Unidade 1 Cargas elétricas e campos elétricos

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Unidade 1: Cargas elétricas e Campos elétricos
Unidade 1 – Cargas elétricas e campos elétricos
1.1. Cargas elétricas;
1.2. Condutores e isolantes;
1.3. Lei de Coulomb;
1.4. A carga é Quantizada;
1.5. A carga é Conservada;
1.6. O campo elétrico;
1.7. Linhas de campo elétrico;
1.8. Campo elétrico produzido por uma carga pontual;
1.9. Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico;
1.10. Campo elétrico produzido por uma linha de cargas;
1.11. Campo elétrico produzido por um disco carregado;
1.12. Uma carga pontual em um campo elétrico;
1.13. Um dipolo em um campo elétrico.
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Estrutura do conteúdo 
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 Carga elétrica é a propriedade atrativa ou repulsiva adquirida por um objeto ao
passar por um processo de eletrização (exemplo: atrito).
 Por volta de 600 a.C Thales de Milleto observou que:
 Ao friccionar uma pele de animal (lã) em âmbar (resina vegetal fossilizada, muito
usada para a manufatura de objetos ornamentais), este adquiria a propriedade de
atrair pequenos pedaços de palha ou fios de cabelo.
 Essa propriedade, também pode ser ilustrada através de experimentos com objetos
fabricados de outros materiais.
 Consideremos dois bastões de vidro e um pedaço de seda.
 Atritando cada bastão de vidro com o pedaço de seda, será possível observar que os
dois bastões de vidro repelem-se, quando um dos bastões de vidro é suspenso por
um fio e o outro bastão de vidro é aproximado do primeiro.
1.1. Cargas elétricas
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 Entretanto, se aproximamos a barra de plástico atritada com lã do bastão de vidro
atritado com seda, será possível observar, agora, uma atração entre eles.
 Esses experimentos realizados com o vidro, seda, plástico e lã podem ser repetidos
com muitos outros materiais. Chegaremos sempre às seguintes conclusões:
 Dois objetos fabricados do mesmo material, quando atritados, pelo mesmo
processo, com um terceiro objeto, sempre se repelem;
 Dois objetos fabricados de materiais diferentes, quando atritados, pelo mesmo
processo, com um terceiro objeto, podem atrair-se ou repelir-se.
1.1. Cargas elétricas
• Atritando duas barras de plástico com um pedaço de lã, será possível observar que as
duas barras de plástico repelem-se, da mesma maneira que os bastões de vidro do
experimento anterior.
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 Em qualquer um desses processos que resultam na eletrização de um objeto, a carga
elétrica não é criada nem destruída, mas meramente transferida de um objeto para
outro, rompendo, no processo, a neutralidade de carga dos dois objetos.
 Quando atritamos um bastão de vidro com um pedaço de seda o bastão fica carregado
positivamente e as medidas mostram que um carga negativa de mesmo valor absoluto
se acumula na seda.
 A quantidade (𝑞𝑞) de carga elétrica observada em qualquer objeto macroscópico é
sempre igual a zero ou a um múltiplo inteiro (positivo ou negativo) 𝒒𝒒 = 𝒏𝒏𝒏𝒏 da carga
elementar 𝑒𝑒 = 1,602 × 10−19 𝐶𝐶, onde 𝑛𝑛 = ±1,±2,±3,… é o número de elétrons, em
excesso (sinal −) ou falta (sinal +), no objeto.
 Tanto o elétron como o próton possuem uma carga cujo valor absoluto é 𝑒𝑒.
1.1. Cargas elétricas
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 A unidade de medida de carga elétrica no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o
Coulomb, cujo símbolo é 𝑪𝑪, em homenagem ao físico francês Charles Augustin
Coulomb.
 O Coulomb, pode ser obtido a partir da unidade de corrente elétrica no SI, o Ampère.
• Corrente elétrica é a taxa de variação com o tempo da carga que passa por um ponto
ou região do espaço.
• Matematicamente, temos a relação
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
,
• onde 𝑖𝑖 é a corrente elétrica (em ampères) e 𝑑𝑑𝑞𝑞 (em coulombs) é a quantidade de
carga que passa pelo ponto ou região do espaço no intervalo de tempo 𝑑𝑑𝑑𝑑 (em
segundos).
• De acordo com a equação anterior,
1𝐶𝐶 = (1𝐴𝐴)(1𝑠𝑠). 
1.1. Cargas elétricas
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 O processo pelo qual se coloca ou retira elétrons de um objeto neutro chama-se
eletrização.
 Assim, quando um objeto macroscópico está com excesso de elétrons, dizemos
que está eletrizado negativamente e quando está com falta de elétrons, dizemos
que está eletrizado positivamente.
 Os processos mais comuns para eletrizar um objeto são os seguintes:
 Por atrito.
• Quando dois objetos fabricados de materiais diferentes são atritados, ambos se
eletrizam.
 Por indução.
• Quando um objeto neutro é colocado próximo de um objeto eletrizado, sem que
haja contato entre eles, o objeto neutro se eletriza em duas regiões distintas,
uma com deficiência e a outra com excesso de elétrons (polarização).
1.1. Cargas elétricas
8
 Por contato.
 Ocorre depois que dois objetos entram em contato e suas cargas elétricas se
equilibram.
 Por aquecimento.
• Certos objetos (cristal: turmalina), quando aquecidos, eletrizam-se, apresentando
cargas elétricas diferentes em dois pontos diametralmente opostos (efeito
piroelétrico).
 Por pressão.
• Certos objetos (cristais: turmalina, calcita e quartzo), quando comprimidos, eletrizam-
se, apresentando cargas elétricas diferentes nas extremidades (efeito piezoelétrico).
1.1. Cargas elétricas
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 Podemos classificar os materiais de acordo com a facilidade com a qual as cargas
elétricas migram de uma região para outra em seu interior.
 Os condutores são materiais nos quais as cargas elétricas se movem com
facilidade.
 Os condutores mais comuns são: os metais, o carbono, as soluções aquosas de
ácidos, bases e sais, os gases rarefeitos, etc.
