Verdade e validade I – lógica de predicados - Direito

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MÓDULO DIDÁTICO DE FILOSOFIA
 
Verdade e validade I – lógica de predicados
 
1.1. Introdução: lógica e filosofia
Diferentemente de disciplinas como a matemática, a química e a biologia, o que caracteriza a filosofia não é a posse de um conjunto de
conhecimentos, estabelecidos e consensuais, acerca de um determinado setor da realidade. A filosofia lida com problemas em aberto, e tais
problemas não podem ser resolvidos com métodos similares aos utilizados, por exemplo, na matemática ou biologia. Exemplos de problemas
filosóficos são: que razões temos para acreditar na existência de Deus? As leis que regulam a vida em sociedade são justas? O que é uma lei
justa? Como julgar se uma ação humana é moralmente correta? O que distingue o conhecimento genuíno da crença e da opinião? A atividade
dos filósofos, desde o surgimento da filosofia na antiga Grécia, consiste em apresentar e discutir respostas para questões como essas. Mas tais
respostas não podem ser justificadas por meio de provas, como se fossem teoremas da matemática, nem por experimentos, que cumprem um
papel importante nas ciências empíricas. Quando a filosofia discute, por exemplo, se o aborto ou a eutanásia devem ou não ser condenados,
interessam as justificativas que temos para condená-los ou defendê-los. E essas justificativas são apresentadas na forma de argumentos. Por
essa razão, o trabalho do filósofo consiste sobretudo em construir argumentos para defender e atacar respostas fornecidas a problemas como
os acima mencionados. A argumentação, por essa razão, é uma ferramenta indispensável para o filósofo. Mas, afinal, o que é um argumento? O
que tem a lógica a ver com tudo isso?
Um argumento é um conjunto de sentenças estruturado de tal forma que uma sentença é a conclusão e as outras são as premissas do
argumento. A conclusão é a sentença que expressa a idéia ou tese que queremos defender e as premissas são as razões apresentadas para
sustentar a verdade da conclusão. A lógica (também chamada lógica dedutiva ou formal) é parte indispensável de uma teoria da argumentação.
Um estudo amplo dos critérios que determinam quando um dado argumento sustenta satisfatoriamente sua conclusão não se limita à lógica,
mas a lógica é como que a estrutura de uma teoria da argumentação em geral.
O objeto central de estudo da lógica é a noção de conseqüência lógica: o problema é saber quando uma conclusão se segue logicamente de
um determinado conjunto de premissas. Em outras palavras, queremos saber quando um dado argumento é válido. Mas o que é um argumento
válido? Responder a essa pergunta, fornecendo ao leitor ferramentas para distinguir argumentos válidos dos inválidos, é justamente o nosso
objetivo aqui.
Dica: Sobrea filosofia como pensamento crítico, leia Considerações sobre o caráter crítico da filosofia, em http://dl.dropbox.com/u/5959592
/fil_pens_critico.pdf. Sobrelógica e filosofia, leiao texto do Professor Desidério Murcho (UFOP) Lógica e filosofia, disponível em
http://criticanarede.com/logefil.html.
 
1.2. Tipos de argumentos
Já vimos que o objetivo de um argumento é justificar a verdade de uma conclusão baseado em um conjunto de premissas. Mas há diferentes
tipos de argumentos. No caso de um argumento dedutivamente válido, é impossível as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa. Esse
é o caso do argumento abaixo,
(a)
Premissa 1: Todo mineiro é brasileiro.
Premissa 2: Aécio Neves é mineiro.
Conclusão: Logo, Aécio Neves é brasileiro.
Entretanto, há argumentos nos quais a conclusão é satisfatoriamente sustentada pelas premissas, ainda que não seja impossível as premissas
serem verdadeiras e a conclusão falsa. Exemplos:
(b)
Premissa: 75% dos entrevistados declarou que vai votar no candidato X.
Conclusão: Logo, o candidato X vencerá as eleições.
(c)
Premissa 1: 99,8% dos testes de Aids do laboratório X têm resultado correto.
Premissa 2: O teste de Aids de Icabod foi feito no laboratório X e o resultado foi negativo.
Conclusão: Logo, Icabod não tem Aids.
A distinção entre argumentos dedutivos e não-dedutivos, também chamados indutivos, produz uma distinção nas formas de avaliar argumentos.
Do ponto de vista dedutivo, dizemos que os argumentos são válidos ou inválidos, e do ponto de vista indutivo dizemos que são fortes ou
fracos, conforme a conclusão seja mais ou menos provável. Note que um argumento pode ser inválido do ponto de vista dedutivo mas ainda
assim ser um bom argumento. O argumento (c), por exemplo, supondo que as premissas são verdadeiras, é um bom argumento. Mas (c) não é
válido do ponto de vista dedutivo, pois não é impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa, ainda que isso seja
extremamente improvável. Dizemos que (c) é um argumento indutivamente forte. Validade dedutiva e força indutiva são dois critérios diferentes
de avaliação de argumentos. Nós estudaremos aqui apenas a noção de validade dedutiva.
Atividade 1.1:
Faça os itens (i) e (ii) do Roteiro de Atividades Verdade e validade I, tópico Lógica e argumentação: conceitos fundamentais.
Para saber mais: Dentre os argumentos indutivos é importante mencionar aqui as generalizações indutivas e os argumentos por analogia.
Justificar as generalizações indutivas é um problema central da filosofia da ciência. Você pode ler mais a respeito nos capítulos I e II de
Chalmers, A. O que é a ciência afinal? Ed. Brasiliense, 1995. Já os argumentos por analogia, embora sejam muito usados na vida cotidiana e
até mesmo nas ciências, são algumas vezes enganadores. Para aprender os critérios utilizados para avaliar analogias e generalizações
indutivas leia os capítulos 12 e 14 de Carnielli e Epstein, Pensamento Crítico, Ed. Rideel, 2009. Sobre o problema da indução, leia também A
tese céptica de Hume acerca da indução de Elliott Sober, disponível em http://criticanarede.com/html/epi_hume.html.
 
