Álgebra Matricial e Vetorial

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CURSO DE NIVELAMENTO 
PEQ/COPPE/UFRJ 
M.Sc. – 2009 
 
ÁLGEBRA MATRICIAL 
 
Dra. Heloísa Lajas Sanches 
 
 
 
Arthur Cayley 
Nascimento: 16 de Agosto de 1821 em Richmond, Surrey, Inglaterra 
Falecimento: 26 de Janeiro de 1895 em Cambridge, Cambridgeshire, Inglaterra 
PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA/COPPE/UFRJ 
NIVELAMENTO - M. Sc. - 2007 
Álgebra Vetorial e Matricial 
 1
MATRIZES E VETORES 
 
1-)CONCEITOS BÁSICOS 
 
 Os cálculos/operações assim como conceitos envolvendo matrizes e vetores 
constituem a base dos métodos numéricos que tratam da solução de sistemas lineares e não 
lineares de equações algébricas ou diferenciais. A representação destes sistemas em termos 
matriciais/vetoriais é extremamente mais compacta e é corrente na literatura técnica. Como 
visa-se neste curso apresentar os conceitos básicos deste assunto especialmente relacionados 
com aplicações em Engenharia Química, os elementos de matrizes e vetores serão em 
princípio números ou variáveis reais a não ser quando explicitamente especificados como 
complexos. 
 
 Uma matriz é um arranjo retangular de números em m linhas e n colunas, m x n, 
sendo representada como A (letras maísculas em negrito) pertencente a ℜm x n, isto é: 
A mxn∈ℜ . O elemento da linha i e coluna j de A é representado por aij (correspondente 
letra minúscula com o sub-índice ij ) ou (A)ij . A matriz completa é geralmente escrita na 
forma: A =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
a a a
a a a
a a a
n
m m mn
11 12 1n
21 22 2
1 2
"
"
# # ### #
"
 ou, 
em forma mais compacta por: ( )A = a ij com i= 1, ..., m e j=1, ...n. Se duas matrizes A e B 
apresentam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas são ditas do mesmo 
tipo. 
 Se ( )A = a ij é tal que aij = 0 para todo i e j então a matriz A é dita nula e é 
representada por 0. 
 Se n=m a matriz A é dita quadrada. 
 Se n=m e a aij ji= para i,j = 1, ... n a matriz quadrada A é dita simétrica. 
 
Se n=1 tem-se um vetor coluna ou simplesmente vetor designado por v (letra minúscula em 
negrito) e representado por: v =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
∈ℜ
v
v
vm
m
1
2
# 
Se m=1 tem-se um vetor linha designado por vT (letra minúscula em negrito com o sobre-
índice T de transposto) e representada por: ( )v T nv v v= ∈ℜ1 2 1xn" 
Se m=n=1 tem-se um escalar (real) α (letra minúscula grega), ou seja: α ∈ℜ . 
A matriz A mxn∈ℜ pode ser parcionada por: 
a-) Colunas na forma: 
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 2
 ( )A a a a1 n= 2 # onde a j =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ∈ℜ
a
a
a
j
j
mj
m
1
2
# para j = 1, ... , n são os n vetores 
colunas da matriz A; 
 
b-) Linhas na forma: 
 A
a
a
a
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
2
T
T
m
T
# onde ( )a iT i i ina a a= ∈ℜ1 2 1xn" para i = 1, ... , m são os m vetores 
linhas da matriz A. 
 
2) OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES 
 
 As operações de adição ou subtração são definidas apenas para matrizes do mesmo 
tipo, assim se A e B são matrizes (m x n ) então a matriz C , também (m x n ) , soma ou 
subtração de A com B, representada por C = A ± B, tem como termo geral : 
cij = aij ± bij para i = 1, ... , m e j = 1, ... , n . 
 Se α é um escalar qualquer, a matriz αA é uma matriz cujo termo geral é αaij. 
 A operação de multiplicação de matrizes está intimamente relacionada a 
transformações de coordenadas. Assim sejam as seguintes transformações lineares : 
 z a yi ij j
j
n
=
=
∑
1
 para i = 1, ..., m e y b xj jk k
k
p
=
=
∑
1
para j = 1, ..., m., 
expressando zi em temos de xk , por substituição tem-se: 
 z a b x a b xi ij jk k
k
p
j
n
ij jk
j
n
k
p
k= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅== ==∑∑ ∑∑11 11 
definindo: c a bik ij jk
j
n
= ⋅
=
∑
1
 tem-se: z c xi ik
k
m
k= ⋅
=
∑
1
, o que induz à definição da matriz: 
C A B= ⋅ onde A é (m,n) , B é (n,p) e C é (m,p) que apresenta como termo geral: 
c a bik ij jk
j
n
= ⋅
=
∑
1
 para i = 1, ..., m e k = 1, ..., p. Verificando-se assim que a operação A B⋅ 
só é definida se o número de colunas de A (primeira parcela do produto) for igual ao 
número de linhas de B (segunda parcela do produto). É importante ressaltar que a lei de 
comutatividade não é satisfeita pelo produto entre matrizes, mesmo que B A⋅ seja definida , 
isto é m=p e mesmo que B A⋅ seja do mesmo tipo que A B⋅ , o que só ocorrerá se m=p=n 
(isto é ambas as matrizes são quadradas e de mesma dimensão), assim de uma forma geral 
tem-se: A B B A⋅ ≠ ⋅ . 
 Se a primeira parcela do produto é um vetor linha uT (1,n) e a segunda parcela é um 
vetor coluna v (n,1) então o produto u vT ⋅ é um escalar : u vT ⋅ = ⋅
=
∑ u vj j
j
n
1
 que é 
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 3
comutável, isto é u v v uT T⋅ = ⋅ . Este produto é chamado de produto escalar de dois 
vetores. 
 Se A é uma matriz (m,n) e v um vetor (n,1) então o produto A v⋅ é um vetor u 
(m,1) cujo termo geral é: ∑
=
=
n
j
jiji vau
1
 para i = 1, ..., m. Este produto pode ser efetuado de 
duas formas distintas: 
(a) por linhas (método ij) considerando a partição por linhas da matriz A, isto é: A
a
a
a
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
2
T
T
m
T
# , 
então: 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
=⋅
va
va
va
vA
T
m
T
T
#
2
1
, e o elemento i de u [ ui ] é dado por ui i
T= ⋅a v para i = 1, ..., m, 
que é o produto escalar do vetor composto pelos elementos da linha i da matriz A com o 
vetor u. 
(b) por colunas (método ji): considerando a partição por colunas de A, isto é : 
( )A a a a1 n= 2 # , então: 
( )u A v a a a a a a a1 n 1= ⋅ = ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅
=
∑2
1
2
1 2 2
1
# # "
v
v
v
v v v v
n
n n i i
i
n
, isto é o vetor u 
é uma combinação linear dos vetores coluna de A sendo os coeficientes desta combinação 
os elementos do vetor v. 
Exemplo Ilustrativo A v=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2
3 4
5 6
7
8
 , 
(a)método ij: ( ) ( )u1 21 2 78 1 7 2 8 23 3 4
7
8
3 7 4 8 53= ⋅ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ + ⋅ = = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ + ⋅ = ; u e 
( )u3 5 6 78 5 7 6 8 83= ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ + ⋅ = , logo: u =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
23
53
83
 
(b) método ji: u = ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ + ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟7
1
3
5
8
2
4
6
23
53
83
. 
 A designação dos métodos como ij e como ji deve-se à forma como os loops de 
programação são efetuados, assim no primeiro método tem-se o seguinte fluxograma: 
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Especificação de m e n
a e vij j
u = 0 
i
para i= 1,...., m e j=1,.....,n
i : m
i > m 
PARE
i < m_
 j = j + 1
_
j : n
j < n
u = u + a vi i
j > n 
loop
externo
loop
interno
i = 1
i = i +1
j = 1
ij j
 
Note que neste caso o loop externo é em i (linha)e o loop interno é em j (coluna). 
O segundo método é descrito pelo fluxograma: 
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Especificação de m e n
a e vij j
u = 0 
i
para i= 1,...., m e j=1,.....,n
i > m 
PARE
i < m_
_j < n
j > n 
loop
externo
loop
interno
j=1
u = u + v a
i i j ij
i = i + 1
i : m
i = 1
j : n
j = j + 1
 
 
Note que neste caso o loop externo é em j (coluna)e o loop internoé em i (linha) 
 Estes métodos podem também ser ilustrados acompanhando passo a passo o 
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Exemplo Ilustrativo anterior segundo cada um dos algoritmos. 
Método ij 
i 1 1 2 2 3 3 
j 1 2 1 2 1 2 
u1 7 23 23 23 23 23 
u2 0 0 21 53 53 53 
u3 0 0 0 0 35 83 
 
Método ji 
j 1 1 1 2 2 2 
i 1 2 3 1 2 3 
u1 7 7 7 23 23 23 
u2 0 21 21 21 53 53 
u3 0 0 35 35 35 83 
 A operação de transposição de uma matriz A (m,n) consiste em trocar as linhas 
pelas colunas de A, esta nova matriz é chamada de matriz transposta de A , representada 
por AT, e é uma matriz (n,m) cujo termo da linha j e coluna i é a aji
T
ij= para j = 1, ... , n e i 
= 1, ... , m . Se a matriz A é simétrica então : A = AT. 
 
 As propriedades que serão descritas a seguir aplicam-se exclusivamente a matriz 
quadradas (n,n) e a vetores coluna (n,1) e a vetores linha (1,n). 
 Define-se como matriz unitária ou matriz identidade a matriz I cujo elemento geral 
é: ( )I ij ij= = ≠
⎧⎨⎩
δ 1 apenas se i = j
0 sempre que i j
, onde δij é chamado de delta de Krönecker, deste modo 
a matriz identidade é uma matriz diagonal cujos termos da diagonal são todos unitários, 
assim: I =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 0 0
0 1 0
0 0 1
"
"
# # ### #
"
, entendendo-se como matriz diagonal uma matriz quadrada em 
que apenas os elementos da diagonal (também chamada de diagonal principal) são não 
nulos, geralmente uma matriz diagonal D =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
d
d
dn
1
2
0 0
0 0
0 0
"
"
# # ### #
"
 é representada na forma mais 
compacta: ( )D = diag d d dn1 2 " . 
Note que toda matriz diagonal é simétrica. 
 
