Microeconomia - Efeito Renda e Substituição

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Economia e Administração
Microeconomia para a Anpec
Prof. Bruno Oliva 
Capítulo 5
EFEITOS RENDA E SUBSTITUIÇÃO
Funções Demanda
As quantidades ótimas de x1,x2,…,xn podem ser expressadas como funções dos preços e da renda.
Essas funções podem ser expressas por n funções da seguinte forma:
x1* = d1(p1,p2,…,pn,I)
x2* = d2(p1,p2,…,pn,I)
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•
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xn* = dn(p1,p2,…,pn,I)
Se existem somente dois bens (x e y), podemos simplificar a notação para:
x* = x(px,py,I)
y* = y(px,py,I)
Preços e renda são exógenos.
o indivíduo não tem controle sobre esses parâmetros.
Funções Demanda
Homogeneidade
Se todos os preços e renda dobrarem, as quantidades ótimas não se alterarão.
A restrição orçamentária não se alterou.
xi* = di(p1,p2,…,pn,I) = di(tp1,tp2,…,tpn,tI)
As funções demanda são homogêneas de grau zero em todos os preços e renda.
Homogeneidade
Suponha uma função utilidade Cobb-Douglas do tipo:
utilidade = U(x,y) = x0.3y0.7
As funções demanda são:
Note que dobrando a renda e os preços, as quantidades de x* e y* não se alteram.
Homogeneidade
Com uma função CES do tipo: 
utilidade = U(x,y) = x0.5 + y0.5
As funções demanda são: 
Note que dobrando a renda e os preços, as quantidades de x* e y* não se alteram.
Mudanças na Renda
Um aumento de renda fará com que a restrição orçamentária se desloque paralelamente para fora.
Como px/py não muda, a TMS se manterá constante a medida que mudamos para níveis mais altos de satisfação.
Aumento de Renda
Se a quantidade demandada de x e y aumentam quando a renda aumenta, x e y são bens normais. 
Quantidade de x
Quantidade de y
Quando a renda aumenta, o indivíduo decide
consumir mais x e mais y.
Curva de renda-consumo ou Caminho de expansão (não tem no Nicholson)
Se a quantidade demandada de x se reduz quando a renda aumenta, x é um bem inferior.
Quantidade de x
Quantidade de y
Aumento de Renda
Quando a renda aumenta, o indivíduo decide
consumir menos x e mais y.
Curva de renda-consumo ou Caminho de expansão (não tem no Nicholson)
Ao traçarmos a relação entre renda e consumo de um dos bens, teremos a curva de Engel (não tem no Nicholson).
Mudanças na Renda
Renda
X
Bem normal
Renda
X
Bem inferior
Bens Normais e Inferiores
Bem normal: O bem xi é normal se xi/I  0. 
Bem inferior: O bem xi é inferior se xi/I < 0. 
Mudanças no Preço de um Bem
A análise é um pouco mais complicada pois a variação no preço de um bem muda a posição e a inclinação da restrição orçamentária.
Há dois efeitos:
Efeito substituição: é função dos preços relativos.
Efeito renda: é função da mudança de “renda real” em virtude da mudança de preço.
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Quantidade de x
Quantidade de y
Mudanças no Preço de um Bem
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U1
Quantidade de x
Quantidade de y
A
O indivíduo substitui o 
bem y pelo bem x 
pois o bem x ficou
relativamente mais barato.
Mudanças no Preço de um Bem
*
U1
U2
Quantidade de x
Quantidade de y
A
O efeito renda ocorre porque a “renda
real” do indivíduo muda quando o 
preço do bem x muda.
C
Se x é um bem normal, 
O indivíduo irá comprar 
mais porque a “renda 
real” aumentou.
Mudanças no Preço de um Bem
*
U2
U1
Quantidade de x
Quantidade de y
B
A
Com um aumento de preço a análise é similar.
Mudanças no Preço de um Bem
Mudanças de Preços para
Bens Normais 
Se um bem é normal, os efeitos substituição e renda atuam na mesma direção.
Quando o preço cai, os dois efeitos levam a um aumento na quantidade demandada.
Quando o preço aumenta, os dois efeitos levam a uma queda na quantidade demandada.
Se um bem é inferior, os efeitos substituição e renda atuam em direções opostas.
O efeito final é indeterminado.
Quando o preço sobe, o efeito substituição leva a uma queda na quantidade demandada mas o efeito renda leva a um aumento na quantidade demandada.
