Constante elástica de uma mola e suas associações em série e paralelo

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Constante Ela´stica de uma Mola e Associac¸o˜es
em Se´rie e Paralelo
Kauan da Rosa Paulino, Ricardo Martins de Oliveira
Departamento de F´ısica, Universidade Federal do Parana´
Centro Polite´cnico - Jd.das Ame´ricas - 81531-990 - Curitiba - PR
ricardomartins747@ufpr.br
29 de Dezembro de 2018
Resumo: O experimento realizado possui o objetivo de determinar a constante ela´stica de duas
molas, inicialmente isoladas e em seguida suas associac¸o˜es em se´rie e paralelo. Para tanto, utilizou-se
a chamada Lei de Hooke, que rege o estudo sobre deformac¸o˜es ela´sticas. Utilizando-se dos dados
experimentais, foi poss´ıvel montar gra´ficos e, por interme´dio destes gra´ficos foi obtida uma segunda
forma de ca´lculo para k; consequentemente, com essa segunda forma, foi necessa´rio o ca´lculo do erro
percentual, que ficou em torno de 2,5% e 10% para cada uma das molas ou associac¸o˜es.
Palavras-chave: constante ela´stica, associac¸a˜o de molas, Lei de Hooke.
1 Introduc¸a˜o
A elasticidade e´ a propriedade que permite que
o objeto retorne a sua forma original apo´s a
deformac¸a˜o, e e´ a caracter´ıstica fundamental
da mola. E´ importante observar tambe´m que
quanto maior o comprimento da mola, menor sua
constante ela´stica, e vice-versa [1].
E´ poss´ıvel observar que essa deformac¸a˜o da mola
∆L, que no S.I. e´ dada em metros (m), e´ direta-
mente proporcional a` forc¸a aplicada F a partir
da Lei de Hooke:
F = −k∆L, (1)
por seguinte, o atual experimento tem como ob-
jetivo estudar e comprovar a constante ela´stica
de uma mola, tanto para a associac¸a˜o em se´rie,
quanto para a em paralelo, atrave´s da Lei de Ho-
oke, na equac¸a˜o 1. Esta lei demonstra que: em
regime ela´stico, a deformac¸a˜o sofrida por uma
mola e´ diretamente proporcional a` intensidade
da forc¸a que a provoca. Assim, sabe-se que as
molas podem ser utilizadas para armazenar ener-
gia mecaˆnica [1]. Este armazenamento de energia
mecaˆnica depende da constante ela´stica k, cha-
mada constante de forc¸a (ou constante ela´stica
da mola), e e´ obtida isolando-se k da equac¸a˜o
anterior, desta forma
k =
F
∆L
. (2)
Em geral, como ja´ dito, k trata-se de uma me-
dida de proporcionalidade; logo, o sinal negativo
na equac¸a˜o 1, significa que quando a mola esta´
distendida em um sentido, a forc¸a que ela exerce
esta´ no sentido oposto. Pode-se considerar que a
forc¸a F presente no experimento, pelo fato de a
mola estar na vertical com uma massa presa a ela
causando a sua deformac¸a˜o, pode ser igualada ao
peso P dessa massa. Portanto F sera´ calculado
da seguinte forma:
P = mg;
P = F ;
F = mg,
(3)
Onde m e´ a massa (em kg) que sera´ responsa´vel
1
pela forc¸a F na mola e g e´ a acelerac¸a˜o da gravi-
dade, que no local de realizac¸a˜o do experimento
tem o valor de g = 9, 787604 ± 0, 000009m/s2.
Com isso, pode-se enta˜o substituir F da equac¸a˜o
2 por mg da equac¸a˜o 3, para se obter a cons-
tante ela´stica k. Como neste experimento as
molas tambe´m sa˜o associadas em se´rie e em pa-
ralelo, respectivamente, pode-se obter as cons-
tantes equivalentes para tais associac¸o˜es, da se-
guinte maneira:
1
keq
=
1
k1
+
1
k2
, (4)
Keq = k1 + k2, (5)
Para se obter a deformac¸a˜o ∆L da mola ne-
cessa´ria para a equac¸a˜o 1 e´ usada a fo´rmula a
seguir:
∆L = L− L0, (6)
O gra´fico, figura 4, que e´ formado por uma va-
riac¸a˜o da intensidade de forc¸a exercida sobre a
mola em func¸a˜o da deformac¸a˜o que a mola sofre,
e´ retil´ıneo. Assim, e´ poss´ıvel obter o coeficiente
angular α pela equac¸a˜o:
α =
∆y
∆x
. (7)
No gra´fico temos ∆L representando o eixo X e
F representando o eixo Y; assim:
α =
F
∆L
. (8)
A` isso, temos que α pode ser representado pela
constante ela´stica, pois possuem os mesmos valo-
res e consequentemente podem ser considerados
iguais, ao voltarmos e compararmos a equac¸a˜o
8 com a 1. Utilizando tal gra´ficos, a partir do
Me´todo dos Mı´nimos Quadrados, e´ poss´ıvel des-
cobrir o coeficiente angular da reta e, assim de-
terminar k.