 Os não condutores, também conhecido como isolantes, são materiais nos quais as
cargas elétricas não conseguem mover-se, naturalmente, com facilidade.
 Os isolantes mais comuns são: vidro, louça, porcelana, borracha, madeira seca,
algodão, seda, lã, parafina, enxofre, resinas, água pura, ar seco, etc.
1.2. Condutores e isolantes
1.3. Lei de Coulomb
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 Duas partículas carregadas exercem forças uma sobre a outra.
• Se as cargas das partículas têm o mesmo sinal, as partículas se repelem, ou seja,
são submetidas a forças que tendem a afastá-las.
 Esta força de repulsão ou atração associada à carga elétrica dos objetos ou
partículas é chamada de força eletrostática.
• A lei que permite calcular a força eletrostática é chamada de lei de Coulomb.
• Se as cargas das partículas têm sinais opostos, as partículas se atraem, ou seja,
são submetidas a forças que tendem a aproximá-las.
1.3. Lei de Coulomb
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 Na figura abaixo a partícula 1 tem uma carga 𝑞𝑞1 e a partícula 2 tem uma carga 𝑞𝑞2,
a força a que está submetida a partícula 1 é dada por
�⃗�𝐹 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑2𝑑𝑑1
𝑟𝑟2
�̂�𝑟,
onde �̂�𝑟 é um vetor unitário que tem a mesma direção da reta que liga as duas
partículas e sentido da partícula 2 para partícula 1, 𝑟𝑟 é a distância entre as duas
partículas e 𝑘𝑘 é uma constante, chamada de eletrostática.
• Se as partículas têm cargas de mesmo sinal, a força a que a partícula 1 é
submetida tem o mesmo sentido de �̂�𝑟;
• Se as partículas têm cargas de sinais opostos, a força a que a partícula 1 é
submetida tem o sentido oposto ao de �̂�𝑟.
1.3. Lei de Coulomb
12
 Por razões históricas, a constante eletrostática 𝑘𝑘 é escrita na forma 1/4𝜋𝜋𝜀𝜀0. Nesse
caso, o módulo da força na lei de Coulomb se torna
𝐹𝐹 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑1𝑑𝑑2
𝑟𝑟2
.
• A constante 𝜀𝜀0 , conhecida como permissividade do vácuo, às vezes aparece
separadamente nas equações e tem o valor 𝜀𝜀0 = 8,85 × 10−12 𝐶𝐶2/(𝑁𝑁𝑚𝑚2).
• Desta forma temos o valor de 𝑘𝑘 = 8,99 × 109 𝑁𝑁𝑚𝑚2 /𝐶𝐶2.
 A força eletrostática também obedece ao princípio de superposição.
• Em um sistema com 𝑛𝑛 partículas carregadas, as partículas interagem
independentemente, aos pares, e a força que age sobre uma das partículas, a
partícula 1, por exemplo, é dada pela soma vetorial
�⃗�𝐹1,𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 = �⃗�𝐹12 + �⃗�𝐹13 + �⃗�𝐹14 + �⃗�𝐹15 +⋯+ �⃗�𝐹1𝑛𝑛,onde, por exemplo, �⃗�𝐹14 é a força que age sobre a partícula 1 devido à presença da
partícula 4.
1.3. Lei de Coulomb
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Exemplo 21-1: (a) A Figura abaixo mostra duas partículas positivamente carregadas
situadas em pontos fixos do eixo 𝑥𝑥. As cargas são 𝑞𝑞1 = 1,60 × 10−19 𝐶𝐶 e 𝑞𝑞2 = 3,20 ×10−19 𝐶𝐶, e a distância entre as cargas é 𝑅𝑅 = 0,0200𝑚𝑚. Determine o módulo e a
orientação da força eletrostática �⃗�𝐹12 exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1.
(b) A figura abaixo é idêntica à figura anterior exceto pelo fato de que agora existe uma
partícula 3 no eixo 𝑥𝑥 entre as partículas 1 e 2. A partícula 3 tem uma carga 𝑞𝑞3 =
− 3,20 × 10−19 𝐶𝐶 e está a uma distância 3
4
𝑅𝑅 da partícula 1 . Determine a força
eletrostática �⃗�𝐹1,𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 exercida sobre a partícula 1 pelas partículas 2 e 3.
(c) A figura abaixo é idêntica à figura da letra (a), exceto pelo fato de que agora existe
uma partícula 4. A partícula 4 tem uma carga 𝑞𝑞4 = − 3,20 × 10−19 𝐶𝐶 , está a uma
distância 3
4
𝑅𝑅 da partícula 1 e está sobre uma reta que faz um ângulo 𝜃𝜃 = 60° com o
eixo 𝑥𝑥. Determine a força de atração eletrostática �⃗�𝐹1,𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 exercida sobre a partícula 1
pelas partículas 2 e 4.
1.3. Lei de Coulomb
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Exemplo 21-2: A figura abaixo mostra duas partículas fixas: uma partícula de carga
𝑞𝑞1 = +8𝑞𝑞 na origem e uma partícula de carga 𝑞𝑞2 = − 2𝑞𝑞 em 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿. Em que ponto (que
não esteja a uma distância infinita das cargas) um próton pode ser colocado de modo
a ficar em equilíbrio (sem estar submetido a nenhuma força)? Este equilíbrio é estável
ou instável?
1.3. Lei de Coulomb
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Exemplo 21-3: Na figura ao lado, duas esferas condutoras iguais, 𝐴𝐴 e
𝐵𝐵, estão separadas por uma distância 𝑎𝑎 (entre os centros) muito maior
que os raios das esferas. A esfera 𝐴𝐴 tem uma carga positiva +𝑄𝑄 e a
esfera 𝐵𝐵 é eletricamente neutra. Inicialmente não existe nenhuma força
eletrostática entre as esferas. (Suponha que a carga induzida nas
esferas possa ser desprezada porque as esferas estão muito
afastadas.
(a) As esferas são ligadas momentaneamente por um fio
condutor suficientemente fino para que a carga que se
acumula no fio possa ser desprezada. Qual é a força
eletrostática entre as esferas depois que o fio é removido?
