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Disciplina:Geometria Analítica10.710 materiais311.043 seguidores
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Conversa inicial

Olá, aluno! Seja bem-vindo a nossa primeira aula de Geometria

Analítica!

Nesta primeira aula serão apresentados os vetores, muito utilizados

para a modelagem de problemas envolvendo fenômenos físicos, por

meio de dois pontos de vista: estudo geométrico e estudo analítico dos

vetores. Serão abordadas também as operações mais usuais

envolvendo vetores.

Os vetores são uma ferramenta matemática de grande importância

para o estudo da física, para a compreensão do cálculo diferencial e

integral e para diversos problemas modernos em áreas muito diversas

como computação, estatística, logística etc.

Por meio dos conceitos apreendidos no estudo dos vetores será

realizado o estudo vetorial de retas e planos, com o que se pretende

ampliar a capacidade de modelagem de problemas e situações

práticas. Em consonância com este objetivo, a partir dos conceitos

relativos a vetores, retas e planos, será realizado em seguida o estudo

de ângulos e distâncias.

A nossa disciplina terminará com a apresentação das cônicas:

parábola, circunferência, elipse e hipérbole e quádricas: parabolóides,

esferas, elipsóides, hiperbolóides, etc. Essão são conceitos de grande

importância para o cálculo vetorial e outras aplicações práticas.

NÍVEL Graduação
CURSO Engenharia de Produção

DISCIPLINA Geometria Analítica
MÓDULO A1 2016

AULA 1

PROFESSOR Nacib Mattar Jr

Confira no material on-line o vídeo do professor Nacib Mattar Jr, no

qual ele apresentará os temas a serem trabalhados nesta disciplina.

Bons estudos!

Contextualizando

A geometria é um ramo da matemática que está presente no nosso

cotidiano de uma forma tão natural que muitas vezes não percebemos

essa proximidade. Mas basta pararmos um pouco e olharmos ou

tocarmos objetos que estão ao nosso redor.

 A superfície da mesa equivale a uma parte de um plano.

 Os cantos das paredes são segmentos de retas.

 A borda de um copo tradicional é uma circunferência, uma

moeda é um círculo.

 Armários, pratos, garrafas, antenas parabólicas, portas,

janelas, casas, prédios... a quantidade de elementos

geométricos existentes é extremamente grande.

Mas a geometria não está presente apenas em objetos reais. No

mundo virtual essa presença é muito evidente também. A tela de um

computador, celular ou tablet tem um formato retangular. Cada ponto

dessa tela está localizado em uma determinada coordenada do tipo (x,

y) que define qual é a distância na horizontal e na vertical desses

pontos em relação ao canto superior esquerdo da tela.

Muitos elementos que aparecem na tela desses dispositivos são

entidades geométricas. Os aparelhos de televisão também possuem

um formato retangular e os conteúdos transmitidos também são

baseados em geometria. E nesses últimos anos, a computação

gráfica, também baseada em geometria, está tomando cada vez

proporções cada vez maiores.

Vamos assistir a um vídeo no qual é possível perceber as formas

geométricas em um ambiente e um que mostra a importância do

triângulo na construção e estruturas estáveis:

https://www.youtube.com/watch?v=y5kTMaV_Xfw

https://www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM

Em particular, quando falamos em Geometria Analítica, estamos nos

referindo a uma forma algébrica de resolvermos problemas de

geometria, ou seja, em uma forma de resolver esses problemas

utilizando fórmulas específicas e cálculos matemáticos, na maioria das

vezes elementares.

Inicialmente, problemas de geometria eram resolvidos com o uso de

instrumentos tais como régua e compasso. Com o passar do tempo,

esses problemas passaram a ser resolvidos com o uso da álgebra.

Essa relação entre geometria e álgebra teve início no século XVII com

René Descartes, que formalizou os princípios matemáticos

necessários para que fosse possível analisar as propriedades de

ponto, reta e circunferência.

Descartes utilizava um sistema de coordenadas e com isso era

possível localizar pontos em um plano e também pontos no espaço.

Esses sistemas de coordenadas permitem que, nos dias de hoje,

possamos, por exemplo, localizar objetos em um plano ou em um

sistema tridimensional, utilizar um dispositivo eletrônico e muitas

outras aplicações.

Por meio da geometria analítica também foi possível ampliar todo esse

estudo para contextos que não possuem uma representação

geométrica. Podemos, por exemplo, estudar situações que com

quatro, cinco, seis, ou “n” dimensões bem como suas aplicações

práticas tais como a computação, robótica etc., mas que não há

representação geométrica nestes casos.

Os vídeos a seguir nos mostram de maneira interessante temas

relacionados ao plano cartesiano:

https://www.youtube.com/watch?v=5g451_pFqRU

https://www.youtube.com/watch?v=v8z3TNaD1yk

Com tanto potencial, a geometria analítica deu suporte ao

desenvolvimento do cálculo diferencial e integral como é conhecido

nos dias de hoje, ocorrido a partir do século XVII, e que promoveu

diversos avanços científicos e tecnológicos.

A partir do sistema de coordenadas cartesianas, denominado dessa

maneira em homenagem a René Descartes, surgiram também as

primeiras abordagens envolvendo vetores que são o tema dessa aula.

Falaremos sobre vetores mais detalhadamente a seguir, mas,

antecipando algumas explicações, os vetores são amplamente

utilizados na física e em outras áreas do conhecimento.

Em diversas situações do cotidiano nos deparamos com problemas

que envolvem vetores. Muitos filmes utilizam a computação gráfica

como recurso para a criação de cenas. Um desses filmes é o Mar em

Fúria que teve muitas cenas feitas com o uso do software Maya.

Uma das tarefas da equipe era simular os diferentes movimentos das

ondas do oceano. Para isso, as diversas forças que atuam sobre as

águas são representadas na figura a seguir.

Em um outro modelo, temos a soma dos vetores associados à

turbulência, ao vento e à gravidade que resultam na força total das

águas.

Pensando nisso, é gerada uma malha que serve de estrutura para as

águas do oceano. O movimento dessa malha implica no respectivo

movimento do oceano criado computacionalmente.

Vamos ver a seguir um quadro do resultado final:

Vetores: Perspectiva Geométrica, Conceitos

Iniciais e Módulo de Vetores

Vetores

A distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais é

fundamental para a compreensão do conceito de vetor. Temperatura,

massa e tempo são três exemplos de grandezas escalares: estão bem

definidas apenas pela sua intensidade.

Velocidade e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais, isto é,

para estarem bem definidas, além da intensidade são necessários a

direção e o sentido. Os veículos representados na figura possuem

velocidades com a mesma intensidade, 30 km/h, mas direções e

sentidos diferentes.

As setas, segmentos de reta orientados, são usadas para representar

a intensidade da velocidade (quanto maior a seta, maior a intensidade

do vetor), a direção e o sentido. As setas representam o vetor

velocidade de cada veículo e podem ser usadas para uma possível

modelagem desta situação prática, como a seguir:

Módulo de um vetor

A seta representa o vetor; seu comprimento indica a intensidade,

também chamada de módulo do vetor. Este comprimento pode ser

determinado como a seguir, sendo o nome do vetor representado pela

seta e o seu comprimento:

Se as medidas e forem conhecidas, o valor de pode ser

determinado pela aplicação do Teorema de Pitágoras:

Exemplo 1: Determine o

módulo do vetor indicado

na figura a seguir.