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unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE ENGENHARIA PONTES DE CONCRETO Notas de aulas Prof. Yzumi Taguti 2002 1. 1 ÍNDICE páginas Capítulo I -Critérios de avaliação e bibliografia do curso ........................................... 1.2 Capítulo II - Introdução ao curso de pontes................................................................... 2.1 Capítulo III - Elementos de Projetos ........................................................................... 3.1 Capítulo IV - Cargas em Pontes...................................................................................... 4.1 Capítulo V - Exemplo de Pontes em Vigas Independentes ........................................... 5.1 Capítulo VI - Cálculo das Vigas Principais .................................................................... 6.1 Capítulo VII - Cálculo das Transversinas ........................................................................ 7.1 Capítulo VIII - Cálculo das Lajes ...................................................................................... 8.1 Capítulo IX - Cálculo dos Pilares ................................................................................... 9.1 1. 1 CAPÍTULO I (2002) CURSO DE PONTES E CONCRETO PROTENDIDO AVALIAÇÃO � � � � � = = = = testesde notas melhores 05 das MédiaMT MT a e Provas 4 as entre notas melhores 4 das MédiaMP entoaproveitam de NotaNA MPNA Pontes: 2 provas e 3 testes Protendido: 2 provas e 3 testes Calendário de Pontes: a) provas : P1 ; P2 ; 1a. época: ; 2a. época: b) testes : T1 ; T2 ; T3 Calendário de Protendido: a) provas : P3 ; P4 ; 1a. época: ; 2a. época: b) testes : T4 ; T5 ; T6 Bibliografia Normas: NBR-7188 - Carga móvel em pontes rodoviárias e passarelas de pedestres - 1984. NBR-7189 - Carga móvel em pontes ferroviárias - 1985 NBR-6118 - Projeto e execução de obras de concreto armado - 1978 NBR-7187 - Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido - 1986 (revisão) NBR-8681 - Ações e segurança nas estruturas - 1984 Livros: -LEONHARDT, F. Construções de concreto, vol 6 1979 -PFEIL, N. Pontes de concreto armado, 2v. 1979 -O'CONNOR C. Pontes, 2 vol, 1975 -MASON, J. Pontes em concreto armado e protendido 1977 Apostilas: -EL DEBS, M.K. & TAREYA, T. Pontes de concreto - notas de aula - 5 fascículos - EESC-USP-1990. -MARTINELLI, D.A.D. Pontes de concreto - EESC-USP-1971. -FREITAS, M. Introdução Geral. Pontes - EPUSP-1981 -BERNARDO, GRAULO - Pontes - Grêmio Politécnico-1980. -HANAI, J.B. - Fundamentos do Concreto Protendido - Notas de Aulas, EESC- USP, 1991 2.1 CAPÍTULO II (2002) 2. CONCEITOS GERAIS 2.1. Definições Ponte: obra necessária para manter a continuidade de uma via qualquer, através de um obstáculo natural ou artificial. PONTE, VIADUTO, GALERIA, PASSARELAS 2.2. Requisitos a) Funcionalidade . permitir tráfego atual com previsões para seu incremento. . escoamento das águas sob ponte com o mínimo de perturbação. b) Segurança . considerar as tensões, deformações e duração. c) Estética . atender a boa aparência sem criar grandes contrastes com o ambiente. d) Economia . objetivo da engenharia, apresentar uma solução de menor custo. 2.3. Elementos Constituintes • Superestrutura � � � estrutura principal estrutura secundária • Aparelhos de apoios • Infra-estrutura � � � suportes { fundações pPilares eEncontros a) Superestrutura: elemento suporte direto ( ver Fig. 2.1) .Estrutura principal: - função de vencer o vão livre - recebe as cargas que atuam na ponte Ex: vigas, lajes, pórticos, arcos, pênseis estaiadas .Estrutura secundária: .Recebe a ação direta das cargas e a transmite à estrutura principal Ex: tabuleiro, pendurais, tímpanos, passeios 2.2 b) Aparelhos de apoio . Elementos colocados entre a infra e a superestrutura. Transmite reações de apoio e permite determinados movimentos da superestrutura. Fixo e móvel. viaduto de acesso ponte viaduto de acesso aparelhos de apoio superestrutura infra-estrutura aterro encontro pilar fundação aterro VISTA LONGITUDINAL (infra e superestrutura) . . .. . .. . . . . . . ... . . . defensa guarda-corpo transversina longarina viga principal passeioestrado = laje superfície de rolamento CORTE TRANSVERSAL (superestrutura) Fig. 2.1 - Elementos constituintes de uma ponte laje em balanço N.A. aterro aterro pista de rolamento L l l l l h h 1 2 3 5 4 l c l Fig. 2.2 - Elementos geométricos de uma ponte c) Infra-estrutura . Recebe as cargas e as transmite ao solo 2.3 Fundações - tem por finalidade transmitir ao solo as reações provenientes dos diversos carregamentos da ponte. 2.4. Elementos Geométricos ( ver Fig. 2.2 ) 2.5. Sistema Estrutural a) Isostática ou Hiperestática (estr. principal) Vigas � � � � � - Simplesmente apoiada - Contínua - Gerber c / balanço s / balanço � � � − Lajes � � � � � - Simplesmente apoiada - Contínua - Em pórtico c / balanço s / balanço � � � −−−− - Pórtico - Arcos e abóbodas - Pontes com sustentação por cabos{pênseisestaiadas b) Seção Transversal - Lajes � � � - maciça - atá 15m - vazada - protendida até 35m 2.4 - fácil execução formas e montagem das armaduras - peso próprio elevado - Viga � � � - aberta { - vigas - grelha −−−> tabuleiro solidário - celular láminas solidárias e rígido à torção−−−> - treliça (metálica) 3.1 CAPÍTULO III (2002) 3. ELEMENTOS NECESSÁRIOS PARA A ELABORAÇÃO DO PROJETO DE UMA PONTE 3.1. Introdução A elaboração de um projeto de pontes envolve o conhecimento de uma série de dados sobre as particularidades locais, tais como, condições topográficas, hidrológicas e geotécnicas. Tais informações são fundamentais no processo de escolha do local de colocação dos pontos, as quais devem respeitar algumas normas gerais. Estas visam: a) alcançar o menor custo para a obra b) obter condições de boas fundações c) não interferir no regime líquido ou, se preciso, alterar o mínimo possível d) travessia perpendicular ao eixo do rio e sem pilares intermediários e) escolher o local de modo que o rio tenha a menor largura 3.2 - Fases principais para a elaboração do Projeto Projeto de uma ponte é um conjunto de estudos, cálculos e gráficos que permitem definir, justificar e construir uma ponte: definir, quanto ao sistema estático e materiais a empregar; justificar, quanto às dimensões adotadas para o vão, outras partes da estrutura e o custo; construir, de acordo com os detalhes gráficos e especificaçõesdo memorial descritivo. As fases, em geral, dos projetos são as seguintes: a) Estudos preliminares Fundamentados nos estudos geológicos, hidrológicos e topográficos, definem-se o vão da ponte e sua localização. b) Ante-projeto Aqui são formuladas as várias soluções técnicas que permitam respeitar as condições indicadas nos estudos preliminares. Estas soluções são acompanhadas de orçamento estimativo e do tempo necessário para a execução. Nesta fase a experiência, o conhecimento de outras obras e a intuição profissional do projetista exercem significativa relevância. c) Projeto definitivo Entre os diversos ante-projetos procede-se a escolha daquele que melhor atenda os aspectos de economia, estética e execução. 3.3 Documentos de Projeto Em geral são os seguintes: a) Planta de situação do local da travessia, indicando as cidades ou regiões habitadas mais próximas (1:1000 a 1:2000); 3.2 b) Corte do conjunto estrada-ponte com escalas diferentes: alturas (1:100) e comprimentos (1:1000); c) Corte transversal indicando o sub-solo, com detalhes de sondagens; d) Elevação da ponte, podendo ser metade em vista e metade em corte longitudinal (1:50 a 1:100); e) Seções transversais da superestrutura e plantas das mesmas (1:20 a 1:50); f) Plantas e elevações da mesoestrutura e infra-estrutura; g) Detalhes de construção (plantas de forma, de ferragem etc.); h) Memorial descritivo acompanhado da parte de cálculos estáticos e hidráulicos etc.) i) Orçamento j) Projeto de execução 4.1 CAPÍTULO IV (2002) 4. CARGAS EM PONTES (NBR-8681; NBR-7188; NBR-7189) 4.1 INTRODUÇÃO Para a análise da resistência e da estabilidade de uma estrutura, em geral, necessitam-se: a) conhecer todas as forças que atuam ou poderão ser aplicadas na estrutura b) determinar as reações destas forças e verificar se resulta em equilíbrio estável c) determinar as tensões solicitantes e verificar se são admissíveis para o material que constitui a peça As cargas externas podem ser agrupadas em: * Ações permanentes * Ações variáveis * Ações excepcionais 4.2 AÇÕES PERMANENTES São aquelas que, uma vez, construída a ponte, mantêm-se atuantes. 