(b) A esfera 𝐴𝐴 é ligada momentaneamente à terra e, em
seguida, a ligação com a terra é removida. Qual é a
nova força eletrostática entre as esferas?
1.4. A carga é Quantizada
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 Vimos que a quantidade de carga positiva ou negativa, detectada em um objeto ou
partícula, pode ser calculada através da equação
𝑞𝑞 = 𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑛𝑛 = ±1,±2,±3…
onde 𝑒𝑒, a carga elementar, tem o valor aproximado 1,602 × 10−19 𝐶𝐶.
 Quando uma grandeza física pode assumir apenas certos valores, dizemos que é
quantizada.
 A partir da equação acima podemos afirmar que a carga elétrica é uma grandeza
quantizada.
• É possível, por exemplo, encontrar uma partícula sem carga elétrica ou com uma
carga de +10𝑒𝑒 ou −6𝑒𝑒, mas não uma partícula com uma carga de 3,57𝑒𝑒, por
exemplo.
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Exemplo 21-4: O núcleo de um átomo de ferro tem um raio de 4,0 × 10−15 𝑚𝑚 e
contém 26 prótons.
(a) Qual é o módulo da força de repulsão eletrostática entre dois prótons do núcleo
de ferro separados por uma distância de 4,0 × 10−15 𝑚𝑚?
(b) Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre os mesmos dois
prótons?
1.4. A carga é Quantizada
1.5. A carga é Conservada
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 Quando atritamos um bastão de vidro com um pedaço de lã o bastão fica carregado
positivamente e as medidas mostram que uma carga negativa de mesmo valor
absoluto se acumula na lã.
• Sugerimos que o processo não cria cargas, mas apenas transfere cargas de um
objeto para outro, rompendo, no processo, a neutralidade de carga dos dois corpos.
• Esta hipótese de conservação da carga elétrica, foi comprovada exaustivamente
tanto no caso de objetos macroscópicos como no caso de átomos, núcleos e
partículas elementares.
• Assim, podemos acrescentar a carga elétrica à nossa lista de grandezas, como a
energia, o momento linear e o momento angular, que obedecem a uma lei de
conservação.
• Ao aplicar a lei de conservação da carga devemos somar as cargas algebricamente,
ou seja, levando em conta o sinal de cada uma.
1.6. O campo elétrico
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 Vimos que surge uma força elétrica ou eletrostática de repulsão sobre uma partícula1, de carga +𝑞𝑞, quando a mesma é colocada nas proximidades de uma partícula 2
de carga +Q.
• Como não existe uma ligação visível entre as partículas e elas não se tocam, a
partícula 2 repele a partícula 1 através de uma ação à distância.
• Esta ação à distancia se constitui no que chamamos de campo de força elétrica, ou
simplesmente campo elétrico, produzido pela partícula 2, no espaço que a cerca.
• Em um ponto qualquer desse espaço a partícula 1 "sabe" que a partícula 2 existe
porque é repelida pelo campo elétrico que a partícula 2 criou nesse ponto.
1.6. O campo elétrico
20
 O campo elétrico é um campo vetorial, constituído por uma distribuição de vetores,
um para cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado,
como um bastão de vidro.
 Em princípio, podemos definir o campo elétrico em um ponto nas proximidades de
um objeto carregado, como o ponto 𝑃𝑃 da figura abaixo, da seguinte forma:
• Colocamos no ponto 𝑃𝑃 uma carga positiva 𝑞𝑞0, chamada carga de prova, medimos a
força elétrica ou eletrostática �⃗�𝐹 que age sobre a carga 𝑞𝑞0 e definimos o campo
elétrico 𝐸𝐸 produzido pelo objeto através da equação
𝐸𝐸 = �⃗�𝐹
𝑑𝑑0
.
1.6. O campo elétrico
21
 Assim, o módulo do campo elétrico 𝐸𝐸 no ponto 𝑃𝑃 é 𝐸𝐸 = 𝐹𝐹/𝑞𝑞0 e a orientação
(direção e sentido) de 𝐸𝐸 é a mesma da força �⃗�𝐹 que age sobre a carga de prova (que
por convenção deve ser positiva).
• Como mostra a figura abaixo, representamos o campo elétrico no ponto 𝑃𝑃 como um
vetor cuja origem está em 𝑃𝑃.
• Para definir o campo elétrico em uma região do espaço, definimos o campo em
todos os pontos da região.
 Embora seja usada uma carga de prova para definir o campo elétrico produzido por
um objeto carregado, o campo existe independentemente da carga de prova.
• O campo no ponto 𝑃𝑃 da figura acima existia antes de ser introduzida a carga de
prova e continua a existir depois que a carga de prova é introduzida.
1.6. O campo elétrico
22
 A unidade de campo elétrico no SI é o newton por coulomb (𝑁𝑁/𝐶𝐶). A Tabela abaixo
mostra os campos elétricos associados a alguns objetos.
1.7. Linhas de campo elétrico
23
 As linhas de campo elétrico são uma maneira de visualizar os campos elétricos,
produzidos por objetos ou partículas carregadas.
• A relação entre as linhas de campo e os vetores de campo elétrico é a seguinte:
 Em qualquer ponto, a orientação de uma linha de campo retilínea ou a
orientação da tangente a uma linha de campo não-retilínea é a orientação do
vetor campo elétrico 𝐸𝐸 nesse ponto.
 As linhas de campo são desenhadas de tal forma que o número de linhas por
unidade de área, medido em um plano perpendicular às linhas, é proporcional ao
módulo de 𝐸𝐸.
o Assim, 𝐸𝐸 tem valores elevados nas regiões em que as linhas de campo estão
mais próximas e valores pequenos nas regiões em que as linhas de campo
estão mais afastadas.
1.7. Linhas de campo elétrico
24
 A figura abaixo mostra uma esfera com uma distribuição homogênea de cargas
negativas.
• Quando colocamos uma carga de prova positiva nas proximidades da esfera a
carga de prova é submetida a uma força eletrostática dirigida para o centro da
esfera.
 Isso significa que em todos os pontos nas proximidades da esfera o vetor campo
elétrico aponta para o centro da esfera.
