Resolução Trabalho ex. 04

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Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC 
Centro Tecnológico - CTC 
Departamento de Engenharia Química e Engenharia de Alimentos - EQA 
Disciplina: EQA5312 
Professor: Ricardo Antonio Francisco Machado 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 04 
 
 
CÁLCULO DO PERFIL DE TEMPERATURA PARA 
UMA BARRA DE AÇO 304 E ALUMÍNIO 
UTILIZANDO O MÉTODO DE CRANK-NICOLSON 
EM UM SISTEMA IMPLÍCITO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acadêmicos: Fabrício Bertoli 
 Fernando Zorzo Dal Piva 
 Fernanda Lazzari 
 Miguel Angel Pérez Del Busto Júnior 
 
 
 
 
 
 
Florianópolis, 10 de Dezembro de 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES E HIPÓTESES: 
 
Para a resolução do problema as seguintes observações e hipóteses foram levadas em 
consideração: 
1. Barra de Alumínio/Aço 304 com comprimento de 10 cm; 
2. Foi considerado que as temperaturas as bordas fixas T0=100
o
C e 
T10=50
o
C e temperatura inicial da barra igual a 0ºC. 
3. A barra metálica proposta no exercício foi considerada sendo Alumínio. 
 
Ou seja, 
 
Vamos calcular o perfil de temperatura para uma barra de Alumínio e Aço 304 
com comprimento de 10 cm, empregando um ∆x=1cm e ∆t=0,5s até atingir o 
estado estacionário, utilizando o método de Crank-Nicolson num sistema implícito. 
Considere as temperaturas das bordas fixas T0=100
o
C e T10=50
o
C, temperatura 
inicial da barra de 0ºC. 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
Aplicando o método de Crank-Nicolson tomamos como base as seguintes 
equações para a montagem do sistema: 
 
     lililililili TTTTTT 1111111 1212    (1) 
 
Substituindo a equação para as extremidades, temos que: 
 Para o primeiro nó: 
 
       121121 1212   lolllolli tfTTtfTT  (2) 
 Para o último nó: 
       1111111 1212   lmlmlmlmlmlm tfTTtfTT 
 (3)
 
50ºC 100ºC 
 
0ºC 
ALGORITIMOS: 
 
 
A. BARRA DE ALUMÍNIO 
Dados: 
k´= 0,835cm²/s 
= 0,4175 
 
Com as equações 1, 2 e 3 é possível criar uma matriz tridiagonal de ordem 9, no 
Matlab, com os seguintes comandos: 
 
A=zeros(9) 
for i=1:9 
 a(i,i)=2.835 
end 
for i=1:8 
 a(i+1,i)=-0.4175 
end 
for i=1:8 
 a(i,i+1)=-0.4175 
end 
 
