Volume 3 Trigonometria (Aluno) Fundamentos da matemática elementar parte 2

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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM INTERVALOS DETERMINADOS
II. Resolução de inequações
í427.Determine x G [0, 2tt] tal que cos 3x £= 2 '
Solução
Fazendo 3x = y, temos a inequação cos y . Examinando o ciclo, vem:
~+ 2krr + 2kiT3 3:
Como x = resulta:3!
-Z. + 2k7L x 2kT79 3 9 3
Mas x G [0, 2tt], então só interessam as soluções particulares em que
k = 0 ou1ou 2:
k = 0 => T«X«—9i 9
ou
k =l => 9 9
ou
k = 2 =» 99
= -XGR||- 5TT 7TT HTT— ou— —- ouPortanto, S 9 9 9
13ir 17TT—— X sS ——9 9 rV.
V3428.Resolva a inequação cos 2x supondo x G [0, 2tt].
429.Resolva a inequação cos 4x > — —, supondo x G [0, 2tt].
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM INTERVALOS DETERMINADOS
I
COS X430. Determine x e [0, 2tt] tal que i.cos 2x
' ' .
Solução
!' !I) Fazendo cos x = y e lembrando que cos 2x = 2 cos2 x - 1, temos:
: 2y2 - y -1y y1o 2* 0-1ss o <=>2y2 -1 2y2 -1 2y2 -1| !
II) Fazendo o quadro de sinais: i__
LL
2 2 2 1
r 2y2 - y - 1 + + +I
2y2 — 1 + + +
2y2 - y - 1 + +2y2 - 1
V2 1 V2concluímos que 0 quociente é positivo para y < —— ou-— y<-r-
ouyÿl. 2
III) Examinando 0 ciclo trigonométrico, para 0 x 2tt, temos:
!
i
1
I V2 3ir 5tt
COS X < - "Z o —7- < x < ——442
TT 2-ir— < X íS —-34
! V21 ou--— COS X < Z <=»22 7TT4tt— x < ——43
f:
COS X 2*1=» X = 0 OU 2tt
portanto:
!
;
! u _
__
2tt 3TT õTT— <Xÿ-7T- OU —— < X < —— OU= |x E R I X = 0 ouS 3 44 4
7TT— x < OU X = 2tt43
3 I Fundamentas de MatemáticB Elementar
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM INTERVALOS DETERMINADOS
2 COS2 X + COS X - 4— > 0, supondo x e [0, TT].431. Resolva a inequação cos x -1
cos 2x + sen x +12* 2, supondo x E [0, TT].432. Resolva a inequação
cos 2x
433.Resolva a inequação 2cos2x «s V2, supondo x E [0, TT].
434. Determine x E [0, 2tt] tal que sen 2x > 0.
( Solução
Fazendo 2x = y, temos a inequação sen y > 0.
Examinando o ciclo, vem
2k-Tr < y < ir + 2kTr
y
Como x = resulta:
2
kir < x <y -f kir.
Mas x E [0, 2TT], então só interessam as soluções particulares em que
k = 0 ou 1:
k = 0 => 0<x<ÿ2
ou
37Tk =1=> TT < X < ——2
= |x E IR I 0 < X <y f)s OU TT < X <
1435. Resolva a inequação sen 2x > supondo x E [0, 2'ir].
V3436.Resolva a inequação sen 3x y,supondo x E [0, 2tt].
437.Resolva a inequação — 1sen x • cos x < —, supondo x E [0, 2tt].
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM INTERVALOS DETERMINADOS
438.Determine no conjunto dos números reais o domínio de
T—, 0 x 2tt.V=i4 • sen2 x -cos x
439.Para que valores de x, x G [0, 2tt], está definida a função
m = I
__
sen 2x ~ 2—9w V cos 2x + 3 cos x -1•
440.É dada a equação
(2 cos2 a) x2 - (4 cos a) x + (4 cos2 a - 1) = 0
sendo 0 a TT.
a) Para que valores de a a equação tem soluções reais?
b) Para que valores de a a equação admite raízes reais negativas?
441.Para que valores de xr x £ [0, 2TT], verifica-se a desigualdade:
logcosx (2 cos X - 1) + logcosx (1+ COS X) > 1?
442.Que valores de x, x G [0, 2tr], verificam a inequação Vl - cos x < sen x?
443.Determine x G [0, 2TT] tal que1 tg 2x < A/3.
Solução
Fazendo 2x = y, temos a inequação1=£ tg y < Vã.
. Examinando o ciclo, vem:
I
!
-ÿ-+k'TTÿy<-ÿ-+k'ir
4 o
= resulta:
ir ,*8+T 6 + 2
Mas x G[0,2tt],então só interessamas soluções particularesemquek =0
ou1ou 2 ou 3:
k = 0 => -?ÿx<-?-
i
!
Como x
i
68
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
V
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM INTERVALOS DETERMINADOS
OU
5TTk =1=> x <8 3
ou
9uk = 2 =* —i 8 6
ou
. 0 13TT „k = 3 ==> —— x < -5TT
í8 3
= (xeR|ÿ- 5ir 2TTTTs x < — OU —— s= X < —— ou6 8 3
9TT 7TT 13TT 5TT
BST x < —— ou X < —-8 6 8 3
444.Resolva a inequaçao tg 2x 2= -V3, supondo x G [0, 2tt].
445.Resolva a inequação tg2 2x tg 2x, supondo x e [0, 2'ir].
446.Resolva a inequação tg2 2x < 3, supondo x G [0, 2tt].
447.Resolva a inequação sen x > cos x, para 0 x 2-rr.
448.Resolva a desigualdade cos x + V3 sen x > V2, com 0 x 2TT.
449.Resolva a inequação |cos x| sen x, com 0 < x < 2TT.
(sec2x-i)450.Qual é a solução da inequação sen 2x •
[0, 2TT]?
0, no intervalo fechado
451.Resolva a inequação 4 sen2 x s* 1, para 0 x «s 2tr.
452.Resolva a inequação 32 ~1 1, supondo x G [0, TT],sen x
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM INTERVALOS DETERMINADOS
453. Considerando x G [0, 2ir]:
a) Para quais valores de x existe log2 (2 sen x - 1)?
b) Resolva a equação
log2 (2 sen x - 1) = log4 (3 sen2 x - 4 sen x + 2)
454.Resolva a inequação 4 cos2 x < 3, em D = [0, 2tt].
2 cos2 x + cos x - 4— > 0, supondo x E [0, TT].455.Resolva a inequação cos x -1
456.Determine no conjunto dos números reais o domínio de
T—, 0ssx*s 2tt4 sen2 x -x = COS X
3457.Sex2 + x + tga> — para todo x real, com 0 a n, determine a.
458.Qual é a solução da inequação sen2 x < 2 sen x, no intervalo fechado [0, 2tt]?
459.Para 0 «s x 2TT, qual é o conjunto solução de (sen x + cos x)2 > 1?
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
Amw :K £3Jk •.* per
%
*rali
. •::
M. W
Trigonometria em
triângulos quaisquer
I. Lei dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos
outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ân¬
gulo formado por eles.
Demonstração:
l9) Seja ABC um triângulo com A < 90°.
No ÁBCD, que é retângulo:
a2 = n2 + h2 (1)
No ABAD, que é retângulo:
h2 = c2 - m2 (2)
Temos também:
n = b - m (3)
Levando (3) e (2) em (1):
a2 = (b - m)2 + c2 - m2 => a2 = b2 + c2 - 2bm
Mas, no triângulo BAD: m = c • cos Â.
B,
c
a
h
A
D, -*Cm
b
3a2 = b2 + c2 - 2bc • cosLogo:
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
2°) Seja ABC um triângulo com 90° < Â < 180°.
No ABCD, que é retângulo:
a2 = n2 + h2 (1)
No ABAD, que é retângulo:
h2 = c2 - m2 (2)
Temos também:
n = b + m (3)
Levando (3) e (2) em (1):
a2 = (b + m)2 + c2 - m2 =» a2 = b2 + c2 + 2bm
Mas, no ABAD: m = c •cos (180° - Â) => m = -c •cos Â.
B
h .c
D*~ b
n
a2 = b2 + c2 - 2bc cos ÂLogo:
39) Analogamente, podemos provar que:
b2 = a2 + c2 - 2ac •cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab • cos C
['JEAÿAw EXERCÍCIOS
460.Dois lados de um triângulo medem 8 m e12 m e formam entre si um ângulo de
120°. Calcule o terceiro lado.
r Solução
Adotando a notação da figura ao lado e
aplicando a lei dos cossenos, temos:
a2 = b2 + c2 - 2bc • cos  -
= 82 + 122 - 2 • 8 •12 • cos 120° =
= 64 + 144 + 96 = 304
então a = V304 = 4Vl9 m.
c
a
b = 8
;120°?
B
\ A c= 12
3 I Fundamentos de Matemática Elementar*
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
A461.Calcule c, sabendo que:
a = 4
b = 3V2
C = 45°
c
bB
a
C
462.Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 m e 12 m e formam um
ângulo de 60°. Calcule as diagonais.
463.Calcule ostrêsângulos internosde umtriângulo ABC, sabendo que a = 2,b = V6e
c = V3 + 1.
464.Demonstre que, se os lados de um triângulo têm medidas expressas por números
racionais,entãooscossenosdosângulos internos também sãonúmeros racionais.
465.0s lados de um triângulo são dados pelas expressões:
a = x2 + x + l, b = 2x +1 e c = x2 - 1.
Demonstre que um dos ângulos do triângulo mede 120°.
466.Calcule o lado c de um triângulo ABC sendo dados  = 120°, b =1e — = 2.c
467.Qual é a relação entre os lados a, b e c de um triânguo ABC para que se tenha:
a) ABC retângulo?
b) ABC acutângulo?
c) ABC obtusângulo?
\Solução
Admitamos que a seja o maior lado do triângulo ABC, isto é, a s* b e
a>c.Sabemos da Geometria que ao maior lado opõe-se 0 maior ângulo do
triângulo, portanto, ÂÿB e ÂÿC. Assim, temos:
AABC é retângulo o  = 90°
AABC é acutângulo <=> 0o < Â < 90°
AABC é obtusânguloÿ 90° < Â < 180°
Por outro lado, da leidos cossenos, temos:
a2 = b2 + c2 - 2bc •cos  => cos  =
!b2 + c2 — a2
2bc
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Então, vem:
a)  = 90° <=> cos  = 0 « b2 + c2 - a2 = 0 <=> a2 = b2 + c2
b) 0o < Â < 90° o cos Â>0 <=> b2 + c2 - a2 > 0 <=>
<=> a2 < b2 + c2
c) 90° <  < 180° <=> cos  < 0 <=> b2 + c2 - a2 < 0 o
<=> a2 > b2 + c2
Conclusão: um triângulo ABC é respectivamente retângulo, acutângulo ou
obtusângulo, conforme o quadrado de seu maior lado seja igual, menor ou
maior que a soma dos quadrados dos outros lados.
I
;
468.Classifique segundo as medidas dos ângulos internos os triângulos cujos lados são:
a) 17,15,8 b) 5, 10, 6 c) 6, 7, 8
469.Os lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica crescen¬
te. Determine a razão da progressão.
II. Lei dos senos
Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo
oposto é constante e igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita.
Demonstração:
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Por um
dos vértices do triângulo (B), tracemos o diâmetro correspondente BA' e liguemos A'
com C.
Sabemos que  = Â' por determinarem
na circunferência a mesma corda BC. 0 triân¬
gulo A'BC é retângulo em C por estar inscrito
numa semicircunferência.
A
A'
R/CT
c
B a
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
Temos, então:
a - = 2Ra = 2R • sen A' => a = 2R • sen A =»
sen A
b — = 2R.
sen C
Analogamente: - = 2R e
sen B
Donde concluímos a tese:
b ca - = 2R
sen A sen B sen C
sn 'WEmkv
I *\ A'ÿWVW EXERCÍCIOS
470.Calcule o raio da circunferência circunscrita a um triângulo ABC em que
a = 15 cm e  = 30°.
-------------------- «. . .......... .
Solução
Da lei dos senos, temos:
15 15a2R = —- = 30 cmsen 30° 1sen A
2I
então R = 15 cm.
471.Calcule os lados b e c de um triângulo ABC no qual a = 10, B = 30° e C = 45°.
Vê + V2Dado: sen 105° = 4
3Soluçãoi! A + B + C = 180° => A = 180° - 30° - 45° = 105°
.
1io *4-b a • sen B 2a: 20=> b =; Vê + V2 Vê + V2sen A sen B sen A
4'ãmmmW
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TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
/
V210
_ 20V2
Vê + V2 Vê + V2
a • sen C 2a c - => c =
sen A sen C1 sen A
4
472.Quais são os ângulos B e C de um triângulo ABC para 0 qual A = 15°,
sen B = -y e sen C = -y-?