1.7. Linhas de campo elétrico
25
 O resultadoé o padrão mostrado na figura abaixo, onde as linhas de campo
apontam na mesma direção que os vetores força eletrostática e campo elétrico.
• Além disso, o maior espaçamento das linhas em pontos mais distantes mostra que
o módulo do campo elétrico diminui com a distância do centro da esfera.
 Se a esfera da figura anterior estivesse carregada com cargas positivas, os vetores
campo elétrico apontariam para longe da esfera. Assim, as linhas de campo elétrico
também apontariam para longe da esfera. Temos, portanto, a seguinte regra:
• As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas (onde começam) e se
aproximam das cargas negativas (onde terminam).
1.7. Linhas de campo elétrico
26
 A figura abaixo mostra parte de uma placa infinita não-condutora com uma distribuição
uniforme de cargas positivas em uma das superfícies.
• Quando colocamos uma carga de prova positiva, nas proximidades da placa, a carga
é submetida a uma força eletrostática perpendicular à placa, já que as forças
aplicadas em todas as outras direções se cancelam por causa da simetria.
1.7. Linhas de campo elétrico
27
• Além disso, o sentido da força é, para longe da placa. Assim, os vetores campo
elétrico e as linhas de campo em qualquer ponto do espaço, dos dois lados da placa,
são também perpendiculares à placa e apontam para longe da placa (figuras abaixo).
 Como a carga está homogeneamente distribuída na placa, todos os vetores campo
elétrico têm o mesmo módulo.
• Este tipo de campo elétrico, no qual os vetores têm o mesmo módulo e a mesma
orientação em todos os pontos do espaço, é chamado de campo elétrico uniforme.
1.7. Linhas de campo elétrico
28
 As figuras abaixo mostram as linhas de campo para duas cargas positivas iguais e
para duas cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos (uma configuração
conhecida como dipolo elétrico).
• Embora as linhas de campo raramente sejam usadas de forma quantitativa, são
muito úteis para visualizar as configurações de campo elétrico.
• Observe que a partir da configuração das linhas de campo, é possível ver as cargas
se repelirem na figura da esquerda e se atraírem na figura da direita.
1.8. Campo elétrico produzido por um carga pontual
29
 Para determinar o campo elétrico produzido em um ponto a uma distância 𝑟𝑟 de uma
carga pontual 𝑞𝑞, colocamos uma carga de prova positiva 𝑞𝑞0 nesse ponto.
• De acordo com a lei de Coulomb, o vetor força eletrostática que age sobre 𝑞𝑞0 é dado
por
�⃗�𝐹 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑𝑑𝑑0
𝑟𝑟2
�̂�𝑟.
• O sentido de �⃗�𝐹 é para longe da carga pontual se 𝑞𝑞 é positiva e para perto da carga
pontual se 𝑞𝑞 é negativa.
 De acordo com sua definição, o vetor campo elétrico é dado por
𝐸𝐸 = �⃗�𝐹
𝑑𝑑0
= 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑟𝑟2
�̂�𝑟.
• O sentido de 𝐸𝐸 é o mesmo da força que age sobre a carga de prova positiva 𝑞𝑞0: para
longe da carga pontual, se 𝑞𝑞 é positiva, e para perto da carga pontual, se 𝑞𝑞 é negativa.
 A equação anterior (𝐸𝐸 ) pode ser usada para
calcular o campo em qualquer ponto do espaço.
• A Figura ao lado mostra o campo produzido por
uma carga positiva em forma vetorial (e não como
linhas de campo).
1.8. Campo elétrico produzido por um carga pontual
30
 Não é difícil calcular o campo elétrico total, ou resultante, produzido por duas ou mais
cargas pontuais em um ponto.
• De acordo com o princípio da superposição, quando colocamos uma carga de prova
positiva 𝑞𝑞0 nas proximidades de 𝑛𝑛 cargas pontuais 𝑞𝑞1, 𝑞𝑞2, … , 𝑞𝑞𝑛𝑛, a força total �⃗�𝐹0 a que a
carga de prova é submetida é dada por,
�⃗�𝐹0 = �⃗�𝐹01 + �⃗�𝐹02 +⋯+ �⃗�𝐹0𝑛𝑛 .
• Assim, de acordo com a sua definição, o campo elétrico total na posição da carga de
prova é dado por
𝐸𝐸 = �⃗�𝐹0
𝑞𝑞0
= �⃗�𝐹01
𝑞𝑞0
+ �⃗�𝐹02
𝑞𝑞0
+⋯+ �⃗�𝐹0𝑛𝑛
𝑞𝑞0= 𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 +⋯+ 𝐸𝐸𝑖𝑖 +⋯+ 𝐸𝐸𝑛𝑛 .
Onde 𝐸𝐸𝑖𝑖 é o campo elétrico que seria criado somente pela carga pontual 𝑖𝑖 na posição da
carga de prova.
1.8. Campo elétrico produzido por um carga pontual
31
Exemplo 22-1: A figura abaixo mostra três partículas de cargas 𝑞𝑞1 = +2𝑄𝑄, 𝑞𝑞2 = −2𝑄𝑄
e 𝑞𝑞3 = −4𝑄𝑄, todas situadas a uma distância 𝑑𝑑 da origem. Determine o campo
elétrico total 𝐸𝐸 produzido na origem pelas três partículas.
1.9. Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico
32
 A Figura ao lado mostra um dipolo
elétrico, o qual consiste de duas
partículas carregadas de módulo 𝑞𝑞 e
sinais opostos, separadas por uma
distância 𝑑𝑑.
• Vamos calcular o campo elétrico
produzido pelo dipolo elétrico no ponto
𝑃𝑃, situado a uma distância 𝑧𝑧 do centro
do dipolo, sobre a reta que liga as
duas partículas, conhecida como eixo
do dipolo.
1.9. Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico
33
 O campo elétrico total 𝐸𝐸 no ponto 𝑃𝑃 (e também os campos 𝐸𝐸(+) e 𝐸𝐸(−) produzidos
pelas partículas que formam o dipolo) é paralelo ao eixo do dipolo, que foi tomado
como sendo o eixo 𝑧𝑧.
