Geometria Analítica (vetores)

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Vetores e soma de vetores
Prof: Rafael Santos
UFPE
28/02/2018
Prof: Rafael Santos Geometria Anal´ıtica
Tipos de grandezas
Algumas grandezas ficam perfeitamente definidas por um valor nume´rico
e a unidade de medida como, por exemplo, um bloco de massa 20kg.
Entretanto existem outras grandezas que necessitam, ale´m de um
valor nume´rico e a unidade de medida, de uma direc¸a˜o e sentido
para ficar bem definidas. Podemos considerar como exemplo uma
forc¸a de 40 N aplicada em um bloco.
As grandezas que se encaixam no perfil do primeiro exemplo sa˜o
denominadas de grandezas escalares. Ja´ as que se encaixam no
perfil do segundo exemplo sa˜o denominadas de grandezas vetoriais.
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Tipos de grandezas
Algumas grandezas ficam perfeitamente definidas por um valor nume´rico
e a unidade de medida como, por exemplo, um bloco de massa 20kg.
Entretanto existem outras grandezas que necessitam, ale´m de um
valor nume´rico e a unidade de medida, de uma direc¸a˜o e sentido
para ficar bem definidas.
Podemos considerar como exemplo uma
forc¸a de 40 N aplicada em um bloco.
As grandezas que se encaixam no perfil do primeiro exemplo sa˜o
denominadas de grandezas escalares. Ja´ as que se encaixam no
perfil do segundo exemplo sa˜o denominadas de grandezas vetoriais.
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Tipos de grandezas
Algumas grandezas ficam perfeitamente definidas por um valor nume´rico
e a unidade de medida como, por exemplo, um bloco de massa 20kg.
Entretanto existem outras grandezas que necessitam, ale´m de um
valor nume´rico e a unidade de medida, de uma direc¸a˜o e sentido
para ficar bem definidas. Podemos considerar como exemplo uma
forc¸a de 40 N aplicada em um bloco.
As grandezas que se encaixam no perfil do primeiro exemplo sa˜o
denominadas de grandezas escalares. Ja´ as que se encaixam no
perfil do segundo exemplo sa˜o denominadas de grandezas vetoriais.
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Tipos de grandezas
Algumas grandezas ficam perfeitamente definidas por um valor nume´rico
e a unidade de medida como, por exemplo, um bloco de massa 20kg.
Entretanto existem outras grandezas que necessitam, ale´m de um
valor nume´rico e a unidade de medida, de uma direc¸a˜o e sentido
para ficar bem definidas. Podemos considerar como exemplo uma
forc¸a de 40 N aplicada em um bloco.
As grandezas que se encaixam no perfil do primeiro exemplo sa˜o
denominadas de grandezas escalares. Ja´ as que se encaixam no
perfil do segundo exemplo sa˜o denominadas de grandezas vetoriais.
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Tipos de grandezas
Algumas grandezas ficam perfeitamente definidas por um valor nume´rico
e a unidade de medida como, por exemplo, um bloco de massa 20kg.
Entretanto existem outras grandezas que necessitam, ale´m de um
valor nume´rico e a unidade de medida, de uma direc¸a˜o e sentido
para ficar bem definidas. Podemos considerar como exemplo uma
forc¸a de 40 N aplicada em um bloco.
As grandezas que se encaixam no perfil do primeiro exemplo sa˜o
denominadas de grandezas escalares. Ja´ as que se encaixam no
perfil do segundo exemplo sa˜o denominadas de grandezas vetoriais.
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Direc¸a˜o x Sentido
E´ comum, em situac¸o˜es informais, tratarmos direc¸a˜o e sentido como
sinoˆnimos, mas isso e´ um equ´ıvoco.
Considere as retas r1, r2 e r3 da
figura abaixo:
A reta r1 determina uma direc¸a˜o, ja´ a reta r2 determina outra direc¸a˜o
e a reta r3 determina a mesma direc¸a˜o que r1, ou seja, retas paralelas
determinam a mesma direc¸a˜o.
