Circuitos Digitais - Representacao da Informação - Parte a - Sistemas de Numeração

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Capítulo 1
Representação da Informação
Parte a
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1. Representação de Informação
„ 1.1 Sistemas de numeração
…Notação numérica posicional
…Conversão de números inteiros entre bases
…Conversão de números fracionários entre bases
…Sistemas binário, octal e hexadecimal
…Aritmética em bases genéricas
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
2
1.1 Sistemas de Numeração
„ Notação Numérica posicional
… Sistema numérico na base B
„ Utiliza os algarismos {0 1 B-1}„ Utiliza os algarismos {0, 1, …, B-1}
„ A localização de um algarismo ai no número determina seu peso Bi
„ O valor do algarismo ai é o produto algarismo × peso
„ O valor x do número é a soma dos produtos algarismo × peso
n
i
i Ba ×
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
0
0
1
1
0
... BaBaBaBax nn
n
n
i
n
i
i ×++×+×=×= −−
=
∑
1.1 Sistemas de Numeração
„ Notação Numérica posicional - exemplo
… Sistema decimal (base 10)
„ Utiliza os algarismos {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}„ Utiliza os algarismos {0, 1, 2, ,3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9}
„ A localização de um algarismo no número determina seu peso:
012
10 107106103367 ×+×+×=
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
Para números inteiros: dígito mais à direita ⇒ posição 0
3
1.1 Sistemas de Numeração
„ Notação Numérica posicional - exemplo
… Sistema binário (base 2)
„ Utiliza os algarismos {0 1}„ Utiliza os algarismos {0, 1}
„ A localização de um algarismo no número determina seu peso:
10
0123568
2 36721212121212121101101111 =×+×+×+×+×+×+×=
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
Para números inteiros: dígito mais à direita ⇒ posição 0
1.1 Sistemas de Numeração
„ Notação Numérica posicional - exemplo
… Sistema octal (base 8)
„ Utiliza os algarismos {0 1 2 3 4 5 6 7}„ Utiliza os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
„ A localização de um algarismo no número determina seu peso:
10
012
8 367878585557 =×+×+×=
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
Para números inteiros: dígito mais à direita ⇒ posição 0
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Notação Numérica posicional - exemplo
… Sistema hexadecimal (base 16)
„ Utiliza os algarismos {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F}„ Utiliza os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, A, B, C, D, E, F}
„ A localização de um algarismo no número determina seu peso:
10
012
16 367161516616116F =×+×+×=
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
Para números inteiros: dígito mais à direita ⇒ posição 0
1.1 Sistemas de Numeração
„ Notação Numérica posicional para números com 
parte fracionária:
n
… Exemplo (B=10):
m
m
n
n
n
n
i
n
mi
i BaBaBaBax
−
−
−
−
−=
×++×+×=×= ∑ ...11
3210
10 105107108105875,5
−−− ×+×+×+×=
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
… Exemplo (B=2):
10
32102
2 875,52121212121111,101 =×+×+×+×+×= −−−
5
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases de números inteiros
… Pode ser feita através da equivalência de valores 
representados em bases diferentesrepresentados em bases diferentes
… A expressão abaixo permite a conversão de um número X
representado na base s para o número Y, de mesmo valor, 
mas representado na base r
rs YX =
0
0
1
1
0
0
1
1 ...... ryryrysxsxsx
m
m
m
m
n
n
n
n ×+++=×+++ −−−−
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
… O processo envolve divisões sucessivas do número pela 
base destino r, com a aritmética realizada na base s.
