Cálculo II coordenadas

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Notas de Aula de Cálculo
Integração Múltipla - Mudança de Coordenadas
Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal
28 de novembro de 2013
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
Material elaborado como resultado do projeto REUNI - PROPESP No: 033128/2012
- coordenado pelas professoras Bárbara Rodriguez, Cinthya Meneghetti e Cristiana
Poffal com participação da bolsista REUNI: Elizangela Pereira.
1 Notas de aula de Cálculo - FURG
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Sumário
1 Integrais Múltiplas 3
1.1 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Gráficos em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Integrais duplas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Cálculo de áreas - coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Regiões radialmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Regiões angularmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Cálculo de volumes - coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . 18
1.5 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Integrais triplas em coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Mudança de variáveis em integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . 34
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Capítulo 1
Integrais Múltiplas
1.1 Coordenadas Polares
Até aqui as curvas planas foram representadas em um sistema cartesiano
de coordenadas através de pares ordenados (x, y), onde x e y representam as dis-
tâncias dos eixos coordenados aos pontos. As equações correspondentes para essas
curvas eram escritas na forma cartesiana ou paramétrica. Nessa seção, revisam-se
conceitos relativos ao sistema de coordenadas polares.
Para formar o sistema de coordenadas polares no plano, deve-se fixar
o ponto O que é chamado de polo (ou origem) e construir a partir de O um raio
inicial, denominado eixo polar. Associa-se a cada ponto P do plano suas coordenadas
polares (r, θ). Observe a Figura 1.1.
Figura 1.1: Construção do sistema de coordenadas polares
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1.1. COORDENADAS POLARES
Em coordenadas cartesianas, cada ponto (x, y) tem uma representação
única. O mesmo não ocorre em coordenadas polares. Por exemplo, as coordenadas
(r, θ) e (r, θ + 2pi) representam o mesmo ponto (veja Figura 1.2). Outra maneira
de se obter representações múltiplas de um ponto é usar valores negativos de r.
Como r é uma distância orientada, as coordenadas (r, θ) e (−r, θ + pi) representam
o mesmo ponto (veja Figura 1.2). Em geral o ponto (r, θ) pode ser escrito como
(r, θ) = (r, θ + 2npi) e (r, θ) = (−r, θ + (2n + 1)pi), onde n é um número inteiro
arbitrário. Além disso, o polo é representado por (0, θ), onde θ é qualquer ângulo.
Figura 1.2: Representação de pontos em coordenadas polares
Teorema 1.1.1. [Mudança de coordenadas] As coordenadas polares (r, θ) estão
relacionadas com as coordenadas cartesianas (x, y) da forma: x = r cos(θ)y = r sen(θ).
Decorrem do Teorema 1.1.1 as seguintes identidades:
 tg(θ) =
y
x
r2 = x2 + y2.
Veja Figura 1.3.
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1.1. COORDENADAS POLARES
Figura 1.3: Representação da relação entre as coordenadas cartesianas e as polares
1.1.1 Gráficos em coordenadas polares
Esboçar uma curva em coordenadas polares é análogo a esboçá-la em
coordenadas cartesianas. Podem-se marcar alguns pontos que pertencem a curva,
por exemplo, intersecções com eixos. Além disso, é importante observar as simetrias
dos gráficos, como ilustrado na Figura 1.4 e descrito no Teorema 1.1.2.
Teorema 1.1.2. [Teste de simetria em coordenadas polares] O gráfico de
uma equação em coordenadas polares tem a simetria indicada se a substituição
correspondente produzir uma equação equivalente.
1. Simetria em relação à reta θ =
pi
2
: trocar (r, θ) por (r, pi− θ) ou por (−r,−θ).
2. Simetria em relação ao eixo polar: trocar (r, θ) por (r,−θ) ou por (−r, pi− θ).
3. Simetria em relação ao polo: trocar (r, θ) por (−r, θ) ou por (r, pi + θ).
A Figura 1.4 apresenta respectivamente as simetrias.
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1.1. COORDENADAS POLARES
Figura 1.4: Simetrias em coordenadas polares
Observando os gráficos na Figura 1.5, ambos representam círculos de raio
a.
Figura 1.5: Representação polar de r = a cos(θ) e r = a sen(θ)
Exemplo 1.1.1. Esboce o gráfico das equações:
a) r = 3 cos(θ)
b) r = 4 sen(θ).
Solução:
a) r = 3 cos(θ).
A equação é da forma r = a cos(θ) com a = 3. Logo, o gráfico é uma
circunferência com centro
(
3
2
, 0
)
em coordenadas polares, tangente ao semi-eixo
pi
2
, como mostra a Figura 1.6.
b) r = 4 sen(θ).
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1.1. COORDENADAS POLARES
Figura 1.6: Gráfico de r = 3 cos(θ)
A equação é da forma r = a sen(θ) com a = 4. Logo, o gráfico é uma
circunferência com centro (2, 0) em coordenadas polares, tangente ao eixo polar,
apresentado na Figura 1.7.
