14 GEOMETRIA ANALITICA II

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Sumário
Vetores ........................................................................................................................ 4 
Espaço cartesiano ....................................................................................................... 4 
Vetores na geometria analítica .................................................................................... 6 
Vetores e a Física ....................................................................................................... 6 
Vetores e a Geometria Euclidiana ............................................................................... 7 
Operações com vetores ............................................................................................ 11 
Norma de um vetor ................................................................................................... 15 
Produto interno .......................................................................................................... 16 
Orientação do espaço ............................................................................................... 21 
O produto vetorial ...................................................................................................... 22 
Retas e Planos no espaço ........................................................................................ 33 
Equação cartesiana do plano .................................................................................... 33 
Equações paramétricas do plano .............................................................................. 38 
Equação da reta ........................................................................................................ 40 
Posições relativas de duas retas ............................................................................... 52 
Distâncias no espaço ................................................................................................ 59 
Distância de ponto a plano ........................................................................................ 59 
Distância de ponto a reta .......................................................................................... 62 
Distância entre planos e de reta a plano ................................................................... 69 
Distância de reta a reta ............................................................................................. 71 
Superfícies Quádricas ............................................................................................... 73 
Quádricas centrais .................................................................................................... 75 
Referências ............................................................................................................... 85 
AUTOAVALIAÇÃO -GEOMETRIA ANALÍTICA II ..................................................... 86 
 
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Vetores 
 
Espaço cartesiano 
 
No plano euclidiano P, foi fixada uma unidade de medida e foram fixados dois eixos 
ortogonais, (os eixos coordenados), interceptando-se em um ponto O, a 
origem. Escolhido um ponto P P, traçam-se retas perpendiculares a , 
passando por P, que interceptam nos pontos R e S. Os comprimentos dos 
segmentos OR e OS, xP e yP, respectivamente, são ditos as coordenadas 
cartesianas de P. Associamos assim a todo ponto P P um par ordenado (xP , yP ) de 
números reais. Note que essa associação depende sempre da escolha da unidade 
de medida, dos eixos e da origem; outras escolhas podem associar coordenadas 
diferentes a um mesmo ponto. 
Reciprocamente, tendo fixados uma unidade de medida, a origem e os eixos 
coordenados, dado um par (x, y) de números reais, pode se obter, de modo único, 
um ponto P do plano cuja abscissa é x e cuja ordenada é y. Em outras palavras, 
fixado um sistema de eixos ortogonais no plano, existe uma correspondência 
biunívoca entre os pontos do plano e pares ordenados de números reais. Esse é o 
fato fundamental que nos permite desenvolver a Geometria Analítica plana. 
Passos inteiramente análogos podem ser utilizados para estudar a Geometria 
Espacial. No espaço euclidiano E, fixados três eixos mutuamente 
ortogonais intersectando-se na origem O, dado um ponto P E, podem se 
traçar uma reta perpendicular ao eixo OZ e uma outra reta perpendicular ao plano 
contendo as retas o plano XY, passando por P. 
O comprimento do segmento que vai da origem ao ponto de interseção da primeira 
perpendicular com o eixo OZ, zP é dito a cota de P. A segunda perpendicular 
intersecta o plano XY em um único ponto, digamos P'. A seguir, por este 
ponto traçamos retas perpendiculares a , interceptando esses eixos em pontos 
cujas distâncias até a origem são xP e yP, respectivamente a abscissa e a ordenada 
de P. Os números reais xP, yP e zP são as coordenadas cartesianas de P no espaço 
(ver figura 4.1). Associamos, assim, a todo ponto P P um terno ordenado (xP , yP ,zP 
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) de números reais. Novamente, essa associação depende sempre da escolha dos 
eixos e da origem; outras escolhas associariam outras coordenadas ao mesmo 
ponto. Usaremos ainda a notação P (x, y, z) para indicar que o ponto P do espaço 
tem coordenadas cartesianas x, y e z. 
 
 
 
 Figura 4.1 
 
Exemplo: Uma sala tem 6m de largura por 8m de comprimento e 4m de altura. 
Estabelecer um sistema adequado de eixos e dar as coordenadas dos seguintes 
pontos: 
a) dos oito cantos da sala; 
b) do ponto de interseção das diagonais do piso; 
c) de um ponto situado a 2m de altura e sobre a vertical que contém a 
interseção das diagonais do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
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Vetores na geometria analítica 
 
Poderíamos estudar geometria analítica espacial do mesmo modo como estudamos 
a plana. Vamos, porém, escolher um caminho diferente. Vamos construir um sistema 
cartesiano de coordenadas para o espaço a partir da noção de vetor. Veremos que 
isso nos permitirá calcular distâncias entre ponto e reta, entre ponto e plano, etc, de 
uma forma mais concisa e eficiente. 
 
