Unidade 6 Campos magnéticos

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Unidade 6: Campos magnéticos
Unidade 6 – Campos magnéticos
6.1. O que produz um campo magnético? 
6.2. A definição 𝐵𝐵?
6.3. Campos cruzados: A descoberta do elétron;
6.4. Campos cruzados: O efeito Hall;
6.5. Uma partícula carregada em movimento circular; 
6.6. Força magnética em um fio percorrido por corrente; 
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente; 
6.8. O Momento magnético dipolar.
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Estrutura do conteúdo 
6.1. O que produz um campo magnético?
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 Os campos magnéticos podem ser produzidos de duas formas:
 Partículas eletricamente carregadas em movimento (ordenado), o que constitui uma
corrente elétrica (discutido na próxima unidade).
 Partículas elementares, como os elétrons, que possuem um campo magnético
intrínseco (interno), o qual é uma propriedade básica como a massa e a carga
elétrica.
• Obs.) Toda partícula elementar possui um campo magnético interno (spin) que é
"parecido" com o campo magnético produzido por uma partícula carregada que gira
em torno de um dado eixo.
6.1. O que produz um campo magnético?
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 Em certos materiais os campos magnéticos dos elétrons se combinam para produzir
um campo magnético nas vizinhanças do material.
 Esta combinação é o motivo pelo qual um ímã permanente, possui um campo
magnético permanente.
 Em outros materiais os campos magnéticos dos elétrons se cancelam e o campo
magnético em torno do material é nulo.
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 Nosso primeiro trabalho nesta unidade será definir o campo magnético 𝐵𝐵.
 Para isso, vamos usar o fato experimental de que quando uma partícula com carga
elétrica se move, na presença de um campo magnético, uma força magnética �⃗�𝐹𝐵𝐵 age
sobre a partícula.
• Em princípio, medimos a força �⃗�𝐹𝐵𝐵 que age sobre a partícula, quando ela passa pelo
ponto no qual 𝐵𝐵 está sendo medido, com várias velocidades e direções.
 Depois de executar vários experimentos, desse tipo, poderemos afirmar que:
• Para todas as direções de �⃗�𝑣 o módulo de �⃗�𝐹𝐵𝐵 é proporcional a �⃗�𝑣 sen𝜙𝜙, onde 𝜙𝜙 é o
ângulo entre 𝐵𝐵 e �⃗�𝑣.
 A força �⃗�𝐹𝐵𝐵 medida é zero quando 𝜙𝜙 = 0.
 A força �⃗�𝐹𝐵𝐵 medida é máxima quando 𝜙𝜙 = 90°.
• A direção de �⃗�𝐹𝐵𝐵 é sempre perpendicular à direção de �⃗�𝑣.
 Isto sugere que a definição de 𝐵𝐵 está envolvida em um produto vetorial.
 Uma forma de definir um campo magnético 𝐵𝐵 seria como uma grandeza vetorial cuja
direção coincide com a direção da velocidade �⃗�𝑣 quando a força é zero ou cuja direção
é perpendicular a direção da velocidade �⃗�𝑣 quando a força é máxima.
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 Depois de medir �⃗�𝐹𝐵𝐵 para �⃗�𝑣 perpendicular a 𝐵𝐵, definimos o módulo de 𝐵𝐵 em termos do
módulo da força:
𝐵𝐵 = �⃗�𝐹𝐵𝐵
𝑞𝑞 �⃗�𝑣
,
onde 𝑞𝑞 é a carga da partícula.
 Podemos expressar esses resultados através da seguinte equação vetorial:
�⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞�⃗�𝑣 × 𝐵𝐵,
ou seja, a força �⃗�𝐹𝐵𝐵 que age sobre a partícula é igual à carga 𝑞𝑞 multiplicada pelo produto
vetorial da velocidade �⃗�𝑣 pelo campo magnético 𝐵𝐵.
 Usando a equação anterior, para o produto vetorial, podemos escrever o módulo de
�⃗�𝐹𝐵𝐵 na forma
�⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 sen𝜙𝜙,
onde 𝜙𝜙 é menor o ângulo entre as direções da velocidade �⃗�𝑣 e do campo magnético 𝐵𝐵.
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 Definição da força magnética:
 De acordo com a Equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 sen𝜙𝜙, o módulo da força �⃗�𝐹𝐵𝐵 que age sobre
uma partícula, na presença de um campo magnético, é proporcional à carga 𝑞𝑞 e à
velocidade 𝑣𝑣 da partícula.
 Assim, a força magnética também deve ser zero se a carga é zero ou se a partícula
está parada.
 Além disso, a força magnética também é zero se �⃗�𝑣 e 𝐵𝐵 são paralelos (𝜙𝜙 = 0°) ou
antiparalelos (𝜙𝜙 = 180°).
 Por outro lado, a força magnética será máxima quando �⃗�𝑣 e 𝐵𝐵 forem perpendiculares.
 A partir do produto vetorial �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞�⃗�𝑣 × 𝐵𝐵 obtemos a orientação de �⃗�𝐹𝐵𝐵, o qual resulta em
um vetor, mutuamente, perpendicular aos vetores �⃗�𝑣 e 𝐵𝐵.
 De acordo com a regra da mão direita (figura ao lado),
o polegar da mão direita aponta na direção de �⃗�𝑣 × 𝐵𝐵,
enquanto os outros dedos apontam de �⃗�𝑣 para 𝐵𝐵.
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 Se a carga 𝑞𝑞 é positiva, a força �⃗�𝐹𝐵𝐵 tem o mesmo sinal que �⃗�𝑣 × 𝐵𝐵 ; Assim, para 𝑞𝑞
positiva �⃗�𝐹𝐵𝐵 aponta no mesmo sentido que o polegar (figura abaixo).