• Aplicando o princípio de superposição, vemos que o módulo 𝐸𝐸 do campo elétrico
total no ponto 𝑃𝑃 é dado por
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸(+) − 𝐸𝐸 − = 14𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑞𝑞𝑟𝑟 +2 − 14𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑞𝑞𝑟𝑟 −2= 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑧𝑧−
𝑑𝑑
2
2 −
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑧𝑧+
𝑑𝑑
2
2.
• Reagrupando os termos, obtemos:
𝐸𝐸 = 𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧2
1
1−
𝑑𝑑
2𝑧𝑧
2 −
1
1+
𝑑𝑑
2𝑧𝑧
2 .
• Reduzindo as frações ao mesmo denominador e simplificando, temos:
𝐸𝐸 = 𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧2
2𝑑𝑑/𝑧𝑧
1−
𝑑𝑑
2𝑧𝑧
2 2
= 𝑑𝑑
2𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧3
𝑑𝑑
1−
𝑑𝑑
2𝑧𝑧
2 2
.
1.9. Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico
34
 Em geral, estamos interessados nos efeitos elétricos de um dipolo apenas a
distâncias relativamente grandes em comparação com as dimensões do dipolo, ou
seja, a distâncias tais que 𝑧𝑧 ≫ 𝑑𝑑.
• Nesse caso, 𝑑𝑑/(2𝑧𝑧) ≪ 1 na equação anterior, e podemos desprezar o referido termo
no denominador, o que nos dá
𝐸𝐸 = 1
2𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑧𝑧3
.
• O produto 𝑞𝑞𝑑𝑑 envolve os dois parâmetros que definem o dipolo. Este produto é o
módulo 𝑝𝑝 de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico �⃗�𝑝 , cuja
unidade é o 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 ×𝑚𝑚𝑒𝑒𝑑𝑑𝑟𝑟𝑐𝑐. O sentido �⃗�𝑝 é tomado da carga negativa para a carga
positiva do dipolo.
 Assim, podemos escrever a equação anterior na forma
𝐸𝐸 = 1
2𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑝𝑝
𝑧𝑧3
.
• Desta equação podemos observar que:
• O campo em pontos distantes permanece inalterado quando, por exemplo, o valor
de 𝑞𝑞 é multiplicado por 2 e, ao mesmo tempo, o valor de 𝑑𝑑 é dividido por 2.
• O campo elétrico de um dipolo diminui mais rapidamente com a distância que o
campo elétrico produzido por uma carga pontual isolada.
1.9. Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico
35
Exemplo 22-2: Os sprites (figura ao lado) são clarões que às
vezes são vistos no céu, acima de grandes tempestades. Foram
observados durante décadas por pilotos que voavam à noite,
mas eram tão fracos fugazes que a maioria dos pilotos
imaginavam que não passavam de ilusões. Na década de 1990,
porém, os sprites foram registrados por câmaras de vídeo.
Logo depois da transferência, a Terra possui uma distribuição
complexa de cargas positivas; entretanto, podemos usar um
modelo simplificado do campo elétrico produzido pelas cargas
da nuvem e da Terra supondo que existe um dipolo vertical
formado por uma carga – 𝑞𝑞 na altura ℎ da nuvem e uma carga+ 𝑞𝑞 a uma distância ℎ abaixo da superfície (figura ao lado).
Ainda não são muito bem compreendidos, mas acredita-se que
sejam produzidos quando ocorre um relâmpago especialmente
intenso entre a Terra e uma nuvem de tempestade,
particularmente se o relâmpago transfere uma grande quantidade
de carga negativa, −𝑞𝑞, da Terra para a base da nuvem (figuraao
lado).
Se 𝑞𝑞 = 200 𝐶𝐶 e ℎ = 6,0 𝑘𝑘𝑚𝑚, qual é o módulo do campo elétrico do dipolo a uma
altitude 𝑧𝑧1 = 30 𝑘𝑘𝑚𝑚, ou seja, um pouco acima das nuvens, e a uma altitude 𝑧𝑧2 =60 𝑘𝑘𝑚𝑚, ou seja, um pouco acima da estratosfera?.
1.10. Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
36
 Vamos agora discutir o campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de
cargas, que consiste em um grande número de cargas muito próximas distribuídas ao
longo de uma linha, superfície ou volume.
• Calculamos o campo elétrico total produzido pelas cargas usando os métodos do
cálculo em vez de somar, um a um, os campos produzidos pelas cargas individuais.
 Quando lidamos com distribuições contínuas de cargas é conveniente expressar a
carga de um objeto em termos de uma densidade de cargas.
• No caso de uma linha de cargas, por exemplo, usamos a densidade linear de cargas
(ou carga por unidade de comprimento), cuja unidade no SI é o coulomb por metro.
• A Tabela ao lado mostra as três
densidades de cargas que são
usadas.
1.10. Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
37
 A figura abaixo mostra um anel fino de raio 𝑅𝑅 com uma densidade linear de cargas
positivas 𝜆𝜆. O anel é feito de um material não condutor, de modo que as cargas
permanecem imóveis.
 Para calcular o campo elétrico 𝐸𝐸 em um
ponto 𝑃𝑃 , sobre o eixo central, a uma
distância 𝑧𝑧, do plano do anel, devemos:
• Dividir (mentalmente) o anel em elementos
de comprimento 𝑑𝑑𝑠𝑠, pequenos o suficiente
para que a carga 𝑑𝑑𝑞𝑞, contida no elemento, se
comporte como pontual.
• Aplicar, para cada uma desses elementos, a
equação
𝐸𝐸 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑟𝑟2
�̂�𝑟.
• A soma vetorial dos campos elétricos
produzidos no ponto 𝑃𝑃, pelas cargas 𝑑𝑑𝑞𝑞 dos
elementos 𝑑𝑑𝑠𝑠 , é o campo elétrico total
produzido pelo anel no ponto 𝑃𝑃.
1.10. Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
38
 Como 𝜆𝜆 é a carga por unidade de comprimento, a carga 𝑑𝑑𝑞𝑞 no elemento de
comprimento 𝑑𝑑𝑠𝑠 é dada por
𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜆𝜆𝑑𝑑𝑠𝑠.
