Lista de Exercício de Cálculo Vetorial

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Disciplina: Cálculo Vetorial 
 
 
Lista de Exercícios 
 
 
1º) Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das funções abaixo 
 
a) f (x, y) = x
4
 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 
b) f (x, y) = x sen y 
c) f (x, y) = e
x
 (cos y – sen y) 
d) f (x, y) = x
2
e
xy
 
e) f (x, y) = 
yx
yx


 
f) f (x, y) = 
22 yx
xy

 
g) f (x, y) = ln (x
2
 + y
2
) 
h) f (r, s, t) = (1 – r2 – s2 – t2) e-rst 
i) f (x, y, z) = 1 + xy
2
 – 2z2 
j) f (x, y, z) = xy + yz + xz 
k) f (x, y, z) = (x
2
 + y
2
 + z
2
)
-1/2
 
l) f (x, y, z) = ln (x + 2y + 3z) 
m) f (x, y, z) = 
)( 222 zyxe 
 
n) f (x, y, z) = e
-xyz
 
 
2º) Mostra-se em fisica que a temperature u(x,t) no instante t, no ponto x de uma haste 
longa, isolada, disposta ao longo do eixo x, satisfaz a equação unidimensional do 
calor 
2
2
x
u
k
t
u





 (k é uma constante). 
 
Mostre que a função 
u = u(x, t) = exp (-n
2
kt) sen nx 
 
 
satisfaz a equação unidimensional do calor qualquer que seja a constante n. 
 
3º) Uma função de temperatura de estado estacionário u = u(x, y) para uma placa 
delegada, plana, verifica a equação de Laplace 
 
0
2
2
2
2






y
u
x
u
. 
 
Determine quais das seguintes funções satisfazem a equação de Laplace: 
(a) u = ln 
 22 yx 
 ; (b) u = 
22 yx 
 ; (c) u = e
-x
 sen y. 
 
4º) A lei dos gases ideais PV = nRT (n é o número de mols do gás, R é uma constante) 
determina cada uma das três variáveis das outras duas. Mostre que. 
 
1






p
T
T
V
V
p
. 
 
5º) Determine a diferencial das funções abaixo 
 
a) z = x
3
 ln(y
2
) 
b) v = y cos xy 
c) u = e
t
 sen θ 
d) u = 
)2( ts
r

 
e) w = ln 
222 zyx 
 
f) w = xye
xz
 
g) w = 3x
2
 + 4xy – 2y3 
h) w = sen xyz 
i) w = x tg yz 
 
6º) Use a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. 
 
a) z = x
2
 + xy + y
2 
, 
sz  /
e 
tz  /
 quando x = s + t , y = st 
b) z = x/y , 
sz  /
e 
tz  /
 quando x = se
t 
, y = 1 + se
-t
 
c) z = e
xy
 tg y , 
sz  /
e 
tz  /
 quando x = s + 2t , y = s/t 
d) z = sen α tg β , 
sz  /
e 
tz  /
 quando α = 3s + t , β = s – t 
e) z = x
2
 + y
3
 , x = uv
2
 + w
3
 , y = u + ve
w
 ; 
w
z
v
z
u
z






,,
 quando u = 2 , v = 1 , w = 0 
f) u = x
2
 + yz, x = pr cos θ, y = pr sen θ, z = p + r;





 u
r
u
p
u
,,
 quando p = 2, r = 3, θ = 0 
g) w = x + 2y + z
2
 ; 
s
w
r
w




,
 em termos de r e s quando x = 
s
r
 , y = r
2
 + ln s , z = 2r 
h) w = x
2
 + y
2 
; 
s
w
r
w




,
 em termos de r e s quando x = r – s , y = r + s 
7º) Verifique se as conclusões do teorema de Clairaut são verdadeiras, isto é, se 
uxy = uyx nos problemas a seguir. 
 
a) u = x sen (x + 2y) 
b) u = x
4
y
2
 – 2xy5 
c) u = ln 
22 yx 
 
d) u = xye
y 
e) u = x
2
 – 4xy + 3y2 
f) u = 2x
3
 + 5x
2
y – 6y2 + xy4 
g) u = x
2
 2ye 
h) u = e
-3x
 cos y