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Direc¸a˜o x Sentido
E´ comum, em situac¸o˜es informais, tratarmos direc¸a˜o e sentido como
sinoˆnimos, mas isso e´ um equ´ıvoco. Considere as retas r1, r2 e r3 da
figura abaixo:
A reta r1 determina uma direc¸a˜o, ja´ a reta r2 determina outra direc¸a˜o
e a reta r3 determina a mesma direc¸a˜o que r1, ou seja, retas paralelas
determinam a mesma direc¸a˜o.
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Direc¸a˜o x Sentido
E´ comum, em situac¸o˜es informais, tratarmos direc¸a˜o e sentido como
sinoˆnimos, mas isso e´ um equ´ıvoco. Considere as retas r1, r2 e r3 da
figura abaixo:
A reta r1 determina uma direc¸a˜o, ja´ a reta r2 determina outra direc¸a˜o
e a reta r3 determina a mesma direc¸a˜o que r1, ou seja, retas paralelas
determinam a mesma direc¸a˜o.
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Considere a direc¸a˜o determinada pela reta que passa pelos pontos
A e B.
O deslocamento nesta direc¸a˜o pode ocorrer de duas maneiras: no
sentido de A para B ou de B para A. Portanto a cada direc¸a˜o
podemos associar dois sentidos. Consequentemente so´ e´ poss´ıvel
falar em “mesmo sentido” ou “sentidos contra´rios” caso estejamos
diante da mesma direc¸a˜o.
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Considere a direc¸a˜o determinada pela reta que passa pelos pontos
A e B.
O deslocamento nesta direc¸a˜o pode ocorrer de duas maneiras: no
sentido de A para B ou de B para A.
Portanto a cada direc¸a˜o
podemos associar dois sentidos. Consequentemente so´ e´ poss´ıvel
falar em “mesmo sentido” ou “sentidos contra´rios” caso estejamos
diante da mesma direc¸a˜o.
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Considere a direc¸a˜o determinada pela reta que passa pelos pontos
A e B.
O deslocamento nesta direc¸a˜o pode ocorrer de duas maneiras: no
sentido de A para B ou de B para A. Portanto a cada direc¸a˜o
podemos associar dois sentidos. Consequentemente so´ e´ poss´ıvel
falar em “mesmo sentido” ou “sentidos contra´rios” caso estejamos
diante da mesma direc¸a˜o.
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Segmentos orientados
Um segmento orientado e´ um par ordenado (A,B) de pontos do
espac¸o, sendo A a origem e B a extremidade. Um segmento
orientado do tipo (A,A) e´ chamado de segmento orientado nulo.
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Os segmentos orientados (A,B) e (C ,D) sa˜o equipolentes se forem
ambos nulos, ou enta˜o, nenhum deles sendo nulo, se forem de mesma
direc¸a˜o, mesmo comprimento (ou mo´dulo) e mesmo sentido.
Indica-
se a equipoleˆncia entre (A,B) e (C ,D) por (A,B) ∼ (C ,D).
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Os segmentos orientados (A,B) e (C ,D) sa˜o equipolentes se forem
ambos nulos, ou enta˜o, nenhum deles sendo nulo, se forem de mesma
direc¸a˜o, mesmo comprimento (ou mo´dulo) e mesmo sentido. Indica-
se a equipoleˆncia entre (A,B) e (C ,D) por (A,B) ∼ (C ,D).
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Vetor
Dado um segmento orientado (A,B), a classe de equivaleˆncia de
(A,B) e´ o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a
(A,B).
O segmento orientado (A,B) e´ chamado de representante
da classe. Um vetor e´ uma classe de equipoleˆncia de segmentos
orientados.
Todos os segmentos orientados da figura representam o mesmo ve-
tor. Representamos o vetor da figura por
−→
AB ou usando letras
minu´sculas com uma seta, por exemplo, vetor
→
u .
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Vetor
Dado um segmento orientado (A,B), a classe de equivaleˆncia de
(A,B) e´ o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a
(A,B). O segmento orientado (A,B) e´ chamado de representante
da classe.
Um vetor e´ uma classe de equipoleˆncia de segmentos
orientados.
Todos os segmentos orientados da figura representam o mesmo ve-
tor. Representamos o vetor da figura por
−→
AB ou usando letras
minu´sculas com uma seta, por exemplo, vetor
→
u .
