aula 1
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aula 1


DisciplinaGeometria Analítica16.613 materiais405.556 seguidores
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Conversa inicial 
Olá, aluno! Seja bem-vindo a nossa primeira aula de Geometria 
Analítica! 
Nesta primeira aula serão apresentados os vetores, muito utilizados 
para a modelagem de problemas envolvendo fenômenos físicos, por 
meio de dois pontos de vista: estudo geométrico e estudo analítico dos 
vetores. Serão abordadas também as operações mais usuais 
envolvendo vetores. 
Os vetores são uma ferramenta matemática de grande importância 
para o estudo da física, para a compreensão do cálculo diferencial e 
integral e para diversos problemas modernos em áreas muito diversas 
como computação, estatística, logística etc. 
Por meio dos conceitos apreendidos no estudo dos vetores será 
realizado o estudo vetorial de retas e planos, com o que se pretende 
ampliar a capacidade de modelagem de problemas e situações 
práticas. Em consonância com este objetivo, a partir dos conceitos 
relativos a vetores, retas e planos, será realizado em seguida o estudo 
de ângulos e distâncias. 
A nossa disciplina terminará com a apresentação das cônicas: 
parábola, circunferência, elipse e hipérbole e quádricas: parabolóides, 
esferas, elipsóides, hiperbolóides, etc. Essão são conceitos de grande 
importância para o cálculo vetorial e outras aplicações práticas. 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Geometria Analítica 
MÓDULO A1 2016 
AULA 1 
PROFESSOR Nacib Mattar Jr 
 
 
Confira no material on-line o vídeo do professor Nacib Mattar Jr, no 
qual ele apresentará os temas a serem trabalhados nesta disciplina. 
Bons estudos! 
Contextualizando 
A geometria é um ramo da matemática que está presente no nosso 
cotidiano de uma forma tão natural que muitas vezes não percebemos 
essa proximidade. Mas basta pararmos um pouco e olharmos ou 
tocarmos objetos que estão ao nosso redor. 
\uf0b7 A superfície da mesa equivale a uma parte de um plano. 
\uf0b7 Os cantos das paredes são segmentos de retas. 
\uf0b7 A borda de um copo tradicional é uma circunferência, uma 
moeda é um círculo. 
\uf0b7 Armários, pratos, garrafas, antenas parabólicas, portas, 
janelas, casas, prédios... a quantidade de elementos 
geométricos existentes é extremamente grande. 
Mas a geometria não está presente apenas em objetos reais. No 
mundo virtual essa presença é muito evidente também. A tela de um 
computador, celular ou tablet tem um formato retangular. Cada ponto 
dessa tela está localizado em uma determinada coordenada do tipo (x, 
y) que define qual é a distância na horizontal e na vertical desses 
pontos em relação ao canto superior esquerdo da tela. 
Muitos elementos que aparecem na tela desses dispositivos são 
entidades geométricas. Os aparelhos de televisão também possuem 
um formato retangular e os conteúdos transmitidos também são 
baseados em geometria. E nesses últimos anos, a computação 
gráfica, também baseada em geometria, está tomando cada vez 
proporções cada vez maiores. 
Vamos assistir a um vídeo no qual é possível perceber as formas 
geométricas em um ambiente e um que mostra a importância do 
triângulo na construção e estruturas estáveis: 
https://www.youtube.com/watch?v=y5kTMaV_Xfw 
https://www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM 
Em particular, quando falamos em Geometria Analítica, estamos nos 
referindo a uma forma algébrica de resolvermos problemas de 
geometria, ou seja, em uma forma de resolver esses problemas 
utilizando fórmulas específicas e cálculos matemáticos, na maioria das 
vezes elementares. 
Inicialmente, problemas de geometria eram resolvidos com o uso de 
instrumentos tais como régua e compasso. Com o passar do tempo, 
esses problemas passaram a ser resolvidos com o uso da álgebra. 
Essa relação entre geometria e álgebra teve início no século XVII com 
René Descartes, que formalizou os princípios matemáticos 
necessários para que fosse possível analisar as propriedades de 
ponto, reta e circunferência. 
Descartes utilizava um sistema de coordenadas e com isso era 
possível localizar pontos em um plano e também pontos no espaço. 
Esses sistemas de coordenadas permitem que, nos dias de hoje, 
possamos, por exemplo, localizar objetos em um plano ou em um 
sistema tridimensional, utilizar um dispositivo eletrônico e muitas 
outras aplicações. 
Por meio da geometria analítica também foi possível ampliar todo esse 
estudo para contextos que não possuem uma representação 
geométrica. Podemos, por exemplo, estudar situações que com 
quatro, cinco, seis, ou \u201cn\u201d dimensões bem como suas aplicações 
práticas tais como a computação, robótica etc., mas que não há 
representação geométrica nestes casos. 
 