 Se a carga 𝑞𝑞 é negativa, a força �⃗�𝐹𝐵𝐵 e o produto vetorial �⃗�𝑣 × 𝐵𝐵 têm sinais contrários;
Assim, para 𝑞𝑞 negativa �⃗�𝐹𝐵𝐵 aponta no sentido contrário ao do polegar (figura abaixo).
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 No entanto, seja qual for o sinal da carga, a força �⃗�𝐹𝐵𝐵 que age sobre uma partícula
carregada que se move com velocidade �⃗�𝑣 na presença de um campo magnético 𝐵𝐵 é
sempre perpendicular a �⃗�𝑣 e 𝐵𝐵.
 Desta forma, a componente de �⃗�𝐹𝐵𝐵 na direção de �⃗�𝑣 é sempre nula. Isso significa que
�⃗�𝐹𝐵𝐵 não pode mudar a velocidade escalar �⃗�𝑣 da partícula.
 No entanto, a força �⃗�𝐹𝐵𝐵 pode mudar a direção de �⃗�𝑣 , ou seja, a trajetória da partícula.
• Para compreender melhor o significado desta mudança de trajetória, considere a
figura abaixo, que mostra os rastros de dois elétrons (𝑒𝑒−) e um pósitron (𝑒𝑒+) em uma
câmara de bolhas submetida a um campo magnético dirigido para fora do plano do
slide.
• A trajetória curva das três partículas estão de
acordo com a equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞�⃗�𝑣 × 𝐵𝐵.
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 A unidade de 𝐵𝐵 no SI é o 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛/(𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛).
 Por conveniência, essa unidade é chamada de tesla (𝑇𝑇):1 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡 = 1 𝑇𝑇 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐)(𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛/𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑐𝑐𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛) = 1 𝑁𝑁𝐴𝐴𝑐𝑐. 
 A tabela abaixo mostra os campos magnéticos observados em algumas situações.
 O campo magnético na superfície da Terra é da ordem de 10−4 𝑇𝑇.
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 Linhas de campo magnético:
 Podemos representar o campo magnético através de linhas de campo.
• A direção da tangente a uma linha de campo magnético em qualquer ponto fornece a
direção de 𝐵𝐵 nesse ponto.
• O espaçamento entre linhas representa o módulo de 𝐵𝐵. Quanto mais intenso o
campo, mais próximas estão as linhas, e vice-versa.
 A Figura abaixo mostra as linhas de campo magnético nas proximidades de um ímã
em forma de barra.
 Todas as linhas passam pelo interior do
ímã e formam curvas fechadas.
 O campo magnético externo é mais
intenso perto das extremidades superior
e inferior do ímã, o que se reflete em um
menor espaçamento entre as linhas.
6.2. A definição de 𝑩𝑩
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 As linhas de campo entram no ímã por uma das extremidades e saem pela outra.
 A extremidade pela qual as linhas saem é chamada de pólo norte do ímã.
 A outra extremidade, pela qual as linhas entram, recebe o nome de pólo sul.
 Como um ímã tem dois pólos, dizemos que possui um dipolo magnético.
 Obs.) Não existe monopolo magnético.
 A Figura abaixo mostra dois tipos comuns de ímãs: o ímã em forma de ferradura e o
ímã em forma de C.
 Seja qual for a forma dos ímãs, quando colocamos dois ímãs próximos um do outro
sempre observamos o seguinte:
 Pólos magnéticos de nomes diferentes se atraem e de mesmo nome se repelem.
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Exemplo 28-1: Um campo magnético uniforme 𝐵𝐵, de módulo 1,2𝑐𝑐𝑇𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um próton com uma
energia cinética de 5,3𝑀𝑀𝑒𝑒𝑀𝑀 entra na câmara movendo-se horizontalmente de sul para
norte. Qual é a força experimentada pelo próton ao entrar na câmara? A massa do
próton é 1,67 × 10−27 𝑘𝑘𝑠𝑠.(Despreze o campo magnético da Terra)
6.2. A definição de 𝑩𝑩
6.3. Campos cruzados: A descoberta do elétron
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 Tanto um campo elétrico 𝐸𝐸 como um campo magnético 𝐵𝐵 podem exercer uma força
sobre uma partícula com carga elétrica.
 Quando as linhas dos dois campos são mutuamente perpendiculares, dizemos que
se trata de campos cruzados.
 Vamos agora discutir o que acontece quando uma partícula com carga elétrica se
move em uma região na qual existem campos cruzados.
 Na Figura abaixo, partículas carregadas são emitidas, por um filamento aquecido em
uma das extremidades de um tubo evacuado, e aceleradas por uma diferença de
potencial 𝑀𝑀.
• Depois de passarem por uma fenda no anteparo 𝐴𝐴, formam um feixe estreito.
• Em seguida, passam por uma região onde existem campos 𝐸𝐸 e 𝐵𝐵 cruzados e
atingem uma tela fluorescente 𝑇𝑇, onde produzem um ponto luminoso.
6.3. Campos cruzados: A descoberta do elétron
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 As forças a que as partículas são submetidas na região dos campos cruzados podem
desviá-las do centro da tela.
 Como vimos, a força a que é submetida uma partícula de carga negativa na presença
de um campo elétrico tem o sentido contrário ao do campo.
 Assim, para o arranjo da Figura anterior, as partículas que são desviadas para cima
pelo campo elétrico 𝐸𝐸 e para baixo pelo campo magnético 𝐵𝐵 devem possuir carga
negativa.