Figura 1.7: Gráfico de r = 4 sen(θ)
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1.1. COORDENADAS POLARES
1.1.2 Integrais duplas em coordenadas polares
Considere uma região R do plano polar. Seja P uma partição da região
R do plano polar (veja Figura 1.8) em sub-retângulos polares Rik (Figura 1.9).
Figura 1.8: Partição do plano polar
Figura 1.9: Sub-retângulo polar
A norma de P , denotada por ‖P‖, é o comprimento da diagonal do maior
sub-retângulo polar Rik, onde 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ k ≤ m. Note que quando ‖P‖ → 0
tem-se que tanto o comprimento quanto a largura de todos sub-retângulos polares
tendem a zero.
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1.2. CÁLCULO DE ÁREAS - COORDENADAS POLARES
A área ∆Aik de cada Rik é dada por
∆Aik =
1
2
(∆ri)
2 ∆θk ← área do setor circular
=
1
2
(ri + ri−1) (ri − ri−1)∆θk
=
1
2
(ri + ri−1)∆ri∆θk
∆Aik = r∆ri∆θk
(1.1.1)
onde r é a média aritmética entre os raios ri−1 e ri.
Definição 1.1.1. A integral dupla de uma função contínua f(r, θ) em uma região
R do plano polar (se o limite existir) é definida como:∫∫
R
f(r, θ) dA = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
m∑
k=1
f(Pik)∆Aik,
onde Pik ∈ Rik, ∆Aik = r∆ri∆θk é a área de Rik e f(Pik)∆Aik é o elemento de
volume. Neste caso, diz-se que f(r, θ) é integrável em R.
1.2 Cálculo de áreas - coordenadas polares
Neste texto, as regiões polares são divididas em dois tipos básicos que
serão chamadas de radialmente simples e angularmente simples. Em ambos os casos
pode-se usar a integral dupla em coordenadas polares para o cálculo da área de tais
regiões. Observe as figuras 1.10 e 1.11.
1.2.1 Regiões radialmente simples
A região R será dita radialmente simples se R é definida por r1 ≤ r ≤ r2
e θ1(r) ≤ θ ≤ θ2(r) onde θ1 e θ2 são funções contínuas em [r1, r2], então
A(R) =
∫ ∫
R
dA =
∫ r2
r1
∫ θ2(r)
θ1(r)
f(r, θ) r dθdr.
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1.2. CÁLCULO DE ÁREAS - COORDENADAS POLARES
Figura 1.10: Região radialmente simples
1.2.2 Regiões angularmente simples
A região será dita angularmente simples se R é definida por θ1 ≤ θ ≤ θ2
e r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ) onde r1 e r2 são contínuas em [θ1, θ2], então∫ ∫
R
f(x, y) dA =
∫ θ2
θ1
∫ r2(θ)
r1(θ)
f(r, θ) r drdθ.
Figura 1.11: Região angularmente simples
Teorema 1.2.1. [Mudança de variáveis para coordenadas polares] Seja R
uma região plana consistindo no conjunto de pontos (x, y) = (r cos(θ), r sen(θ))
satisfazendo:
1. h1(r) ≤ θ ≤ h2(r) e r1 ≤ r ≤ r2. Se h1 e h2 são contínuas em [r1, r2] e f é
contínua em R, então∫ ∫
R
f(x, y) dA =
∫ r2
r1
∫ h2(r)
h1(r)
f(r cos(θ), r sen(θ)) r dθdr.
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1.2. CÁLCULO DE ÁREAS - COORDENADAS POLARES
2. θ1 ≤ θ ≤ θ2 e g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ). Se g1 e g2 são contínuas em [θ1, θ2] e f é
contínua em R, então∫ ∫
R
f(x, y) dA =
∫ θ2
θ1
∫ g2(θ)
g1(θ)
f(r cos(θ), r sen(θ)) r dr dθ.
Exemplo 1.2.1. Usando coordenadas polares, calcule a área da região delimitada
pela curva r = sen(θ).
Solução:
A região R de integração apresentada na Figura 1.12 é representada por:
R :
 0 ≤ θ ≤ pi0 ≤ r ≤ sen(θ) .
Figura 1.12: Exemplo 1.12
Assim, para calcular a área escreve-se:
A =
∫ pi
0
∫ sen(θ)
0
r drdθ
A =
∫ pi
0
[
r2
2
] ∣∣∣∣sen(θ)
0
dθ
A =
∫ pi
0
sen2(θ)
2
dθ
A =
1
2
∫ pi
0
sen2(θ) dθ
A =
1
2
∫ pi
0
1− cos(2θ)
2
dθ
A =
1
2
[
θ
2
− sen(2θ)
4
] ∣∣∣∣pi
0
A =
pi
4
− sen(2pi)
8
+
sen(0)
8
.
Portanto, a área é A =
pi
4
unidades de área.
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1.2. CÁLCULO DE ÁREAS - COORDENADAS POLARES
Exemplo 1.2.2. Calcule I =
∫∫
R
sen(θ) dA onde R é a região no primeiro qua-
drante dentro do círculo dado por r = 4 cos(θ) e fora do círculo dado por r = 2.