473.Um observador colocado a 25 m de um
prédio vê o edifício sob certo ângulo.
Afastando-se em linha reta mais 50 m,
ele nota que o ângulo de visualização é
metade do anterior. Qual é a altura do
edifício? aB A
A 25 Xa. 50
2
184.Teorema
Em qualquer triângulo, valem as relações seguintes:
a = b •cos C + c •cos B
b = a •cos C + c • cos Â
c = b •cos  + a •cos B
Demonstração:
Vamos provar só a primeira delas:
1?) Seja ABC um triângulo com B < 90° e C < 90°.
A
c b
HLB D
a
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TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
No AABD, que é retângulo: BD = c cos B
No AADC, que é retângulo: DC = b • cos C
então:
a = BD + DC = c • cos B + b cos C
2°) Seja ABC um triângulo com 90° < B < 180° ou 90° < C < 180°.
No AABD, que é retângulo:
BD = c • cos (l80° - B)
No AADC, que é retângulo:
DC = b • cos C
A
b
c
171
aD B
então:
a = DC - DB = b •cos C - c •cos (l80° - B) =
= b cos C + c • cos B
185.Teorema
Em qualquer triângulo, a área é igual ao semiproduto de dois lados multiplicado
pelo seno do ângulo que eles formam.
Demonstração:
1?) Seja ABC um triângulo com  < 90°.
No AADB, que é retângulo, temos:
DB = c • sen Â
B
então: c a
S = AÇ_DB=ÿ.sen HLA D
b
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;
29) Seja ABC um triângulo com 90° < Â < 180°.
No ÀADB, que é retângulo, temos:
DB = c • sen (l80° - Â) = c • sen Â
B
aentão: c
AC • DB b c ~= —2~ • sen A
c
S § D A b2
3?) Analogamente provamos que:
a • b
a •c A
~2~ •sen B
•sen C
S =
186.Teorema
Em qualquer triângulo, a área é igual ao produto dos três lados dividido pelo quá¬
druplo do raio da circunferência circunscrita.
Demonstração:
De acordo com a lei dos senos, temos:
= 2R => sen  = (1)a
sen  2R
Pelo teorema anterior, temos:
_ b • c -S ---sen A (2)2
Substituindo (1) em (2), decorre:
abcS = 4R
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187.Teorema
Em qualquer triângulo não isosceles e não retângulo valem as relações seguintes:
B + CÂ + c
'tgAÿ'e 2
 + B
a + b tg 2
 - B
tg-—
tg 2b + ca + c
B-C
tg—b - ca - b a - c
Demonstração:
Partindo da lei dos senos e usando uma das propriedades das proporções,
temos:
a + b _ sen  + sen B
a - b sen  - sen B
_ sen Â
B b sen B
ba a
sen A sen
Mjx) íM!¥)-(¥)'«(¥)
2 sen
2 sen
As outras duas são provadas de modo análogo.
C7 \ A
I A EXERCÍCIOS
474.Calcule o lado a de um triângulo ABC, sabendo a medida da altura ha e as me¬
didas dos ângulos otep que ha forma com c e b, respectivamente.
475.Calcule a área de um triângulo que tem dois lados de medidas conhecidas,
b = 7mec = 4m, formando entre si um ângulo de 60°.
476.As diagonais de um paralelogramo medem 10 m e 20 m e formam um ângulo de
60°. Ache a área do paralelogramo.
477.Calcule o raio da circunferência circunscrita a um triângulo ABC de área 20 cm2, o
qual tem dois lados formando ângulo agudo e com medidas 8 m e 10 m, respecti¬
vamente.
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
478.No AABC temos:
AC = 7 m, BC = 8 m,
(3 = ABC = 60°.
A'
Determine a área do triângulo. A p = 60° cB
8 m
479.Determine os ângulos internos de um triângulo ABC, sabendo que
1 1cos (A + B) = — e sen (B + C) =
480.Se um paralelogramo tem lados medindo 4 m e 5 m e formando entre si um ân¬
gulo de 30°, qual é o ângulo que a diagonal maior forma com o menor lado?
481.Um triângulo tem lados a = 10 m, b = 13 m e c = 15 m. Calcule o ângulo  do
triângulo.
.
Solução
Da lei dos cossenos, temos:
a2 = b2 + c2 - 2bc • cos Â
então:
b2 4- c2 - a2cos  = 2bc
r
!• 132 + 152 - 102 _ 169 + 225 - 100 _ 294 = j49390 65cos  =
portanto  = arc cos
2-13-15 390 5
65'
.íif£Jí & SiiàdA-flP
482.Os ladosa,b e c de umtriângulo ABC são diretamente proporcionais aos números
5, 7 e 9, respectivamente. Calcule o ângulo B.
483.Calcule os ângulos B e C de um triângulo em que a = l,b = V3 + le = 15°.
484.Em um triângulo ABC sabe-se que a = 2b e C = 60°. Calcule os outros dois ân¬
gulos.
485.Calcule os ângulos de um triângulo ABC, sabendo que — = -j=- ec V3
C = 2Â.
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
486.Calcule o lado c de um triângulo ABC em que a = 6m, b = 3me = 3B.
487.Num triângulo ABC cujos ângulos são designados por A, B e C, supõe-se que
2tg = tg B + tgC e 0 <  Calcule tg B •tg C.
488.Num triângulo de lados a = 3meb = 4m, diminuindo-se em 60° o ângulo que
esses lados formam, obtém-se uma diminuição de 3 m2 em sua área. Qual é a
área do triângulo inicial?
III.Propriedades geométricas
Vamos deduzir fórmulas que permitem o cálculo de segmentos notáveis de um
triângulo (alturas, medianas, bissetrizes internas, raio da circunferência circunscrita,
etc.) tendo apenas as medidas dos lados e dos ângulos internos.
188.Alturas
c
b a a
bhc K
H BA
BD D A c
F c
No triângulo ADC retângulo, temos:
hc = b • sen Â
então
hc = b2 • sen2 Â = b2(l - cos2 Â) = b2 - b2 •cos2 Â =
4b2c2 - (b2 + c2 - a2)2(ÿ b2 + c2 - a2 j2 == b2 - b2 • 4c22bc
e daí resulta
hc = -jr •Vp(p - a) (p - b) (p - c)
em que 2p = a + b + c.
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISOUER
189. Area
Das fórmulas quedão as alturas decorre uma fórmula para a área do triângulo,
chamada fórmula de Hierão:
s =
2
então:
( S = Vp(p - a) (p - b) (p - c) )
190.Medianas
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo AMC, temos:
A
bc
ma
B MJL _L
2 2
ar a -— •cos C =m2a = b2 + - 2 •b •
a2 a2 + b2 - c2= b2 +1-
4b2 + a2 - 2a2 - 2b2 + 2c2
- b • a • 2ab
4
2(b2 + c2) ~ a2
4
portanto:
y •V2(b2 + c2) - a2ma =
3 I Fundamentas de Matemática Elementar
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
191.Bissetrizes internas
A
bc
180° - a
aB
S yX
a
No triângulo ABS, temos:
Asen —
2x
sen ac
No triângulo ACS, temos:
Asen —
2X =
b sen a
Então, vem:
yx x c X c= — => =>b b x + y b + cc y
cX a • c=> x ==> — = b + c b + ca
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABS, temos:
sj = x2 + c2 - 2xc • cos B = + c2 - 2 •(jÿcV a2 + c2 - b2 _\b + c) 2ac
_ 2b2c2 + be3 + b3c - a2bc _ bc[(b + c)2 -- a21 _
(b + c)2 (b + c)2
_ bc(b + c + a) (b + c - a) _ bc(2p) (2p - 2a)
(b + c)2 (b + c)2
então:
2 __-Vbcp(p - a)
b + csa
=
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER
192.Raio da circunferência inscrita
A
xx
T, TY bc
r ry z
I
r
TIB
y z
a
Ligando cada vértice do triângulo ABC com o centro I da circunferência, dividimos
ABC em três triângulos ABI, ACI e BCI; então:
SABC = SABI + SAC, + SBci =
a + b + c- c ' r + b •r a •r2 2 • r = p •r22
assim
Vp(p - a) (p - b) (p - c) = p • r
portanto:
(p - a) (p - b) (p - c)
P
193.Raio da circunferência circunscrita
Vimos anteriormente que:
S = = Vp(P - a) (p - b) (p - c)4R
então:
abc
R =
4 Vp(P — a) (p — b) (p - c)
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
, '
PÉ \ '
I.a
\
. Á
HSkf
\ A
J •1A
Resolução
de triângulos
I. Triângulos retângulos
194.Resolverumtriânguloretângulo significacalcularseuselementosprincipais,istoé,
seus ângulos agudos (B e Õ) e seus lados (a,b e c).Para obter esses elementos é neces¬
sárioquesejamdadasduasinformaçõessobreotriângulo,sendoumadelas,pelomenos,
a medida de um segmento ligado ao triângulo (lado, mediana, mediatriz etc.).
Há cinco problemasclássicos de resolução detriângulos retângulos, que aborda¬
remos com especial destaque.
195. I9problema
Resolver um triângulo retângulo, sendo
dados: a hipotenusa (a) e um dos ângulos agu¬
dos (B).
bSolução
c = a •cos B
b = a • sen B
C = 90° - B
A B
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESOLUçãO DE TRIâNGULOS
196. 2? problema
Resolver um triângulo retângulo, sendo
dados: a hipotenusa (a) e um dos catetos (b).
Solução
c2 = a2 - b2=> c = ViÿF2
B = A =>B =
a
bsen arc sen -— Ba a A c
c = — =*c = bCOS arc cos —a a
197. 3? problema
Resolver um triângulo retângulo, sendo
dados: um cateto (b) e o ângulo adjacente a
ele (Ô).
a
b--
Solução
c = b •tgc
BA cba =
cos C
B = 90° - C
198. 4? problema
Resolver um triângulo retângulo, sendo dados: urn cateto (b) e o ângulo oposto a
ele (ê).
Solução
b
C_tgB ab = =
ba
Bsen BcA
C = 90° - B
3 I Fundamentas de Matemática Elementar
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
199. 5? problema
Resolver um triângulo retângulo, sendo dados: os dois catetos (b e c).
Solução
a2 = b2 + c2 => a = Vb2 + c2
~ b=> B = arc tg —c
=> C = arc tg b
a
b = =«è =T
B
A c
E EXERCÍCIOS
A
489.Resolva um triângulo retângulo ABC, conhecendo a medida da bissetriz interna
Sb = 5 e o ângulo C = 30°.
Solução
É imediato que B = 60° e -|-
No triângulo retângulo ABS, temos:— “4-¥então: = 30°. B £IN? ac 55V3
30 12 =5V3. •cc A s ba = —cos
2
l~ 75" / 225 15= V75_T = V_r =T
mÊB*
b = Va2 - c2
490.Resolva um triângulo retângulo ABC, sendo dados b = 3ea-c = V3.
491.Resolva um triângulo retângulo ABC retângulo em A, sabendo que a + b = 18 e
a + c = 25.
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
492.Resolvaumtriângulo isoscelesABC, sabendo queaaltura relativa àbaseBCmede
h = 24 e o perímetro é 2p = 64.
493.Resolva o triângulo retângulo em que um cateto vale1e o outro vale tg cp.
II. Triângulos quaisquer
200. Resolver um triângulo qualquer significa calcular seus elementos principais:
a, b, c, Â, Be C. Para isso é necessário que sejam dadas três informações sobre o
triângulo, sendo uma delas, pelo menos, a medida de um segmento ligado ao triângulo
(lado, altura, mediana etc.).
Há quatro problemas clássicos de resolução de triângulos que trataremos com
destaque.
201. 1? problema
Resolver um triângulo, conhecendo um
lado (a) e os dois ângulos adjacentes a ele
(BeC).
c a
B
Solução
 = 180° - (B + C)
Ba • senb =
sen Â
a • sen Cc =
sen Â
202. 2? problema
Resolver um triângulo, conhecendo dois lados (b e c) e o ângulo que eles for¬
mam (Â).
b
Â
c
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
Solução
Vb2 + c2 - 2bc • cos Âa =
a2 + c2 - b2b2 = a2 + c2 - 2ac •cos B =» cos B = 2ac
a2 + b2 - c2c2 = a2 + b2 - 2ab • cos C => cos C = 2ab
203. 3? problema
Resolver um triângulo, conhecendo os
três lados (a, b e c).