1.3. Verdade e validade
Um argumento é sempre composto por sentenças declarativas, isto é, sentenças que têm valor de verdade. Há dois valores de verdade: o
verdadeiro e o falso. Achar que para uma sentença ‘ter valor de verdade’ é o mesmo que ‘ser verdadeira’ é um erro comum. Mas o falso é
também um valor de verdade, e uma sentença falsa tem valor de verdade. Exemplos de sentenças que não são declarativas são comandos,
perguntas, promessas e exclamações. Por exemplo: ‘feche a porta ao sair’, ‘você pode me dar um cigarro?’, ‘quem me dera passar no
vestibular!’ não são sentenças declarativas e portanto não são verdadeiras nem falsas, isto é, não têm valor de verdade.
Atividade 1.2:
Faça o item (iii) do Roteiro de Atividades Verdade e validade I, tópico Lógica e argumentação: conceitos fundamentais.
No uso corrente da linguagem, freqüentemente dizemos que uma determinada sentença é válida quando ela é verdadeira. Na lógica, o
significado de validade é mais restrito. Os termos válido e inválido aplicam-se a argumentos, não a sentenças. Sentenças são verdadeiras ou
falsas. Um argumento é válido quando é impossível suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Note que quando
dizemos que um argumento é válido não estamos afirmando que as premissas são verdadeiras nem estamos afirmando que a conclusão é
verdadeira, mas sim que não é possível conceber uma circunstância em que as premissas sejam todas verdadeiras e a conclusão falsa.
Podemos ter argumentos válidos com premissas falsas e conclusão falsa, como também argumentos inválidos com conclusão verdadeira. Veja
os exemplos abaixo (P1, P2 etc. significam premissa 1, premissa 2 etc., e C significa conclusão) :
Tanto (1) quanto (2) são argumentos válidos: em ambos não é possível conceber uma circunstância em que as premissas sejam todas
verdadeiras e a conclusão falsa. Entretanto, o argumento (2) tem conclusão falsa, mas isso ocorre porque (2), apesar de válido, tem uma
premissa falsa. Vamos ver agora exemplos deargumentos inválidos.
(3) e (4) são inválidos porque é possível conceber uma circunstância em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. Note que (3)
tem premissas verdadeiras e conclusão também verdadeira, mas as premissas não sustentam a verdade da conclusão, pois Zidane poderia não
ser carioca mas ainda assim ser brasileiro. Em (4), temos premissas verdadeiras e conclusão falsa, o que não seria possível se o argumento
fosse válido – lembre-se que, necessariamente, se um argumento válido tem premissas verdadeiras, então a conclusão tem que ser verdadeira.
 
Atividade 1.3:
Considere os argumentos abaixo:
(1)
P1: Todo mineiro é brasileiro.
P2: Aécio é mineiro.
C: Logo, Aécio é brasileiro.
(2)
P1: Todo mineiro é brasileiro.
P2: Obama é mineiro.
C: Logo, Obama é brasileiro.
(3)
P1: Todo carioca é brasileiro.
P2: Zidane não é carioca.
C: Logo, Zidane não é brasileiro.
(4)
P1: Todo carioca é brasileiro.
P2: Lula não é carioca.
C: Logo, Lula não é brasileiro.
Identifique qual argumento é válido e qual é inválido. Explique por que, em cada caso, a verdade ou falsidade da conclusão não depende da
validade ou invalidade do argumento.
 