 Uma propriedade muito importante da matriz identidade é: I A A I A⋅ = ⋅ = , isto é, a 
matriz identidade pré-multiplicada ou pós-multiplicada por qualquer matriz quadrada de 
mesma dimensão não altera o valor de elemento algum desta matriz. 
 Uma matriz diagonal é um caso particular de matrizes dita esparsas, que são 
matrizes que apresentam um grande número de elementos nulos, sendo os elementos não 
nulos mais a exceção do que a regra. Algumas destas matrizes são apresentadas abaixo: 
1-)matrizes tri-diagonais são matrizes que apresentam apenas os elementos da diagonal, os 
elementos sobre a diagonal e o elementos sob a diagonal não nulos, sendo os demais nulos, 
assim se A é uma matriz tridiagonal então: 
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aij =
≠
≠
≠
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
0 se i = j - diagonal
0 se i = j +1 (para i = 2,...,n) - sob a diagonal
0 se i = j - 1 (para i = 1,...,n -1) - sobre a diagonal
= 0 em qualquer outro caso
 
2-) matrizes bi-diagonais são matrizes que apresentam apenas os elementos da diagonal e os 
elementos sobre a diagonal ou sob a diagonal não nulos, no primeiro caso diz-se qua a 
matriz é bi- diagonal superior e no segundo caso bi-diagonal inferior. 
3-) matrizes triangulares são matrizes que apresentam todos os elemento sob (ou sobre) a 
diagonal nulos, sendo neste caso chamada de matriz triangular superior ou matriz U(ou 
triangular inferior ou matriz L), assim: 
( )U ij = 0 se i > j e ( )L ij = 0 se j > i . 
 Algumas vezes para evitar ambigüidades representa-se a matriz identidade de 
dimensão n por In. 
 O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos de sua diagonal, isto é: 
 ( )tr aii
i
n
A =
=
∑
1
. 
 Uma matriz quadrada A é dita positiva definida se x A xT ⋅ ⋅ > 0 para todo vetor x 0≠ 
(isto é não nulo), caso x A xT ⋅ ⋅ ≥ 0 a matriz A é dita positiva semi-definida e se x A xT ⋅ ⋅ ≥ 0 
para alguns vetores x 0≠ e se x A xT ⋅ ⋅ < 0 para algum vetor x 0≠ a matriz A é dita não-
definida. Além disto , A é dita negativa definida se x A xT ⋅ ⋅ < 0 para todo vetor x 0≠ e é dita 
negativa semi-definida caso x A xT ⋅ ⋅ ≤ 0 . 
 
 O determinante de uma matriz A é um escalar obtido através da soma de todos os 
produtos possíveis envolvendo um elemento de cada linha e cada coluna da matriz, com o 
sinal positivo ou negativo conforme o número de permutações dos índices seja par ou 
ímpar. Sua obtenção e sua representação, apesar de ser um dos conceitos mais preliminares 
envolvendo matrizes, não são tarefas triviais e o conceito de determinante será utilizado 
nestas notas apenas como base de outras propriedades de matrizes quadradas. Assim, o 
determinante de A designado por det(A) pode ser representado por: 
( )det ,i ,iA = ± ⋅ ⋅ ⋅∑ a1,i1 a a n n2 2 " , ou então através do conceito de cofator do elemento ij da 
matriz A (representado por Aij)que é o determinante da matriz obtida cancelando a linha i e 
a coluna j da matriz A com o sinal mais ou menos conforme i+j seja par ou ímpar, assim: ( )A ij i j ij= − ⋅+( ) det1 Λ onde Λ ij é matriz quadrada (n-1,n-1) obtida pela eliminação da linha i 
e a coluna j de A.. Tem-se então: 
( )det A = ⋅
=
∑ a Aij ij
j
n
1
 
(expansão do determinante pela linha i), 
( )det A = ⋅
=
∑ a Aij ij
i
n
1
 
(expansão do determinante pela coluna j). 
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Além disto : a Aij kj
j
n
⋅ ≡ ≠
=
∑
1
0 se k i (pois eqüivale a dizer que a matriz A 
apresenta duas linhas iguais, no caso as linhas i e k ); e a Aij ik
i
n
⋅ ≡ ≠
=
∑
1
0 se k j 
(pois eqüivale a dizer que a matriz A apresenta duas colunas iguais, no caso 
as colunas j e k. 
 Na prática entretanto é praticamente impossível calcular o 
determinante de matrizes através destas regras gerais por envolver um 
número muito grande de termos [ na realidade n!, assim mesmo com 
matrizes relativamente pequenas como com n=10 tem-se 3 milhões de 
termos]. Felizmente, para os nossos propósitos, apenas as regras a seguir 
serão suficientes: 
c O determinante de uma matriz A mantém-se inalterado se somar-se a 
todos os elementos de qualquer linha ( ou coluna) os correspondentes 
elementos de uma outra linha (ou coluna) multiplicados pela mesma 
constante α; 
 
dse aij é o único elemento não nulo da linha i ou da coluna j então: ( )det A = ⋅a Aij ij ; 
 
ese A = ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
a b
c d
 então : det( )A = = ⋅ − ⋅a b
c d
a d b c . 
 
 Da regra c verifica-se que se det(A) = 0 então A apresenta duas 
linhas (ou colunas) proporcionais entre si, ou ainda, de uma forma mais 
geral, pode-se afirmar que uma linha (ou coluna) de A pode ser escrita como 
combinação linear de alguma ou algumas linhas (ou colunas) da mesma 
matriz. Da regra d demonstra-se que se A for uma matriz triangular então 
det(A) é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal (note que o 
mesmo vale para matrizes bi-diagonais que são também matrizes 
triangulares). 
 Se det(A) = 0 diz-se que a matriz A é singular, e caso det(A) ≠ 0 
então A é dita regular. 
 Se C A B= ⋅ então det(C) = det(A). det (B). 
 Se B=AT então det(B)= det(A), isto é det (AT) = det (A) 
 A matriz adjunta de uma matriz A é a matriz transposta da matriz 
obtida substituindo cada elemento da matriz A pelo seu correspondente 
cofator, isto é se à é a matriz adjunta de A então o elemento da linha i e 
coluna j de à é Aji. A propriedade mais importante da matriz adjunta diz 
respeito aos produtos: P=A Ã e Q=Ã A o primeiro produto tem com 
termo geral: p a a a Aij ik kj
k
n
ik kj
k
n
ij= ⋅ = ⋅ =
= =
∑ ∑~ det( )
1 1
Α δ 
e o segundo produto: q a a A aij ik kj
k
n
ki kj
k
n
ij= ⋅ = ⋅ =
= =
∑ ∑~ det( )
1 1
Α δ , assim: 
A A A A A I⋅ = ⋅ =~ ~ det( ) . Deste modo se det (A) ≠ 0 (A é regular) define-se: 
A
A
A− = ⋅1 1
det( )
~ a chamada inversa de A que tem como propriedade:PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA/COPPE/UFRJ 
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A A A A I⋅ = ⋅ =− −1 1 que existe apenas se det (A) ≠ 0. Note que 
( ) ( )det detA A− =1 1 
Exemplo Ilustrativo: Considere a seguinte matriz (2x2): 
A = ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
a b
c d
, assim, seus cofatores são: A d ; c
A b ; a
11
21
= = −
= − =
⎧⎨⎩
 A
 A
12
22
 , permitindo 
determinar a matriz adjunta: ~A = −−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
d b
c a
, note que: 
A A A A A I A⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−~ ~ ( ) det( )
( )
a d b c
a d b c
d b
c a
1 0
0 1
11 , isto 
é, para determinar a inversa de uma matriz (2x2) basta trocar os elementos 
da diagonal principal, trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária e 
dividir a matriz resultante pelo determinante da matriz original. 
 
Se A A− =1 T , isto é a inversa da matriz é igual a sua transposta, então a 
matriz A é chamada de matriz ortogonal., e neste caso o det(A) = +1 ou -1 . 
Exemplo Ilustrativo - Considere a mudança de coordenadas em ℜ2 
resultante da simples rotação dos eixos, conforme mostrado abaixo: 
 
x
x
1
2
y1
y
2
θ
P
v1
u1
v
u
2
2
O
r
α
θ
 
 
 
vê-se da figura acima que no sistema original (x1 , x 2 ) : v1 = r cos(α) e : v2 
= r sen(α), o vetor OP faz um ângulo igual a θ - α com o eixo y1 e projeta-
se na porção negativa do eixo y2, assim: ( )
( )
u r r r sen sen
u r sen r sen r sen
1
2
= ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= − ⋅ − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⎧⎨⎩
cos cos cos
cos cos
θ α θ α θ α
θ α θ α θ α ou seja: 
u v sen v
u sen v v
1 1 2
2 1 2
= ⋅ + ⋅
= − ⋅ + ⋅
⎧⎨⎩
cos
cos
θ θ
θ θ ou, em termos matriciais : 
u
u
sen
sen
v
v
1
2
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
cos
θ θ
θ θ , identificando a matriz da transformação : 
T T= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⇒ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
cos
cos
cos
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
sen
sen
sen
sen
T , tem-se: 
 T T⋅ = + − +− + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
T sen sen sen
sen sen sen
cos cos cos
cos cos cos
2 2
2 2
1 0
0 1
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ e
 T TT sen sen sen
sen sen sen
⋅ = + −− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos cos cos
cos cos cos
2 2
2 2
1 0
0 1
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ . 
Verificando-se assim que a matriz T é uma matriz ortogonal. 
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 4
 É interessante verificar que os vetores coluna da matriz T são 
exatamente os componentes dos vetores e e1 = ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
0
0
12
 e no novo sistema 
de coordenadas, em acordo com a figura abaixo: 
x
x
1
2
y1
y
2
θ
O
r
e1
cos( )θ
-sen( )θ
x
x
1
2
y1
y
2
O
θ
e
2
θ
θ
cos( )
sen( )
 
 
 
3) ALGUMAS PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE 
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES 
 
 As leis de associação e de comutação são válidas para as operações 
de adição/subtração, assim: (A+B)+C = A+(B+C) e A+B = B+A. 
 
 São válidas também as leis de associação e de distribuição para a 
multiplicação, assim: (AB)C = A(BC) ; A(B+C) = AB + AC e (A+B)C = 
AC + BC 
 
 Para a matriz transposta tem-se as seguintes propriedades:(A+B)T = 
AT + BT e (AB)T = BT AT 
 e para a matriz inversa: (AB)-1 = B-1 A-1 e (A-1)T= (AT)-1 
 Um menor de ordem p de uma matriz A (n,n) é o valor do 
determinante da matriz obtida eliminando-se n-p linhas e n-p colunas da 
matriz A. Se uma matriz A apresenta a propriedade de todos os menores de 
ordem (r + 1 ) serem nulos e de pelo menos um menor de ordem r ser não 
nulo então diz-se que a matriz A é de posto (rank) r . Note que todo matriz 
quadrada (n,n) regular ( ou não singular) apresenta o posto igual a n. 
 
