Capítulo 7

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Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
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123
CAPÍTULO 7 
 
APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES 
 
 
7.1 – Interpolação Polinomial 
 
 
A – Introdução 
 
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximá-la por uma função g(x) es-
colhida entre uma classe de funções predefinida, que obedece a algumas pro-
priedades desejadas. A interpolação pode ser usada nas seguintes situações: 
 
a) Quando são conhecidos apenas valores os numéricos para a função f(x) e 
precisa-se estimar um valor não tabelado; 
b) Quando a função f(x) é conhecida, porém de difícil (ou até mesmo impos-
sível) integração ou diferenciação. 
 
 
B – Formulação 
 
Considere os n + 1 pontos distintos da tabela abaixo: 
 
 
x f(x) 
x0 f(x0) 
x1 f(x1) 
: 
: 
: 
: 
xn f(xn) 
 
 
O caso estudado neste capítulo se refere à aproximação da função f(x) por um 
polinômio de grau n, i.e., uma função do tipo, 
 
n
n
2
210n xa...xaxaa)x(P ++++= 
 
tal que o polinômio “passe” exatamente pelos pontos da tabela, i.e., 
 
)x(f)x(P iin = 
 
para i = 0...n. 
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Neste caso: 
 
)x(fxa...xaxaa 0n0n202010 =++++ 
)x(fxa...xaxaa 1n1n212110 =++++ 
)x(fxa...xaxaa 2n2n222210 =++++ 
... 
)x(fxa...xaxaa nnnn2n2n10 =++++ 
 
Observe que se trata de um sistema linear de n + 1 equações, onde as incógni-
tas são: a0, a1, a2, ..., an. Em forma matricial: 
 
)x(f
)x(f
)x(f
)x(f
a
a
a
a
xxx1
xxx1
xxx1
xxx1
n
2
1
0
n
2
1
0
n
n
2
nn
n
2
2
22
n
1
2
11
n
0
2
00
MMO
= 
 
Este sistema possui solução única desde que os pontos informados na tabela 
sejam distintos. Neste capítulo, serão estudadas 3 formas de interpolação: 
 
a) Resolução do sistema linear; 
b) Forma de Lagrange; 
c) Forma de Newton. 
 
 
C – Resolução do Sistema Linear 
 
Neste caso, basta aplicar algum dos procedimentos apresentados no Capítulo 
6 para resolver o sistema linear obtido acima. 
 
 
Exemplo 
 
Determine o polinômio de grau n ≤ 2 que interpola os pontos da tabela abai-
xo. Em seguida, estime f(0,5). 
 
x –1 0 2 
f(x) 6 2 0 
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125
Deseja-se um polinômio da forma, 
 
2
2102 xaxaa)x(P ++= 
 
onde os coeficientes são determinados pela solução do sistema: 
 
0
2
6
a
a
a
421
001
111
2
1
0
=
−
. 
 
Resolvendo, têm-se: 0a = 2, 1a = – 3 e 2a = 1. 
 
Logo: 22 xx32)x(P +−= . 
 
Assim: 75,0)5,0(P)5,0(f 2 =≅ . 
 
 
Exemplo 
 
Determine o polinômio de grau n ≤ 3 que interpola os pontos da tabela abaixo 
e estime f(1,3). 
 
x –1 0 1 2 
f(x) 3 2 4 3 
 
O polinômio desejado é do tipo: 
 
3
3
2
2103 xaxaxaa)x(P +++= . 
 
O sistema linear a ser resolvido é 
 
3
4
2
3
a
a
a
a
8421
1111
0001
1111
3
2
1
0
=
−−
 
 
cuja solução é: 0a = 2, 1a = 1,5, 2a = 1,5 e 3a = –1. 
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Assim: 
 
32
3 xx5,1x5,12)x(P −++= 
288,4)3,1(P)3,1(f 3 =≅ . 
 
Este problema também foi resolvido através da implementação computacional 
do método apresentado em MATLAB. O programa lê os dados de x e f(x), 
monta o sistema linear em forma matricial, e o resolve numericamente. Os 
resultados obtidos são mostrados abaixo. 
 