1.4. Validade e forma
A validade de um argumento depende da sua forma. (1) e (2) têm a mesma forma lógica:
(I)
Todo A é B
c é A
Logo, c é B.
Qualquer argumento que tenha a forma (I) acima é válido, independentemente da verdade das premissas. Podemos facilmente perceber que (I)
é uma forma válida trabalhando com conjuntos. É uma boa oportunidade para você testar seus conhecimentos de teoria de conjuntos e também
para perceber que a matemática e a lógica são parentas próximas. Considere que A e B são conjuntos. Para a lógica, a sentença todo A é B
significa que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B,em símbolos,
A ⊆ B.
A sentença c é A significa que c é um elemento do conjunto A,
c ∈ A.
Ora, se é verdade que c ∈ A que A é subconjunto de B, daí se segue que
c ∈ B,
e esse é, para a lógica, o significado da sentença c é B. Por esse motivo, todo argumento que tem a forma (I) é válido. Em outras palavras,
quaisquer que sejam os significados atribuídos às letras c, A e B, teremos um argumento válido. Note que mesmo que sejam produzidas
sentenças falsas na atribuição de significados às letras c, A e B, a forma do argumento continua sendo válida. Esse é o caso de (2). Sabemos
que Obama não é mineiro nem brasileiro, mas (2) é válido porque tem uma forma válida.
Já os argumentos (3) e (4) são inválidos. A forma lógica de (3) e (4) é
(II)
Todo A é B
c não é A
Logo, c não é B.
Qualquer argumento que tenha a forma (II) acima é inválido, independentemente da verdade das premissas e da conclusão. Considere, como
foi feito acima, que A e B são conjuntos e que A é subconjunto de B,
A ⊆ B.
A sentença c não é A, do ponto de vista lógico, significa que c não é um elemento do conjunto A, i.e.
 c ∉ A.
Ora, é perfeitamente possível que c não seja um elemento de A mas seja um elemento de B, ou em outras palavras, é possível as premissas do
argumento serem verdadeiras e a conclusão falsa. Por esse motivo, todo argumento que tem a forma (II) é inválido.
Note que um argumento pode ser inválido mas ter uma conclusão verdadeira. De fato, esse é o caso de (3). Mas por (3) ser um argumento
inválido, a verdade da sentença ‘Zidane não é brasileiro’ não é justificada pelas premissas de (3).
Recapitulando: na lógica, não dizemos que um argumento é verdadeiro ou falso, mas sim válido ou inválido. Não dizemos que uma sentença é
válida ou inválida mas sim que é verdadeira ou falsa. E um argumento válido pode ter conclusão falsa, desde que tenha uma ou mais premissa
falsas, assim como um argumento inválido pode ter uma conclusão verdadeira que, nesse caso, não é devidamente justificada pelas premissas
do argumento. É justamente porque a validade de um argumento depende apenas da sua forma que a lógica é formal. Note que para a validade
não importa o conteúdo das sentenças. A forma (I) é válida, e a (II) é inválida, independentemente de estarmos falando de jogadores de futebol,
números, filósofos gregos, elementos químicos etc. Já a verdade das sentenças, evidentemente, depende do conteúdo, mas isso não é um
problema da lógica e sim do setor do conhecimento a que pertencem as sentenças do argumento.
(a)
Todo carioca é brasileiro.
Tom Jobim é brasileiro.
Logo, Tom Jobim é carioca.
(b)
Todo filósofo é grego.
Descartes não é grego.
Logo, Descartes não é filósofo.
Atividade 1.4:
Represente a forma lógica dos argumentos (a) e (b) da atividade 1.3. Justifique a validade/invalidade dos argumentos usando as noções de
teoria de conjuntos ⊆, ∈ e ∉ .
 
1.5. Validade e correção
Vimos nos exemplos acima que a validade de um argumento não depende da verdade das suas premissas e da conclusão. Mas nós usamos
argumentos com o objetivo de sustentar que uma determinada tese ou idéia, expressada pela conclusão, é verdadeira. Logo, não basta apenas
que o argumento seja válido. Precisamos também de premissas verdadeiras, pois somente nesse caso podemos ter certeza de que a conclusão
é verdadeira. Denominamos argumento correto aquele que, além de ser válido, tem as premissas verdadeiras. A diferença entre os
argumentos (1) e (2) é que o primeiro, além de válido, é correto, ao contrário do segundo.
 