A matriz de resultados depende das temperaturas da iteração anterior, com isso 
criou-se um algoritmo para atingir o estado estacionário do problema citado acima, 
assumindo um erro de 0,1
o
C. Para este calculo iterativo foi criado um algoritmo no 
Matlab. Segue o programa: 
A=zeros(9) 
for i=1:9 
 A(i,i)=2.835 
end 
for i=1:8 
 A(i+1,i)=-0.4175 
end 
for i=1:8 
 A(i,i+1)=-0.4175 
end 
n=0 
for t=0 
B=[83.5;0;0;0;0;0;0;0;41.75] 
T=A\B 
a=T(1,1) 
b=T(2,1) 
c=T(3,1) 
d=T(4,1) 
e=T(5,1) 
f=T(6,1) 
g=T(7,1) 
h=T(8,1) 
i=T(9,1) 
z1=83.5+1.165*a+(0.4175*b) 
z2=0.4175*a+1.165*b+0.4175*c 
z3=0.4175*b+1.165*c+0.4175*d 
z4=0.4175*c+1.165*d+0.4175*e 
z5=0.4175*d+1.165*e+0.4175*f 
z6=0.4175*e+1.165*f+0.4175*g 
z7=0.4175*f+1.165*g+0.4175*h 
z8=0.4175*g+1.165*h+0.4175*i 
z9=41.75+1.165*i+0.4175*h 
C=[z1;z2;z3;z4;z5;z6;z7;z8;z9] 
end 
%Analise da temperatuura do ponto x=5cm a cada 0,5s, e comparando com 
a temperatura do tempo anterior 
%t=0,5s 
n=1 
u=T(5,1) 
G=A\C 
y=G(5,1) 
 while (y-u>0.1) 
 u=G(5,1) 
 a(n+1)=G(1,1) 
 b(n+1)=G(2,1) 
 c(n+1)=G(3,1) 
 d(n+1)=G(4,1) 
 e(n+1)=G(5,1) 
 f(n+1)=G(6,1) 
 g(n+1)=G(7,1) 
 h(n+1)=G(8,1) 
 i(n+1)=G(9,1) 
 z1=83.5+1.165*a(n+1)+(0.4175*b(n+1)) 
 z2=0.4175*a(n+1)+1.165*b(n+1)+0.4175*c(n+1) 
 z3=0.4175*b(n+1)+1.165*c(n+1)+0.4175*d(n+1) 
 z4=0.4175*c(n+1)+1.165*d(n+1)+0.4175*e(n+1) 
 z5=0.4175*d(n+1)+1.165*e(n+1)+0.4175*f(n+1) 
 z6=0.4175*e(n+1)+1.165*f(n+1)+0.4175*g(n+1) 
 z7=0.4175*f(n+1)+1.165*g(n+1)+0.4175*h(n+1) 
 z8=0.4175*g(n+1)+1.165*h(n+1)+0.4175*i(n+1) 
 z9=41.75+1.165*i(n+1)+0.4175*h(n+1) 
 G=[z1;z2;z3;z4;z5;z6;z7;z8;z9] 
 G=A\G 
 y=G(5,1) 
 n=n+1 
 end 
%mostrar qual foi o numero de iterações(n) e qual a temperatura para 
os pontos na iteração 
%N onde o sistema entra em estado estacionário 
 T=G 
 N=n %t=0,5n 
 
N indica o número de iterações necessárias para se atingir o estado estacionário, 
portanto como cada iteração corresponde a 0,5s, temos um tempo total de 44s. 
A matriz X corresponde aos valores das temperaturas encontradas. Com isso, 
temos que as temperaturas finais, durante o estado estacionário são: 
 
94,927; 89,86; 84,809; 79,775; 74,763; 69,775; 64,809; 59,861; 54,927 
 
 
 
 
 
 
 
A partir dessas iterações é possível plotar os seguintes gráficos: 
 
 
Gráfico 1. Temperatura do ponto na barra de alumínio versus o tempo. 
 
No Gráfico 1 podemos observar o perfil de temperatura em função da posição 
em diferentes tempos, até que se atinja o estado estacionário, em que o perfil de 
temperatura na barra se torna linear. 
x (cm) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
T(
o
C) = 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 
Observa-se que em t=0 ate t=22s tem-se um perfil parabólico, o que indica um 
estado transiente de transferência de calor e conforme o passar do tempo essa parábola 
se aproxima de um reta, indicando o estado estacionário (dT/dx=0). 
 
 
Gráfico 2. Temperatura versus tempo em diferentes pontos da barra de alumínio. 
 
O Gráfico 2 mostra o perfil de temperatura para determinadas posições da barra. 
Tem-se a partir de um determinado tempo para cada posição a temperatura 
aproximando-se de uma constante, o que indica o estado estacionário (dT/dt=0). 
 
