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www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Coordenação de Ensino Instituto IPB www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II GEOMETRIA ANALÍTICA II www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Sumário Vetores ........................................................................................................................ 4 Espaço cartesiano ....................................................................................................... 4 Vetores na geometria analítica .................................................................................... 6 Vetores e a Física ....................................................................................................... 6 Vetores e a Geometria Euclidiana ............................................................................... 7 Operações com vetores ............................................................................................ 11 Norma de um vetor ................................................................................................... 15 Produto interno .......................................................................................................... 16 Orientação do espaço ............................................................................................... 21 O produto vetorial ...................................................................................................... 22 Retas e Planos no espaço ........................................................................................ 33 Equação cartesiana do plano .................................................................................... 33 Equações paramétricas do plano .............................................................................. 38 Equação da reta ........................................................................................................ 40 Posições relativas de duas retas ............................................................................... 52 Distâncias no espaço ................................................................................................ 59 Distância de ponto a plano ........................................................................................ 59 Distância de ponto a reta .......................................................................................... 62 Distância entre planos e de reta a plano ................................................................... 69 Distância de reta a reta ............................................................................................. 71 Superfícies Quádricas ............................................................................................... 73 Quádricas centrais .................................................................................................... 75 Referências ............................................................................................................... 85 AUTOAVALIAÇÃO -GEOMETRIA ANALÍTICA II ..................................................... 86 Todos os direito reservados ao Instituto Pedagógico Brasileiro IPB. Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de Fevereiro de 1998. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Vetores Espaço cartesiano No plano euclidiano P, foi fixada uma unidade de medida e foram fixados dois eixos ortogonais, (os eixos coordenados), interceptando-se em um ponto O, a origem. Escolhido um ponto P P, traçam-se retas perpendiculares a , passando por P, que interceptam nos pontos R e S. Os comprimentos dos segmentos OR e OS, xP e yP, respectivamente, são ditos as coordenadas cartesianas de P. Associamos assim a todo ponto P P um par ordenado (xP , yP ) de números reais. Note que essa associação depende sempre da escolha da unidade de medida, dos eixos e da origem; outras escolhas podem associar coordenadas diferentes a um mesmo ponto. Reciprocamente, tendo fixados uma unidade de medida, a origem e os eixos coordenados, dado um par (x, y) de números reais, pode se obter, de modo único, um ponto P do plano cuja abscissa é x e cuja ordenada é y. Em outras palavras, fixado um sistema de eixos ortogonais no plano, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e pares ordenados de números reais. Esse é o fato fundamental que nos permite desenvolver a Geometria Analítica plana. Passos inteiramente análogos podem ser utilizados para estudar a Geometria Espacial. No espaço euclidiano E, fixados três eixos mutuamente ortogonais intersectando-se na origem O, dado um ponto P E, podem se traçar uma reta perpendicular ao eixo OZ e uma outra reta perpendicular ao plano contendo as retas o plano XY, passando por P. O comprimento do segmento que vai da origem ao ponto de interseção da primeira perpendicular com o eixo OZ, zP é dito a cota de P. A segunda perpendicular intersecta o plano XY em um único ponto, digamos P'. A seguir, por este ponto traçamos retas perpendiculares a , interceptando esses eixos em pontos cujas distâncias até a origem são xP e yP, respectivamente a abscissa e a ordenada de P. Os números reais xP, yP e zP são as coordenadas cartesianas de P no espaço (ver figura 4.1). Associamos, assim, a todo ponto P P um terno ordenado (xP , yP ,zP www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II ) de números reais. Novamente, essa associação depende sempre da escolha dos eixos e da origem; outras escolhas associariam outras coordenadas ao mesmo ponto. Usaremos ainda a notação P (x, y, z) para indicar que o ponto P do espaço tem coordenadas cartesianas x, y e z. Figura 4.1 Exemplo: Uma sala tem 6m de largura por 8m de comprimento e 4m de altura. Estabelecer um sistema adequado de eixos e dar as coordenadas dos seguintes pontos: a) dos oito cantos da sala; b) do ponto de interseção das diagonais do piso; c) de um ponto situado a 2m de altura e sobre a vertical que contém a interseção das diagonais do plano. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Vetores na geometria analítica Poderíamos estudar geometria analítica espacial do mesmo modo como estudamos a plana. Vamos, porém, escolher um caminho diferente. Vamos construir um sistema cartesiano de coordenadas para o espaço a partir da noção de vetor. Veremos que isso nos permitirá calcular distâncias entre ponto e reta, entre ponto e plano, etc, de uma forma mais concisa e eficiente. Vetores e a Física Em cursos básicos de Física, é estabelecida uma distinção entre grandezas escalares e vetoriais. Grandezas escalares (por exemplo, a temperatura) são especificadas se damos um número (sua magnitude) e uma unidade de medida. No caso de grandezas vetoriais, por outro lado, além de sua magnitude (em uma unidade de medida), requer-se que conheçamos sua direção e sentido espaciais, para uma descrição completa. Os exemplos mais comuns de tais grandezas são velocidade e força. A figura 4.4 apresenta 3 vistas superiores de um mesmo bloco de massa m sobre uma mesa sem atrito, sendopuxado por duas cordas com força de magnitude F nos sentidos indicados pelas setas. 