Ao analisar um argumento, você deve fazer duas perguntas:
(1) É impossível as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa?
(2) Todas as premissas são verdadeiras?
Se a resposta à pergunta (1) for afirmativa, trata-se de um argumento VÁLIDO.
Se a resposta à pergunta (2) for também afirmativa, trata-se de um argumento CORRETO.
De posse das noções de verdade, validade e correção já temos algumas ferramentas para avaliar argumentos. Suponha que seu interlocutor
apresente um argumento dedutivo cuja conclusão você discorda. Para rejeitar o argumento você tem dois caminhos.
(i) Caso o argumento seja inválido, basta você mostrar que é possível as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa. Isso
já é suficiente para rejeitar o argumento, pois mesmo que a conclusão seja verdadeira, no caso de um argumento inválido, ela
não é adequadamente justificada pelas premissas.
(ii) Caso o argumento seja válido, a sua única alternativa é rejeitar pelo menos uma das premissas. Isso porque em um
argumento válido, se você aceita a verdade das premissas, é obrigado a aceitar também a verdade da conclusão.
Atividade 1.5:
O argumento básico contra o aborto é o seguinte:
Todo aborto é um assassinato de um ser humano inocente. Todo assassinato de um ser humano inocente deve ser condenado. Logo, todo
aborto deve ser condenado. (Adaptado de Peter Singer, Ética Prática, Ed. Martins Fontes 2002)
(i) O argumento é válido? Justifique. (ii) Se alguém discorda da conclusão do argumento, o que deve fazer para rejeitá-lo? Justifique. Repita o
mesmo exercício com o argumento abaixo:
Todo democrata favorece os pobres. Todo socialista favorece os pobres. Logo, todo democrata é socialista. (Adaptado de Gensler 2002)
Para saber mais: Leia o texto Os instrumentos do ofício de Cornman, Lehrer e Pappas, disponível http://criticanarede.com
/html/fil_instrumentosdooficio.html.
 
1.6. O que é a lógica de predicados
A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predicados. A lógica de predicados estuda a validade dos argumentos formados com
sentenças nas quais ocorrem os quantificadores todo, algum e nenhum. Vejamos novamente o argumento (a)
Note que nas sentenças do argumento acima não ocorre nenhum dos conectivos ou, e, se…então, não. Elas não são formadas a partir de
outras sentenças, como nos casos que iremos estudar na seção sobre na lógica sentencial. Para analisar o argumento acima precisamos
analisar a estrutura interna das sentenças, e nãoapenas o modo pelo qual sentenças são conectadas umas às outras.
Nós vamos trabalhar aqui com quatro tipos de sentenças formadas com os quantificadores, que tradicionalmente foram denominadas
proposições categóricas.
Sentenças com quantificadores relacionam predicados. Como já fizemos na seção 1.4, nós usaremos aqui algumas noções básicas de teoria de
conjuntos.
Antes de tratar das sentenças com quantificadores, veremos primeiro como a lógica analisa sentenças simples como
(1) Aristóteles é filósofo.
Sentenças como a (1) são denominadas sentenças atômicas e consistem na atribuição de um predicado a um indivíduo. (1) tem a forma a é F,
sendo a um nome de um indivíduo e F um predicado atribuído a tal indivíduo. Como vimos na seção 1.4, (1) significa que Aristóteles é um
elemento do conjunto dos filósofos.
(2) Todo mineiro é brasileiro.
A sentença (2) relaciona o predicado ser mineiro com o predicado ser brasileiro. Você pode pensar nos predicados como qualidades que
podem ser atribuídas a indivíduos. Dizemos que Lula é brasileiro e que Aécio é mineiro. Uma sentença como a (2) não atribui um predicado a
um indivíduo mas estabelece uma relação entre os predicados ser mineiro e ser brasileiro.
Para a lógica, nomes próprios como Lula e Aécio significam indivíduos, e predicados significam o conjunto
dos indivíduos/objetos que possuem a propriedade expressada pelo predicado. A sentença (2) diz que o
conjunto dos mineiros está contido no conjunto dos brasileiros. Podemos representar isso da seguinte forma:
 
Na figura, M representa o conjunto dos mineiros e B o conjunto dos brasileiros.
O significado de uma sentença todo F é G, portanto, é que o conjunto dos Fs está contido no conjunto dos Gs, em símbolos F ⊆ G. Note que
quando os conjuntos F e G são iguais é também verdadeiro que F está contido em G.
 
(3) Nenhum atleticano é cruzeirense.
A sentença (3) diz que a interseção entre o conjunto dos cruzeirenses e dos atleticanos é vazia. Ou
em outras palavras, que tais conjuntos, representados ao lado respectivamente por A e C, são
disjuntos.
 
(4) Alguns filósofos são gregos.
A sentença (4) diz que a interseção entre o conjunto de filósofos e o conjunto dos gregos,
representados na figura respectivamente por F e G não é vazia.
 
