LISTA 1 Matrizes e Sistemas Lineares

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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear
Profa Dra Diane Rizzotto Rossetto
LISTA 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
⇒ Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das
referências que constam no plano de ensino.
Questão 1: Resolva graficamente os sistemas de equações lineares.
a)
{
−2x1 − 4x2 = 2
−4x1 − 6x2 = 1
b)
{
−2x1 + 2x2 = 1
3x1 − 4x2 = 2
Questão 2: Considere as seguintes matrizes:
A =
[
2 0
6 7
]
B =
[
0 4
2 −8
]
C =
[−6 9 −7
7 −3 −2
]
D =
−6 4 01 1 4
−6 0 6

E =
 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1

Se for possível, calcule:
a) AB −BA
b) 2C −D
c) (2D> − 3E>)>
d) D2 −DE
e) Suas inversas.
f) O elemento g23 de G = ED.
Questão 3: A matriz A =
1 2 3x y z
2 1 z
 admite a transposta A> =
 1 x 2x− 2 y 1
3y 6− y z
. Nestas
condições, calcule x, y e z.
Questão 4: Determine os valores de a e b para que a matriz M =
 3 8 xa3 1 b2
x 121 0
 seja
simétrica.
Questão 5: Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B+C),
B>A>, C>A> e (ABA)C?
1
Questão 6: Considere as matrizes
M =
 2 0−1 1
3 4
 e A = [−1 2 3
0 1 0
]
.
Calcule (M + A>)(M> − A).
Questão 7: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
a)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
c)

−2x2 + 3x3 = 1
3x1 + 6x2 − 3x3 = −2
6x1 + 6x2 + 3x3 = 5
Questão 8: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
a)

x1 + x2 + 2x3 = 0
−x1 − 2x2 + 3x3 = 0
3x1 − 7x2 + 4x3 = 0
b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 0
8x1 + x2 + 4x3 = 0
c)

−2x2 + 3x3 = 0
3x1 + 6x2 − 3x3 = 0
6x1 + 6x2 + 3x3 = 0
Questão 9: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas de equações
lineares.
a)

x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 2
x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + x5 + 2x6 = 3
x1 + 2x2 − 3x4 + 2x5 + x6 = 4
3x1 + 6x2 + x3 − 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9
2
b)

x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 0
x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + x5 + 2x6 = 0
x1 + 2x2 − 3x4 + 2x5 + x6 = 0
3x1 + 6x2 + x3 − 9x4 + 4x5 + 3x6 = 0
Questão 10: Encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem
solução única e tem infinitas soluções:
x+ 2y − 3z = 4
3x− y + 5z = 2
4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2
Questão 11: Construa as matrizes:
a) A1×3, tal que aij = 2i− j
b) D3×3, tal que dij =
{
2i+j, se i > j
i2 − j, se i ≤ j
Questão 12: Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for ver-
dadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é
válida.
a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
b) Se AB = 0 então BA = 0.
c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.
Questão 13: Sejam A, B e C matrizes n× n.
a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2? Justifique.
b) (AB)C = C(AB)? Justifique.
Questão 14: Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua
diagonal principal, denotamos o traço de uma matriz A por tr(A). Determine x
e y na matriz A =
1 2 30 x 4
0 0 y
 para que tr(A) = 9 e x seja o triplo de y.
Questão 15: Sejam A e B matrizes quadradas n× n e α um escalar qualquer. Mostre que:
a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);
b) tr(αA) = αtr(A);
c) tr(AB) = tr(BA);
d) Se B é invertível, então tr(B−1AB) = tr(A). (faça para o caso n = 2)
3
Questão 16: Prove que:
a) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear homogêneo AX = 0, então αX1+
βX2 também é solução, para quaisquer escalares α e β.
b) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear AX = B e se αX1+βX2 também
é solução deste sistema para quaisquer escalares α e β, então B = 0.
Questão 17: Sejam A =
1 0 51 1 1
0 1 −4
, I =
1 0 00 1 0
0 0 1
, X =
xy
z
 e 0 =
00
0
. Encontre a
solução geral do sistema de equações lineares (A+ 4I)X = 0.
Questão 18: Resolva os sistemas de equações lineares.
a)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
Questão 19: Calcule det(A) onde
a) A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
 b) A =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1