Solução
Da lei dos cossenos, vem:
b a
*c
b2 + c2 - a2Â =cos
2bc
a2 + c2 - b2B =cos
2ac
a2 + b2 - c2cos C =
2ab
Notemos que o problema só tem solução se estes cossenos ficarem no intervalo
]—1, +1[, isto é, se:
a<b + c, b<a + c e c<a + b
204.4?problema
Resolver um triângulo, conhecendo dois
lados (a e b) e o ângulo oposto a um deles (Â).
Solução
B = —
b a
Â
• sen Âsen
a
C = 180° - (Â + B)
a • sen Cc =
sen Â
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
Discussão
l9 caso: b • sen  > a
b • sen Â
= sen B >1=> t soluçãoEntão a
2° caso: b • sen  = a
b sen  = sen B =1=> B = 90°
portanto, existe solução somente se  < 90°; caso contrário  + B > 180°.
Então a
39 caso: b • sen  < a
b • sen  = sen B < 1e existem dois ângulos Bi e B2, suplemen-
b • sen Â
Então a
. Admitamos 0o <Bi 90° e
90° B2<180°. Os ângulos B± ou B2 servem como solução dependendo de Â.
Há três possibilidades:
tares, que satisfazem a relação sen B = a
1?) â = 90°
Neste caso só B* é solução, pois  + B2 180°.
2*) Â < 90°
Neste caso B± é uma solução, porém B2 só é solução se a < b, uma vez que:
B2 > Â =» b > a
3?) Â > 90°
Neste caso B2 não é solução, pois  + B2 >180°; quanto a Blf só é solução se
a > b, uma vez que:
§!< Â => b < a
. .. .....
EXERCÍCIOS
494.Resolvaumtriângulo ABC,sabendoquea,becsãonúmeros inteirosconsecutivos
e C = 2Â.
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
495.Resolva um triângulo retângulo ABC, sabendo que a = 5 e r = 1.
496.Resolva o triângulo A'B'C' cujos vértices são os pés das alturas do triângulo ABC
dado.
497.Resolva o triângulo A'B'C' cujos vértices são os pontos de tangência da circunferên¬
cia inscrita com os lados do triângulo ABC dado.
498.Resolva um triângulo ABC, sabendo que a = 3, b + c = 10 e  = arc sen
499.Resolva um triângulo ABC, sabendo que b + c = m, ha = n, em que m, n e  são
medidas conhecidas.
500.Resolva um triângulo ABC, conhecendo Â, b e a + c = k.
501.Resolva um triângulo ABC, admitindo conhecidos B, C e S.
502.Resolva um triângulo ABC, admitindo conhecidos B, C e ha.
503.No retângulo ABCD da figura, AB = 5, BC =3eCM = MN = NB. Determine tgMÂN.
3VÕI
50 ’
D
M
N
A B
504.Um observador0,na mediatriz de um segmento AB e a uma distância dde ÃB, vê
esse segmento sob um ângulo a. 0 observador afasta-se do segmento ao longo
da mediatriz até uma nova posição 0', de onde ele vê 0 segmento sob o ângulo
Expresse a distância x = 00' em termos de a e d.
505.Dois carros A e B,viajando emestradas retasque secortam segundo um ângulo 0,
deslocam-se em direção ao cruzamento. Quando 0 carro A está a 7 km e o B está a
10 kmdo cruzamento, a distância entre eles é de 13 km. Sendo tg 0 = a, deter¬
mine IV3 al.
506.Um recipiente cúbico de aresta 4 está apoiado em um plano horizontal e contém
água até uma altura h. Inclina-se 0 cubo, girando de um ângulo a em torno de uma
aresta da base, até que 0 Ifquido comece a derramar. Determine a tangente do
ângulo a nos seguintes casos:
a) h = 3 b) h = 2 c) h =1
mm Fundamentos de Matemática Elementar I 3
A
1
5W,
J
Respostas
dos exercícios
6. b = 2ÿ5 e c = 4
7. a) cos B = tg B = cotg B = -|-
- V5 x - 2V5 - VÊ3b) cos B = -3-; tgB = -g-;cotg B = -y
c) cosB=0,82;tgB=0,69;cotgB=1,43
d) cosB=0,31;tgB=3,06;cotgB=0,32
CapítuloII
l.a)f
b) f Of
‘>f g)l
h) 4- V38. a) sen B = y;tg B = VI; cotg B = —
, , - V21 - V21 - 2V2Íb) senB=—;tgB=—;cotgB=ÿ—
c) senB=0,28;tgB=0,29;cotgB=3,42
d) senB=0,98;tgB=5,76;cotgB=0,17
9. a) senC=0,94;tgC=2,76;cotgC=0,36
b) sen C = tg C = cotg C =
~ Võ ~ VB 2V5c) sen C = -y; tgC =y;cotgC =-y
d) senC=0,43;tgC=4,77;cotgC=2,09
4
2V5 B)ÿl
5
2. a)±ÿo
b)jl f) M
55
g) 4c) 2 2
d)| h) 2
, V3 13. seno:-y e
WV3cosseno:
V3 10. a) cosC=0,82;tgC=0,69;cotgC=1,43
SVH
tangente: V3 e -5-
~ Vnb) cosC=-g-;tgC=
4-3 - 4c) cos C = -g-; tg C = cotg C =
d) cosC=0,71;tgC=0,98;cotgC=1,01
;cotgC=ÿy11cotangente:y
4. b = 40 e c = 30
5. b = 2V5 e c = 4V3
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
11. a) 0,86603
b) 0,70711
c) 1,73205
d) 0,25882
12. a) Â = 31°
b) B = 40°
c) C = 77°
d) D = 60°
14. a) 0,34610
b) 0,96358
c) 0,22476
e) 0,70711
f) 0,57735
g) 0,96593
h) 0,01745
e) Ê = 55°
f) F = 10°
g) G = Io
h) H = 85°
VA
44.
3ix TT
4
ÍO ** 2ir uTT
7TT5TT
44-s. 3TT
2
d) 0,76826
e) 0,33462
f) 6,04605
15. a = 4,88311cm e b = 2,80084 cm
16V3 _
=
17. a=16;b= 4V2(V3-1);c=4V2(V3+1)
45. V, .V, ,
5TT
6
uu
8V316. a = 5TT= 8—:C 4
Vi
TT
t- y
è>.-19. 25,49 m
F21i h = d(tg p - tg a)
u
J2rr _3ir
8 2£6,0=1 r
22. H = h
£'/ L
= 8â-
23. h = 1220,14 mJrsVs -
24766,'Oÿkm e 66,97 km
~2£>7 44v72rm
26.1.18 m
tga + X
“
u
15TT
8
7
Sc.O- Ogíoo:8 CapítuloIV
a =?|ÿ;rad; b = -Ç- rad 47. Vc
TTsen -g- > 05rr
BKt õDsíooíSa.O-L
j0u/c120;
JÿJOO ,-.j.
TT
6
5TTu sen > 067-ir 11TT
6 6 7-IT40. € = 31,5 cm
4Ía)ól8í8*:í
ÍO.lb)JlS2í30'0 Õ3t:£) 142°30‘
-r<0
llir—<0
sen
OSí c) 15°
sen
€3D Fundamentos de Matemática Elementar* I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
48. V 5TTTT56. a) cos g- > 0
4TTb) cos < 0
e) cos — > 02tt 2L TT 33 > 0sen T 7TTf) cos -5- < 03 82ttsen > 0 16TT3 TTu g) COS -g-> 0c) cos J2 > ®4TTsen ~— < 0 2ir4TT4TL 35TT d) cos -g- <0 h) cos -g- < 0
„ 7TT V2 5TT V257. cos = -y; cos — = —2~
3 3 5ITsen < 03
3TT V2 7TT49- sen -4 - =TIsen -4 - = —2
V2
Vã5TT 7TT58. cos -g- = cos -g- =
llir Vã
C0S ~6~ = ~2~
25TT 150. sen =6 2
. 7TT HITsen -s- = sen -g- = -y
1
4TT 12tt6 59. cos -g- = cos -g- = —~2
2TT Vã51. sen = 15TTC0S ”3” = ~2
-1+ V2
3 2
2V2 -1Vã4TT 5TT 60. a) c)sen -=r- = sen -=- =3 3 2 2 2
4Vã + V2 21+ 30VãVã + V2 b) d)c) 3 + V252. a) 4 702
61. V,230 - 63Vã4 - V2 d)b) 60°
2104 1150°
53. V,
60° u
330°150°
24(r
U
330° cos150°<cos240°<cos60°<cos330°
240° 63. a) y-L > 0 b) y2 < 0 c) y3 = 0 d) y4 < 0
65. a) tgÿ>0
b)tg-ÿ<0
llird) tg-s-<0sen240°<sen330°<sen150°<sen60° 6
4TTe) tg > 055. V , 3 3
IT 7TT 5TT6>0v COS5TT C) tg-7T>0 f) tg -g- <066
5TT 7TT 5TT
u COS < 0 66. tg— =-l;tg-r =l
11TT7TT 7TT Vã5TT llTT6 cos < 06 67- tg 6 *6 6 “ 3
tgÿ =6 3
6
HIT .cos — > 06
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
78.68.tg-ÿp = tgÿp = -V3;tgÿ = V3
-18 + V3
V
,60oTiãy
69. a) 1+ V3
„ 4V3 - 3b)—6“
9
ji 3lV3d 35”
U
'/330o210°
70.
V,
cotg330°<cotg120°<cotg60°<cotg210°
b) y2 < 0
120° ,'60°
79. a) yj. > 0
£ U V,80.\'-J 2-7T210° \ 2L' 330° 3
5-rr
6
u
7jr 11-ir
66
IJLtg120° < tg 330° < tg 210° < tg 60° 5TT
S* 44
3
71. a) y* > 0 b) y2 < 0
5TTa) see > 0
. . 2tt _b) see -5- < 0
e) see > 03llir73. a) cotg > 0
b) cotg < 0
d) cotg <06 7TTf) see —r- > 034TT 4e) cotg -3- > 03 5TT 11TTc) see -T- < 0 g) see > 07ir 5TT 4 6c) cotg -5— > 0 f) cotg -g- < 06 5TT 7TTd) see -pr- < 0 h) sec s-< 05TT7TT 6 674. cotg-j- = -1; cotg -4- =1
75. cotg = cotg = -V3
00tgÿ = V3
81. V,
5TT 1T
6 +
V3 u2tt 5TT 7TT + 11TT76. cotg -3- = cotg -3- = 3
. 4TT V3
cotÊ— =T
3 + 4V3
6 6
5TT5<3 + <2 2V37TTsec — = sec =77. a) c) 6 6 33 2
-Vã 42V2-111V3+70 HTT 2V3b)-5- d) Sec-6- = —6 105
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
2V32TT 4TT 5TT 4TT 5TT82. see -5- = sec = -2; sec = 2 87. cossec = cossec =3 3 3 3 3 3
2tt 2V3cossec =83. V,, 33120° 60°
v88.
u /
210° 330°
60°
/
150°
secl20°<sec210°<sec330°<sec60°
84. a) y± < 0
U
b) y2 > 0
\
225°
85. 7ÿ 300°v
2TT JL
T3 35TT
6 + + cossec 225° < cossec 300° <
< cossec 60° < cossec 150°U
11TTITT
89. a) y± > 0 b) y2 < 0 c) y3 < 0
90. 1,25 (V2 - 4)
66
7n5ir
5ir4
3
5TrTTa) cossec > 0 e) cossec -g- < 0
b) cossec > 0 f) cossec < 0
5-TT _ . HIT
c) cossec j<0 g) cossec -g-
5TT 7TT
d) cossec -g- > 0 h) cossec -g- < 0
CapítuloV
<0 24 7 2492. sen x = - cos x = - tg x = —7
257
cotg x = -24 ; sec x = ——7
86. V
±2Vm94. cos x =5TT m +1IT¥6 ++
±(a2 + b2)
a2 - b2
U 95. sec x =
111T7ir
66
97. y = 6
45799. y =llTT
cossec -g- = cossec —g-
7TT 8= -2
±V315TT 101.cos x = —; sen x = —cossec — = 26
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
CapítuloVII
116.a) cos 178° = -cos 2o
7ir TT
b) cotg -g- = cotg -g
v 7ttc) sen -g- = -sen -g-
-1102.tg x = ~2~ ou tg x =
104.m = 3 ou m = -1
105.a =1
-2
TT
108.a2 - 2b =1
5TT TT
d) sen -4- = -sen
e) sen 251° = -sen 71°
f) sen 124° = sen 56°
. 5TTg) cos -g- = -cos -g
7TTh) cos -g- = -cos g-
i) tg 290° = -tg 70°
.. IITT TTj) cossec —g— = -cossec -g-
k)tgÿ=-tg-j
') tgÿ=-tgf
117.a) sen 261° = -cos 9o
ATTb) sen -g- = -cos g-
. 5TTc) sen -g- = sen -g-
.. 5TTd) sen -g- = -cos
e) cos 341° = cos 19°
f) cos-ÿ =
_ a(3 - a2)110.y 2
TT
CapítuloVI TT
TT +c°s g- =-2-
- V 2 - V2
8 =-2~
tg|-=-l + V2
112.sen
113.