Vetores e a Física 
 
Em cursos básicos de Física, é estabelecida uma distinção entre grandezas 
escalares e vetoriais. Grandezas escalares (por exemplo, a temperatura) são 
especificadas se damos um número (sua magnitude) e uma unidade de medida. No 
caso de grandezas vetoriais, por outro lado, além de sua magnitude (em uma 
unidade de medida), requer-se que conheçamos sua direção e sentido espaciais, 
para uma descrição completa. Os exemplos mais comuns de tais grandezas são 
velocidade e força. 
A figura 4.4 apresenta 3 vistas superiores de um mesmo bloco de massa m sobre 
uma mesa sem atrito, sendopuxado por duas cordas com força de magnitude F nos 
sentidos indicados pelas setas. 
 
 
 
45 ° 
45 ° 
m m m 
 
 
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Embora as forças sejam as mesmas em magnitude nos três casos, o movimento 
resultante é bastante distinto. O caráter vetorial da força manifesta-se justamente 
nessa dependência da direção e sentido, ao contrário da massa - se dissermos que 
m = 3 kg, temos toda informação necessária a respeito da mesma. Note ainda que 
nos esquemas (b) e (c) da figura 4.4, a direção é a mesma, mas não o sentido das 
forças, e isso faz diferença para o movimento. 
Outro aspecto fundamental a respeito das grandezas vetoriais, que é ilustrado na 
figura 4.4, é como estas se compõem, ou se combinam. Se juntarmos dois blocos de 
2 kg, podemos considerar o composto como um único bloco de 4 kg. A composição 
ou adição de forças, por outro lado, para obter a chamada força resultante é 
bastante distinta, e mais complicada, pois devem se levar em consideração a 
direção e o sentido daquelas. 
 
Para fornecer uma descrição quantitativa de grandezas escalares e vetoriais, fixado 
um sistema de unidades, precisamos, portanto, considerar objetos matemáticos bem 
distintos: no primeiro caso, números reais; no segundo caso, os vetores. Estes 
últimos devem ter associados a eles, num sentido a ser tornado preciso, um número 
real dando sua magnitude, além de sua direção e sentido. Por outro lado, deverá 
estar definida uma operação entre vetores para obter outro vetor, de forma que se 
possa reproduzir, abstratamente, o modo como compomos forças na Natureza. 
 
Vetores e a Geometria Euclidiana 
 
A área da Matemática onde a noção de vetor pode ser mais naturalmente definida é 
a Geometria. Afinal, magnitude, direção e sentido são noções de forte apelo 
geométrico. Algumas observações de caráter metodológico podem ser feitas aqui. É 
comum representar um vetor por uma seta, ou segmento de reta orientado, e o 
faremos normalmente a seguir. No entanto, é fundamental que o estudante tenha 
em mente a distinção entre um vetor, que é um objeto matemático que pode ser 
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definido de forma precisa, e sua representação gráfica, que é um risco em papel. É 
comum, nos cursos de Física, e mesmo nas partes práticas do curso de Geometria 
Analítica, que nos contentemos com uma noção intuitiva, cuja importância é 
inegável. Na Ciência, no entanto, e principalmente na Matemática, uma boa 
definição é fundamental. Antes de definirmos vetor, vamos lembrar os elementos 
que nossa definição deve contemplar: 
 um vetor deve ter magnitude, direção e sentido; 
 devemos ser capazes de operar com vetores, obtendo outros vetores. 
 
A fim de comparar a magnitude e o sentido de vetores com a mesma direção, é 
conveniente termos ainda uma operação correspondente para aumentar ou diminuir 
 
a magnitude de um vetor, ou mudar seu sentido, o que será feito operando números 
com vetores, obtendo novos vetores. Consideraremos vetores na Geometria 
espacial. Podemos começar com a seguinte 
 
 
Definição Provisória. Um vetor é um par ordenado (A, B ) de pontos do espaço. 
denado? Não era para ser um segmento de 
geometria, a saber: 
AB ={A, B } {C : C está entre .A e B} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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clidiana, isto é, não 
é definido. Agora, o uso de par ordenado serve para dar conta da noção de 
orientação do vetor. De fato, podemos representar um par ordenado (A, B) 
graficamente com uma seta dirigida do ponto A ao ponto B (ver figura 4.5). Podemos 
então entender o segmento orientado de A a B como sendo dado pelo par (A,B) de 
pontos. 
Dessa forma, além de curta e precisa, nossa definição ainda admite a visualização 
intuitiva usual. 
Um pouco de reflexão, no entanto, mostra que essa definição não pode funcionar 
como está. Duas setas com mesmo comprimento, direção e sentido em posições 
distintas do espaço corresponderiam a pares (A,B) e (C,D) distintos, e portanto a 
vetores distintos. Isso significa que magnitude, direção e sentido não seriam 
suficientes para especificar o vetor nesta definição. Em suma, uma boa definição de 
vetor deve ser tal que a especificação do vetor depende somente de seu módulo, 
direção e sentido. Em particular, na representação gráfica, setas com mesma 
magnitude, direção e sentido representariam o mesmo vetor (ver figura 4.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que os segmentos (A, B ) e (C, D) na figura 4.7 não são colineares, isto é, 
as retas não são as mesmas. Todavia, os segmentos têm mesmo 
comprimento, mesma direção (lados opostos de um paralelogramo) e mesmo 
sentido. 
 