B. AÇO 304 
k´= 0,328cm²/s 
= 0,164 
 
Com as equações 1, 2 e 3 é possível criar uma matriz tridiagonal de ordem 9, no 
Matlab, com os seguintes comandos: 
A=zeros(9) 
for i=1:9 
 A(i,i)=2.656 
end 
for i=1:8 
 A(i+1,i)=-0.164 
end 
for i=1:8 
 A(i,i+1)=-0.164 
end 
 
A matriz de resultados depende das temperaturas da iteração anterior, com isso 
criou-se um algoritmo para atingir o estado estacionário do problema. Neste programa, 
aconteceu algo inesperado, por mais que diminuíssemos o erro, o sistema não atingia o 
estado desejado, sempre ainda tendo um grande gradiente de temperaturas e um grande 
fluxo de calor a ser trocado. Portanto, fez-se o algoritmo para interpolar de acordo com 
o numero de iterações. Segue o programa: 
 
A=zeros(9) 
for i=1:9 
 A(i,i)=2.656 
end 
for i=1:8 
 A(i+1,i)=-0.164 
end 
for i=1:8 
 A(i,i+1)=-0.164 
end 
T=[53.4025;14.2614;3.8169;1.0528;0.4071;0.5808;1.9230;7.1345;26.7022] 
a=T(1,1) 
b=T(2,1) 
c=T(3,1) 
d=T(4,1) 
e=T(5,1) 
f=T(6,1) 
g=T(7,1) 
h=T(8,1) 
i=T(9,1) 
z1=65.6+1.34*a+0.164*b 
z2=0.164*a+1.34*b+0.164*c 
z3=0.164*b+1.34*c+0.164*d 
z4=0.164*c+1.34*d+0.164*e 
z5=0.164*d+1.34*e+0.164*f 
z6=0.164*e+1.34*f+0.164*g 
z7=0.164*f+1.34*g+0.164*h 
z8=0.164*g+1.34*h+0.164*i 
z9=32.8+1.34*i+0.164*h 
C=[z1;z2;z3;z4;z5;z6;z7;z8;z9] 
n=83 
G=A\C 
 while (n<3000) 
 u=G(5,1) 
 a(n+1)=G(1,1) 
 b(n+1)=G(2,1) 
 c(n+1)=G(3,1) 
 d(n+1)=G(4,1) 
 e(n+1)=G(5,1) 
 f(n+1)=G(6,1) 
 g(n+1)=G(7,1) 
 h(n+1)=G(8,1) 
 i(n+1)=G(9,1) 
z1=65.6+1.34*a(n+1)+0.164*b(n+1) 
z2=0.164*a(n+1)+1.34*b(n+1)+0.164*c(n+1) 
z3=0.164*b(n+1)+1.34*c(n+1)+0.164*d(n+1) 
z4=0.164*c(n+1)+1.34*d(n+1)+0.164*e(n+1) 
z5=0.164*d(n+1)+1.34*e(n+1)+0.164*f(n+1)z6=0.164*e(n+1)+1.34*f(n+1)+0.164*g(n+1) 
z7=0.164*f(n+1)+1.34*g(n+1)+0.164*h(n+1) 
z8=0.164*g(n+1)+1.34*h(n+1)+0.164*i(n+1) 
z9=32.8+1.34*i(n+1)+0.164*h(n+1) 
G=[z1;z2;z3;z4;z5;z6;z7;z8;z9] 
 G=A\G 
 n=n+1 
 end 
 T=G 
 N=n 
%t=0,5n (tempo para o processo ser estacionário) 
 
 A partir dessas iterações é possível plotar os seguintes gráficos: 
 
 
Gráfico 3. Temperatura do ponto na barra de aço versus o tempo 
 
Neste gráfico foi verificado que mesmo com grandes valores de tempo 
estipulados relativamente altos, através do numero de iterações N, não foi possível 
atingir o estado estacionário. Além disso, pela inclinação das curvas, é possível dizer 
que o sistema não está nem próximo de atingir o equilíbrio. 
 
 
Gráfico 4. Temperatura versus tempo em diferentes posições na barra de aço 
Com o Gráfico 4 é possível observar que após um acréscimo de temperatura 
relativamente no inicio do processo, a mesma se mantém praticamente constante por um 
longo período de tempo. 
Este comportamento descrito nos gráficos Temperatura vs posição e 
Temperatura vs tempo para aço 304 é atípico para um processo de transferência de 
calor, o que indica uma imprecisão do modelo escolhido para resolver o problema 
proposto com este tipo de material. Sugere-se o estudo de um outro modelo que possa 
descrever o caso.