 A carga 𝑑𝑑𝑞𝑞 produz um campo elétrico diferencial d𝐸𝐸 no ponto 𝑃𝑃, que está a uma
distância 𝑟𝑟 do elemento 𝑑𝑑𝑠𝑠. Tratando o elemento como uma carga pontual, podemos
escrever o módulo de 𝑑𝑑𝐸𝐸 na forma
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟2
= 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝜆𝜆𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟2
.
• De acordo com a figura anterior, a equação acima pode ser expressa na forma
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝜆𝜆𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑧𝑧2+𝑅𝑅2
.
• Além disso, o campo diferencial 𝑑𝑑𝐸𝐸, cujo módulo é 𝑑𝑑𝐸𝐸, faz um ângulo 𝜃𝜃 com o eixo
central (que foi tomado como sendo o eixo 𝑧𝑧) e possui uma componente perpendicular
e outra paralela a esse eixo.
• As componentes dos campos 𝑑𝑑𝐸𝐸 paralelas ao eixo central são todas iguais em
módulo, direção e sentido.
• Por outro lado, para cada componente perpendicular com uma dado sentido existe
outra componente com sentido oposto. Assim, as componentes perpendiculares se
cancelam e não precisam ser consideradas.
1.10. Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
39
 Restando apenas as componentes paralelas, o campo elétrico no ponto 𝑃𝑃 será a
soma algébrica dessas componentes, já que todas têm o mesmo sentido.
• O módulo da componente paralela de 𝑑𝑑𝐸𝐸 é 𝑑𝑑𝐸𝐸 cos𝜃𝜃. Além disso, temos tambémcos 𝜃𝜃 = 𝑧𝑧
𝑟𝑟
= 𝑧𝑧
𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 1/2.
• Portanto, podemos rescrever o módulo da componente paralela de 𝑑𝑑𝐸𝐸 como
𝑑𝑑𝐸𝐸 cos 𝜃𝜃 = 𝑧𝑧𝜆𝜆
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2 𝑑𝑑𝑠𝑠.
• Para somar as componentes paralelas produzidas por todos os elementos basta
integrar a equação anterior ao longo da circunferência do anel, de 𝑠𝑠 = 0 a 𝑠𝑠 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅.
• Como a única grandeza que varia durante a integração é 𝑠𝑠, as outras grandezas
podem ser colocadas do lado de fora do sinal de integral. A integração nos dá
𝐸𝐸 = �𝑑𝑑𝐸𝐸 cos 𝜃𝜃 = 𝑧𝑧𝜆𝜆4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2 + 𝑅𝑅2 3/2 �
0
2𝜋𝜋𝑅𝑅
𝑑𝑑𝑠𝑠
= 𝑧𝑧𝜆𝜆(2𝜋𝜋𝑅𝑅)
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2.
1.10. Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
40
 Como 𝜆𝜆 é a carga por unidade de comprimento do anel, o termo 𝜆𝜆 2𝜋𝜋𝑅𝑅 da equação
anterior é igual a 𝑞𝑞, a carga total do anel. Assim, podemos escrever
𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2.
• Em um ponto sobre o eixo central muito distante da origem, tal que 𝑧𝑧 ≫ 𝑅𝑅, a equação
anterior assume a forma
𝐸𝐸 = 𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧2
.
• Por outro lado, em um ponto no centro do anel, ou seja, em 𝑧𝑧 = 0, o campo elétrico
total assume o valor
𝐸𝐸 = 0.
1.10. Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
41
Exemplo 22-2: A figura abaixo mostra uma barra de plástico com uma carga −𝑄𝑄
uniformemente distribuída. A barra tem a forma de um arco de circunferência de 120°
de extensão e raio 𝑟𝑟. Os eixos de coordenadas são escolhidos de tal forma que o eixo
de simetria da barra é o eixo 𝑥𝑥 e a origem 𝑃𝑃 está no centro de curvatura do arco. Em
termos de 𝑄𝑄 e 𝑟𝑟, qual é o campo elétrico 𝐸𝐸 produzido pela barra no ponto 𝑃𝑃?
1.11. Campo elétrico produzido por um disco carregado
42
 A figura abaixo mostra um disco circular de não condutor, de raio 𝑅𝑅 , com uma
distribuição uniforme de cargas positivas 𝜎𝜎 na superfície superior .
• Para calcular o campo elétrico no ponto 𝑃𝑃 ,
situado no eixo central a uma distância 𝑧𝑧 do
disco, devemos:
• Dividir o disco em anéis concêntricos
elementares, de largura radial 𝑑𝑑𝑟𝑟, e calcular o
campo elétrico produzido, no ponto 𝑃𝑃 , pela
carga contida em cada um dos anéis
elementares.
• Somar (ou seja, integrar) os campos elétricos
produzidos por todos os anéis elementares.
 Na figura ao lado vemos um anel elementar de
raio 𝑟𝑟 e largura radial 𝑑𝑑𝑟𝑟.
• Como 𝜎𝜎 é a carga por unidade de área, a
carga do anel é dada por
𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜎𝜎𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝜎𝜎(2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟),
onde 𝑑𝑑𝐴𝐴 é a área do anel elementar.
1.11. Campo elétrico produzido por um disco carregado
43
 O campo elétrico produzido por um anel de cargas foi calculado na seção anterior. O
valor obtido foi
𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2. 
• Basta agora substituirmos, na equação anterior, 𝑞𝑞 por 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜎𝜎𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝜎𝜎(2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟) e 𝑅𝑅 por 𝑟𝑟,
para obtemos uma expressão para o campo elétrico 𝑑𝑑𝐸𝐸 produzido no ponto 𝑃𝑃 pelo
anel elementar de cargas desta seção:
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝜎𝜎(2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟)
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 3/2,
que pode ser simplificada para a forma
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝜎𝜎
4𝜀𝜀0
(2𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟)
𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 3/2.