 
 
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Lembremo-nos da seguinte caracterização de um paralelogramo: Um quadrilátero é 
um paralelogramo se, e somente se, suas diagonais cortam-se mutuamente em seus 
pontos médios. 
A seguinte definição resume de modo preciso e rigoroso o que significa para dois 
segmentos orientados ter mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. 
Nesse caso, diremos que os segmentos são equipolentes: 
 
Seja (A, B) um segmento orientado, em que A B. Diremos que um segmento 
orientado (C, D ) é equipolente a (A, B ), em símbolos 
 
 
 
se os segmentos (não orientados) AD e CB têm o mesmo ponto médio. Se A = B, 
diremos que (C, D) é equipolente a (A, B, ) se C = D. 
 
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. 
Esta definição significa que cada vetor deve ser pensado como uma coleção de 
setas, ao invés de uma única seta. Cada seta, ou mais precisamente cada segmento 
orientado equipolente ao segmento orientado (A,B),é um representante do (mesmo) 
vetor . 
 
Um destaque especial deve ser dado à classe de equipolência dos pares da forma 
(A, A): esta é, por definição, o vetor nulo. Seus representantes podem ser 
representados graficamente por pontos. Representaremos esse vetor por 
Quando não quisermos enfatizar representantes, denotaremos vetores por u v w,... 
 
Dado um vetor v, e qualquer representante (A, B), note que o comprimento 
| A,B | do segmento AB é o mesmo de qualquer outro representante, pois se 
 , então | AB |= CD | 
 
Teorema 
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Dado um segmento orientado (A, B) e um ponto O, existe um único ponto X tal que 
(A,B) (0,X). 
Se A = B, pomos X = O. Se A B, temos dois casos: O não é colinear com A e B, ou 
é. No primeiro caso, X é simplesmente o quarto vértice do paralelogramo do qual AB 
e AO são lados consecutivos. O segundo caso tem dois subcasos: 
 
i) está entre O e B , O = A ou O está entre A e B . Neste caso, tome a semi-reta de O 
a B e X o único ponto tal que o segmento OX seja congruente a (A, B ) (no caso O = 
A, temos claramente X = B ). 
 
ii) O = B ou B está entre A e O. Neste caso, tome a semi-reta oposta à semi-reta que 
vai de O a A e o ponto X como o único ponto tal que o segmento OX seja 
congruente a AB. 
 
Em particular, se v é um vetor e O um ponto, então existe um único : 
Ponto X tal que v = Reciprocamente, fixado o ponto O, para cada ponto X existe 
um único vetor que tem (O, X) como representante, a saber a classe de equipolência 
 Isso significa que, fixado um ponto O, existe uma correspondência biunívoca 
entre vetores e pontos. Esse fato será fundamental para compreender o que virá a 
seguir.Operações com vetores 
 
Além de uma definição adequada de vetores, temos que operar com eles de modo 
conveniente. Historicamente, a motivação para essas definições é que as mesmas 
reproduzem adequadamente o comportamento de grandezas vetoriais na Física e 
na Engenharia. 
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A primeira dessas operações é a chamada soma ou adição de vetores. O porquê 
desse nome é que essa operação, como veremos, satisfaz propriedades algébricas 
muito parecidas com as da adição de números reais. 
 
 
Sejam u e v vetores. Escolha um ponto O arbitrariamente. Pelo Teorema, existem 
únicos pontos X e Y tais que u = e v = Tomando Y como referência, existe, 
pelo mesmo teorema, um único ponto Z tal que (Y,Z) (O,X). Por definição, a soma 
de u e v é o vetor . Esse vetor soma é denotado por u +v. No caso em que O, X, Y 
são não colineares, Z é o quarto vértice do paralelogramo cujos lados adjacentes 
são OX e OY (fig. 4.8). Por isso, a regra para obter o vetor soma é chamada regra 
do paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 4.8 também deixa claro que se tivéssemos escolhido X como referência e 
tomado o único ponto W tal que (X ,W) então W = Z. Isto significa que a 
soma de vetores é comutativa, isto é, u +v = v +u. É possível, embora um tanto 
trabalhoso, mostrar que, se escolhêssemos um outro ponto O', e pontos X ' e Y ', 
obteríamos, repetindo o processo descrito acima, um ponto Z ' tal que 
(O,Z),definindo portanto a mesma classe de equipolência, isto é, o mesmo vetor. 
Isso significa que o vetor soma u +v não depende do ponto de referência O, somente 
de u e v. 
 