 Um conjunto de n vetores u1, u2, ..., un com n elementos é dito 
linearmente independente se os únicos valores de c1 , c2 , ....cn tais que: c1 
u1+c2 u2+ ....+cn un= 0 são:c1 =c2 = ...=cn = 0. Neste caso os vetores u1, u2, 
..., un formam uma base de ℜn e todo vetor deste espaço de dimensão n 
(que é o numero máximo de vetores linearmente independentes que pode 
existir neste espaço, que também é igual ao número de elementos destes 
vetores) pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores da 
base, os coeficientes desta combinação linear são os componentes do vetor 
nesta base. Os componentes de um vetor qualquer do ℜn apenas 
confundem-se com seus elementos quando adota-se a base canônica do ℜn, 
que é a base composta pelos vetores unitários ei cujo único elemento não 
nulo é o i’ésimo, isto é : eij = δij, desta forma os vetores coluna ou os vetores 
linha da matriz identidade I são os vetores da base canônica do ℜn. 
 
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Álgebra Vetorial e Matricial 
 5
 Em uma matriz de posto r todos seus vetores linha (ou coluna) 
podem ser escritos como uma combinação linear de r vetores linha (ou 
coluna), desta forma o posto de uma matriz é também o número máximo de 
vetores linha (ou coluna) linearmente independentes. 
 
 Uma forma de determinar o posto de uma matriz é através do 
processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aplicado aos vetores linha 
ou aos vetores coluna da matriz, este processo pode ser resumido na forma, 
sejam: v1 , v2 , ... , vn os vetores coluna (ou linha) de A, então adota-se: 
1
1
1 v
vu = 
( ) 122 uuvvu 1T2 ⋅⋅−= e 
2
2
2 u
uu ← se ε>2u 
( ) ( ) 2231333 uuvuuvvu T1T ⋅⋅−⋅⋅−= e 
3
3
3 u
uu ← se ε>3u 
...................................................................... 
( )[ ]∑−
=
⋅⋅−=
1j
1k
kkjjj uuvvu
T e 
j
j
j u
u
u ← se ε>ju 
 
para j = 2, ..., n com u1 = v1 
onde p = + + +p p pn12 22 2" (módulo de p) e ε ≈ 0. 
Encontrando-se durante este processo algum vetor uk com módulo nulo ( ou 
menor que um valor positivo pequeno ε) abandona-se este vetor e 
prossegue-se o procedimento renumerando-se os vetores subseqüentes, ao 
final do processo o número de vetores uk não nulos é igual ao posto da 
matriz. Este procedimento pode ser também aplicado a matrizes não-
quadradas. 
 
Exemplos Ilustrativos :Calcular através do processo de ortogonalização de 
Gram-Schmidt o posto de cada uma das matrizes abaixo: 
(a) 
2 3 7
4 6 2
4 0 1
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ; (b) 
−− −− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 3
2 4 1
1 2 4
5 10 6
; (c) 
−− − −− − −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 3 1
2 4 1 3
1 2 4 4
5 10 6 10
. 
(a) utilizando os vetores coluna da matriz, isto é: 
v v v1 2 3
2
4
4
3
6
0
7
2
1
= −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
−⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ; e , 
tem-se: 3 
667.0
667.0
333.0
3
T
1
T
1
1
1 =⋅=⋅⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
== vuvu
v
v
u 21 
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 6
( )
3 
 ; 
333.0
667.0
667.0
2
4
4
667.0
667.0
333.0
3
0
6
3
3
T
2
2
2
2122
−=⋅
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=←⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=⋅⋅−=
vu
u
uuuuvvu 1
T
2
 
( ) ( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=←
⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
⋅+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅⋅−⋅⋅−=
667.0
333.0
667.0
4
2
4
333.0
667.0
667.0
3
667.0
667.0
333.0
3
1
2
7
22313333
3
3
T
1
T
u
u
u
uuvuuvvu
 
como os 3 vetores u1 , u2 e u3 são não nulos o posto da matriz é igual a 3. 
utilizando os vetores linha da matriz, isto é: 
v v v1 2 3
2
3
7
4
6
2
4
0
1
= −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
−⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ; e , 
tem-se: 127.0;508.0 
889.0
381.0
254.0
3
T
1
T
1
1
1 −=⋅=⋅⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−== vuvu
v
v
u 21 
( )
866.1 
 ; 
207.0
830.0
518.0
548,1
194,6
871,3
889.0
381.0
254.0
508.0
2
6
4
3
T
2
2
2
2122
−=⋅
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=←⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅⋅−=
vu
u
u
uuuvvu 1
T
2
 
( ) ( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=←⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=⋅⋅−⋅⋅−=
408.0
408.0
816.0
5.1
5.1
3
3
3
32231333 u
u
uuuvuuvvu T1
T 
 novamente tem-se os 3 vetores u1 , u2 e u3 não nulos e o posto da matriz é 
igual a 3. 
(b) utilizando os vetores coluna da matriz, isto é: 
v v v1 2 3
1
2
1
5
2
4
2
10
3
1
4
6
=
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ; e , 
aplicando o método de Gram-Schmidt a estes vetores, chega-se a: 
 
131.0
566.0
218.0
784.0
 
0
0
0
0
 
898.0
180.0
359.0
180.0
32
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
= uuu1 
como há apenas 2 vetores não nulos, o posto desta matriz é igual a 2; 
utilizando os vetores linha da matriz, isto é : 
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 7
v v v v1 2 3 4
1
2
3
2
4
1
1
2
4
5
10
6
= −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ; ; e , 
aplicando o método de Gram-Schmidt a estes vetores, chega-se a: 
 . 
0
0
0
 e 
0
0
0
 , 
598.0
717.0
359.0
 , 
802.0
535.0
267.0
432 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
= uuuu1 
Novamente verificando-se que há apenas 2 vetores não nulos, 
reconfirmando o fato de o posto desta matriz ser igual a 2. 
(c) utilizando os vetores coluna da matriz, isto é: 
v v v v1 2 3 4
1
2
1
5
2
4
2
10
3
1
4
6
1
3
4
10
=
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ; ; e , 
aplicando o método de Gram-Schmidt a estes vetores, chega-se a: 
 
0
0
0
0
 e 
131.0
566.0
218.0
784.0
 , 
0
0
0
0
 , 
898.0
180.0
359.0
180.0
432
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
= uuuu1 
como há apenas 2 vetores não nulos, o posto desta matriz é igual a 2; 
utilizando os vetores linha da matriz, isto é : 
 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=
10
6
10
5
 e 
4
4
2
1
 ; 
3
1
4
2
; 
1
3
2
1
4321 vvvv , 
aplicando o método de Gram-Schmidt a estes vetores, chega-se a: 
 
0
0
0
0
 e 
0
0
0
0
 , 
607.0
335.0
644.0
322.0
 , 
258.0
775.
516.0
258.0
432
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
= uuuu1 
Novamente verificando-se que há apenas 2 vetores não nulos, 
reconfirmando o fato de o posto desta matriz ser igual a 2. 
 
4) VALORES CARACTERÍSTICOS E VETORES 
CARACTERÍSTICOS DE MATRIZES 
 
 Dada uma matriz A pode-se determinar um escalar λ e um vetor v tal 
que a equação: A v v⋅ = ⋅λ seja satisfeita, o escalar λ é chamado de valor 
característico ou autovalor da matriz A e v é chamado de vetor 
característico ou auto vetor de A. A equação de definição do valor e vetor 
característico pode também ser escrita na forma: 
( A I v 0− ⋅ ⋅ =λ ) , transformando-se assim em um sistema linear e 
homogêneo de equações que apresenta solução apenas se a matriz A I− ⋅λ 
for singular, isto é: 
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 8
( )det( ) detA I− ⋅ =
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= =λ
λ
λ
λ
λ
a a a
a a a
a a a
p
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
0
"
"
# # ### #
"
 que é um 
polinômio de grau n em λ chamado de polinômio característico de A cujas 
n raízes são os valores característicos ou autovalores de A. Verifica-se, pela 
expansão deste determinante, que o único termo de grau n e (n-1) em λ é o 
correspondente ao produto da diagonal principal de A I− ⋅λ , isto é : 
( ) ( ) ( )a a ann11 22− ⋅ − ⋅ −λ λ λ" sendo todos os demais termos de grau 
inferior a (n-1), além disto como p(0)=det(A) o termo independente de λ em 
p(λ) é det(A), permitindo assim concluir que 
( ) ( )( )p a a an nn n( ) det( )λ λ λ= − + + + − + + =−11 22 1 0" " A , 
multiplicando-se membro por (-1)n, tem-se: 
( ) ( )p a a an nn n n( ) det( )λ λ λ= − + + + + − =−11 22 1 1 0" " A (note que 
apesar de ter-se multiplicado membro a membro da expressão por (-1)n, 
manteve-se a notação p(λ) para designar o polinômio característico, já que o 
mesmo está igualado a zero sendo assim irrelevante seu sinal). Pela 
expressão de p(λ) deduz-se que: 
(a): λ λ λ1 2 11 22+ + = + +" "n nna a a ou seja : ( )λ i
i
n
tr=
=
∑ A
1
; 
(b): λ λ λ1 2⋅ =" n det( )A ou seja : ( )λ i
i
n
=
∏ =
1
det A ; 
(c) como p( ) det( )λ λ= − =A I 0 se A for singular tem-se det(A)=0 desta 
forma p(0)= det(A)=0, isto é se A for singular λ=0 é necessariamente valor 
característico de A. 
 Após determinados os valores característicos de A os vetores 
característicos são determinados através de : ( )A I v 0− ⋅ ⋅ =λ i i para i = 1, 
2, ..., n, porém, sabe-se que para qualquer matriz quadrada M : M adj(M) = 
det(M) I, que aplicado a M= A I− ⋅λ i e m vista de det( A I− ⋅λ i )=0, tem-
se: ( )( )A I A I 0− ⋅ ⋅ − ⋅ =λ λi iadj ou ainda: 
( )[ ]( )A I A I 0− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =λ λi te iC adj , deste modo qualquer vetor coluna 
não nulo da matriz ( )adj iA I− ⋅λ multiplicado por qualquer constante real 
é um vetor característico de A, como a matriz adjunta de uma matriz 
quadrada é obtida transpondo-se a matriz construída substituindo cada 
elemento por seu cofator, para calcular o vetor característico vi basta 
calcular os cofatores não nulos de uma linha qualquer de ( )A I− ⋅λ i 
multiplicados por uma constante real conveniente. 
 