4.2.1 Peso próprio - peso próprio dos elementos estruturais - peso próprio dos elementos, tais como, pavimentação, passeios, guarda-corpo, trilhos, lastros etc. O peso próprio dos elementos estruturais é avaliado em função do material a empregar, por meio de fórmulas empíricas, pela observação de estruturas anteriormente projetadas. Este procedimento é conhecido por PRÉ-DIMENSIONAMENTO. As variações entre o peso próprio no dimensionamento final e aquele do pré- dimensionamento, de acordo com a norma brasileira, são as seguintes: Aço ............ 3% Concreto ........... 5% Madeira ............10% 4.2.2) EMPUXOS DE TERRA E ÁGUA - Empuxo de terra Determinados conforme os princípios da Mecânica dos solos. • ≥ ≤ � � � �� solo úmido peso específico 18kN / m ângulo de atrito interno 30 3 o • Considerar os empuxos ativos e de repouso nas situações mais desfavoráveis e o empuxo passivo quando sua ocorrência for garantida ao longo da vida útil da obra. 4.2 - Empuxo da água • estudo dos níveis máximo e mínimo do curso d'água e do lençol freático • empuxo d'água é considerado se não houver sistema de drenos adequados. 4.2.3 FORÇA DE PROTENSÃO Consideradas de acordo com a NBR 7197 relativo às obras de concreto protendido. 4.2.4 DEFORMAÇÕES IMPOSTAS a) ⋅ ⋅ Fluência (deformação lenta) b) Retração de concreto protendido, por causarperdas de protenção - NBR 7197 Importantes em concreto - estruturas isostáticas - permitem a deformação - estruturas hiperestáticas - acréscimos de tensões devido ao impedimento das deformações c) Deslocamentos de apoio (recalques) É um dos critérios para a escolha do sistema estrutural. Quando são previstos recalques excessivos, evita-se estruturas hiperestáticas. 4.3 AÇÕES VARIÁVEIS São as que ocorrem com valores que apresentam variações significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. 4.3.1 FORÇA CENTRÍFUGA Ocorrência - pontes de eixo curvo, através do atrito das rodas com o pavimento. C = força centrífuga para cada eixo do veículo C Mv R = 2 R = raio de curvatura do eixo da estrada v = Velocidade do veículo M = massa do veículo C Qv R = 0 0077 2, onde, Q = peso do veículo (kN) v = km/h R = m Na prática admite-se, segundo a NBR-7187, as seguintes forças centrífugas, uniformemente distribuída: a) pontes rodoviárias C = 0,25 do peso do veículo-tipo para R ≤ 300 m. C = R 75 do peso do veículo-tipo para R > 300 m. C atua na superfície de rolamento. b) pontes ferroviárias - bitola larga (1,60 m) C = 0,15 da carga móvel para R ≤ 1200 m 4.3 C = 180 R da carga móvel apara > 1200 m - bitola estreita (1,0 m) C = 0,10 da carga móvel para R ≤ 750 m C = R 75 da carga móvel para R > 750 m C atua no centro de gravidade do trem (suposto 1,60 m acima do topo do trilho). C C M e M = C . e seção transversal força C transferida ao C.G. da seção Fig. 4.1 - Efeitos da força centrífuga Efeito da força centrífuga sobre a ponte - no caso, haverá aumento de solicitação nas vigas à direita da seção, e uma diminuição nas vigas situadas à esquerda. • solicitação vertical é pequena, exceto para estruturas leves. • solicitação horizontal requer contraventamento lateral, dada pela laje ou tabuleiro. 4.3.2 IMPACTO LATERAL Surge apenas nas pontes ferroviárias devido à folga entre o friso das rodas e o boleto do trilho. I = 20% da carga do eixo mais pesado. Carga concentrada contra o topo do trilho na situação mais desfavorável. 4.3.3 EFEITO DA FRENAGEM E DA ACELERAÇÃO • São forças horizontais ao longo do eixo da ponte. • Flexão na infra-estrutura • Fração das cargas móveis pontes rodoviárias (o maior dos dois) 5% do carregamento total móvel na pista de rolamento 30% do peso do veículo - tipo � � � �� pontes ferroviárias (o maior dos dois) 15% de carga móvel para a frenagem 25% do peso dos eixos motores p / a aceleração � � � 4.3.4 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (NBR 7187 - pág. 9) variação uniforme C15ot ±=∆ α = 10-5/oC - coeficiente de dilatação térmica efeitos uniforme → → � � � alteração dos comprimentos dos elementos variação ao longo da altura da seção flexão 4.4 4.3.5 AÇÃO DO VENTO (NBR 6123) A ação do vento é traduzida por carga uniformemente distribuída horizontal, normal ao eixo da ponte. Duas situações ponte descarregada p = 1,5 / m ponte carregada p = 1,0 kN / m pontes p = 0,7 kN / m passarelas 2 2 2 → → � � � �� kN No caso de ponte de laje dispensa-se a consideração da ação do vento, pois, a área exposta é pequena e por haver grande rigidez à ação horizontal. Área de atuação do vento egada projeção da estrutura sobre plano normal à ação do vento ponte carregada Aquela projeção é acresc ida de umafaixa limitada superiorm linha paralela ao estrado, distante da superfície de rolamento de 3,50m, 2,00m, 1,70m, respectivamente, para pontes ferroviárias, rodoviárias e pe - destres ponte carr ente por → → � � � � � PRESSÃO DO VENTO SOBRE PONTES - NBR 6123 (ver Fig.4.2 ) PRESSÃO DE VENTO SOBRE PONTES . NBR 6123 . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . a) b) c) d) e) Fig. 4.2 - Pressão de vento sobre pontes, segundo a NB2, para vigas de alma cheia : a) ponte rodoviária descarregada ; b) ponte rodoviária carregada ; c) passarela de pedestres, carregada ; d) ponte ferroviária descarregada ; e) ponte ferroviária carregada. 3,50m 0,7 kN/m2 1,0 kN/m2 1,5 kN/m2 1,0 kN/m2 1,5 kN/m2 2,00 m 1,70 m 4.5 4.3.6 - EMPUXO DE TERRA PROVOCADO POR CARGAS MÓVEIS A passagem de um veículo sobre um aterro, vizinho à entrada da ponte, produz, na superfície vertical de encontros e cortinas, uma pressão lateral uniforme, dada por Ka. q , produzindo um empuxo: ( ) E K qbh q q q q a v p p = = + − ; . , . ,3 0 3 0� � onde, p� = largura da ponte Ka = coeficiente de empuxo ativo qv = carga uniformemente distribuída, resultante da divisão do peso total do veículo-tipo pela área (3 x 6 m2) b,h = dimensões da cortina ou encontro q = cargas dos demais veículos 3,0m p q qqv Fig. 4.3 - Esquema para o cálculo da carga q equivalente � q qKa. h encontro q qKa. h cortina Fig. 4.4 - Empuxo de terra provocado por cargas móveis 4.3.7 PRESSÃO D'ÁGUA EM MOVIMENTO (NBR - 7187 - pág. 13) Esta solicitação deve ser considerada em pilares e elementos de fundação. q = K .v2 onde, q = pressão estática equivalente em kN/m2 v = velocidade da água em m/s K = é um coeficiente dimensional determinado experimentalmente 4.6 45 o direção de fluxo K = 0,34 K = 0,71 K = 0,54 Fig. 4.5 - Coeficiente de fluxo d'água 4.3.8 CARGAS DE CONSTRUÇÃO Equipamentos e estruturas provisórias de montagem e lançamento de elementos estruturais. 