 Portanto, com o procedimento seguinte é possível descobrir a natureza (sinal) da
carga elétrica da partícula responsável pelo ponto luminoso na tela.
 Faça 𝐸𝐸 = 0 e 𝐵𝐵 = 0 e registre a posição na tela 𝑇𝑇 do ponto luminoso causado pelo
feixe sem nenhum desvio.
 Aplique o campo 𝐸𝐸 registre a nova posição do ponto na tela.
 Na figura anterior, a força elétrica e magnética sempre estão em oposição, de forma
que é possível fazer com que o ponto volte à posição inicial, mantendo o campo 𝐸𝐸 e
ajustando o valor do campo 𝐵𝐵.
• Medindo a distancia entre as posições, com e sem a aplicação dos campos,
encontramos o valor (módulo) da deflexão da partícula carregada.
 O sentido da deflexão, após a aplicação dos campos, depende do sinal da carga das
partículas. Na figura anterior, se o sentido da deflexão é para cima, logo após a
aplicação do campo elétrico, o sinal da carga elétrica será negativo.
6.3. Campos cruzados: A descoberta do elétron
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 O valor (módulo) da deflexão de uma partícula carregada, que se move na presença
de um campo elétrico uniforme 𝐸𝐸 criado por duas placas, no momento em que deixa
a região entre as placas, é dada por
𝑦𝑦 = 𝑞𝑞 𝐸𝐸 𝐿𝐿22𝑐𝑐 �⃗�𝑣 2 ,
Onde �⃗�𝑣 é a velocidade da partícula, 𝑐𝑐 é a massa, 𝑞𝑞 é a carga e 𝐿𝐿 é o comprimento das
placas.
 Quando os dois campos são ajustados para que a força elétrica e a força magnética
se cancelem mutuamente,
𝑞𝑞 𝐸𝐸 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 sen 90° = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 ou
�⃗�𝑣 = 𝐸𝐸
𝐵𝐵
.
 Assim, os campos cruzados permitem medir a velocidade das partículas.
6.3. Campos cruzados: A descoberta do elétron
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 Utilizando as duas equações anteriores podemos mostrar que os campos cruzados
também permitem medir a razão 𝑐𝑐/ 𝑞𝑞 das partículas que estão sendo investigadas.
𝑐𝑐
𝑞𝑞
= 𝐵𝐵 2𝐿𝐿22𝑦𝑦 𝐸𝐸 .
 O experimento, mostrado no arranjo da figura anterior, foi realizado por J. J.
Thomson em 1897 na Universidade de Cambridge e levou à descoberta do elétron.
6.4. Campos cruzados: O efeito Hall
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 Como acabamos de ver, um feixe de elétrons (partículas carregadas negativamente)
no vácuo pode ser desviado por um campo magnético.
 Se os elétrons movem-se, agora, no interior de um fio de cobre (condutor), também
podem ser desviados por um campo magnético.
 Esse efeito, conhecido como efeito Hall, permite verificar se os portadores de carga
em um condutor têm carga positiva ou negativa, além de medir o número de
portadores por unidade de volume do condutor.
 A Figura ao lado mostra uma fita de cobre de largura 𝑠𝑠
percorrida por uma corrente (𝑖𝑖) cujo sentido convencional é
de cima para baixo na figura.
 Os portadores de carga responsáveis pela corrente são os
elétrons que se movem (com velocidade chamada de
deriva �⃗�𝑣𝑠𝑠) no sentido oposto ao convencional. Na figura, de
baixo para cima.
 No instante mostrado na Figura, um campo magnético
externo 𝐵𝐵, que aponta para dentro da parede, acaba de ser
ligado.
 De acordo com a Figura, uma força magnética �⃗�𝐹𝐵𝐵 age
sobre os elétrons, desviando-os para o lado direito da fita.
6.4. Campos cruzados: O efeito Hall
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 Com o passar do tempo os elétrons se movem para a direita,
acumulando-se na borda direita da fita, deixando cargas
positivas não compensadas em posições fixas da borda
esquerda.
 A separação de cargas positivas e negativas produz um campo
elétrico 𝐸𝐸 no interior da fita que aponta para a direita como
mostra a figura ao lado.
 O campo produzido exerce uma força �⃗�𝐹𝐸𝐸 sobre os elétrons,
desviando-os para a esquerda.
 Os elétrons continuam a se acumular na borda direita da fita, até
que a força exercida pelo campo elétrico sobre os elétrons
equilibre exatamente a força exercida pelo campo magnético.
 Quando isso acontece, as forças �⃗�𝐹𝐸𝐸 e �⃗�𝐹𝐵𝐵 têm módulos iguais e
sentidos opostos.
 Assim, os elétrons passam a se mover em linha reta em direção
ao alto com velocidade �⃗�𝑣𝑠𝑠 e o campo elétrico 𝐸𝐸 para de
aumentar.
6.4. Campos cruzados: O efeito Hall
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 O campo elétrico entre as bordas da fita está associado a uma diferença de
potencial de Hall dada por
𝑀𝑀 = 𝐸𝐸 𝑠𝑠.
 Ligando um voltímetro às bordas da fita, na figura anterior, podemos medir essa
diferença de potencial e descobrir em qual das bordas o potencial é maior.
 Supondo que os portadores de carga responsáveis
pela corrente 𝑖𝑖 tivessem carga positiva, como
mostra a figura ao lado, se moveriam de cima para
baixo.
 Neste caso, os portadores seriam desviados para a
borda da direita devido a força magnética �⃗�𝐹𝐵𝐵 e o
potencial seria maior na borda da direita, o que não
estaria de acordo com a leitura do voltímetro.
