 
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando como variável 
o número de filhos do sexo masculino: 
 
Nº de 
Meninos 
Nº de 
 Famílias 
0 
1 
2 
3 
4 
2 
6 
10 
12 
4 
 
 A freqüência máxima 12 corresponde o valor 3 da variável. Logo: 
 
 Mo = 3 
 
b) Distribuição Contínua 
 
Para dados agrupados em uma distribuição contínua, temos diversas 
fórmulas para o cálculo da Moda. Apresentaremos a fórmula de Czuber. 
 
 
1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência) 
 
 2º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 21 
 
h. li Mo
21
1



 , em que: 
 
 
li = limite inferior da classe modal 
1
 = diferença entre a freqüência da classe modal e a 
imediatamente anterior. 
2
 = diferença entre a freqüência da classe modal e a 
imediatamente posterior. 
h
 = amplitude da classe. 
 
 
EXEMPLO: 
 
Dada a distribuição dos salários da companhia Beta , determine o salário modal. 
 
Nº de Salários 
Mínimos 
Nº de 
Funcionários 
 3|------- 6 
 6|------- 9 
 9|-------12 
12|-------15 
15|-------18 
18|-------21 
12 
18 
20 
10 
5 
3 
 
 
3.3- MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
 
3.3.1-QUARTIS 
 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: 
 
 
 0% 25% 50% 75% 100% 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
 
Q1 = 1º Quartil, deixa 25% dos elementos. 
Q2 = 2º Quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos. 
Q3 = 3º Quartil, deixa 75% dos elementos. 
 
 
 22 
3.3.1.1-DETERMINANÇÃO DO Qi 
 
1º Passo: Calcula-se a ordem 
in
4
, onde i = 1, 2 ou 3. 
 
2º Passo: Identifica-se a classe que contém o Qi pela Fac. 
 
3ºPasso: Aplica-se a fórmula 
 
 
i
ii
f
hFaa
in
lQ








4 
3.3.2-DECIS 
 
São valores que dividem a série em 10 partes iguais. Assim: 
 
 
 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
 
 
3.3.2.1-DETERMINANÇÃO DO Di 
 
1º Passo: Calcula-se a ordem 
in
10
, onde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
 
2º Passo: Identifica-se a classe que contém o Di pela Fac. 
 
3ºPasso: Aplica-se a fórmula 
 
 
i
ii
f
hFaa
in
lD








10 
 
 
 
3.3.3-PERCENTIS 
 
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. 
 
 23 
3.3.3.1-DETERMINANÇÃO DO Pi 
 
1º Passo: Calcula-se a ordem 
in
100
, onde i = 1, 2, 3, ..., 98, 99. 
 
2º Passo: Identifica-se a classe que contém o Pi pela Fac. 
 
3ºPasso: Aplica-se a fórmula 
 
 
 
i
ii
f
hFaa
in
P








100
 
 
 
EXEMPLO: 
 
Dada a distribuição dos salários da companhia Beta , determine : 
a) O primeiro quartil; 
b) O sétimo decil; 
c) O quadragésimo quinto percentil. 
 
Nº de Salários 
Mínimos 
Nº de 
Funcionários 
 3|------- 6 
 6|------- 9 
 9|-------12 
12|-------15 
15|-------18 
18|-------21 
12 
18 
20 
10 
5 
3 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) A tabela refere-se a idade de 50 alunos de uma classe do primeiro ano de uma 
Faculdade. 
 
Idade(anos) Nº de Alunos Determine: 
17 
18 
19 
20 
21 
3 
18 
17 
8 
4 
 a) Média 
b) Mediana 
c) Moda 
 
 
 24 
02) Umamáquina produz peças que são embaladas em caixas contendo 48 unidades. Uma 
pesquisa realizada com 59 caixas revelou a existência de peças defeituosas seguindo a 
tabela: 
 
Nº de Peças 
Defeituosas por Caixa 
Nº de 
Caixas 
 Determine: 
a) Média 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
20 
15 
12 
6 
4 
2 
 b) Mediana 
c) Moda 
 
 
 
03) A distribuição a seguir representa os salários de 25 funcionários selecionados em uma 
empresa. 
 