 
=========================== 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Interpolação Polinomial 
Resolução do Sistema Linear 
=========================== 
 
Título: Exemplo 
 
Tabela de Dados: 
 
----------------- 
 x f(x) 
----------------- 
 -1.0000 3.0000 
 0.0000 2.0000 
 1.0000 4.0000 
 2.0000 3.0000 
----------------- 
 
Coeficientes: 
 
----------------- 
 i a 
----------------- 
 0 2.0000 
 1 1.5000 
 2 1.5000 
 3 -1.0000 
----------------- 
 
Valor Desejado: 
 
x = 1.3000 
f(x) = 4.2880 
 
 
A seguir, é apresentado um gráfico onde se pode observar os pontos da tabela, 
bem como a curva descrita pelo polinômio interpolador. Note que o polinô-
mio realmente “passa” por todos os pontos tabelados. 
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-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
CÁLCULO NUMÉRICO: Interpolação Polinomial
X
P(
X)
 
 
D – Forma de Lagrange 
 
Os valores numéricos de um polinômio Pn(x) podem ser obtidos por: 

=
×=
n
0i
iin )x(L)x(f)x(P 
sendo: 
∏
≠
=
−
−
=
n
ij
0j ji
j
i
xx
xx)x(L 
onde x é um valor qualquer em que se deseja estimar f(x). 
 
 
Exemplo 
 
Considere a tabela (já utilizada em um exemplo anterior): 
 
x –1 0 2 
f(x) 6 2 0 
 
Pede-se: 
 
a) Estime f(0,5) por interpolação polinomial de grau 2; 
b) Generalize para qualquer x entre –1 e 2. 
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De acordo com a forma de Lagrange, tem-se no item “a”: 
 
)5,0(L)x(f)5,0(L)x(f)5,0(L)x(f)5,0(P 2211002 ++= 
)5,0(L0)5,0(L2)5,0(L6)5,0(P 2102 ++= . 
 
Neste caso: 
 
• 25,0)21)(01(
)25,0)(05,0(
)xx)(xx(
)x5,0)(x5,0()5,0(L
2010
21
0 −=
−−−−
−−
=
−−
−−
= 
• 125,1)20)(10(
)25,0)(15,0(
)xx)(xx(
)x5,0)(x5,0()5,0(L
2101
20
1 =
−+
−+
=
−−
−−
= 
• 125,0)02)(12(
)05,0)(15,0(
)xx)(xx(
)x5,0)(x5,0()5,0(L
1202
10
2 =
−+
−+
=
−−
−−
= 
 
Logo: 
 
75,0)125,0(0)125,1(2)25,0(6)5,0(P2 =++−= (idem ao anterior). 
 
O resultado abaixo foi obtido através de um programa para interpolação poli-
nomial pela forma de Lagrange. 
 
 
======================= 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Lagrange 
======================= 
 
Título: Exemplo 
 
Tabela de Dados: 
 
----------------- 
 x f(x) 
----------------- 
 -1.0000 6.0000 
 0.0000 2.0000 
 2.0000 0.0000 
----------------- 
 
Valor Desejado: 
 
x = 0.5000 
f(x) = 0.7500 
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Para o item “b”, tem-se, de acordo com a forma de Lagrange: 
 
)x(L)x(f)x(L)x(f)x(L)x(f)x(P 2211002 ++= 
)x(L0)x(L2)x(L6)x(P 2102 ++= . 
 
Neste caso: 
 
• 
3
x2x
)21)(01(
)2x)(0x(
)xx)(xx(
)xx)(xx()x(L
2
2010
21
0
−
=
−−−−
−−
=
−−
−−
= 
• 
2
2xx
)20)(10(
)2x)(1x(
)xx)(xx(
)xx)(xx()x(L
2
2101
20
1
−
−−
=
−+
−+
=
−−
−−
= 
• 
6
xx
)02)(12(
)0x)(1x(
)xx)(xx(
)xx)(xx()x(L
2
1202
10
2
+
=
−+
−+
=
−−
−−
= 
 
Logo: 
 
2xxx4x2
6
xx0
2
2xx2
3
x2x6)x(P 22
222
2 ++−−=




 +
+





−
−−
+





−
= 
2x3x)x(P 22 +−= . 
 
Note que este resultado é idêntico ao obtido anteriormente, com a solução do 
sistema linear. 
 
 
E – Forma de Newton 
 
Se os pontos tabelados forem igualmente espaçados, i.e. hxx k1k +=+ , pode-
se obter os valores numéricos do polinômio interpolador com base em uma 
tabela de diferenças. Note que h é o passo usado na montagem da tabela. 
 
