NotasdeAulasdeCálculo Integral em Rn 2020MatematicaAula4IntegraisTriplas25022021

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Docente: Alberto Filimão Sitoe, Doutorando da UEM do Curso de Ciências e Tecnologia de Energia, Mestrado em 
Educacão/Ensino de Física pela UP e Licenciado em Oceanografia pela UEM 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SAVE 
Faculdade de Ciências Naturais e Exactas 
 
Notas de Aulas de Calculo Integral em Rn para o Curso de Licenciatura em 
Ensino de Matemática 
 
 
Aula Teórica 5 
 
 
 
Aula Teórica 5 
 
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
Quando um cálculo em física, engenharia ou geometria envolve um cilindro, um cone 
ou uma esfera, podemos frequentemente simplificar nosso trabalho utilizando 
coordenadas cilíndricas ou esféricas. O procedimento para transformação dessas 
coordenadas e cálculo das integrais triplas resultantes é semelhante ao da 
transformação para polares no plano. 
 
 
Integração em Coordenadas Cilíndricas 
Obtemos coordenadas cilíndricas para o espaço combinando coordenadas polares no 
plano xy com o eixo z usual. Isso associa a cada ponto no espaço uma ou mais triplas 
coordenadas da forma , ,r z , conforme mostrado na Figura seguinte. 
 
DEFINIÇÃO As coordenadas cilíndricas representam um ponto P no espaço por 
triplas coordenadas , ,r z , nas quais r e são coordenadas polares para a projecção 
vertical de P no plano xy e z é a coordenada vertical rectangular. 
 
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Docente: Alberto Filimão Sitoe, Doutorando da UEM do Curso de Ciências e Tecnologia de Energia, Mestrado em 
Educacão/Ensino de Física pela UP e Licenciado em Oceanografia pela UEM 
 
Figura 9: Ilustração de Coordenadas Cilíndricas de um ponto no espaço são ,r e z . 
 
Os valores de , ,x y r e em coordenadas rectangulares e cilíndricas são relacionados 
pelas equações usuais. 
 
Equações relacionando coordenadas rectangulares (x, y, z) e cilíndricas 
,r e z são: 
 
2 2 2cos , , ,
y
x r y rsen z z x y r e tg
x
  = = = + = = 
 
A integral tripla de uma função ƒ sobre D é obtida tomando-se um limite de tais 
somas de Riemann com partições cujas normas se aproximam de zero: 
 
( , , ) ( cos , , )
D D
f x y z dV r rsen z dzrdrd  =  
 
As integrais triplas em coordenadas cilíndricas são então avaliadas como integrais 
iteradas, como no exemplo a seguir. 
 
Exercício 
 
Encontre os limites de integração em coordenadas cilíndricas para a integração de 
uma função ( , , )f r z sobre a região D delimitada inferiormente pelo plano z = 0, 
lateralmente pelo cilindro circular 2 2( 1) 1x y+ − = e superiormente pelo paraboloide 
2 2z x y= + . 
 
 2 2 2 2 2( 1) 1 2 1 1 2 0 2x y x y y r rsen r sen + − =  + − + =  − =  = 
2 2 2z x y z r= +  = 
 
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Encontramos os limites de integração, começando com os limites de z. Uma 
recta M passando por um ponto típico r e em R paralela ao eixo z entra em D em 
0z = e sai em 
2 2 2z x y z r= +  = . 
 
Em seguida, encontramos os limites de integração de r. Um raio L passando por 
( ,r  ) a partir da origem entra em R em r = 0 e sai em 2r sen= . Por fim, 
encontramos os limites de integração de  . À medida que L varre R, o ângulo  que 
ele forma com o eixo positivo x varia de 0 a  = = . A integral é 
 
22
0 0 0
( , , ) ( , , )
sen r
D
f r z dV f r z dzrdrd
 
  =    
 
 
Figura 10: Ilustração Gráfica das Funções Indicadas 
 
 
Coordenadas esféricas e integração 
 
Coordenadas esféricas posicionam pontos no espaço com dois ângulos e 
uma distância, conforme demonstrado na Figura 11. A primeira coordenada, 
OP = , é a distância do ponto à origem. Diferentemente de r, a variável  
nunca é negativa. A segunda coordenada,  , é o ângulo que OP forma com o eixo 
z positivo. É necessário que esteja no intervalo  0, . A terceira coordenada é o 
ângulo  , como medido em coordenadas cilíndricas. 
 