4.3.9 AÇÕES EXCEPCIONAIS São ações de curta duração e baixa probabilidade de ocorrência: choque de veículos contra elementos estruturais, explosões, enchentes, sismos etc. 4.3.10 CARGAS MÓVEIS 4.3.10.1 - INTRODUÇÃO A transposição de obstáculos pelos veículos é a função principal das pontes ou dos viadutos. Como se sabe, existem vários tipos de veículos transitando nas estradas. Por motivos econômicos, as pontes são construídas para determinadas classes de veículos. Fica a critério dos órgãos governamentais, fundamentadas em dados sobre a circulação de veículos, a escolha da classe das pontes. Para cada classe de ponte, esses mesmos órgãos estabelecem cargas máximas por eixo, na chamada "lei da balança". A ABNT fixa as cargas móveis a serem consideradas no cálculo de pontes, por meio das seguintes normas: Pontes rodoviárias NBR 7188 Pontes ferroviárias NBR 7189 4.3.10.2 - PONTES RODOVIÁRIAS ( Ver Figs. 4.6 e 4.7) Segundo a NBR-7188 as cargas de veículos utilizadas no cálculo de pontes são de três classes: classe 45 . veículo-tipo de três eixos com peso total de 450 kN, sendo 150 kN por eixo. . carga uniformemente distribuída em toda a pista de rolamento, inclusive no acostamento, e exceto na área ocupada pelo veículo-tipo igual a q = 5kN/m2 classe 30 . veículo-tipo de três eixos com peso total de 300 kN, sendo 100 kN por eixo. . carga uniformemente distribuída q = 5 kN/m2 classe 12 . veículo-tipo de dois eixos, com peso total de 120kN, sendo 40 kN para o eixo dianteiro e 80 kN para o eixo traseiro. . carga uniformemente distribuída q = 4 kN/m2 OBS.: . Todos os veículos tipos têm 3m de largura e 6m de comprimento . O conjunto das cargas do veículo-tipo e a carga "q" é denominada TREM-TIPO. 4.7 . Nos passeios das pontes considera-se uma carga uniformemente distribuída q' = 3 KN/m2, relativos a multidão, desde que essa carga produza efeitos desfavoráveis no elemento estudado. IMPORTANTE - O veículo tipo, q e q' serão colocados na posição mais desfavorável para o cálculo do elemento estrutural, não considerando a porção do carregamennto que provoque redução das solicitações veículo-tipo 2 ou 3 eixos 6,0 m 3,0 m 6,0 m 3,0 m q q q qA A PLANTA o o o qq cargas por eixo do veículo-tipo CORTE A-A Fig. 4.6 - Trem - tipo de ponte rodoviária 1,50 1,50 m1,50 m1,50 m 2,0m 0,5m 0,5m 6,0 m 3,0 m 0,2 m 0,2 m 0,2 m 150 kN 100 kN 150 kN 100 kN 150 kN 100 kN ( classe 45 ) ( classe 30 ) 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 40 kN 80 kN 2,0m 0,5m 0,5m 6,0 m 3,0 m 0,2 m 0,2 m 0,2 m 1,5 m 3,0 m 1,5 m 0,2 0,3 m 0,3 m0,2 ( classe 12 ) Fig. 4.7 - Veículo- tipo rodoviário - NBR - 7188 b b ; b = 0,50m ; b = 0,40m CARGAS RODOVIÁRIAS EXCEPCIONAIS São constituídas por carretas de grandes dimensões, destinadas a transportes de turbina, transformadores, e os caminhões "fora de estradas" com cargas totais entre 1000 kN a 2000 kN. (ver exemplos em PFEIL - VOL.1) 4.3.10.3 - PONTES FERROVIÁRIAS ( Ver Fig. 4.8) A norma NBR-7189 estabelece quatro classes de trens brasileiros: 4.8 TB 360 - Ferrovias para transportes de minérios ou equivalentes (cimento areia) TB 270 - Ferrovias para transportes de cargas em geral TB 240 - adotado para verificação e projeto de reforço de obras existentes TB 170 - Ferrovias para transportes de passageiros em regiões urbanas ou suburbanas. Q Q Q Q q' q q q' a b c b a Q = carga por eixo da locomotiva q e q' = cargas dos vagões carregados e descarregados, respectivamente Fig. 4.8 - Trem- tipo ferroviário CARACTERÍSTICAS DAS CARGAS FERROVIÁRIAS TB Q (kN) q (kN/m) q' (kN/m) a (m) b (m) c (m) 360 360 120 20 1,00 2,00 2,00 270 270 90 15 1,00 2,00 2,00 240 240 80 15 1,00 2,00 2,00 170 170 25 15 11,00 2,50 5,00 4.3.10.4 PASSARELAS Carga uniformemente distribuída q = 5 kN/m2 4.3.10.5 - COEFICIENTE DE IMPACTO φ ( Efeito dinâmico das cargas móveis) O deslocamento das cargas ao longo de uma estrutura produz oscilações desfavoráveis à sua estabilidade. As causas, em geral, são as irregularidades das pistas e a aplicação bruscas das cargas. Embora, a análise dos efeitos deva ser feita pela teoria da dinâmica das estruturas, permite-se majorar as cargas móveis, através do coeficiente de impacto, e considerá-las como se fossem aplicadas estaticamente. A NBR 7187 adota as seguintes expressões empíricas do coeficiente de impacto: Pontes rodoviárias φ = − ≥1 4 0 007 1 0, , ,� �com em metros para φ =1, tem-se � =57m Pontes ferroviárias ( )φ = − + ≥0 001 1600 60 2 25 1 2, , ,� � �com em metros p/ φ = 1,2, tem-se � = 169 m onde: 4.9 a) viga simplesmente apoiada � = vão teórico b) viga contínua Se xmá nmí �� 70,0≥ , então, usa-se a média dos comprimentos dos tramos, caso contrário, � = vão teórico de cada tramo l l l l l1 2 3 4 5 Fig. 4.9 - Fixação do vão " l " , relativo ao coeficiente φφφφ ,,,, para vigas contínuas51,�� = vãos teóricos dos balanços 42a�� = vãos teóricos dos tramos internos c) vigas em balanço � = o dobro do vão teórico do balanço d) lajes com vínculos nos quatro lados � = menor vão teórico, a favor da segurança O coeficiente de impacto é desconsiderado nos seguintes casos: - Nos passeios - Nos cálculos das fundações - Empuxo de terra provocado por cargas móveis - maciço atenua os efeitos dinâmicos 4.4 COMBINAÇÃO DAS AÇÕES 4.4.1 INTRODUÇÃO Um conjunto de ações atuando sobre uma estrutura, em geral, tem probabilidade não desprezível de atuarem simultaneamente, durante o período de sua vida útil. A fim de que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura, aquelas ações devem ser combinadas corretamente. Segundo a NBR 8681, consideram-se, para as combinações últimas, os seguintes critérios: a) Ações permanentes Devem figurar em todas as combinações b) Ações variáveis Em cada combinação última, uma das ações variáveis é considerada como a principal, admitindo-se que ela atue com seu valor característico FK; as demais ações variáveis são consideradas como secundárias, admitindo-se que elas atuam com seus valores reduzidos de combinação 0Ψ FK. 4.10 A verificação da segurança é feita considerando-se as seguintes combinações: Estado limite último (ELU) : Combinações últimas das açoes Estado limite de utilização : Combinações de utilização 4.4.2 - COMBINAÇÕES ÚLTIMAS DAS AÇÕES Para as combinações últimas normais, o valor de cálculo vale: � � = = ψ+γ+γ= m 1i n 2j k,Qjj0k,1Qqk,Gigid )F.F(F.F onde, FGi,k = valores característicos das ações permanentes. k1QF = valor característico da ação variável admitida como principal. ojψ QjkF = valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis qgi , γγ = coeficientes de ponderação, respectivamente, das ações permanentes e das ações variáveis 4.4.2.1 COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS COMBINAÇÕES ÚLTIMAS NORMAIS a) Para as ações permanentes formadas pelos pesos próprios • Peso da estrutura < 75% do peso total permanente γg = 1,4 para efeitos desfavoráveis γg = 0,9 para efeitos favoráveis • Peso da estrutura > 75% do peso total permanente (situação mais comum em pontes) γg = 1,3 para efeitos desfavoráveis γg = 1,0 para efeitos favoráveis b) Para as ações permanentes formadas pelas deformações impostas (recalque de apoio, retração, fluência) γ γεg = = 1,2 para efeitos desfavoráveis γ γεg = = 1,0 para efeitos favoráveis c) Para as ações variáveis cargas móveis : γq = 1,4 4.11 efeitos de temperatura: γ γ εq = = 1,20 4.4.2.2 - FATORES DE COMBINAÇÃO • pontes de pedestres: ψo = 0,4 • pontes rodoviárias : ψo = 0,6 • pontes ferroviárias : ψo = 0,8 OBS.: Nos casos particulares de combinações últimas excepcionais, especiais ou de construção, a norma NBR 8681 fornece outros valores de 4.4.3 COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO 4.4.3.1 - INTRODUÇÃO Nestas combinações não se consideram os coeficientes de majoração γ γ γεg q e, , retratando-se, com estas providências, as condições reais de utilização da obra. Os itens 1.1 e 1.2 do anexo da NBR 6118 estabelecem uma combinação de utilização para cada verificação do estado limite de utilização, tais como: a) Para verificação do estado limite de fissuração (abertura de fissuras) - Combinação frequente de utilização. b) Para verificação de estado limite de formação de fissuras - Combinação rara de utilização. c) Para verificação de estado limite de deformação excessiva (flecha) - Combinação quase- permanente de utilização. 