 
Tabela de Diferenças 
 
Pode-se calcular as diferenças de 1ª ordem por )x(f)x(f)x(f i1ii −=∆ + , p/ i = 
0...n-1, as diferenças de 2ª ordem por )x(f)x(f)x(fi1ii2 ∆−∆=∆ + , p/ i = 0... 
n-2, e assim sucessivamente, até a diferença de ordem n, calculada pela ex-
pressão )x(f)x(f)x(f 01n11n0n −− ∆−∆=∆ . 
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Exemplo 
 
Calcule a tabela de diferenças para a função )x(sen)x(f = . 
 
x f(x) 
0 0 
pi/6 0,5 
pi/3 0,866025 
pi/2 1 
 
Note que h = pi/6 e n = 3. Assim, têm-se diferenças até a terceira ordem, como 
pode ser visto abaixo: 
 
i x f(x) )x(f∆ )x(f2∆ )x(f3∆ 
0 0 0 0,5 -0,133975 -0,098075 
1 pi/6 0,5 0,366025 -0,232050 - 
2 pi/3 0,866025 0,133975 - - 
3 pi/2 1 - - - 
 
 
Fórmula de Newton 
 
Para conhecer o polinômio de grau n que interpola os n+1 pontos da tabela, 
basta fazer: 
 
)x(f)x(P 00 = 
)xx)...(xx)(xx(
h!i
)x(f)x(P)x(P 1i10i 0
i
1ii −− −−−
∆
+= 
 
para i = 1, ..., n, onde x é o valor para o qual se deseja estimar f(x). Observe 
que no cálculo do polinômio é utilizada apenas a primeira linha da tabela de 
diferenças. 
 
 
Exemplo 
 
Calcule sen(pi/4) com base na tabela de diferenças anterior. 
 
Note que x = pi/4, h = pi/6 e n = 3. Assim: 
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• 0)0(f)4/(P0 ==pi 
• 75,0)04/(
)6/(!1
5,00)4/(P 11 =−pipi
+=pi 
• 700,0)6/4/)(04/(
)6/(!2
133975,075,0)4/(P 22 =pi−pi−pipi
−=pi 
• 706,0)3/4/)(6/4/)(04/(
)6/(!3
098075,0700,0)4/(P 33 =pi−pipi−pi−pipi
−=pi . 
 
A estimativa para sen(pi/4) é 0,706. Na realidade, sen(pi/4) = 0,707. 
 
 
Exemplo 
 
Determine o polinômio de grau n ≤ 2 que interpola os pontos da tabela para 
estimar f(0,75). 
 
x 0,50 1,00 1,50 
f(x) 2,25 4,00 6,25 
 
Inicialmente, deve-se montar a tabela de diferenças. Como n = 2, haverá dife-
renças de até 2ª ordem. Assim: 
 
i x f(x) )x(f∆ )x(f2∆ 
0 0,50 2,25 1,75 0,50 
1 1,00 4,00 2,25 - 
2 1,50 6,25 - - 
 
Agora, basta montar o polinômio pela fórmula de Newton, observando que o 
passo usado na montagem da tabela é igual a 0,50. Assim: 
 
• 25,2)50,0(f)75,0(P0 == 
• 125,3)5,075,0(
5,0 !1
75,125,2)75,0(P 11 =−+= 
• 0625,3)175,0)(5,075,0(
5,0 !2
5,0125,3)75,0(P 22 =−−+= . 
 
Assim, tem-se que 0625,3)75,0(P)75,0(f 2 =≅ . 
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132
O mesmo resultado foi obtido por um programa computacional que lê os da-
dos de x e f(x), monta a tabela de diferenças de acordo com a regra apresenta-
da anteriormente e, finalmente, aplica a fórmula de Newton. 
 
 
======================= 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Newton 
======================= 
 
Título: Exemplo 
 
Tabela de Dados: 
 
------------------- 
i x f(x) 
------------------- 
0 0.5000 2.2500 
1 1.0000 4.0000 
2 1.5000 6.2500 
------------------- 
 
Tabela de Diferenças: 
 
------------------------------------- 
i x f(x) DF1 DF2 
------------------------------------- 
0 0.5000 2.2500 1.7500 0.5000 
1 1.0000 4.0000 2.2500 
2 1.5000 6.2500 
------------------------------------- 
 
Valores Calculados: 
 
x = 0.7500 
 
------------ 
i p(x) 
------------ 
0 2.2500 
1 3.1250 
2 3.0625 
------------ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.2 – Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados 
 
 
A – Introdução 
 
A interpolação polinomial não é aconselhável quando: 
 
a) É necessário calcular um valor aproximado da função f(x) em pontos fora 
do intervalo de tabelamento, i.e., quando é necessário extrapolar; 
b) Os valores tabelados resultam de algum experimento físico ou processo de 
medição. Neste caso, os valores podem conter erros inerentes, que, em ge-
ral, não são previsíveis. 
 
Surge então a necessidade de se determinar uma função que seja uma boa 
aproximação para os valores tabelados e que permita extrapolar com certa 
margem de segurança, sem, no entanto, “passar pelos pontos”. 
 