Sendo o vetor nulo ,v+ = para qualquer vetor v. O vetor nulo, funciona 
então como o elemento neutro para a operação de adição de vetores. Será que essa 
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operação tem elementos inversos? Ou seja, dado um vetor v, será que existe um 
vetor oposto v tal que v + (- v) = (-v)+v = 0? A resposta é sim. Seja (A ,B ) um 
representante qualquer de v. Defina v como a classe de equipolência do segmento 
orientado (B, A ). Representantes de v são representados graficamente por setas 
com mesmo comprimento e direção de representantes de v, mas com sentido 
oposto. Enfatizamos que a esta altura v é somente uma notação para o oposto, ou 
inverso aditivo, de v. Ainda não falamos da multiplicação de vetores por números, de 
modo que a priori não faz sentido (ainda) dizer que v =(- 1) v. 
Outra propriedade da adição de vetores que é idêntica a operações com números, é 
a associatividade: (u +v)+ w = u +(v + w), para quaisquer vetores u, v, w. Não 
demonstraremos esta propriedade, mas a ilustramos na figura 4.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em resumo, temos as seguintes propriedades da soma de vetores: 
 
(A1) (Comutatividade) u +v = v +u, para quaisquer vetores u, v. 
(A2) (Associatividade) (u +v)+ w = u +(v + w), para quaisquer vetores u, v, w. 
 (A3) (Elemento neutro) Se é o vetor nulo, v um vetor qualquer, 
 v+ = +v=v 
 (A4) (Inverso aditivo) Dado qualquer vetor v, existe um vetor v tal que 
v + v) = (- v)+v = 
 
Tendo definido adição de vetores e obtido suas propriedades, é natural definir a 
subtração de vetores u, v quaisquer pondo u v = u ( v). 
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A interpretação geométrica, no caso em que u e v são não nulos e com direções 
distintas, está ilustrada na figura 4.10. 
 
 
 
 
 
As seguintes propriedades da subtração de vetores podem ser facilmente 
mostradas, utilizando-se a definição e as propriedades (A 
 
(S1) v v = para qualquer vetor v; 
(S2) u v (v u), para quaisquer vetores u, v; 
(S3) (u v)+(v w) = u w, para quaisquer vetores u, v, w. 
 
Por exemplo, para checar a propriedade (S2) assumindo (S1) e (S3), basta notar 
que (v u)+(u v) = v v = e, portanto, u v (v u) pela unicidade do elemento 
inverso aditivo. 
 
Outra operação fundamental de vetores é multiplicação por escalar. Seja v um vetor, 
 definimos v= (vetor nulo). Tome (A,B ) um representante qualquer 
de v. Se tome B' na semi-reta de A a B tal que Se tome 
B' na semi-reta oposta à semi-reta de A a B tal que (figura 4.11). 
Então definimos como a classe de equipolência do segmento orientado (A, B '). 
Novamente é possível mostrar que essa definição não depende da escolha do 
representante de v, pois se adotássemos um outro segmento orientado (C, D ) 
equipolente a (A ,B ), e aplicássemos o processo acima, obteríamos um segmento 
(C, D) equipolente a (A, B '). A demonstração desse fato, bem como das 
propriedades abaixo, usando apenas Geometria Euclidiana é bastante elaborada e a 
omitiremos. 
 
 
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Figura 4.11 
 
Propriedades da multiplicação por escalar: 
 
(M1) para quaisquer números reais e vetor v. 
(M2) para quaisquer números reais e vetor v. 
(M3) para quaisquer número real e u, v vetores. 
(M4) 1 v, para qualquer vetor v. 
 
Como você aprenderá com detalhes em Álgebra Linear, o conjunto dos vetores, 
munido da operação de 
conhecida como espaço vetorial. De fato, esse nome se deve justamente ao 
reconhecimento de que as propriedades abstratas da soma e multiplicação por 
escalar de vetores, como definidos aqui via Geometria, estão presentes em muitas 
outras situações na Matemática. 
 