45 ° 45 ° m m m www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Embora as forças sejam as mesmas em magnitude nos três casos, o movimento resultante é bastante distinto. O caráter vetorial da força manifesta-se justamente nessa dependência da direção e sentido, ao contrário da massa - se dissermos que m = 3 kg, temos toda informação necessária a respeito da mesma. Note ainda que nos esquemas (b) e (c) da figura 4.4, a direção é a mesma, mas não o sentido das forças, e isso faz diferença para o movimento. Outro aspecto fundamental a respeito das grandezas vetoriais, que é ilustrado na figura 4.4, é como estas se compõem, ou se combinam. Se juntarmos dois blocos de 2 kg, podemos considerar o composto como um único bloco de 4 kg. A composição ou adição de forças, por outro lado, para obter a chamada força resultante é bastante distinta, e mais complicada, pois devem se levar em consideração a direção e o sentido daquelas. Para fornecer uma descrição quantitativa de grandezas escalares e vetoriais, fixado um sistema de unidades, precisamos, portanto, considerar objetos matemáticos bem distintos: no primeiro caso, números reais; no segundo caso, os vetores. Estes últimos devem ter associados a eles, num sentido a ser tornado preciso, um número real dando sua magnitude, além de sua direção e sentido. Por outro lado, deverá estar definida uma operação entre vetores para obter outro vetor, de forma que se possa reproduzir, abstratamente, o modo como compomos forças na Natureza. Vetores e a Geometria Euclidiana A área da Matemática onde a noção de vetor pode ser mais naturalmente definida é a Geometria. Afinal, magnitude, direção e sentido são noções de forte apelo geométrico. Algumas observações de caráter metodológico podem ser feitas aqui. É comum representar um vetor por uma seta, ou segmento de reta orientado, e o faremos normalmente a seguir. No entanto, é fundamental que o estudante tenha em mente a distinção entre um vetor, que é um objeto matemático que pode ser www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II definido de forma precisa, e sua representação gráfica, que é um risco em papel. É comum, nos cursos de Física, e mesmo nas partes práticas do curso de Geometria Analítica, que nos contentemos com uma noção intuitiva, cuja importância é inegável. Na Ciência, no entanto, e principalmente na Matemática, uma boa definição é fundamental. Antes de definirmos vetor, vamos lembrar os elementos que nossa definição deve contemplar: um vetor deve ter magnitude, direção e sentido; devemos ser capazes de operar com vetores, obtendo outros vetores. A fim de comparar a magnitude e o sentido de vetores com a mesma direção, é conveniente termos ainda uma operação correspondente para aumentar ou diminuir a magnitude de um vetor, ou mudar seu sentido, o que será feito operando números com vetores, obtendo novos vetores. Consideraremos vetores na Geometria espacial. Podemos começar com a seguinte Definição Provisória. Um vetor é um par ordenado (A, B ) de pontos do espaço. denado? Não era para ser um segmento de geometria, a saber: AB ={A, B } {C : C está entre .A e B} www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II clidiana, isto é, não é definido. Agora, o uso de par ordenado serve para dar conta da noção de orientação do vetor. De fato, podemos representar um par ordenado (A, B) graficamente com uma seta dirigida do ponto A ao ponto B (ver figura 4.5). Podemos então entender o segmento orientado de A a B como sendo dado pelo par (A,B) de pontos. Dessa forma, além de curta e precisa, nossa definição ainda admite a visualização intuitiva usual. Um pouco de reflexão, no entanto, mostra que essa definição não pode funcionar como está. Duas setas com mesmo comprimento, direção e sentido em posições distintas do espaço corresponderiam a pares (A,B) e (C,D) distintos, e portanto a vetores distintos. Isso significa que magnitude, direção e sentido não seriam suficientes para especificar o vetor nesta definição. Em suma, uma boa definição de vetor deve ser tal que a especificação do vetor depende somente de seu módulo, direção e sentido. Em particular, na representação gráfica, setas com mesma magnitude, direção e sentido representariam o mesmo vetor (ver figura 4.6). Note que os segmentos (A, B ) e (C, D) na figura 4.7 não são colineares, isto é, as retas não são as mesmas. Todavia, os segmentos têm mesmo comprimento, mesma direção (lados opostos de um paralelogramo) e mesmo sentido. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Lembremo-nos da seguinte caracterização de um paralelogramo: Um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, suas diagonais cortam-se mutuamente em seus pontos médios. A seguinte definição resume de modo preciso e rigoroso o que significa para dois segmentos orientados ter mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Nesse caso, diremos que os segmentos são equipolentes: Seja (A, B) um segmento orientado, em que A B. Diremos que um segmento orientado (C, D ) é equipolente a (A, B ), em símbolos se os segmentos (não orientados) AD e CB têm o mesmo ponto médio. Se A = B, diremos que (C, D) é equipolente a (A, B, ) se C = D. Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Esta definição significa que cada vetor deve ser pensado como uma coleção de setas, ao invés de uma única seta. Cada seta, ou mais precisamente cada segmento orientado equipolente ao segmento orientado (A,B),é um representante do (mesmo) vetor . Um destaque especial deve ser dado à classe de equipolência dos pares da forma (A, A): esta é, por definição, o vetor nulo. Seus representantes podem ser representados graficamente por pontos. Representaremos esse vetor por Quando não quisermos enfatizar representantes, denotaremos vetores por u v w,... Dado um vetor v, e qualquer representante (A, B), note que o comprimento | A,B | do segmento AB é o mesmo de qualquer outro representante, pois se , então | AB |= CD | Teorema www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Dado um segmento orientado (A, B) e um ponto O, existe um único ponto X tal que (A,B) (0,X). Se A = B, pomos X = O. Se A B, temos dois casos: O não é colinear com A e B, ou é. No primeiro caso, X é simplesmente o quarto vértice do paralelogramo do qual AB e AO são lados consecutivos. O segundo caso tem dois subcasos: i) está entre O e B , O = A ou O está entre A e B . Neste caso, tome a semi-reta de O a B e X o único ponto tal que o segmento OX seja congruente a (A, B ) (no caso O = A, temos claramente X = B ). ii) O = B ou B está entre A e O. Neste caso, tome a semi-reta oposta à semi-reta que vai de O a A e o ponto X como o único ponto tal que o segmento OX seja congruente a AB. Em particular, se v é um vetor e O um ponto, então existe um único : Ponto X tal que v = Reciprocamente, fixado o ponto O, para cada ponto X existe um único vetor que tem (O, X) como representante, a saber a classe de equipolência Isso significa que, fixado um ponto O, existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pontos. Esse fato será fundamental para compreender o que virá a seguir.Operações com vetores Além de uma definição adequada de vetores, temos que operar com eles de modo conveniente. Historicamente, a motivação para essas definições é que as mesmas reproduzem adequadamente o comportamento de grandezas vetoriais na Física e na Engenharia. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II A primeira dessas operações é a chamada soma ou adição de vetores. O porquê desse nome é que essa operação, como veremos, satisfaz propriedades algébricas muito parecidas com as da adição de números reais. Sejam u e v vetores. Escolha um ponto O arbitrariamente. Pelo Teorema, existem únicos pontos X e Y tais que u = e v = Tomando Y como referência, existe, pelo mesmo teorema, um único ponto Z tal que (Y,Z) (O,X). Por definição, a soma de u e v é o vetor . Esse vetor soma é denotado por u +v. No caso em que O, X, Y são não colineares, Z é o quarto vértice do paralelogramo cujos lados adjacentes são OX e OY (fig. 4.8). Por isso, a regra para obter o vetor soma é chamada regra do paralelogramo. A figura 4.8 também deixa claro que se tivéssemos escolhido X como referência e tomado o único ponto W tal que (X ,W) então W = Z. Isto significa que a soma de vetores é comutativa, isto é, u +v = v +u. É possível, embora um tanto trabalhoso, mostrar que, se escolhêssemos um outro ponto O', e pontos X ' e Y ', obteríamos, repetindo o processo descrito acima, um ponto Z ' tal que (O,Z),definindo portanto a mesma classe de equipolência, isto é, o mesmo vetor. Isso significa que o vetor soma u +v não depende do ponto de referência O, somente de u e v. Sendo o vetor nulo ,v+ = para qualquer vetor v. O vetor nulo, funciona então como o elemento neutro para a operação de adição de vetores. Será que essa www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II operação tem elementos inversos? Ou seja, dado um vetor v, será que existe um vetor oposto v tal que v + (- v) = (-v)+v = 0? A resposta é sim. Seja (A ,B ) um representante qualquer de v. Defina v como a classe de equipolência do segmento orientado (B, A ). Representantes de v são representados graficamente por setas com mesmo comprimento e direção de representantes de v, mas com sentido oposto. Enfatizamos que a esta altura v é somente uma notação para o oposto, ou inverso aditivo, de