Notas_de_Aula_01_Aluno-SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Prévia do material em texto

ELETRÔNICA DIGITAl I 1 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A base dos sistemas digitais são os circuitos de chaveamento (switching) nos quais o componente 
principal é o transistor que, sob o ponto de vista da eletrônica digital funciona como uma chave, 
possuindo somente dois estados: aberta ou fechada. Toda a operação dos circuitos digitais está 
fundamentada nestes dois estados dos dispositivos, caracterizando desta maneira um sistema 
binário. Como consequência, para entender os princípios da eletrônica digital é necessário o 
conhecimento do sistema de numeração binário. 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE UM NÚMERO 
 
Em um sistema de numeração de base b qualquer, um número positivo é representado pelo 
polinômio: 
 
 
N(b) = aq-1bq-1 + aq-2bq-2 + ... + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 + a-2b-2 + ... + a-pb-p = ∑−
−=
1q
pi
i
iba 
 
Onde: 
b = Base (ou raiz) do sistema de numeração (Inteiro >1) 
a = Inteiro no intervalo (0 ≤ ai ≤ b-1): são os dígitos do número 
p = Número de dígitos da parte fracionária do número 
q = Número de dígitos da parte inteira do número. 
 
 
A sequência de dígitos aq-1aq-2...a1a0, representa a parte inteira do número, enquanto a sequência 
de dígitos a-1a-2...a-p, representa a parte fracionária do numero N. 
 
O dígito a-p é o dígito menos significativo e aq-1 é o dígito mais significativo do número N. 
 
Assim, um número decimal pode ser representado através de um polinômio de potências da base 
10. Por exemplo, o número decimal 25983,476 pode ser representado pelo polinômio: 
 
25983,476 = 2x104 + 5x103 + 9x102 + 8x101 + 3x100 + 4x10-1 + 7x10-2 + 6x10-3 
 
Essa forma de representação de um número decimal, é conhecida como sistema de numeração 
decimal, onde o número 10 representa a base (ou raiz) do sistema. 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 2 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
CONVERSÃO DE BASES 
 
Com frequência é necessário converter um número representado em um determinado sistema de 
numeração, para o seu equivalente em outro sistema de numeração. Esta operação é denominada 
conversão de bases. 
 
Para a conversão de um número de uma base b1 para uma base b2, existem duas técnicas que 
podem ser utilizadas: 
 
 
a) Método do polinômio 
 
Esse método consiste em representar o numero N como um polinômio de potências da base 
b1(base de origem) e utilizar a aritmética da base b2 (base de destino) para calcular o valor deste 
polinômio. 
 
Por exemplo: Converter para base 10 os números 425,2(8) e 1011,01(2) respectivamente. 
 
Polinômios: 
 
425,2(8) = 4x82 + 2x81 + 5x80 + 2x8-1 = 277,25(10) 
 
1011,01(2) = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 11,25(10) 
 
É importante observar que, em ambas as conversões, as operações aritméticas para o cálculo do 
valor do polinômio foram realizadas na base 10 que é a base de destino (b2). 
 
Converter o número 237(8) para a base 5: 
 
237(8) = 2x82 + 3x81 + 7x80 = 1003 + 44 + 12 = 1114(5) 
 
Observe que nesse caso o método de conversão é o mesmo utilizado nas conversões anteriores 
porém, considerando que é necessário utilizar a aritmética da base 5 para efetuar as operações, o 
que para nós representa uma dificuldade, visto que não estamos habituados a trabalhar com uma 
base diferente da base 10. 
 
Portanto, podemos deduzir que esse método de conversão é adequado somente quando a base de 
destino for a base 10, pois nessa situação as operações aritméticas são efetuadas no sistema 
decimal. 
 
Exercícios: 
Efetuar a conversões dos números mostrados abaixo para o sistema decimal. 
 
 a) 2041,24(5); 
 b) 582,76(8); 
 c) 1101011,1011(2); 
 d) 10210,201(4) 
 
 
b) Método das divisões e multiplicações sucessivas 
ELETRÔNICA DIGITAl I 3 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
 
Nesse método, é utilizada a aritmética da base b1, que é base de origem. As conversões das 
partes inteira e fracionária do número, são efetuadas separadamente. 
 
Seja N(b1) um número inteiro. Como já vimos, sua representação na base b2 é dada pelo 
polinômio: 
 
N(b1) = aq-1b2
q-1 + aq-2b2q-2 + ... + a1b21 + a0b20 
 
Dividindo ambos os lados da igualdade por b2 teremos: 
 
N(b1)/b2 = aq-1b2
q-2 + aq-2b2q-3 + ... + a1 + a0/b2 
 
Fazendo: aq-1b2q-2 + aq-2b2q-3 + ... + a1 = Q0 
 
N(b1)/b2 = Q0 + a0/b2 
 
Portanto: a0 = N(b1) - b2Q0 
 
Assim, podemos observar que, o dígito menos significativo do número N(b2) isto é, o dígito a0, 
representa o resto da primeira divisão. 
 
O próximo dígito significativo (a1), é obtido dividindo-se o quociente obtido na divisão anterior 
(Q0) novamente por b2. 
 