Norma de um vetor 
 
 
Dado um vetor v, o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente 
é o mesmo. Para falarmos na medida desse segmento, precisamos escolher uma 
unidade de medida. Assim, vamos escolher um vetor não nulo u para ser um vetor 
unitário. Assim, todo segmento congruente a qualquer representante seu será um 
segmento de medida igual a 1. 
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Considere, agora, um vetor qualquer v. Se v for o vetor nulo, definimos sua norma 
como sendo o escalar 0 (zero). Se v for diferente do vetor nulo, existe um vetor 
unitário u colinear com v (por que?). Pela definição de produto por escalar, existe um 
escalar t tal que v = tu. Define-se norma do vetor v, denotando-se por como 
sendo o módulo de t. Isto é, 
 
 
 
O leitor pode verificar as seguintes propriedades: 
 
 
Produto interno 
 
Uma terceira operação entre vetores extremamente útil geometricamente é o 
chamado produto interno. Antes de introduzi-la, precisamos da definição de ângulo 
entre vetores. 
Sejam u e v vetores não nulos no plano. Seja A um ponto qualquer. Sejam B e C os 
únicos pontos tais que e O ângulo entre u e v é a medida
 do ângulo 
Note que escolhas diferentes do ponto A resultam em ângulos congruentes e, 
portanto, de mesma medida. Logo, a medida só depende dos vetores u e v, e não de 
seus representantes. Diremos que dois vetores u e v, não nulos, são paralelos se o 
ângulo entre eles é 0 ou Diremos que são ortogonais se É conveniente 
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incluir na discussão o vetor nulo: dizemos que, por definição, o vetor nulo é 
ortogonal a todo vetor. Sejam u e v vetores no espaço. Seu produto interno, 
denotado por é definido por 
 
nulos, em que é o ângulo se u e v são ambos não 
entre u e v; 
se u, ou v, for nulo. 
 
Note que, ao contrário das operações definidas anteriormente, o resultadodo 
produto interno entre dois vetores é um número real e não um vetor e, portanto, não 
é um produto no sentido usual. Mas a expressão já está consagrada e a mantemos. 
 
O produto interno satisfaz as seguintes propriedades: 
 
 
 (simetria); 
 
 (homogeneidade); 
 
 (distributividade). 
 
Note que a propriedade da desigualdade triangular, 
 
 
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Dependência linear 
 
Seja v um vetor. Sejam v1,...,vn n vetores. Dizemos que v é uma combinação linear 
dos vetores v1,...,vn se existem escalares t1,...,tn tais que v = t1v1 +...+ tnvn. Por 
exemplo, se v = 3u, dizemos que v é uma combinação linear de u. Outro exemplo: o 
vetor zero é combinação linear de quaisquer n vetores v1,...,vn, pois = 0.v1 
+...+0.vn . Observe que o zero à esquerda da equação é o vetor zero; os zeros à 
direita são escalares. 
Vamos falar agora sobre dependência linear entre vetores. Por definição, o conjunto 
formado apenas pelo vetor nulo é um conjunto linearmente dependente 
(abreviadamente, LD). Os conjuntos formados por um único vetor não nulo são todos 
linearmente independentes (abreviadamente, LI). 
Um conjunto de n vetores, n > 1, é linearmente dependente se pelo menos um deles 
for combinação linear dos outros. Neste caso, dizemos também que os vetores são 
linearmente dependentes. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente 
independente, ou que os vetores são linearmente independentes. 
 Um conjunto de n vetores, v1,...,vn , é LI se, e somente se, a única forma do vetor 
zero se escrever como combinação linear de v1,...,vn é a trivial, isto é, = 0.v1 
+...+0.vn. 
 
A demonstração desse teorema é simples: suponha que os vetores sejam LD. Então 
um deles, digamos v1, é combinação linear dos outros: v1 = t2v2 +...+ tnvn. Ou seja, 
=1.v1 ( t2 ).v2 +... ( tn ).vn v1, tnvn. Logo, o vetor zero se escreve de modo não 
trivial como combinação linear de v1,...,vn . Reciprocamente, suponha que o vetor 
zero se escreva de forma não trivial, digamos, . + em que t1 
0 (sem perda de generalidade) Logo, - ou seja, v1 é 
combinação linear dos outros vetores, o que significa que v1,...,vn são LD. 
 
Um corolário dessa proposição é o seguinte:Se v é combinação linear de n vetores, 
v1,...,vn, e v1,...,vn são linearmente independentes, então essa combinação linear é 
única, no sentido que, se v = t1v1 +...+ tnvn = s1v1 +...+ snvn então t1 = s1, ..., tn = sn. 
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A prova segue do fato que e, e , como v1,...,vn 
são LI, t1 s1 = 0, ... ,tn sn = 0 . 
 
Note que um conjunto que contenha o vetor nulo é sempre LD (por quê?). Vemos, 
também, que dois vetores não nulos são linearmente dependentes se, e somente se, 
são colineares. Podemos concluir, ainda, que três vetores não nulos são LD se, e 
somente se, são coplanares. Logo, três vetores não nulos são LI se, e somente se, 
quaisquer representantes deles originados em um ponto qualquer do espaço formam 
um triedro, ou seja, cada par de representantes estão em planos distintos. Um fato 
importante: no espaço, quatro vetores são sempre LD e o número máximo de 
vetores LI é três. Por isso, dizemos que a dimensão algébrica do espaço é três. 
 