4.4.3.2 COMBINAÇÕES QUASE-PERMANENTE (longa duração) DE UTILIZAÇÃO k,Qj n 1j j2 m 1i k,Giuti,d FFF �� == ψ+= 4.4.3.3 COMBINAÇÕES FREQÜENTES (QUE SE REPETEM MUITAS VEZES) DE UTILIZAÇÃO k,Qj n 2j j2k,1Q1 m 1i k,Giuti,d FFFF �� == ψ+ψ+= 4.4.3.4 COMBINAÇÕES RARAS DE UTILIZAÇÃO k,Qj n 2j j2k,1Q m 1i k,Giuti,d FFFF �� == ψ++= onde, os valores dos fatores de combinações são os seguintes: 4.12 pontes de pedestres 2,0e3,0 21 =ψ=ψ pontes rodoviárias 2,0e4,0 21 =ψ=ψ pontes ferroviárias 40e60 21 ,, =ψ=ψ OBS.: Os fatores de combinação ψ ψ ψo e, 1 2 levam em conta que é muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de natureza diferentes. 5.1 CAPÍTULO V (2002) EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS ROTEIRO DE CÁLCULO I - DADOS Ponte rodoviária. classe 45 (NBR-7188) Planta, corte e vista longitudinal (Anexo) Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura Concreto : fck = 18 MPa Aço : CA-50 Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3 concreto armado : 25 kN/m3 pavimentação : 24 kN/m3 recapeamento : 2 kN/m2 Viga principal - pré-dimensionamento : valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971) tipo de ponte concreto armado concreto protendido pedestres 15 a 20 20 a 25 rodoviária 10 a 15 15 a 20 ferroviária 8 a 10 10 a 15 II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g) 1.1 - Cálculo da carga permanente g 1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g 1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g 1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g 2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q) 2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal 2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q 2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q 2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q 3- Esforços totais 3.1 - Momentos fletores extremos 3.2 - Esforços cortantes extremos 3.3 - Reações de apoio extremas 4- Dimensionamento das armaduras 4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção 4.2 - Cálculo da armadura de flexão 4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento 4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão 4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento III - CÁLCULO DAS TRANSVERSINAS IV - CÁLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO 5.2 V - CÁLCULO DA INFRA-ESTRUTURA VI – ANEXO 5.3 Corte e Vista longitudinal da ponte 5.4 Seção Transversal no apoio e no meio do vão 5.5 Vista inferior e Locação da Fundação 5.6 DADOS DO PROJETO DE PONTES (2007) [cm] GRUPOS 1a. N O T A 2a. N O T A 3a. N O T A 4a. N O T A C L A S S E L1 L2 L3 L4 L5 L6 �a � b �c h1 h2 h3 h4h5 h6 b1 b2 b3 b4 b5 D1 D2 D3 hp1 hp2 0 - Aulas-Apostila 45 1300 610 330 350 250 600 250 500 1000 80 25 225 225 200 120 40 100 30 50 25 100 140 300 500 700 I- 12 700 310 150 165 105 270 140 300 400 60 15 80 50 35 40 30 40 25 30 15 60 100 200 540 600 II- 30 1000 460 260 275 215 490 160 315 450 60 16 80 60 44 50 30 50 25 30 15 65 80 200 580 700 III- 12 750 335 200 212 147 359 150 340 600 62 16 100 65 49 50 24 50 28 30 16 65 80 210 640 900 IV- 30 1030 475 275 289 219 508 170 350 650 64 17 110 70 53 60 28 60 24 30 16 70 90 240 660 850 V- 12 800 360 210 223 173 396 160 350 750 68 19 130 80 61 60 26 65 22 36 18 50 100 250 700 400 VI 30 1050 485 250 263 208 471 180 360 800 70 20 140 85 65 70 26 70 22 36 18 55 110 260 720 450 VII- 12 820 370 200 214 160 374 180 380 900 70 22 160 100 78 70 28 70 24 38 22 54 130 280 760 600 VIII- 30 1080 500 300 316 256 572 200 390 950 72 23 170 110 87 80 32 75 25 38 23 60 140 290 780 650 IX- 12 860 390 240 255 193 448 190 410 1080 72 24 190 130 106 80 30 75 25 40 21 62 100 250 820 950 X- 30 1120 520 320 335 267 602 210 420 1100 74 26 200 140 114 90 30 80 26 42 23 68 140 280 840 920 XI- 12 900 410 260 277 211 488 200 440 1150 80 26 215 150 124 90 34 80 28 42 23 66 90 210 880 700 XII- 30 1150 535 280 298 224 522 220 450 1200 82 27 205 160 133 100 36 85 29 44 24 74 110 230 900 720 XIII- 12 940 430 270 288 208 496 210 470 1300 82 27 200 170 143 100 36 85 31 44 25 80 100 240 940 600 XIV- 30 1180 550 330 349 267 616 230 480 1320 84 28 235 180 152 110 38 90 32 46 26 82 110 260 960 550 XV- 12 960 440 290 309 219 528 220 500 1300 86 29 235 190 161 110 38 90 32 46 26 90 120 270 1000 450 XVI- 30 1200 560 340 359 264 623 240 510 1300 88 30 240 210 180 130 38 95 33 48 27 95 130 280 1040 650 onde, a) hp1 e hp2 são, respectivamente, as alturas dos pilares 1 e 2 b) h3 = altura da viga principal = distância da face superior da laje até a face inferior da viga c) h4 = altura da transversina = distância da face superior da laje até a face inferior da transversina d) h2 = espessura da laje e) h5 = h4 - h2 f) os aparelhos de apoio dos pilares 1 e 2 são, respectivamente, de neoprene e de Freyssinet g) as demais dimensões estão indicadas na planta, cortes e vista longitudinal 6.1 CAPÍTULO VI (2002) 6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos de cálculo: Seções transversais monolíticas Esquemas de cálculo das vigas principais a laje vigas P c laje vigas P transversina b laje vigas P transversina P I vigas independentes II grelhas ααααP (1−α)(1−α)(1−α)(1−α) P d P P III seção celular P. e e e simplificação satisfatória simplificação menos satisfatória Fig. 6.1 - Esquemas de cálculo das vigas principais Obs.: NBR-6118 - seções transversais com três ou mais vigas principais devem ser calculadas como grelha. 6.2 6.2 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 6.2.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuída, igualmente para cada viga, inclusive o peso próprio das transversinas. Somente o peso próprio da cortina será considerado como concentrado na extremidade da viga, porém, sem o momento fletor correspondente. 6.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS Os esforços serão obtidos através de cálculo como vigas independentes. P Pp' p' 1 2 ηηηη 1 A LI de R 1(reação da viga ) Fig. 6.2 - Esquema de cálculo - como vigas independentes 11 R = P. + p'. Aηηηη 1 R = P . + p' . Aηηηη (parcelas das cargas P e p' suportadas pela viga 1 ) As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem às cargas Pη + p'A sobre um determinado ponto da viga 1 . Considerando-se todas as seções transversais, ao longo da ponte, obtêm-se todas as cargas sobre a viga 1 , correspondentes àquelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse carregamento obtido sobre a viga 1 é denominado TREM-TIPO da viga principal. 6.3 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS + + + + + + φ q φ q φ q q' q' φφ Q qφ Q φ q q' q' A A AAA A 12 3 4 5 6 . .. . . . . . 1 y y21 Q Q Q q q q 2 1 2 1 1 1 TREM-TIPO DA VIGA V A A B B C C V V21 1 (devido à simetria o trem-tipo da viga V2 é igual ao da V1) PLANTA SEÇÃO TRANSVERSAL CORTE A-A = CORTE C-C CORTE B-B LINHA DE INFLUÊNCIA ( LI ) DOS QUINHÕES DE CARGA SOBRE A VIGA V1 Q1 = Qφ Qφ Qφ Qφ ( y1 y2+ ) q1 q2 φ φ = = q q ( A1 + q' A6 A2 A3 A4 A5A1 + + + ) + q' ( + A6 ) Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das vigas principais OBS. Para se obterem os máximos valores de Q q e q1 1 2, , observando a LI, deve-se colocar o veículo-tipo tão próximo quanto possível da viga 1 . 6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 6.4 Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, através das linhas de influências, os valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes ( M e V) Exemplo: Extremos de Mc C Q1Q1Q1 q1 q2 Q1 Q1 Q1 q1 q2 q2 1 - + - C LI de Mc Posição do trem- tipo para o cálculo de Posição do trem- tipo para o cálculo de Viga principal V 1 ( Mc,mín = máximo momento fletor negativo na seção C) ( Mc,máx = máximo momento fletor positivo na seção C) Fig.6.4 - Linha de influência do momento fletor na seção C e as posições do trem- 6.3 ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS São os valores máximos e mínimos dos esforços em cada seção transversal da viga. Esses valores são determinados pela combinação das cargas permanentes e móveis. O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-se: L = 26 m vão dividido em 10 partes Recomenda-se : 5 seções para vão L entre 5 e 10 m 10 seções para vão L entre 20 e 30 m Fig. 6.5 - Número de seções para cada tramo da viga 6.4 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUÇÃO DO PROJETO (Dados referentes ao grupo "0") 6.5 6.4.