Q0/b2 = aq-1b2q-3 + aq-2b2q-4 + ... + a2 + a1/b2 
 
O resto desta segunda divisão, representa o segundo dígito menos significativo (a1). 
 
A obtenção dos demais dígitos é feita através de divisões sucessivas dos quocientes obtidos, até 
que o quociente seja zero. 
 
O número N(b2) é composto pelos restos das divisões efetuadas, lembrando que o resto da 
primeira divisão é o dígito menos significativo. 
 
A parte fracionária do número, é representada por: 
 
 N(b1) = a-1b2
-1 + a-2b2-2 + ... + a-pb2-p 
 
O dígito mais significativo (a-1) pode ser obtido multiplicando o polinômio por b2: 
 
 b2.N(b1) = a-1 + a-2b2
-1 + ... + a-pb2-p+1 
 
Se o produto obtido nesta multiplicação for menos do que 1, então o dígito a-1 é igual a zero. Se 
o produto for maior do que 1, então o dígito a-1 é igual à parte inteira do produto. 
 
O próximo dígito é obtido multiplicando a parte fracionária do produto anterior novamente por 
b2 e determinando a parte inteira deste novo produto, e assim sucessivamente. 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 4 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Este processo não necessariamente termina, visto que nem sempre é possível representar a fração 
na base b2 com um número finito de dígitos. 
 
Exemplo: converter o número 358,78125(10) para a base 4. 
 
 a) Parte inteira (divisões sucessivas): 
 
 358 | 4_ 
 2 89 | 4_ 
 1 22 | 4_ 
 2 5 | 4_ 
 1 1 | 4_ 
 1 0 
 
 assim: 358(10) = 11212(4) 
 
 b) Parte fracionária (multiplicações sucessivas): 
 
 0,78125 
 x 4 
 3,12500 3 é o primeiro dígito na base 4; 
 
 0,12500 
 x 4 
 0,50000 0 é o segundo dígito na base 4; 
 
 0,50000 
 x 4 
 2,00000 2 é o terceiro dígito na base 4; 
 
 assim: 0,78125(10) = 0,302(4) 
 
 Portanto: 358,78125(10) = 11212,302(4) 
 
Exercícios: 
Efetuar as conversões de base indicadas abaixo: 
 
 405,1875(10) para base 8; 
 371,36(10) para base 8; 
 157,0625(10) para base 2; 
 103,85(10) para base 2 
 
 
c) Método da substituição direta 
 
O método de conversão de bases por substituição direta pode ser utilizado quando quando uma 
das bases for potência inteira da outra. 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 5 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Consideremos por exemplo, dois sistemas de numeração de bases b1 = 3 e b2 = 9. Representando 
os 9 dígitos do sistema base 9 e seus respectivos valores equivalentes no sistema base 3 temos a 
seguinte tabela de conversão: 
 
 
 base 9 base 3 
 0 00 
 1 01 
 2 02 
 3 10 
 4 11 
 5 12 
 6 20 
 7 21 
 8 22 
 
Como é possível observar na tabela, cada dígito do sistema base 9 corresponde à dois dígitos do 
sistema base 3. Desta forma, a conversão de um número de uma base para outra pode ser feita 
através da simples substituição de um dígito do sistema base 9 por dois dígitos do sistema base 3, 
e vice versa. 
 
Exemplo: 
Efetuar as conversões:a) 2705638(9) → base 3 
 
 2705638(9) = 02 21 00 12 20 10 22(3) 
 
b) 1021101211020(3) → base 9 
 
 01 02 11 01 21 10 20(3) = 1241736(9) 
 
Exercícios: 
 Efetuar as conversões indicadas abaixo: 
 
 a) 10100110,011011(2) para base 4; 
 b) 203102,1203(4) para base 2; 
 
 
 
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS EM UMA BASE QUALQUER 
 
Podemos efetuar operações aritméticas em um sistema de numeração de base qualquer, da 
mesma forma que efetuamos estas operações no sistema decimal, bastando tomar o cuidado de 
não esquecer da base com a qual estamos trabalhando. 
 
Vejamos alguns exemplos de soma e subtração em outros sistemas de numeração que não seja o 
decimal. 
 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 6 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Soma: 
 20412(5) 27031,452(8) 132011(4) 
 +34231(5) +16247,574(8) +201203(4) 
 --------- ------------ --------- 
 
 
 
Subtração: 
 520416(7) 41023,524(6) 201340(8) 
 -152143(7) -13121,135(6) -147356(8) 
 --------- ------------- --------- 
 
 
 
Exercício: 
Efetuar as operações indicadas abaixo: 
 
 600487(9) 21043,324(5) 200340(7) 321002(4) 
+158166(9) +10421,132(5) - 142356(7) -103213(4) 
 --------- ------------ ---------- --------- 
 
 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO 
 
Os sistemas digitais são construídos a partir de dispositivos que possuem dois estados, tal como 
o transistor, que pode estar em corte ou conduzindo. Desta forma, o sistema de numeração 
binário se adapta perfeitamente às necessidades dos sistemas digitais. 
 