 Pré-multiplicando a equação de definição do valor e vetor 
característicos pela matriz A tem-se: ( )A v A v2 ⋅ = ⋅ ⋅λ , mas : A v v⋅ = ⋅λ , 
assim: A v v2 2⋅ = ⋅λ , repetindo o procedimento a esta última equação tem-
se: A v v3 3⋅ = ⋅λ , e assim sucessivamente, permitindo escrever: 
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 9
A v vm m⋅ = ⋅λ para m= 1, 2, .., isto é os valores característicosde Am são 
os valores característicos de A elevados a mesma potência m e os vetores 
característicos são os mesmos. 
 
 Se a matriz A é regular admite inversa e λ=0 não é valor 
característico [ pois: p(0)=det(A) ≠0], assim da definição de valor e vetor 
característicos A v v-1 ⋅ = ⋅1λ , conclui-se que os valores característicos de A
-
1 são os recíprocos dos valores característicos de A e os vetores 
característicos são os mesmos. Desta forma a afirmação de que os valores 
característicos de Am são os valores característicos de A elevados a mesma 
potência m e os vetores característicos são os mesmos vale para todos os 
valores inteiros de m , isto é para m = 0, ±1 , ±2 , ....... 
 
 Estas últimas propriedades podem também ser aplicadas a funções 
polinomiais de A do tipo: 
q a a a am m m m m( )A A A A A I= + + + + +− − −1 1 2 2 1" , assim 
q a a a am m m m m( )A v A v A v A v A v v⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +− − −1 1 2 2 1" , e se v é um 
vetor 
 característico de A, tem-se: 
q a a a a qm m m m m( ) ( )A v v v v v v v⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅− − −λ λ λ λ λ1 1 2 2 1" , isto 
é se λ é um valor característico e v o correspondente vetor característico de 
A, então q(λ) é valor característico e v o correspondente vetor característico 
de 
q a a a am m m m m( )A A A A A I= + + + + +− − −1 1 2 2 1" 
 Pela propriedade acima e a propriedade de que : ( )λ i
i
n
tr=
=
∑ A
1
, 
tem-se que: 
( )S trr im m
i
n
= =
=
∑λ A
1
, isto é a soma da m’ésima potência dos valores 
característicos de A é igual ao traço da matriz Am. Considerando a seguinte 
expansão do polinômio característico de A: 
( )p c c c cn n n n nλ λ λ λ λ= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +− − −1 1 2 2 1" 
que pode também ser expresso pelo produto dos monômios: (λ-λi) isto é: ( ) ( ) ( )p n( )λ λ λ λ λ λ λ= − ⋅ − ⋅ −1 2 " , além disto: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dp
d n n n
( )λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ= − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − + + − ⋅ − ⋅ − =−2 1 3 1 2 1" " " "
= ( ) ( ) ( ) ( )
p p p p
n ii
n( ) ( ) ( ) ( )λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ− + − + + − = −=∑1 2 1" 
cada uma destas parcelas pode ser obtida pela divisão da forma original de 
p(λ) por (λ-λI), assim: 
( ) ( ) ( ) ( )p c c c c c ci n i n i i n i i i n
( )λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ− = + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
− − − −1
1
2
2 1
2 3
3 2 1
2 3 4
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 10
 ( )+ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +− − − − −" "c c c cn n i n i in in1 2 3 2 1 2 1λ λ λ λ para i = 1, 2, 
...,n 
assim: 
( ) ( )
dp
d
p n nc S nc c S S
ii
n
n n n( ) ( ) ( )λλ
λ
λ λ λ λ λ= − = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +=
− − −∑
1
1
1 1
2
2 1 1 2
3
 
( ) ( )nc c S c S S nc c S c S c S Sn n n n n n3 2 1 1 2 3 4 1 2 1 3 2 1 2 1+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +− − − − − −λ " "
 
subtraindo desta expressão a expressão obtida derivando diretamente a 
forma original de p(λ), isto é: ( ) ( ) ( )dp
d
n n c n c cn n n n
λ
λ λ λ λ= + − ⋅ + − ⋅ + +
− − −
−
1
1
2
2
3
11 2 " , tem-se: 
c S
c c S S
n c c S c S c S Sn n n n n
1 1
2 1 1 2
1 2 1 3 2 1 2 1
0
2 0
1 0
+ =
+ ⋅ + =
− + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =
⎧
⎨⎪
⎩⎪ − − − − −
#
"( )
, 
além disto, como: ( )p c c c ci in in in n i nλ λ λ λ λ= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =− − −1 1 2 2 1 0" 
para i = 1, 2, ...,n, tem-se também : 
nc c S c S c S Sn n n n n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =− − −1 1 2 2 1 1 0" , resultando assim em um 
sistema linear triangular cuja solução pode ser expressa na forma recursiva: 
( )
( )
( )
c S
c c S S
c
i
c S c S c S S
c
n
c S c S c S S
i i i i i
n n n n n
1 1
2 1 1 2
1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1 1
1
2
1
1
= −
= − ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
− − −
− − −
#
"
#
"
 
Este método é chamado de método de Leverrier , que determina 
recursivamente os coeficientes de p(λ) a partir do cálculo dos traços das 
sucessivas potência de A de 1 a (n). 
Exemplo Ilustrativo: Aplique o método de Leverrier para determinar o 
polinômio característico, os valores característicos e os vetores 
característico da matriz: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=
50.000.200.1
75.100.450.0
25.100.150.2
A , assim: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
=
50.400.800.3
75.600.1350.1
25.400.450.5
2A e 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=
50.1500.2600.7
25.2100.4050.3
75.1100.1350.11
3A , resultando em S1=tr(A)=-6 ; 
S2=tr(A2)=14 e S3=tr(A3)= -36. E, recursivamente: c1 = -S1=+6 ; 
( )[ ]c2 12 6 6 14 11= − ⋅ − + = e 
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Álgebra Vetorial e Matricial 
 11
( )[ ]c3 13 11 6 6 14 36 6= − ⋅ − + ⋅ − = , logo: ( )p λ λ λ λ= + ⋅ + ⋅ +3 26 11 6 , por 
inspeção verifica-se que as três raízes características são : λ1 = -1 ; λ2 = -2 e 
λ3 = -3. Para determinar os correspondentes vetores característicos assim se 
procede: 
 1o Vetor Característico: λ1 = -1, 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=+=⋅λ−
50.100.200.1
75.100.350.0
25.100.150.1
IAIA 1 , cofatores da primeira linha: -
1;-1 e 2, multiplicando estes cofatores por -1, tem-se: v 1 = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1
1
2
 
2o Vetor Característico: λ2 = -2, 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=⋅+=⋅λ−
50.200.200.1
75.100.250.0
25.100.150.0
22 IAIA , cofatores da primeira 
linha: 
 -1.5;-0.5 e +1.0, multiplicando estes cofatores por -2, tem-se: v 2
3
1
2
= −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
3o Vetor Característico: λ3 = -3, 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−
=⋅+=⋅λ−
50.300.200.1
75.100.150.0
25.100.150.0
33 IAIA , cofatores da 
segunda linha: 1 , 3 e -2, mantendo estes cofatores como elementos do 
vetor, tem-se: v 3
1
3
2
= −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
Note que : A A A I3 26 11 6
0 0 0
0 0 0
0 0 0
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ e que construindo uma 
matriz cujos vetores coluna são os vetores característicos de A, isto é: 
P = − − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 3 1
1 1 3
2 2 2
, tem-se : 
A P P D P A P D⋅ = − − −− − −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = − − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ⋅
− − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ =−
1 6 3
1 2 9
2 4 6
1 3 1
1 1 3
2 2 2
1 0 0
0 2 0
0 0 3
1 ou 
, onde 
D=diag(-1, -2, -3). 
 
 Uma propriedade muito importante de valores característicos e 
vetores característicos diz respeito a matrizes simétricas, para isto associa-
se um outro problema 
de valores e vetores característicos à mesma matriz A: 
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 12
 Determinar os valores de µ e de w que satisfazem a: w A wT T⋅ = µ 
ou, de forma análoga, A w wT ⋅ = µ (na realidade está se estudando o 
problemas dos valores e vetores característicos associado à matriz transposta 
de A)este problema pode também ser colocado na forma: ( )A I w 0T − ⋅ =µ , 
que, de forma análoga ao caso anterior, só apresenta solução se 
det( ) det( )A I A IT − = − =µ µ 0 , resultando assim no mesmo polinômio 
característico do problema anterior. Assim os valores característicos deste 
novo problema são os mesmos do problema anterior, entretanto os vetores 
característicos não são os mesmos ( a não ser que a matriz A seja simétrica), 
pois neste caso são os vetores coluna não nulos de adj(AT-λI), que são na 
realidade os vetores linha não nulos da matriz adj(A-λI) (que são os 
cofatores não nulos de uma coluna da matriz A-λI multiplicados por 
constante real conveniente). 
 Sejam vi e wj dois vetores característicos de A e AT , 
respectivamente, correspondentes a valores característicos distintos λi ≠λj , 
assim: 
 
 
A v v
w A w
i i
T
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⎧⎨⎩
λ
λ
i
j j j
T 
pré-multiplicandoa primeira expressão por w j
T , tem-se: 
w A v w vj
T
i j
T
i⋅ ⋅ = ⋅λ i , mas : 
w A wTj j j
T⋅ = ⋅λ , então : ( )⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ =λ λ λ λj i j iw v w v w vjT i jT i jT i 0 
como λi ≠λj , esta última expressão só é nula se w vjT i⋅ = 0 ,isto é os 
vetores vi e wj para i ≠ j são ortogonais entre si. 
Exemplo Ilustrativo. No exemplo anterior, tinha-se: 
1o Vetor Característico: λ1 = -1, 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=+=⋅λ−
50.100.200.1
75.100.350.0
25.100.150.1
IAIA 1 , cofatores da primeira 
coluna: -1;-1 e -2, multiplicando estes cofatores por -1, tem-se: w1 =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1
1
2
 