2 Procedimento
Para efetuar o procedimento experimental
utilizou-se um suporte com re´gua, diversas mas-
sas com valores diferentes e duas molas. Dividiu-
se o experimento em quatro etapas e, antes de
iniciar quaisquer das etapas, foi definido o L0.
Para isso, colocou-se a mola suspensa no suporte
com re´gua, juntamente com o prato. Considerou-
se esse L0 como o estado de repouso da mola
(x = 0). Dessa forma, a deformac¸a˜o causada
pelo prato e o pro´prio peso da mola na˜o influen-
ciam na medida de x.
Voltando para as quatro etapas: em cada
uma mediu-se a deformac¸a˜o L, conforme a
equac¸a˜o 6, em seis casos diferentes para cada
experimento, utilizando cinco massas diferentes
(m1,m2,m3,m4,m5), levando-se em conta que
no primeiro caso na˜o era adicionada nenhuma
massa. Apo´s as medidas dos seis deslocamentos
na primeira etapa, utilizando-se do suporte, foi
calculada a Fml (forc¸a da mola) nos seis casos.
Essas forc¸as foram calculadas pela forc¸a peso,
atrave´s da equac¸a˜o 3.
A partir da Fml dos deslocamentos L calculados
e verificados, obtemos as diversas constantes k
para as seis situac¸o˜es e o k me´dio. O processo
anterior foi repetido para a outra mola M2, fa-
zendo assim as duas primeiras etapas. Tais dados
foram adicionados nas tabelas 1 e 2, respectiva-
mente.
Tabela 1: Tabela de coleta de dados experimen-
tais MOLA 1.
Medida Massa(kg) ∆L = L− L0(m) F (N) k(Nm )
0 0 0 0 0
1 0.02998 0.017 0.2934 17.261
2 0.04000 0.022 0.3915 17.796
3 0.10000 0.047 0.9788 20.825
4 0.20005 0.103 1.9580 18.643
5 0.22005 0.109 2.1538 19.759
me´dia= 18.856
Tabela 2: Tabela de coleta de dados experimen-
tais MOLA 2.
Medida Massa(kg) ∆L = L− L0(m) F (N) k(Nm )
0 0 0 0 0
1 0.02998 0.013 0.2934 22.569
2 0.04000 0.017 0.3915 23.029
3 0.10000 0.044 0.9785 22.239
4 0.20005 0.092 1.9580 21.283
5 0.22005 0.101 2.1538 21.324
me´dia= 22.089
2
Figura 1: Esquema de montagem experimental
para as molas 1 e 2
Novamente o processo foi repetido, cumprindo-
se a terceira etapa; pore´m, dessa vez as molas
foram associadas em se´rie e, portanto, o valor de
L0 foi medido a partir das duas molas juntas. As-
sim, foi alterado a massa cinco vezes e anotado
o valor de L. Em seguida, calculou-se os valo-
res de ∆L, a forc¸a F e a constante ela´stica Ks,
formando enta˜o a tabela 3. Por fim, o mesmo
processo foi executado, desta vez com as molas
associadas em paralelo. Encerrou-se desta forma
as quatro etapas.
Tabela 3: Tabela de coleta de dados de molas
associadas em se´rie.
Medida Massa(kg) ∆L = L− L0(m) F (N) k(Nm )
0 0 0 0 0
1 0.02998 0.031 0.2934 9.4645
2 0.04000 0.042 0.3915 9.3214
3 0.10000 0.094 0.9785 10.412
4 0.20005 0.196 1.9580 9.9872
5 0.22005 0.220 2.1538 9.7863
me´dia= 9.7943
Figura 2: Esquema de montagem experimental
para a mola em se´rie
E por fim, na quarta etapa utilizou-se um suporte
para fazer com que a mola 1 e a mola 2 fossem
associadas em paralelo. Anotou-se os valores de
L0, variou-se a massa cinco vezes, anotando o va-
lor do L para cada variac¸a˜o. Logo, foi poss´ıvel
calcular o ∆L, a forc¸a F e a constante Kp da
mola, gerando a tabela 4.
Tabela 4: Tabela de coleta de dados de molas
associadas em Paralelo.