Quando o preço cai, os efeitos se invertem, mas continuam em direções opostas.
Mudanças de Preços para
Bens Inferiores
Paradoxo de Giffen
Para um bem inferior, se o efeito renda é maior que o efeito substituição, haverá uma relação positiva entre o preço do bem e a quantidade consumida.
Assim, quando o preço sobe a quantidade consumida também.
Quando isto ocorre o bem é denominado bem de Giffen.
Quando o bem não é de Giffen (a quantidade consumida diminui quando o preço aumenta) ele é chamado de bem comum (definição Varian)
A curva de demanda individual mostra a relação entre o preço de um bem e a quantidade demandada desse bem, assumindo que todos os outros preços, a renda e as preferências estejam constantes.
Curva de Demanda Individual (Marshalliana)
*
Quantidade de y
Quantidade de x
Quantidade de x
px
Quando o preço
de x cai...
Curva de Demanda Individual
Curva preço consumo (não tem no Nicholson)
Curva de Demanda Individual
Curva de preço consumo
Quantidade de y
Quantidade de x
Mudanças na Curva de Demanda
Estes fatores são mantidos constantes quando a curva de demanda é derivada:
Renda
Preços dos outros bens 
As preferências do indivíduo
Se algum destes fatores se modificar, a curva de demanda irá se deslocar.
Curva de Demanda Compensada (Hicksiana)
O nível de utilidade varia ao longo de uma curva de demanda individual (Marshalliana).
Quando o preço de x cai, o indivíduo se desloca para curvas de indiferença superiores.
A curva de demanda compensada mostra a relação entre o preço de um bem e a quantidade demandada desse bem, mantendo todos os outros preços e a utilidade (podemos pensar em “renda real”) constantes.
Curva de demanda compensada: 
x* = xc(px,py,U)
Ao manter a utilidade constante, a curva de demanda compensada mostra somente o efeito substituição.
Já a curva de demanda individual mostra os efeitos substituição e renda.
Curva de Demanda Compensada
*
Curva de Demanda Compensada
Quantidade de y
Quantidade de x
Quantidade de x
px
Mantendo a utilidade constante, enquanto o preço cai...
*
Comparação das Curvas de Demanda
Quantidade de x
px
x
xc
*
Quantity of x
px
x
xc
px’’
Comparação das Curvas de Demanda
Esta relação é válida somente para bens normais.
Suponha que a utilidade é dada por:
utilidade = U(x,y) = x0.5y0.5
As funções demanda Marshalliana são:
x = I/2px		y = I/2py
A função utilidade indireta é:
Curva de Demanda Compensada
Para obter a demanda hicksiana, podemos isolar a renda na função utilidade indireta e então substituir na demanda Marshalliana.
Curva de Demanda Compensada
x = I/2px
y = I/2py
*
Relações entre os conceitos de demanda
Problema “Primal”
Problema “Duall”
Max U(x,y)
s.a. I=Pxx+Pyy
Min E(x,y)
s.a. U(x,y)
Utilidade Indireta
U*=V(Px,Py,I)
Função Dispêndio
E*=E(Px,Py,U)
Inversas
Identidade de Roy
Lema de Shephard
*
Análise Matemática (efeitos renda e substituição)
Por definição temos que:
xc (px,py,U) = x [px,py,E(px,py,U)]
 a quantidade demandada é a mesma para as duas funções demanda quando a renda é exatamente a necessária para atingir um determinado nível de utilidade.
Diferenciando em relação a px:
I
Rearranjando:
Análise Matemática
O primeiro termo do lado direito é a inclinação da curva de demanda compensada (efeito substituição).
O segundo termo mede a maneira que mudanças em px afetam a demanda por x através de mudanças no poder de compra (efeito renda).
*
Equação de Slutsky
O efeito substituição pode ser escrito como: 
O efeito renda pode ser escrito como: 
*
Desta forma:
Equação de Slutsky
Do lado esquerdo temos o efeito preço.
O primeiro termo do lado direito é o efeito substituição. É negativo desde que a TMS seja decrescente.
O segundo termo é o efeito renda. Se x é um bem normal, o efeito é negativo. Se for um bem inferior, efeito renda é positivo.
Decomposição de Slutsky
Decomponha o efeito preço utilizando a seguinte função utilidade:
utilidade = U(x,y) = x0.5y0.5*
Elasticidades
Definição Geral:
Elasticidade preço da demanda:
Elasticidade Preço da Demanda
É normalmente negativa.