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – divisões sucessivas:
r11 yryryry mm +×+++ − r
0y
011 ... yryryry mm +×+++ −
1
1
2
2
1
1 ... yryryry mm
m
m ++++ −−−
r
1y
1
1
2
2
1
1 ... yryryry mm
m
m +×+++ −−−
2
1
3
3
1
2 ... yryryry mm
m
m ++++ −−−
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
r
1−my
1−+ mm yry
my
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – divisões sucessivas
X r
Q1 r
r
rQm
Q2
y0
y1
y2
y 0
rs YX =
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
„ Os algarismos correspondentes aos restos das 
divisões, tomados na ordem inversa, formam o 
número na base destino!
ym 0
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – divisões sucessivas
… Conversão da base 10 para a base 8
367 8
45 8
85
7
5
5 0
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
810 557367 =
7
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – divisões sucessivas
… Conversão da base 10 para a base 16
367 16
22 16
161
15
6
1 0
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1610 16367 F=
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – divisões sucessivas
… Conversão da base 10 para a base 2
367 2367 2
183 2
291
1
1
1 45 2
22 2
211
1
0
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
210 101101111367 =
0
1 5 2
2 2
21
1
0
1
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – números fracionários
… Pode ser feita também através da equivalência de valores 
representados em bases diferentesrepresentados em bases diferentes
… A expressão abaixo permite a conversão de um número 
fracionário X representado na base s para o número 
fracionário Y, de mesmo valor(*) , mas representado na 
base r )( rs YX =
...... 22
1
1
2
2
1
1 ++=++ −−−−−−−− ryrysxsx
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
… O processo envolve multiplicações sucessivas do número 
pela base destino r, com a aritmética realizada na base s.
(*) se a parte fracionária da multiplicação for 0 ao final do processo 
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – multiplicações sucessivas
…Multiplica-se a parte fracionária representada na base s
pela base destino rpela base destino r
...33
2
2
1
1 +++ −−−−−− ryryry
1−y ...23
1
2 +++ −−−− ryry
r ×
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1º dígito à direita da vírgula corresponde à parte inteira do resultado
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – multiplicações sucessivas
…Multiplica-se a parte fracionária do resultado anterior pela 
base destino rbase destino r.
… Note que a parte inteira do resultado anterior foi 
descartada.
y
...23
1
2 ++ −−−− ryry
×r
1 ++ −ry
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
2−y
O próximo dígito à direita da vírgula corresponde à parte inteira do resultado
...3 ++ − ry
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – multiplicações sucessivas
…O processo é repetido até que a parte fracionária
d lt d j l t j ti f itdo resultado seja nula, ou se esteja satisfeito com o 
número de dígitos à direita da vírgula.
21 ++ −− ryry
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
...43 ++ −− ryry
×r
3−y ...14 ++ −− ry
O dígito seguinte à direita da vírgula corresponde à parte inteira do resultado
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Algoritmo Início
1−=i
ff XN =
1−= ii
iff yNN −=
)int( fi Ny =
ff rNN =
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
fN
1ii
Fim
0≠
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre bases – números fracionários
…Conversão de 0,812510 para a base 2
=×28125,0 6251, y-1 = 1
=×2625,0 251, y-2 = 1
=×225,0 50, y-3 = 0
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
…Portanto 0,812510 = 0,11012
=×25,0 01, y-4 = 1
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão entre os sistemas binário (base 2), 
octal (base 8) e hexadecimal (base 16)
…A conversão entre esses sistemas de numeração é 
simplificada pela relação entre eles:
„ 8 = 23
„ 16 = 24
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.1 Sistemas de Numeração
„ Sistema octal (base 8)
… Um dígito octal corresponde a 
um número binário com 3 bits
Binário Dígito Octal
0 0 0 0um número binário com 3 bits 
(binary digits) 0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
MárcioBrandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão do sistema binário para o sistema 
octal (e vice-versa)
…Começando à direita do número binário (caso o 
número seja inteiro), ou a partir da vírgula, agrupa-
se os dígitos binários em grupos de 3 bits
…Associa-se a cada agrupamento ao dígito octal 
correspondente
010 001101 100 11100011011 101 11
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
2010 001101
8152 804
2100 11100011011 101 11
6 73 5 6
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão do sistema binário para o octal
…Considerando que o número de bits n é múltiplo de 
3 j k /33, ou seja, k = n/3
=++++++ −−−−−− 001122332211 222...222 aaaaaa nnnnnn
=++++++= −−−− 00011223031221 2)222(...2)222( aaaaaa nnnn
)0(3012)1(3012 2)222(2)222( k
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
=++++++= −−−− )0(3001122)1(3031221 2)222(...2)222( aaaaaa knnn
=++++++= −−−− 0001122)1(031221 8)222(...8)222( aaaaaa knnn
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Sistema hexadecimal (base 16)
… Um dígito hexadecimal 
corresponde a um número bináriocorresponde a um número binário 
com 4 bits.