2o Vetor Característico: λ2 = -2, 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=⋅+=⋅λ−
50.200.200.1
75.100.250.0
25.100.150.0
22 IAIA , cofatores da 
primeira coluna: 
 -1.5; 0 e –0.75, multiplicando estes cofatores por -4/3, tem-se: w 2
2
0
1
= ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
3o Vetor Característico: λ3 = -3, 
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 13
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−
=⋅+=⋅λ−
50.300.200.1
75.100.150.0
25.100.150.0
33 IAIA , cofatores da 
segunda coluna: 0, 3 e 1.5, dividindo estes cofatores por 1.5, tem-se: 
w 3
0
2
1
= ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
Note que: w v w v w v1
T
1 1
T
1
T⋅ = − ⋅ = ⋅ =2 02 3 ; 
 w v w v w vT T T2 2 2 1 2 34 0⋅ = ⋅ = ⋅ = ; 
 w v w v w vT T T3 3 3 1 3 2 0⋅ = ⋅ = ⋅ =4 ; 
assim redefinindo os vetores w1 , w2 e w3 como : w1,novo = -0.5 w1 ; w2,novo = 
+0.25 w2 e w3,novo = +0.25 w3 , tem-se: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
25.0
50.0
0
 e 
25.0
00,0
50.0
 ; 
1
5.0
5.0
novo,3novo,2novo, www1 , vê-se que a matriz : 
1
T
novo,3
T
novo,2
T
novo,1
25.050.000,0
25.000.050.0
00.150.050.0
−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −−−
=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= P
w
w
w
Q , pois : Q P I⋅ = 
 
 No caso particular de A ser simétrica como vi = wi para todo i tem-se 
os vetores característicos mutuamente ortogonais entre si, isto é v vj
T
i⋅ = 0 
para i ≠ j, se além disto v i ≡ 1 (vetores característicos de módulo unitário) 
tem-se v vj
T
i⋅ = δ ij e matriz composta pelos vetores característicos : 
( )P v v v1 2 n= " é uma matriz ortogonal. Uma outra propriedade de 
matrizes simétricas é que só apresentam valores característicos reais, isto 
pode ser demonstrado considerando a hipótese oposta, isto é seja 
λ α βi = + ⋅ i 
um valor característico de A correspondendo a um vetor característico 
(também complexo): v a bi = + ⋅ i , como todos os elementos da matriz A 
são reais os coeficientes do polinômio característico serão também todos 
reais, desta forma se 
λ α βi = + ⋅ i é raiz de p(λ) o seu conjugado λ α βi = − ⋅ i também o será 
correspondendo a um vetor característico : v a bi = − ⋅ i , demonstrou-se 
entretanto que em matrizes simétricas vi = wi e que de forma geral ( )λ λj i− ⋅ =w vjT i 0 para: λi ≠λj, que no caso de matrizes simétricas será: 
( )λ λj i− ⋅ =v vjT i 0 , adotando nesta expressão λ λj i= e v vj = i , tem-se: 
λ λ βj i− = ⋅2 i e v v a a b b a bjT i T T⋅ = ⋅ + ⋅ = +2 2 , assim: 
( ) ( )λ λ βj i− ⋅ = ⋅ + ⋅ =v v a bjT i 2 02 2 i , como a b2 2 0+ > tem-se 
necessariamente: 
β≡0 o que contradiz a hipótese inicial da matriz admitir um valor 
característico complexo. 
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 14
 
Exemplo Ilustrativo: Determine o polinômio característico, os valores 
característicos e os vetores característico da matriz: 
A = −− −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 1 2
1 2 0
2 0 1
, assim: A 2
6 3 0
3 5 2
0 2 5
= −− −−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ e 
A 3
9 12 12
12 13 4
12 4 5
= −− −− −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ , resultando em S1=tr(A)=-2 ; S2=tr(A2)=16 e 
S3=tr(A3)= 17. E, recursivamente: c1 = -S1=-2 ; [ ]c2 12 2 2 16 6= − − ⋅ + = − e 
[ ]c3 13 6 2 2 16 17 9= − − ⋅ − ⋅ + = , logo: ( )p λ λ λ λ= − ⋅ − ⋅ +3 22 6 9 , por 
inspeção verifica-se que: λ1 = 3 é raiz de p(λ), assim: 
λ λ λ
λ λ λ
3 2
22 6 9
3
3− ⋅ − ⋅ +− = + − cujas raízes 
sãoλ λ2 313 12
13 1
2
= − = − +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ e . Para determinar os correspondentes 
vetores característicos assim procede-se: 
 1o Vetor Característico: λ1 = +3, 
A I A I1− ⋅ = − =
− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟λ 3
2 1 2
1 1 0
2 0 4
, cofatores da primeira linha: +4; -4 e 
+2, dividindo estes cofatores por +2, tem-se: v 1 = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
2
1
 
2o Vetor Característico: λ 2 13 12=
− , 
A I A I− ⋅ = − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ =
− −
− −
− +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
λ 2 13 12
3 13
2
1 2
1 5 13
2
0
2 0 1 13
2
, 
cofatores da terceira linha: 13 5− ; -2 e 6 2 13− , mantendo estes 
cofatores como os elementos do vetor característico, tem-se: 
v 2
13 5
2
6 2 13
= −−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
3o Vetor Característico: 
 
λ 3 13 12= −
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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 15
A I A I− ⋅ = + +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ =
+ −
− +
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
λ 3 13 12
3 13
2
1 2
1 5 13
2
0
2 0 13 1
2
, cofatores 
da terceira linha: ( )− +5 13 ; -2 e 6 2 13+ , mantendo estes cofatores 
como os elementos do vetor característico, tem-se: 
( )
v 3
5 13
2
6 2 13
=
− +
−
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
 
Note que : A A A I3 22 6 9
0 0 0
0 0 0
0 0 0
− ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
e que v 1
T
1 1
T
1
Tv v v v v⋅ = ⋅ = ⋅ =9 02 3 ; 
 v v v v v vT T T2 2 2 1 2 37 411257 0⋅ = ⋅ = ⋅ =, ; 
 v v v v v vT T T3 3 3 1 3 2252 588743 0⋅ = ⋅ = ⋅ =, ; 
assim redefinindo os vetores v 1 , v 2 e v 3 como : 
 
831.0
126.0
542.0
 e 
445.0
735.0
512.0
; 
333.0
667.0
667.0
3
3
novo,3
2
2
novo,2novo, ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
==
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−==
v
v
v
v
vv
v
vv
1
1
1
, vê-se que a matriz : 
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
==
831.0445.0333.0
126.0735.0667.0
542.0512.0667.0
novo,31novo,2novo,1 vvvP , é ortogonal 
pois : P P P P IT T⋅ = ⋅ = 
 Uma outra propriedade importante relativa a valores característicos 
de matrizes diz respeito à sua invariância à seguinte transformação da 
matriz A: P-1AP onde P é uma matriz não singular, assim seja B= P-1AP os 
valores característicos de B são as raízes de 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]p λ λ λ λ= − = ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =− −det det detB I P A P I P A I P1 1 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = det det det det det det detP A I P P A I P A I1− ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = −λ λ λ1
 
mantendo-se assim idêntico ao polinômio característico de A, desta forma 
os valores característicos de A e de B=P-1AP são os mesmos. Entretanto os 
vetores característicos de A e B são distintos, assim sejam vi e ui os vetores 
característicos de A e B, respectivamente, correspondentes ao mesmo valor 
característico λi , isto é: 
A v v⋅ = ⋅i i iλ e B u u⋅ = ⋅i i iλ ou seja: P A P u u− ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 i i iλ , pré-
multiplicando membro a membro desta última expressão por P, tem-se: 
A P u P u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) ( )i i iλ que confrontado com a definição de vetor 
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característico de A permite concluir que v P ui = ⋅ i ou u P vi = ⋅−1 i , isto 
pode ser interpretando como uma mudança de coordenadas , assim os 
elementos do vetor ui nada mais são que os componentes do vetor vi na base 
composta pelos vetorescoluna da matriz P. 
 
Exemplo Ilustrativo: Em exemplo anterior determinaram-se os valores e 
vetores característicos da matriz: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=
50.000.200.1
75.100.450.0
25.100.150.2
A , mostre que 
a transformação: 
B=P-1AP com P = − − −−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 2 1
1 4 3
1 1 3
 não modifica os valores característicos 
de A e os novos vetores característicos são u P vi = ⋅−1 i . 
Invertendo a matriz P, tem-se: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=−
0.15.15.2
0.10.20.3
0.15.25.4
1P , assim: 
B=P-1AP
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
25.275.875.5
75.025.1425.8
50.250.1750.10
; 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=
75.275.4375.24
25.825.6525.35
50.750.8750.48
2B e 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
25.3525.16625.85
75.5775.24075.120
50.7250.33250.169
3B resultando em S1=tr(B)=-6 ; S2=tr(B
2)=14 
e S3=tr(B3)= -36. E, recursivamente: c1 = -S1=+6 ; 
( )[ ]c2 12 6 6 14 11= − ⋅ − + = e 
( )[ ]c3 13 11 6 6 14 36 6= − ⋅ − + ⋅ − = , logo: ( )p λ λ λ λ= + ⋅ + ⋅ +3 26 11 6 , 
idêntico ao polinômio característico de A , desta forma os valores 
característicos mantém-se inalterados. 
Para determinar os correspondentes vetores característicos assim procede-
se: 
1o Vetor Característico: λ1 = -1, 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=+=⋅λ−
25.175.875.5
75.025.1325.8
50.250.1750.11
IBIB 1 , cofatores da primeira linha: +10; -6 
e +4, dividindo estes cofatores por +2, tem-se: u1 = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
5
3
2
 logo : 
P u v1 1⋅ = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
1
1
2
 
2o Vetor Característico: λ2 = -2, 
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⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=⋅+=⋅λ−
25.075.875.5
75.025.1225.8
50.250.1750.12
22 IBIB , cofatores da primeira linha –3.5 
;+2.25 e –1.75, multiplicando estes cofatores por -4, tem-se: u2
14
9
7
= −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
logo: P u v⋅ = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =2 2
3
1
2
 
3o Vetor Característico: λ3 = -3, 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=⋅+=⋅λ−
75.075.875.5
75.025.1125.8
50.250.1750.13
33 IBIB , cofatores da primeira linha: -15 ; 
+10.5 e –7.5, multiplicando estes cofatores por -2/3, tem-se: 
u3
10
7
5
= −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ logo: P u v⋅ = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =3 3
1
3
2
 