Sejam v1,v2,v3 três vetores LI do espaço. Então qualquer vetor é uma combinação 
linear desses vetores (isso implica que quatro vetores do espaço são LD 
t1v1 + t2v2 + t3v3. 
 
 A prova dessa proposição é geométrica. Seja v um vetor qualquer. Tome um ponto 
A, e sejam representantes para v1,v2,v3 e v, respectivamente. Por P, passe um 
plano paralelo ao plano que contém AB e AC. 
Esse plano vai cortar a reta que contém AD em um ponto D'. Analogamente, seja B' 
o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AC e AD, que passa por P, com 
a reta que contém AB, e C' o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AB e 
AD, que passa por P, com a reta que contém AC. Afirmo que + . 
Como temos que 
 
v= . 
 
Dizemos que 3 vetores LI do espaço geram o espaço euclidiano. Note, também, que 
a combinação é única. Isso motiva as seguintes definições: 
 
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Sejam v1,v2,v3 vetores LI do espaço. Então o conjunto desses vetores é dito uma 
base do espaço. 
Seja uma base do espaço. Então, dado um vetor v qualquer do 
espaço, existem únicos escalares t1,t2,t3 tais que v = t1v1 + t2v2 + t3v3. Dizemos que 
t1,t2,t3 são as coordenadas de v na base e escrevemos ( 
 
Base ortonormal 
 
Um conjunto de vetores unitários (isto é, que têm norma igual a 1), que são 
ortogonais dois a dois, é dito um conjunto ortonormal de vetores. 
Se é um conjunto ortonormal de vetores do espaço, então 
é uma base. 
 
A demonstração segue do fato que, se 
 
 
 
 
para todo k. Mas, como o conjunto é ortonormal, essa equação é equivalente à 
equação 
 
Ou seja, o vetor zero só se escreve da forma trivial como combinação linear . 
 
 
O teorema abaixo nos mostra como calcular produtos internos de vetores escritos 
como combinações de vetores de uma base ortonormal. 
Seja uma base ortonormal de vetores do espaço. Então, se u = t1v1 + t2v2 
+ t3v3 e v = s1v1 + s2v2 + s3v3, temos que 
 
 
 
Demonstração: 
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Orientação do espaço 
 
Seja uma base do espaço. Dizemos que essa base é positiva se ela 
satisfaz à chamada regra da mão direita. Esta regra é muito utilizada em Física. 
Vamos supor que temos três representantes para esses vetores: 
Vamos girar (no sentido do menor do ângulo entre até coincidir com 
um vetor colinear com com a mão direita apoiada no plano determinado por AB e 
AC. Se o dedo polegar da mão direita apontar para o mesmo lado do plano que , 
então dizemos que os três vetores satisfazem a regra da mão direita. Observe que, 
para orientação, a ordem dos vetores é importante. Assim, representaremos a base 
do espaço com orientação (positiva ou negativa) pelo triedro 
 
Sistema cartesiano de coordenadas no espaço 
 
 Vamos escolher um ponto O do espaço, ao qual chamaremos de origem. 
 
Tomemos uma base ortonormal positiva, e seus representantes 
 A cada ponto P do espaço vamos associar as coordenadas do vetor 
 em relação a essa base: P(X,Z,Y) . 
Para diferenciar ponto de vetor, escreveremos para indicar 
que 
 
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 Observe que, dados o vetor é dado pela diferença entre o 
vetor e o vetor 
Logo, 
 
 
 
Assim, é possível computar, por exemplo, o ângulo entre dois vetores, se 
conhecemos suas componentes. Em particular, é possível determinar quando dois 
vetores são ortogonais, pois isso ocorrerá se, e somente se, seu produto interno for 
zero. 
Exemplo: Prove que o triângulo de vértices A (2,3,1), B(2,1, 1) e C(2,2, 2) é um 
triângulo retângulo. 
 
Resolução: Devemos calcular produtos internos entre os vetores que determinam 
os lados do triângulo a fim de descobrir se algum deles é zero. 
Podemos tomar os vetores:ou os opostos destes. Temos, portanto: 
 
 
 
 
 
Logo, o ângulo entre é reto, com vértice B. Assim, o ABC é retângulo. 
 
O produto vetorial 
 
Enquanto o produto interno fornece um número, nossa próxima operação com 
vetores resulta em um vetor, sendo por isso chamada de produto vetorial. Ao 
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contrário do produto interno, esta é uma operação genuína entre vetores, que tem 
algumas propriedades pouco usuais: o produto vetorial não é comutativo, nem 
associativo! 
Geometricamente, o produto vetorial aparece devido à seguinte questão: como obter 
um vetor w = (x,y,z) que seja simultaneamente perpendicular a dois vetores 
dados? 
 