No sistema de numeração binário, a base é 2 e existem somente 2 algarismos(dígitos) para 
representar um número qualquer neste sistema: os dígitos utilizados são 0 e 1. 
 
Cada um dos dígitos do sistema binário (0 e 1) é chamado bit , que é uma contração das palavras 
binary digit. 
 
 
 
Conversões de base envolvendo o sistema binário 
 
 
a) Binário para decimal 
 
A conversão de um número do sistema binário para o sistema decimal é feita utilizando o 
método do polinômio, como já foi visto anteriormente. 
 
 
Exemplo: 
 Converter o número 10110110,1011(2) para decimal. 
 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 7 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Representando o número na forma de polinômio temos: 
 
1x27 + 0x26 +1x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 +1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 +1x2-4 
 
Calculando o valor do polinômio, temos: 
 
128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 + 0,0625 = 182,6875 
 
Portanto: 10110110,1011(2) = 182,6875(10) 
 
 
b) Decimal para binário 
 
A conversão de um número do sistema decimal para o sistema binário é feita utilizando o 
método das divisões e multiplicações sucessivas. 
 
Exemplo: 
 
 Converter o número 157,359375(10) para binário. 
 
Como já foi visto anteriormente, a parte inteira do número é dividida sucessivamente por 2 até 
chegarmos a um quociente zero, e a parte fracionária do mesmo é multiplicada sucessivamente 
por 2. 
 
Temos então: 
 
 157 | 2 0,359375 
 1 78 | 2 x 2 
 0 39 | 2 0,718750 
 1 19 | 2 x 2 
 1 9 | 2 1,437500 
 1 4 | 2 x 2 
 0 2 | 2 0,875000 
 0 1 | 2 x 2 
 1 0 1,750000 
 x 2 
 1,500000 
 x 2 
 1,000000 
 
 
Portanto: 157,359375(10) = 10011101,010111(2) 
 
Nem sempre a conversão do sistema decimal para o sistema binário pode ser feita de forma 
exata. Existem situações em que a parte fracionária do número tem que ser aproximada, como 
pode ser observado no exemplo abaixo: 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 8 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Converter o número 141,465(10) para binário 
 
 141 | 2 0,465 
 1 70 | 2 x 2 
 0 35 | 2 0,930 
 1 17 | 2 x 2 
 1 8 | 2 1,860 
 0 4 | 2 x 2 
 0 2 | 2 1,720 
 0 1 | 2 x 2 
 1 0 1,440 
 x 2 
 0,880 
 x 2 
 1,760 
 
É possível observar no exemplo acima, que nunca vamos chegar a um resultado zero na 
multiplicação. 
 
Assim: 
 
141,465(10) = 10001101,011101⋅⋅⋅(2) 
 
Nesta situação, o grau de aproximação vai depender do número de bits que estão disponíveis 
para representar o número binário. 
 
 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO HEXADECIMAL 
 
O sistema de numeração hexadecimal é utilizado para simplificar a representação de números 
binários. Através do sistema hexadecimal, podemos compactar um conjunto extenso de bits, que 
representa o número no sistema binário, em um conjunto menor de dígitos do sistema 
hexadecimal. 
 
Características do sistema de numeração hexadecimal: 
 
 Base = 16 
 16 dígitos para representar um número 
 dígitos 0 a 9, para representar os valores de 0 a 9 
 dígitos A a F, para representar os valores de 10 a 15. 
 
Se tomarmos um grupo de 4 bits (denominado nibble), podemos formar 16 combinações 
diferentes, sendo que, cada uma destas combinações corresponde à um dígito do sistema 
hexadecimal. 
 
Portanto, a conversão de um número do sistema binário para o sistema hexadecimal não envolve 
nenhuma operação aritmética. Para esta conversão utilizamos o método da substituição direta, 
onde cada grupo de 4 bits corresponde a um dígito hexadecimal. 
ELETRÔNICA DIGITAl I 9 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
 
A tabela baixo mostra a conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal: 
 
 Decimal Binário Hexadecimal 
 0 0000 0 
 1 0001 1 
 2 0010 2 
 3 0011 3 
 4 0100 4 
 5 0101 5 
 6 0110 6 
 7 0111 7 
 8 1000 8 
 9 1001 9 
 10 1010 A 
 11 1011 B 
 12 1100 C 
 13 1101 D 
 14 1110 E 
 15 1111 F 
 
 
a) Conversão binário ⇒ hexadecimal 
 
Para converter um número do sistema binário para o hexadecimal, basta formar grupos de 4 
bits(niblles) da direita para a esquerda, completando com zeros o último grupo à esquerda, se for 
necessário. Cada um dos grupos de bits formados, corresponde à um dígito do sistema 
hexadecimal. 
 
 
Exemplos: 
 
a) Converter para hexadecimal o número binário 10011100101100000111101 
 
 Separando em grupos: 0100 1110 0101 1000 0011 1101 
 4 E 5 8 3 D 
 
Portanto, 
10011100101100000111101(2) = 4E583D(16) 
 
b) Converter para hexadecimal o número binário 011000000011111110 
 
 Separando em grupos: 0001 1000 0000 1111 1110 
 1 8 0 F E 
 
Portanto, 
011000000011111110(2) = 180FE(16) 
 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 10 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
b) Conversão hexadecimal ⇒ binário 
 
Para converter um número do sistema de numeração hexadecimal para o sistema binário, 
simplesmente tomamos cada dígito hexadecimal e representamos através de um grupo de 4 bits. 
 