Solução:
A região de integração, conforme Figura 1.13 é descrita como:
R :
 2 ≤ r ≤ 4 cos(θ)0 ≤ θ ≤ pi
3
.
Figura 1.13: Exemplo 1.2.2
Assim,
I =
∫ pi
3
0
∫ 4 cos(θ)
2
sen(θ)r drdθ
I =
∫ pi
3
0
[
sen(θ)
r2
2
] ∣∣∣∣4 cos(θ)
2
dθ
I =
∫ pi
3
0
sen(θ)
[
−4
2
+
16 cos2(θ)
2
]
dθ
I =
∫ pi
3
0
[−2sen(θ) + 8 cos2(θ)sen(θ)] dθ
I = [2 cos(θ)]
∣∣∣∣pi3
0
+ 8
∫ pi
3
0
[
cos2(θ)sen(θ)
]
dθ
I = 2 cos
(pi
3
)
− 2 cos(0)−
[
8 cos3(θ)
3
] ∣∣∣∣pi3
0
Portanto, I =
4
3
.
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1.2. CÁLCULO DE ÁREAS - COORDENADAS POLARES
Exemplo 1.2.3. Use coordenadas polares para calcular:
I =
∫ 1
0
∫ √1−y2
0
(x2 + y2)3 dxdy.
Solução:
De acordo com o Teorema 1.1.1 tem-se:
x2 + y2 = r2 e dxdy = rdrdθ.
Os limites de integração são dados por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ pi
2
, conforme
Figura 1.14. Reescrevendo a integral I, obtém-se:
I =
∫ 1
0
∫ pi
2
0
(r2)3 r dθdr
I =
∫ 1
0
∫ pi
2
0
r7dθdr
I =
∫ 1
0
[θ r7]
∣∣∣∣pi2
0
dr
I =
pi
2
∫ 1
0
r7dr
I =
pi
2
[
r8
8
] ∣∣∣∣1
0
.
Figura 1.14: Exemplo 1.2.3
Assim, I =
pi
16
.
Exercício 1.2.1. Calcule a área da região interior ao gráfico de r = sen(θ) e
r =
√
3 cos(θ).
Exercício 1.2.2. Seja R a região anular entre os círculos x2+ y2 = 1 e x2+ y2 = 5.
Calcule
∫ ∫
R
(x2 + y) dA.
Exercício 1.2.3. Determine a área compreendida no exterior de r = 1 e r = 2 cos(θ)
e no interior de r = 2.
13 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. CÁLCULO DE VOLUMES - COORDENADAS POLARES
Exercício 1.2.4. Use coordenadas polares para calcular:
I =
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
(x2 + y2)
3
2 dydx.
Respostas dos exercícios
1.2.1
5pi − 6√3
24
u.a.
1.2.2 6pi u.a.
1.2.3
16pi − 3√3
6
u.a.
1.2.4
pi
10
u.a.
1.3 Cálculo de volumes - coordenadas polares
Se f(x, y) ≥ 0 em R, então
∫∫
R
f(x, y) dxdy é o volume (em coordenadas
cartesianas) limitado superiormente pela superfície z = f(x, y), inferiormente por R
e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Existem situações
em que se deseja calcular o volume da região R e a integral dupla é mais fácil
(por vezes só é possível) se for feita a mudança de coordenadas cartesianas para
coordenadas polares.
Exemplo 1.3.1. Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limi-
tado superiormente pelo hemisfério z =
√
16− x2 − y2 e inferiormente pela região
circular plana dada por x2 + y2 = 4.
Solução:
A região de integração apresentada na Figura 1.15 é descrita como:
Para o cálculo do volume tem-se:
V =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
√
16− r2 rdrdθ.
Fazendo uma mudança de variáveis, onde u = 16 − r2 e du = −2rdr,
obtém-se:
V =
∫ 2pi
0
(∫ 2
0
−1
2
√
udu
)
dθ
V =
∫ 2pi
0
[
−1
3
(16− r2) 32
] ∣∣∣∣2
0
dθ
14 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. CÁLCULO DE VOLUMES - COORDENADAS POLARES
R :
 0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2pi .
Figura 1.15: Exemplo 1.3.1
V =
∫ 2pi
0
[
−(12)
3
2
3
+
(16)
3
2
3
]
dθ
V =
1
3θ[(12)
3
2 − (16) 32 ]
∣∣∣∣2pi
0
.
Logo, V ∼= 15pi u.v..
Exemplo 1.3.2. Seja R a região anular entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 =
4, calcule o volume da região limitada inferiormente por R e superiormente por
z = 16− x2 − y2.
Solução:
A região de integração apresentada na Figura 1.16 é escrita como:
R :
 1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2pi .