O método dos mínimos quadrados consta de duas etapas: 
 
a) Observação gráfica dos valores, através da qual se pode escolher uma fun-
ção (polinômio, exponencial, logaritmo, etc.) que se assemelhe à distribui-
ção dos pontos. 
b) Determinação dos parâmetros da função, que é feita de acordo com o crité-
rio: “minimizar a soma dos quadrados dos desvios entre o modelo propos-
to e os valores tabelados”. 
 
 
B – Ajuste por Reta (Regressão Linear) 
 
A regressão linear deve ser utilizada nos casos em que os pontos tabelados 
apresentarem tendência semelhante a uma reta. A figura a seguir ilustra uma 
reta ajustada entre os pontos definidos por uma tabela do tipo, 
 
i xi fi 
1 x1 f1 
2 x2 f2 
... 
m xm fm 
 
Observe que para cada xi existe um desvio, i.e., uma diferença entre fi e o va-
lor p(xi), calculado pelo modelo linear. 
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134
 
+
x
f(x)
+
+ +
+f(x)
valores tabelados
p(x)
reta ajustada
d(xi) = f(xi)-p(xi)
desvio
 
 
De acordo com a reta, 
 
xaa)x(p 10 += . 
 
Assim, o desvio em cada ponto é calculado por, 
 
i10iiii xaa)x(f)x(p)x(f)x(d −−=−= 
 
que, por simplicidade de notação, pode ser reescrita como, 
 
i10ii xaafd −−= . 
 
Deve-se minimizar a soma dos quadrados de todos os desvios, i.e. 
 

=
−−=+++=
m
1i
2
i10i
2
m
2
2
2
1 )xaaf(d...ddS 
 
deve ser a menor possível. Para isso, deriva-se S com relação aos parâmetros 
0a e 1a , e iguala-se seu resultado a zero. Assim: 
 
• [ ]
=
=−−−→=
∂
∂ m
1i
i10i
0
0)1)(xaaf(2 0
a
S
 
 
• [ ] 0)x)(xaaf(2 0
a
S m
1i
ii10i
1
=−−−→=
∂
∂

=
 
 
Desenvolvendo as duas equações anteriores: 
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135

==
=+
m
1i
i
m
1i
i10 f xama 
 

===
=+
m
1i
ii
m
1i
2
i1
m
1i
i0 xfx a xa . 
 
Observe que se trata de um sistema linear, 
 




=
=
==
=
=
m
1i
ii
m
1i
i
1
0
m
1i
2
i
m
1i
i
m
1i
i
xf
f
 
a
a
 
xx
xm
 
 
cuja solução permite conhecer os parâmetros 0a e 1a . 
 
 
Exemplo 
 
Determine a reta de regressão para os valores abaixo e estime f(7). 
 
xi 0 1 2 3 4 5 6 
fi 2 3 5 5 9 8 10 
 
Para auxiliar na solução do sistema linear que determina os parâmetros da re-
ta, pode-se construir a seguinte tabela: 
 
i xi fi xifi xi2 
1 0 2 0 0 
2 1 3 3 1 
3 2 5 10 4 
4 3 5 15 9 
5 4 9 36 16 
6 5 8 40 25 
7 6 10 60 36 
Soma 21 42 164 91 
 
Agora, tem-se o sistema. Observe que o número de pontos é m = 7. 
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136
164
42
 
a
a
 
9121
217
1
0
= 
 
Resolvendo, tem-se a0 = 1,9286 e a1 = 1,3571. Assim, a reta de mínimos qua-
drados tem a expressão, 
 
x 3571,19286,1)x(p += . 
 
Logo: 4286,1173571,19286,1)7(p)7(f =×+=≅ . 
 
Este método foi implementado em um programa MATLAB que forneceu os 
seguintes resultados: 
 
 
============================ 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Ajuste por Mínimos Quadrados 
Regressão Linear 
============================ 
 
Título: Exemplo 
 
Tabela de Dados: 
 
----------------- 
 x f(x) 
----------------- 
 0.0000 2.0000 
 1.0000 3.00002.0000 5.0000 
 3.0000 5.0000 
 4.0000 9.0000 
 5.0000 8.0000 
 6.0000 10.0000 
----------------- 
 
Coeficientes: 
 
----------------- 
 i a 
----------------- 
 0 1.9286 
 1 1.3571 
----------------- 
 
Valor Desejado: 
 
x = 7.0000 
f(x) = 11.4286 
 
A figura a seguir mostra, em um mesmo plano, os pontos tabelados e a reta 
ajustada. 
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137
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
12
CÁLCULO NUMÉRICO: Regressão Linear
X
P(
X)
 
 
Observe como a reta realmente não passa pelos pontos tabelados, i.e. 
 