Exemplos: 
 
a) Converter para binário o número hexadecimal 7A0D 
 
 Temos então: 0111 1010 0000 1101 
 7 A 0 D 
 
b) Converter para binário o número hexadecimal 5F0C7E 
 
 O número binário equivalente é: 0101 1111 0000 1100 0111 1110 
 5 F 0 C 7 E 
 
 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃOOCTAL 
 
Características do sistema de numeração octal: 
 
 Base = 8 
 8 dígitos para representar um número 
 dígitos: 0 a 7 
 
O sistema de numeração octal tem a mesma finalidade do sistema hexadecimal, ou seja, 
simplificar a representação de números binários. A diferença é que, ao invés de grupos de 4 bits 
como no sistema hexadecimal, temos grupos de 3 bits. 
 
Se tomarmos um grupo de 3 bits, podemos formar 8 combinações diferentes, sendo que, cada 
uma destas combinações corresponde à um dígito do sistema octal. 
 
Portanto, da mesma forma que no sistema hexadecimal, a conversão de um número do sistema 
binário para o sistema octal não envolve nenhuma operação aritmética. Existe simplesmente uma 
correspondência entre cada grupo de 3 bits e um digito octal. 
 
 
a) Conversão binário ⇒ octal 
 
Para converter um número do sistema binário para o sistema octal, basta formar grupos de 3 bits 
da direita para a esquerda, completando com zeros o último grupo à esquerda se for necessário. 
À cada um dos grupos formados, temos um dígito do sistema octal. 
 
Exemplos: 
 
a) Converter para octal o número binário 1101111000001110 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 11 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
 Separando em grupos: 001 101 111 000 001 110 
 1 5 7 0 1 6 
 
Portanto, 
1101111000001110(2) = 157016(8) 
 
b) Converter para hexadecimal o número binário 100111001110101 
 
 Separando em grupos: 100 111 001 110 101 
 4 7 1 6 5 
 
Assim, 100111001110101 (2) = 47165(8) 
 
 
b) Conversão octal ⇒ binário 
 
Para converter um número do sistema de numeração octal para o sistema binário, simplesmente 
tomamos cada dígito octal e representamos através de um grupo de 3 bits. 
 
Exemplos: 
 
a) Converter para binário o número octal 37054 
 
 Representando cada dígito pelos 3 bits, temos: 3 7 0 5 4 
 011 111 000 101 100 
 
Portanto, 
 37054(8) = 011111000101100(2) 
 
b) Converter para binário o número octal 1730562 
 
 Convertendo cada dígito, temos: 1 7 3 0 5 6 2 
 001 111 011 000 101 110 010 
 
Assim, 
 1730562(8) = 001111011000101110010(2) 
 
Exercícios: 
 Efetuar as conversões indicada abaixo: 
 
 a) 101111000100001111001(2) para hexadecimal 
 b) 7A0CF5(16) para binário 
 c) 100010000111001110101(2) para octal 
 d) 3705631(8) para binário 
 e) 506214(8) para hexadecimal 
 f) 3F0CA5(16) para octal 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 12 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
ARITMÉTICA BINÁRIA 
 
As operações aritméticas no sistema binário são feitas exatamente da mesma forma que nos 
outros sistemas de numeração, com a diferença que, no sistema binário temos somente os dois 
dígitos 0 e 1. 
 
 
Soma 
 
Como temos somente os dígitos 0 e 1, numa soma de dois números binários existem somente 
quatro situações possíveis, que são: 
 
 0 + 0 = 0 
 0 + 1 = 1 
 1 + 0 = 1 
 1 + 1 = 0 ⇒ “vai um” para a casa seguinte 
 
Exemplos de soma: 
 
 01001101 10010110 10010111 
 +10011010 +01011011 +01110010 
 
 
 
Subtração 
 
Da mesma forma que na soma, na subtração de dois números binários temos somente 4 possíveis 
situações: 
 
 0 - 0 = 0 
 1 - 0 = 1 
 1 - 1 = 0 
 0 + 1 = 1 ⇒ “empresta um” da casa anterior 
 
Exemplos de subtração: 
 
 11101011 10100101 10100110 
 -10010101 -10011010 -11000101 
 
 
 
Multiplicação 
 
Para entender o processo de multiplicação de dois números binários, vamos inicialmente analisar 
a multiplicação de dois números no sistema decimal, uma vez que o procedimento é idêntico 
para os dois sistemas. 
 
Tomemos como exemplo a multiplicação: 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 13 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
4528 → Multiplicando 
 x 2735 → Multiplicado 
 22640 
 13584 
 31696 
 9056 
 12384080 
 
Como pode-se observar na multiplicação acima, efetuamos a multiplicação de cada dígito do 
multiplicador pelo multiplicando, formando produtos parciais. Observe que cada um dos 
produtos parciais sofre um deslocamento para a esquerda. 
 