Figura 1.16: Exemplo 1.3.2
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Para o cálculo do volume tem-se:
V =
∫ 2pi
0
∫ 2
1
(16− r2) rdrdθ
V =
∫ 2pi
0
∫ 2
1
(16r − r3) drdθ
V =
∫ 2pi
0
[
−16r
2
2
− r
4
4
] ∣∣∣∣2
1
dθ
V =
∫ 2pi
0
(
81
4
)
dθ
V =
[
81θ
4
] ∣∣∣∣2pi
0
.
Portanto, V =
81pi
2
unidade de volume.
1.4 Coordenadas cilíndricas
No espaço euclidiano, em determinadas situações, a manipulação de al-
gumas superfícies se torna mais simples quando se considera a sua representação
no sistema de coordenadas cilíndricas. Esse sistema é uma extensão do sistema de
coordenadas polares usado no plano.
Em um sistema de coordenadas cilíndricas (Figura 1.17), um ponto P no
espaço é representado pela terna ordenada (r, θ, z), onde:
1. (r, θ) é uma representação em coordenadas polares da projeção de P no plano
xy;
2. z é a distância orientada de (r, θ) a P .
Teorema 1.4.1. [Mudança de coordenadas cilíndricas] As coordenadas cilín-
dricas (r, θ, z) estão relacionadas com as coordenadas cartesianas (x, y, z) da forma:
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
z = z
.
16 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Figura 1.17: Representação do sistema de coordenadas cilíndricas
Decorrem do Teorema 1.4.1 as seguintes identidades: θ = arctan
(y
x
)
r2 = x2 + y2
.
Exemplo 1.4.1. Determine a representação em coordenadas cilíndricas das super-
fícies:
1. cilindro: x2 + y2 = 9
2. parabolóide: x2 + y2 = 4z
3. cone: x2 + y2 = z2
4. hiperbolóide: x2 + y2 − z2 = 1.
Solução:
a) x2 + y2 = 9.
Seguindo as convenções em que x2 + y2 = r2, tem-se:
x2 + y2 = 9
r2 = 9⇒ r = 3.
b) x2 + y2 = 4z.
A partir de x2 + y2 = r2, tem-se:
x2 + y2 = 4z
r2 = 4z ⇒ z = r
2
4
.
17 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
c) x2 + y2 = z2.
Utilizando a convenção x2 + y2 = r2, obtém-se:
x2 + y2 = z2
r2 = z2 ⇒ z = ±r.
d) x2 + y2 − z2 = 1.
A partir de x2 + y2 = r2, obtém-se:
x2 + y2 − z2 = 1
r2 − z2 = 1
r2 = z2 + 1⇒ z = ±√r2 − 1.
Exemplo 1.4.2. Escreva a equação em coordenadas cartesianas para a superfície
representada em coordenadas cilíndricas por r2 cos(2θ) + z2 + 1 = 0.
Solução:
Utilizando a relação trigonométrica em que cos2(θ)− sen2(θ) = cos(2θ),
obtém-se:
r2[cos2(θ)− sen2(θ)] + z2 + 1 = 0.
Sabendo que cos(θ) =
x
r
e sen(θ) =
y
r
, tem-se:
r2
(
x2
r2
− y
2
r2
)
+ z2 + 1 = 0
x2 − y2 + z2 = −1
y2 − x2 − z2 = 1. (Hiperbolóide de duas folhas)
1.4.1 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
Seja f é uma função contínua de r, θ e z em uma região limitada Q. A
integral tripla de f em Q em coordenadas cilíndricas é representada por:∫∫∫
Q
f(r, θ, z) dV.
Essa integral tripla pode ser calculada em coordenadas cilíndricas desde
que a região Q seja simples em relação a uma das seis ordens possíveis de integração.
18 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Por exemplo, se a região for limitada superiormente ou inferiormente por h1(r, θ) ≤
z ≤ h2(r, θ), pode-se escrever∫∫∫
Q
f(x, y, z) dV =
∫∫
R
[∫ h2(r,θ)
h1(r,θ)
f(r, θ, z)dz
]
r drdθ,
onde a integral dupla em R é calculada em coordenadas polares.
Se R for uma região simples, a forma das integrais repetidas é∫∫∫
Q
f(x, y, z) dV =
∫ θ2
θ1
∫ g2(θ)
g1(θ)
∫ h2(r,θ)
h1(r,θ)
f(r, θ, z) r dzdrdθ.
O volume da região Q em coordenadas cilíndricas é dado por:
V =
∫∫∫
Q
r dzdrdθ.
Exemplo 1.4.3. Calcule I =
∫∫∫
Q
(x2 + y2) dV , onde Q é a região limitada pelo
plano xy, pelo parabolóide z = x2 + y2 e pelo cilindro x2 + y2 = a2.
Solução:
Da convenção x2 + y2 = r2 tem-se:
z = r2 = a2.
A região de integração então, fica assim definida:
Q :

0 ≤ r ≤ a
0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ z ≤ r2
.
19 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Figura 1.18: Representação gráfica de Q.