Bens de Giffen são exceção
Definições:
Se ex,px < -1, a demanda é elástica.
Se ex,px > -1, a demanda é inelástica.
Se ex,px = -1, a demanda tem elasticidade unitária.
Elasticidade renda da demanda (ex,I):
Implicações:
Se ex,I > 0, o bem é normal.
Se ex,I < 0, o bem é inferior.
Se ex,I > 1, o bem é normal e de luxo.
Elasticidades
Elasticidade preço-cruzada da demanda (ex,py):
Implicações:
Se ex,py > 0, os bens são substitutos brutos.
Se ex,py < 0, os bens são complementares brutos.
Se ex,py = 0, os bens são independentes brutos.
Elasticidades
Esses conceitos serão tratados no próximo tópico
Elasticidade Preço e
Gasto Total
Gasto total no bem x é dado por:
Gasto total = pxx
Usando elasticidade, podemos determinar como o gasto total varia quando Px muda.
O sinal desta derivada depende da elasticidade.
Se ex,px > -1, a demanda é inelástica e o preço e o gasto total se movem na mesma direção.
Se ex,px < -1, a demanda é elástica e o preço e o gasto total se movem em direções opostas.
Se ex,px = -1, a derivada é igual a zero e o gasto total não muda dada uma mudança no preço.
Elasticidade Preço e
Gasto Total
Considere a demanda hicksiana abaixo: 
xc = xc(px,py,U)
Podemos calcular:
Elasticidade preço da demanda compensada (exc,px).
Elasticidade preço cruzada da demanda compensada (exc,py).
Elasticidades na Demanda Hicksiana
Elasticidades na Demanda Hicksiana
Elasticidade preço da demanda compensada (exc,px):
Elasticidade preço cruzada da demanda compensada (exc,py):
*
Elasticidade da Equação de Slutsky
Partindo da equação de Slutsky:
Multiplicando os dois lados por Px/X:
*
Elasticidade da Equação de Slutsky
Multiplicando o último termo por I/I: 
Temos que:
Onde sx é a parcela da renda gasta em x.
*
Relações entre elasticidades
Homogeneidade - Usando a homogeneidade de grau zero da função demanda e o Teorema de Euler
Dividindo por x
Agregação de Engel - Derivando a restrição orçamentária com respeito à renda temos:
Multiplicando o 1 termo por xI/xI e o 2 por yI/yI
Agregação de Cournot - Derivando a restrição orçamentária com respeito à Px:
Multiplicando por Px/I
*
Teorema de Euler (sobre funções homogêneas)
Uma função é homogênea de grau k se 
Se f(.) é uma função homogênea de grau k o Teorema de Euler garante que
Calcule as elasticidades (própria, cruzada e renda do bem x) da seguinte função utilidade
U(x,y) = xy
Encontre a elasticidade preço da demanda compensada 
Elasticidades na Cobb-Douglas
Suponha a função utilidade:
U(x,y) = xy
As funções demanda são:
Calculando as elasticidades: 
Elasticidades na Cobb-Douglas
Cálculos similares geram:
ex,Py = 0
ex,I = 1
Para calcular a elasticidade preço da demanda compensada podemos utilizar a equação de Slutsky.
Uma maneira alternativa é calcular a elasticidade diretamente na demanda hicksiana.
Elasticidades na Cobb-Douglas
Excedente do Consumidor
Um importante tópico de bem estar econômico é a determinação de uma medida monetária de ganhos e perdas dos indivíduos em virtude de mudanças de preços. 
Como devemos calcular tal medida?
Qual curva usar? E Porque?
Excedente do Consumidor
Variação compensatória (CV): Valor monetário que o consumidor deveria receber (pagar) para voltar à sua utilidade original (U0)
Onde: 
é o preço final 
é o preço inicial 
é a utilidade inicial 
Excedente do Consumidor
Variação compensatória (CV)
x
B
A
CV
Excedente do Consumidor
Variação equivalente (EV): Quanto o consumidor está disposto a pagar (receber) para não ter a variação de preço
x
C
D
EV
Excedente do Consumidor
Demanda Marshalliana vs Hicksiana
x
B
A
C
D
Na prática a demanda Hicksiana não é observável.
Normalmente se trabalha com a demanda Marshalliana.
A demanda Marshalliana, embpora não seja a adequada, teoricamente, para se calcular o bem estar gera estimativas razoáveis
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