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE 6.4.1.1 Cálculo das cargas permanentes - Peso próprio de meia seção transversal 2 1 6 3 4 540 40 15 5 15 5 15 40 260 cm 40 80 230 cmcm 12 25 200 cm 10 cm Fig. 6.6 - Seção transversal da ponte 5 cm elemento descrição peso / m 1 alma da viga : 0,40x2,25x25 22,50 2 laje interna : 0,25x3,10x25 19,37 3 mísula : 0 10 0 80 2 25 , ,x x 1,00 4 laje em balanço : 0 15 0 35 2 3 00 25 , , , ++++ x x 18,75 5 defensa : 0,225x40,0x 2 25,015,0 25,325x40,0x 2 25,040,0 = + = + 5,25 6 pavimentação : 0 05 0 12 2 6 10 24 12 44, , , ,++++ ====x x recapeamento : 6,10x2,00 = 12,2 24,64 7 alargamento da alma : 5,0 m 0,40 0,602,0 m 0 60 5 0 2 2 0 4 30 25 10 0, , , ,x x x x ==== 10,0 6.6 � m/kN51,1011g == - Peso próprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m) 50 30 50 cm 200 10 25 cm cm laje já considerada Fig.6.7 - Seção transversal da transversina cm . , , , . alma: 0,30x2,00x3,10x25 = 45,5kN .mísula: 2 0,10x0,50 2 nos apoios: 0,30x2,00x0,60x25 = 9,00kN total = 3x50,37 - 2x9,00 = 133,11kN � � � � = � � � �x x kN kN descontos 310 25 3 87 50 37 5,0 m 0,40 0,60 2,0 m transversina viga principal Fig. 6.8 - Desconto nos apoios carga distribuída ao longo da viga g2 = = 13311 30 4 44, , /kN m -carga distribuída total m/kN95,105ggg 21 =+= - Peso próprio das cortinas 6.7 0,25 0,10 2,0 m 2,25 0,25 0,25 0,50 m 1,65 m 0,25 0,50 m 0,25 12,50 m 0,25 0,25 m laje já considerada Ala cortinaAla cortina Fig. 6.9 Dimensões das cortinas e alas ALA: 0 50 2 25 2 2 25 0 25 0 50 2 25 0 25 25 26 37, , , , , , , ,+ +� � � � =x x x x x kN CORTINA: 0 25 0 25 0 25 2 0 0 10 0 50 2 6 25 25 91 80, , , , , , , ,x x x x kN+ +� � � � = G = 26,37 + 91,80 = 118,17 kN carga concentrada nas extremidades dos balanços - CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais G = 118,17 kN G = 118,17 kNg = 105,95 kN/m 5,0 m 20,0 m 5,0 m Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal - Seções para cálculo dos esforços solicitantes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2,5 m 2,5 m 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,5 m2,5 m Fig. 6.11 - Fixação das seções ao longo da viga principal 6.4.1.2 - REAÇÕES DE APOIO Rg Rg kN2 12 1703 37= = , 6.8 6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg : (convenção: tração embaixo: positivo) - - + 627 1915 8 1475 2535 3170 3382 Mg [ kN . m ] Fig. 6.12 - Diagrama de M devido às cargas permanentes 6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (convenção: horário positivo) - - + 118 383 648 1060 848 636 424 212 + Vg [kN] Fig. 6.13 - Diagrama de V devido às cargas permanentes 0 6.4.2 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 6.4.2.1 - Obtenção do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15) Hipótese de cálculo: vigas independentes coeficiente de impacto: φ=1,4 - 0,007� no balanço : φ= 1,4 - 0,007(2x5) = 1,33 no vão central : φ= 1,4 - 0,007 x 20 = 1,26 6.9 φ q V V 21 SEÇÃO TRANSVERSAL CORTE A-A = CORTE C-C CORTE B-B LINH A DE INFLUÊNCIA ( LI ) + + 0,40 0,40 0,40 2,80 6,60 m 2,80 m 0,40 m + + + + + + 0,40 2,00 m 0,40 m veículo-tipo classe 45 ++ - . ... ... 0,97 (w x6,4) 1,00 (w x6,6) 1,35 (w x 8,9) 1,48 (w x 9,8) 0,48 w = 1 / 6,60 = (quinhão de carga para a viga V1 ) DA REAÇÃO DO APO IO 1 φ Q φ Q 1,05 (w x6,9)1,42 (w x 9,4) φ q 0,4 2,0 m 0,5 6,40 m0,5 9,40 m 3,20 m CARREG AM ENTO DO TAB ULEIROPLANTA - Q = 450 / 6 = 75A A B B C C 0,5 2,0 m 0,5 q = 5 kN/m 2 Fig. 6.15 - Esquema para o cálculo do TREM -TIPO da viga φ q 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m q = 5 kN/m 2 Q 1 Q 1 Q 1 q 2 q 1 q 2 TREM -TIPO 6,4 m 6,6 m 6,9 m 8,9 m 9,4 m 9,8 m 6.10 TREM-TIPO - VIGA PRINCIPAL Q1 Q1 Q1 q1 q2 q2 Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal Q kN CARGAS q kN m 1 → →1 / Balanço φ=1,33 vão central φ=1,26 Q x x1 75 1 35 1 05= +φ ( , , ) 239,40 226,80 q x x x1 5 0 97 6 40 2= φ ( , , ) 20,64 19,56 q x x x2 5 1 42 9 40 2= φ ( , , ) 44,38 42,05 6.4.2.2 REAÇÕES DE APOIOS Rq x x x x KN2 239 40 0 10 0 175 0 25 20 64 0 025 0 25 2 4 5 44 38 0 025 0 5 2 138 74 , , ( , , , ) , , , , , , , ,mín = − + + − +� � � � − � � � � = − A B5,0 m 20,0 m 5,0 m 0 1 2 12 13 147 q1 q2 Q1 Q1 Q1q2 Q1 Q1 Q1 q1 + - . . . . . . . . . 1,25 1,175 1,10 1,025 1,00 0,250,1750,10 0,025 1,5 1,5 1,5 0,50 m 0,50 m 1,5 1,5 1,520,0 m Linha de Influência da reação do apoio A ou da seção 2 , Posicionamento do TREM-TIPO para a obtenção da máxima reação do apoio A ou Posicionamento do TREM-TIPO para a obtenção da mínima reação do apoio A ou Viga principal Fig. 6.17 - Reações máxima e mínima da viga principal, causadas pelas cargas móveis R qA,máx R qA,mín da seção 2 , Rq2,máx= R q2,mín=da seção 2 , RA = R2 6.11 Rq x x x KN2 239 40 1 25 1175 110 20 64 1 025 1 25 2 4 5 42 05 1 025 20 5 2 1391 33 , , ( , , , ) , , , , , , , ,máx = + + + +� � � � + −� � � � = 6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,33 A B5,0 m 20,0 m 5,0 m 0 1 2 12 13 147 Viga principal . . 1,5 2,5 1,0 1 2.5 1,0 - Linha de influência do momento fletor da seção 1 , Mq1 Fig. 6.18 - Momentos fletores extremos, causados pelas cargas móveis Posicionamento do trem-tipo para o cálculo de Mq1,mín 239,4 kN 20,64 kN M x kN m M q mín q máx 1 1 239 4 2 5 1 0 20 64 2 5 2 5 2 902 40 0 , , , ( , , ) , ( , , ) , .==== −−−− ++++ −−−− ==== −−−− ==== Momentos fletores Mq (kNm) Seção Mq máx, Mq mín, 0 0 0 1/13 0 -902,40 2/12 0 -2.774,67 3/11 1.682,21 -2.552,68 4/10 2.952,74 -2.330,68 5/9 3.836,88 -2.108,69 6/8 4.397,61 -1.886,70 7/7 4.590,81 -1.664,71 6.4.2.4 - ESFORÇOS CORTANTES (Vq) 6.12 Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,33 A B5,0 m 20,0 m 5,0 m 0 1 2 12 13 147 Viga principal . . 1,5 2,5 1,0 1,0 Linha de influência do esforço cortante da seção 1 , q1 Fig. 6.19 - Esforços cortantes extremos, causados pelas cargas móveis Posicionamento do trem-tipo para o cálculo de V q1,mín 239,4 kN 20,64 kN/m - 1,0 V ESFORÇOS CORTANTES Vq (kN) Seção máx,qV mín,qV 0/-14 0 -239,40 1/-13 0 -530,40 2e/-12d 0 -833,27 2d/-12e 986,45 -138,74 3/-11 850,00 -142,94 4/-10 720,57 -155,15 5/-9 599,58 -199,70 6/-8 487,00 -287,06 7/7 382,82 -382,82 6.4.3 - ESFORÇOS TOTAIS (ver combinações de ações) O peso próprio da estrutura > 75% do peso próprio total, então, γ γ γ g = = = 1 3 1 0 1 4 , , , para efeitos desfavoráveis para efeitos favoráveisg q 6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CÁLCULO (Md) M Mg M M Mg M d g q q d g q q , , , , máx máx mín mín = + = + γ γ γ γ Exemplo: seção 1 Mg kN m M M kNmq q = − = = − � � � 626 0 0 902 4 , / ; , , ,máx mín 6.13 Md,máx = 1,3 (-626) + 1,4 x 0 = -813,8 kNm Md,mín = 1,3 (-626) + 1,4 (-902,4) = -2077,16 kNm MOMENTOS FLETORES DE CÁLCULO Md (kN.m) Seção Mg Mq máx, Mq mín, γ g γ q Md máx, γ g γ q Md mín, 0,14 0 0 0 - - 0 - - 0 1/13 -627 0 -902,40 1,3 - -815,10 1,3 1,4 -2078,46 2/12 -1915 0 -2774,67 1,3 - -2489,50 1,3 1,4 -6374,043/11 -8 1682,21 -2552,68 1,0 1,4 2347,09 1,3 1,4 -3584,15 4/10 1475 2952,74 -2330,68 1,3 1,4 6051,34 1,0 1,4 -1787,95 5/9 2535 3836,88 -2108,69 1,3 1,4 8667,13 1,0 1,4 -417,17 6/8 3170 4397,61 -1886,70 1,3 1,4 10277,65 1,0 1,4 528,62 7/7 3382 4590,81 -1664,71 1,3 1,4 10823,73 1,0 1,4 1051,41 6.4.3.2 - ESFORÇOS CORTANTES (Vd) V V V V V d g g q q g g q q , , , máx máx d,mín mínV = + = + γ γ γ γ ESFORÇOS CORTANTES DE CÁLCULO Vd (kN) Seção Vg Vq máx, Vq mín, γg γq Vd máx, γg γq Vd mín, 0 -118 0 -239,440 1,3 1,4 -153,40 1,3 1,4 -488,62 1 -383 0 -530,40 1,3 1,4 -497,90 1,3 1,4 -1240,46 2e -648 0 -833,27 1,3 1,4 -842,40 1,3 1,4 -2008,98 2d 1060 986,45 -138,74 1,3 1,4 2759,03 1,0 1,4 865,76 3 848 850,00 -142,94 1,3 1,4 2292,40 1,0 1,4 647,88 4 636 720,57 -155,15 1,3 1,4 1835,60 1,0 1,4 418,79 5 424 599,58 -199,70 1,3 