 Podemos agora calcular 𝐸𝐸 integrando a equação anterior para toda a superfície do
disco, ou seja, integrando em relação à variável 𝑟𝑟 de 𝑟𝑟 = 0 a 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅. Observe que 𝑧𝑧
permanece constante durante o processo. Temos
𝐸𝐸 = ∫𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝜎𝜎
4𝜀𝜀0
∫0
𝑅𝑅 (2𝑟𝑟)
𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 3/2 𝑑𝑑𝑟𝑟 = 𝑧𝑧𝜎𝜎4𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 −1/2−1/2
0
𝑅𝑅
.
1.11. Campo elétrico produzido por um disco carregado
44
 Calculando os limites da equação e reagrupando os termos, obtemos:
𝐸𝐸 = 𝜎𝜎
2𝜀𝜀0
1− 𝑧𝑧
𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 1/2
como o módulo do campo elétrico produzido por um disco circular carregado em pontos
sobre o eixo central.
• Fazendo 𝑅𝑅 → ∞ e mantendo 𝑧𝑧 finito, o segundo termo do fator entre parênteses da
equação anterior tende a zero e a equação se reduz a
𝐸𝐸 = 𝜎𝜎
2𝜀𝜀0
.
que é o campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de cargas na superfície
de uma placa de dimensões infinitas feita de um material não-condutor.
• Obs.) Podemos também obter o mesmo resultado fazendo 𝑧𝑧 = 0 e mantendo 𝑅𝑅 finito.
Isso mostra que para pontos muito próximos do disco, o campo elétrico produzido
pelo disco é igual ao que seria produzido por um disco de raio infinito.1.12. Uma carga pontual em um campo elétrico
45
 Aprendemos a calcular o campo elétrico produzido nas vizinhanças de uma
distribuição contínua de cargas.
• Uma partícula carregada na presença deste campo elétrico é submetida a uma força
eletrostática dada por:
�⃗�𝐹 = 𝑞𝑞𝐸𝐸,
onde 𝑞𝑞 é a carga da partícula (incluindo o sinal) e 𝐸𝐸 é o campo elétrico produzido pela
distribuição de cargas na posição em que a partícula se encontra.
 De acordo com a equação anterior:
• A força eletrostática �⃗�𝐹 que age sobre uma partícula carregada submetida a um campo
elétrico 𝐸𝐸 tem:
• O mesmo sentido de 𝐸𝐸 se a carga 𝑞𝑞 da partícula for positiva e o sentido oposto se a
carga 𝑞𝑞 for negativa.
46
Exemplo 22-4: A figura abaixo mostra as placas defletoras de uma impressora a jato
de tinta, com eixos de coordenadas superpostos. Uma gota de tinta com uma massa
𝑚𝑚 de 1,3 × 10−10 𝑘𝑘𝑘𝑘 e uma carga negativa de valor absoluto 𝑄𝑄 = 1,5 × 10−13 𝐶𝐶
penetra na região entre as placas, movendo-se inicialmente na direção do eixo 𝑥𝑥 com
uma velocidade 𝑣𝑣𝑥𝑥 = 18 m/s. O comprimento 𝐿𝐿 de cada placa é 1,6 𝑐𝑐𝑚𝑚. As placas
estão carregadas e, portanto, produzem um campo elétrico em todos os pontos da
região entre elas. Suponha que este campo 𝐸𝐸 esteja dirigido verticalmente para baixo,
seja uniforme e tenha um módulo de 1,4 × 106 𝑁𝑁/𝐶𝐶. Qual é a deflexão vertical da gota
ao deixar a região entre as placas? (A força gravitacional é pequena em comparação
com a força eletrostática, e pode ser desprezada.)
1.12. Uma carga pontual em um campo elétrico
47
 Já definimos o momento dipolar elétrico �⃗�𝑝 de um dipolo elétrico como um vetor que
aponta da carga negativa para a carga positiva do dipolo.
• Agora veremos que o comportamento de um dipolo, na presença de um campo
elétrico 𝐸𝐸 uniforme, pode ser totalmente descrito em termos dos vetores 𝐸𝐸 e �⃗�𝑝.
• Para investigar esse comportamento, considere um dipolo na presença de um campo
elétrico uniforme, como mostra a figura abaixo.
1.13. Um dipolo em um campo elétrico
• Na figura, a estrutura do dipolo é formada pelas duas cargas de sinais opostos, e de
valores absolutos iguais 𝑞𝑞, separadas por uma distância 𝑑𝑑.
• Além disso, estabelecemos que a orientação do dipolo, representada pelo momento
dipolar �⃗�𝑝, faz um ângulo 𝜃𝜃 com o campo 𝐸𝐸.
48
 Podemos observar que as duas extremidades do dipolo estão sujeitas a forças
eletrostáticas.
• Essas forças têm sentidos opostos (como mostra a figura anterior) e o mesmo módulo
𝐹𝐹 = 𝑞𝑞𝐸𝐸.
• Assim, como o campo é uniforme, a força eletrostática resultante a que está
submetido o dipolo é nula e o centro da massa do dipolo não se move.
• Entretanto, as forças que agem sobre as extremidades do dipolo produzem um torque
resultante ⃗ em relação ao seu centro de massa.
• O centro de massa do dipolo está sobre a reta que liga as cargas, a uma certa
distância 𝑥𝑥 de uma das cargas e, portanto, a uma distância 𝑑𝑑– 𝑥𝑥 da outra.
 Aplicando a definição de torque, podemos encontrar o módulo do torque resultante ⃗
como,
𝜏𝜏 = 𝐹𝐹𝑥𝑥 sen𝜃𝜃 + 𝐹𝐹 𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 sen𝜃𝜃 = 𝐹𝐹𝑑𝑑 sen𝜃𝜃.
 Podemos também escrever o módulo de ⃗ em termos dos módulos do campo elétrico
𝐸𝐸 e do momento dipolar 𝑝𝑝 = 𝑞𝑞𝑑𝑑. Para isso, substituímos, na equação anterior, 𝐹𝐹 = 𝑞𝑞𝐸𝐸
e 𝑑𝑑 por 𝑝𝑝/𝑞𝑞, o que nos dá
𝜏𝜏 = 𝑝𝑝𝐸𝐸 sen𝜃𝜃.