A integral I é reescrita como:
I =
∫ 2pi
0
∫ a
0
∫ r2
0
r2 rdzdrdθ
I =
∫ 2pi
0
∫ a
0
[zr3]
∣∣r2
0
drdθ
I =
∫ 2pi
0
∫ a
0
r5drdθ
I =
∫ 2pi
0
[
r6
6
] ∣∣∣∣a
0
dθ
I =
∫ 2pi
0
(
a6
6
)
dθ
I =
[
θa6
6
] ∣∣∣∣2pi
0
.
Portanto, I =
pia6
3
.
Exemplo 1.4.4. Determine o volume do sólido cortado da esfera x2 + y2 + z2 = 4
pelo cilindro r = 2 sen(θ).
20 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
− 4− 4
− 2− 2
− 4− 4
00zz
22
44
44− 2− 2
2200
xx
00
yy
22
− 2− 244 − 4− 4
− 4− 4
− 2− 2
00zz
− 4− 4
22
44
− 2− 2
00
yy
22 − 4− 4− 2− 200
xx
44 2244
Figura 1.19: Duas perspectivas da região de integração Q.
Solução:
A região de integração então, fica assim definida:
Q :

0 ≤ r ≤ 2sen(θ)
0 ≤ θ ≤ pi
0 ≤ z ≤ √4− r2
.
21 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
V =
∫ pi
0
∫ 2 sen(θ)
0
∫ √4−r2
0
rdzdrdθ
V =
∫ pi
0
∫ 2 sen(θ)
0
r[z]
∣∣√4−r2
0
drdθ
V =
∫ pi
0
∫ 2 sen(θ)
0
[2r
√
4− r2]drdθ
V =
1
2
∫ pi
0
[
−(4− r
2)
3
2
3
2
] ∣∣∣∣2 sen(θ)
0
dθ
V = −1
3
∫ pi
0
[
(4− 4sen2(θ)) 32 − 4 32
]
dθ
V = −1
3
∫ pi
0
[
8 cos3(θ)− 8] dθ
V = −8
3
∫ pi
0
[
(1− sen2(θ)) cos(θ)− 1] dθ
V = −8
3
[
sen(θ)− sen
3(θ)
3
− θ
] ∣∣∣∣pi
0
.
Portanto, V =
8
3
pi u.v..
Exemplo 1.4.5. Determine o volume do sólido limitado acima de z = 0, abaixo de
z2 = x2 + y2 e o interior de x2 + y2 = 2ax, sendo a > 0.
Solução:
A região de integração então, fica assim definida:
Q :

0 ≤ r ≤ 2a cos(θ)
0 ≤ θ ≤ pi
2
0 ≤ z ≤ r
.
22 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Figura 1.20: Representação gráfica da região Q.
I = 2
∫ pi
2
0
∫ 2a cos(θ)
0
∫ r
0
rdzdrdθ
I = 2
∫ pi
2
0
∫ 2a cos(θ)
0
[r]
∣∣r
0
drdθ
I = 2
∫ pi
2
0
∫ 2a cos(θ)
0
r2drdθ
I = 2
∫ pi
2
0
r3
3
∣∣∣∣2a cos(θ)
0
dθ
I =
2
3
∫ pi
2
0
[8a3 cos(θ)]dθ
I =
16a3
3
∫ pi
2
0
[(1− sen(θ) cos(θ)]dθ
I =
16a3
3
∫ pi
2
0
[cos(θ)− sen2(θ) cos(θ)]dθ
I =
16a3
3
[
sen(θ)− sen
3(θ)
3
] ∣∣∣∣pi2
0
.
23 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Logo, V = 32a3 u.v..
Exemplo 1.4.6. Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cone
z = r e pelo cilindro r = 3 sen(θ).
Solução:
Figura 1.21: Representação gráfica da região Q.
A região de integração então, fica assim definida:
Q :

0 ≤ r ≤ 3 sen(θ)
0 ≤ θ ≤ pi
2
0 ≤ z ≤ r
.
24 Notas de aula de Cálculo - FURG
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-
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G
-
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R
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-
IM
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FU
R
G
-
1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
V =
∫ pi
2
0
∫ 3 sen(θ)
0
∫ r
0
rdzdrdθ
V =
∫ pi
2
0
∫ 3 sen(θ)
0
r[z]
∣∣r
0
drdθ
V =
∫ pi
2
0
∫ 3 sen(θ)
0
r2drdθ
V =
∫ pi
2
0
[
r3
3
] ∣∣∣∣3 sen(θ)
0
dθ
V = 9
∫ pi
2
0
sen3(θ)dθ
V = 9
∫ pi
2
0
[(1− cos2(θ))sen(θ)]dθ
V = 9
∫ pi
2
0
[sen(θ)− cos2(θ)sen(θ)]dθ
V = 9
[
− cos(θ) + cos
3(θ)
3
]pi
2
0
.
Assim, V = 6 u.v..
Exemplo 1.4.7. Expresse o volume limitado superiormente pela esfera
x2 + y2 + z2 = 4 e inferiormente pelo parabolóide x2 + y2 = 3z em coordenadas
cilíndricas.