.razão
tg xsen x cos xx
TT
O 0 1 0
TT
V2 - V3 V2T73TT 2-yf312 2 2 TT
~6V10 + 2V5 V25-10V5V5-1TT
10 2 4 5
TT-sen g
g) cos -cos"
V2TV2V2-J2TT -1+ V22 2
-66V3 V31TT , . ATT TTh) cos = -sen-6 2 2 3 -63
i) tg151° = -tg 29°
i) tgÿ-=-cotgf.
k)tgi|í=-tgf
D tgÿU-cotgf
V10 - 2V5 V6 + 2V5TT V5 -2AÍ5T 4 4
V2 V2TT 1T 2 2
V3TT 1 V322
3H8.-115.A n B = {-1,0, 1}
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
V3 126.d) -<3 f) -2H9.a) —
<3 2V3e) -3- g} 3
. . sen x -1
' sen2 x + cos x120.a) 4 cos x
121.-1
122.-tgx
127.a) sen 830° > sen 1195°
(porque sen 830° = sen 70° e
sen 1195° = sen 65°)
b) cos 190° > cos (-535°)
(porque cos 190° = -cos 10° e
cos (-535°) = -cos 5°)
CapítuloVIII
124.
JL
130.lm(f) = [-2,2], p(f) = 2tt
yi
2
1ITT
8
1
2TT
nrV0 IT 3-ir
-1-
JjL
8
-2
_ÍZ
15IT8
13ir 132.lm(f) = [0, 3], p(f) = TT6
y
3
17ir 2-
4
1-
A
0 2TT XITJL
2
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
141.Im(f) = [1, 3], p(f) = 2tt136.Im(f) = [-1,1], p(f) = 6tt
yy
3-1- 3TT
2
0 23ir 6ir X9TT
2-1-
1-
137.Im(f) = [-3,3], p(f) = ~ 3TT 2TT X0 TTir 2y
y
142.Im(f) = [-2,0], p(f) = TT3-
3TTy 1T
42 TT
°7T\ X-1
TT TT
4
-2-
TT I 3lT
8 8
0 x
143.Im(f) = [-2,4], p(f) = 4TT
y
4-
-3-
1-
139.Im(f) = [-3, -1], p(f) = 2tt o 4TT X2TT 3-ITTT
yi -2-
3TT 2IT x0 TTJL
22
-1 145.Im(f) = [-1,1], p(f) = 2TT
-2
1
-3
7TT2TT-3L TT 5TT x
3 6 3 6 3140.Im(f) = [—1, 3], p(f) = 2tt -1--
y
3- 146.Im(f) = [-1,1], p(f) = TT
y
1-
JL STT 2H\ 1Vir / 7tt X
6 123
0
3TT0 2TT XTT 12 622 -1-
-1-
m Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
147.lm(f) = [-1, 3], p(f) = 4tt 155.lm(f) = [-3, 3], P(í) = 2TT
y y
3-3-
10ir.1- Z3
4ir 7Í" 13n xJL-1- 3 33 3
3IT0 x2irJL
22149.p =1
150.lm(f) = [-1, 3], p(f) = T
y
-3
3-
156.lm(f) = [0, 1], p(f) = TT1-
\ y*
li \ jin /2tt 11n 7n
6 \ 12 / 3 12 6
0 x
1-1-
0 3irn 2n Xir3
b) m y
3
152.a) 2 2=s m =s T=-5
153.lm(f) = [-1,1], p(f) = 2tt
157.lm(f) = [-1, l],p(f) = TT
y
y*
1-
1
3TT0 2TT XJL ir
3ir TT2 V\ n_02 X
4 2 4-1
-1-
154.lm(f) = [-2, 2], p(f) = 2tt
y* 158.lm(f) = [-1,1], p(f) = 4tt
2
y
1
o 3n 2TT xJL n
4n x2-n22 0 3nn
-1
-2
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
I
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
2tt159.Im(f) = [0,2], p(f) = 2tt 163.Im(f) = [-3,1], p(f) = ~2~
y
y*
1-
7vIT2 Ú 12,
"ir V 5tt 7 3ir x01-
41212
-1-
ir 3ir 2tt0 JL x
2 2
2TT -3160.Im(f) = [-1,3], p(f) = 3
-1
164.t *£ ou t s* 3
y
3
3 166. y
1
IT
2 IT
0 3ir 2ir x1- 2
-1-
I1 I II I
tr\ IT I3TT 2IT
613/6 3
0 X
. __ TT168.p =-1- 2
169.Sÿ2 — 0
171.a) D(f) = fx G R | x *~ k e Zo 3
b) D(f) = [xGR|x*|j+ -ÿIkeZ
172.a =£1ou a 2* 4
161.Im(f) = [-1,1], p(f) = 2tt
y
_ -5tt—1-
4
s' 7ir 9tt---4 -*40 3IT x-1- -4---4 -- XGÍRlxÿ-1+174.D(f)
P(f) =i2
y
162.Im(f) = [—2, 2], p(f) = 2tt
y
2-
1- 7ir 2ir JLIT X3 6 612
TT 5TA 4TT /11IT '
3 6 \ 30 x-1- 6
-2-
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
175.D(f) = jx G R | x + kir, kGZ] 195.D(f) = R; p(f) = f;lm(f) = [-1,1]
D(g) = R; p(g) = 2ir; lm(g) = [-2, 2]-JxGRlxÿi+D(g)
D(h) = |x G R | x * j+ kirj}x =£ — + kir, kGZ
p(f) = TT, p(g) = TT, p(h) = 2lT
176.a) mÿ2
1b) m -g- ou m 5= 1
1c) 0 =£ m < g-
177.cotg x
178.cotg3 x
D(h) p(h) = IT; lm(h) = R
196.f(x) = sen 6x; p =
197.tg15° = 2 - V3
2199.sen 2x =1 2
°uT<mÿ-F
201.a) sen + 2a) = -|-
VlÕ - 2V2b) cos + a) = 6
44179.1+ sen 0 203.sen 3x = - 125
180.cos4 x 2035204.cos 3x = 2197181.2 cossec x
5V7182.t2 + 2 205.tg 3x =--g(n - l)2 Vã183. 206.-ÿ-
208.a) p(f) = -TT; D(f) = R; lm(f) = [-1,1]
b) p(g) = D(g) = R; lm(g) = [0, 2]
c) p(h) = f;D(h) = R; lm(h) = l]
209.a) p(f) = TT
b) p(g)=y
c) p(h) =f
2n -1
186.g é par para todo n
CapítuloIX
188.a) cotg 165° = -(2 + Vã)
b) see 255° = -(Vê + Vã)
c) cossec 15° = V6 + Vã
i894 31210.sen 2a + cos 2a =
4V5 ou 79-; cos 2b = — -g-
V2190.ÿ
193.sen (x + y) = - g5
211.sen 2a = -
84
212.a = 1; b = -2
13 215.A = 18cos (X + y) = 05
84
tg (X + y) = - 33
2n +1 V4n2 + 6n + 2
2n + 2216.cos fâ. = 2n + 22
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
287. -sec2 xV 3 <2218.sen 4 xT = "3“etg2'- 2 288.1
10 - 7AÍ2x219.sen -s 289. yT = 20
cos 4= [M±m4 V 20 3-
2-
«W10 - 7V2 = 5V2 - 7 - -I,l_ -L ---11- I1Õ + 7V2
TT IT 3rr 2n Sir0 XV15 222
3
222.f(x) = |tg x|; lm(f) = R+
D(f) = jxe[R|x=7i=-y + kirj; p(f) = IT
223.D(f) = IR; p(f) = y
lm(f) = [0, V2]
Capítulo XI
«TT
292.a) x =y+ 2kir ou x = — + 2kir
b) x = -y- + 2kir ou x = -y + 2kTT
c) X =y + 2kir OU X = -y- + 2kTT
d) x = 4+ 2kir ou x = -- + 2kTT ouZ D
-f +2iw
e) x=kTTOux = +2k'n-oux=-ÿ-+ 2kTT0 6
f) X = + 2kTT OU X = + 2k7T
g) x = ±4+ 2kir ou x =~+ 2kTT ou4 4
x = + 2kTT4
h) x =yL + 2kTT ou x = y + 2k77 ou
x = -ÿ + 2kir6
0 x =~+ 2kTT ou x = + 2k7T
4224.tg a = -?-3
V3225.sen a = 2
235.D(f) = U; p(f) = TT
lm(f) = [-V2, +V2]
236.p(f) = TT
237. |sen x - sen y| |x - y|
x =
2x246.S = 2x2 -1
247.18
248. [—V2, V2]
Capítulo X
282.K = -2
6285.a) sen x
b) -cotg2x
c) —tg x
d) cotgx
286.cos2 x
6
j) x = kTr ou x = 4 + 2kir2
293.x = ±-5- + k-ir3
Fundamentas de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
KTT TT295.a) x = kir ou x =
8 4
b) x = 2kiT ou x = -£•+5 5
296.x = -ÿ + 2kTT ou x = + 2kTr
c) x = — + kTT6
TTd) x = — + kiT2
3TTe) x = — + kiT
f) x = kir
g) não existe x
h)x=s+Jf
Í) X=ÿ + kTT
6 6
TT , kir
“T + T“
k-ií297.x =£ + -HT- e y =2 2
2TT300.a) x = ±-r- + 2kir3 43-rrb) x = ±——h 2kTT TT , k-TT
3 +TkTTj) x = + TT OU x4 26
TTc) x = ±— + 2kTT6 310.a) x = + kw4
b) x = — + ku ou x = + kTT2 4
C) X = T kTT
TTd) x = ±— + 2kTT3
TT TTe) x = ±— + 2kTT ou x = — + k-iT23
4TTf) x = ±— + 2k-iT
g) X = 2kTT
h) x = 2kTT ou x = ±77 + 2k-iT
d) x = + kw ou x = k-iT4
311.X = ±ÿr + kTT3 4
TTi) x = ±— + 2kTT
j) x = ±~~ + 2kTT ou x = + 17
kTT
302.a) x = kTT ou x = —
. . TT , kTT TT . kTTb)x = i2+voux = _i8 +~r
303.a) x = y = -7- + k-rr
1312.p = + k, k G Z2
•1
313.sen4 a - cos2 a = - 4
sen a +1 sen a -1314.x = OU X =cos a cos a
3TT316.a) x = + 2kTT ou x = -rr + 2kTT24
3TTb) x = —7-ÿ + 2kTr ou x = -77- + 2kTTTTb) x = y = -r + kTr 6 24
318.a) x = k|- ou x = 7- + k-7-'2 8 2
b) x = kTT ou x = 77 + kiT
TT
304.x = (2k + 1) TT2
305.x = 2kTT
306.0,1< t ss 10
309.a) x = + kiT
2
319.x = — + k-rr ou x = kTr4
5
321.a) VmGl
b) -V2 < m +V2
5TTb) x = ~ + kTT6
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
2kir 2k7T Capítulo XII
335.S = [x G R | 2kTT x Tr + 2kTT]
TT323.a) x = ou x =m + n m - n m - n
2kTT— TTb) x = -a ou- b a - b
336.S=xGR|ÿ+ 2kTT*£XÿÿL+ 2kTrJ2kTTTTX = a + b ' a + b
„ TT 2kTT 3TT ,C)x 12+~ ou T“ + 2k” TT337. S = • x G R | 2kTT x < — + 2kiT ou
+ 2kTT < x =£ + 2kTT oukTT325.a) x = k-ir ou x = —
b) x=±—— kir ou x=-ÿ-a+2kTT
4TTou x = —— a + 2kTr
c)x =í£oux=-i+4 8 2
326.x = — + k-ir ou x = — + kTT
64
+ 2kTT s£ x < 2TT + 2kTT6
339.S = x G R | 0 + 2kTT =£ x =£ + 2kTT ou6
7TT5TT + 2kTT x —— + 2kTT ou66
llTT + 2kTT =£ X < 2TT + 2kTT64 4
340.S = • x e R | -v + 2kTr < x < -cr1+ 2kir327.x =-ÿ+ 2kiT ou x = + 2kTr OU X = k-rr 4 46 6
3TT 5TT 7TTOU X = -r- + 2kTT OU —--b 2kTT < X < —:--b 2kTT2 4 4
328.x = + 2kTT ou x = -ÿ + 2kTT 344.S = x G R | 0 + 2kTr x 4ÿ + 2kTr6 6 3
4TTou -r-+ 2kTT «x < 2TT + 2kTT329.b) x = + 2kTT e y = 2kTT 32
345.S = x £ IR | j+ 2kTT < x <ÿ~+ 2kTrJQ<rr330.x = TT + 2kTT ou x = —— + 2kTT2
346.S x G R | + 2ktr x =£ + 2kTT333.a) x — -b kTT ou x = + k-rr ou 3 666 7TTou + 2kTT x 4ÿ- + 2kTT2TTX = -ÿ + kTT OU X = + kTT3 3
b) x = + k-rr ou x = -4r + kTT ou
6 3
347.S — x G IR | — + 2kTT < x < + 2kTr
°U + 2kTT < x c + 2kTT
8 8
X = ~~~ "b kTT OU X — ~~~ "b kTT8 8
c) x = -j- -b kTT ou x — + kir4 4
d) x = — + kiT ou x = + k-rr
O O
e) x = + 2k-rr ou x = 2k-rr
348.S = 0
350.S = x G R |£ + 2kTr < x <%+ 2k7T6 6
7TT }ou ~~ + 2kTT < X < + 2kTT2 6 6