v. Ainda não falamos da multiplicação de vetores por números, de modo que a priori não faz sentido (ainda) dizer que v =(- 1) v. Outra propriedade da adição de vetores que é idêntica a operações com números, é a associatividade: (u +v)+ w = u +(v + w), para quaisquer vetores u, v, w. Não demonstraremos esta propriedade, mas a ilustramos na figura 4.9. Em resumo, temos as seguintes propriedades da soma de vetores: (A1) (Comutatividade) u +v = v +u, para quaisquer vetores u, v. (A2) (Associatividade) (u +v)+ w = u +(v + w), para quaisquer vetores u, v, w. (A3) (Elemento neutro) Se é o vetor nulo, v um vetor qualquer, v+ = +v=v (A4) (Inverso aditivo) Dado qualquer vetor v, existe um vetor v tal que v + v) = (- v)+v = Tendo definido adição de vetores e obtido suas propriedades, é natural definir a subtração de vetores u, v quaisquer pondo u v = u ( v). www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II A interpretação geométrica, no caso em que u e v são não nulos e com direções distintas, está ilustrada na figura 4.10. As seguintes propriedades da subtração de vetores podem ser facilmente mostradas, utilizando-se a definição e as propriedades (A (S1) v v = para qualquer vetor v; (S2) u v (v u), para quaisquer vetores u, v; (S3) (u v)+(v w) = u w, para quaisquer vetores u, v, w. Por exemplo, para checar a propriedade (S2) assumindo (S1) e (S3), basta notar que (v u)+(u v) = v v = e, portanto, u v (v u) pela unicidade do elemento inverso aditivo. Outra operação fundamental de vetores é multiplicação por escalar. Seja v um vetor, definimos v= (vetor nulo). Tome (A,B ) um representante qualquer de v. Se tome B' na semi-reta de A a B tal que Se tome B' na semi-reta oposta à semi-reta de A a B tal que (figura 4.11). Então definimos como a classe de equipolência do segmento orientado (A, B '). Novamente é possível mostrar que essa definição não depende da escolha do representante de v, pois se adotássemos um outro segmento orientado (C, D ) equipolente a (A ,B ), e aplicássemos o processo acima, obteríamos um segmento (C, D) equipolente a (A, B '). A demonstração desse fato, bem como das propriedades abaixo, usando apenas Geometria Euclidiana é bastante elaborada e a omitiremos. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Figura 4.11 Propriedades da multiplicação por escalar: (M1) para quaisquer números reais e vetor v. (M2) para quaisquer números reais e vetor v. (M3) para quaisquer número real e u, v vetores. (M4) 1 v, para qualquer vetor v. Como você aprenderá com detalhes em Álgebra Linear, o conjunto dos vetores, munido da operação de conhecida como espaço vetorial. De fato, esse nome se deve justamente ao reconhecimento de que as propriedades abstratas da soma e multiplicação por escalar de vetores, como definidos aqui via Geometria, estão presentes em muitas outras situações na Matemática. Norma de um vetor Dado um vetor v, o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente é o mesmo. Para falarmos na medida desse segmento, precisamos escolher uma unidade de medida. Assim, vamos escolher um vetor não nulo u para ser um vetor unitário. Assim, todo segmento congruente a qualquer representante seu será um segmento de medida igual a 1. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Considere, agora, um vetor qualquer v. Se v for o vetor nulo, definimos sua norma como sendo o escalar 0 (zero). Se v for diferente do vetor nulo, existe um vetor unitário u colinear com v (por que?). Pela definição de produto por escalar, existe um escalar t tal que v = tu. Define-se norma do vetor v, denotando-se por como sendo o módulo de t. Isto é, O leitor pode verificar as seguintes propriedades: Produto interno Uma terceira operação entre vetores extremamente útil geometricamente é o chamado produto interno. Antes de introduzi-la, precisamos da definição de ângulo entre vetores. Sejam u e v vetores não nulos no plano. Seja A um ponto qualquer. Sejam B e C os únicos pontos tais que e O ângulo entre u e v é a medida do ângulo Note que escolhas diferentes do ponto A resultam em ângulos congruentes e, portanto, de mesma medida. Logo, a medida só depende dos vetores u e v, e não de seus representantes. Diremos que dois vetores u e v, não nulos, são paralelos se o ângulo entre eles é 0 ou Diremos que são ortogonais se É conveniente www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II incluir na discussão o vetor nulo: dizemos que, por definição, o vetor nulo é ortogonal a todo vetor. Sejam u e v vetores no espaço. Seu produto interno, denotado por é definido por nulos, em que é o ângulo se u e v são ambos não entre u e v; se u, ou v, for nulo. Note que, ao contrário das operações definidas anteriormente, o resultadodo produto interno entre dois vetores é um número real e não um vetor e, portanto, não é um produto no sentido usual. Mas a expressão já está consagrada e a mantemos. O produto interno satisfaz as seguintes propriedades: (simetria); (homogeneidade); (distributividade). Note que a propriedade da desigualdade triangular, www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Dependência linear Seja v um vetor. Sejam v1,...,vn n vetores. Dizemos que v é uma combinação linear dos vetores v1,...,vn se existem escalares t1,...,tn tais que v = t1v1 +...+ tnvn. Por exemplo, se v = 3u, dizemos que v é uma combinação linear de u. Outro exemplo: o vetor zero é combinação linear de quaisquer n vetores v1,...,vn, pois = 0.v1 +...+0.vn . Observe que o zero à esquerda da equação é o vetor zero; os zeros à direita são escalares. Vamos falar agora sobre dependência linear entre vetores. Por definição, o conjunto formado apenas pelo vetor nulo é um conjunto linearmente dependente (abreviadamente, LD). Os conjuntos formados por um único vetor não nulo são todos linearmente independentes (abreviadamente, LI). Um conjunto de n vetores, n > 1, é linearmente dependente se pelo menos um deles for combinação linear dos outros. Neste caso, dizemos também que os vetores são linearmente dependentes. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente, ou que os vetores são linearmente independentes. Um conjunto de n vetores, v1,...,vn , é LI se, e somente se, a única forma do vetor zero se escrever como combinação linear de v1,...,vn é a trivial, isto é, = 0.v1 +...+0.vn. A demonstração desse teorema é simples: suponha que os vetores sejam LD. Então um deles, digamos v1, é combinação linear dos outros: v1 = t2v2 +...+ tnvn. Ou seja, =1.v1 ( t2 ).v2 +... ( tn ).vn v1, tnvn. Logo, o vetor zero se escreve de modo não trivial como combinação linear de v1,...,vn . Reciprocamente, suponha que o vetor zero se escreva de forma não trivial, digamos, . + em que t1 0 (sem perda de generalidade) Logo, - ou seja, v1 é combinação linear dos outros vetores, o que significa que v1,...,vn são LD. Um corolário dessa proposição é o seguinte:Se v é combinação linear de n vetores, v1,...,vn, e v1,...,vn são linearmente independentes, então essa combinação linear é única, no sentido que, se v = t1v1 +...+ tnvn = s1v1 +...+ snvn então t1 = s1, ..., tn = sn. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II A prova segue do fato que e, e , como v1,...,vn são LI, t1 s1 = 0, ... ,tn sn = 0 . Note que um conjunto que contenha o vetor nulo é sempre LD (por quê?). Vemos, também, que dois vetores não nulos são linearmente dependentes se, e somente se, são colineares. Podemos concluir, ainda, que três vetores não nulos são LD se, e somente se, são coplanares. Logo, três vetores não nulos são LI se, e somente se, quaisquer representantes deles originados em um ponto qualquer do espaço formam um triedro, ou seja, cada par de representantes estão em planos distintos. Um fato importante: no espaço, quatro vetores são sempre LD e o número máximo de vetores LI é três. Por isso, dizemos que a dimensão algébrica do espaço é três. Sejam v1,v2,v3 três vetores LI do espaço. Então qualquer vetor é uma combinação linear desses vetores (isso implica que quatro vetores do espaço são LD t1v1 + t2v2 + t3v3. A prova dessa proposição é geométrica. Seja v um vetor qualquer. Tome um ponto A, e sejam representantes para v1,v2,v3 e v, respectivamente. Por P, passe um plano paralelo ao plano que contém AB e AC. Esse plano vai cortar a reta que contém AD em um ponto D'. Analogamente, seja B' o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AC e AD, que passa por P, com a reta que contém AB, e C' o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AB e AD, que passa por P, com a reta que contém AC. Afirmo que + . Como temos que v= . Dizemos que 3 vetores LI do espaço geram o espaço euclidiano. Note, também, que a combinação é única. Isso motiva as seguintes definições: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Sejam v1,v2,v3 vetores LI do espaço. Então o conjunto desses vetores é dito uma base do espaço. Seja uma base do espaço. Então, dado um vetor v qualquer do espaço, existem únicos escalares t1,t2,t3 tais que v = t1v1 + t2v2 + t3v3. Dizemos que t1,t2,t3 são as coordenadas de v na base e escrevemos ( Base ortonormal Um conjunto de vetores unitários (isto é, que têm norma igual a 1), que são ortogonais dois a dois, é dito um conjunto ortonormal de vetores. Se é um conjunto ortonormal de vetores do espaço, então é uma base. A demonstração segue do fato que, se para todo k. Mas, como o conjunto é ortonormal, essa equação é equivalente à equação Ou seja, o vetor zero só se escreve da forma trivial como combinação linear . O teorema abaixo nos mostra como calcular produtos internos de vetores escritos como combinações de vetores de uma base ortonormal. Seja uma base ortonormal de vetores do espaço. Então, se u = t1v1 + t2v2 + t3v3 e v = s1v1 + s2v2 + s3v3, temos que Demonstração: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Orientação do espaço Seja uma base do espaço. Dizemos que essa base é positiva se ela satisfaz à chamada regra da mão direita. Esta regra é muito utilizada em Física. Vamos supor que temos três representantes para esses vetores: Vamos girar (no sentido do menor do ângulo entre até coincidir com um vetor colinear com com a mão direita apoiada no plano determinado por AB e AC. Se o dedo polegar da mão direita apontar para o mesmo lado do plano que , então dizemos que os três vetores satisfazem a regra da mão direita. Observe que, para orientação, a ordem dos vetores é importante. Assim, representaremos a base do espaço com orientação (positiva ou negativa) pelo triedro Sistema cartesiano de coordenadas no espaço Vamos escolher um ponto O do espaço, ao qual chamaremos de origem. Tomemos uma base ortonormal positiva, e seus representantes A cada ponto P do espaço vamos associar as coordenadas do vetor em relação a essa base: P(X,Z,Y) . Para diferenciar ponto de vetor, escreveremos para indicar que www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Observe que, dados o vetor é dado pela diferença entre o vetor e o vetor Logo, Assim, é possível computar, por exemplo, o ângulo entre dois vetores, se conhecemos suas componentes. Em particular, é possível determinar quando dois vetores são ortogonais, pois isso ocorrerá se, e somente se, seu produto interno for zero. Exemplo: Prove que o triângulo de vértices A (2,3,1), B(2,1, 1) e C(2,2, 2) é um triângulo retângulo. Resolução: Devemos calcular produtos internos entre os vetores que determinam os lados do triângulo a fim de descobrir se algum deles é zero. Podemos tomar os vetores:ou os opostos destes. Temos, portanto: Logo, o ângulo entre é reto, com vértice B. Assim, o ABC é retângulo. O produto vetorial Enquanto o produto interno fornece um número, nossa próxima operação com vetores resulta em um vetor, sendo por isso chamada de produto vetorial. Ao www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II contrário do produto interno, esta é uma operação genuína entre vetores, que tem algumas propriedades pouco usuais: o produto vetorial não é comutativo, nem associativo! Geometricamente, o produto vetorial aparece devido à seguinte questão: como obter um vetor w = (x,y,z) que seja simultaneamente perpendicular a dois vetores dados? Devemos ter que e, portanto, o sistema Este sistema admite uma infinidade de soluções. Uma delas é como você pode facilmente verificar. Claro que qualquer múltiplo do vetor w assim obtido será também solução. Essa forma da solução, no entanto, é a mais conveniente, por razões que ficarão mais claras à medida que prosseguirmos. Sejam vetores quaisquer. O produto vetorial de u e v é o vetor Usando a definição de produto vetorial, obtemos que u, u ×v = 0 e v, u ×v 0, ou seja, que a direção do vetor é a da normal do plano que contém O, X e Y, pontos tais que são representantes de u e v, respectivamente. Veremos na www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II próxima seção que o sentido de u×v é dado pela regra da mão direita, isto é, u×v é um vetor ortogonal a u e v de tal modo que o triedro (u, v, u×v) é positivo (ver figura 4.12). Considere Sabemos que e que esses vetores são dois a dois ortogonais. Pela nossa notação, Vamos considerar www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II como se fosse o determinante de uma matriz 3x 3 sobre o conjunto dos números reais, desenvolvendo pela primeira linha: Note que a última expressão é u×v. É importante perceber que esta é apenas uma regra para auxiliar a memorização, e não um procedimento matemático bem definido. De fato, até aqui você só estudou matrizes com entradas reais, e não uma matriz que mistura números reais e vetores do espaço! Outro ponto muito importante é a ordem de u e v ao escrever o determinante (*). Você deve lembrar que, ao trocar duas linhas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Se você deseja calcular u×v, escreva as componentes de u na segunda linha e as de v na terceira, e troque as linhas para calcular v×u. Exemplo: Vamos computar o produto vetorial de u = (5,4,3) e v = (1,0,1). Se trocarmos a ordem dos vetores, no entanto, temos: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II O seguinte Teorema resume algumas propriedades do produto vetorial. Para vetores u, v e w quaisquer, e para todo número real (PV1) (Anti-simetria) u×v (v×u); (PV2) (Bilinearidade) (PV3) (PV4) De fato, aplicando (PV3) obtemos que Em particular Do ponto de vista geométrico, além de ser uma maneira de obter um vetor ortogonal a outros dois dados, o produto vetorial é a ferramenta por excelência para avaliar se três pontos estão em uma mesma reta, isto é, se são colineares. Para ver isto, basta perceber que para qualquer vetor v, v×v = . Este fato segue imediatamente da definição de produto vetorial. Ora, três pontos A, B e C são colineares se, e somente se, o vetor é paralelo ao vetor , o que por sua vez é equivalente a afirmar que . para algum Se esse é o caso, a bilinearidade (propriedade (PV 2)) nos dá www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Portanto, se A, B e C são colineares, A recíproca dessa afirmação advém da seguinte proposição, que nos dá o módulo do vetor u×v. Se u e v são vetores não-nulos, Onde é o ângulo entre u e v. Demonstração: Usando a propriedade (PV 4) do Teorema, temos, lembrando que sen deve ser não-negativo, o resultado segue. Sejam A,B e C pontos quaisquer do espaço. Se Então A,B e C são colineares. Demonstração: Se um dos pontos é igual a qualquer outro, a conclusão vale de imediato. Se os três pontos são distintos, e concluímos que sen =0 sendo o ângulo entre que são, portanto, paralelos. A colinearidade não é a única utilidade do produto vetorial. Sejam u e v vetores não- nulos e não-paralelos com ângulo entre eles, e considere um paralelogramo formado por setas representantes desses vetores (fig. 4.13). www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II A área A desse paralelogramo é bem conhecida da Geometria: A = b × h, em que b é o comprimento da base e h o comprimento da altura. Em nosso caso, b é e portanto Em outras palavras, o módulo do produto vetorial de u e v é numericamente igual à área do paralelogramo definido por u e v. Exemplo: Calcular a área do triângulo de vértices A (1,- 2, 1), B (2,- 1, 4) e C(- 1 , 3, 3). Resolução: A figura 4.14 mostra que, a partir do triângulo ABC, podemos construir um paralelogramo ABCD, cuja área é o dobro da área do triângulo. Considerando que o paralelogramo é determinado pelos vetores e obtemos que a área do triângulo é: Área Mas Portanto www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Logo, podemos calcular que e, assim, Área Produto misto A operação entre