1.13. Um dipolo em um campo elétrico
49
 Podemos, ainda, generalizar esta equação para a forma vetorial e escrever
⃗ = �⃗�𝑝 × 𝐸𝐸.
• Os vetores �⃗�𝑝 e 𝐸𝐸 estão representados na figura abaixo.
• O torque aplicado ao dipolo tende a fazer girar o vetor �⃗�𝑝 (e, portanto, o dipolo) na
direção do campo 𝐸𝐸, diminuindo o valor de 𝜃𝜃.
1.13. Um dipolo em um campo elétrico
 Na situação mostrada na figura acima essa rotação é no sentido horário.
• Por convenção, para indicar que um torque produz uma rotação no sentido horário
acrescentamos um sinal negativo ao módulo do torque:
𝜏𝜏 = −𝑝𝑝𝐸𝐸 sen𝜃𝜃.
50
 Energia potencial de um dipolo elétrico:
 Uma energia potencial pode ser associada à orientação de um dipolo elétrico em
relação a um campo elétrico.
• Em qualquer problema que envolva energia potencial, temos liberdade para definir a
situação em que a energia potencial é nula, já que são apenas as diferenças de
energia potencial que possuem realidade física.
• No caso da energia potencial de um dipolo, na presença de um campo elétrico, as
equações se tornam mais simples quando definimos que a energia potencial é nula
quando o ângulo 𝜃𝜃 é de 90°.
 Podemos obter a energia potencial 𝑈𝑈 do dipolo para qualquer outro valor de 𝜃𝜃 usando
a equação ∆𝑈𝑈 = −𝑊𝑊 e calculando o trabalho 𝑊𝑊 executado pelo campo sobre o dipolo
quando este gira da posição de 90° para a posição 𝜃𝜃.
• Usando as equações 𝑊𝑊 = ∫ 𝜏𝜏𝑑𝑑𝜃𝜃 e 𝜏𝜏 = −𝑝𝑝𝐸𝐸 sen𝜃𝜃 é fácil mostrar que a energia
potencial 𝑈𝑈 para um ângulo 𝜃𝜃 qualquer é dada por
∆𝑈𝑈 = 𝑈𝑈 − 𝑈𝑈90° = 𝑈𝑈 = −𝑊𝑊 = ∫90°𝜃𝜃 𝑝𝑝𝐸𝐸 sen𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃.
• Resolvendo essa integral, obtemos
𝑈𝑈 = 𝑝𝑝𝐸𝐸 − cos 𝜃𝜃 + cos 90° = −𝑝𝑝𝐸𝐸 cos 𝜃𝜃.
1.13. Um dipolo em um campo elétrico
51
 Podemos generalizar essa equação para a forma vetorial e escrever
𝑈𝑈 = −�⃗�𝑝 � 𝐸𝐸.
 A equação anterior mostra que:
• A energia potencial do dipolo é mínima 𝑈𝑈 = −𝑝𝑝𝐸𝐸 para 𝜃𝜃 = 0°, situação em que �⃗�𝑝 e 𝐸𝐸
estão alinhados e apontam no mesmo sentido.
• A energia potencial é máxima 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝𝐸𝐸 para 𝜃𝜃 = 180°, situação em que �⃗�𝑝 e 𝐸𝐸 estão
alinhados e apontam em sentidos opostos.
 Quando um dipolo gira de uma orientação inicial 𝜃𝜃𝑖𝑖 para outra orientação 𝜃𝜃𝑓𝑓 , o
trabalho 𝑊𝑊 realizado pelo força eletrostática do campo elétrico sobre o dipolo é dado
por
𝑊𝑊 = −∆𝑈𝑈 = − 𝑈𝑈𝑓𝑓 − 𝑈𝑈𝑖𝑖 ,
onde 𝑈𝑈𝑓𝑓 e 𝑈𝑈𝑖𝑖 podem ser calculadas usando a equação 𝑈𝑈 = −�⃗�𝑝 � 𝐸𝐸.
 Se a mudança de orientação é causada por um torque resultante de uma força
aplicada, o trabalho 𝑊𝑊𝑎𝑎 realizado pela força aplicada sobre o dipolo é o negativo do
trabalho realizado pela força elétrica do campo sobre o dipolo, ou seja,
𝑊𝑊𝑎𝑎 = −𝑊𝑊 = ∆𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑓𝑓 − 𝑈𝑈𝑖𝑖 .
1.13. Um dipolo em um campo elétrico
52
Exemplo 22-5: Uma molécula de água 𝐻𝐻2𝑂𝑂 neutra no estado de vapor tem um
momento dipolar elétrico cujo módulo é 6,2 × 10−30 𝐶𝐶 ·𝑚𝑚.
(a) Qual é a distância entre os centros de cargas positivas e de cargas negativas da
molécula?
(b) Se a molécula é submetida um campo elétrico de 1,5 × 104 𝑁𝑁/𝐶𝐶, qual é o máximo
torque que o campo elétrico pode exercer sobre ela? (Um campo com essa
intensidade pode facilmente ser produzido em laboratório.)
(c) Que trabalho deve ser realizado por um agente externo para fazer a molécula girar
de 180° na presença desse campo, partindo da posição em que a energia potencial é
mínima, 𝜃𝜃 = 0°?
1.13. Um dipolo em um campo elétrico
Bibliografia Básica
 KNIGTH, Randall D. Física uma abordagem estratégica. Eletricidade e Magnetismo 
Volume 3 2ª edição. Porto Alegre: Bookman, 2009;
 TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade 
e Magnetismo Vol.2 6ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 SERWAY, R.A. e JEWETT JR., J.W., Princípios de Física: Eletromagnetismo Vol. 3. 
Editora Pioneira, 1ª ed., 2009.
Bibliografia Complementar
 WALKER, J.R.; RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fundamentos de Física, 
Eletromagnetismo. Vol. 3, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. Vol. 3, 12ª 
edição. São Paulo: Addison Weslley, 2008.
 NUSSENZWEIG, Moisés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. Vol. 3, 4ª ed., 
Edgard Blücher Editora, 2002.
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	Bibliografia Básica