|s[sQJ Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
V5Í-6 + V3)351.S = |x G R + 2kTT x + 2kir 367.a)3 3 15 + 2ÿ3
ou x = 2kiT 203524 c) -b) 25 2197
353.S = • x G R |-£- + 2kTT < x < 2TT + 2kir <32 368.S = 2
355.S = x G R | -Jr + 2kir < X «S + 2k<ir6 3
357.S = JxGR|-|- + kiT<x<Y + kTT
358.S=xGlR|-ÿ--l-kTr<xsSTT + kTT
370.arc cos1= 0
1 TTarc cos — =2 3
V~2 TTarc cos — =2 4
2 7Tarc cos 0 = —2
359.S = 'XeR|0 + 2kir*£xÿ-S- + 2k'ir ou6 arc cos (-1) = TT
2it 7TT—— + 2kir < x ~ + 2kir ou63 (arc cos (-|)) = 4372.sen
/ 2 \ 2yf5373.cotg I arc cos y1 = yy
55TT—r—h 2kir < x < 2tt + 2kTT3
360.S = xGR|-ÿ + kTTÿx<ÿ- + kiT ou23
TT374.arc cos x = — - A2tt
-z- + kir < x ~z~ + ku 232
16 24376-a> -65 C T-TT 7361.2kTT < x ss — + 2WTT ou4 323 4b) 325 d)-r5TT 5TT + 2WTT < X =£ ——h 2k7r4
377.a) x = +-y-
b) gráfico y
Capítulo XIII
363.arc sen 0 = 0
V3 TTarc sen -y 131 TT -1 1arc sen 2 6
<2V2 x-1TT 22 narc sen1= —2 TTarc sen (-1) = - 2
3>f7365.tg sen yj = 378.nenhum, pois -1=5 cos a 1, Vot G R
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
380.arc tg 0 = 0
arc tg Vã =
_ ÍJL 4TT]
"13' 3 jc) S
3 I404.a) S = jo, -Tp TT, 2TTarc tg (-1) = 4 f TT 7TT 13Tr 19tt 5TT 11TT
“ [12' 12 ’ 12 ’ 12 ' 18 ’ 18 '%Í3 b) STTarc tg —3 6 }17TT 23TT 29TT 35TT18 ’ 18 ' 18 ’ 18M-J))-*382.cos"5 405.S = 0
406.uma<2 5384.a) -If- c) TTT ___
> í TT 2TT 7TT 5-771407"a) s “ 6 ’ 3 j
2 12
4 11753b> 5 d) - b) S = {0, TT, 2TT}15625
_ f TT 5TT 3TT 13TT 17TT 21Tr
” [12’ 12 ’ “4“’ 12 ’ 12 ’ 12c) S388.S = {0}
d) S = {0, TT, 2TT}
e) S = 0
1389.x = —
_ f TT 5TT 9TT 13TT 17TT 21TT
S “ [16' 16 ’ 16 ’"lê"’ “16390.25 - cos (ct + (J) = 7 16 ’
25TT 29TT
16 ’ 16
Apêndice A
1TT 5TT 13TT 17TT18’ 18 ’~18’ ~18 -(* 2TT 7TT 5TT TT_ 5TT 4TT 11TT3 ’ 6 ' 3 ’ 3’ 6 ’“ã-'-6~393.S 1h) S
_ í TT 5tt1"14'tJ395.S 408.a) S
TT 3TT 3TT 7TT]
12' 2 ’ 4 'Tj
TT 5TT'
J’~T,
3TT 7TT
4 ’“4~
= {°. 2TT 4TT b) S =397.S
c) S =1={°’f’ 5TT 7TT 11TT-g-, ir, -g". - 2IT398.S
•, 0, TT, 2TT|d) Sf TT 5tt1
=14'T“J400.S e) S = 0
f) s_ í TT 3tt1I401.S 1 3 5 7409.p = -ÿÿou p = Tj" ou P = 2" ou P =yTT TT
-g + 2Ktt; y = g- "402.x = 2kTT 410.nenhum
403.a) S =|TT IITT 13TT 23TT12’ 12 ' 12 ’ 12 4H.S = {o,f, 2lr}
- ín 277 4tt~[U’ 3 ' =(°.-J. TT}b) S 2tt 412.S3
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
_ ÍTT TT
"16’3’
2TT 5TT 7TT 47: 5TT IITT
T*T'T’T*"ã"’“6~
TT 3TT 5TT 7TT 9TT IITT 13TT 15-JT’
TT 3TT 5TT 7TT
T’T’T’X
TT_ 2u 4tt 5TT
3 ’T’T’T
429.S=xG[R|0<X<ÿ-ou413.a) S 6
7TTTT 2TT 5TT— < X < — OU < X < -7T- OUb) S= 663 3
4? < X < OU -ÿTT- < x < 2TTc) S = 633
431.S = JXG[R|-|-<X<TT
432.S=xGR|0=£x<ÿ OU < X =£ TT
433.S = XGR|ÿXí
435.S = -XGIR|-JJ<X<|| ou
13TT 17TT12"<X<ÿ
436.S = |x G IR | 2'n‘
d) S =
TTe) S = 0, -Tf-, 2tt
414.quatro
— TT TT
~3~’T415.S =
3 7416.S = TT
1215TTTT417.S = 0, -4-, TT, -4-, 2TT
, _ Í2TT 4TT418.a) S = -g-, TT, -g-
b) S = 0, 2Tr]
JL
3’ 3
f TT 5TT
= l3''T
7TT—r— =S X «5 — OU99
8TT _ 13TT 14TT _ 0—-íxí ——— ou c x ss 2tr999
ou 0 =s x —c) S = 9
437.S = • x G IR |~«XÿTÿ e X#T ou12 12d) S 4
13TT _ _ IITT , 5TT
X ;— exí-419.4TT 12 412
420.uma
438.D = -XGR|-TTSSX<-£- OU
= (f’2").421.b) S = (j,0) 26ou S 5TT 7TT 3TT _ _ IITT— x — ou — <x=s ——26 6 62-V2 TT '
2 ’ 4 1
'
TT 5TT 7TT IITT
6 ’ 6
422.S = arc sen
439.D = íx G IR I -rf < x <3 3
423.S =
440.a) jaGlRlÿ-ÿaÿÿ-
424.soma = TT
’TT 3TT
T 4
b)]aGR|ÿI<a<%1
63
425.S =
426.TT
TT IITT 13TT 23TT428.S= XGIR|—
441.S= XGIR|ÿ-<X<ÿ- ou
= JxGlR|0<x< TT_442.S 2
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
444.S={XGR|0«X<'£ = {xGR|f5TT TT456.S =£ X < — OU— OU TTÿX<—— OU 24
}3TT 4-TT 7TTTT— - ou —- x < — ou 63 24 3 4 66
}X < TT OU *S X < 2TT TT TT6 6 457.— < a < 24
= jxeiR|o=£x=s 9TTTT445.S — OU TT=SX sS— OU 458.S = {XG!R|0<X<TT}
459.S = |XGIR|0<X<2
8 8>
3TT 13TT 5TT }3TTTT—TT- OU — =S X =£ — — OU TT < X <-r-2 8 2 8 2
= |xGR|0ÿx<g446.S — ou
5TT 7TT 2TTTT
“T- < X =S — ou — < x < — ou Apêndice B
461.c = VlÕ
462.4ÿ7 m e 4Vl9 m
463. = 45°; B = 60° e C = 75°
_ 1+ VÍ3
6 6 3 3
4TT 5TT 11TT „ _ _T<X< — OU —r— < X 2tt13 3 6
447.S = jx G R |
448.S = |x G R |£ .
449.S =|xGR|0ÿxÿ
450.S=|XGIR|Y<X<TT
451.S
15TTTT— < x < —4 4
17TT— < x < — 466.c12 6
13TT 468.a) retângulob) obtusângulo
c) acutângulo
— ou —-=£ x =£ 2TT4
}3TTou —<x 2tt2
469.ÿ
472.B - 120°; C = 45°
473.XY = 25ÿ3 m
1+ V5 1+ V5
2 q 2= Jx G IR | 5TTTT— «s x =s — OU6 6
111TT7Tr— *£ x 66
}452.S = |x G R | g
453.a) S = jx G IR |
5TT— < X =s — 474.a = ha (tga + tg 3)
475.S = 7ÿ3 m2
476.S = 50AÍ3 m2
6
}5TT— < x <—6 6
-It)b) S 477.R = 2V41- 20V3 m
478.(c = 5 m; S =10ÿ m2)
ou (c = 3 m; S = 6ÿ3 m2)
479. = 30°; B = 30°; C = 120°
454.S = |x G R | 17 5TT— < X < — ou6 6
6 6
= |x e R 5480.arc sen455.S — < X < TT 2V41 + 20V3
lag! Fundamentos de Matemática Elementar I 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
57 496.a' = R •sen 2A; b' = R • sen 2B;
c' = R • sen 2C
Â' = 180° - 2Â, B' = 180° - 2B,
C' = 180° - 2C
482.B = arc cos —90
483.(Ê=45°; C=120°)ou(B=135°; C=30°)
484.B = 30°; Â = 90°
485. = 30°; B = 90°; C = 60°
486.c = 3V~3 m
487.tgB •tgC = 3
488.6 m2
B + AA + CB + C ; c- =497.A’ = ; B’ = 2 ’22
BAa' =2(p-a) •sen—;b' =2(p-b) •seny;2
Cc’ = 2(p - c) • sen 2
3ÿ91
498.b = c = 5;B = C = •arc sen
2 2
501.a = R • sen (B + C); b = R • sen B;
c = R sen C e  =180°-(B +C),em que
50
Apêndice C
490.B = 60°; C = 30°; a = 2aÍ3; C =
491.a = 13; b = 5; c - 12;- pr A QB = arc sen C = arc sen =—
SR =
2 •sen (B + C) • sen B • sen C
, ha . .+ —T; b = ha . ç _ __ha_.sen Õ’ sen §'
ha502.a -13 13 tgB tgc
492.a = 14; b = c = 25;
 = 2 arc sen B = C = arc cos
A - 180° - (B + C)
525 503.ÿr25 27
493.a = |sec <p|; tg B = cotg <p; tg C = tg 9 d504.00' =
3. a494.a = 4; b = 5; c = 6; A = arc cos —
B = 180° - 3Â; C = 2Â
cos —4’ 2
505.12
3 1506.a) tg a = —495.b = 3; c = 4; B = arc sen 2
b) tg a =1
C) tg a = 2
3C = arc cos —5
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
' íiS
f < •
t
f .
r
i*
%
'W\4 /.....im
?>
;
§
.
Questões de
vestibulares
Arcos e ângulos
1. (UE-CE) Para realizar os cálculos de um determinado experimento, um estudante necessita
descrever a posição dos ponteiros de um relógio. Sabendo-se que o experimento se iniciará
às três horas da tarde, é correto afirmar que a equação que descreve a medida (em graus)
do ângulo que o ponteiro das horas forma com o semieixo vertical positivo (que aponta na
direção do número 12 do relógio) em função do tempo decorrido (em minutos), contado a
partir de três horas da tarde, é:
a) 0(t) = 3 + 30t
b) 0(t) = 9O+-|-t
c)6(,) = 3 + wt
CT>
2"no U_
C3
9
w %d) 0(t) = 90 - 30t
e) 0(t) = 3O+-|t
8
V7 SM
2. (PUC-RS) Em Londres, Tales andou na London Eye, para contemplar a cidade. Esta roda-
gigante de 135 metros de diâmetro está localizada à beira do rio Tâmisa. Suas 32 cabines
envidraçadas foram fixadas à borda da roda com espaçamentos iguais entre si. Então, a
medida do arco formado por cinco cabines consecutivas é igual, em metros, a:
. 675“’TF* v 135e) TC32135a)—
JV 135 wd) —— TTM 675b,l2* 8
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
3. (UE-CE) 0 Big Ben, relógio famoso por sua precisão, tem 7 metros de diâmetro. Em funcio¬
namento normal,o ponteiro das horas e o dos minutos,ao se deslocarem de1hora para 10
horas, percorrem, respectivamente,
a) um arco com comprimento aproximado de 16,5 metros e medida 18ir radianos.
b) um arco com comprimento aproximado de 22 metros e medida 2ÿr radianos.
c) um arco com comprimento aproximado de 16,5 metros e medida -18tr radianos.
d) um arco com comprimento aproximado de 6,28 metros e medida 2ir radianos.
e) um arco com comprimento aproximado de 6,28 metros e medida -2tt radianos.