três vetores u, v e w do espaço, aparece tantas vezes em Geometria que lhe damos um nome especial: produto misto de u, v e w, nessa ordem, e denotamo-la por [u, v, w ]. O fato de o produto misto poder ser escrito como um determinante ajuda-nos a obter algumas de suas propriedades. O determinante de uma matriz muda de sinal se duas linhas quaisquer são permutadas e, portanto, se permutamos duas linhas um número par de vezes, o determinante não se altera (pode inclusive ser um par de linhas diferentes a cada vez). Temos, por exemplo, que: ou seja, que [u ,v, w ] =[v, w, u ] =[w, u, v ]. Note que, nessas últimas igualdades, as trocas de u, v e w ocorrem ciclicamente, no sentido anti-horário. Por isso, essas permutações são ditas cíclicas. Observe que o www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II determinante preserva a orientação de um triedro, pois (u, v, w) tem a mesma orientação que (v, w, u), que tem a mesma orientação que (w, u, v), que é a orientação contrária às dos triedros (v, u ,w), (u, w, v) e (w, v, u). Uma propriedade importante de determinante é a seguinte: [u, v,w] =[Ru, Rv, Rw],Em que R é uma transformação linear do espaço que preserva os módulos dos vetores, ou seja, e que preserva a orientação dos triedros. Por exemplo, as rotações no espaço são transformações desse tipo. Vamos usar essa propriedade de determinante para mostrar que um triedro (u, v, w ), em que w é ortogonal a u e v, é positivo se, e somente se, [u, v, w ] > 0. Para isso, seja o ângulo entre u e v, . Considere a rotação R que leva o vetor u no vetor e o vetor w, no vetor Observe que esse triedro será positivo se, e só se, o vetor v for levado no vetor (convença se disso, fazendo um desenho). Temos então que: Por conseguinte, como para u e v, não colineares, temos que [u, v ,u ×v] = u×v ,u ×v > 0, concluímos que o triedro (u, v, u ×v) é positivo, ou seja, que o sentido de u×v é dado pela regra da mão direita. O produto misto também tem uma função geométrica muito importante. Enquanto o produto vetorial nos permite calcular áreas, o produto misto serve para calcular volumes. Na figura 4.15, vê-se o paralelepípedo definido por vetores u, v e w. A base desse paralelepípedo é o paralelogramo definido pelos vetores u e v, cuja área é www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II A altura h é dada por Como o volume do paralelepípedo é por definição V = área da base ×altura, segue-se que Portanto, o módulo do produto misto dos vetores u, v e w é igual ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Exemplo: O produto misto de u = (3,5,7), v = (2,0, 1) e w = (0,1,3) é www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II e, portanto, o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u , v e w é Na figura 4.15 também notamos que, quando o segmento representante do vetor w estará no plano contendo os segmentos representantes de u e v. Ou seja, os vetores u, v e w são coplanares. Mas isso acontece precisamente quando w e u×v forem ortogonais, isto é, quando u×v ,w= 0. Isso nos ajuda a descobrir se quatro pontos A, B, C e D dados são coplanares, isto é, se estão sobre o mesmo plano (claro que isso ocorre automaticamente se dois ou mais dos pontos em questão são iguais). Isso ocorrerá se, e somente se, Não faremos uma prova mais rigorosa desse fato, mas o ilustramos em um exemplo. Exemplo: Mostrar que os pontos A(1,2,4), B( 1 ,0, 2), C(0,2,2) e D( 2 ,1, 3) são coplanares. Resolução: O quatro pontos dados serão coplanares se forem coplanares os vetores Devemos, portanto, calcular seu produto misto. Temos e, logo, os pontos são de fato coplanares. Você pode verificar por si só que a ordem em que nomeamos os pontos é irrelevante. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Retas e Planos no espaço Equação cartesiana do plano Um plano no espaço pode ser caracterizado de diversas maneiras. A primeira que estudaremos vem das seguintes considerações intuitivas. Dada uma direção, que você pode imaginar como sendo uma reta, existem uma infinidade de planos paralelos entre si, e perpendiculares a essa direção. No entanto, se além de fixarmos uma direção, também fixarmos um ponto, um e somente um plano dessa família de planos conterá o ponto em questão. Em outras palavras, um plano ficará fixado se dermos uma direção e um ponto. Figura 5.1 Um vetor não-nulo v determina uma infinidade de planos ortogonais a essa direção e paralelos entre si. Se, além de v, fixarmos um ponto ()P, selecionamos um único plano ( ) ortogonal a v e contendo P. Mais adiante veremos outras maneiras de descrever planos. No entanto, a fim de verificar que todas essas descrições são equivalentes, é necessário ter uma definição precisa do que é um plano em nosso contexto. A idéia intuitiva acima pode ser tornada rigorosa e utilizada para esse fim. Definição 5.1. Um subconjunto é dito ser um plano se existir um vetor (,,)vabc não-nulo e um ponto , tais que Equivalentemente, para todo www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Essa definição não faz nada mais que capturar de forma precisa a ideia intuitiva acima. O vetor não nulo v=(a, b ,c ) é chamado vetor normal ao plano P, assim definido por razões óbvias. Um resultado dessa definição é a seguinte: Um conjunto é um plano se, e somente se, existirem números a, b, c, d com (a, b, c) tais que: Demonstração: ( ) Supondo que P seja um plano, pela nossa definição existem um vetor v=(a, b, c) não-nulo e um ponto P0 (x0, y0,z0 ) tais que: Tome as componentes a, b, c de v, notando que escolha e escolha d := ax0 +by0 + cz0 . Nesse caso, sendo P (x ,y, z) um ponto arbitrário, temos: e, portanto, os ponto de P são precisamente os que satisfazem à equação ax +by + cz = d . ( ) Supondo agora existirem números a, b, c, d com. (a, b,c ) (0,0,0) tais que: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II podemos por exemplo assumir que a 0 (os casos b 0 ou c 0 são inteiramente análogos). Nesse caso, escolha o vetor v=(a, b, c ) e o ponto Temos, sendo (P, x, y, z) um ponto arbitrário, completando a demonstração. Essa Proposição significa que os pontos de um plano são precisamente as soluções (x, y, z ) de uma equação linear da forma ax +by + cz = d, com a, b e c não todos nulos. Uma equação dessa forma será dita uma equação cartesiana para o plano em questão. No que segue, definiremos um plano por sua equação cartesiana. Exemplo: Obter uma equação do plano que contém o ponto A (3,0,-4) e tem como vetor normal v=(5,6,2). Resolução: Para qualquer ponto P (x, y ,z) do plano, temos que ter que é a equação cartesiana procurada. Exemplo: A equação z=0 descreve o plano XY. De fato, note que podemos reescrever essa equação como: 0x+0y+1z=0, donde inferimos que o vetor (0,0,1) é normal ao plano. Mas esse vetor é obviamente paralelo ao eixo OZ e, portanto, o plano em questão é perpendicular a esse eixo. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Além disso, uma simples inspeção mostra que o plano contém a origem, e o único plano com essas especificações é o plano XY. Analogamente, as equações x=0 e y=0 descrevem os planos YZ e XZ, respectivamente. Exemplo: Obtenha a interseção do plano P cuja equação é x+2y=4 com os eixos coordenados. Resolução: Para que um ponto P1 (x, y, z) esteja na interseção de P com o eixo OX, deve ser solução simultaneamente das equações do seguinte sistema: O P único tal ponto é P1(4,0,0). De maneira similar, para que um ponto 2( x ,y, z) esteja na interseção de P com o eixo OY , deve ser solução do sistema e a solução é o ponto P2 (0,2,0). Entretanto, para que um ponto P3 (x, y, z ) esteja na interseção de P com o eixo OZ, deveria ser solução do sistema: que obviamente não possui solução. Isso que dizer que o plano P não intersecta o eixo OZ, sendo portanto paralelo a este (faça um desenho dessa situação!). Outra maneira de caracterizar um plano é através de três de seus pontos. Teorema Dados três pontos distintosA, B, C e não-colineares, existe um único plano que os contém. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Demonstração (Existência) Sejam A ( ), B ( ), C ( ) os pontos do enunciado, e considere os vetores Ambos são não-nulos, por serem os pontos distintos, e não paralelos, por serem os pontos não-colineares. O vetor x é, portanto não- nulo (por quê?) e ortogonal a ambos. Seja P o plano que tem n como vetor normal e contém A, ou em outras palavras, o conjunto de todos os pontos P (x, y, z ) tais que Claramente esse é o plano procurado (fig. 5.2). É imediato verificar que A, B, C , bastando substituí-los alternadamente no lugar de P em (*). A demonstração de que este é de fato o único plano contendo A, B, C é mais complexa e será omitida. Exemplo: Obter a equação do plano definido pelos pontos A(3,1,-2), B(5,2,1) e C(2,0,2). Resolução: Primeiro, calcule que Este vetor será normal ao plano buscado, que ademais deve passar por A. Portanto se P (x, y, z) é um ponto do plano, www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Logo, a equação procurada é 7x-11y- z=12 Equações paramétricas do plano Sejam u e v vetores não-nulos e não-paralelos, e um ponto P0 . Intuitivamente, se consideramos retas ru e rv paralelas às direções de u e v, respectivamente, e concorrentes em P0 , teremos um único plano contendo as retas ru e rv e o ponto P0. De fato, esse é precisamente o plano P que tem u x v como vetor normal e contém P0. Seja P um ponto qualquer do plano, e trace por P paralelas ru e rv a ru e rv respectivamente. A reta ru intersectará a reta rv no ponto P2 e rv intersectará a reta ru no ponto P1 , como mostra a Figura 5.3. Agora é paralelo a u, e, portanto, existe tal que Analogamente, é paralelo a v, logo existe tal que Mas pela regra do paralelogramo, e, portanto, www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Se P0 =(x0, y0,z0 ), u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3), então para um ponto qualquer P (x, y, z ) do plano podemos escrever ou as equações paramétricas do plano P, por causa dos parâmetros s, t, cujos valores determinam os pontos do plano. O argumento acima é bastante geométrico e intuitivo. Sua versão rigorosa (que omitiremos) é a demonstração do seguinte teorema. Um conjunto é um plano se, e somente se, existirem um ponto P e vetores u, v não-nulos e não-paralelos tais que Esse teorema garante que um plano fica univocamente caracterizado por suas equações paramétricas. Exemplo: Obtenha equações paramétricas e cartesianas do plano que contém o ponto P0 (2,3,-1) e é paralelo aos vetores u=(3,4,2) e v=(2,-2,6). Resolução: As equações paramétricas podem ser obtidas imediatamente dos dados: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Para obter uma equação cartesiana, como U x v é normal ao plano, a equação procurada deve ter a forma ou Exemplo: Se x+ y+ z 6 é equação cartesiana de um plano, obtenha equações paramétricas desse plano. Resolução: Escreva a equação na forma z= 6- x- y. Os pontos do plano terão que ser precisamente os da forma P (x,y,6- x- y), com x e y arbitrários. Separando a parte constante e as contribuições de x e y, temos Note que os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) são não-nulos, não-paralelos e ortogonais a (1,1,1), que é normal ao plano. Portanto, P (x, y, z) pertencerá ao plano se, e somente se, que são as equações paramétricas procuradas. Equação da reta www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Nossa intuição geométrica mais elementar nos diz que dois pontos determinam uma reta de maneira unívoca. No contexto da Geometria Analítica, dois pontos A,B distintos determinam um vetor Se P é um ponto qualquer na reta , o vetor é paralelo ao vetor , e, portanto, existe um número único t tal que Note que, ao determinar P, são realmente necessários um ponto (no caso, A) e uma direção (nesse caso definida por ). Isso motiva a seguinte definição: Definição. Um subconjunto é uma reta se existirem um ponto e um vetor v não-nulo tais que para alguma As características geométricas dessa situação estão ilustradas na figura 5.4. Algumas observações são pertinentes: 1) Dada uma reta o vetor v e o ponto A não precisam de modo algum ser únicos. Se tomamos outro ponto A' e outro vetor v' não-nulo que seja paralelo a v, o conjunto www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II é exatamente igual a De fato, sendo v' paralelo a v, existe um número tal que Se para algum número Mas então Por outro lado, para algum pois Portanto, se definimos Logo De forma inteiramente análoga, prova-se que: e então como havíamos afirmado. Um vetor v e um ponto A nas condições são chamados vetor diretor e ponto inicial da reta, respectivamente. 2) Dada uma reta e dados A (x 0, y0,z0 ) e v= (v1, v2, v3), e P (x, y, z) um ponto qualquer de a condição é equivalente a afirmar que as coordenadas x, y e z de P satisfazem as equações www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II para algum t . À medida que t as ternas (x, y, z) correspondentes (isto é, satisfazendo esse sistema de equações) descrevem toda a reta Essas são ditas equações paramétricas da reta, pois são escritas em termos de um parâmetro t. 3) Uma analogia mecânica para visualização de uma reta é a seguinte: podemos pensar em uma reta como descrevendo a trajetória de uma partícula pontual em movimento retilíneo uniforme no espaço. Nesse caso, escolher um ponto de referência equivale a escolher uma posição inicial, e um vetor diretor corresponde ao vetor velocidade. Nesse caso o parâmetro t pode ser pensado como um instante de tempo. As várias possibilidades de escolha do vetor diretor e do ponto inicial corresponderão ao fato de que partículas com velocidades diferentes e com posições iniciais diferente podem percorrer uma mesma trajetória no espaço. Mas não leve a analogia longe demais. Em mecânica, uma trajetória retilínea não precisa corresponder a um movimento uniforme. Por exemplo, se uma partícula se move no espaço de acordo com as equações horárias seu movimento é retilíneo. De fato, fazendo s=t3, obtemos as equações paramétricas: que descrevem uma reta passando pela origem e com vetor diretor (1,1,1). Por exemplo, no instante t = 2 a partícula está no ponto da reta correspondente ao valor 8 (oito) do parâmetro s. Veja que, como a função F (x )= x3 é bijetora, para qualquer valor de s, isto é, para qualquer ponto da reta, existe um únicoinstante de tempo t tal que s=t3. O movimento em questão não é uniforme, no entanto, e com as www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II ferramentas que você aprenderá nos cursos de Cálculo, será possível provar que o vetor velocidade é dado em termos do tempo por: Note que esse vetor muda de norma, mas não de direção e nem de sentido, sendo sempre paralelo a (1,1,1). Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(1,2,3) e é paralela ao vetor v=(1,-2,2). Resolução: Usando a prescrição acima, as equações são Para se obter um ponto qualquer dessa reta, basta atribuir a t um valor particular. Para t =0 recobramos A. Para t =1 temos: e, portanto, (2,0,5) é um ponto da reta. Já (3,2,1) não pertence à reta, pois não existe t tal que as equações sejam simultaneamente satisfeitas. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II A nossa intuição inicial é formalizada no seguinte resultado: Dados dois pontos A,B distintos, existe uma única reta com Demonstração: Sendo A e B distintos, o vetor é não-nulo. Seja a reta definida por A e Um ponto P estará nessa reta se, e somente se, para algum t . Pondo t =0 e t =1, vemos que A e B estão ambos na reta. Para provar a unicidade da reta, seja uma reta qualquer contendo A e B e sejam C um ponto arbitrário nessa reta e v um vetor diretor. Existem tais que uma vez que A e B são pontos distintos de por hipótese. Subtraindo uma equação da outra, temos: Portanto, v é paralelo a Exemplo: Ache a reta que passa pelos pontos A(1,1,1) e B(2, -3,4). Resolução: Podemos tomar (1,-4,3) como vetor diretor e A como ponto inicial. As equações serão www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Poderíamos escolher B como ponto inicial, e, nesse caso, teríamos as equações Finalmente, qualquer múltiplo não-nulo do vetor diretor é ainda vetor diretor. Por exemplo, podemos tomar v=( -2,8,6) =( -2) . (1,- 4,3) como vetor diretor, e escolher um ponto inicial diferente de A e B. Você pode verificar que C(-3, 7,7) é um ponto da reta. Com essa escolha, as equações paramétricas ficam Fica a seu encargo mostrar que todo ponto (x, y, z ) satisfaz um desses sistemas se, e somente se, satisfaz o outro (com valores do parâmetro