Medida Massa(kg) ∆L = L− L0(m) F (N) k(Nm )
0 0 0 0 0
1 0.02998 0.006 0.2934 48.900
2 0.04000 0.008 0.3915 48.938
3 0.10000 0.024 0.9785 40.782
4 0.20005 0.050 1.9580 39.150
5 0.22005 0.101 2.1538 37.772
me´dia= 43.089
Figura 3: Esquema de montagem experimental
para a mola em paralelo
Apo´s realizado as medic¸o˜es, fez-se um gra´fico F
versus ∆L, para cada situac¸a˜o das molas, po-
dendo enta˜o determinar graficamente as cons-
tantes K para cada situac¸a˜o. Logo em seguida,
foram determinados as constantes ela´sticas equi-
valentes das molas em se´rie e paralelo e o erro
percentual para cada uma.
3 Resultadose ana´lise
Com base nessas medic¸o˜es foi realizado o expe-
rimento de quatro formas diferentes, sendo elas
denominadas de e1, e2, e3, e4, sendo e1 o experi-
mento da mola M1, e2 o experimento com a mola
M2, e3 a associac¸a˜o em se´rie das duas molas e e4
3
a associac¸a˜o em paralelo das molas, para a ob-
tenc¸a˜o da constante ela´stica k da mola por meio
da equac¸a˜o 2. Com base nos resultados obtidos
foi confeccionado um gra´fico de F versus ∆L,
como a seguir:
Figura 4: Gra´fico
As constantes k das molas tambe´m foram obtidas
atrave´s do coeficiente angular obtido atrave´s do
MMQ de cada experimento no gra´fico, ficando
assim:
Tabela 5: Coeficientes Angulares
−k1(N/m) −k2(N/m) −k3(N/m) −k4(N/m)
19.983 21.520 10.165 38.754
Sabendo disso, podemos calcular o percentual de
erro do experimento, utilizando como base o ob-
tido atrave´s do primeiro me´todo, utilizando o va-
lor me´dio de k utilizando a seguinte fo´rmula:
∆ =
∣∣∣∣kf − kgMf
∣∣∣∣x100 (9)
sendo kf a constante ela´stica obtida pela fo´rmula
com o primeiro me´todo e kg a constante ela´stica
obtida atrave´s do coeficiente angular do gra´fico.
Assim temos que: ∆%1 = 5, 9%, ∆%2 = 2, 5%,
∆%3 = 3, 8%, ∆%4 = 10%.
4 Conclusa˜o
Neste experimento foi determinado o coeficiente
ela´stico de uma mola e de diferentes associac¸o˜es
de molas (em se´rie e paralelo), em que foi uti-
lizado como base teo´rica a Lei de Hooke, onde
diz que quando uma mola e´ esticada de uma
distaˆncia x, a partir da posic¸a˜o em que esta´
frouxa, verifica-se experimentalmente que a forc¸a
que ela exerce e´ dada por: F = −kx.
Verifica-se no entanto que ha´ um contraste entre
os valores das constantes ela´sticas k obtidas no
experimento (5,9%, 2,5%, 3,8% e 10%), que sa˜o
justificados por erros ao longo da pra´tica. Dada
as poss´ıveis fontes de erros, sendo o primeiro
deles um erro sistema´tico resultante da simpli-
ficac¸a˜o da teoria a fim de facilitar a ana´lise expe-
rimental. Nesse caso, foi desconsiderada a massa
do prato preso a` mola, da massa da pro´pria mola
e da diferenc¸a de comprimento da mola quando
a mesma esta´ na posic¸a˜o vertical ou horizon-
tal. Sendo que, quando a mola utilizada esta´
na posic¸a˜o horizontal seu comprimento ∆L pos-
sui um valor diferente de quando esta mesma
mola e´ colocada na posic¸a˜o vertical; este com-
primento sofre uma deformac¸a˜o gerada pelo peso
da pro´pria mola.
Outros aspectos que podem ter impactado no re-
sultado final sa˜o os erros observacionais, de para-
laxe, ou ate´ mesmo instrumentais (falta de pre-
cisa˜o e incertezas na medic¸a˜o).
Ademais, o experimento mostrou-se coerente
com a teoria em aˆmbitos emp´ıricos e teo´ricos e
satisfez o objetivo.
Refereˆncias
[1] Fundamentos de F´ısica - Mecaˆnica, Volume
1, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, (10a
edic¸a˜o, 2016).
[2] F´ısica Para Cientistas e Engenheiros, Vo-
lume 1, P. Tipler, G. Mosca, (6a edic¸a˜o,
2009).
4