Considere ir = 3,1416
4. (ITA-SP) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de
um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a:
e)|ir23 O??,
hi 13b) T
11
25d)ii*
5. (FGV-SP) Duas pessoas combinaram de se encontrar entre13 h e14h,no exato instante em
que a posição do ponteiro dos minutos do relógio coincidisse com a posição do ponteiro das
horas. Dessa forma, o encontro foi marcado para as 13 horas e
c) 5-5- minutos11
b) 5-ÿ- minutos d) 5-ÿ- minutos
8a) 5 minutos e) 5— minutos
11
11 11
6. (Enem-MEC) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por "relógio de
luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados
conforme a figura:
MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE
Disponível em: http://www.enersul.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010.
A medida é expressa em kWh.0número obtido na leitura é composto por 4algarismos. Cada
posição do número é formado pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
0 número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:
a) 2614
b) 3624
c) 2715
d) 3725
e) 4162
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÚES DE VESTIBULARES
7. (UF-PE) Um relógio está com seus ponteiros na disposição
da figura.Se o ponteiro dos minutos está ajustado,podemosafirmar:
(0-0) Seu ponteiro das horas está atrasado em relação aos
minutos marcados pelo ponteiro maior.
(1-1) 0 ângulo entre os ponteiros deve medir 80°,quando o
ponteiro menor estiver ajustado.
(2-2) 0ângulo que o ponteiro das horas, agora,está forman¬
do com sua posição às 12 horas, mede radianos.
(3-3) Às 12 horas, o ponteiro dos minutos formava menos de 130 grados com sua atual
posição.
(4-4) Daqui a dez minutos, o ponteiro maior estará fazendo um ângulo de 60° com sua posi¬
ção atual.
\12?
£C*3/119v 8
/ 6 \é
Relações fundamentais
8. (FGV-SP) Sabendo que o valor da secante de x é dado por see x = -|-, em que x pertence ao
intervalo 2-irj, podemos afirmar que os valores de cos x, sen x e tg x são respectiva-
mente:
4 -3 3e)5'-re T
d) T “T e
v 4 3 33) 5’ 5 G T
3
9. (UE-CE) Se x é um arco localizado no segundo quadrante e cos x = , então o valor de
cos x + sen x + tg x + cotg x + see x + cossec x é:
d) -5,6
10. (UF-PI) Seja a um número real satisfazendo 0 <a < e = V2. É correto afirmar que:
1-2V2
c) -4,5b) -3,4a) -2,3
a) cos a + sen a =
b) sec a = 3
c) cossec a é um número racional
d) sen a =1
e) sen a cos a =1
3
11. (PUC-RS) Para representar os harmónicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orques¬
tra, usam-se funções trigonométricas.
A expressão 2 sen2 x + 2 cos2 x - 5 envolve estas funções e, para TT < x < seu valor
é de:
a) -7
b) -3
e) 3tt - 5c) -1
d) 2TT - 5
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
12. (FEI-SP) Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4-, então pode-se afirmar que:
5
4d) tg x - cos x = —
25e) cotg x - tg x = —
a) sen x + cos x =1
b) 2 sen x + 3 cos x = 5
4c) see x = —5
1+ cotg2 X
3 see2 x13.
(FEI-SP) Simplificando a expressão
a>ÿ
b) 3 cotg2 x
onde existir, obtemos:
e) see2 3xc) 3 tg2 x
cotg2 xd)
3
14. (ITA-SP) Determine o valor de K para que as raízes da equação do segundo grau (K - 5)x2 -
- 4Kx + K - 2 = 0 sejam o seno e o cosseno de um mesmo arco.
15. (FGV-SP) Se cos x + sec(-x) = t, então, cos2 x + sec2x é igual a:
c) t2
d) t2 - 2
e) t2 +1a) 1
b) t2 + 2
16. (UF-MA) Considere uma circunferência de raio r > 0 e 0 a medida do ângulo MÔpcomo na
figura ao lado.
Assim, é correto afirmar que:
a) r cos (TT - 0) = b e r sen (2tt - 0) = -b
b) r sen (TT + 0) = -b e r cos (ir + 0) = a
c) r cos (2tT - 0) = a e r sen (ir + 0) = b
d) r sen (TT - 0) = b e r cos (ir + 0) = -a
e) rcos
y
P(a. b)
Ag
0 'M(r, 0)
(ÿf + 6j = b e r sen(f + e) = a
17. (UF-CE) Considere os números reais cos(32°), cos(150°), cos(243°) e cos(345°). Se x e y
representam, respectivamente, o maior e o menor destes números, então x + y é igual a:
2 - V32 + V3 <3-<2e)a) 2 4 4
3 + V2 3 -<2d)b) 44
18. (FGV-SP) A soma cos2 0o + cos2 2o + cos2 4o + cos2 4o + cos2 6o + ... + cos2 358° ++ cos2 360° é igual a:
a) 316
b) 270
c) 181
d) 180
e) 91
Fundamentas de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
Funções circulares
19. (PUC-RS) 0 ponto P(x, y) pertence à circunferência de raio1e é
extremidade de um arco de medida a, conforme figura. Então
o par (x, y) é igual a:
a) (tan a, sen a)
b) (cos a, tan a)
c) (sen a, cos a)
p
d) (cos a, sen a)
e) (sen2 a, cos2 a)
'l x
20. (UF-RN) Considere a figura ao lado, na qual a circunfe¬
rência tem raio igual a 1.
Nesse caso, as medidas dos segmentos ON, OM e AP,
correspondem, respectivamente, a:
a) sen x, see x e cotg x.
b) cos x, sen x e tg x.
c) cos x, see x e cossec x.
d) tg x, cossec x e cos x.
M
A
N O
P
21. (UE-GO) No ciclo trigonométrico, as funções seno e cosseno são definidas para todos os
números reais.
Em relação às imagens dessas funções, é correto afirmar:
a) sen (7) > 0
b) sen (8) < 0
c) (cos (Võ) > o)
d) (cos (Võ) > sen (8))
22. (Fatec-SP) Sobre a função f, de IR em IR, definida por f(x) =1+ cos é verdade que:
a) seu conjunto imagem é [-1,1]
b) seu perfodo é 6ir
c) f(x) < 0 para todo x pertencente a 2ttI
d) f(3ir) =1
e)f(f) = f(f)
23. (UF-RS) 0 período da função definida por f(x) = sen - é:
Ofa)f e) 2tt
2TT d) TTb>lf
3 I Fundamentas de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
24. (UFPA) Considere a função f dada porf(x) = 8 + sen íx - yj.Podemos afirmar que f assu¬
me seu valor mfnimo quando: ' '
a) x = -y + 2kir, k = 0, ±1, ±2, ...
b) x = + k-rr, k = 0, ±1, ±2, ...
c) x = + 2kTT, k = 0, ±1, ±2, ...
Q<Trd) x = — + 2kiT, k = 0, ±1, ±2, ...
8TTe) x = — + 2kTT, k = 0, ±1, ±2, ...
10
— pode assumir é:25. (Mackenzie-SP) 0 maior valor que o número real
0 _ sen x
3
20 20a) ~3~
b>i
c) 10 e) —
d) 6
26. (PUC-RS) Os fenômenos gerados por movimentos oscilatórios são estudados nos cursos da
Faculdade de Engenharia. Sob certas condições, a função y = 10 cos(4t) descreve o movi¬
mento de uma mola, onde y (medido em cm) representa o deslocamento da massa a partir
da posição de equilíbrio no instante t (em segundos). Assim, o período e a amplitude desse
movimento valem, respectivamente:
c) y- s — 10 cm
d) y- s — 20 cm
a) -|s — 10 cm
b) 2tt s — 20 cm
e) y- s — 20 cm
27. (UF-MS) Seja uma função trigonométrica definida por:
F(x) = 2 cos + -yj, onde x G U (conjunto dos números reais)
Assinale a(s) afirmação(ões) correta(s).
(001) 0 ponto (o, V2) pertence ao gráfico da função F.
(002) A imagem da função F é 0 intervalo fechado [-1,1].
(004) A função F tem duas raízes no intervalo fechado [0, ir].
(008) Os valores mínimos de F são assumidos em x = + k . com inteiro.
O
(016) Os valores máximos de F são assumidos em x =~ + k TT, com k inteiro.
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
28. (UF-PR) Suponha que, durante um certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius,
, sendo t(s')na superfície de um lago possa ser descrita pela função F(t) = 21-4 cos
o tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23 °C?
y29. (Enem-MEC) Considere um ponto P em uma circunfe¬
rência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção
ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e
suponha que o ponto P percorra,no sentido anti-horário,
uma distância d *£ r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância
dada por:
p
a) r(l -senf) (*)d) r sen
TQ
b) r(l -°osf) (i)e) r cos
c) r(l -tgyj
30. (Unesp-SP) Em situação normal,observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expi¬
ração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo,bem como na quantidade de
ar inalada e expelida.
A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representa¬
da pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.
V (€/s)
1(s)
Aspiração
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração
completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação,emmódulo,é
0,6 €/s,a expressãoda funçãocujográficomais seaproxima dacurva representada na figura é:
c) V(t) =0,6 cos e) V(t) = cos (0,6t)
d) V(t) =0,6 sení-ÿtj
Expiração
(f‘)2TTa) V(t) = =£- seno
b) V(t) = sen
O
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
31. (UFRS) Assinale a alternativa que pode representar o gráfico de f(x) = sen |x|.
a) d) y,y i
44
2-
2>ÿx 2TT0~2TT TT
-2-2
b) e)y y,,
4 4
2 2
0 N\. 2tt X0 X
-2 -2
C) y
4--
2 •
-2ir X0 2ir—ir
-2
32. (UF-PA) 0 gráfico da função f dada por f(t) = cos |t + no intervalo [0, 2tt] é:
d) Wa) f(t)
“I T
1
2u] t0I25JT0
-1
-1
e) f(t)b) f(t)
I---T 1
2rrJ 00 t
-1-1
c) f(t)
\ 2n| t0 :-i
e! Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
33. (PUC-RS) A representação gráfica da função f dada por f(x) = 2 sen j - 2 é:
a) d)y y4- 4. .
3- 3
2
1
W2: í V 3 4> rttíX
-3- -3
-4-- -4--
y yb) e)
4--
3- 3
2
V 1— —h— —I—-4 -3-2—1° 12 3 4 -4-3-2-/°. I I -l-l-12 3 4x x
-2--
-3--
-2.
-4
y
c) 4. .
3-
—I I I lÿkl I -I—I--4-3-2-/0 \ 2 3 4 x
-2--
-3-
-4-
34. (Fatec-SP) Um determinado objeto de estudo é modelado segundo uma função trigonométri¬
ca f, de IR em IR sendo parte do seu gráfico representado na figura:
Usando as informações dadas nesse gráfico, pode-se afirmar
que:
a) a função fé definida por f(x) = 2 + 3 sen x.
b) fé crescente para todo x tal que x e [ir; 2ir].
c) o conjunto imagem da função fé [2; 4].
y
4- -y
2; - -í
d) para y = ). tem-se 2 < y < 4. 2ir x0 f
e) o período de f é ir.
35. (Fatec-SP) As funções reais f(x) = sen x e g(x) = cos x têm seus gráficos representados no
intervalo 0 x *£ 2TT.
3 I Fundamentos de Metemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
Se a função h(x) = f(x) + g(x) tem período p e valor má¬
ximo h, então o produto p •h é igual a:
d) V2it
V2e)Tÿ
y4
9
>C\a) 4tt
b) 2V2tt
c) 2tt
X0 f
36. (UE-CE) Se y = a + cos (x + b) tem como gráfico
y-
--T “ 2
I
-2-17 3TT —rr -f ° ir 1T 3TT 2ir2 22
podemos afirmar que:
a) a=2,b=|-
b) a = l,b = -|-
c) a = 2,b = —|
d)a = l,b=|-
e) a = 0, b = 0
37. (UF-PR) A figura abaixo representa parte do gráfico de uma função trigonométrica
f: IR —> IR.
yi
3
-3ir 3TT 3TT x
2 2
-3
A respeito dessa função, é correto afirmar:
a) Ela pode ser definida pela expressão f(x) = 3 sen
b) f(x + 2TT) = f(x), qualquer que seja x real.