 A leitura obtida indica, portanto, que os portadores
de carga responsáveis pela corrente têm carga
negativa.
6.4. Campos cruzados: O efeito Hall
21
 Agora vamos mostrar como efeito Hall permite medir o número de portadores por
unidade de volume do condutor.
 Quando as forças elétrica e magnética estão em equilíbrio temos
𝑒𝑒 𝐸𝐸 = 𝑒𝑒 �⃗�𝑣𝑠𝑠 𝐵𝐵 .
 Por definição, a velocidade de deriva �⃗�𝑣𝑠𝑠 é dada por
�⃗�𝑣𝑠𝑠 = 𝐽𝐽𝑛𝑛𝑒𝑒 = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝐴𝐴 ,
Onde 𝐽𝐽 = 𝑖𝑖/𝐴𝐴 é a densidade de corrente na fita, 𝐴𝐴 é a área da seção reta da fita e 𝑛𝑛 é a
concentração de portadores de carga (número portadores por unidade de volume).
 Combinando as equações anteriores, obtemos
𝑛𝑛 = 𝑖𝑖
𝑒𝑒𝐴𝐴 �⃗�𝑣𝑠𝑠
= 𝐵𝐵 𝑖𝑖
𝑒𝑒𝐴𝐴 𝐸𝐸
= 𝐵𝐵 𝑖𝑖
𝑒𝑒𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐸𝐸
= 𝐵𝐵 𝑖𝑖
𝑒𝑒𝑐𝑐𝑀𝑀
,
onde 𝑐𝑐 = 𝐴𝐴/𝑠𝑠 é a espessura da fita. Esta equação permite calcular o valor de 𝑛𝑛 a partir
de grandezas conhecidas.
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Exemplo 28-2: A Figura abaixo mostra um cubo de metal de lado 𝑠𝑠 = 1,5 𝑐𝑐𝑐𝑐 que se
move no sentido positivo do eixo 𝑦𝑦 com uma velocidade constante �⃗�𝑣 de módulo4,0𝑐𝑐/𝑠𝑠. Na região existe um campo magnético uniforme 𝐵𝐵 de módulo 0,050 𝑇𝑇 no
sentido positivo do eixo.
a) Em que face do cubo o potencial é menor e em que face é maior por causa da
influência do campo magnético?
b) Qual é a diferença de potencial entre as faces de maior e menor potencial elétrico?
6.4. Campos cruzados: O efeito Hall
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6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
 A Figura abaixo mostra um feixe de elétrons, lançado por um canhão de elétrons,
em uma câmara que contém uma pequena quantidade de gás.
 Os elétrons se movem no plano da parede comvelocidade 𝑣𝑣, em uma região na
qual existe um campo magnético uniforme 𝐵𝐵 dirigido para fora do plano da parede.
• Em consequência, uma força magnética �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞�⃗�𝑣 × 𝐵𝐵 age continuamente sobre os
elétrons.
• Como �⃗�𝑣 e 𝐵𝐵 são perpendiculares, a força magnética é máxima e faz com que os
elétrons descrevam uma trajetória circular.
• A trajetória é visível na fotografia
porque alguns dos elétrons colidem
com átomos do gás presente na
câmara, fazendo-os emitir luz.
 Usando a equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞�⃗�𝑣 × 𝐵𝐵 é fácil
mostrar que, olhando na mesma
direção do vetor 𝐵𝐵,
• Só é possível a rotação de uma
partícula negativa se for no sentido
anti-horário e de uma partícula positiva
no sentido horário.
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6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
 Estamos interessados em determinar os parâmetros que caracterizam o movimento
circular desses elétrons ou de qualquer outra partícula de carga 𝑞𝑞 e massa 𝑐𝑐 que
se mova com velocidade �⃗�𝑣 perpendicularmente a um campo magnético uniforme 𝐵𝐵.
 Como 𝜙𝜙 = 90°, o módulo da força que age sobre partícula é �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 .
 De acordo com a segunda lei de Newton (�⃗�𝐹 = 𝑐𝑐�⃗�𝑡) aplicada ao movimento circular,
�⃗�𝐹𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 �⃗�𝑡𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 �⃗�𝑣 2𝑚𝑚 ,
 Temos que
�⃗�𝐹𝑐𝑐 = �⃗�𝐹𝐵𝐵 → 𝑐𝑐 �⃗�𝑣 2𝑚𝑚 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 .
 Explicitando 𝑚𝑚, vemos que o raio da trajetória circular é dado por
𝑚𝑚 = 𝑐𝑐 �⃗�𝑣
𝑞𝑞 𝐵𝐵
.
• Observe que partículas velozes se movem em círculos grandes e partículas lentas se
movem em círculos pequenos.
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6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
 O período 𝑇𝑇 (tempo necessário para completar uma revolução) é igual ao
comprimento da circunferência dividida pela velocidade:
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋𝑚𝑚
�⃗�𝑣
= 2𝜋𝜋
�⃗�𝑣
𝑐𝑐 �⃗�𝑣
𝑞𝑞 𝐵𝐵
= 2𝜋𝜋𝑐𝑐
𝑞𝑞 𝐵𝐵
,
 A frequência (número de revoluções por segundo) é dada por
𝑓𝑓 = 1
𝑇𝑇
= 𝑞𝑞 𝐵𝐵2𝜋𝜋𝑐𝑐 .
 A frequência angular do movimento é, portanto,
𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓 = 𝑞𝑞 𝐵𝐵
𝑐𝑐
.
 Observe que as grandezas 𝑇𝑇, 𝑓𝑓 e 𝜔𝜔 não dependem da velocidade da partícula.