O resultado da multiplicação é a soma de todos os produtos parciais obtidos. 
 
Na multiplicação de dois números binários, como temos somente os dígitos 0 e 1, os produtos 
parciais podem ser zero no caso do dígito do multiplicador ser 0, ou o próprio multiplicando no 
caso do dígito ser 1. 
 
Exemplo de multiplicação de dois números binários: 
 
101101 → Multiplicando 
 x 1011 → Multiplicado 
 101101 
 101101 
 000000 
 101101 
 111101111 
 
 
Divisão 
 
Do mesmo modo que a multiplicação, a divisão binária é mais simples que a divisão decimal. 
 
Tomemos como exemplo, a divisão abaixo: 
 
 110101101 | 101 
101 1010101 
00110 
 101 
 00111 
 101 
 01001 
 101 
 100 
 
Como o divisor possui três dígitos (101), perguntamos se o mesmo “cabe” nos três primeiros 
dígitos do dividendo (110). Como isto ocorre, o dígito correspondente do quociente é 1, e o 
divisor é subtraído dos três primeiros dígitos do dividendo. O restante da divisão segue o mesmo 
procedimento da divisão decimal. 
ELETRÔNICA DIGITAl I 14 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
 
No exemplo acima, a divisão 110101101÷101 tem como resultado um quociente 1010101 e 
um resto 100. 
 
 
Representação de números negativos através do complemento de 2 
 
O complemento de 2 de um número binário é definido como: 
 
 [N]2 = 2n – (N)2 
 
 Onde: 
 (N)2 : número binário 
 n : número de bits que formam o número 
 [N]2 : complemento de 2 do número 
 
Seja por exemplo, o número N = 00101101(2) (representado com 8 bits). O complemento de dois 
deste número é: 
 
 28 = 100000000 
 - 00101101 
 11010011 
 
Uma maneira simples de obter o complemento de dois de um número binário é inverter (ou 
negar ou complementar) todos os bits do número e depois somar 1. 
 
Assim, considerando o número visto anteriormente temos: 
 
 00101101 invertendo → 11010010 
 somando 1 → + 1 
 11010011 
 
 
Uma das formas utilizadas para representar números negativos no sistema binário é através do 
complemento de 2. Esta forma de representação é muito utilizada em sistemas digitais para o 
tratamento de operações aritméticas envolvendo números com sinal. 
 
Na representaçãode números negativos através de complemento de 2, os números positivos são 
representados na sua forma natural, como já foi visto anteriormente. Os números negativos são 
representados como complemento de 2 do correspondente número positivo. 
 
Tomemos como exemplo, o número binário 01011010(2) = 90(10). 
 
O complemento de 2 deste número é: 
 
 100000000 (28 → 8 dígitos) 
 - 01011010 
 10100110 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 15 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Portanto, na forma de representação de números negativos através de complemento de 2, o 
número 10100110 representa o valor -90. 
 
 
Operação de soma utilizando complemento de 2 
 
Analisaremos a seguir a vantagem de se utilizar o complemento de dois, para a realização de 
operações aritméticas. 
 
Consideremos uma operação de subtração de dois números binários: a - b 
 
Esta operação pode ser escrita como: a - b = a + (-b) 
 
Ou seja, a operação de subtração pode ser substituída por uma operação de soma, onde 
utilizamos valor negativo do subtraendo. Portanto, uma operação de subtração de dois números 
binários e feita somando o minuendo com o complemento de 2 dosubtraendo. 
 
 
Neste tipo de operação, é importante que seja definido a priori, o número de dígitos que será 
utilizado para representar todos os números binários, tendo em vista que na operação de soma o 
último dígito normalmente deve ser ignorado. 
 
Como exemplo, vamos efetuar a subtração 106(10) – 39(10) no sistema binário. Para isto, vamos 
estabelecer que os números binários serão representados com 8 bits. 
 
 106(10) = 01101010(2) 
 39(10) = 00100111(2) 
 
O complemento de 2 de 39 é: 11011001 (que representa o número -39) 
 
A operação a ser realizada é 106 – 39 = 106 + (-39) 
 
Temos então: 01101010 
 +11011001 
 101000011 
 
Como foi definido no início que seriam utilizados 8 bits para representar os números binários , o 
bit adicional que apareceu no resultado deve ser desprezado. O resultado da operação é portanto 
0100011, equivalente ao valor 67 decimal, que é o resultado esperado para a operação. 
 
Exemplo: 
 Efetuar a operação 115(10) – 77(10) no sistema binário: 
 
 115 = 01110011 
 77 = 01001101 -77 = 10110011 
 
A operação fica portanto: 01110011 
 +10110011 
 100100110 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 16 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
O resultado é 00100110 = 38(10) conforme era esperado. 
 
 
Vejamos agora, a operação 43(10) – 109(10). 
 