Solução:
A região de integração então, fica assim definida:
Q :

0 ≤ r ≤ √3
0 ≤ θ ≤ 2pi
r2
3
≤ z ≤ √4− r2
.
25 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
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R
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-
IM
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-
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R
G
-
IM
E
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R
G
-
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E
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-
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R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
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G
-
IM
E
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-
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-
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1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Figura 1.22: Representação gráfica da região Q.
V = 4
∫ 2pi
0
∫ √3
0
∫ √4−r2
r2
3
rdzdrdθ
V = 4
∫ 2pi
0
∫ √3
0
r[z]
∣∣∣∣
√
4−r2
r2
3
drdθ
V = 4
∫ 2pi
0
∫ √3
0
(√
4− r2 − r
2
3
)
r drdθ
V = 4
∫ 2pi
0
[
−(4− r
2)
3
2
3
− r
4
12
] ∣∣∣∣
√
3
0
dθ
V =
19
3
∫ 2pi
0
dθ
V =
[
19
3
θ
] ∣∣∣∣2pi
0
.
Portanto, V =
38pi
3
u.v..
Exercício 1.4.1. Determine as equações em coordenadas cilíndricas para as super-
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1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
fícies dadas em coordenadas cartesianas:
a)x2 + y2 = 4z2 b) y2 = x.
Exercício 1.4.2. Usando integração tripla em coordenadas cilíndricas, determine o
volume do sólido:
a) limitado pelas superfícies x2 + y2 = 4z, x2 + y2 = 8y e z = 0;
b) limitado por r sen(θ) + z − 4 = 0, r = 2 e z = 0;
c) limitado pelas superfícies x2 + y2 = z e x2 + y2 = 2y;
d) abaixo do plano 2z = 4+cos(θ), acima de z = 0 e contido no cilindro r = 2 cos(θ).
Respostas dos exercícios
1.4.1 a) r = ±2z b) r = cosec(θ)cotg(θ)1.4.2 a) 96pi b)16pi c)
3pi
2
d)pi +
2
3
.
1.5 Coordenadas esféricas
No sistema de coordenadas esféricas, cada ponto é representado por uma
terna ordenada, onde a primeira componente é a distância do ponto à origem, e
as seguintes correspondem aos ângulos θ e φ. Esse sistema é análogo ao sistema de
latitude e longitude utilizado para identificar pontos na superfície da Terra. Observe
a Figura 1.23.
A terna ordenada é (ρ, θ, φ), onde:
- ρ é a distância entre o ponto P e a origem, ρ ≥ 0;
- θ é o mesmo ângulo usado em coordenadas cilíndricas (0 ≤ θ ≤ 2pi);
- φ é o ângulo entre o semi-eixo positivo z e o segmento de reta orientado
−→
OP
(0 ≤ φ ≤ pi).
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1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
Teorema 1.5.1. [Mudança de coordenadas esféricas] As coordenadas esféricas
(ρ, θ, φ) estão relacionadas com as coordenadas cartesianas (x, y, z) da forma:
x = ρ sen(φ) cos(θ)
y = ρ sen(φ) sen(θ)
z = ρ cos(φ).
Decorrem do Teorema 1.5.1 as seguintes identidades:
ρ2 = x2 + y2 + z2
θ = arctan
(y
x
)
φ = arccos
(
z√
x2 + y2 + z2
)
r = ρ sen(φ).
Figura 1.23: Representação do sistema de coordenadas esféricas
O sistema de coordenadas esféricas é útil para cálculos envolvendo su-
perfícies no espaço contendo um ponto ou centro de simetria.
Observação 1.5.1. Em coordenadas esféricas ρ = c representa uma esfera de raio
c, θ = c representa um plano perpendicular ao plano xy e φ = c é um cone.
Exemplo 1.5.1. Determine a representação em coordenadas esféricas para as su-
perfícies representadas pelas equações cartesianas:
a) x2 + y2 = z2 b) x2 + y2 + z2 − 4z = 0.
Solução:
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1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
a) x2 + y2 = z2.
Utilizando o teorema 1.5.1, obtém-se:
[ρsen(φ) cos(θ)]2 + [ρsen(φ)sen(θ)]2 = [ρ cos(φ)]2
ρ2sen2(φ) cos2(θ) + ρ2sen2(φ)sen2(θ) = ρ2 cos2(φ)
ρ2sen2(φ)[cos2(θ) + sen2(θ)] = ρ2 cos2(φ)
sen2(φ)
cos2(φ)
= 1
tg2(φ) = 1.
Logo, φ =
pi
4
(parte superior) e φ =
3pi
4
(parte inferior).
b) x2 + y2 + z2 − 4z = 0.
Das identidades decorrentes do teorema 1.5.1, tem-se:
ρ2 − 4ρ cos(φ) = 0
ρ(ρ− 4 cos(φ)) = 0.
Assim, ρ = 4 cos(φ).
Exemplo 1.5.2. Escreva em coordenadas cartesianas as equações dadas em coor-
denadas esféricas:
a) ρ = 2 b) φ =
pi
6
.