 Assim, independente da velocidade, todas as partículas com a mesma razão entre
carga e massa 𝑞𝑞
𝑐𝑐
levam o mesmo tempo 𝑇𝑇 (o período) para completar uma revolução
em um campo magnético uniforme.
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6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
 Trajetórias helicoidais:
 Se a velocidade de uma partícula carregada tem uma componente paralela a direção
do campo magnético (uniforme), a partícula descreve uma trajetória helicoidal cujo
eixo tem a mesma direção do campo.
• A Figura abaixo, por exemplo, mostra o vetor velocidade �⃗�𝑣 de uma dessas partículas
separado em duas componentes, uma paralela a 𝐵𝐵 e outra perpendicular a 𝐵𝐵:
�⃗�𝑣∥ = �⃗�𝑣 cos𝜙𝜙 e
�⃗�𝑣⊥ = �⃗�𝑣 sen𝜙𝜙.
27
6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
 É a componente paralela que determina o passo 𝑝𝑝 da hélice matemática, ou seja, a
distância entre as espiras sucessivas na trajetória helicoidal (veja Figura abaixo).
 Obs.) A hélice matemática é descrita como uma curva no espaço tridimensional que
combina um movimento de rotação em torno de um ponto com um movimento de
translação deste ponto.
 O raio da hélice é determinado substituindo �⃗�𝑣 , na equação 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐 𝑣𝑣
𝑞𝑞 𝐵𝐵
, pela sua
componente perpendicular �⃗�𝑣⊥ = �⃗�𝑣 sen𝜙𝜙.
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6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
 A Figura abaixo, mostra uma partícula carregada que se descreve uma trajetória
espiral na presença de um campo magnético não-uniforme.
 O espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo
magnético é mais intenso nessas regiões.
 Se o campo em uma das extremidades for suficientemente intenso, a partícula será
"refletida" de volta para o centro da região.
 Quando a partícula é refletida nas suas extremidades dizemos que está aprisionada
em uma garrafa magnética.
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Exemplo 28-3: A Figura abaixo ilustra o princípio de funcionamento de um
espectrômetro de massa, que pode ser usado para medir a massa de íons. Um íon de
massa 𝑐𝑐 (a ser medida) e carga 𝑞𝑞 é produzido na fonte 𝑆𝑆 e acelerado pelo campo
elétrico associado a uma diferença de potencial 𝑀𝑀. O íon entra em uma câmara de
separação na qual existe um campo magnético uniforme 𝐻𝐻 perpendicular à sua
trajetória. O campo faz com que o íon descreva uma trajetória semicircular antes de
atingir um detector situado na superfície inferior da câmara. Suponha que 𝐵𝐵 =80.000𝑐𝑐𝑇𝑇, 𝑀𝑀 = 1000,0 𝑀𝑀 e os íons de carga 𝑞𝑞 = +1,6022 × 10−19 𝐶𝐶 atinjam o detector
em um ponto situado a uma distância 𝑥𝑥 = 1,6254𝑐𝑐 do ponto de entrada na câmara.
Qual é a massa 𝑐𝑐 dos íons em unidades de massa atômica (𝑐𝑐)? (1𝑐𝑐 = 1,6605 ×10−27 𝑘𝑘𝑠𝑠).
6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
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Exemplo 28-4: Um elétron com uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑒𝑀𝑀 penetra em uma
região onde existe um campo magnético 𝐵𝐵 de módulo 4,55 × 10−4𝑇𝑇. O ângulo entre a
direção de 𝐵𝐵 e a direção da velocidade �⃗�𝑣 do elétron é 65,5°. Qual é o passo da
trajetória helicoidal do elétron?
6.5. Uma partícula carregada em movimento circular
31
 Quando discutimos o efeito Hall, vimos que um campo magnético exerce uma força
lateral sobre os elétrons que se movem no interior do condutor que está imerso no
campo magnético.
 Essa força é transmitida para o condutor, já que os elétrons não podem deixá-lo.
6.6. Força magnética em um fio percorrido por corrente
 Na figura o
sentido da
corrente é
invertido, e
o fio de
cobre
vertical se
encurva
para a
esquerda.
 Na figura, um fio
de cobre
vertical, que não
conduz corrente
e está preso nas
duas
extremidades, é
colocado no
espaço entre os
pólos de um ímã
permanente,
cujo campo
magnético é
dirigido para fora
do papel.
 Na figura
uma
corrente
dirigida
para cima
passa a
circular no
fio de cobre
vertical, que
se encurva
para a
direita.
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 A figura abaixo mostra o que acontece no interior do fio de cobre quando a corrente
é dirigida para cima.
6.6. Força magnética em um fio percorrido por corrente
 Um dos elétrons se move para baixo com a velocidade
de deriva �⃗�𝑣𝑠𝑠 .
 De acordo com a equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 sen𝜙𝜙, neste
caso com 𝜙𝜙 = 90°, uma força �⃗�𝐹𝐵𝐵 de módulo 𝑒𝑒 �⃗�𝑣𝑠𝑠 𝐵𝐵 age
sobre o elétron.
 De acordo com a equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞�⃗�𝑣 × 𝐵𝐵, a força aponta
para a direita.
 Se na figura acima invertermos o sentido do campo magnético 𝐵𝐵 ou o sentido da
corrente, a força exercida sobre o fio de cobre mudará de sentido e passará a
apontar para a esquerda.
 Não importa se consideramos cargas negativas se movendo para baixo ou cargas
positivas se movendo para cima: nos dois casos o sentido da força é o mesmo.
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 Na figura anterior, considere um trecho do fio de comprimento 𝐿𝐿.