1-5) FORMA CANÔNICA DE MATRIZES 
 À toda matriz quadrada A associa-se a transformação linear 
u A v= ⋅ , onde A (n,n) , v un n∈ℜ ∈ℜ e , reexpressando os vetores v e u 
em uma base composta pelos n vetores linearmente independentes : 
p p p1 2 n, , , " , tem-se: v P v u P u= ⋅ = ⋅� � e , onde: ( )P p p p1 2 n= " , �v e �u são os componentes de u e v na nova base, 
assim: 
P u A P v u P A P v1⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅−� � � ( . ) � , permitindo interpretar a matriz: 
� .A P A P1= ⋅− como os componentes de A na nova base p p p1 2 n, , , " . 
Este procedimento consiste em uma transformação de coordenadas 
podendo assim ser resumido: um vetor v n∈ℜ tem como componentes em 
uma base formada pelos n vetores linearmente independentes : 
p p p1 2 n, , , " , os elementos de �v relacionados com os elementos de v 
através de : v P v v P v= ⋅ = ⋅−� � ou 1 , onde: ( )P p p p1 2 n= " e uma 
matriz A n∈ℜ xn tem como componentes em uma base formada pelos n 
vetores linearmente independentes : p p p1 2 n, , , " , os elementos de 
�A relacionados com os elementos de A através de 
� . . �A P A P A P A P1= ⋅ = ⋅− − ou 1 . 
 Uma propriedade importante da transformação de coordenadas diz 
respeito à potências da matriz A, assim tem-se : 
 ( ) ( )� . . .A P A P P A P P A P1 1 12 2= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − − e 
( ) ( )� � � . . .A A A P A P P A P P A P1 1 13 2 2 3= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − − , e assim 
sucessivamente, permitindo concluir que: 
� . . �A P A P A P A P1m m m m= ⋅ = ⋅− − ou 1 , para m =0, 1, 2, .... Se a matriz A 
for regular tem-se : A P A P P P A P A P− − − − − − − −= ⋅ = ⋅ ⋅1 1 1 1 1 1 1 1( . � ) ( ) ( . � ) . � e 
� .A P A P− − −= ⋅1 1 1 , assim para A regular tem-se: 
� . . �A P A P A P A P1m m m m= ⋅ = ⋅− − ou 1 , para m =0, ±1, ±2, ..... 
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Álgebra Vetorial e Matricial 
 18
 Esta mesma propriedade pode ser aplicada a funções polinomiais de 
A do tipo: 
p a a a am m m m m( )A A A A A I= + + + + +− − −1 1 2 2 1" , pré-multiplicando esta 
expressão por P-1 e pós-multiplicando por P, tem-se: ( )P A P P A A A A I P P A P− − − − − −⋅ ⋅ = ⋅ + + + + + ⋅ = ⋅ ⋅ +1 1 1 1 2 2 1 1p a a a am m m m m m( ) "
 
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = + +− − − − − − −a a a a am m m m m m1 1 1 2 1 2 1 1 1 1P A P P A P P A P I A A" � �
 ( ) ( ) ( )+ + + + = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− − − −a a a p p p p pm m m2 2 1 1 1� � � ( ) � ( � )A A I A P A P A P A P A" e 
 
 A questão que se propõe agora é como selecionar a base composta 
por p p1 2, , ", p n de tal forma que a matriz A assuma sua forma mais 
simples forma canônica), duas situações se apresentam: 
i-) A matriz A apresenta n valores característicos distintos e, em 
conseqüência, n vetores 
característicos linearmente independentes, sejam estes vetores : 
p p p1 2 n, , , " , como 
A p pi i⋅ = ⋅λ i para i = 1, , n" tem-se: ( )A P p p p1⋅ = λ λ λ1 2 2 " n n , mas : 
λ
λ
λ λ λ
λ
1
1
2 2
20
0
0
0
0
0p P p P p P1 = ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ⇒# # " # ; ; ; n n
n
( )A P p p p P D1⋅ = = ⋅λ λ λ1 2 2 " n n , onde D = diag (λ1 , λ2 , ..., λn) = 
λ
λ
λ
1
2
0 0
0 0
0 0
"
"
# # ### #
" n
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
, isto é: 
3o Vetor Característico: λ3 = -3, 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−
=⋅+=⋅λ−
50.300.200.1
75.100.150.0
25.100.150.0
33 IAIA , cofatores da 
segunda linha: 1 , 3 e -2, mantendo estes cofatores como elementos do 
vetor, tem-se: v 3
1
3
2
= −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
Note que : A A A I3 26 11 6
0 0 0
0 0 0
0 0 0
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ e que construindo uma 
matriz cujos vetores coluna são os vetores característicos de A, isto é: 
P = − − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 3 1
1 1 3
2 2 2
, tem-se : 
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 19
A P P D P A P D⋅ = − − −− − −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = − − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ⋅
− − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ =−
1 6 3
1 2 9
2 4 6
1 3 1
1 1 3
2 2 2
1 0 0
0 2 0
0 0 3
1 ou 
, onde 
D=diag(-1, -2, -3). 
 
 Uma propriedade muito importante de valores característicos e 
vetores característicos diz respeito a matrizes simétricas, para isto associa-
se um outro problema 
de valores e vetores característicos à mesma matriz A: 
 Determinar os valores de µ e de w que satisfazem a: w A wT T⋅ = µ 
ou, de forma análoga, A w wT ⋅ = µ (na realidade está se estudando o 
problemas dos valores e vetores característicos associado à matriz transposta 
de A)este problema pode também ser colocado na forma: ( )A I w 0T − ⋅ =µ , 
que, de forma análoga ao caso anterior, só apresenta solução se 
det( ) det( )A I A IT − = − =µ µ 0 , resultando assim no mesmo polinômio 
característico do problema anterior. Assim os valores característicos deste 
novo problema são os mesmos do problema anterior, entretanto os vetores 
característicos não são os mesmos ( a não ser que a matriz A seja simétrica), 
pois neste caso são os vetores coluna não nulos de adj(AT-λI), que são na 
realidade os vetores linha não nulos da matriz adj(A-λI) (que são os 
cofatores não nulos de uma coluna da matriz A-λI multiplicados por 
constante real conveniente). 
 Sejam vi e wj dois vetores característicos de A eAT , 
respectivamente, correspondentes a valores característicos distintos λi ≠λj , 
assim: 
 
 
A v v
w A w
i i
T
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⎧⎨⎩
λ
λ
i
j j j
T 
pré-multiplicando a primeira expressão por w j
T , tem-se: 
w A v w vj
T
i j
T
i⋅ ⋅ = ⋅λ i , mas : 
w A wTj j j
T⋅ = ⋅λ , então : ( )⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ =λ λ λ λj i j iw v w v w vjT i jT i jT i 0 
como λi ≠λj , esta última expressão só é nula se w vjT i⋅ = 0 ,isto é os 
vetores vi e wj para i ≠ j são ortogonais entre si. 
Exemplo Ilustrativo. No exemplo anterior, tinha-se: 
1o Vetor Característico: λ1 = -1, 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=+=⋅λ−
50.100.200.1
75.100.350.0
25.100.150.1
IAIA 1 , cofatores da primeira 
coluna: -1;-1 e -2, multiplicando estes cofatores por -1, tem-se: w1 =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1
1
2
 
2o Vetor Característico: λ2 = -2, 
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 20
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=⋅+=⋅λ−
50.200.200.1
75.100.250.0
25.100.150.0
22 IAIA , cofatores da 
primeira coluna: 
 -1.5; 0 e –0.75, multiplicando estes cofatores por -4/3, tem-se: w 2
2
0
1
= ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
3o Vetor Característico: λ3 = -3, 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−
=⋅+=⋅λ−
50.300.200.1
75.100.150.0
25.100.150.0
33 IAIA , cofatores da 
segunda coluna: 0, 3 e 1.5, dividindo estes cofatores por 1.5, tem-se: 
w 3
0
2
1
= ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
Note que: w v w v w v1
T
1 1
T
1
T⋅ = − ⋅ = ⋅ =2 02 3 ; 
 w v w v w vT T T2 2 2 1 2 34 0⋅ = ⋅ = ⋅ = ; 
 w v w v w vT T T3 3 3 1 3 2 0⋅ = ⋅ = ⋅ =4 ; 
assim redefinindo os vetores w1 , w2 e w3 como : w1,novo = -0.5 w1 ; w2,novo = 
+0.25 w2 e w3,novo = +0.25 w3 , tem-se: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
25.0
50.0
0
 e 
25.0
00,0
50.0
 ; 
1
5.0
5.0
novo,3novo,2novo, www1 , vê-se que a matriz : 
1
T
novo,3
T
novo,2
T
novo,1
25.050.000,0
25.000.050.0
00.150.050.0
−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −−−
=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= P
w
w
w
Q , pois : Q P I⋅ = 
 
 No caso particular de A ser simétrica como vi = wi para todo i tem-se 
os vetores característicos mutuamente ortogonais entre si, isto é v vj
T
i⋅ = 0 
para i ≠ j, se além disto v i ≡ 1 (vetores característicos de módulo unitário) 
tem-se v vj
T
i⋅ = δ ij e matriz composta pelos vetores característicos : 
( )P v v v1 2 n= " é uma matriz ortogonal. Uma outra propriedade de 
matrizes simétricas é que só apresentam valores característicos reais, isto 
pode ser demonstrado considerando a hipótese oposta, isto é seja 
λ α βi = + ⋅ i 
um valor característico de A correspondendo a um vetor característico 
(também complexo): v a bi = + ⋅ i , como todos os elementos da matriz A 
são reais os coeficientes do polinômio característico serão também todos 
reais, desta forma se 
λ α βi = + ⋅ i é raiz de p(λ) o seu conjugado λ α βi = − ⋅ i também o será 
correspondendo a um vetor característico : v a bi = − ⋅ i , demonstrou-se 
entretanto que em matrizes simétricas vi = wi e que de forma geral 
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 21
( )λ λj i− ⋅ =w vjT i 0 para: λi ≠λj, que no caso de matrizes simétricas será: 
( )λ λj i− ⋅ =v vjT i 0 , adotando nesta expressão λ λj i= e v vj = i , tem-se: 
λ λ βj i− = ⋅2 i e v v a a b b a bjT i T T⋅ = ⋅ + ⋅ = +2 2 , assim: 
( ) ( )λ λ βj i− ⋅ = ⋅ + ⋅ =v v a bjT i 2 02 2 i , como a b2 2 0+ > tem-se 
necessariamente: 
β≡0 o que contradiz a hipótese inicial da matriz admitir um valor 
característico complexo. 
 