1,4 1390,61 1,0 1,4 144,42 6 212 487,00 -287,06 1,3 1,4 957,40 1,0 1,4 -189,88 7 0 382,82 -382,82 1,3 1,4 535,95 1,3 1,4 -535,95 8 -212 287,06 -487,00 1,0 1,4 189,88 1,3 1,4 -957,40 9 -424 199,70 -599,58 1,0 1,4 -144,42 1,3 1,4 -1390,61 10 -636 155,15 -720,57 1,0 1,4 -418,79 1,3 1,4 -1835,60 11 -848 142,94 -850,00 1,0 1,4 -647,88 1,3 1,4 -2292,40 12e -1060 138,74 -986,45 1,0 1,4 -865,76 1,3 1,4 -2759,03 12d 648 833,27 0 1,3 1,4 2008,98 1,3 1,4 842,40 13 383 530,40 0 1,3 1,4 1240,46 1,3 1,4 497,90 14 118 239,40 0 1,3 1,4 488,56 1,3 1,4 153,40 6.4.3.3 - REAÇÕES DE APOIO (Rd) kN18,1513)744,138(4,142,1707x0,1 kN51,416733,1391x4,142,1707x3,1RdRd ,12,2 =−+== =+== nmí12,nmí2, xmáxmá RdRd 6.4.3.4 - ENVOLTÓRIAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES (Md e Vd) 6.14 - - + Md [ kN . m ] Fig. 6.20 - Envoltórias dos esforços solicitantes mínimos máximos máximos mínimos Vd [kN] 488,62 153,40 + + - - 1240,46 497,90 2008,98 842,40 865,76 2759,03 2292,40 1835,60 1390,61 647,58 418,79 144,42 189,88 535,95 957,40 1390,61 1835,60 2292,40 2759,03 865,76 647,58 189,88 418,79 144,42 535,95 153,40 488,56 1240,46 2008,98 842,40 497,90 815,10 2078,46 6374,04 2489,50 3584,15 1787,95 417,17 528,62 1051,41 10823,73 10277,65 8667,13 6051,34 2347,09 528,62 417,17 1787,95 3584,15 6374,04 2489,50 2078,46 815,10 2347,09 6051,34 8667,13 10277,65 6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS Nas regiões submetidas a momentos fletores positivos, tração na alma, as vigas ao se deformarem são acompanhadas pelas lajes. Portanto, as lajes coloboram na resistência aos esforços de compressão. Conseqüentemente, a seção resistente é a seção T. Segundo a NBR-6118, a largura colaborante, bf, da laje é dada por: - Largura colaborante b b b b ou b bw b bw f a = + + + + � � � � � � � 1 3 1 3 2 2 onde, b a h b b a hf f 1 2 3 0 10 8 0 5 0 10 6 ≤ � � � � � ≤ � � � , , , onde, a = � , viga simplesmente apoiada a ==== 3 4 � , tramo com momento em uma só extremidade a ==== 3 5 � , tramo com momento nas duas extremidades a ==== 2� , viga em balanço 6.15 b b b b b b b b b b b b b b f f f 3 1 1 1 3 3 www a 2 f f h h Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes 6.4.4.1 - VERIFICAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO Verificam-se as seções onde ocorrem os máximos esforços solicitantes. No projeto, essas seções são as seguintes: momento máximo positivo: seção 7 ; Md,máx = 10823,73 kN.m momento máximo negativo: seção 2 ou 12; Md,máx = - 6374,04 kNm cortante máxima : seção 2d ou 12e: Vd,máx = 2759,03 kN a) Seção 7 Tembaixo traçãomáx →= ;m.kN73,10823M ,d h = 225 cm hf = 25 10 cm 40 cm 10 cm10 cm 120 cm120 cm 60 cm b2 = 620 - 20 = 600 cm hf = 25 cm 10 cm 10 cm 10 cm 40 cm 120 cm 60 cm 120 cm Fig. 6.22 - Cálculo da largura coraborante viga V1 viga V2 b a x x cm hf x cm b x cm 1 2 0 10 0 10 3 5 2000 120 8 8 25 200 0 5 0 5 600 300 ≤ = = = = = = � � � � � � � , , | | , , b a cm h cm b cm f f 3 0 10 120 6 150 120 60 120 300 ≤ = = � � � = + + = , | | | | Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se: 6.16 37,11 373.082.1 )5,202(x300 M dbK 2 d 2 f c === f MPa tabela x d x x cm entao x h cm L N na laje CK f = → → = ≅ � = = < = ∴ 18 0 10 0 10 202 50 20 25 25 ξ , , , , , . . CA A Kc xd d cm h d cm x d x x cm h L N f − → = = � = � = = = = � = = > = 50 2 4 300 1082373 93 0 9 104 0 6283 0 6283 93 58 43 1 25 31 25 2 lim , , , , , , , . . ξ corta a alma. > OBS.: A princípio, a altura da seção poderia ser diminuída, entretanto, será mantida a altura inicial, por se tratar de exercício didático. b) Seção 2: Md,máx = −637.404 kNcm tração em cima ∴seção retangular verificação inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio) CA A f mPa K M bwd Kc x kNcm CK c d − = � � = � = = = 50 18 2 4 40 202 5 2 4 683438 2 2 lim ,lim lim , , , . Md,máx < Md,lim então, não é necessário alargar a seção,porém, essa conclusão é válida somente após a verificação da cortante máxima. c) cortante máxima: Vd,máx = 2759,03 kN Segundo a NBR-6118 item 6.1.4.1 tem-se : τ τwd d w wu cdV b d f do eixo)= ≤ = � � � 0 25, (estribos verticais) 0,30f (estribos a 45cd o f f cm x kN cd ck wu = = = = = 1 4 1 8 1 4 1 2857 0 25 1 2857 0 3214 2 , , , , / , , , kN / cm2τ V b d x x V du wu w du = = = > � τ . . , , ,0 3214 40 202 5 2603 57 kN V necessário alargar a seçãod,máx OBS.: As dimensões iniciais, deste exercício didático, serão mantidas, porém, nota-se que é possível modificá-las. Se, no entanto, forem feitas modificações deve-se refazer os cálculos, desde que a variação do peso próprio seja maior que 5%. 6.4.4.2 - CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO 6.17 Para cada seção preestabelecida, calcular-se-ão as armaduras. Note-se que, caso os momentos Md,máx e Md,mín forem de sinais contrários, determinar-se-ão duas áreas de armaduras. Exemplo: Seção bw ou (bf) (cm) Md+ kN.cm Md - (kN.cm) KC KS As1+ (cm2) As2 - (cm2) 3 76 (336) (234.709) 358.415 8,70 (58,70) 0,024 (0,023) (27,244) 442,55 Kc bd Md Ks As Ks Md d = → → = 2 tabela ..... ..... A A s1 s2 Fig. 6.23 - Armaduras superior e inferior d = 202,5 cm 6.4.4.3 - CÁLCULO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO τ τ τ τ ψ τ d wd c c ck wd w f MPa Vd b d = − > = = 115 0 1 , ( ) ρw = τ fyd d ρw mínimo =, 0,14 % para aço CA-50 onde, ψ1 0 15= →, flexão simples e flexo-tração ψ1 0 15 1= + � � � � � � →, , M M o d máx flexo-compressão ou flexão com protensão ψ1 0= → Flexo-tração (LN fora da seção) Mo = momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida Exemplo 6.18 Seção bw ou (cm) Vd (kN) τwd kN cm ( )2 τd kN cm ( )2 ρw (%) 5 40 1391 0,172 0,134 0,31 2 c 2 2 w d wd cm/kN0637,0MPa637,01815,0 cm kN cm/kN172.05,202x40 1391 d.b V ===τ ===τ τ τ τ ρ τ wd wd c yd yk w d yd x f f f x ==== −−−− ==== −−−− ==== ==== ==== ==== ==== ==== ==== 1 15 1 15 0 172 0 0637 0 134 1 15 50 1 15 0 134 50 1 15 0 0031 0 31 , . , , , , , , , , , , % 6.4.4.4 - VERIFICAÇÃO DA FADIGA DAS ARMADURAS (NORMA ALEMà - DIN-1045) Os ensaios de flexão revelam que após 2 x 106 de ciclo de flutuações de carga, a armadura pode romper com tensão inferior à medida em ensaio estático. Este fenômeno denomina-se fadiga de armadura. - Limites máximos da amplitude das variações de tensões: ∆σs = 18 kN/cm2 para barras retas com pequena curvatura 14 kN/cm2 para barras com grandes curvaturas (estribos) 8 kN/cm2 para barras soldadas e emendas com soldas - Elementos que devem ser verificados à fadiga: vigas e lajes do tabuleiro de pontes - Fator de fadiga É o fator pelo qual devem ser multiplicadas as áreas de armadura de uma seção, para atender as flutuações de tensões. Fator de fadiga = ∆ ∆ σ σ s s ≥≥≥≥ 1 0, Se, ∆ ∆ σ σ s s > 1 0, , então, corrige-se a armadura calculada, A As corrig s s s calculado, ,.= ∆ ∆ σ σ onde, 6.19 ∆σs = variação de tensões calculadas ∆σs iação de tensões admissíveis= var OBS.:As tensões σs devem ser calculadas com esforços solicitantes de serviços, isto é, sem majorá-los com os coeficientes de majoração. 6.4.4.5 - VERIFICAÇÃO DA FADIGA DA ARMADURA DE FLEXÃO Solicitações de serviço: M M M M M g q g q máx máx mín mínM = + = + , , Cálculo das tensões nas armaduras - armadura tracionada (As) σs M ZAs = ; � � � � � �� � � � = mín máx f M ou M =M 0) > (m T seção 2 h -d 0)<(M retangular seção d87,0 Z - armadura comprimida ic eces y I M 10 ; =σ ≅ασα=σ ; is yI M10=σ onde, I = momento de inércia σc = tensão no concreto σs = tensão na armadura comprimida yi = distância do C.G. da seção até a armadura comprimida EXEMPLO Seção 3 6.20 cm.kN268.255M cm.kN221.168M cm.kN800M mín,q máx,q g −= = −= bf = 336 cm bw = 76 cm h = 225 cm hf = 25 cm � Mmáx = 167. 421 kN.cm Mmín = - 256.068 kN.cm ..... ..... A As1 s2 d = 202,5 cm+ 25 cm 200 cm b f = 336 cm = 42,55 cm2 C.G. = 27,24 cm276 cm y2 = 72,5 y1 = 117,5 85 cm 140 cm I = 1.1957 x 10 8 cm 4 z = 0,87.d = 176,18 cm d - h f = 190 cm/ 2 Fig. 6.24 - Características geométricas da viga principal a) armadura superior, As2 a.1) momento, M = Mmáx = 167. 