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Vetor
Dado um segmento orientado (A,B), a classe de equivaleˆncia de
(A,B) e´ o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a
(A,B). O segmento orientado (A,B) e´ chamado de representante
da classe. Um vetor e´ uma classe de equipoleˆncia desegmentos
orientados.
Todos os segmentos orientados da figura representam o mesmo ve-
tor. Representamos o vetor da figura por
−→
AB ou usando letras
minu´sculas com uma seta, por exemplo, vetor
→
u .
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Vetor
Dado um segmento orientado (A,B), a classe de equivaleˆncia de
(A,B) e´ o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a
(A,B). O segmento orientado (A,B) e´ chamado de representante
da classe. Um vetor e´ uma classe de equipoleˆncia de segmentos
orientados.
Todos os segmentos orientados da figura representam o mesmo ve-
tor. Representamos o vetor da figura por
−→
AB ou usando letras
minu´sculas com uma seta, por exemplo, vetor
→
u .
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Casos particulares de vetores
1 Dois vetores
→
u e
→
v sa˜o ditos paralelos quando seus represen-
tantes tiverem a mesma direc¸a˜o. Denotamos tal situac¸a˜o por
→
u ‖→v .
2 Qualquer ponto A do espac¸o pode ser representado pelo vetor
zero
→
0 =
−→
AA (ou vetor nulo) que tem como representante o
segmento orientado nulo. Como o vetor nulo na˜o possui direc¸a˜o
e nem sentido, consideramos ele paralelo a qualquer vetor.
3 Para cada vetor
→
v existe um vetor oposto, denotado por − →v ,
de mesmo comprimento e mesma direc¸a˜o, pore´m de sentido
contra´rio. Se
→
v =
−→
AB, enta˜o − →v = −→BA.
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Casos particulares de vetores
1 Dois vetores
→
u e
→
v sa˜o ditos paralelos quando seus represen-
tantes tiverem a mesma direc¸a˜o. Denotamos tal situac¸a˜o por
→
u ‖→v .
2 Qualquer ponto A do espac¸o pode ser representado pelo vetor
zero
→
0 =
−→
AA (ou vetor nulo) que tem como representante o
segmento orientado nulo. Como o vetor nulo na˜o possui direc¸a˜o
e nem sentido, consideramos ele paralelo a qualquer vetor.
3 Para cada vetor
→
v existe um vetor oposto, denotado por − →v ,
de mesmo comprimento e mesma direc¸a˜o, pore´m de sentido
contra´rio. Se
→
v =
−→
AB, enta˜o − →v = −→BA.
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Casos particulares de vetores
1 Dois vetores
→
u e
→
v sa˜o ditos paralelos quando seus represen-
tantes tiverem a mesma direc¸a˜o. Denotamos tal situac¸a˜o por
→
u ‖→v .
2 Qualquer ponto A do espac¸o pode ser representado pelo vetor
zero
→
0 =
−→
AA (ou vetor nulo) que tem como representante o
segmento orientado nulo. Como o vetor nulo na˜o possui direc¸a˜o
e nem sentido, consideramos ele paralelo a qualquer vetor.
3 Para cada vetor
→
v existe um vetor oposto, denotado por − →v ,
de mesmo comprimento e mesma direc¸a˜o, pore´m de sentido
contra´rio. Se
→
v =
−→
AB, enta˜o − →v = −→BA.
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Casos particulares de vetores
1 Dois vetores
→
u e
→
v sa˜o ditos paralelos quando seus represen-
tantes tiverem a mesma direc¸a˜o. Denotamos tal situac¸a˜o por
→
u ‖→v .
2 Qualquer ponto A do espac¸o pode ser representado pelo vetor
zero
→
0 =
−→
AA (ou vetor nulo) que tem como representante o
segmento orientado nulo. Como o vetor nulo na˜o possui direc¸a˜o
e nem sentido, consideramos ele paralelo a qualquer vetor.