Exemplo Ilustrativo: Determine o polinômio característico, os valores 
característicos e os vetores característico da matriz: 
A = −− −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 1 2
1 2 0
2 0 1
, assim: A 2
6 3 0
3 5 2
0 2 5
= −− −−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ e 
A 3
9 12 12
12 13 4
12 4 5
= −− −− −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ , resultando em S1=tr(A)=-2 ; S2=tr(A2)=16 e 
S3=tr(A3)= 17. E, recursivamente: c1 = -S1=-2 ; [ ]c2 12 2 2 16 6= − − ⋅ + = − e 
[ ]c3 13 6 2 2 16 17 9= − − ⋅ − ⋅ + = , logo: ( )p λ λ λ λ= − ⋅ − ⋅ +3 22 6 9 , por 
inspeção verifica-se que: λ1 = 3 é raiz de p(λ), assim: 
λ λ λ
λ λ λ
3 2
22 6 9
3
3− ⋅ − ⋅ +− = + − cujas raízes 
sãoλ λ2 313 12
13 1
2
= − = − +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ e . Para determinar os correspondentes 
vetores característicos assim procede-se: 
 1o Vetor Característico: λ1 = +3, 
A I A I1− ⋅ = − =
− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟λ 3
2 1 2
1 1 0
2 0 4
, cofatores da primeira linha: +4; -4 e 
+2, dividindo estes cofatores por +2, tem-se: v 1 = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
2
1
 
2o Vetor Característico: λ 2 13 12=
− , 
A I A I− ⋅ = − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ =
− −
− −
− +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
λ 2 13 12
3 13
2
1 2
1 5 13
2
0
2 0 1 13
2
, 
cofatores da terceira linha: 13 5− ; -2 e 6 2 13− , mantendo estes 
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 22
cofatores como os elementos do vetor característico, tem-se: 
v 2
13 5
2
6 2 13
= −−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
3o Vetor Característico: λ 3 13 12= −
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
A I A I− ⋅ = + +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ =
+ −
− +
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
λ 3 13 12
3 13
2
1 2
1 5 13
2
0
2 0 13 1
2
, cofatores 
da terceira linha: ( )− +5 13 ; -2 e 6 2 13+ , mantendo estes cofatores 
como os elementos do vetor característico, tem-se: 
( )
v 3
5 13
2
6 2 13
=
− +
−
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
 
Note que : A A A I3 22 6 9
0 0 0
0 0 0
0 0 0
− ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
e que v 1
T
1 1
T
1
Tv v v v v⋅ = ⋅ = ⋅ =9 02 3 ; 
 v v v v v vT T T2 2 2 1 2 37 411257 0⋅ = ⋅ = ⋅ =, ; 
 v v v v v vT T T3 3 3 1 3 2252 588743 0⋅ = ⋅ = ⋅ =, ; 
assim redefinindo os vetores v 1 , v 2 e v 3 como : 
 
831.0
126.0
542.0
 e 
445.0
735.0
512.0
; 
333.0
667.0
667.0
3
3
novo,3
2
2
novo,2novo, ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
==
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−==
v
v
v
v
vv
v
vv
1
1
1
, vê-se que a matriz : 
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
==
831.0445.0333.0
126.0735.0667.0
542.0512.0667.0
novo,31novo,2novo,1 vvvP , é ortogonal 
pois : P P P P IT T⋅ = ⋅ = 
 Uma outra propriedade importante relativa a valores característicos 
de matrizes diz respeito à sua invariância à seguinte transformação da 
matriz A: P-1AP onde P é uma matriz não singular, assim seja B= P-1AP os 
valores característicos de B são as raízes de 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]p λ λ λ λ= − = ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =− −det det detB I P A P I P A I P1 1 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = det det det det det det detP A I P P A I P A I1− ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = −λ λ λ1
 
mantendo-se assim idêntico ao polinômio característico de A, desta forma 
os valores característicos de A e de B=P-1AP são os mesmos. Entretanto os 
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Álgebra Vetorial e Matricial 
 23
vetores característicos de A e B são distintos, assim sejam vi e ui os vetores 
característicos de A e B, respectivamente, correspondentes ao mesmo valor 
característico λi , isto é: 
A v v⋅ = ⋅i i iλ e B u u⋅ = ⋅i i iλ ou seja: P A P u u− ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 i i iλ , pré-
multiplicando membro a membro desta última expressão por P, tem-se: 
A P u P u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) ( )i i iλ que confrontado com a definição de vetor 
característico de A permite concluir que v P ui = ⋅ iou u P vi = ⋅−1 i , isto 
pode ser interpretando como uma mudança de coordenadas , assim os 
elementos do vetor ui nada mais são que os componentes do vetor vi na base 
composta pelos vetores coluna da matriz P. 
 
Exemplo Ilustrativo: Em exemplo anterior determinaram-se os valores e 
vetores característicos da matriz: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=
50.000.200.1
75.100.450.0
25.100.150.2
A , mostre que 
a transformação: 
B=P-1AP com P = − − −−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 2 1
1 4 3
1 1 3
 não modifica os valores característicos 
de A e os novos vetores característicos são u P vi = ⋅−1 i . 
Invertendo a matriz P, tem-se: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=−
0.15.15.2
0.10.20.3
0.15.25.4
1P , assim: 
B=P-1AP
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
25.275.875.5
75.025.1425.8
50.250.1750.10
; 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=
75.275.4375.24
25.825.6525.35
50.750.8750.48
2B e 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
25.3525.16625.85
75.5775.24075.120
50.7250.33250.169
3B resultando em S1=tr(B)=-6 ; S2=tr(B
2)=14 
e S3=tr(B3)= -36. E, recursivamente: c1 = -S1=+6 ; 
( )[ ]c2 12 6 6 14 11= − ⋅ − + = e 
( )[ ]c3 13 11 6 6 14 36 6= − ⋅ − + ⋅ − = , logo: ( )p λ λ λ λ= + ⋅ + ⋅ +3 26 11 6 , 
idêntico ao polinômio característico de A , desta forma os valores 
característicos mantém-se inalterados. 
Para determinar os correspondentes vetores característicos assim procede-
se: 
1o Vetor Característico: λ1 = -1, 
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Álgebra Vetorial e Matricial 
 24
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=+=⋅λ−
25.175.875.5
75.025.1325.8
50.250.1750.11
IBIB 1 , cofatores da primeira linha: +10; -6 
e +4, dividindo estes cofatores por +2, tem-se: u1 = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
5
3
2
 logo : 
P u v1 1⋅ = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
1
1
2
 
2o Vetor Característico: λ2 = -2, 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=⋅+=⋅λ−
25.075.875.5
75.025.1225.8
50.250.1750.12
22 IBIB , cofatores da primeira linha –3.5 
;+2.25 e –1.75, multiplicando estes cofatores por -4, tem-se: u2
14
9
7
= −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
logo: P u v⋅ = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =2 2
3
1
2
 
3o Vetor Característico: λ3 = -3, 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=⋅+=⋅λ−
75.075.875.5
75.025.1125.8
50.250.1750.13
33 IBIB , cofatores da primeira linha: -15 ; 
+10.5 e –7.5, multiplicando estes cofatores por -2/3, tem-se: 
u3
10
7
5
= −⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ logo: P u v⋅ = −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =3 3
1
3
2
 
 
1-5) FORMA CANÔNICA DE MATRIZES 
 À toda matriz quadrada A associa-se a transformação linear 
u A v= ⋅ , onde A (n,n) , v un n∈ℜ ∈ℜ e , reexpressando os vetores v e u 
em uma base composta pelos n vetores linearmente independentes : 
p p p1 2 n, , , " , tem-se: v P v u P u= ⋅ = ⋅� � e , onde: ( )P p p p1 2 n= " , �v e �u são os componentes de u e v na nova base, 
assim: 
P u A P v u P A P v1⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅−� � � ( . ) � , permitindo interpretar a matriz: 
� .A P A P1= ⋅− como os componentes de A na nova base p p p1 2 n, , , " . 
Este procedimento consiste em uma transformação de coordenadas 
podendo assim ser resumido: um vetor v n∈ℜ tem como componentes em 
uma base formada pelos n vetores linearmente independentes : 
p p p1 2 n, , , " , os elementos de �v relacionados com os elementos de v 
através de : v P v v P v= ⋅ = ⋅−� � ou 1 , onde: ( )P p p p1 2 n= " e uma 
matriz A n∈ℜ xn tem como componentes em uma base formada pelos n 
vetores linearmente independentes : p p p1 2 n, , , " , os elementos de 
�A relacionados com os elementos de A através de 
� . . �A P A P A P A P1= ⋅ = ⋅− − ou 1 . 
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 25
 Uma propriedade importante da transformação de coordenadas diz 
respeito à potências da matriz A, assim tem-se : 
 ( ) ( )� . . .A P A P P A P P A P1 1 12 2= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − − e 
( ) ( )� � � . . .A A A P A P P A P P A P1 1 13 2 2 3= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − − , e assim 
sucessivamente, permitindo concluir que: 
� . . �A P A P A P A P1m m m m= ⋅ = ⋅− − ou 1 , para m =0, 1, 2, .... Se a matriz A 
for regular tem-se : A P A P P P A P A P− − − − − − − −= ⋅ = ⋅ ⋅1 1 1 1 1 1 1 1( . � ) ( ) ( . � ) . � e 
� .A P A P− − −= ⋅1 1 1 , assim para A regular tem-se: 
� . . �A P A P A P A P1m m m m= ⋅ = ⋅− − ou 1 , para m =0, ±1, ±2, ..... 
 Esta mesma propriedade pode ser aplicada a funções polinomiais de 
A do tipo: 
p a a a am m m m m( )A A A A A I= + + + + +− − −1 1 2 2 1" , pré-multiplicando esta 
expressão por P-1 e pós-multiplicando por P, tem-se: ( )P A P P A A A A I P P A P− − − − − −⋅ ⋅ = ⋅ + + + + + ⋅ = ⋅ ⋅ +1 1 1 1 2 2 1 1p a a a am m m m m m( ) "
 
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = + +− − − − − − −a a a a am m m m m m1 1 1 2 1 2 1 1 1 1P A P P A P P A P I A A" � �
 ( ) ( ) ( )+ + + + = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− − − −a a a p p p p pm m m2 2 1 1 1� � � ( ) � ( � )A A I A P A P A P A P A" e 
 
 A questão que se propõe agora é como selecionar a base composta 
por p p1 2, , ", p n de tal forma que a matriz A assuma sua forma mais 
simples forma canônica), duas situações se apresentam: 
i-) A matriz A apresenta n valores característicos distintos e, em 
conseqüência, n vetores 
característicos linearmente independentes, sejam estes vetores : 
p p p1 2 n, , , " , como 
A p pi i⋅ = ⋅λ i para i = 1, , n" tem-se: ( )A P p p p1⋅ = λ λ λ1 2 2 " n n , mas : 
λ
λ
λ λ λ
λ
1
1
2 2
20
0
0
0
0
0p P p P p P1 = ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ⇒# # " # ; ; ; n n
n
( )A P p p p P D1⋅ = = ⋅λ λ λ1 2 2 " n n , onde D = diag (λ1 , λ2 , ..., λn) = 
λ
λ
λ
1
2
0 0
0 0
0 0
"
"
# # ### #
" n
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
, isto é: 
se A apresenta n valores característicos distintos então 
P A P D P D P A1− −⋅ = ⋅ =. . ou 1 sendo P uma matriz (n,n) cujos vetores 
colunas são os vetores característicos p p p1 2 n, , , " de A correspondentes 
aos valores característicos λ1 ,λ2 , ...λn, sendo : 
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D = diag (λ1 , λ2 , ..., λn) = 
λ
λ
λ
1
2
0 0
0 0
0 0
"
"
# # ### #
" n
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
 a forma mais simples que a 
matriz A pode assumir (no caso, a forma diagonal e o procedimento é 
chamado de diagonalização) 
Exemplo Ilustrativo: No exemplo anterior tinha-se: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=
5.00.20.1
75.10.45.0
25.10.15.2
A , e a matriz dos vetores característicos 
P = − − −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 3 1
1 1 3
2 2 2
 