Salários ($) Nº De Funcionários Determine 
1.000|----1.200 
1.200|----1.400 
1.400|----1.600 
1.600|----1.800 
1.800|----2.000 
2 
6 
10 
5 
2 
 a) Média 
b) Mediana 
c) Moda 
d) 3º Quartil 
e) 2º Decil 
 f) 65º Percentil 
 
04) Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um dia, e 
obteve o seguinte quadro: 
 
Consumo por 
Nota $ 
Nº de Notas Determine: 
a) Média 
 0|---- 50 
 50|----100 
100|-----150 
150|----200 
200|----250 
250|----300 
10 
28 
12 
2 
1 
1 
 b) Mediana 
c) Moda 
d) 1º Quartil 
e) 7º Decil 
f) 12º Percentil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
05) O departamento de recursos humanos de uma empresa, tendo em vista o aumento de 
produtividade de seus vendedores, resolveu, premiar com um aumento de 5% no 
salário, a metade de seus vendedores mais eficientes. Para isto, fez um levantamento de 
vendas semanais, por vendedor, obtendo a tabela; 
 
Salários ($) Nº De Vendedores Determine 
 0|----10.000 
10.000|----20.000 
20.000|----30.000 
30.000|----40.000 
40.000|----50.000 
1 
12 
27 
31 
10 
 a) Média 
b) Mediana 
c) Moda 
d) 2º Quartil 
e) 9º Decil 
 f) 33º Percentil 
 
 
 
 
3.3- MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
 São medidas estatísticas que visam fornecer o grau de variabilidade dos dados 
pesquisados, utilizando como referência uma medida de tendência central. As medidas de 
dispersão são importantes em termos de análise, pois dois ou mais conjuntos de dados 
podem estar centrados em um mesmo valor (medidas de tendência central), mas seus 
valores poderão estar muito mais dispersos num conjunto do que no outro. 
 
 
3.3.1- VARIÂNCIA 
 
 É uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos 
entre os elementos da série e sua média. Em particular, para estas medidas levaremos em 
consideração o fato de a seqüência de dados representar toda uma população ou apenas uma 
amostra de uma população. 
 Notações: quando a seqüência de dado representar uma população a 
variância será denotada por 
2
 e quando representar uma amostra por S
2
. 
 
 
3.3.1.1-Dados não agrupados 
 
 
  
N
xi
2
2 


 para dados populacionais 
 
  
1
2
2



n
xx
S i
 para dados amostrais 
 
 
 26 
3.3.1.2-Dados agrupados 
 
 
  
N
fx ii
2
2 


 para dados populacionais 
 
  
1
2
2



n
fxx
S ii
 para dados amostrais 
 
 
3.3.2- DESVIO PADRÃO 
 
 Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um 
número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista 
prático é um inconveniente. Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem 
utilidade e interpretação prática, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada 
da variância e representada por: 
 
2 
 para dados populacionais 
 
 
 
2SS 
 para dados amostrais 
 
 
3.3.3-COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
 É uma medida relativa da dispersão ou variabilidade dos dados. E por ser 
uma medida adimensional, pois o desvio-padrão e a média têm a mesma unidade dos dados, 
permite a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados. É calculado pela 
expressão: 
 
 


CV
 ou 
x
S
CV 
 
 
EXEMPLO: Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4000,00, com desvio-
padrão de R$ 1.500,00, e o das mulheres é em média de R$ 3.000,00, com desvio-padrão de 
R$ 1.200,00. Então: 
 
 Para os homens 
000.4
500.1
CV
= 0,375 
 
 Para as mulheres 
000.3
200.1
CV
=0,4 
 
 27 
 Logo,podemos concluir que os salários das mulheres apresentam maior 
dispersão relativa que os dos homens. Para obtermos o resultado do CV em porcentagem, 
basta multiplicarmos o resultado por 100. No caso: 
 
 CV para homens 37,5% 
 
 CV para mulheres 40% 
 
3.3.3.1-Critérios Para Interpretação 
 
 Se 0%  CV < 30%, conclui-se pela baixa variabilidade dos dados e a média 
é uma ótima medida para representar os dados. 
 
 Se 30%  CV < 50 %, conclui-se pela média variabilidade dos dados e a 
média é uma boa medida para representar os dados. 
 
 Se CV  50%, conclui-se pela alta variabilidade dos dados e a média não é 
uma medida apropriada para representar os dados. Neste caso, deve-se pensar na mediana 
ou moda. 
 