Solução:
a) ρ = 2.
Das identidades do teorema 1.5.1, obtém-se uma esfera de raio 2 cen-
trada na origem:
x2 + y2 + z2 = 4.
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1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
b) φ =
pi
6
.
Das identidades do teorema 1.5.1, obtém-se um cone:
arccos
(
z√
x2 + y2 + z2
)
=
pi
6
z√
x2 + y2 + z2
=
√
3
2
.
1.5.1 Integrais triplas em coordenadas esféricas
Uma integral tripla em coordenadas esféricas é expressa a partir das
substituições mostradas anteriormente, então∫∫∫
Q
f(x, y, z) dV =
∫∫∫
Q
f(ρ, φ, θ)ρ2 sen(φ) dρ dφ dθ.
Os limites de integração são determinados conforme a região Q conside-
rada.
O volume da região Q em coordenadas esféricas é dado por:
V =
∫∫∫
Q
ρ2 sen(φ) dρdφdθ.
Exemplo 1.5.3. Determine o volume do sólido acima de z = 0, limitado inferi-
ormente pelo cone z2 = x2 + y2 e superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 9,
representado na Figura 1.24
Solução:
Em coordenadas esféricas escreve-se a esfera como ρ2 = 9 ⇒ ρ = 3.
Fazendo a intersecção do cone com a esfera tem-se 2z2 = 9 ⇒ z = ± 3√
2
. Como
z ≥ 0 e z = ρ cos(φ)⇒ φ = pi
4
.
Assim, a região de integração é descrita por:
Q :

0 ≤ ρ ≤ 3
0 ≤ φ ≤ pi
4
0 ≤ θ ≤ 2pi
.
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1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
Figura 1.24: Sólido descrito no exemplo 1.5.3
Para o cálculo do volume tem-se:
V =
∫ 3
0
∫ pi
4
0
∫ 2pi
0
ρ2sen(φ)dθdφdρ
V =
∫ 3
0
∫ pi
4
0
[θ]
∣∣∣2pi
0
ρ2sen(φ)dφdρ
V = 2pi
∫ 3
0
∫ pi
4
0
[ρ2sen(φ)]dφdρ
V = 2pi
∫ 3
0
[−ρ2 cos(φ)]
∣∣∣pi4
0
dρ
V = 2pi
∫ 3
0
[
−ρ2 cos
(pi
4
)
+ ρ2 cos(0)
]
dρ
V = (2−√2)pi
∫ 3
0
ρ2dρ
V = (2−√2)pi
[
ρ3
3
] ∣∣∣∣3
0
Assim, V = 9pi(2−√2) u.v..
Exemplo 1.5.4. Calcule I =
∫∫∫
T
√
x2 + y2 + z2 dxdydz, onde T é a coroa esférica
limitada por x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4, representada na Figura 1.25.
Solução:
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1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
Figura 1.25: Sólido descrito no exemplo 1.5.4
Utilizando as identidades do Teorema 1.5.1, tem-se que ρ = 1 e ρ = 2.
Assim a região de integração T é descrita como:
T :

1 ≤ ρ ≤ 2
0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ φ ≤ pi
.
A integral I em coordenadas esféricas é reescrita como:
I =
∫ pi
0
∫ 2pi
0
∫ 2
1
[ρρ2sen(φ)]dρdθdφ
I =
∫ pi
0
∫ 2pi
0
sen(φ)
[
ρ4
4
] ∣∣∣∣2
1
dθdφ
I =
15
4
∫ pi
0
∫ 2pi
0
sen(φ)dθdφ
I =
15
4
∫ pi
0
sen(φ)[θ]
∣∣2pi
0
dφ
I =
15pi
2
∫ pi
0
sen(φ)dφ
I =
15pi
2
[− cos(φ)]∣∣pi
0
Logo, I = 15pi.
32 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
Exemplo 1.5.5. Escreva a integral I em coordenadas cartesianas tanto em coorde-
nadas cilíndricas, quanto em coordenadas esféricas e calcule a integral mais simples.
I =
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 4
√
x2+y2
x dzdydx.
Solução:
A região de integração da integral I é representada na Figura 1.26.
Figura 1.26: Região de integração do exemplo 1.5.5
Em coordenadas cilíndricas utilizando o Teorema 1.4.1, tem-se para os
limites de integração dV = rdrdθdz, então:
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 4⇒ r ≤ z ≤ 4,
y2 = 4− x2 ⇒ x2 + y2 = 4⇒ r2 = 4⇒ r = 2,
−2 ≤ x ≤ 2⇒ −2 ≤ r cos(θ) ≤ 2⇒ −1 ≤ cos(θ) ≤ 1⇒ 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Reescrevendo I em coordenadas cilíndricas, obtém-se:
I =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
∫ 4
r
r2 cos(θ)dzdrdθ.