3 Para cada vetor
→
v existe um vetor oposto, denotado por − →v ,
de mesmo comprimento e mesma direc¸a˜o, pore´m de sentido
contra´rio. Se
→
v =
−→
AB, enta˜o − →v = −→BA.
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Soma de vetores
Consideremos os vetores
→
u e
→
v , queremos encontrar um represen-
tante para o vetor soma de
→
u com
→
v , denotado por
→
u +
→
v .
Para
isto, tomemos A um ponto qualquer (vide a figura abaixo) e, com
origem nele, tracemos um segmento orientado (A,B) representante
do vetor
→
u . Agora, com origem em B, tracemos o segmento orien-
tado (B,C ) representante de
→
v . O vetor
→
u +
→
v e´ o vetor que tem
(A,C ) como representante.
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Soma de vetores
Consideremos os vetores
→
u e
→
v , queremos encontrar um represen-
tante para o vetor soma de
→
u com
→
v , denotado por
→
u +
→
v . Para
isto, tomemos A um ponto qualquer (vide a figura abaixo) e, com
origem nele, tracemos um segmento orientado (A,B) representante
do vetor
→
u . Agora, com origem em B, tracemos o segmento orien-
tado (B,C ) representante de
→
v . O vetor
→
u +
→
v e´ o vetor que tem
(A,C ) como representante.
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E´ simples deduzir que o caso em que
→
u e
→
v sa˜o paralelos e´ feito de
maneira ana´loga ao anterior. Na figura abaixo temos os casos de
mesmo sentido (a) e sentidos contra´rios (b).
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E´ simples deduzir que o caso em que
→
u e
→
v sa˜o paralelos e´ feito de
maneira ana´loga ao anterior. Na figura abaixo temos os casos de
mesmo sentido (a) e sentidos contra´rios (b).
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Ha´ outra forma de determinar
→
u +
→
v se
→
u e
→
v na˜o forem parale-
los.
Considere representantes
→
u=
−→
AB e com origem em A (veja a
figura abaixo), construa o paralelogramo ABCD, enta˜o o segmento
orientado (A,C ) e´ um representante de
→
u +
→
v , ou seja:
→
u +
→
v =
−→
AC ou
−→
AB +
−→
AD =
−→
AC
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Ha´ outra forma de determinar
→
u +
→
v se
→
u e
→
v na˜o forem parale-
los. Considere representantes
→
u=
−→
AB e com origem em A (veja a
figura abaixo), construa o paralelogramo ABCD, enta˜o o segmento
orientado (A,C ) e´ um representante de
→
u +
→
v , ou seja:
→
u +
→
v =
−→
AC ou
−→
AB +
−→
AD =
−→
AC
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Ha´ outra forma de determinar
→
u +
→
v se
→
u e
→
v na˜o forem parale-
los. Considere representantes
→
u=
−→
AB e com origem em A (veja a
figura abaixo), construa o paralelogramo ABCD, enta˜o o segmento
orientado (A,C ) e´ um representante de
→
u +
→
v , ou seja:
→
u +
→
v =
−→
AC ou
−→
AB +
−→
AD =
−→
AC
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Propriedades da soma
O conjunto de todos os vetores sera´ denotado por V3.