56428,423571,19286,1)2(p
32857,313571,19286,1)1(p
29286,103571,19286,1)0(p
≠=×+=
≠=×+=
≠=×+=
 
 
e assim para os demais pontos. Logo, no método dos mínimos quadrados, 
 
)x(f)x(p ii ≠ para i =1...m. 
 
 
C – Regressão Polinomial 
 
Se a tendência apresentada pelos pontos tabelados indicar uma função de grau 
maior que 1, pode-se ajustar a eles uma função polinomial. 
 
Dada uma tabela com “m” pontos distintos, do tipo, 
 
i xi fi 
1 x1 f1 
2 x2 f2 
... 
m xm fm 
Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
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138
pretende-se determinar o polinômio de grau n < m que melhor se ajuste aos 
pontos segundo o critério dos mínimos quadrados, i.e. 
 
n
n
2
210n xa...xaxaa)x(p ++++= . 
 
Para um ponto “i” qualquer, o desvio entre o valor tabelado e o calculado pelo 
modelo proposto é dado por: 
 
n
in
2
i2i10iinii xa...xaxaaf)x(pfd −−−−−=−= . 
 
Pelo critério dos mínimos quadrados, deve-se minimizar a soma dos quadra-
dos dos desvios, i.e. 
 

=
−−−−−=
m
1i
2n
in
2
i2i10i )xa...xaxaaf(SMinimizar . 
 
Para isso, basta derivar S com relação a cada parâmetro do modelo e igualar o 
resultado a zero, i.e. 
 
• 0)1)(xa...xaxaaf(2 0
a
S m
1i
n
in
2
i2i10i
0
=−−−−−−→=
∂
∂

=
 
• 0)x)(xa...xaxaaf(2 0
a
S m
1i
i
n
in
2
i2i10i
1
=−−−−−−→=
∂
∂

=
 
... 
• 0)x)(xa...xaxaaf(2 0
a
S m
1i
n
i
n
in
2
i2i10i
n
=−−−−−−→=
∂
∂

=
 
 
Para as equações acima serem satisfeitas, deve-se ter: 
 
• 0)xa...xaxaaf(
m
1i
n
in
2
i2i10i =+++++−
=
 
• 0)xa...xaxaxaxf(
m
1i
1n
in
3
i2
2
i1i0ii =+++++−
=
+
 
... 
• 0)xa...xaxaxaxf(
m
1i
nn
in
2n
i2
1n
i1
n
i0
n
ii =+++++−
=
+++
. 
 
Ou seja: 
Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
Prof. João Guilherme de C. Costa 
139
• 
==
=++++
m
1i
i
m
1i
n
in
2
i2i10 f)xa...xaxaa( 
• i
m
1i
i
m
1i
1n
in
3
i2
2
i1i0 xf)xa...xaxaxa( 
==
+
=++++ 
... 
• 
n
i
m
1i
i
m
1i
nn
in
2n
i2
1n
i1
n
i0 xf)xa...xaxaxa( 
==
+++
=++++ 
 
Observe que as últimas equações correspondem a um sistema linear, onde as 
incógnitas são os coeficientes do modelo. Assim: 
 
n
i
m
1i
i
2
i
m
1i
i
i
m
1i
i
m
1i
i
n
2
1
0
m
1i
nn
i
m
1i
2n
i
m
1i
1n
i
m
1i
n
i
m
1i
2n
i
m
1i
4
i
m
1i
3
i
m
1i
2
i
m
1i
1n
i
m
1i
3
i
m
1i
2
i
m
1i
i
m
1i
n
i
m
1i
2
i
m
1i
i
xf
xf
xf
f
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxm








=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
=
+
===
=
+
===
===
=
M
M
O
 
 
 
Exemplo 
 
Determine os coeficientes do melhor polinômio de grau 2, que pode represen-
tar os pontos da tabela abaixo. Em seguida, estime f(8). 
 
i xi fi 
1 0,23 5,64 
2 1,01 7,83 
3 2,29 17,04 
4 2,87 21,38 
5 4,15 24,56 
6 5,36 16,21 
7 5,51 14,57 
8 6,36 0,78 
9 6,84 -7,64 
10 7,00 -12,52 
Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
Prof. João Guilherme de C. Costa 
140
Deseja-se: 
 
2
2102 xaxaa)x(p ++= 
 
Assim, tem-se um sistema do tipo: 
 