Invertendo a matriz P, tem-se: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −−−
=−
25.05.00
25.005.0
15.05.0
1P , assim: 
APDPDPAP 11 =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
=⋅⋅=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=⋅⋅ −−
5.00.20.1
75.10.45.0
25.10.15.2
 e 
300
020
001
 
 
ii -) A matriz A apresenta valores característicos múltiplos e, neste caso, não 
é possível determinar n vetores característicos linearmente independentes. 
Seja o primeiro valor característico λ1 um valor característico de 
multiplicidade m sendo os (n-m) restantes distintos entre si e diferentes de 
λ1, ao valor característico λ1 associa-se um vetor característico p1 tal que : 
A p p1 1⋅ = ⋅λ1 e aos demais os vetores característicos pk que : satisfazem 
a: A p p⋅ = ⋅k k kλ para k= m+1, m+2, ....,n . Os vetores característicos p1 , 
pm+1, pm+2, ...., pn constituem a primeira coluna e as colunas m+1, m+2, ....e 
n da matriz P, para determinar as demais colunas desta matriz(colunas: 2 , 
3, ...,m) assim procede-se: 
A p p p j 1⋅ = ⋅ + −j jλ1 para j = 2, .Deste modo tem-se: 
( )A P p p p p p p p p p1 1⋅ = + + + − + +λ λ λ λ λ λ1 1 2 1 3 2 1 1 1 1" "m m m m n n
 mas: 
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
1 2
1
1 3 2
1
1 1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0p P p p P p p P p p P p P1 1=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⇒−
#
#
#
#
#
#
"
#
#
#
" # ; ; ; ; ; ;m m n n
n
 
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A P P P J⋅ = ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= ⋅
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
1
1
1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
" "
" "
" "
# # # ### # # ### #
" "
" "
" "
# # # ### # # ### #
" "
m
n
, onde J é forma 
mais simples da matriz A chamada de forma canônica de Jordan de A. 
 
Exemplo Ilustrativo: com: A = −−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
0 1 1
0 2 1
4 2 5
, tem-se : 
( ) ( ) ( )p λ λ λ λ λ λ=
−− −− −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ = − −det
1 1
0 2 1
4 2 5
2 32 assim os valores 
característicos são λ λ λ1 2 2 3= = + + e 3 
1o Vetor Característico: λ1 = +2, 
A I A I1− ⋅ = − =
− −
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟λ 2
2 1 1
0 0 1
4 2 3
, cofatores da primeira linha: +2; +4 e 
0,00, dividindo estes cofatores por +2, tem-se: p1 =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1
2
0
 
e 
( ) ( )A I p A I p p1 2 2 1− ⋅ = − =
− −
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
− + −
− +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟λ 2
2 1 1
0 0 1
4 2 3
2
4 2 3
1
2
0
21
22
23
21 22 23
23
21 22 23
p
p
p
p p p
p
p p p
 
logo : p23=2 e 
− + = + =
− = − = −
⎧⎨⎩
2 1 3
4 2 3 6
21 22 23
21 22 23
p p p
p p p em que uma das soluções é: p21=0 
e p22=3, logo: p 2
0
3
2
= ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
2o Vetor Característico: λ3 = +3, 
A I A I− ⋅ = − = − −−−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟λ 3 3
3 1 1
0 1 1
4 2 2
, cofatores da primeira linha: 0; +4 e 
+4, dividindo estes cofatores por +4, tem-se: p 3
0
1
1
= ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ , assim 
P = ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 0 0
2 3 1
0 2 1
 
 
Invertendo a matriz P, tem-se: P − = − −−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟1
1 0 0
2 1 1
4 2 3
, assim: 
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P A P J P J P A1 1− −⋅ ⋅ = ⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = ⋅ ⋅ =
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
2 1 0
0 2 0
0 0 3
0 1 1
0 2 1
4 2 5
 e 
 
6) FUNÇÕES DE MATRIZES 
 
 De forma análoga a funções analíticas de variáveis escalares que 
podem, em um certo domínio, ser expandidas em séries de potências da 
forma: 
f x c xi
i
i
( ) = ⋅
=
∞∑
0
 onde : c
i
d f x
dxi
i
i
x
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
1
0!
( ) tem-se as funções de matrizes 
que é um matriz da forma: f c i
i
i
( )A A= ⋅
=
∞∑
0
. Como exemplo tem-se a 
função exponencial de uma matriz A definida , em analogia à função ex = 
1
0 i
x i
i !
⋅
=
∞∑ , pela série: 
( )exp
!
A AA= = ⋅
=
∞∑e i ii
1
0
, note que esta função apresenta as propriedades: 
i-) exp(0) = I onde 0 é a matriz nula; 
ii-) ( )exp
!
A AAt e t
i
t
i
i
i
= = ⋅
=
∞∑
0
 onde t é um escalar, assim: 
 
( )d t
dt
it
i
t
i
t
i
i
i
i
i
i
exp
! !
exp( )
A
A A A A A= ⋅ = ⋅ =
−
=
∞
=
∞∑ ∑1
0 0
ou seja se 
( ) ( )Φ t t= exp A , tem-se: 
( )Φ 0 = I e ( ) ( )d t
dt
t
Φ Φ= ⋅A , ou seja a matriz ( )Φ t é solução da equação 
diferencial ordinária matricial 
( ) ( )d t
dt
t
Φ Φ= ⋅A , sujeita à condição inicial 
( )Φ 0 = I . 
 
 Uma forma mais simples para determinar funções de matrizes pode ser 
desenvolvida através da aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton que 
estabelece que todo a matriz quadrada A é raiz de seu polinômio 
característico, isto é se 
( )p c c c cn n n n nλ λ λ λ λ= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +− − −1 1 2 2 1" é o polinômio característico 
de A, então: 
( )p c c c cn n n n nA A A A A I 0= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ =− − −1 1 2 2 1" . A demonstração 
deste teorema pode ser feita definindo-se a matriz adjunta da matriz λI- A, 
isto é: C = adj(λI- A) que pode ser expressa na forma: 
C C C C C1= + + + +− − −λ λ λn n n n1 2 2 1" , onde Ck k= 1, 2, ...,n são matrizes do 
mesmo tipo de A, mas : (λI- A)[adj(λI- A)]=det(λI- A)I = p(λ)I, ou seja: 
( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ λ λI A C C C C I1 1− ⋅ + + + + = + + + + + ⋅− − − − − −n n n n n n n n nc c c c1 2 2 1 1 2 2 1" "
 igualando os termos eqüipotentes de λ, tem-se: 
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C I A A C A
C A C I A A C A C A
C A C I A A C A C A
C A C I A A C A C A
A C I A I A C I
1 1
2 1 1
1 1
2 1 1
1
3 2 2
2 2
3
1
2 2
2
1 1
2
1 1
0
= → ⋅⇒ ⋅ =
− ⋅ = → ⋅⇒ ⋅ − ⋅ =
− ⋅ = → ⋅⇒ ⋅ − ⋅ =
− ⋅ = → ⋅⇒ ⋅ − ⋅ =
− ⋅ = → = ⋅⇒ − ⋅ =
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
− − −
− − − −
− − − −
n n n
n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
c c
c c
c c
c c
# somando 
todos os termos após ⇒ tem-se: 
( )A A A A I A 0n n n n nc c c c p+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ = =− − −1 1 2 2 1" . 
Uma conseqüência do teorema de Cayley-Hamilton é que: 
A A A A In n n n nc c c c= − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅− − −1 1 2 2 1" , multiplicando membro a 
membro por A: 
A A A A An n n n nc c c c
+ −
−= − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅1 1 2 1 1 2" substituindo a expressão 
de An, tem-se: ( ) ( ) ( )A A A A In n n n n nc c c c c c c c c c+ − − −= − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ + ⋅1 12 2 1 1 2 3 2 1 1 1" , e 
assim sucessivamente, o que permite concluir que : 
A A A A Im n n n nd d d d= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅− − −1 1 2 2 1" para m = 0, 1, 2,..... Além 
disto se A é regular, multiplica-se membro a membro de p(A) por A-1, 
resultando em : 
A A A I A 0n n n n nc c c c
− − −
−
−+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ =1 1 2 2 3 1 1" ou seja: 
( )A A A A I− − − − −= + ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 1 2 2 3 1 - 1cn n n n nc c c" { note que cn =(-
1)ndet(A) ≠ 0 pois A é regular ou não-singular), assim sendo se A é regular: 
A A A A Im n n n nd d d d= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅− − −1 1 2 2 1" para m = 0, ±1, ±2,...... 
 A aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton à série de potências 
f c i
i
i
( )A A= ⋅
=
∞∑
0
 permite reescrevê-la na forma: f i
i
i
n
( )A A= ⋅
=
−∑α
0
1
 pois 
potências superiores à (n-1) da matriz A pode, pelo teorema de Cayley-
Hamilton, serem expressas em termos das (n-1) primeiras potências da 
matriz A, além disto de acordo com a propriedade anteriormente 
apresentada de que se λ é um valor característico e v o correspondente vetor 
característico de A, então q(λ) é valor característico e v o correspondente 
vetor característico de 
q a a a am m m m m( )A A A A A I= + + + + +− − −1 1 2 2 1" tem-se que os valores 
característicos de f(A) satisfazem a: f i
i
i
n
( )λ α λ= ⋅
=
−∑
0
1
, então para determinar 
os coeficientes αi , assim procede-se: 
(i) se os valores característicos de A são todos distintos, resolve-se o sistema 
linear de equações: α λ λi ki k
i
n
f⋅ =
=
−∑ ( )
0
1
 para k = 1, 2, ...n; 
 Se A é uma matriz (2,2), α0 , α1 é solução de : 
 
α α λ λ
α α λ λ
α λ λ λ λλ λ
α λ λλ λ
0 1 1 1
0 1 2 2
0
2 1 1 2
2 1
1
2 1
2 1
+ =
+ =
⎧⎨⎩
⇒
= −−
= −−
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
f
f
f f
f f
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 
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