 Após um intervalo de tempo 𝑛𝑛 = 𝐿𝐿/ �⃗�𝑣𝑠𝑠 todos os elétrons de condução desse trecho
passam pelo plano 𝑥𝑥𝑥𝑥.
 Assim, nesse intervalo de tempo uma carga dada por
𝑞𝑞 = 𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝑖𝑖 𝐿𝐿
�⃗�𝑣𝑠𝑠
passa pelo plano 𝑥𝑥𝑥𝑥.
 Substituindo na equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 sen𝜙𝜙, temos:
�⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑞𝑞 �⃗�𝑣 𝐵𝐵 sen𝜙𝜙 = 𝑖𝑖 𝐿𝐿�⃗�𝑣𝑠𝑠 �⃗�𝑣𝑠𝑠 𝐵𝐵 sen 90°
ou
�⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝐵𝐵 .
• Está equação permite calcular a força magnética que age sobre um trecho de fio
retilíneo de comprimento 𝐿𝐿 percorrido por uma corrente 𝑖𝑖 e submetido a um campo
magnético 𝐵𝐵 perpendicular ao fio.
6.6. Força magnética em um fio percorrido por corrente
34
 Se o campo magnético não é perpendicular ao fio (veja figura abaixo) a força
magnética é dada por uma generalização da equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝐵𝐵 :
�⃗�𝐹𝐵𝐵= 𝑖𝑖𝐿𝐿 × 𝐵𝐵.
Onde 𝐿𝐿 é um vetor comprimento de módulo 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿, cuja direção é a mesma do trecho
de fio e o sentido é o mesmo da corrente (convencional).
 O módulo da força �⃗�𝐹𝐵𝐵 é dado por
�⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝐵𝐵 sen𝜙𝜙 ,
onde 𝜙𝜙 é o ângulo entre as direções de 𝐿𝐿 e 𝐵𝐵.
6.6. Força magnética em um fio percorrido por corrente
 O sentido de �⃗�𝐹𝐵𝐵 é sempre a do produto
vetorial 𝐿𝐿 × 𝐵𝐵 porque tomamos a corrente 𝑖𝑖
como sendo uma grandeza positiva.
 De acordo com a equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝐿𝐿 × 𝐵𝐵 , a
direção de �⃗�𝐹𝐵𝐵 é sempre perpendicular ao
plano definido pelos vetores 𝐿𝐿 e 𝐵𝐵 , como
mostra a figura ao lado.
35
 Se o trecho do fio não é retilíneo e/ou o campo não é uniforme, podemos dividir
mentalmente o trecho do fio em pequenos segmentos retilíneos e aplicar a equação
�⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝐿𝐿 × 𝐵𝐵 a cada segmento.
 Nesse caso, a força que age sobre o trecho do fio como um todo é a soma vetorial
das forças que agem sobre os segmentos em que foi dividido.
 No caso de segmentos infinitesimais, podemos escrever
𝑠𝑠�⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝑠𝑠𝐿𝐿 × 𝐵𝐵,
e calcular a força total que age sobre um dado trecho de fio realizando uma integração.
 Ao aplicar a equação anterior pode ser útil ter em mente que não existem
segmentos isolados de comprimento 𝑠𝑠𝐿𝐿 percorridos por corrente.
 Deve sempre haver um meio de introduzir corrente em uma das extremidades do
segmento e retirá-la na outra extremidade.
6.6. Força magnética em um fio percorrido por corrente
36
Exemplo 28-6: Um fio horizontal retilíneo, feito de cobre, é percorrido por uma corrente
𝑖𝑖 = 28 𝐴𝐴. Determine o módulo e a orientação do menor campo magnético 𝐵𝐵 capaz de
manter o fio suspenso, ou seja, equilibrar a força gravitacional. A massa específica
linear (massa por unidade de comprimento) do fio é 46,6 𝑠𝑠/𝑐𝑐.
6.6. Força magnética em um fio percorrido por corrente
37
 As forças que um campo magnético exerce sobre fios percorridos por correntes
elétricas são responsáveis pelo funcionamento dos motores elétricos.
 A Figura abaixo mostra um motor simples, constituído por uma espira retangular
percorrida por uma corrente e submetida a um campo magnético 𝐵𝐵.
• As forças magnéticas �⃗�𝐹 produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar em
torno do eixo (central) do motor.
• Um comutador inverte o sentido da corrente a cada meia revolução para que o
torque tenha sempre o mesmo sentido.
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
38
 A figura anterior mostra como o efeito de um campo magnético sobre uma espira
percorrida por corrente produz um movimento de rotação.
 Vamos analisar esse efeito: A Figura abaixo mostra uma espira retangular de lados 𝑡𝑡
e 𝑐𝑐 percorrida por uma corrente 𝑖𝑖 e submetida a um campo magnético uniforme 𝐵𝐵.
 A espira é colocada no campo de tal forma que os lados mais compridos, 1 e 3,
estão sempre perpendiculares à direção do campo (que é para dentro do slide).
 O mesmo não acontece com os lados mais curtos, 2 e 4.
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
39
 Para definir a orientação da espira em relação ao campo magnético usamos um
vetor normal 𝑛𝑛 que é perpendicular ao plano da espira.
 A figura abaixo ilustra o uso da regra da mão direita para determinar a direção e o
sentido de 𝑛𝑛.
• Quando os dedos da mão direita apontam na direção e sentido da corrente em um
lado qualquer da espira, o polegar estendido aponta na direção e sentido do vetor
normal 𝑛𝑛.
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
40
 Na Figura ao lado, o vetor normal da
espira é mostrado fazendo um ângulo
qualquer 𝜃𝜃 com a orientação do
campo magnético 𝐵𝐵.