(5) Alguns filósofos não são gregos.
A sentença (5) diz que a interseção entre o conjunto de filósofos e o conjunto de indivíduos que não
 
Todo mineiro é brasileiro.
Aécio é mineiro.
Logo, Aécio é brasileiro.
Forma lógica:
Todo A é B.
c é A.
Logo, c é B.
Todo F é G Nenhum F é G
Algum F é G Algum F é não G
são gregos não é vazia. Lembre-se que o conjunto dos indivíduos que não são gregos é o
complemento do conjunto dos gregos, ou tudo o que está fora do conjunto dos gregos. Em símbolos.
Para saber mais: Há outras circunstâncias em que uma sentença algum F é G é verdadeira: quando
(i) F ⊆ G ou (ii) G ⊆ F ou (iii) F = G, desde que G e F não sejam vazios. Nesses três casos a interseção entre F e G não é vazia, isto é, existe
pelo menos um indivíduo que é F e também é G. Analogamente, algum F não é G é verdadeira quando F não é vazio e (i) F e G são disjuntos
(isto é, nenhum F é G) ou (ii) G ⊆ F mas G ¹ F. Como exercício, represente graficamente as 3 circunstâncias em que algum F é G é verdadeira
e as 2 em que algum F é não G é verdadeira que não foram representadas acima.
Há formas equivalentes de escrever sentenças com os quantificadores:
Vejamos alguns exemplos. A sentença ‘Gatos são mamíferos’ é equivalente às sentenças ‘Todos os gatos são mamíferos’ e ‘Somente os
mamíferos são gatos’. Além disso, freqüentemente sentenças existenciais são escritas no plural: ‘Alguns cariocas são flamenguistas’; ‘Existem
brasileiros que não são alfabetizados’.
Atividade 1.6:
Formule sentenças equivalentes às sentenças abaixo com as formas todo A é B, nenhum A é B, algum A é B e algum A não é B. (Itens 9-12:
Gensler 2002)
Nem todas as ações são determinadas.1.
Ações socialmente úteis são corretas.2.
Somente as pessoas ricas são felizes.3.
Pessoas ricas não são felizes.4.
Nem toda pessoa egoísta é feliz.5.
Pessoas altruístas são felizes.6.
Existem pessoas ricas mas infelizes.7.
Somente as ações livres podem ser punidas com justiça.8.
Eu penso tudo que digo.9.
Eu digo tudo que penso.10.
Eu não penso tudo que digo. (Dica: (11) é equivalente à não é o caso que eu penso tudo que eu digo.)11.
Eu não digo tudo que penso.12.
 
1.7. Negações
Agora veremos como negar as sentenças com quantificadores.
(6) Todo mineiro é atleticano.
Para negar (6), que por sinal é falsa, precisamos de pelo menos um indivíduo que seja mineiro e não seja atleticano, isto é, precisamos afirmar
a sentença
(7) Algum mineiro não é atleticano,
que de fato é uma sentença verdadeira. Note que a negação de (6) não é a sentença
(8) Nenhum mineiro é atleticano.
Tanto (6) quanto (8) são falsas, e se uma sentença é falsa sua negação deve ser verdadeira. Para mostrar que (8) é falsa precisamos de pelo
menos um mineiro que seja atleticano, isto é precisamos afirmar
(9) Algum mineiro é atleticano.
O leitor atento já deve ter percebido que as negações de (7) e (9) são respectivamente (6) e (8). Pois se uma sentença A é a negação de uma
outra sentença B, esta mesma sentença B é também a negação de A.
Vemos retornar ao quadrado com os quatro tipos de sentenças que vimos aqui. Note que as negações estão nas diagonais do quadrado.
A negação de Todo F é G é Algum F não é G, e vice-versa.
Todo F é G ≡ Somente os Gs são Fs ≡ Fs são Gs
Nenhum F é G ≡ Todos os Fs são não-Gs ≡ Não existem Fs que sejam Gs.
Algum F é G ≡ Existe um F que é G ≡ Nem todo F é não G
Algum F é não G ≡ Existe um F que é não G ≡ Nem todo F é G
Todo F é G Nenhum F é G
 X 
Algum F é G Algum F é não G
A negação de Nenhum F é G é Algum F é G, e vice-versa.
 
Atividade 1.7:
Formule a negação das sentenças abaixo. Considere o que você aprendeu acima sobre negar sentenças com quantificadores (não vale colocar
não é o caso que no início das sentenças!!!)
1. Nenhum filósofo é grego.
2. Alguns filósofos não são holandeses.
3. Todo brasileiro é fanático por futebol.
4. Existem mamíferos aquáticos.
5. Existe pelo menos uma bicicleta de três rodas.
6. Filósofos são bons matemáticos.
7. Somente os bons matemáticos são filósofos.
8. Toda forma de racismo é moralmente condenável.
9. Algumas guerras são justas.
10. Nenhuma revolução pode ser justificada.
11. Algumas ações socialmente aprovadas não são moralmente corretas.
12. Nenhum aborto é moralmente justificável.
13. Alguns abortos não são moralmente justificáveis.
14. Nada decidido em assembléia pode ser revogado.
15. Somente pode ser revogado o que não foi decidido em assembléia.
 