diferentes para cada sistema!). Posições relativas de planos Sejam planos dados respectivamente por equações ax+by+cz+d a' x +b' y +c 'z =d '. Note que esse sistema de equações pode ser olhado de duas formas. Primeiro, de forma geométrica: o problema algébrico de dar uma solução do sistema de duas equações lineares com três incógnitas representa geometricamente obter os pontos de interseção de dois planos. De fato, isso pode ser generalizado para sistemas de n equações lineares com três incógnitas. Resolver um tal sistema corresponde geometricamente a obter os pontos comuns a n planos. Na outra forma, invertemos a ênfase, e vemos que o problema geral de encontrar a interseção de n www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II planos se reduz ao de resolver um sistema de n equações lineares com três incógnitas. É exatamente o tipo de interplay que torna a Geometria Analítica tão útil. Sejam n=(a, b, c) e n'=(a' ,b, ' c') os respectivos vetores normais. Intuitivamente, temos as seguintes três possibilidades: A primeira possibilidade corresponde ao fato trivial de que, se temos uma equação do plano e a multiplicamos por um número real não-nulo, ainda obteremos uma equação descrevendo o mesmo plano. Na segunda possibilidade, os planos não podem ter pontos em comum. Isto ocorre porque o sistema é incompatível nesse caso, isto é, não admite soluções. Com efeito, se subtraímos membro a membro a segunda equação de vezes a primeira, obtemos que em contradição com nossa hipótese de que www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II O terceiro caso é o mais interessante. Como os vetores n e n' não são paralelos, seu produto vetorial n x n' tem ao menos uma componente não-nula, digamos a terceira: (n x n')3 =ab'= a b' 0. Nesse caso você pode verificar, que Ou seja, os pontos de interseção são da forma Fazendo z=0, obtemos uma solução particular Podemos introduzir um novo parâmetro t pondo www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Deixamos como exercício então, provar que a solução geral Pt se expressará em termos desse parâmetro como Esta é precisamente a forma paramétrica da equação da reta, e, portanto, provamos: Dois planos quaisquer ou são paralelos ou se intersectam em uma reta. Note que P0 funciona como o ponto inicial, e o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal de cada plano, como seria de se esperar (figura 5.6). Exemplo: Obter a interseção dos planos x+y+z=1 e x- -y3+z=1. Resolução: Os vetores normais não são paralelos, logo os planos são transversos, e sua interseção é uma reta. Para obter equações paramétricas para essa reta, tomamos dois pontos arbitrários da mesma, ou um ponto e um vetor paralelo à reta. Temos que resolver o sistema www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Resolvendo esse sistema em termos da variável z, temos: Os pontos de interseção são da forma (x, y,z ) = (1-2z, z, z). Atribuindo valores a z, podemos encontrar pontos particulares. Pondo z=0 e z=1, obtemos os pontos P0 (1,0,0) e P1( -1 ,1,1), e a reta que passa por esses pontos tem equações paramétricas Note que isso corresponde a escolher a própria coordenada z como parâmetro. Alternativamente, podemos tomar, por exemplo, P0 como ponto inicial, mas escolher (1,1,1) x (1,-1,3) = (4,-2,-2) como vetor diretor. As equações paramétricas nesse caso serão Posições relativas de reta e plano www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Sejam agora :ax+by+cz=d um plano, e Podemos ter No primeiro caso, dizemos que são paralelos. Para que haja interseção, é necessário e suficiente que Mas note que, se ax0 +by0 +cz0 d e não é possível achar t de modo a satisfazer a equação. Pondo notamos então que para que sejam paralelos é suficiente (e de fato necessário) que O vetor normal ao plano é ortogonal à direção da reta nesse caso, como seria de se esperar. Se não são paralelos, temos duas possibilidades: i) ou seja, P (x0, y0,z0 ) Se =o , então, nesse subcaso, qualquer t satisfaz (**). Isso significa que todo ponto da reta está no plano, isto é, Geometricamente, se o ponto inicial da reta está noplano e seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano, então a reta toda permanece dentro do plano. Por outro lado, se então só podemos satisfazer (**) pondo t = 0. Ou seja, nesse subcaso a reta intersectará o plano somente no ponto P0. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II ii) ou seja, P 0 (x 0, y0,z0 ) Nesse subcaso, obrigatoriamente só podemos satisfazer (**) pondo Provamos assim que: Proposição. Uma reta não contida em um plano ou é paralela ao plano, ou o intersecta em um único ponto. Exemplo: Determine a interseção da reta com o plano Resolução: É fácil ver, usando o produto interno, que o vetor normal ao plano não é ortogonal à direção de , e portanto intersecta P em um único ponto De acordo com o esquema geral acima (Eq.(**)), temos que obter para o qual (3-2 t ) -4(1+ t)+(2+3 t) = -2, isto é, t =1. O ponto de interseção é portanto I (1,2,5). Posições relativas de duas retas Dadas as retas www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Intuitivamente, temos as seguintes possibilidades: . Figura 5.7- Posição relativa de retas: (a) coincidentes, (b) concorrentes, (c) paralelas e (d) reversas. Nos casos (a)-(c), as retas l e l estão sobre um mesmo plano, mas em (d) não existe um plano contendo ambas as retas. Se v (v1, v2, v3) e v'=(v1,'v' 2, v' 3), temos que estudar essas possibilidades de acordo com a direção relativa desses vetores diretores. Dividiremos nossa análise em dois casos. Caso (i): v é paralelo a v'. Nesse caso, intuitivamente podemos ter retas paralelas ou coincidentes. Para ver que isso de fato é assim, escreva , com Agora, ou o ponto P 0 = (x0 , y0 , z0 ) P 0=( x0 , y0 , z0 ) pertence à reta l ou não. No caso positivo, existirá tal que: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Mas então, dado um ponto P'0=(x'0 ,0 y0' , z0 ' ) arbitrário de existe um s' tal que pelo paralelismo dos vetores. Concluímos, então, que com valor do parâmetro Portanto, todo ponto de está em Analogamente, podemos checar que ou seja, as retas coincidem. Se o ponto P 0 = (x0 , y0 , z0 ) não pertence à reta então podemos verificar que nenhum ponto de pertence a pois se elas tivessem um ponto em comum, existiriam para os quais e, portanto, www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Logo, P 0 = (x0 y0 z0 ) R para o valor t= do parâmetro, e temos uma contradição. Portanto, nesse caso as retas seriam paralelas. Exemplo: Determine a posição relativa das retas Resolução: Os vetores diretores são v=(1,-3,2) e (4,2,-6) 2(2,1,-3), e portanto paralelos. O ponto inicial de nessa parametrização é (1,-1,5). Veja que esse ponto não pertence a ', pois teríamos que ter 1=4s e -1= 2+ 2s das equações para a primeira e segunda coordenada dos pontos de ', o que é impossível. Mas então as retas não têm pontos em comum, isto é, são paralelas. Exemplo: Determine a posição relativa das retas Resolução: Os vetores diretores são (2,1,-3) e (6,3,-9)= 3. (2,1,-3), e portanto paralelos. O ponto inicial de é (9,3,-7). Você pode verificar que esse ponto está na reta resolvendo o sistema que admite a solução t =4, portanto as retas são coincidentes. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Caso (ii): v não é paralelo a v'. Nesse caso, considere o vetor n= v X v'. Esse vetor é não-nulo, e podemos considerar a coleção de todos os planos que têm n como vetor normal. Note que há infinitos planos com essa propriedade, todos paralelos (fig. 5.8) entre si. Para selecionar um dado membro dessa família, basta escolher um ponto (lembre que uma direção e um ponto fixam um plano de forma unívoca). Os vetores diretores de são paralelos a qualquer plano dessa coleção, se tomamos um plano qualquer dessa coleção, ou será paralela a ou estará inteiramente contida nesse plano. Sejam os membros dessa coleção contendo os pontos iniciais P 0(x 0, y 0, z 0) e de respectivamente. Claro que Temos então duas possibilidades: ou são paralelos ou O primeiro caso corresponde precisamente a retas reversas, e em particular não se intersectam. No segundo caso, as retas são coplanares. Mas então, uma vez que o plano admite equações paramétricas www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II e como por hipótese existirão (únicos) t0,s0 tais que O sistema pode ser reescrito na forma Proposição. Duas retas distintas contidas em um mesmo plano ou são paralelas ou se intersectam em um único ponto. Exemplo: Determine a posição relativa das retas Resolução: Note que os vetores diretores v= (1,-3,2) e v'=(4,-5,3) não são paralelos, logo as retas não podem ser paralelas e muito menos coincidentes. Considere o vetor n= vX v' (1,5,7). O plano com vetor normal n passando pelo ponto inicial P0 (2,-1,1) tem equação www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Para obter uma equação para esse plano, temos que obter primeiramente um vetor normal. Note que o vetor n X v= ( -31,-5,8) cumpre bem esse papel. A seguir, tomemos um ponto de referência. Como queremos que o plano contenha , podemos tomar P0 (2,-1,1). O plano terá então uma equação Você deve verificar explicitamente que Exemplo: Determine a posição relativa das retas Resolução: Os vetores diretores v=(2,- 1, -1) e v'=(1,1,-2) não são paralelos, logo as retas não podem ser paralelas nem coincidentes. Tomando o vetor n= v X v' (3,3,3). O plano com vetor normal n passando pelo ponto inicial P0 ( -1 ,0,2) de tem equação www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Note que esse plano contém o ponto inicial P 0 (2,-3,2) de e portanto As retas precisam ser concorrentes. De fato, podemos considerar o sistema Deixamos a seu cargo verificar que a (única) solução é t =2, s=1, e que, portanto, as retas se intersectam no ponto (3,-2,0). Distâncias no espaço Nesta seção, queremos discutir como calcular distâncias: a) de ponto a plano; b) de ponto a reta; c) de plano a plano; d) de reta a plano; e) de reta a reta. Em cada caso, o que temos em mente é a menor distância possível entre os pontos dos respectivos conjuntos. Distância de ponto a plano Dados um plano : ax+by+cz=d (com a, b e c não todos nulos) e um ponto P0 (x 0, y0,z0 ), é claro que a distância d (P 0, ) P0 a é obtida computando-se o comprimento do segmento P P0 ', onde P' é o pé da perpendicular baixada de P0 a (figura 5.10). www.institutoipb.com.br| atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Para obter P '(x ', y ', z '), tudo o que precisamos fazer é escrever equações para a reta que passa por P0 e é perpendicular ao plano. Basta tomar o vetor normal n=(a, b, c ) como vetor diretor da reta. Temos então as equações paramétricas A interseção de a com ocorre quando isto é, quando A substituição desse valor do parâmetro em (1) nos dá as coordenadas de P': www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Temos, portanto: daí um cálculo simples usando (2) nos dá a fórmula Note que essa equação faz sentido inclusive quando P0 Nesse caso, a distância é identicamente nula, como seria de se esperar. A fórmula acima é tão simples e simétrica que vale a pena você memorizá la. Apesar disso, sugerimos fortemente que você compreenda a construção geométrica que nos levou a tal fórmula, para que você possa desenvolvê-la sempre que necessário, ou mesmo para usar tal construção para calcular a distância diretamente. Exemplo: Ache uma equação do plano paralelo ao plano x-2y+2z=1 cuja distância ao ponto P0 (3,7,10) é de 100 unidades. Resolução: Todo plano paralelo a será da forma www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II onde cada valor de d determina exatamente um de tais planos. A distância de qualquer para P0 pode ser calculada através da fórmula da distância de ponto a plano. O resultado é Quando impomos que obtemos duas possíveis soluções (conforme assumamos d < 9 ou d > 9 ): correspondendo aos planos paralelos Os planos são paralelos a e simetricamente colocados com respeito a ambos distando 100 desse ponto. Distância de ponto a reta Seja agora P 0 (x 0, y0,z0 ) um ponto, e A distância d (P 0, P 0 ) é exatamente a distância procurada. Essa situação está ilustrada na fig. 5.11 abaixo. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II O plano buscado terá equação a (x -x0 )+b (y -y0 )+c (z -z0 )=0. algumas manipulações algébricas nos dá sendo P 1(x 1, y 1, z 1). Note que introduzimos uma notação vetorial na última igualdade. Temos, portanto, Usando a fórmula de distância usual entre pontos, vem www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Mas, introduzindo a forma vetorial para t0, você pode verificar que essa equação pode ser reescrita na forma Esta fórmula requer explicação. Primeiro, note que o ponto P0 já não aparece na equação, só o ponto P0 e os parâmetros da reta Isto é, v e P1(x 1, y 1, z 1). A fim de entender o significado geométrico dessa fórmula, introduzimos a seguinte definição: Definição. Sejam u, v vetores, com v 0. A projeção (ortogonal) de u sobre v é o vetor Muito bem, mas qual o significado geométrico dessa definição? Na verdade, é bastante simples. Suponha que u, v são ambos não-nulos e o ângulo entre eles (se u é nulo, a projeção também é). Teremos então Ora, é o vetor unitário na direção e sentido de v, e mede o u sobre v, conforme ilustrado na fig. 5.12. v v www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II A projeção portanto, é um vetor com mesma direção de v e módulo Em particular, se u e v são ortogonais, é o vetor nulo. É interessante notar que não depende do módulo de v, e nem do seu sentido, só de sua direção! Pois se consideramos v='t.v, com teremos Outro aspecto interessante de nossa definição é que, se pomos temos isto é, é ortogonal a v (fig. 5.12). O vetor pode então ser pensado v. Além disso, podemos escrever www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Ou seja, o vetor u pode ser escrito como uma soma vetorial entre um vetor com mesma direção de v com outro ortogonal a v. Essa decomposição de fato é única. Com efeito, suponha que escrevamos onde é ortogonal e paralelo a v. Nesse caso, podemos escrever e temos e, portanto, isto é Mas então A unicidade da decomposição acima tem outra consequência interessante. Suponha que u seja um vetor com mesma direção de v. Nesse caso, se escrevemos estamos de fato decompondo u em uma soma de um vetor na direção de v (a saber, o próprio u), e outro ortogonal a v (o vetor nulo, que é ortogonal a qualquer vetor). Pela unicidade da decomposição, teremos que Isso também pode ser verificado diretamente das definições de assumindo-se que para algum t . Moral da história: a projeção em v de um vetor u paralelo a v é o próprio u. Voltemos à nossa fórmula de distância. Usando a notação de projeção, podemos reescrevê-la na forma (veja a figura 5.13.) www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II Exemplo: Obtenha as projeções do vetor v=(x, y, z) sobre os vetores unitários i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k =(0,0,1). Resolução: Usando a definição, temos Analogamente, obtemos que Duas últimas observações: Primeiro, sugerimos que você não se preocupe em decorar fórmulas. Tente, ao invés disso, entender bem a geometria da situação e levar em conta o significado do vetor Em segundo lugar, a distância calculada pelas fórmulas acima não depende da escolha do vetor diretor para pois a projeção sobre v só depende de sua direção, como vimos, e qualquer outro vetor diretor terá a mesma direção de v. Mas essa fórmula dá a impressão de que a distância de depende de qual ponto inicial P1(x 1, y 1, z 1) escolhemos para escrever as equações paramétricas de Essa dependência, no entanto, é apenas aparente. Com efeito, seja dado outro ponto P 2 (x 2, y2,z2 ) sobre a reta Teremos www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro GEOMETRIA ANÁLITICA II e temos também Note que na última igualdade usamos o fato de que P1 e P2 estão em e portanto o vetor tem a mesma direção de v. Assim, obtemos o que mostra que o resultado é o mesmo, independentemente do ponto inicial. A razão geométrica deste fato está ilustrada na figura 5.14. Exemplo: Uma partícula movendo-se no espaço sai do ponto A( -2 ,3,2) no instante t =0 e tem movimento retilíneo uniforme com velocidade (distâncias em metros, intervalos de tempo em segundos). Qual a menor distância que essa partícula tem da origem? Resolução: A reta ao longo da qual a partícula se move terá equações paramétricas www.institutoipb.com.br
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