Devemos ter que e, portanto, o sistema 
 
 
 
 
 
Este sistema admite uma infinidade de soluções. Uma delas é 
 
 
 
 
 
 
como você pode facilmente verificar. Claro que qualquer múltiplo do vetor w assim 
obtido será também solução. Essa forma da solução, no entanto, é a mais 
conveniente, por razões que ficarão mais claras à medida que prosseguirmos. 
Sejam vetores quaisquer. 
 
O produto vetorial de u e v é o vetor 
 
 
 
 
Usando a definição de produto vetorial, obtemos que u, u ×v = 0 e v, u ×v 0, ou 
seja, que a direção do vetor é a da normal do plano que contém O, X e Y, 
pontos tais que são representantes de u e v, respectivamente. Veremos na 
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próxima seção que o sentido de u×v é dado pela regra da mão direita, isto é, u×v é 
um vetor ortogonal a u e v de tal modo que o triedro (u, v, u×v) é positivo (ver figura 
4.12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere 
Sabemos que 
 
 
 
 
e que esses vetores são dois a dois ortogonais. Pela nossa notação, 
 
 
 
Vamos considerar 
 
 
 
 
 
 
 
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como se fosse o determinante de uma matriz 3x 3 sobre o conjunto dos números 
reais, desenvolvendo pela primeira linha: 
 
 
 
 
 
 
 
Note que a última expressão é u×v. 
 
É importante perceber que esta é apenas uma regra para auxiliar a memorização, e 
não um procedimento matemático bem definido. De fato, até aqui você só estudou 
matrizes com entradas reais, e não uma matriz que mistura números reais e vetores 
do espaço! 
Outro ponto muito importante é a ordem de u e v ao escrever o determinante (*). 
Você deve lembrar que, ao trocar duas linhas, o determinante de uma matriz muda 
de sinal. Se você deseja calcular u×v, escreva as componentes de u na segunda 
linha e as de v na terceira, e troque as linhas para calcular v×u. 
 
Exemplo: 
 
Vamos computar o produto vetorial de u = (5,4,3) e v = (1,0,1). 
 
 
 
 
Se trocarmos a ordem dos vetores, no entanto, temos: 
 
 
 
 
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O seguinte Teorema resume algumas propriedades do produto vetorial. 
 
Para vetores u, v e w quaisquer, e para todo número real 
 
(PV1) (Anti-simetria) u×v (v×u); 
 
(PV2) (Bilinearidade) 
 
 
 
 
(PV3) 
 
 
 
 
(PV4) 
 
 
 
 
De fato, aplicando (PV3) obtemos que 
Em particular 
Do ponto de vista geométrico, além de ser uma maneira de obter um vetor ortogonal 
a outros dois dados, o produto vetorial é a ferramenta por excelência para avaliar se 
três pontos estão em uma mesma reta, isto é, se são colineares. Para ver isto, basta 
perceber que para qualquer vetor v, v×v = . Este fato segue imediatamente da 
definição de produto vetorial. Ora, três pontos A, B e C são colineares se, e somente 
se, o vetor é paralelo ao vetor , o que por sua vez é equivalente a afirmar que 
 . para algum Se esse é o caso, a bilinearidade (propriedade (PV 2)) nos 
dá 
 
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Portanto, se A, B e C são colineares, A recíproca dessa 
afirmação advém da seguinte proposição, que nos dá o módulo do vetor u×v. 
Se u e v são vetores não-nulos, 
 
 
 
Onde é o ângulo entre u e v. 
 
Demonstração: Usando a propriedade (PV 4) do Teorema, temos, 
 
 
 
 
lembrando que sen deve ser não-negativo, o resultado segue. 
 
Sejam A,B e C pontos quaisquer do espaço. Se 
Então A,B e C são colineares. 
 
Demonstração: Se um dos pontos é igual a qualquer outro, a conclusão vale de 
imediato. Se os três pontos são distintos, e concluímos que 
sen =0 sendo o ângulo entre que são, portanto, paralelos. 
 
A colinearidade não é a única utilidade do produto vetorial. Sejam u e v vetores não-
nulos e não-paralelos com ângulo entre eles, e considere um paralelogramo 
formado por setas representantes desses vetores (fig. 4.13). 
 