2xc) Ela pode ser definida pela expressão f(x) = 3 cos —.
d) |f(x)| ==£ 1, qualquer que seja x real.
e) f(10ir) > 0
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
38. (FGV-SP) 0 gráfico indica uma senoide, sendo P e Q dois de seus interceptores com o eixo x.
Em tais condições, a distância entre P e Q é:
yj
4-TTa) —
b)-ÿ
d) 2tt
e)ÿ
1-- P Q
2-<3
86 \2n0 9 x-1 1 2 3 4 5
-1
i
i
-3-
<-2-<3--
39. (UE-OE) Um fabricante produz te¬
lhas senoidais como a da figura
ao lado.
Para a criação do molde da te¬
lha a ser fabricada,é necessário
fornecer a função cujo gráfico 2‘
será a curva geratriz da telha. 1-
A telha padrão produzida pelo -9-ÿ-
fabricante possui por curva
geratriz o gráfico da função _2
y = sen (x) (veja detalhe na figu¬
ra ao lado).
Um cliente solicitou então a produção detelhas que fossem duas vezes “mais sanfonadas” e
que tivessem o triplo da altura da telha padrão, como na figura abaixo.
3::
2IT 3?ir
-3
3
2
1
0
líf] 3i 4-iri0 ir I
-1
-2
-3
A curva geratriz dessa nova telha será então o gráfico da função:
(ÿH(ix) e) y = 2 sen (3x)c) y = 2 sena) y = 3 sen
d)y = isen(fx)b) y = 3 sen (2x)
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
40. (UFF-RJ) Nas comunicações, um sinal é transmitido por meio de ondas senoidais, denomi¬
nadas ondas portadoras. Considere a forma da onda portadora modelada pela função trigo¬
nométrica f(t) = 2 sen
Pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa f(t) é:
(3t-f),tER.
a) d)f(t) f(t).
2-- 2-
1- 1J
nw 1-ÍÍT
-1- -1
—2 —2
m f(t),b) e)•2
i\
tn -2 /-1 t
-1
-2 -2--
f(t),
C)
12 t/—2 1 1
-ll
-2-
41. (UF-PE) A ilustração a seguir é parte do gráfico da função y = a •sen (birx) + c, com a,be c
sendo constantes reais. A função tem período 2 e passa pelos pontos com coordenadas
(0, 3) e(M
5-
3-
0,5
Determine a,bece indique (a + b + c)2.
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
42. (FGV-SP) A figura abaixo representa parte do gráfico de uma função periódica f: R -» R.
f(x)
A
T*/ V2»4
0 perfodo da função g(x) = f(3x + 1) é:
a)i
b>f
c) 2 e) 6
d) 3
y
43. (Unesp-SP) Considere a representação gráfica da
função definida porf(x) = sen
gráfico da função f(x), sem escala(3*)-(-l+
Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros
pontos de interseção do gráfico da função f com o
eixo das abscissas. Determine as coordenadas dos
pontos P, Q, R e S, nessa ordem.
£-A-yp\s T1.0
44. (Unesp-SP) Num determinado ambiente convivem duas espécies, que desempenham o pa¬
pel de predador (C) e de presa (H). As populações dessas espécies, em milhares de indiví¬
duos, são dadas pelas seguintes equações:
C(t) =l+ |-cos(V2t + -|)
H<« =1+ + T)
onde t é o tempo em meses. Determine qual a duração do ciclo de crescimento e decresci-
mento das populações, isto é, a cada quanto tempo as populações voltam, simultaneamen¬
te, a ter as mesmas quantidades de indivíduos de t = 0.
45. (Unesp-SP) Podemos supor que um atleta, enquanto corre,balança cada um de seus braços
ritmicamente (para frente e para trás) segundo a equação:
y = f<t) = fsen(f(t --§ÿ)),
onde y é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical *£ y *£
e t é o tempo medido em segundos, t 0. Com base nessa equação, determine quantas
oscilações completas (para frente e para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos.
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
46. (Unesp-SP) Em algumas situações,é conveniente representar de maneira aproximada a fun¬
ção sen(irx),com x G [0,1],pela função quadrática f(x) = 4x - 4x2, a qual fornece osvalores
corretos apenas em x = 0, x = 0,5 e x = 1. Isto é, sen (TTX) « 4x - 4x2.
Use essa aproximação para obter o valor de sen estime a diferença,em módulo,entre
esse valor e ò valor conhecido de sen considerando V2 = 1,41.
47. (Unesp-SP) Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lixo domés¬
tico total (orgânico e reciclável) produzida pela população, mês a mês, durante um ano,
através da função:
f(x) = 200 + (x + 50) cos (-fx - -ÿ-j,
onde f(x) indica a quantidade de lixo, em toneladas, produzida na cidade no mês x, com x
inteiro positivo. Sabendo que f(x),nesse período,atinge seu valor máximo em um dos valores
/ TT 4TT \de x no qual a função cos I—x -—Iatinge seu máximo, determine o mês x para o qual a
produção de lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela população
nesse mês.
48. (UF-PR) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009,
possa ser descrito pela função:
f(t) = 18,8 -1,3 sen(ÿt)
sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1? de janeiro. Com base nessas informações,
considere as seguintes afirmativas:
I. 0 período da função acima é 2ir.
II. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo.
III.O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa III é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
49. (Enem-MEC) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está
a r quilómetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e
mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que,
para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
5865r(t) =
1+ 0,15 •cos (0,06t)
@9 Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTGES DE VESTIBULARES
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do cen¬
tro da Terra. Para isso,ele precisa calcular a soma dos valores de r,no apogeu e no perigeu,
representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:
a) 12765 km.
b) 12000 km.
c) 11730 km.
d) 10965 km.
e) 5865 km.
50. (UF-AM) O Encontro das Águas é um fenômeno que acontece na confluência entre o rio
Negro, de água negra, e o rio Solimões, de água barrenta. É uma das principais atrações
turísticas da cidade de Manaus.
As águas dos dois rios corremlado a lado sem se misturar por uma extensão de mais de
6 km. Esse fenômeno acontece em decorrência da diferença de temperatura e densidade
dessas águas, além da diferença de velocidade das correntezas.
Uma equipe de pesquisadores da UF-AM mediu a temperatura (em °C) da água no Encontro
das Águas durante dois dias, em intervalos de1hora.
A medição começou a ser feita às 2 horas do primeiro dia (t = 0) e terminou 48 horas depois
/3TT TT(t = 48).Os dados resultaram na função f(t) = 24 +8 senI +—tj,onde t indica o tempo12
(em horas) e f(t) a temperatura (em °C) no instante t.
A temperatura máxima e o horário em que essa temperatura ocorreu são respectivamente:
a) 28 °C e ll:00h.
b) 29 °C e 12:00h.
e) 32 °C e 14:00h.c) 30 °C e 13:00h.
d) 31°C e 15:00h.
51. (UFF-RJ) A equação do tempo é a função que mede a diferença, ao longo de um ano, entre os
tempos lidos a partir de um relógio de sol e de um relógio convencional. Ela pode ser aproxi¬
mada pela função
y = f(B) = 9,87 sen (2B) - 7,53 cos (B) - 1,5 sen (B)
_ 2-TT(n - 81)
enQ nt-jmero do dja( jSto é,n =1para1de janeiro,n = 2 para 2 de
364
janeiro, e assim por diante.
É correto afirmar que:
a) f(B) = 9,87 sen (2B) - 7,53 cos (B) - 0,75 sen (2B)
b) f(B) = 19,74 sen (B) - 7,53 cos (B) - 1,5 sen (B)
c) f(B) = [19,74 sen (B) - 7,53] cos (B) - 1,5 sen (B)
d) f(B) = 9,87 [2 (cos (B))2 - 1] - 1,5 sen (B) - 7,53 cos (B)
e) f(B) = 8,37 sen (2B) - 7,53 cos (B)
sendo B
52. (FGV-RJ) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um
TTX
produto, é dada porf(x) = 100 + 0,5x + 3 sen—,em que x =1corresponde a janeiro de
2011, x = 2 corresponde a fevereiro de 2011e assim por diante.
f=;=tf3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011é:
(Use a aproximação decimal V3 = 1,7.)
a) 308,55
b) 309,05
c) 309,55
d) 310,05
e) 310,55
53. (PUC-RS) Em uma animação, um mosquitinho aparece voando, e sua trajetória é representa¬
da em um plano onde está localizado um referencial cartesiano. A curva que fornece o trajeto
tem equação y = 3 cos (bx + c). 0 período é 6TT, o movimento parte da origem e desenvolve-
se no sentido positivo do eixo das abscissas. Nessas condições, podemos afirmar que o
produto 3 •b c é:
a) 18tt
b) 9-tt
. ire)2C) TT
j» TT2d) ~2
54. (Unifesp-SP) Sabe-se que, se b > 1, o valor máximo da expressão y - y13, para y no
conjunto IR dos números reais, ocorre quando y = _ 1- O valor máximo que a função
f(x) = sen (x) sen (2x) assume, para x variando em IR, é:
V3a)T
«4
e) 1
4V3d) ~ir
55. (FGV-SP) O número de interseções entre o gráfico de uma circunferência e o gráfico de
y = sen x no plano ortogonal pode ocorrer em:
a) no máximo 2 pontos.
b) no máximo 4 pontos.
c) no máximo 6 pontos.
d) no máximo 8 pontos.
e) mais do que 16 pontos.
Transformações
n
56. (ITA-SP) A soma £ cos (a + kir), para todo a e [0, 2tr], vale:
d) sen (a) quando n é par.
e) zero quando n é ímpar.
k =0
a) -cos (a) quando n é par.
b) -sen (a) quando n é ímpar.
c) cos (a) quando n é ímpar.
57. (ITA-SP) Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A U B, sendo:
A = |xk = sen2 : k = l,2j e B = jyk = sen2 (3k + 5)tt-):k = l,2j.24
e) (2 + V2 - V3)a) 0 c) 2
3
d) (2-V2 + AÍ3)b) 1
3
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
|o, tais que sen x = -|- e sen y = .58. (UF-PR) Considere x, y G
a) Calcule os valores de cos x e cos y.
b) Calcule os valores de sen (x + y) e cos (x - y).
V359. (UE-CE) Se x e y são arcos no primeiro quadrante tais que sen (x) = = cos (y), então o
valor de sen (x + y) + sen (x - y) é:
«IV6 V6a) — °> T
60. (UF-CE) Os números reais a, b e y são tais que aÿOea cos y =£ b sen y. Se
calcule o valor de tg (x - y) em função de a e b somente.= a sen y + b cos ytgX r- ,a cos y - b sen y
61. (UE-RJ) Considere o teorema e os dados a seguir para a solução desta questão.
Se a, p e a + p são três ângulos diferentes de + kir, k G Z, então
tg (a + P) = tg”± P—45 ' 1— (tga)(tgp) 4a,bec são três ângulos agudos, sendo tgb = 2etg(a + b + c) = -g.
Calcule tg (a - b + c).
62. (Fuvest-SP) Seja x no intervalo jo, satisfazendo a equação tg x + —j=- see x =
Assim, calcule o valor de:
a) secx
3
b) sen (x +
i
63. (UF-AM) Se sen x - cos x = —, então sen 2x é:
a) 7 C>J
b>-f ' d) T
64. (UF-CE) Considere as funções f: R —> (F5 e g: IR —> IR definidas, respectivamente, por
f(x) = x2 +1e g(x) = cos(x) - sen(x).
a) Explicite a função composta h(x) = f(g(x)).
b) Determine o valor máximo da função composta h(x) = f(g(x)).
V3
65. (Fuvest-SP) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equa¬
ção 5 cos 2x + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen x e cos x.
66. (UE-CE) 0 conjunto-imagem da função f: IR -» IR, definida por f(x) = 2 cos 2x + cos2 x, é o
intervalo:
a) [-2,1] d) [-2,0]c) [-2,2]b) [-2,3]
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
67. (Fuvest-SP) 0 número real x, com 0 < x < ir, satisfaz a equação
IOg3 (1- COS X) + IOÊ3 (1+ cos x) = -2.