 43(10) = 00101011(2) 
 109(10) = 01101101(2) 
 
O complemento de 2 de 01101101, que representa o valor -109 é: 10010011 
 
Temos então a operação: 00101011 
 +10010011 
 10111110 
 
Convertendo o resultado da operação (10111110) para decimal, temos o valor 190(10), que não 
é o resultado esperado da operação, cujo valor correto deveria ser -66. No entanto, se 
tomarmos o complemento de 2 do resultado da operação, temos o valor 01000010, que 
corresponde ao valor decimal 66. Observe que, como o resultado da operação é negativo, o 
mesmo apareceu na forma de complemento de 2. 
 
Desta forma, temos a regra para a representação de números positivos e negativos no sistema 
binário. 
 
a) O primeiro bit(mais significativo) indica o sinal: 
0: o número é positivo 
1: o número é negativo 
 
b) Se o número for positivo, está representado na sua forma real. Se for negativo, está 
representado na forma de complemento de 2. 
 
Com esta forma de representação, a operação de soma é realizada normalmente, sendo que o 
resultado, positivo ou negativo, aparecerá naturalmente. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 a) 95 + (–44) 
 01011111 
+11010100 
 
 
Eliminando o dígito adicional temos: 00110011 = 51 
 
 
 b) 27 + (–79) 
 00011011 
+10110001 
 
 
 
 c) 23 + 85 
ELETRÔNICA DIGITAl I 17 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
 00010111 
+01010101 
 
 
 
 d) (-47) + (–72) 
 11010001 
+10111000 
 
 
 
 e) 71 + 89 
 01000111 
+01011001 
 
 
 
Como podemos observar na última operação (e), o resultado foi -96, quando o valor correto é 
+160. Neste caso, ocorreu uma condição de “overflow”, ou seja, o resultado da operação não 
cabe nos 8 bits previamente definidos para isto. Fica claro portanto, que existem limites para os 
valores que podem ser representados, limites estes que dependem do número de bits que estamos 
utilizando para representar o números. 
 
Para o caso de representação de números binários com 8 bits, estes limites são: 
 
 01111111 = +127 
 10000000 = -128 
 
Como regra geral, temos os seguintes limites: 
 
 -(2n-1) ≤ N ≤ 2n-1 - 1 
 
 onde: n é o número de bits utilizados para representar o número. 
 
 
 
CÓDIGOS BINÁRIOS 
 
A representação de valores numéricos através do sistema de numeração binário, é denominado 
código binário puro. Em outras situações é necessário, ou desejável, a representação de strings 
de caracteres alfanuméricos ou numéricos. 
 
Diversos tipos de códigos foram desenvolvidos com esta finalidade, podendo se enquadrados em 
duas principais categorias: 
 
• Códigos numéricos: utilizados para representar valores numéricos; 
• Códigos não numéricos: utilizados para representar caracteres alfanuméricos 
 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 18 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Código numéricos 
 
Código BCD 
 
O código BCD-Binary Coded Decimal (Decimal Codificado em Binário) é um código numérico, 
utilizado para representar os 10 dígitos decimais, sendo muito utilizado na interface entre 
dispositivos digitais. O código BCD nada mais é o do que o próprio código binário, com os 
valores limitados ao intervalo de 0 a 9, utilizando portanto 4 bits. 
 
O código BCD é também denominado BCD-8421, pelo fato dos 4 bits que formam o código 
terem pesos de 8, 4, 2 e 1 respectivamente. 
 
Na tabela abaixo temos a correspondência entre cada dígito decimal e sua representação no 
código BCD. 
 
 Decimal BCD 
 0 0000 
 1 0001 
 2 0010 
 3 0011 
 4 0100 
 5 0101 
 6 0110 
 7 0111 
 8 1000 
 9 1001 
 
Para representar um número decimal no código BCD, representamos cada um dos dígitos através 
de um conjunto de 4 bits. 
 
Exemplo: representar o número 590274 no código BCD. 
 
Substituindo cada dígito decimal por um grupo de 4 bits, temos: 
 
 0101 1001 0000 0010 0111 0100 
 5 9 0 2 7 4 
 
 
Código 3-em-excesso 
 
O código 3-em-excesso é formado adicionando-se 3 ao código BCD(ou binário). Trata-se de um 
código não ponderado, visto que não temos como estabelecer um peso para cada um dos 4 bits 
que forma o código. 
 
Uma característica do código 3-em-excesso é que, o complemento de 1 de um valor qualquer 
neste código, corresponde ao complemento de 9 do dígito decimal correspondente. Por esta 
razão, dizemos que o código 3-em-excesso possui a propriedade de auto-complementação. 
 
Na tabela abaixo, temos a correspondência entre os códigos decimal, BCD e 3-em-excesso: 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 19 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
 Decimal BCD 3-em-excesso 
 0 0000 0011 
 1 0001 0100 
 2 0010 0101 
 3 0011 0110 
 4 0100 0111 
 5 0101 1000 
 6 0110 1001 
 7 0111 1010 
 8 1000 1011 
 9 1001 1100 
 
 
Código GRAY 
 
O código Gray é um código cíclico, cuja característica é a mudança de somente um bit entre dois 
valores consecutivos. Devido a esta característica, o código Gray é muito utilizado em 
codificadores(encoders) pois, o fato de existir somente um bit diferente entre valores 
consecutivos diminui a probabilidade da ocorrência de erros. 
 