1.8. Validade na lógica de predicados
A interpretação que fizemos das sentenças com quantificadores já nos permite determinar a validade de um grande número de argumentos da
lógica de predicados. Você já sabe que em um argumento válido é impossível suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Mais
precisamente,
Ou ainda, de modo equivalente,
Para verificar se um dado argumento é válido, o primeiro passo é escrever a forma do argumento. Lembre-se que a validade de um argumento
não depende da verdade das premissas e da conclusão mas sim da sua forma. O segundo passo é analisar a forma do argumento para
verificar se existe uma circunstância que torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Vamos agora analisar alguns argumentos da
lógica de predicados usando o que aprendemos na seção 1.6.
(1)
Todo homem é mortal.
Forma lógica:
Todo F é G
Você já deve ter visto esse argumento muitas vezes em livros de filosofia ou lógica. E possivelmente pensou que um tal argumento é tão
evidente que ninguémprecisa estudar lógica ou coisa alguma para saber que a conclusão que Sócrates é mortal se segue das premissas. Mas
o ponto é que precisamos saber por que esse argumento é válido. E essa resposta é dada pela lógica. ‘Sócrates é homem’ significa que o
indivíduo Sócrates pertence ao conjunto dos homens. ‘Todo homem é mortal’ significa que o conjunto dos homens está contido no conjunto dos
mortais. Como mostra a figura, o argumento é válido, pois se F ⊆ G e a ∈ F, evidentemente a ∈ G.
Argumentos com a forma
também são válidos, como pode ser constatado pela figura ao lado. Pois se F ⊆ G e a ∉ G (isto é, a está fora do conjunto G), então a ∉ F (a
também está fora de F).
Por outro lado, as formas
são ambas inválidas, o que pode ser constatado pela figura. Note que a ∈ G mas a ∉ F. Essa circunstância serve para mostrar que tanto (3)
quanto (4) são formas inválidas.
Para saber mais:
Vimos acima que uma mesma circunstância mostra que (3) e (4) são formas inválidas. Agora, reflita com calma e atenção acerca das formas (3)
e (4), considere a definição de validade e responda: toda circunstância que mostra que (3) é inválida mostra também que (4) é inválida?
Justifique sua resposta.
Trata-se de uma forma válida, o que pode ser facilmente constatado pela figura. Vamos novamente usar teoria de conjuntos: posto que A ⊆ B e
B ⊆ C, se segue que A ⊆ C. É importante observar aqui que o argumento (5) tem premissas e conclusão falsas, embora seja um argumento
válido. Somente um argumento válido com premissas verdadeiras, i.e. um argumento correto, garante a verdade da conclusão.
. 
O argumento (6) é inválido, apesar de ter premissas e conclusão verdadeiras. Isso não o torna válido pois podemos conceber uma
circunstância, representada na figura, em que a interseção entre os conjuntos A e B não é vazia, assim como a interseção entre B e C, mas,
inversamente, a interseção entre A e C é vazia, o que torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. (Os argumentos (5) e (6) foram
retirados da prova de filosofia do vestibular UFMG 2009.)
Sócrates é homem.
Logo, Sócrates é mortal.
a é F
Logo, a é G
(2)
Todo F é G
a é não G
Logo, a não é F
(3)
Todo F é G
a é G
Logo, a é F
(4)
Todo F é G
a é não F
Logo, a não é G
(5)
Todos os franceses são canhotos.
Todos os canhotos gostam de vinho.
Logo, todos os franceses gostam de vinho.
Forma lógica:
Todo A é B
Todo B é C
Logo, todo A é C
(6)
Alguns franceses são canhotos.
Alguns canhotos gostam de vinho.
Logo, alguns franceses gostam de vinho
Forma lógica:
Algum A é B
Algum B é C
Logo algum A é C
O argumento (7) é inválido. A circunstância representada na figura acima torna as premissas verdadeiras, pois as interseções entre A e B e
entre B e C são vazias, mas torna a conclusão falsa, pois há uma interseção entre A e C. Note que apesar de inválido o argumento (7) tem uma
conclusão verdadeira, mas tal conclusão evidentemente não é sustentada pelas premissas.
(8) é válido. A figura mostra que A está contido em B. O n representa um elemento do conjunto C que pertence ao conjunto A. Lembre-se que
algum A é C significa justamente que a interseção entre A e C não é vazia. Mas esse elemento n de A, e que pertence também a C, será
também, é claro, um elemento de B. Logo, a conclusão algum B é C é verdadeira. É importante aqui observar que há várias alternativas para
construir o conjunto C. Por exemplo, todas as circunstâncias abaixo mostram que se a interseção entre A e C não é vazia, a interseção entre B
e C também não será vazia, e a sentença algum B é C será verdadeira.
 