Questão 20: Se det(A) = −3, encontre
a) det(A3) b) det(A2) c) det(A−1) d) det(A>)
Questão 21: Se A e B são matrizes n × n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule
det(A>B−1).
Questão 22: Determine todos os valores de λ para os quais det(A− λIn) = 0, onde
a) A =
2 0 03 −1 0
0 4 3
 b) A =
2 3 00 1 0
0 0 2

c) A =

1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2

Questão 23: Considere as matrizes do exercício (22). Determine os valores de λ ∈ R tais que
existeX = [x1 x2 x3]> 6= 0 que satisfaz AX = λX. Em seguida, considerando
os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX.
4
Questão 24: Mostre que
a) Se det(AB) = 0, então ou A é singular ou B é singular.
b) Se A> = A−1, então det(A) = ±1.
c) Se α é um escalar e A é uma matriz n× n, então det(αA) = αndet(A).
d) An×n é invertível se, e somente se, A>A é invertível.
e) Se An×n é invertível, então det(A−1) = 1/det(A).
Questão 25: Se possível, encontre a inversa das seguintes matrizes:
a) A =
[
1 2
2 4
]
b) B =
[
1 2
0 1
]
Questão 26: Seja An×n uma matriz diagonal tal que aii 6= 0 para i = 1, . . . , n . Prove que A
é invertível e que A−1 também é uma matriz diagonal cujos elementos são dados
por dii = a−1ii .
Questão 27: Dadas as matrizes A =
[
9 5
7 4
]
e B =
[
4 n
m 9
]
, calcular m e n para que B seja
a matriz inversa de A.
Questão 28: Encontre todos os valores de a para os quais a matriz
A =
1 1 01 0 0
1 2 a

tenha inversa.
Questão 29: Considere as matrizes:
A =
[−1 2
−4 1
]
B =
−2 0 −53 −3 −1
0 3 −4

D =
2 −2 40 −1 3
4 −2 0

F =

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1

Calcule os determinantes:
a) Por uma das linhas.
b) Por uma das colunas.
c) Por triangulação.
5
Calcule, se possível, suas inversas.
Questão 30: Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B, fabrica três tipos
de bolo: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite, manteiga e ovos.
Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimados conforme a
matriz M de venda semanal abaixo:
Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo 2 Bolo tipo 3
A 50 unidades 30 unidades 25 unidades
B 20 unidades 20 unidades 40 unidades
Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz N
seguinte:
Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos
tipo 1 500 g 200 g 500 ml 150 g 4
tipo 2 400 g 100 g 300 ml 250 g 5
tipo 3 450 g 150 g 600 ml 0 6
A direção da empresa, a fim de atender à demanda semanal, quer saber a quan-
tidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas
confeitarias. Calcule também o total de cada ingrediente utilizado pela empresa
semanalmente.
Questão 31: Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo,
A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas do insumo
A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y , 1 grama de insumo A e 3 gramas
de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de
venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00,
respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada
com 1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine
quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
6
Respostas
2.
a)
[−24 −2058 24
]
b) Não é possível.
c)
−30 −19 275 2 20
6 0 15
 d)  80 34 −22−10 −4 45
72 30 −12

5. A(B + C) = AB + AC, B>A> = (AB)>, C>A> = (AC)> , (ABA)C = (AB)(AC)
7.
a) X = [3 1 2]>
b) X = [−1/7− (3/7)a 1/7− (4/7)a a]>
c) não tem solução
10. Se a2 − 16 = 0 e a− 4 = 0, então o sistema tem infinitas soluções. Neste caso, a = 4;
Se a2 − 16 = 0 e a− 4 6= 0, então o sistema não tem solução. Neste caso, a = −4; Se
a2 − 16 6= 0, então o sistema tem solução única. Neste caso, a 6= ±4.
13.
a) Não. Só será verdade se AB = BA.
b) Não. Só será verdade se AC = CA e BC = CB.
19. a) 12 b) 0
20. a)−27 b)9 c)−1/3 d)−3
21. −2/3
22. a)λ = 2,−1 ou 3 b)λ = 2, 2 ou 1 c)λ = 1, 2,−1 ou 3
23.
a) Para λ = 2 tem-se X = [−α,−α, 4α]>, α ∈ R. Para λ = −1 tem-se
X = [0,−α, α]>, α ∈ R. Para λ = 3 tem-se X = [0, 0, α]>, α ∈ R.
b) Para λ = 2 tem-se X = [α, 0, β]>, α, β ∈ R. Para λ = 1 tem-se
X = [−3α, α, 0]>, α ∈ R.
c) Para λ = 1 tem-se X = [α, 0, 0, 0]>, α ∈ R. Para λ = 2 tem-se
X = [−29α,−7α,−9α, 3α]>, α ∈ R. Para λ = −1 tem-se X = [−α, α, 0, 0]>, α ∈ R.
Para λ = 3 tem-se X = [9α, 3α, 4α, 0]>, α ∈ R.
25. a) A não é invertível pois det(A) = 0 b) B−1 =
[
1 −2
0 1
]
31. Foram vendidos 500 kg do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z.
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