 
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Figura 11: Gráfico que ilustra Coordenadas esféricas , ,   e sua relação com , ,x y z e  . 
 
 
DEFINIÇÃO Coordenadas esféricas representam um ponto P no espaço por triplas 
ordenadas ( , , )   , nas quais: 
 
1.  é a distância entre P e a origem. 
2.  é o ângulo que OP forma com o eixo z positivo 0    . 
3.  é o ângulo das coordenadas cilíndricas 0 2   . 
 
A equação a = descreve a esfera de raio a centrado na origem. 
A equação 0 = descreve um cone simples cujo vértice está na origem e cujo 
eixo está ao longo do eixo z. (Ampliamos nossa interpretação para incluir o plano 
xy como o cone 
2

 = Se  é maior que 
2

 o cone 0 = tem sua abertura 
para baixo. A equação 0 = descreve o semiplano que contém o eixo z e forma um 
ângulo 0 com o eixo x positivo. 
 
 
Figura 12: Equações de coordenadas constantes em coordenadas esféricas 
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resultam em esferas, cones simples e semiplanos 
 
 
Equações relacionando coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas e 
coordenadas cilíndricas 
; cos cos
cos ;
r sen x r sen
z y rsen sen sen
     
     
= = =
= = =
 
 
2 2 2 2 2x y z r z = + + = + 
 
 
Exercício 
 
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a esfera 2 2 2( 1) 1x y z+ + − = . 
 
Resolução Utilizamos as Equações anteriores para substituir x, y e z: 
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
( 1) 1
cos ( cos 1) 1
2 cos 2cos
x y z
sen sen sen       
    
+ + − =
+ + − = 
 =  =
 
 
O ângulo  varia entre 0 no polo norte da esfera e 
2

 no polo sul; o ângulo  não 
aparece na expressão para  , reflectindo a simetria em relação ao eixo z. Figura 
seguinte. 
 
 
Exercício 
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para o cone 2 2z x y= + 
 
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Resolução: 
 
Utilize a geometria. O cone é simétrico em relação ao eixo z e corta o primeiro 
quadrante do plano yz ao longo da recta z = y. O ângulo entre o cone e o eixo z 
positivo é, portanto, 
4

 radianos. O cone consiste nos pontos cujas coordenadas 
esféricas têm  igual a 
4

, portanto sua equação é 
4

 = . 
 
Utilize a álgebra. Se utilizarmos as Equações 1 para substituir x, y e z, 
obtemos o mesmo resultado: 
2 2z x y= + 
2
2cos cos
4
sen sen

        =  =  = 
 
As coordenadas esféricas são úteis para descrever esferas centradas na origem, 
semiplanos com fronteira no eixo z e cones cujos vértices estão na origem e cujos 
eixos estão ao longo do eixo z. Superfícies como essas têm equações de valor de 
coordenada constante: 
 
4; , 4, .
; , , .
3 3
; , , , .
3 3
esfera raio centro na origem
cone abrindo se da origem formando um angulo radianos com o eixo z positivo
semiplano com fronteira ao longo do eixo z formando um angulo radianos com o eixo x positivo

 

 

=
= −
=
 
 
Cálculo de integrais triplas sobre uma região D em coordenadas esféricas 
2
2
( , , ) ( cos , , cos )
D D
f x y z dV f sen sen sen sen d d d
dV sen d d d
           
   
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para calcular integrais em coordenadas esféricas, geralmente integramos primeiro 
com relação a  . O procedimento para encontrar os limites de integração é mostrado 
a seguir. Limitamos nossa atenção à integração sobre domínios que são sólidos de 
revolução sobre o eixo z (ou porções destes) e para os quais os limites para  e  são 
constantes. 
 
 
Para calcular 
 
( , , )
D
f dV   
 
Sobre uma região D no espaço em coordenadas esféricas, integrando primeiro com 
relação a  , em seguida com relação a  e por fim com relação a  , siga os 
seguintes passos: 
 
1. Um esboço. Esboce a região D juntamente com sua projecção R no plano xy. 
Identifique as superfícies que delimitam D. 
 
 
 
 
2. Encontre os limites de integração de  . Desenhe uma recta M a partir da origem 
passando por D e formando um ângulo  com o eixo z positivo. Desenhe também a 
projecção de M no plano xy (chame a projecção de L). O raio L forma um ângulo 
com o eixo x. À medida que  cresce, M entra em D em 1( , )g  = e sai em 
2 ( , )g  = . Esses são os limites de integração de  . 
 