A tabela abaixo mostra a correspondência entre os códigos decimal, binário e Gray de 4 bits: 
 
 Decimal Binário Gray 
 0 0000 0000 
 1 0001 0001 
 2 0010 0011 
 3 0011 0010 
 4 0100 0110 
 5 0101 0111 
 6 0110 0101 
 7 0111 0100 
 8 1000 1100 
 9 1001 1101 
 10 1010 1111 
 11 1011 1110 
 12 1100 1010 
 13 1101 1011 
 14 1110 1001 
 15 1111 1000 
 
 
Código Johnson 
 
O código Johnson é um código numérico, gerado a partir do contador Johnson. O número de 
valores possível depende da quantidade de bits utilizados para representar estes valores. Para 
representar os 10 dígitos decimais, são necessários 5 bits no código Johnson. 
 
Na tabela abaixo, está representado o código Johnson de 5 bits: 
 
 Decimal Johnson 
ELETRÔNICA DIGITAl I 20 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamentode Engenharia Elétrica 
 0 00000 
 1 10000 
 2 11000 
 3 11100 
 4 11110 
 5 11111 
 6 01111 
 7 00111 
 8 00011 
 9 00001 
 
 
Detecção e correção de erros 
 
Um erro em um dado binário qualquer, significa um valor incorreto em um ou mais bits que 
formam este dado. Temos um erro simples quando existe somente um bit incorreto e um erro 
múltiplo quando mais de um bit está incorreto. 
 
Erros podem ser causados por falhas de hardware, interferência externa ou outro evento 
indesejado. 
 
Os códigos vistos até agora, são compostos de 4 bits, que é o número mínimo necessário para 
representar os 10 dígitos decimais. 
 
Estes códigos, embora adequados para a representação dos dígitos decimais, são sensíveis a erros 
de qualquer natureza. Na prática, existe sempre a probabilidade da ocorrência de um erro 
simples. A probabilidade da ocorrência de um erro múltiplo é mais baixa. 
 
Abordaremos a seguir, a detecção de erros simples. 
 
 
Códigos de detecção de erros 
 
Em um código de 4 bits, a ocorrência de um erro em um dos bits de um dado pode resultar em 
outro dado válido, porém incorreto. 
 
Consideremos como exemplo, os dois dispositivos A e B mostrados na figura abaixo, conectados 
através de uma interface, através da qual trafegam dados no formato BCD. 
 
Supondo que, em determinado instante, o dispositivo A enviou através da interface, a seqüência 
de bits 0101, que corresponde ao dígito decimal 5 no código BCD. 
 
 
 
Supondo ainda que, devido à uma interferência externa qualquer, o segundo bit (da direita para a 
esquerda) da sequência enviada, foi alterado de 0 para 1. 
A B
0101 0111 
ELETRÔNICA DIGITAl I 21 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
 
Desta forma, o dispositivo B recebe o dado 0111, que corresponde à um valor BCD válido 
(digito 7), porém diferente daquele que foi enviado por A. 
 
Assim, A enviou o dígito 5 e B recebeu o dígito 7, e vai tratar este valor como sendo correto, 
pois não possui nenhum mecanismo para detectar que ocorreu o erro, pois o código BCD não 
tem capacidade para detectar o erro. 
 
É possível tornar o código BCD capaz de detectar um erro simples, adicionando ao mesmo um 
bit de paridade, que pode ser par ou ímpar. 
 
• Paridade par : o número de bits “1”, incluindo o bit de paridade, deve ser par. 
• Paridade ímpar : o número de bits “1”, incluindo o bit de paridade, deve ser ímpar. 
 
Na tabela abaixo está mostrado o código BCD, acrescido de um bit de paridade: 
 
 ---------------- BCD ------------------- 
 Paridade par Paridade ímpar 
 Decimal 8421 P 8421 P 
 0 0000 0 0000 1 
 1 0001 1 0001 0 
 2 0010 1 0010 0 
 3 0011 0 0011 1 
 4 0100 1 0100 0 
 5 0101 0 0101 1 
 6 0110 0 0110 1 
 7 0111 1 0111 0 
 8 1000 1 1000 0 
 9 1001 0 1001 1 
 
O propósito do bit de paridade é adicionar um bit extra ao código, de modo a fazer com que o 
número total de bits “1” seja par ou ímpar, conforme o tipo de paridade paridade desejada. Com 
isto, é possível detectar um erro do tipo visto no caso acima. 
 
Considerando o exemplo visto anteriormente e supondo uma paridade par, o dispositivo A envia 
o dígito 5que corresponde a 01010, sendo que o dispositivo B por sua vez, recebe o dado 01110. 
 
 
 
Ao verificar a paridade, o dispositivo B, percebe a existência de 3 bits “1”, o que considerando a 
paridade par está incorreto. 
 
 
Código 2-entre-5 
 
A B
01010 01110
ELETRÔNICA DIGITAl I 22 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Outro código numérico utilizado para representar os dígitos decimais e que possui a capacidade 
de detectar a ocorrência de um erro simples é o código 2-entre-5, que é um código de 5 bits. 
 