=
=
=
===
===
==
=
m
1i
2
ii
m
1i
ii
m
1i
i
2
1
0
m
1i
4
i
m
1i
3
i
m
1i
2
i
m
1i
3
i
m
1i
2
i
m
1i
i
m
1i
2
i
m
1i
i
xf
xf
f
a
a
a
xxx
xxx
xxm
 
 
Para ajudar na montagem do sistema, pode-se fazer a seguinte tabela: 
 
i xi xi2 xi3 xi4 fi fi xi fi xi2 
1 0,23 0,0529 0,0122 0,0028 5,64 1,2972 0,2984 
2 1,01 1,0201 1,0303 1,0406 7,83 7,9083 7,9874 
3 2,29 5,2441 12,0090 27,5006 17,04 39,0216 89,3595 
4 2,87 8,2369 23,6399 67,8465 21,38 61,3606 176,1049 
5 4,15 17,2225 71,4734 296,6145 24,56 101,9240 422,9846 
6 5,36 28,7296 153,9907 825,3899 16,21 86,8856 465,7068 
7 5,51 30,3601 167,2842 921,7357 14,57 80,2807 442,3467 
8 6,36 40,4496 257,2595 1636,1701 0,78 4,9608 31,5507 
9 6,84 46,7856 320,0135 2188,8924 -7,64 -52,2576 -357,4420 
10 7,00 49,0000 343,0000 2401,0000 -12,52 -87,6400 -613,4800 
Soma 41,62 227,1014 1349,7125 8366,1931 87,85 243,7412 665,4169 
 
Logo, o sistema a ser resolvido é, 
 
4169,665
7412,243
85,87
a
a
a
1931,83667125,13491014,227
7125,13491014,22762,41
1014,22762,4110
2
1
0
= 
 
que tem a seguinte solução: 
 
4153,2
8712,15
4199,2
a
a
a
2
1
0
−
−
= . 
Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
Prof. João Guilherme de C. Costa 
141
Assim, o polinômio procurado é: 
 
2
2 x4153,2x8712,154199,2)x(p −+−= . 
 
O valor estimado para f(8) é então: 
 
0272,3084153,288712,154199,2)8(p)8(f 22 −=×−×+−=≅ . 
 
Os resultados abaixo foram obtidos por um programa computacional escrito 
em MATLAB para a determinação de aproximações polinomiais através do 
método de mínimos quadrados. 
 
 
============================ 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
Ajuste por Mínimos Quadrados 
Regressão Polinomial 
============================ 
 
Título: Exemplo 
 
Tabela de Dados: 
 
----------------- 
 x f(x) 
----------------- 
 0.2300 5.6400 
 1.0100 7.8300 
 2.2900 17.0400 
 2.8700 21.3800 
 4.1500 24.5600 
 5.3600 16.2100 
 5.5100 14.5700 
 6.3600 0.7800 
 6.8400 -7.6400 
 7.0000 -12.5200 
----------------- 
 
Grau Desejado: 2 
 
Coeficientes: 
 
----------------- 
 i a 
----------------- 
 0 -2.4199 
 1 15.8712 
 2 -2.4153 
----------------- 
 
Valor Desejado: 
 
x = 8.0000 
f(x) = -30.0272 
Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
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142
Observe no gráfico gerado pelo programa que o polinômio realmente não in-
tercepta todos os pontos da tabela. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
CÁLCULO NUMÉRICO: Regressão Polinomial
X
P(
X)
 
 
Exemplo 
 
Determine os coeficientes do melhor polinômio de grau 2, que pode represen-
tar os pontos da tabela abaixo. 
 
i xi fi 
1 0 -1 
2 1 -2 
3 1,5 -2,8750 
4 3 2 
 
Aplicando o programa computacional, com n = 2, tem-se: 
 
Tabela de Dados: 
 
----------------- 
 x f(x) 
----------------- 
 0.0000 -1.0000 
 1.0000 -2.0000 
 1.5000 -2.8750 
 3.0000 2.0000 
----------------- 
 
Grau Desejado: 2 
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143
Coeficientes: 
 
----------------- 
 i a 
-----------------0 -0.8800 
 1 -2.9600 
 2 1.3000 
----------------- 
 
Logo, o polinômio do 2º grau que melhor aproxima os pontos da tabela é: 
 
2
2 x30,1x96,288,0)x(p +−−= . 
 