 Estamos interessados em calcular a
força total e o torque total que agem
sobre a espira nessa orientação.
 A força total que age sobre a espira é
a soma vetorial das forças que agem
sobre os quatro lados.
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
• No caso do lado 2, o vetor 𝐿𝐿, na equação �⃗�𝐹𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝐿𝐿 × 𝐵𝐵, aponta no sentido da corrente
e tem módulo 𝑐𝑐. O ângulo menor entre 𝐿𝐿 e 𝐵𝐵 para o lado 2 é 90°− 𝜃𝜃.
 Assim, o módulo da força que age sobre esse lado é
�⃗�𝐹2 = 𝑖𝑖𝑐𝑐 𝐵𝐵 sen 90°− 𝜃𝜃 = 𝑖𝑖𝑐𝑐 𝐵𝐵 cos 𝜃𝜃 .
41
 A força �⃗�𝐹4 que age sobre o lado 4 tem o mesmo módulo que �⃗�𝐹2 e o sentido oposto.
 Assim, �⃗�𝐹2 e �⃗�𝐹4 se cancelam e a força total associada aos lados 2 e 4 é zero.
 Além disso, como a direção das duas forças aplicadas tem a mesma direção do
eixo de rotação da espira, o torque total produzido por essas forças, em relação a
este eixo, também é zero.
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
42
 Para os lados 1 e 3, 𝐿𝐿 é sempre perpendicular a 𝐵𝐵 e o módulo das forças �⃗�𝐹1 e �⃗�𝐹3 é
𝑖𝑖𝑡𝑡 𝐵𝐵 , independentemente do valor de 𝜃𝜃.
 Como as duas forças têm sentidos opostos não tendem a mover a espira para cima
ou para baixo.
 Entretanto, a direção das duas forças aplicadas é diferente da direção do eixo de
rotação da espira e, portanto, o torque associado a essas forças, em relação ao
eixo de rotação, não é zero.
 O torque tende a fazer a espira girar em um sentido tal que o vetor normal 𝑛𝑛 se
alinhe com a direção do campo magnético 𝐵𝐵.
 Esse torque tem um braço de alavanca ⁄𝑐𝑐 2 sen𝜃𝜃 em relação ao eixo da espira.
 O módulo ⃗′ do torque produzido pelas forças �⃗�𝐹1 e �⃗�𝐹3 é portanto
⃗′ = 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝐵𝐵 ⁄𝑐𝑐 2 sen𝜃𝜃 + 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝐵𝐵 ⁄𝑐𝑐 2 sen 𝜃𝜃 ou
⃗′ = 𝑖𝑖𝑡𝑡𝑐𝑐 𝐵𝐵 sen𝜃𝜃 .
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
43
 A espira única pode ser substituída por uma bobina de 𝑁𝑁 espiras enroladas tão
juntas que se possa supor que todas têm aproximadamente as mesmas dimensões
e estão no mesmo plano.
 Nesse caso, as espiras formam uma bobina plana, e um torque com o módulo dado
pela equação ⃗′ = 𝑖𝑖𝑡𝑡𝑐𝑐 𝐵𝐵 sen𝜃𝜃 age sobre cada uma delas.
• O módulo do torque total que age sobre a bobina é, portanto
⃗ = 𝑁𝑁 ⃗′ = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑡𝑡𝑐𝑐 𝐵𝐵 sen𝜃𝜃 = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝐴𝐴 𝐵𝐵 sen𝜃𝜃 ,
onde 𝐴𝐴 (= 𝑡𝑡𝑐𝑐) é a área limitada pela bobina.
 O produto entre parênteses (𝑁𝑁𝑖𝑖𝐴𝐴) envolve as propriedades da bobina: o número de
espiras, a corrente e a área.
 A equação anterior é válida qualquer que seja a forma geométrica (retangular,
circular, triangular, etc) da bobina plana, mas o campo magnético deve ser
uniforme.
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
44
Exemplo 28-7: Os voltímetros e amperímetros analógicos
funcionam medindo o torque exercido por um campo
magnético sobre uma bobina percorrida por corrente. A
leitura é feita através do movimento de um ponteiro ao
longo de uma escala. A Figura ao lado mostra a estrutura
de um galvanômetro, o dispositivo em que se baseiam tanto
os amperímetros como os voltímetros analógicos. Suponha
que a bobina tem 2,1 𝑐𝑐𝑐𝑐 de altura e 1,2 𝑐𝑐𝑐𝑐 de largura,
possui 250 espiras e está montada de tal forma que pode
girar em torno de um eixo (perpendicular ao papel) na
presença de um campo radial uniforme de módulo 𝐵𝐵 =0,23 𝑇𝑇 . Para qualquer orientação da bobina o campo
magnético que a atravessa é perpendicular ao vetor normal
da bobina (e, portanto, paralelo ao plano da bobina). Uma
mola 𝑀𝑀 produz um contratorque que equilibra o torque
magnético, de modo que uma corrente constante 𝑖𝑖 na
bobina resulta em uma deflexão angular constante 𝜙𝜙 .
Quanto maior a corrente, maior a deflexão e, portanto,
maior o torque que a mola precisa produzir. Se uma
corrente de 100 𝜇𝜇𝐴𝐴 produz uma deflexão angular de 28°,
qual deve ser a constante de torção 𝜅𝜅 da mola, definida na
equação 𝜏𝜏 = −𝜅𝜅𝜙𝜙?.
6.7. Torque em uma espira percorrida por corrente
45
 Uma bobina percorrida por corrente sofre um torque ao ser submetida a umcampo
magnético.
 A bobina se comporta exatamente como um ímã em forma de barra, de forma que
também possui um dipolo magnético.