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão do sistema binário para o sistema 
hexadecimal ( e vice-versa)
…Começando à direita do número binário (caso o 
número seja inteiro), ou a partir da vírgula, agrupa-
se os dígitos binários em grupos de 4 bits
…Associa-se a cada agrupamento ao dígito 
hexadecimal correspondente
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
210011010
169A
160D
21101 011100000011 1011 1000
73 B 8
14
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão do sistema binário para o hexadecimal
…Considerando que o número de bits n é múltiplo de 4, 
j k /4ou seja, k = n/4
=++++++++ −−−−−−−− 0011223344332211 2222...2222 aaaaaaaa nnnnnnnn
=++++++++= −−−−− 000112233404132231 2)2222(...2)2222( aaaaaaaa nnnnn
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
=++++++++= −−−−− )0(400112233)1(404132231 2)2222(...2)2222( aaaaaaaa knnnn
=++++++++= −−−−− 000112233)1(04132231 16)2222(...16)2222( aaaaaaaa knnnn
1.1 Sistemas de Numeração
„ Conversão do sistema octal para o hexadecimal
(e vice-versa)
…Converte-se inicialmente o número para o sistema 
binário:
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Aritmética em bases genéricas
…Para se efetuar a conversão de números entre bases 
l é d d d õ (pelo método das divisões sucessivas (para a parte 
inteira) ou das multiplicações sucessivas para a 
parte fracionária), é necessário que as operações 
aritméticas sejam realizadas na base na qual o 
número está representado. 
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.1 Sistemas de Numeração
„ Aritmética na base-5
…Tabelas de adição e multiplicação
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Adição na base-5
+ 313422 1240
224
+
=+ 55 313422
042
3 1 3
1 1
1
51240
Carry
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
0421
1.1 Sistemas de Numeração
„ Subtração na base-5
134421 232
124
−
=− 55 134421
232
1 1
5232
1 43
Borrow
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
232
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Multiplicação na base-5
×42234 22033
432
×
=× 55 42234 522033
24
Carry (multiplicação 1) 
14
1
3
1
1 2Carry (soma)
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
14
30
3
12
2 3
3
1
+
32 2
Carry (multiplicação 2) 
1.1 Sistemas de Numeração
„ Divisão na base-5
÷14431 ?=÷ 55 14431 ?
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Aritmética na base-2
…Tabelas de adição e multiplicação
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.1 Sistemas de Numeração
„ Adição na base-2
+101111010 100101
+
=+ 22 101111010
1 1
2100101
Carry
01 1
111 00
1 110
01 0
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
01 101 0
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1.1 Sistemas de Numeração
„ Subtração na base-2
01111001 0010
−
=− 22 01111001
1 1
20010
Borrow
10 0
01 10
0 111
0
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
10 00
1.1 Sistemas de Numeração
„ Multiplicação na base-2
×11011110 10110110
11 01
×=× 22 11011110
1 1
210110110
Carry
11 0
1 101
11 01
11 01
11 01 +
1 1 10 0
11
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
20
1.1 Sistemas de Numeração
„ Divisão na base-2
÷111010111010 1101 100R t=÷ 22 111010111010
1 1
21101
1
11 0 1 1 0 1 0
11
1 1 1 0
1
1 0 0 0
1 1 1 0 −
1
1 1 1 0 −
0
2100Resto = 
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1
0
1
1
11
1 1 1 0
00 00
−
0