Em coordenadas esféricas utilizando o Teorema 1.5.1, tem-se dV = ρ2sen(φ)dρdφdθ
e a região de integração (interior do parabolóide z = x2+y2 e abaixo do plano z = 4)
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1.6. MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS MÚLTIPLAS
é descrita como
0 ≤ ρ ≤ 4 sec(φ)
0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ φ ≤ pi
4
.
A integral I em coordenadas esféricas é
I =
∫ 2pi
0
∫ pi
4
0
∫ 4 sec(φ)
0
ρ3sen2(φ) cos(θ)dρdφdθ.
A integral em coordenadas cilindricas é mais simples. Para finalizar o
exemplo, basta efetuar os cálculos.
Exercício 1.5.1. Utilizando coordenadas esféricas determine o volume de um sólido
que está acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Exercício 1.5.2. Determine o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido
homogêneo interno ao cilindro x2+y2−2x = 0, abaixo do cone x2+y2 = z2 e acima
do plano xy. A densidade de massa por unidade de volume em qualquer ponto é k
kg/m3.
Respostas dos exercícios
1.5.1
(2−√2)pi
3
u.v.
1.5.2
512k
74
kg/m2.
1.6 Mudança de variáveis em integrais múltiplas
Numa mudança de variável a região de integração deve ser trocada con-
venientemente, ou seja, é necessária uma transformação que seja bijetiva.
Seja a integral dupla
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy e a transformação do plano no
plano x = x(u, v) e y = y(u, v), onde x e y bem como suas derivadas parciais são
funções contínuas de u e v, chama-se de Jacobianode x e y em relação a u e v a
expressão dada por:
J
(
x, y
u, v
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
34 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS MÚLTIPLAS
A integral dupla após a mudança de variável é escrita como:∫ ∫
R
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
R′
f(x(u, v), y(u, v))J
(
x, y
u, v
)
dudv.
Analogamente para uma integral tripla se tem o Jacobiano dado por:
J
(
x, y, z
u, v, w
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
A integral tripla após uma mudança de variável será dada por:∫∫∫
R
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫∫
R′
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))J
(
x, y, z
u, v, w
)
dudvdw.
Exemplo 1.6.1. Mostre que o jacobiano da mudança de variáveis cartesianas para
cilíndricas é J
(
x, y, z
r, θ, z
)
= r.
Solução:
A relação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas
equações:
x = r cos(θ), y = r sen(θ), z = z.
As derivadas parciais das funções de x, y e z em função de r, θ e z são:
∂x
∂r
= cos(θ)
∂y
∂r
= sen(θ)
∂z
∂r
= 0
∂x
∂θ
= −r sen(θ) ∂y
∂θ
= r cos(θ)
∂z
∂θ
= 0
∂x
∂z
= 0
∂y
∂z
= 0
∂z
∂z
= 1.
Para o cálculo do jacobiano, tem-se:
J
(
x, y, z
r, θ, z
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cos(θ) −r sen(θ) 0
sen(θ) r cos(θ) 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= [r cos2(θ) + r sen2(θ)]
= r[cos2(θ) + sen2(θ)].
35 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Logo, J
(
x, y, z
r, θ, z
)
= r.
Exemplo 1.6.2. Mostre que o jacobiano da mudança de variáveis cartesianas para
esféricas é J
(
x, y, z
ρ, φ, θ
)
= ρ2 sen(φ).
Solução:
A relação entre as coordenadas esféricas e cartesianas são:
x = ρ sen(φ) cos(θ), y = ρ sen(φ)sen(θ), z = ρ cos(φ).
As funções de x, y e z tem derivadas parciais em função de ρ, φ e θ dadas
por:
∂x
∂ρ
= sen(φ) cos(θ)
∂y
∂ρ
= sen(φ)sen(θ)
∂z
∂ρ
= cos(φ)
∂x
∂φ
= ρ cos(φ) cos(θ)
∂y
∂φ
= ρ cos(φ)sen(θ)
∂z
∂φ
= −ρ sen(φ)
∂x
∂θ
= −ρ sen(φ)sen(θ) ∂y
∂θ
= ρ sen(φ) cos(θ)
∂z
∂θ
= 0.
Para o cálculo do jacobiano, tem-se:
J
(
x, y, z
ρ, φ, θ
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
sen(φ) cos(θ) ρ cos(φ) cos(θ) −ρ sen(φ)sen(θ)
sen(φ)sen(θ) ρ cos(φ)sen(θ) ρ sen(φ) cos(θ)
cos(φ) −ρ sen(φ) 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= [ρ2 cos2(φ) cos2(θ)sen(φ) + ρ2 sen3(φ)sen2(θ)]−
[−ρ2 sen2(θ) cos2(φ)sen(φ)− ρ2sen3(φ) cos2(θ)]
= ρ2 sen3(φ)[sen2(θ) + cos2(θ)] + ρ2 sen(φ) cos2(φ)[sen2(θ) + cos2(θ)]
= ρ2sen(φ)[sen2(φ) + cos2(φ)].
Portanto, J
(
x, y, z
ρ, φ, θ
)
= ρ2sen(φ).
36 Notas de aula de Cálculo - FURG