 Para encontrarmos a equação vetorial do torque exercido sobre a bobina, por um
campo magnético, podemos associar um momento dipolar magnético �⃗�𝜇 à bobina.
 O sentido de �⃗�𝜇 é o mesmo do vetor normal 𝑛𝑛 e, portanto, é dado pela regra da mão
direita:
• Quando os dedos da mão direita apontam no sentido da corrente na bobina, o
polegar estendido aponta no sentido de �⃗�𝜇.
 Por definição, o módulo de �⃗�𝜇 é dado por
�⃗�𝜇 = 𝑁𝑁𝑖𝑖𝐴𝐴,
onde 𝑁𝑁 é o número de espiras da bobina, 𝑖𝑖 é a corrente na bobina e 𝐴𝐴 é a área
limitada pelas espiras da bobina.
 A partir desta equação, com 𝑖𝑖 em amperes e 𝐴𝐴 em metros quadrados, vemos que a
unidade de �⃗�𝜇 no SI é o ampère-metro quadrado (𝐴𝐴𝑐𝑐2).
6.8. O Momento magnético dipolar
46
 Usando a definição do módulo de �⃗�𝜇, a equação para o torque exercido por um
campo magnético sobre uma bobina pode ser escrita na forma
⃗ = �⃗�𝜇 𝐵𝐵 sen 𝜃𝜃,
onde 𝜃𝜃 é o ângulo entre os vetores �⃗�𝜇 e 𝐵𝐵.
 Em forma vetorial, essa equação se torna
⃗ = �⃗�𝜇 × 𝐵𝐵,
A qual parece muito com a equação para o torque exercido por um campo elétrico
sobre um dipolo elétrico ⃗ = �⃗�𝑝 × 𝐸𝐸.
• Nos dois casos o torque exercido pelo campo é igual ao produto vetorial do
momento dipolar pelo campo.
 Na presença de um campo magnético, um dipolo magnético possui uma energia
potencial magnética que depende da orientação do momento dipolar em relação ao
campo.
 No caso de dipolos elétricos, temos
𝑈𝑈 𝜃𝜃 = −�⃗�𝑝 � 𝐸𝐸.
6.8. O Momento magnético dipolar
47
 Analogamente, podemos escrever, para o caso magnético
𝑈𝑈 𝜃𝜃 = −�⃗�𝜇 � 𝐵𝐵 = − �⃗�𝜇 𝐵𝐵 cos 𝜃𝜃.
6.8. O Momento magnético dipolar
• A energia de um dipolo magnético tem o menor valor possível
− ⃗ 𝐵𝐵 quando o momento dipolar magnético e o campo
magnético apontam no mesmo sentido.
• A energia de um dipolo magnético tem o maior valor possível
⃗ 𝐵𝐵 quando o momento dipolar magnético e o campo
magnético apontam em sentidos opostos.
 Como sugere a equação anterior, vemos que a unidade de �⃗�𝜇 pode ser o
𝑗𝑗𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡 (𝐽𝐽
𝑇𝑇
) em vez do ampère-metro quadrado, sugerido pela equação �⃗�𝜇 =
𝑁𝑁𝑖𝑖𝐴𝐴.
 Quando um dipolo magnético, submetido a um torque produzido por uma força
externa, muda de uma orientação inicial 𝜃𝜃𝑖𝑖, para uma orientação final 𝜃𝜃𝑓𝑓 o torque
aplicado realiza um trabalho 𝑊𝑊𝑎𝑎 sobre o dipolo.
 Se o dipolo permanece em repouso antes e depois da mudança de orientação, o
trabalho 𝑊𝑊𝑎𝑎 é dado por
𝑊𝑊𝑎𝑎 = 𝑈𝑈𝑓𝑓 − 𝑈𝑈𝑖𝑖 ,
onde 𝑈𝑈𝑓𝑓 e 𝑈𝑈𝑖𝑖 são dados pela equação 𝑈𝑈 𝜃𝜃 = − ⃗ � 𝐵𝐵.
48
Exemplo 28-8: A Figura abaixo mostra uma bobina circular de 250 espiras, com uma
área 𝐴𝐴 de 2,52 × 10−4 𝑐𝑐2, percorrida por uma corrente de 100 𝜇𝜇𝐴𝐴. A bobina está em
repouso em um campo magnético uniforme de módulo 𝐵𝐵 = 0,85 𝑇𝑇 , com seu
momento dipolar magnético �⃗�𝜇 inicialmente alinhado com 𝐵𝐵.
(a) Qual é o sentido da corrente na bobina da Figura?
(b) Que trabalho o torque aplicado por um agente externo teria que realizar sobre a
bobina para fazê-Ia girar de 90° em relação à orientação inicial, isto é, para tornar
⃗ perpendicular a 𝐵𝐵 com a bobina novamente em repouso?
6.8. O Momento magnético dipolar
Bibliografia Básica
 KNIGTH, Randall D. Física uma abordagem estratégica. Eletricidade e Magnetismo 
Volume 3 2ª edição. Porto Alegre: Bookman, 2009;
 TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade 
e Magnetismo Vol.2 6ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 SERWAY, R.A. e JEWETT JR., J.W., Princípios de Física: Eletromagnetismo Vol. 3. 
Editora Pioneira, 1ª ed., 2009.
Bibliografia Complementar
 WALKER, J.R.; RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fundamentos de Física, 
Eletromagnetismo. Vol. 3, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. Vol. 3, 12ª 
edição. São Paulo: Addison Weslley, 2008.
 NUSSENZWEIG, Moisés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. Vol. 3, 4ª ed., 
Edgard Blücher Editora, 2002.
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