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3. Encontre os limites de integração de  . Para qualquer dado  , o ângulo  que 
M forma com o eixo z vai de min maxa  Esses são os limites de integração de  . 
 
4. Encontre os limites de integração de  . O raio L varre R à medida que  varia de 
a a b. Esses são os limites de integração de  . A integral é 
 
1
min 1
( , )
2
( , )
( , , ) ( , , )
Max g
D g
f dV f d sen d d
     
      
          
= ==
= = =
=    
 
Exercícios 
 
Encontre o volume da “casquinha de sorvete” D cortada da esfera sólida 1  pelo 
cone
3

 = . 
 
Resolução: 
 
O volume é 
2( , , )
D
V f sen d d d       =  , a integral de ( , , ) 1f    = sobre D. 
Para encontrar os limites de integração para calcular a integral, primeiro esboçamos D 
e sua projecção R no plano xy (Figura seguinte). 
 
 
 
 
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Limites de integração de  . Desenhamos um raio M a partir da origem passando 
por D e formando um ângulo  com o eixo positivo z. Também desenhamos L, a 
projecção de M no plano xy, juntamente com o ângulo  que L forma com o eixo x 
positivo. O raio M entra em D em  = 0 e sai em  = 1. 
Limites de integração de  . O cone 
3

 = forma um ângulo de 
3

 com o 
eixo z positivo. Para qualquer dado  , o ângulo  pode variar entre 0 = e 
3

 = . 
Limites de integração de  . O raio L varre R à medida que  varia entre 0 2e  . 
O volume é 
2 13
2 2
0 0 0
2 2 23 33 3
1 1 3
0 0 0
0 0 0 0 0
2
0
( , , )
1 1
[ ] [ ] [cos ]
3 3 3 3
1 1 1
( ) (2 )
6 3 6 3
D
V f sen d d d sen d d d
sen d d sen d d d
d


 
   

            
 
       

 
= = =
= = = − =
= − + = =
   
    

 
 
 
Aula Pratica 5 
 
 
1. Calcule as integrais seguintes dadas em coordenadas cilíndricas: 
 
2 2
2
2 1 2 2 3 242
0 0 0 0 0
1 1
2 1 22 2 2 2
2 2
10 0 0 0 0
2
) )
) 3 ) ( )
r r
r
r
a dzrdrd b dzrdrd
c dzrdrd b r sen z dzrdrd

  

  
 
  
− +
−
−
+
     
     
 
 
Mudando a ordem de integração em coordenadas cilíndricas 
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de 
integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e 
são ocasionalmente mais fáceis de calcular. 
 
1. Calcule as integrais seguintes: 
2 3 1 23 2
3 2 2
0 0 0 0 0 0
) ) ( cos )
z
z
a r drdzd b r z rd drdz
 
  +      
 
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2. Seja D a região delimitada abaixo pelo plano z = 0, acima pela esfera 
2 2 2 4x y z+ + = e dos lados pelo cilindro 2 2 1x y+ = . Monte as integrais triplas em 
coordenadas cilíndricas que fornecem o volume de D, utilizando as seguintes ordens 
de integração. 
 
) ) )a dzdrd b drdzd c d dzdr   
 
 
3. Seja D a região delimitada abaixo pelo cone 2 2z x y= + e acima pelo 
parabolóide z 2 22z x y= − − . Monte as integrais: 
 
) ) )a dzdrd b drdzd c d dzdr   
 
4. Converta a integral seguinte em uma integral equivalente em coordenadas 
cilíndricas e calcule o resultado. 
 
 
211
2 2
1 0 0
( )
y x
x y dzdxdy
−
−
+   
 
5. Monte a integral iterada para calcular ( , , )
D
f r z dzrdrd  sobre a região D dada., 
onde: 
a) D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência 2r sen= no plano xy e 
cujo topo está no plano z = 4 – y 
 
 
 
b) D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência 3cosr = e cujo topo está 
no plano z = 5 – x. 
 
 
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c) D é o cilindro circular recto sólido cuja base é a região no plano xy que está dentro 
da cardioide 1 cosr = + e fora da circunferência r = 1 e cujo topo está no plano z = 
4. 
 
 
 
 
 
Chongoene, 18 de Fevereiro de 2021