Graficamente, 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
CÁLCULO NUMÉRICO: Regressão Polinomial
X
P(
X)
 
 
Neste caso, tem-se m = 4 (no de pontos) e n = 2 (grau do polinômio). Admi-
tindo-se n = m – 1 = 3, vem que: 
 
Tabela de Dados: 
 
----------------- 
 x f(x) 
----------------- 
 0.0000 -1.0000 
 1.0000 -2.0000 
 1.5000 -2.8750 
 3.0000 2.0000 
----------------- 
 
Grau Desejado: 3 
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144
Coeficientes: 
 
----------------- 
 i a 
----------------- 
 0 -1.0000 
 1 1.0000 
 2 -3.0000 
 3 1.0000 
----------------- 
 
Assim, o polinômio que melhor ajusta os pontos segundo o critério de míni-
mos quadrados é, 
 
32
3 xx3x1)x(p +−+−= . 
 
Note que: 
 
)1(f2)1(p
)0(f1)0(p
3
3
=−=
=−=
 ).3(f2)3(p
)5,1(f8750,2)5,1(p
3
3
==
=−=
 
 
Graficamente, 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
CÁLCULO NUMÉRICO: Regressão Polinomial
X
P(
X)
 
 
Observe que, neste caso, o polinômio obtido “passa” sobre os pontos tabela-
dos, tal como na interpolação. Assim, sempre que n = m – 1, o método dos 
mínimos quadrados resultará no próprio polinômio interpolador. 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
Prof. João Guilherme de C. Costa 
145
D – Outros Tipos de Regressão 
 
Pode-se ainda ajustar funções exponenciais, trigonométricas, logarítmicas e 
etc. De uma forma geral, deseja-se aproximar um função f(x) desconhecida 
por uma função do tipo, 
 
)x(a...)x(a)x(a)x( nn2211 ϕ++ϕ+ϕ=ϕ 
 
onde )x(jϕ (para j = 1...n) é uma função qualquer escolhida pelo analista e os 
parâmetros aj (para j = 1...n) deverão ser determinados. Considere a tabela, 
 
i xi fi 
1 x1 f1 
2 x2 f2 
... 
m xm fm 
 
Neste caso, o desvio de cada ponto pode ser calculado como, 
 
)x(a...)x(a)x(af)x(fd nn2211iiii ϕ−−ϕ−ϕ−=ϕ−= . 
 
De acordo com o método dos mínimos quadrados, deve-se minimizar, 
 
[ ]
=
ϕ−−ϕ−ϕ−=
m
1i
2
inni22i11i )x(a...)x(a)x(afS . 
 
Assim, de forma análoga aos desenvolvimentos anteriores, tem-se: 
 
• 
=
ϕ−×ϕ−−ϕ−ϕ−→=
∂
∂ m
1i
i1inni22i11i
1
)]x([)]x(a...)x(a)x(af[2 0
a
S
 
• 
=
ϕ−×ϕ−−ϕ−ϕ−→=
∂
∂ m
1i
i2inni22i11i
2
)]x([)]x(a...)x(a)x(af[2 0
a
S
 
... 
• 
=
ϕ−×ϕ−−ϕ−ϕ−→=
∂
∂ m
1i
ininni22i11i
n
)]x([)]x(a...)x(a)x(af[2 0
a
S
. 
 
Para que as equações anteriores sejam satisfeitas, deve-se ter: 
Notas de Aula de Cálculo Numérico – Capítulo 7 
Prof. João Guilherme de C. Costa 
146
• 
=
=ϕ−×ϕ−−ϕ−ϕ−
m
1i
i1inni22i11i 0)]x([)]x(a...)x(a)x(af[ 
• 0)]x([)]x(a...)x(a)x(af[
m
1i
i2inni22i11i =ϕ−×ϕ−−ϕ−ϕ−
=
 
... 
• 0)]x([)]x(a...)x(a)x(af[
m
1i
ininni22i11i =ϕ−×ϕ−−ϕ−ϕ−
=
. 
 
Ou ainda: 
 
)x(f)x()x(a...)x()x(a)x()x(a i1
m
1i
m
1i
i
m
1i
ini1n
m
1i
i2i12i1i11 ϕ=ϕϕ++ϕϕ+ϕϕ 
= ===
 
 
)x(f)x()x(a...)x()x(a)x()x(a i2
m
1i
m
1i
i
m
1i
ini2n
m
1i
i2i22i1i21 ϕ=ϕϕ++ϕϕ+ϕϕ 
= ===
 
 
... 
 
)x(f)x()x(a...)x()x(a)x()x(a in
m
1i
m
1i
i
m
1i
ininn
m
1i
i2in2i1in1 ϕ=ϕϕ++ϕϕ+ϕϕ 
= ===
. 
 