Sejam
→
u ,
→
v
e
→
w vetores quaisquer de V3. Enta˜o eles satisfazem:
1
→
u +
→
v =
→
v +
→
u (Comutativa)
2 (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w) (Associativa)
3
→
u +
→
0 =
→
u (Elemento neutro)
4
→
u +(− →u ) =→0 (Elemento oposto)
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Propriedades da soma
O conjunto de todos os vetores sera´ denotado por V3. Sejam
→
u ,
→
v
e
→
w vetores quaisquer de V3. Enta˜o eles satisfazem:
1
→
u +
→
v =
→
v +
→
u (Comutativa)
2 (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w) (Associativa)
3
→
u +
→
0 =
→
u (Elemento neutro)
4
→
u +(− →u ) =→0 (Elemento oposto)
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Propriedades da soma
O conjunto de todos os vetores sera´ denotado por V3. Sejam
→
u ,
→
v
e
→
w vetores quaisquer de V3. Enta˜o eles satisfazem:
1
→
u +
→
v =
→
v +
→
u (Comutativa)
2 (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w) (Associativa)
3
→
u +
→
0 =
→
u (Elemento neutro)
4
→
u +(− →u ) =→0 (Elemento oposto)
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Propriedades da soma
O conjunto de todos os vetores sera´ denotado por V3. Sejam
→
u ,
→
v
e
→
w vetores quaisquer de V3. Enta˜o eles satisfazem:
1
→
u +
→
v =
→
v +
→
u (Comutativa)
2 (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w) (Associativa)
3
→
u +
→
0 =
→
u (Elemento neutro)
4
→
u +(− →u ) =→0 (Elemento oposto)
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Propriedades da soma
O conjunto de todos os vetores sera´ denotado por V3. Sejam
→
u ,
→
v
e
→
w vetores quaisquer de V3. Enta˜o eles satisfazem:
1
→
u +
→
v =
→
v +
→
u (Comutativa)
2 (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w) (Associativa)
3
→
u +
→
0 =
→
u (Elemento neutro)
4
→
u +(− →u ) =→0 (Elemento oposto)
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Propriedades da soma
O conjunto de todos os vetores sera´ denotado por V3. Sejam
→
u ,
→
v
e
→
w vetores quaisquer de V3. Enta˜o eles satisfazem:
1
→
u +
→
v =
→
v +
→
u (Comutativa)
2 (
→
u +
→
v )+
→
w=
→
u +(
→
v +
→
w) (Associativa)
3
→
u +
→
0 =
→
u (Elemento neutro)
4
→
u +(− →u ) =→0 (Elemento oposto)
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Diferenc¸a de vetores
O vetor
→
u +(− →v ), tambe´m denotado por →u − →v , e´ denominado
vetor diferenc¸a entre
→
u e
→
v . E´ bastante simples determinar
→
u − →v :
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Exerc´ıcio
Na figura abaixo, ABCDEFGH e´ um paralelep´ıpedo. Encontre o
vetor correspondente a` soma dos vetores destacados.
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Soluc¸a˜o
Temos
−→
AB +
−→
AH =
−→
AG . Agora note que
−→
AG =
−→
CF , portanto a
soma dos treˆs vetores e´:
−→
AB +
−→
AH +
−→
AC =
−→
AG +
−→
AC =
−→
AC +
−→
CF =
−→
AF
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Exerc´ıcio
Na figura abaixo ABCDEFGH e EFGHIJLM sa˜o cubos de arestas
congurentes. Determine a soma dos vetores indicados.
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Soluc¸a˜o
Observe que
−→
MI = −−→FG , logo −→MI + −→FG = −→0 . Note tambe´m que−→
BG =
−→
FL. Portanto:
−→
BH +
−→
HE +
−→
EF +��
−→
FG +��
−→
IM +
−→
BG =
=
−→
BH +
−→
HE +
−→
EF +
−→
FL =
−→
BL
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Exerc´ıcio
Na figura abaixo, os hexa´gonos sa˜o regulares. Em cada caso, deter-
mine a soma dos vetores indicados.
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Soluc¸a˜o
Observe que na figura (a) temos
−→
FG +
−→
HC =
−→
ED, logo segue:
−→
FG +
−→
HC +
−→
DA =
−→
ED +
−→
DA =
−→
EA
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Soluc¸a˜o
Na figura (b) temos
−→
AO =
−→
OD, logo:
−→
FO +
−→
AO +
−→
DC =
−→
FO +
−→
OD +
−→
DC =
−→
FC
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Soluc¸a˜o
Inicialmente podemos decompor
−→
FB =
−→
FA+
−→
AB e conve´m observar
que
−→
AB = −−→CO, logo −→AB +−→CO = −→0 e −→FA = −→DC . Assim:
−→
FD +
−→
FB +
−→
CO =
−→
FD +
−→
FA +��
−→
AB +�
�−→CO =
=
−→
FD +
−→
DC =
−→
FC
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Soluc¸a˜o
Fica mais simples se voceˆ observar que:−→
EF = −−→BC−→
FA = −−→OE−→
AB = −−→DE
Logo a soma se resume a
−→
OC +
−→
CD =
−→
OD
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