O código 2-entre-5 é formado pelas 10 possíveis combinações de 5 bits sendo que, 2 dos 5 bits 
são iguais a “1” e 3 são iguais a “0”. 
 
A detecção de um erro é feita contando-se o número de bits iguais a “1” existentes na seqüência 
de bits em questão. Sempre que este número for diferente de 2, existe um erro. 
 
A tabela abaixo mostra a configuração do código 2-entre-5: 
 
 Decimal 2-entre-5 
 0 00011 
 1 00101 
 2 00110 
 3 01001 
 4 01010 
 5 01100 
 6 10001 
 7 10010 
 8 10100 
 9 11000 
 
 
Distância de um código binário 
 
A distância entre duas palavras(valores) quaisquer, em um código binário, representa o número 
de bits que precisam ser alterados para tornar um valor válido em outro valor válido. 
 
Por exemplo, a distância entre as palavras 1010 e 0100 é três, visto que os dois valores possuem 
3 bits diferentes. 
 
A distância mínima de um código binário, representa o menor número de bits diferentes entre 
dois valores quaisquer. Assim, nos códigos BCD e 3-em-excesso, a distância mínima é um, 
enquanto que no código 2-entre-5 a distância mínima é dois. 
 
Para que um código possua a capacidade de detectar um erro simples, é necessário que a 
distância mínima seja maior ou igual a dois. 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 23 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Códigos não numéricos 
 
Os código não numéricos são utilizados para representar valores que não são numéricos. Por 
exemplo, um computador tem a capacidade de armazenar e trabalhar tanto com dados numéricos 
como com dados alfanuméricos. Para que isto seja possível, é necessária a utilização de um 
código capaz de representar os dados alfanuméricos. 
 
 
Código ASCII 
 
O código ASCII (American Standard Code for Information Interchange) é um código não 
numérico, amplamente utilizado na indústria de computadores. É um código utilizado para 
representar um conjunto de caracteres alfanuméricos, através de combinações de bits pré 
definida. 
 
 
TABELA ASCII (7 bits) 
ASCII – American Standard Code for Information Interchange 
 
Dec Hex Caracter Dec Hex Caracter Dec Hex Caracter Dec Hex Caracter 
 0 00 NUL 32 20 SP 64 40 @ 96 60 ` 
 1 01 SOH 33 21 ! 65 41 A 97 61 a 
 2 02 STX 34 22 “ 66 42 B 98 62 b 
 3 03 ETX 35 23 # 67 43 C 99 63 c 
 4 04 EOT 36 24 $ 68 44 D 100 64 d 
 5 05 ENQ 37 25 % 69 45 E 101 65 e 
 6 06 ACK 38 26 & 70 46 F 102 66 f 
 7 07 BEL 39 27 ' 71 47 G 103 67 g 
 8 08 BS 40 28 ( 72 48 H 104 68 h 
 9 09 HT 41 29 ) 73 49 I 105 69 i 
 10 0A LF 42 2A * 74 4A J 106 6A j 
 11 0B VT 43 2B + 75 4B K 107 6B k 
 12 0C FF 44 2C , 76 4C L 108 6C l 
 13 0D CR 45 2D - 77 4D M 109 6D m 
 14 0E SO 46 2E . 78 4E N 110 6E n 
 15 0F LF 47 2F / 79 4F O 111 6F o 
 16 10 DLE 48 30 0 80 50 P 112 70 p 
 17 11 DC1 49 31 1 81 51 Q 113 71 q 
 18 12 DC250 32 2 82 52 R 114 72 r 
 19 13 DC3 51 33 3 83 53 S 115 73 s 
 20 14 DC4 52 34 4 84 54 T 116 74 t 
 21 15 NAK 53 35 5 85 55 U 117 75 u 
 22 16 SYN 54 36 6 86 56 V 118 76 v 
 23 17 ETB 55 37 7 87 57 W 119 77 w 
 24 18 CAN 56 38 8 88 58 X 120 78 x 
 25 19 EM 57 39 9 89 59 Y 121 79 y 
 26 1A SUB 58 3A : 90 5A Z 122 7A z 
 27 1B ESC 59 3B ; 91 5B [ 123 7B { 
 28 1C FS 60 3C < 92 5C \ 124 7C | 
 29 1D GS 61 3D = 93 5D ] 125 7D } 
 30 1E RS 62 3E > 94 5E ^ 126 7E ~ 
 31 1F US 63 3F ? 95 5F _ 127 7F DEL 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 24 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
TABELA ASCII EXTENDIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Código EBCDIC 
 
O código EBCDIC – Extended Binary Coded Decimal Interchange Code, foi desenvolvido 
pela IBM no início da década de 60 sendo utilizado em computadores de grande 
porte(mainframes). 
 
É um código de 8 bits, onde cada caracter é representado através uma combinação específica 
destes 8 bits. 
 
Na tabela abaixo, temos a representação do código EBCDIC. 
 
 
ELETRÔNICA DIGITAl I 25 
Ademar Luiz Pastro UFPR-Departamento de Engenharia Elétrica 
Código EBCDIC