Este último conjunto de equações corresponde a um sistema linear do tipo: 
 






=
=
=
===
===
===
ϕ
ϕ
ϕ
=
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
m
1i
ini
m
1i
i2i
m
1i
i1i
n
2
1
m
1i
inin
m
1i
i2in
m
1i
i1in
m
1i
ini2
m
1i
i2i2
m
1i
i1i2
m
1i
ini1
m
1i
i2i1
m
1i
i1i1
)x(f
)x(f
)x(f
a
a
a
)x()x()x()x()x()x(
)x()x()x()x()x()x(
)x()x()x()x()x()x(
M
M
O
 
 
 
Exemplo 
 
Considerando a tabela a seguir, determine a função x21 eaxa)x( −+=ϕ que 
melhor aproxima os pontos segundo o critério dos mínimos quadrados. 
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147
xi 1 1,5 2 3 
fi 0,210 0,139 0,105 0,070 
 
Neste caso, tem-se: 
 
x
21 eaxa)x( −+=ϕ . 
 
Assim, x)x(1 =ϕ , x2 e)x( −=ϕ , e o sistema a ser resolvido é: 
 




=
=
==
==
ϕ
ϕ
=
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
m
1i
i2i
m
1i
i1i
2
1
m
1i
i2i2
m
1i
i1i2
m
1i
i2i1
m
1i
i1i1
)x(f
)x(f
a
a
)x()x()x()x(
)x()x()x()x(
 
 
Para conhecer os coeficientes deste sistema, pode-se usar a seguinte tabela: 
 
i xi fi ϕ1(xi) ϕ2(xi) ϕ1(xi) ϕ1(xi) 
ϕ1(xi) 
ϕ2(xi) 
ϕ2(xi) 
ϕ2(xi) ϕ1(xi) fi ϕ2(xi) fi 
1 1 0,210 1,0000 0,3679 1,0000 0,3679 0,1354 0,2100 0,0773 
2 1,5 0,139 1,5000 0,2231 2,2500 0,3347 0,0498 0,2085 0,0310 
3 2 0,105 2,0000 0,1353 4,0000 0,2706 0,0183 0,2100 0,0142 
4 3 0,070 3,0000 0,0498 9,0000 0,1494 0,0025 0,2100 0,0035 
Soma 16,2500 1,1226 0,2059 0,8385 0,1260 
 
Assim, tem-se o sistema, 
 
1260,0
8385,0
a
a
2059,01226,1
1226,12500,16
2
1
= 
 
cuja solução vale: 
 
5304,0
0150,0
a
a
2
1
= . 
 
Logo a função do tipo desejado que melhor aproxima os pontos da tabela é: 
 
xe5304,0x0150,0)x( −+=ϕ . 
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Prof. João Guilherme de C. Costa 
148
7.3 – Exercícios Propostos 
 
1) Aproxime a função xLog10 no intervalo [2, 3] usando 2 e 3 pontos. Estime 
)4,2(Log10 em cada caso e verifique os erros. Resolva o sistema linear. 
 
2) Estime f(1,5) por interpolação de 3º grau. Use fórmula de Lagrange. 
 
x 1 2 3 4 5 
f(x) 0 0,2 0,3 0,5 0,6 
 
3) Dada a tabela de valores de f(x), calcule f(2,5) usando a fórmula de New-
ton para determinar um polinômio interpolador de grau n ≤ 3. 
 
x 2,0 2,2 2,4 2,6 
f(x) 0,5104 0,5208 0,5104 0,4813 
 
4) Dada a tabela abaixo, calcule f(0,203) usando regressão linear. 
 
x 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 
f(x) 0,15 0,155 0,172 0,171 0,19 0,212 0,203 0,222 
 
5) Determine o melhor polinômio de 2º grau que pode representar os pontos: 
 
x 0 1 2,4 2,7 
f(x) 3,3 3,6 3,2 2,0 
 
6) Determine os parâmetros da função )x(senaeaxa)x( 3x21 ++=ϕ para que 
esta aproxime os pontos abaixo pelo critério dos mínimos quadrados. 
 
x 0 0,7 1 1,8 2,5 2,8 3 
f(x) -7 5,733 9 12,872 12,375 11,592 11 
 
Respostas 
 
1) 2 pts: p1(2,4) = 0,3714, erro = 2,3%; 3 pts: p2(2,4) = 0,3800, erro = 0,06% 
2) p3(1,5) = 0,1250 
3) p3(2,5) = 0,4981 
4) r(x) = –0,0101+1,0512x  r(0,203) = 0,2033 
5) p2(x) = 3,2352 + 1,0623x – 0,5210 x2 
6) )x(sen39,2e64,1x23,14)x( x −−=ϕ