Então, cos 2x + sen x vale:
•i 10‘>1 e) ~n~9
8d)w9
68. (Fatec-SP) A expressão + cosyj é equivalente a:
d) 1+ sen x
e) 1+ cos x
a) 1
b) 0
c) cos2-|
69. (U. F. Uberlândia-MG) O valor de tg10° (see 5o + cossec 5o) •(cos 5o - sen 5o) é igual a:
•»* d) 0a) 2 c) 1
70. (FGV-SP) O valor de cos 72° - cos2 36° é idêntico ao de:
c) cos2 36°
d) -sen2 36°
e) sen2 36°a) cos 36°
b) -cos2 36°
71. (ITA-SP) A expressão
2ÿsen (x + ir) + cotg2 xjtg-j
l+ tg2f
é equivalente a:
a) [cos x - sen2 x] cotg x
b) [sen x + cos x] tg x
c) [cos2 x - sen x] cotg2 x
d) [1- cotg2 x] sen x
e) [1+ cotg2 x][sen2 x + cos x]
/ÿ
/
72. (ITA-SP)
a) Calcule |cos2 - sen2 yjcos -£r -2SÿY COS 1710 5
b) Usando o resultado do item anterior, calcule sen cos 17
TT
5 Se" lõ-
~5'
73. (UF-CE) Seja f: R -> IR a função dada por f(x) = 2 sen x + cos (2x). Calcule os valores máximo
e mínimo de f, bem como os números reais x para os quais f assume tais valores.
74. (ITA-SP) Encontre todos os pontos do gráfico da função f(x) = sen2 x + cos x, em que a reta
tangente é paralela ao eixo x.
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
75. (UF-AM) Considerando as seguintes afirmações:
(I) cos2 (2x) + sen2 (3x) =1Vx G IR
(II) sen 4x = 4 sen x cos3x - 4 sen3x •cos x Vx G IR
(III) cos2x = -|- +
(IV) cos (x - y) = cos x •cos y + sen x •sen y Vx, y£R
Podemos garantir que:
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Somente a afirmação (II) é verdadeira.
c) Todas as afirmações são verdadeiras.
cos 2x Vx G IR
d) Somente a afirmação (III) é falsa.
e) Somente a afirmação (I) é falsa.
76. (ITA-SP) Determine o valor de y, definido a seguir, sabendo que a é um arco do quarto
4quadrante e |sen a| = —.
y = 7 tg (2a) + VB cos
77. (ITA-SP) Determine os valores reais de x de modo que sen (2x) - V3 cos (2x) seja máximo.
78. (Fuvest-SP) Sejam x e y dois números reais, com 0<x<-ÿ-e-ÿ-<y<ir, satisfazendo
sen y = -|- e 11sen x + 5 cos (y - x) = 3.
Nessas condições, determine:
a) cos y b) sen 2x
79. (ITA-SP) Sabendo que tg2 (x + para algum x G [o, -|-7rj, determine sen x.
80. (ITA-SP) Seja f : IR —» IR definida por f(x) = V77 sen Jõÿx + jje seja B o conjunto dado por
B = {x G IR : f(x) = 0). Se m é o maior elemento deBn(-<»,0)enéo menor elemento de
B n (0, +°°), então m + né igual a:
c»-w
<>-ik
2TT2TT e) -15â) 15
. . TTb) 15
81. (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam os números reais peq,
sen p + sen q = 2 •sen j •cos 2 q j.
Logo, a expressão cos x •sen 9x é idêntica a:
c) 2 •(sen lOx + sen 8x)
d) -|- •(sen 6x + sen 2x)
e) (sen lOx + sen 8x)a) sen lOx + sen 8x
b) 2 •(sen 6x + sen 2x)
isislsi3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
82.(ITA-SP) Seja x G [0, 2ir] tal que sen (x) cos (x) = Então, o produto e a soma de todos os
possíveis valores de tg (x) são, respectivamente:
a) 1e 0
b) le|
83. (ITA-SP) O conjunto-imagem e o período de f(x) = 2 sen2 (3x) + sen (6x) -1são, respectiva¬
mente:
a) [-3,3] e 2ir
b) [-2,2]e-ÿL
84. (ITA-SP) Se os números reais a e (3, com a + (3 = -ÿL, 0 < a «s |3, maximizam a soma
sen ct + sen |3, então a é igual a: 3
a)ÿ
b>-T
85. (ITA-SP) O valor da soma Z sen para todo a e R, é igual a:
e) -1e —jc) -leO
d) 1e 5
2TTc) [-V2,V2]e-|
d) [-l,3]e|
e) [-1,3] e -g-
7TTo,f
d)ÿ-
e) -T7T12
8
a)
b) [sen (zfe)“ sen (759)]
(243) - cos (729)
] d) [cos (7Í9) - cos (ztã)]- COS a
(729)e) cos - cos a
c) cos
86. (Fuvest-SP) Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = Sabendo-se que
sen (y - x) = -|-, 0 valor de tg2 y - tg2 x é igual a:
*>!
Equações ->Funções inversas
87. (UE-CE) O valor de x mais próximo de 0, para 0 qual cos +~j= 1, é:
a) -f
b)4=.
88. (PUC-RJ) Encontre todas as soluções da equação cos (2x) = no intervalo [0, 2IT].
e)4
8
c) ir e) 0
d,f
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
89. (FEI-SP) Sabendo que 0 x TT e que (sen x + cos x)2 + cos x = sen 2x, pode-se afirmar
que x é igual a:
<=>1
d>f-
e) TT
90. (UF-RS) O número de soluções da equação 2 cos x = sen x que pertencem ao intervalo
[ 16TT 16TT]
L 3 ' 3 J
a) 8 e) 12c) 10
d) 11
91. (Unesp-SP) Dada a expressão trigonométrica cos (5x) - cos |x + = 0, resolva-a em R
paraxe
b) 9
92. (UF-AL) Quantas soluções a equação trigonométrica sen4x - cos4x = — admite no intervalo
fechado com extremos 0 e 35ir?
a) 66
b) 68
c) 70
d) 72
e) 74
93. (UE-CE) Uma partícula inicia um movimento oscilatório harmónico ao longo de um eixo or¬
denado, de amplitude igual a 5 unidades e centrado na origem, de modo que a sua posição
pode ser descrita, em função do tempo em segundos, pela função f(t) = 5 cos (t).
Ao mesmo tempo, uma outra partícula inicia um movimento também harmónico, centrado
em 3, de amplitude igual ale com o dobro da frequência da primeira partícula, de modo
que sua posição é descrita pela função g(t) = cos (2t) + 3.
Acerca da posição relativa das duas partículas, é correto afirmar que:
a) elas se chocarão no instante t = s.
b) elas se chocarão no instante t = s.
c) elas se chocarão no instante t = s.
d) elas se chocarão no instante t = 3 s.
e) elas não se chocarão.
94. (Fuvest-SP) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz — < x < TT e verifica a equação
sen x + sen 2x + sen 3x = 0. Assim,
a) determine x.
b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x.
(g!5B3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
95. (ITA-SP) A soma de todas as soluções distintas da equação cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x 0,
que estão no intervalo 0 x «s y,é igual a:
of*
0)h
96. (ITA-SP) O conjunto solução de x -y-,k G Z, é:
b){f + -ÿ,kez
97. (FEI-SP) A soma das raízes da equação1- sen2 x + cos(-x) = 0,para 0 x *£ 2n,é igual a:
e)a) 2tt
b) 23ÿ
12
12
, í -ir , k-TTe)l2 +*>{f + i+ J™ kez]} « t'k£Z6
} <« {!+ÿ'" }—-ksz
7u3t e)ÿ“a) —
b)4=-
98. (FGV-SP) A soma das raízes da equação sen2 x = sen (-x) = 0, no intervalo [0, 2ir], é:
b)f-
c) 3TT
d) 5tt
5-TT 3TTC)ÿ-
d) 3tt
99. (UF-PE) Quantas soluções a equação trigonométrica sen x = V1- cosx admite,no intervalo
[0, 80TT)?
100. (UF-BA) Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções da equação
4cos2
[-6,8].
(y- x) - cos (x + 7ir) + sen(yy-j=7 0que pertencem ao intervalocos x sen
101.(FGV-SP) Resolvendo a equação log2 (sen x) = log4 (cos x) no intervalo 0o < x < 90° o valor
de x é tal que:
a) 45° < x < 60°
b) 30° < x < 45°
102.(UF-RS) 0 conjunto das soluções da equação sen log xj = 0 é:
a) {1,10, 102, 103,104, ...}
b) {...,10~3, IO"2, IO"1,1,10,102, 103, 104, ...}
c) 10“6, IO"4, IO"2,1,102, 104, 106, ...}
d) {..., -IO"6, -IO"4, 10—2, 1,102, 104, 106, ...}
e) {..., -IO'3, -102, -10,1,102, 103, 104, 106, ...}
c) 0o < x < 30°
d) 75° < x < 90°
e) 60° < x < 75°
Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
103.(UF-PI) Considere o conjunto S = {(x,y) eZx Z|x2 — 4x sen (u- - y) + 4 = 0}. Pode-se afir¬
mar que:
a) S é um conjunto vazio.
b) S possui apenas um elemento.
c) S contém a reta x = 0.
d) 0 par (0, IT) E S.
e) S possui infinitos elementos.
104.(ITA-SP) Considere a equação (3-2 cos2 x)ÿL + tg2 -|-j - 6 tg-j= 0.
a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, -rrí.
b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x.
105.(FGV-SP) 0 número de soluções da equação1+ sen x - 2 |cos 2x| = 0, com0«xÿ 2ir,é:
a) 8 c) 6 e) 4
b) 7 d) 5
sen x, 0 x <~
1+ cos x,
106.(UF-BA) Dadas as funções reais f(x) = e
SSXSSTT
f(x + f),-f*x<0
[°'f[g(x) = determine x, pertencente ao intervalo , talHf),0ÿx=sy1+ f
que [f(x)j2 + g(x) - j
107. (Unifesp-SP) Considere a função y = f(x) =1+ sen - definida para todo x real.
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0,1], tais que y = 1.
= 0.
108.(UF-PE) Considere a função f, com domínio e contradomínio o
conjunto dos números reais, dada porf(x) = V 3 cos x - sen x,
que tem parte de seu gráfico esboçado ao lado.
Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f:
, para todo x real.
T
0-0) f(x) = 2 • sen +
1-1) fé periódica com período 2tt.
2-2) As raízes de f(x) são — + 2kTr, com k inteiro.
3-3) f(x) -V3, para todo x real.
4-4) f(x) « 2, para todo x real.
3 I Fundamentos de Matemática Elementar
QUESTÕES DE VESTIBULARES
109. (ITA-SP) Determine a solução do seguinte sistema de equações:
V3sen a —— sen b = 0
/tg 2a - 2 tg aWtg 2b - 2 tg b
\ tg 2b /\ tg 2a =1
110. (FGV-SP) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo
ponto era dada porf(x) = 4 + 3 cos em que x representa o número de horas decorridas
a partir de zero hora de determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros.
Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia?
e) 6 e 10 horasa) 5 e 9 horas
b) 7 e 12 horas
c) 4 e 8 horas
d) 3 e 7 horas
111. (FGV-SP)Umaempresaexportacertoproduto.Estima-sequeaquantidadeexportadaQ,expressa
emtoneladas,para cada mês do ano 2011,seja dada pela função Q = 40 + 4 sen
que x =1representa janeiro de 2011,x = 2representa fevereiro de 2011eassim por diante.
Em que meses a exportação será de 38 toneladas?
(Utilize os valores: V3 = 1,7 e V2 = 1,4)
c) junho e outubro
d) julho e novembro
,em
a) abril e agosto
b) maio e setembro
e) agosto e dezembro
112.(UF-PA) 0 pêndulo simples é formado por uma partícula de massa m fixada na extremidade
inferior de uma haste retilínea, de comprimentoi(de massa desprezível se comparada com
a massa da partícula), cuja extremidade superior está fixada. Suponhamos que o movimento
do pêndulo se processe em um plano vertical e designemos por 0 o ângulo que a haste faz
com a reta vertical OV (veja a figura abaixo). Observemos que 0 = 0 (t), isto é, 0 é função do
tempo13= 0. 0 movimento do pêndulo, para pequenas oscilações, é regido pela equação:
,t ss 0,ím0(t) = A cos
em que A é uma constante positiva,géa aceleração da gravida¬
de e € é o comprimento da haste. Os valores de t s* 0, referentes
à passagem do pêndulo pela posição vertical OY, isto é, ao mo¬
mento em que 0(t) = 0, são dados por:
a) t = (2k + 1) Y k = 1, 2, ...
b) t = 1, 2, 3, ...
c) t = 0 ou t = -J
d>t=i'H-
e) t = Vi,<2, V3, ...
e(t)
€
íalsM Fundamentos de Matemática Elementar I 3
QUESTÕES DE VESTIBULARES
113.(U. F. Santa Maria-RS) Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de par¬
tículas de fósforo na atmosfera é medida pela função C(t) = 3 + 2 sen em que t
é a quantidade de horas para fazer essa medição.
0 tempo mínimo necessário para