 
Os vídeos a seguir nos mostram de maneira interessante temas 
relacionados ao plano cartesiano: 
https://www.youtube.com/watch?v=5g451_pFqRU 
https://www.youtube.com/watch?v=v8z3TNaD1yk 
Com tanto potencial, a geometria analítica deu suporte ao 
desenvolvimento do cálculo diferencial e integral como é conhecido 
nos dias de hoje, ocorrido a partir do século XVII, e que promoveu 
diversos avanços científicos e tecnológicos. 
A partir do sistema de coordenadas cartesianas, denominado dessa 
maneira em homenagem a René Descartes, surgiram também as 
primeiras abordagens envolvendo vetores que são o tema dessa aula. 
Falaremos sobre vetores mais detalhadamente a seguir, mas, 
antecipando algumas explicações, os vetores são amplamente 
utilizados na física e em outras áreas do conhecimento. 
Em diversas situações do cotidiano nos deparamos com problemas 
que envolvem vetores. Muitos filmes utilizam a computação gráfica 
como recurso para a criação de cenas. Um desses filmes é o Mar em 
Fúria que teve muitas cenas feitas com o uso do software Maya. 
Uma das tarefas da equipe era simular os diferentes movimentos das 
ondas do oceano. Para isso, as diversas forças que atuam sobre as 
águas são representadas na figura a seguir. 
 
Em um outro modelo, temos a soma dos vetores associados à 
turbulência, ao vento e à gravidade que resultam na força total das 
águas. 
 
Pensando nisso, é gerada uma malha que serve de estrutura para as 
águas do oceano. O movimento dessa malha implica no respectivo 
movimento do oceano criado computacionalmente. 
 
Vamos ver a seguir um quadro do resultado final: 
 
 
 
Vetores: Perspectiva Geométrica, Conceitos 
Iniciais e Módulo de Vetores 
Vetores 
A distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais é 
fundamental para a compreensão do conceito de vetor. Temperatura, 
massa e tempo são três exemplos de grandezas escalares: estão bem 
definidas apenas pela sua intensidade. 
Velocidade e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais, isto é, 
para estarem bem definidas, além da intensidade são necessários a 
direção e o sentido. Os veículos representados na figura possuem 
velocidades com a mesma intensidade, 30 km/h, mas direções e 
sentidos diferentes. 
 
As setas, segmentos de reta orientados, são usadas para representar 
a intensidade da velocidade (quanto maior a seta, maior a intensidade 
do vetor), a direção e o sentido. As setas representam o vetor 
velocidade de cada veículo e podem ser usadas para uma possível 
modelagem desta situação prática, como a seguir: 
 
Módulo de um vetor 
A seta representa o vetor; seu comprimento indica a intensidade, 
também chamada de módulo do vetor. Este comprimento pode ser 
determinado como a seguir, sendo o nome do vetor representado pela 
seta e o seu comprimento: 
 
Se as medidas e forem conhecidas, o valor de pode ser 
determinado pela aplicação do Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
Exemplo 1: Determine o 
módulo do vetor indicado 
na figura a seguir.