 Quanto menor for o coeficiente de variação, mais representativa dos dados 
será a média. 
 
 
EXEMPLOS 
 
01) Ao examinar a estatura dos membros de uma família, os valores ( em cm ) encontrados 
foram: 172, 168, 181, 173 e 164. Determine: 
 
a) a média; 
b) a variância; 
c) o desvio-padrão; 
d) o coeficiente de variação. 
 
02) O número de passageiros, da cidade A para a cidade B, por viagem, em um dia foram: 
 40, 40, 40, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 47 e 48.Encontre sua: 
 
a) média; 
b) variância; 
c) desvio padrão; 
d) coeficiente de variação. 
 
 
 
 
 28 
03) A tabela abaixo representa o tempo para os funcionários da empresa X se deslocarem 
de casa para o trabalho. 
 
Tempo(min) Nº de 
Funcionários 
28|---- 33 
33|---- 38 
38|---- 43 
43|---- 48 
48|---- 53 
53|---- 58 
3 
13 
11 
10 
7 
1 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) CIEPE – Quantia de funcionários faltosos ao dia, no mês de setembro de 1999. 
0 0 2 4 2 1 
1 2 2 1 0 0 
0 2 1 4 3 2 
3 2 1 4 0 1 
1 0 0 0 0 0 
 
 Com os dados pede-se: 
a) Construir uma distribuição de freqüência discreta; 
b) Determine as freqüências (absoluta, relativa e acumuladas); 
c) Calcule o numero de faltas mediana. (interprete o resultado) 
d) Qual é o número médio de faltas? (interprete o resultado) 
e) Qual é o número de faltas modal? (interprete o resultado) 
f) Calcule a variância das faltas. 
g) Calcule o desvio-padrão das faltas. 
h) Calcule o coeficiente de variação das faltas. (interprete o resultado) 
 
02) A tabela abaixo se refere ao consumo diário de carne do restaurante RS no 1º semestre 
de 1999. 
 
Consumo (kg) Nº de Dias 
 90|---- 100 
100|---- 110 
110|---- 120 
120|---- 130 
130|---- 140 
140|---- 150 
150|---- 160 
12 
23 
35 
46 
30 
21 
10 
Total 177 
 
Utilizando-se da tabela acima, calcule: 
 29 
a) O consumo médio diário de carne no semestre em questão; 
b) Os 25% dos dias que consumiram menos carne, foi de qual consumo? 
c) O ponto mediano é de quantos quilos de carne? (interprete o resultado) 
d) Os 30% dos dias de maior consumo está em qual faixa de consumo? 
e) O ponto modal é de quantos quilos de carne?(interprete o resultado) 
f) Determine a variância. 
g) Calcule o desvio padrão. 
h) Calcule o coeficiente de variação. (interprete o resultado) 
 
03) Os dados abaixo referem-se a produção diária de açúcar da Destilaria de Cana WS. 
 
Produção(ton) Nº de Dias 
 4|----- 6 
 6|----- 8 
 8|----- 10 
10|----- 12 
12|-----14 
26 
37 
31 
23 
21 
Total 138 
 
Com as informações acima, calcule: 
 
a) Média; (interprete o resultado) 
b) Mediana; (interprete o resultado) 
c) Moda; (interprete o resultado) 
d) 1º Quartil; (interprete o resultado) 
e) 9º Decil; (interprete o resultado) 
f) 63º Percentil; (interprete o resultado) 
g) Variância; 
h) Desvio-padrão; 
i) Coeficiente de variação. (interprete o resultado) 
 
04) Na aplicação de um teste de motricidade, conseguiram-se os resultados da tabela 
abaixo: 
 
Pontos Nº de Candidatos 
5 |------- 10 
10 |------- 15 
15 |------- 20 
20 |------- 25 
25 |------- 30 
30 |------- 35 
2 
4 
10 
15 
9 
5 
 
Determine: 
 a) a média de pontos por candidato.(interprete o resultado) 
 b) a mediana dos pontos. .(interprete o resultado) 
 c) a moda dos pontos. (interprete o resultado) 
 30 
 d) 0 1º quartil dos pontos. (interprete o resultado) 
 e) 0 7º decil. (interprete o resultado) 
 f) a variância. 
 g) o desvio padrão. 
 h) o coeficiente de variação. (interprete o resultado)