421 kN cm (armadura será comprimida) 2 82s cm/kN015,15,72x10x1957,1 421.167 x10y I M10 ===σ a.2) momento, M = Mín = -256. 068 kN cm (armadura será tracionada) 2 2 s cm/kN16,3455,42x18,176 068.256 As.z M ===σ a.3) variação das tensões na armadura As2 1818,3516,34015,1 ss =σ∆>=+=σ∆ 2 .corrig,2 cm16,8355,42x18 18,35As == b) armadura inferior, As1 b.1) momento, M = Mmáx = 167. 421 kN cm (armadura será tracionada) 6.21 2 1 s cm/kN35,3224,27x190 421.167 As.z M ===σ b.2) momento, M = Mín = -256. 068 kN cm (armadura será comprimida) 2 81s cm/kN52,25,117x10x1957,1 068.256 x10y I M10 ===σ b.3) variação das tensões na armadura As1 2 s 2 s cm/kN18cm/kN87,3452,235,32 =σ∆>=+=σ∆ ∴ 2 1s s s corrig,1s cm.77,5224,27x18 87,34AA == σ∆ σ∆ = OBS.: Nos cálculos das variações ∆σs , as parcelas foram adicionadas, pois, o que se procura é a amplitude total das tensões. Caso os momentos máximos e mínimos forem de mesmo sinal, as parcelas que compõem ∆σs devem ser subtraídas uma da outra. 6.4.4.6 VERIFICAÇÃO DA FADIGA DA ARMADURA DE CISALHAMENTO Solicitação de serviço: V V V V V g q g q máx máx mín mínV = + = + , , � = = � � � V1 maior valor em módulo V menor valor em módulo2 V1 e V2 com mesmo sinal ∆σ ρs w w V V d b = −1 15 1 2, ( ) . . caso contrário ∆σ τ ρs c w w w V b d d b = −1 15 1, . . . . Se∆ ∆σ σ ρ ρs s w corrig wkN cm≤ = → =14 2/ , . Se ∆ ∆σ σs s kN cm≥ = 14 2/ → ρ σ σ ρw corrig s s w, . .= ∆ ∆ Exemplo: seção bw (cm) ρw (%) V1 (kN) V2 (kN) ∆σs kN cm( / )2 ρw corrig, (%) 5 40 0,31 1023,58 224,30 36,6 0,81 Vmáx = 424 + 599,58 = 1023,58 kN = V1 Vmín = 424 - 199,70 = 224,30 kN = V2 2 s cm/kN6,360031,0x40x5,202 )30,22458,1023(15,1 = − =σ∆ 6.22 ==ρ 31,0x 14 6,36 .corrig,w 0,0081 → 0,81% 7.1 CAPÍTULO VII (2002) 7. CÁLCULO DAS TRANSVERSINAS 7.1. Cálculo dos esforços devidos à carga permanente Calculam-se os esforços solicitantes para cada transversina, tendo como base as seguintes considerações: - carga uniformemente distribuída sobre o tabuleiro; - os pesos próprios da laje e da pavimentação, suportada pela transversina, são proporcionais à sua área de influência, obtida a partir das bissetrizes entre a transversina e as vigas principais; - Consideram-se as transversinas como vigas biapoiadas sobre as vigas principais e sem a consideração da largura colaborante da laje. 7.1.1. Áreas de influência 3.2 3.2 6.6 5.0 10.0 10.0 5.0 45 o45 o T1 T2 T3 T4 T5 transversinaviga principal cortina área de influência da transversina T1 transversina área de influência (m2) T1=T5 (6,60+1,60)x2,50/2 =10,25 T2=T4 10,25 + (6,60x3,30)/2 =21,14 T3 2(6,60x3,30)/2 = 21,78 - peso próprio da laje ... 0,25x25 = 6,25 - pavimentação .......... (0,12+0,05)24/2 = 2,04 (altura média x peso específico) - recapeamento = 2,00 total = 10,29kN/m2 - peso próprio da transversina ...0,30x2,0x25 = 15,00kN/m 7.2 7.1.2.Carga uniformemente distribuída ao longo das transversinas transversina área de influência (m2) carga distribuída ao longo da transversina "g"(kN/m) T1=T5 (cortinas) 10,25 [ (10,25x10,29)/6,60] +15 = 30,98 g=30,98 distribuída em toda a cortina G=26,37kN (peso da ala aplicada em cada extremidade da cortina) T2=T4 21,14 [ (21,14x10,29)/6,60] +15 = 47,96 T3 21,78 [ (21,78x10,29)/6,60] +15 = 48,96 7.1.3 -Cálculo de M e V devidos a "g" Seções de cálculo Cortina ......... Transversina .... 1.60 1.60 1.65 1.65 1.65 1.65 1.60 1.60m A B 0 1 2 3 4 C D 0 1 2 3 4 transversina g(kn/m) seção M(kN.m) V(kN)T1=T5 g=30,98kn/m G=26,37kn A B 0 { 1 2 3 4 { C D 0,00 -81,85 -243,00 -116,49 -74,32 -116,49 -243,00 -81,85 0,00 -26,37 -75,94 -125,50 V0,esq . 102,23 V0,dir . 51,11 0,00 -51,11 -102,23 V4,esq . 125,50 V4,dir . 75,94 26,37 T2=T4 g=47,96kn/m 0 1 2 3 4 0,00 195,86 261,14 195,86 0,00 158,27 79,14 0,00 -79,14 -158,27 T3 g=48,96kn/m 0 1 2 3 4 0,00 200,00 266,59 200,00 0,00 161,57 80,79 0,00 -80,79 -161,57 7.2. Cálculo dos esforços devidos à carga móvel 7.2.1. Coeficiente de impacto 7.3 ϕ = 1,4-0,007x6,60 = 1,354 7.2.2. Cálculo do trem-tipo Hipótese : lajes simplesmente apoiadas sobre as trasnversinas exemplo: T3 laje transversina T1 T2 T3 T4 T5 para o c cálculo das reações Esquema estático das transversinas T2 T3 T4 B B A A q q q2 q1Q1 Q1 q2 q q PLANTA do tabuleiro TREM-TIPOda transversina 1 0.85 0.70 laje q qQ Q Q CORTE A-A LI DE T3 (região c/veículo-tipo) 7.00 1.50 1.50 1.50 1.50 7.00 (1*10)/2=5 q 1 10.00 10.00 CORTE B-B LI DE T3 (região s/veículo-tipo) Q1=1,354x75x(1+2x0,85) = 274,2kN q1 =1,354x5x[2x(0,70x7)/2] = 33,17kN/m q2 =1,354x5x[2x(1x10)/2] = 67,7kN/m 7.4 7.2.3. Cálculo de M e V Exemplo: seção 1 das transversinas T2 , T3 e T4 0 1 2 3 4 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.24 0.86 0.74 1 0.25 Q1 Q1q 2 q 1 q 2 LI de Mq (seção 1 ) Seções de Cálculo 0.61 1.15 0.50 2.00 0.50 2.45 q 2 Q1 Q1 Q1q 1 q 2 q,mín q,máxp/ V p/ V 0.250.17 0.45 0.37 1.00 0.75 0.15++ _ q 1 LI de Vq (seção 1) Mq(1)=274,2(1,24+0,74)+33,17[2,5x(1,24+0,61)/2+0,50x(1,24+0,86)/2]+ +67,7[(0,86x1,15)/2+ (0,61x2,45)/2] = 721,10 kN.m Vq,máx(1)=274,2(0,75+0,45)+33,17x2,50(0,75+0,37)/2+67,7(0,37x2,45)/2=406,16kN Vq,min(1)=-274,2x0,25-33,17x0,50(0,17+0,25)/2-67,7(0,17x1,15)/2=-78,65kN OBS.: - Construir tabelas idênticas àquelas das cargas permanentes - - Para cada transversina obter o TREM-TIPO correspondente 7.5 7.3. Esforços totais (NBR-8681,ítem 5.1.4) Nota-se pelos cálculos que: o peso próprio da transversina < 75%da carga permanente total, então, γg = 1,4 ou 0,90 e γq = 1,4 Md = γgMg+γqMq Vd = γgVg+γqVq OBS.: Elaborar as tabelas de Md , Vd com os valores máximos e mínimos 7.4. Envoltória de esforços Para a envoltória de momentos fletores deve-se considerar nos apoios os seguintes valores: 1/3 M máx 1/4 M máx M máx M máx Esta providência visa a considerar momentos que podem ocorrer,caso as vigas principais tenham deslocamentos diferentes. viga principal transversina tração tração 8.1 CAPÍTULO VIII (2002) 8. CÁLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO 8.1 Introdução Os esforços solicitantes de lajes são obtidos através da Teoria das Placas. Embora as lajes , em geral , têm comportamento anisotrópico , isto é , rigidez diferente nas duas direções , considera-se , para efeito de cálculo de solicitações , que seja elástica e isotrópica . Existem também o cálculo à ruptura, onde se abandona o comportamento elástico da laje, e outros procedimentos alternativos que não serão objeto deste curso. Encontram-se na literatura , em forma de tabelas , as soluções de placas elásticas , tais como as de Czarny e Marcus . Porém , estas são válidas apenas para cargas distribuídas . No caso de lajes de pontes , as principais solicitações são provocadas pelas cargas concentradas das rodas dos veículos, que além de serem preponderantes em relação às outras cargas , são móveis . Com isso , faz-se necessário outras tabelas. As tabelas , freqüentemente utilizada , são as de Rüsch , que serão aquí adotadas . Vale salientar que em lajes de pontes , o problema resume-se em encontrar as posições das cargas que produzam as solicitações mais desfavoráveis para as lajes . Este cálculo é extremamente trabalhoso. Para facilitá-lo foram desenvolvidos diversos procedimentos , tal como o de Rüsch. 