 
(9) é inválido. A figura mostra que A está contido em B. Algum B é C significa que a interseção entre B e C não é vazia. Mas isso pode
acontecer de modo que ainda assim a interseção entre A e C seja vazia, como mostra a figura. A circunstância representada pela figura torna as
premissas de (9) verdadeiras e a conclusão falsa.
Atividade 1.8:
(i) Mostre, usando ferramentas da teoria de conjuntos, que todas as formas abaixo são válidas. (Almeida et al. 2008)
Todo A é B; nenhum B é C; logo, nenhum A é C.1.
Algum A é B; nenhum B é C; logo, algum A não é C.2.
Todo B é C; algum A é B; logo, algum A é C.3.
Todo A é B; nenhum C é B; logo, nenhum A é C.4.
Nenhum A é B; todo C é B; logo, nenhum A é C.5.
Algum A é B; nenhum C é B; logo, algum A não é C.6.
Todo A é B; algum A é C; logo, algum B é C.7.
Algum A é B; todo B é C; logo, algum A é C.8.
Todo B é A; algum B não é C; logo, algum A não é C.9.
Algum B é A; nenhum B é C; logo, algum A não é C.10.
Nenhum B é A; todo C é B; logo, nenhum A é C.11.
Todo B é A; algum C é B; logo, algum A é C.12.
(ii) Determine se as formas abaixo são válidas ou inválidas.
Todo A é B; todo C é B; logo, algum A é C.1.
Todo A é B; todo C é B; logo, algum A não é C.2.
Todo B é A; algum B não é C; logo, algum A não é C.3.
(7)
Nenhum grego é filósofo.
Nenhum filósofo é imortal.
Logo, nenhum grego é imortal
Forma lógica:
Nenhum A é B
Nenhum B é C
Logo, nenhum A é C
(8)
Todos os filósofos são bons matemáticos.
Alguns filósofos são gregos.
Logo, alguns bons matemáticos são gregos.
Forma lógica:
Todo A é B
Algum A é C
Logo, algum B é C
(9)
Todos filósofo é bom matemático.
Alguns bons matemáticos são gregos.
Logo, alguns filósofos são gregos.
Forma lógica:
Todo A é B
Algum B é C
Logo algum A é C
Todo B é A; algum B não é C; logo, algum A é C.4.
Algum B não é A; todo B é C; logo, algum A é C.5.
Algum B não é A; todo B é C; logo, algum A não é C.6.
Nenhum B é A; todo C é B; logo, todo A é não C.7.
Nenhum A é B; todo C é B; logo, algum C é A.8.
Nenhum A é B; todo C é B; logo, algum C é não A.9.
Algum A é não B; algum B é não C; logo, algum A é não C.10.
(iii) Determine se os argumentos abaixo são válidos ou inválidos. Primeiro, represente a forma do argumento. Depois, verifique se a forma é
válida usando conjuntos. (Vários dos argumentos abaixo foram retirados ou adaptados de Gensler 2002.)
1. Toda revolução é a quebra de um acordo. Nenhuma quebra de acordo pode ser justificada. Logo, nenhuma revolução pode ser justificada.
2. Alguns livros são produtos culturais. Alguns produtos da cultura expressam verdades objetivas. Logo, alguns livros expressam verdades
objetivas.
3. Todos os livros são produtos culturais. Alguns produtos da cultura expressam verdades objetivas. Logo, alguns livros expressam verdades
objetivas.
4. Todas as leis segregacionistas degradam a personalidade humana. Nenhuma lei que degrada a personalidade humana é justa. Logo,
nenhuma lei segregacionista é justa.
5. Todas as leis segregacionistas degradam a personalidade humana. Algumas leis injustas degradam a personalidade humana. Logo, toda lei
segregacionista é injusta.
6. Algumas questões morais são controversas. Nenhuma questão controversa pode ter uma resposta definitiva. Logo, algumas questões morais
não podem ter uma resposta definitiva.
7. Todos os princípios morais são produtos da cultura. Nenhum produto da cultura expressa verdades objetivas. Logo, nenhum princípio moral
expressa uma verdade objetiva.
8. Todas as ilusões são irreais. Tudo o que é bom é uma ilusão. Logo, nada que é bom é real. (Dica: nada que é bom é real é equivalente a
tudo que é bom é irreal.)
9. Tudo o que os artistas fazem é arte. Nem tudo o que os artistas fazem é belo. Logo, algumas obras de arte não são belas. (Dica: nem tudo o
que os artistas fazem é belo é equivalente a algo que os artistas fazem não é belo.)
10. Nenhum conhecimento é definitivo. Tudo o que não é definitivo é ilusório. Logo, todo conhecimento é ilusório. (Dica: Nenhum conhecimento
é definitivo é equivalente a todo conhecimento não é definitivo.)
Dica: Certamente você percebeu que há importantes e controversas questões filosóficas nos argumentos acima.A lógica não é capaz de
resolver problemas filosóficos. A lógica pode dizer se um dado argumento é ou não é válido, mas não é a lógica que vai dizer se as premissas
do argumento são verdadeiras ou falsas, e a garantia da verdade da conclusão depende também, como vimos, da verdade das premissas. Mas
a lógica, quando utilizada como uma ferramenta para analisar argumentos, torna a discussão mais clara e nos ajuda a ver exatamente onde
está o ponto a ser debatido. Já sabemos que se não concordamos com a conclusão de um argumento válido precisamos rejeitar pelo menos
uma das premissas e também que argumentos inválidos não fornecem boas razões para a verdade da conclusão, que pode até ser verdadeira
mas nesse caso não é justificada pelas premissas apresentadas. Para cada um dos argumentos acima, reflita com atenção se você concorda
ou não com a conclusão. Caso você concorde e o argumento não seja válido, procure reconstruir o argumento para torná-lo válido. Caso você
não concorde e o argumento seja válido, procure identificar a premissa que você deve rejeitar para rejeitar a conclusão. Organize grupos de
discussão com seus colegas para debater temas mencionados acima. Leia também o texto do Professor Desidério Murcho (UFOP), Limites do
papel da lógica na filosofia, disponível em http://criticanarede.com/html/logica.html.
 