8.2 Esquema Estático Adotam-se , para o cálculo das lajes do tabuleiro , os esquemas estáticos resultantes da divisão do tabuleiro em vários painéis , contornados por vigas principais , transversinas e cortinas . Cada painel será considerado apoiado sobre estas estruturas lineares(vigas , transversina ,etc.) . Quando houver continuidade da laje , na linha de apoio sobre aquelas estruturas lineares , esta será considerada engastada na posição desta linha. Para visualizar estas considerações , observe-se a figura abaixo : cortina transversina viga principal extremidade livre A A B BPLANTA DO TABULEIRO CORTE B-B CORTE A-A L1 L2 L3 L4 L5 L6 L1 L4 L6 L2 L3 L4 L5 Figura 8.1 8.2 Os esquemas estáticos foram adotados como lajes isoladas para que se possam utilizar as tabelas de Rüsch , que foram elaboradas como tais . Após os cálculos dos esforços solicitantes das lajes isoladas consideram-se a continuidade da estrutura por meio de um coeficiente α . Estes coeficientes afetam apenas os esforços devidos às cargas móveis , cujos esforços são preponderantes em relação àqueles devidos às cargas permanentes. y x l l x y x = direção da continuidade Valores de αo para momentos de carga móvel e momentos de engastamento MA da viga de borda, para o cálculo aproximado de placas contínuas. Modos de apoio das lajes isoladas extrema ou marginal interna A 1 B 2 CValores para os pontos : yl xl MA constante αo Pontes Placas ≤ 0,80 1,00 1,00 1,05 em vinculadas = 1,0 1/2 MB 1,05 0,96 1,13 vigas nos quatro = 1,20 1,07 0,94 1,18 lados = ∞ 1/3 MB 1,10 0,92 1,23 1,00 Pontes Placas = ∞ 1,10 0,92 1,23 em vinculadas em = 1,0 1/3 MB 1,14 0,89 1,30 lajes dois lados = 0,50 1,22 0,82 1,45 opostos = 0,25 calculam-se como vigas contínuas Correção de ao para vãos menores que 20,0 metros : 8.3 1,20 αααα = . ααααo1 + 0,01 . lx Conseqüentemente , os momentos fletores de cálculo serão obtidos da seguinte forma : M M Md g g q q= +γ γ α. . . Nos apoios internos serão obtidos dois valores de momentos fletores, porém será utizado ,para dimensionamento, apenas o maior valor , o qual corresponde o caso mais desfavorável ,pois, este é aquele em que somente a laje correspondente ao maior momento sofre a ação do trem-tipo . OBS. : Na prática utilizam-se, freqüentemente, as transversinas intermediárias desligadas da laje . Neste caso a laje apoia-se apenas nas vigas principais e nas transversinas de extremidade (cortinas) . 8.3 Tabelas de Rüsch As tabelas de Rüsch foram obtidas para veículos-tipo com cargas de rodas e cargas uniformemente distribuídas unitárias. Ou seja, os esforços solicitantes das tabelas resultaram da aplicação deste carregamento unitário sobre a superfície de influência destes esforços. O conceito de superfície de influência é o mesmo do de linha de influência das estruturas lineares, isto é, cada ordenada da superfície ,no ponto de aplicação da carga unitária, é o valor do esforço solicitante em uma determinada seção. Graças à coincidência dos trens-tipo da norma brasileira NBR 7188 daqueles da norma alemã DIN 1075 ,utilizadas por RÜSCH, pode-se utilizar as referidas tabelas nas pontes brasileiras. Entretanto, deve-se considerar nestas tabelas a carga distribuída p' = p ,pois na norma brasileira a carga distribuída ao redor do veículo-tipo é igual à carga p (no curso é "q") ,enquanto que na norma alemã , atrás e em frente ao veículo-tipo a carga distribuída é p e nos lados a carga distribuída é p' ., conforme Fig. 8.2 . NOTA : A nomenclatura utilizada no curso e nas tabelas de Rüsch é a seguinte : Tabela 8.2 Nomenclatura carga curso Rüsch distribuída na faixa do veículo q p distribuída na faixa lateral do veículo q' p' concentrada da roda Q L permanente g g + + + + + + q qq q faixa do veículo lateral do veículo lateral do veículo + + + + + + pp faixa do veículo lateral do veículo lateral do veículo Norma brasileira (q' apenas no passeio) Norma alemã p' p' - cargas móveis sobre o tabuleiroFigura 8.2 a) b) 8.3.1 Condições de contorno 8.4 As tabelas de Rüsch foram obtidas para condições de vinculações prefixadas, tais como : borda livre borda apoiada borda engastada Identificados o tipo de vinculação, a direção do tráfego e determinado a relação ly/lx , localiza-se a tabela correspondente no índice de tabelas ,ou melhor, no índice de placas , pois, Rüsch colocou números nas placas , conforme a Fig. 8.3 . y x l l xy 0,80 direção de tráfego l x l y Núm. 86 Figura 8.3 OBS. Não existe uma convenção para lx e ly . 8.3.2 Parâmetros para a utilização das tabelas No uso das tabelas de Rüsch são necessários os parâmetros: xl a e t a , onde , a = distância entre as rodas de um mesmo eixo, no caso dos veículos-tipo brasileiros, a=2,0m , t = lado do quadrado de área equivalente à do retângulo de contato de roda , propagado até a superfície média da placa , Fig.8.4 , lx = vão da laje na direção x . contato da roda com a laje b 0,20m direção de tráfego superfície equivalente quadrada t' t' projeção a 45o t 45 45 oo h/2 h/2 e t' laje pavimentação t' t' t t plano médio Figura 8.4 planta da projeção no plano médio Da Fig. 8.4 , tem-se : t ' = 0,20 . b e t = t ' + 2e + h . Segundo a NBR 7188 a largura "b" do contato da roda com a laje depende da classe da ponte : - classe 45 → b = 0,50m - classe 30 → b = 0,40m - classe 12 → b = 0,20m (roda dianteira) b = 0,30m (roda traseira) 8.5 0,20m 0,50m 2,00m 0,50m 1,50m 1,50m 1,50m 1,50m 0,20m 0,50m 2,00m 0,50m 1,50m 1,50m3,00m 0,20m 0,20m 0,30m Figura 8.5 veículo-tipo / classe 45 e 30 veículo-tipo / classe 12 b b No caso de trem-tipo classe 12 (dois eixos, com cargas diferentes) , Rüsch considera como efeito mais desfavorável um segundo veículo-tipo , colocado lateralmente ao existente , porém considerando-se apenas as rodas traseiras(mais pesadas) de ambos os veículos . Isso implica em utilizar somente um valor de t/a , o correspondente ao eixo traseiro . 8.3.3 Cálculo dos momentos fletores 8.3.3.1 Momentos provocados por cargas permanentes " g " São calculados pela expressão , gM = K . g . x 2l , sendo , K = coeficiente fornecido pela tabela , em sua parte superior , depende da relação ly/lx e dos vínculos , g = carga permanente uniformemente distribuída . 8.3.3.2 Momentos provocados por cargas móveis As tabelas de Rüsch fornecem , conforme o caso , os valores dos momentos no centro , no meio da borda engastada e no meio da borda livre das lajes . Nas tabelas estes valores são fornecidos em três parcelas : a primeira devida à pressão unitária de cada roda do veículo-tipo (coluna L da tabela) , a segunda devida à carga distribuída unitária na faixa do veículo (coluna p) e a terceira devida à carga distribuída unitária na faixa lateral ao veículo (coluna p') . Neste curso, estas parcelas são denominadas , respectivamente , mL , mq e mq' , por se tratarem de momentos fletores devidos a carregamentos unitários. Portanto , para se obter o efeito global das cargas do trem-tipo(veículo-tipo mais as cargas distribuídas ao redor do veículo-tipo) , num determinado ponto , utiliza-se a seguinte expressão : qM = ( Q . mL + q . mq + q . mq'ϕ. ) onde , Mq = momento total devido à carga móvel ϕ = coeficiente de impacto, Q = carga de uma roda do veículo-tipo ( no caso de ponte classe 12 , roda traseira), q = carga distribuída ao redor do veículo, mL = momento fletor provocado pelo veículo-tipo com cargas das rodas unitárias, mq = momento fletor provocado por carga distribuída unitária na faixa do veículo, mq' = momento fletor provocado por carga distribuída unitária nas faixas laterais do veículo . OBS. : No caso de ponte classe 12 há uma quarta parcela (coluna L' da tabela) ,correspondente ao veículo lateral . Com isso , a expressão anterior fica da seguinte forma : 8.6 qM = Q ( mL + mL' ) + q . mq + q . mq 'ϕ.[ ] onde , Q = carga de uma roda do eixo traseiro do veículo-tipo, mL = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo-tipo, mL' = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo lateral(na realidade é idêntico ao veículo-tipo), os demais termos têm o mesmo significado da expressão anterior . A seguir indica-se a forma das tabelas de Rüsch que fornecem os extremos dos momentos fletores, devido ao carregamento unitário , em alguns pontos da laje . Estes extremos são obtidos a partir da posição mais desfavorável do trem-tipo, composto de cargas unitárias , observando-se a forma da superfície de influência . Salienta-se que a tabela abaixo corresponde à uma parte das tabela original de uma laje engastada nos bordos , com ly/lx = 1 , já com a nomenclatura do curso . Tabela 8.3 No 97