Para saber mais:
(i) Interpretamos uma sentença todo A é B da seguinte forma: A ⊆ B. Mas você aprendeu nas aulas de matemática que o conjunto vazio é
subconjunto de todos os conjuntos, isto é, para todo conjunto X, Æ ⊆ X. Isso significa, então, que uma sentença todo A é B,se o conjunto A for
vazio, é verdadeira, qualquer que seja o conjunto B. ‘Todos os marcianos são filósofos’, portanto, é uma sentença verdadeira, pois já que não
existem marcianos, o conjunto dos marcianos é vazio e está contido no conjunto dos filósofos. Isso pode parecer estranho à primeira vista, mas
está de acordo com o que vimos sobre a negação. A sentença ‘algum marciano não é filósofo’é falsa, já que não existem marcianos. Mas então
sua negação, ‘todos os marcianos são filósofos’, é verdadeira. Note que por essa mesma razão não podemos fazer a inferência todo A é B,
logo, algum A é B, pois no caso de A ser vazio, a premissa é verdadeira e a conclusão falsa. Essa é uma das diferenças entre a lógica moderna
e a chamada lógica aristotélica, que excluía da análise os conjuntos vazios. Por isso, na lógica aristotélica, a inferência acima é válida. Mas
acontece que o conjunto vazio é um conjunto legítimo e admiti-lo torna possível a construção de uma teoria da conseqüência lógica mais
abrangente e poderosa do que a lógica aristotélica.
(ii) O que nós vimos aqui foi um pequeno fragmento da lógica de predicados. A moderna lógica de predicados não se limita ao estudo das
chamadas proposições categóricas. Há recursos para tratar sentenças como todos os As que são BS são também Cs, e todo número natural
tem um sucessor. A primeira tem a forma lógica para todo x, se x é A e x é B, então x é C, e a segunda, para todo x, se x é um número natural,
então existe y tal que y é um número natural e y é sucessor de x. A lógica aristotélica não possui recursos para analisar argumentos com
sentenças desse tipo. Para aprender mais, estude os capítulos sobre lógica de predicados no livro do Mortari, Introdução à Lógica, que está na
bibliografia. Uma boa apresentação das diferenças entre a lógica moderna e a lógica aristotélica você encontra no capítulo sobre a lógica de
Aristóteles em Russell, B., História da Filosofia Ocidental, Rio de Janeiro: Cia. Editora Nacional, 1977.
 
Bibliografia
Almeida, A. et al.A Arte de Pensar. Lisboa: Didáctica Editora, 2008.
Copi, I.M. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora Mestre Jou, 1974.
Gensler, H.J. Introduction to Logic. New York: Routledge, 2002.
Margutti, P.R.M. Introdução à Lógica Simbólica. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2001.
Mortari, C.A. Introdução à Lógica. São Paulo: Unesp, 2001.
Newton-Smith, W.H. Lógica – Um curso introdutório. Lisboa: Gradiva, 2005.
[1] “A deduction is a discourse in which, certain things being stated, something other than what is stated follows of necessity from their being so.”
Aristotle. Complete Works. Jonathan Barnes (ed.), Princeton University Press, 1991.
 
Respostas dos exercícios: http://sites.google.com/site/logicaetc/Home/respostas_log_pred.pdf
Instruções para os professores: http://sites.google.com/site/logicaetc/Home/instrucoes.pdf
 
Módulo Didático: Verdade e Validade
Currículo Básico Comum - Filosofia do Ensino Médio
Autor(es): Abílio Rodrigues Filho
Centro de Referência Virtual do Professor - SEE-MG / agosto 2010