 
 
 
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A área A desse paralelogramo é bem conhecida da Geometria: 
A = b × h, em que b é o comprimento da base e h o comprimento da altura. 
 Em nosso caso, b é e portanto 
 
 
Em outras palavras, o módulo do produto vetorial de u e v é numericamente igual à 
área do paralelogramo definido por u e v. 
Exemplo: Calcular a área do triângulo de vértices A (1,- 2, 1), B (2,- 1, 4) e C(- 1 , 
3, 3). 
Resolução: A figura 4.14 mostra que, a partir do triângulo ABC, podemos construir 
um paralelogramo ABCD, cuja área é o dobro da área do triângulo. 
 
 
 
 
 
Considerando que o paralelogramo é determinado pelos vetores e 
obtemos que a área do triângulo é: 
 
 Área 
 
 
Mas Portanto 
 
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Logo, podemos calcular que e, assim, 
 
 Área 
 
Produto misto 
 
A operação entre três vetores u, v e w do espaço, aparece tantas vezes 
em Geometria que lhe damos um nome especial: produto misto de u, v e w, nessa 
ordem, e denotamo-la por [u, v, w ]. 
 
O fato de o produto misto poder ser escrito como um determinante ajuda-nos a obter 
algumas de suas propriedades. O determinante de uma matriz muda de sinal se 
duas linhas quaisquer são permutadas e, portanto, se permutamos duas linhas um 
número par de vezes, o determinante não se altera (pode inclusive ser um par de 
linhas diferentes a cada vez). Temos, por exemplo, que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja, que 
[u ,v, w ] =[v, w, u ] =[w, u, v ]. 
 
Note que, nessas últimas igualdades, as trocas de u, v e w ocorrem ciclicamente, no 
sentido anti-horário. Por isso, essas permutações são ditas cíclicas. Observe que o 
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determinante preserva a orientação de um triedro, pois (u, v, w) tem a mesma 
orientação que (v, w, u), que tem a mesma orientação que (w, u, v), que é a 
orientação contrária às dos triedros (v, u ,w), (u, w, v) e (w, v, u). Uma propriedade 
importante de determinante é a seguinte: 
 
[u, v,w] =[Ru, Rv, Rw],Em que R é uma transformação linear do espaço que preserva os módulos dos 
vetores, ou seja, e que preserva a orientação dos triedros. Por exemplo, 
as rotações no espaço são transformações desse tipo. 
 
Vamos usar essa propriedade de determinante para mostrar que um triedro (u, v, w 
), em que w é ortogonal a u e v, é positivo se, e somente se, [u, v, w ] > 0. Para isso, 
seja o ângulo entre u e v, . Considere a rotação R que leva o vetor u no 
vetor e o vetor w, no vetor Observe que esse triedro será positivo se, e 
só se, o vetor v for levado no vetor (convença se disso, fazendo 
um desenho). Temos então que: 
 
 
 
 
 
 
Por conseguinte, como para u e v, não colineares, temos que [u, v ,u ×v] = u×v ,u ×v 
> 0, concluímos que o triedro (u, v, u ×v) é positivo, ou seja, que o sentido de u×v é 
dado pela regra da mão direita. 
 
O produto misto também tem uma função geométrica muito importante. Enquanto o 
produto vetorial nos permite calcular áreas, o produto misto serve para calcular 
volumes. Na figura 4.15, vê-se o paralelepípedo definido por vetores u, v e w. A base 
desse paralelepípedo é o paralelogramo definido pelos vetores u e v, cuja área é 
 
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A altura h é dada por 
 
 
 
 
 
Como o volume do paralelepípedo é por definição V = área da base ×altura, 
 
segue-se que 
 
 
 
 
 
Portanto, o módulo do produto misto dos vetores u, v e w é igual ao volume do 
paralelepípedo definido por esses vetores. 
Exemplo: O produto misto de u = (3,5,7), v = (2,0, 1) e w = (0,1,3) é 
 
 
 
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e, portanto, o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u , v e w é 
 
 
Na figura 4.15 também notamos que, quando o segmento representante 
do vetor w estará no plano contendo os segmentos representantes de u e v. Ou seja, 
os vetores u, v e w são coplanares. Mas isso acontece precisamente quando w e 
u×v forem ortogonais, isto é, quando u×v ,w= 0. Isso nos ajuda a descobrir se quatro 
pontos A, B, C e D dados são coplanares, isto é, se estão sobre o mesmo plano 
(claro que isso ocorre automaticamente se dois ou mais dos pontos em questão são 
iguais). Isso ocorrerá se, e somente se, 
 Não faremos uma prova mais rigorosa desse fato, mas o ilustramos em um 
exemplo. 
 
Exemplo: Mostrar que os pontos A(1,2,4), B( 1 ,0, 2), C(0,2,2) e D( 2 ,1, 3) são 
coplanares. 
Resolução: O quatro pontos dados serão coplanares se forem coplanares os 
vetores 
Devemos, portanto, calcular seu produto misto. Temos 
 
 
 
 
 
 
e, logo, os pontos são de fato coplanares. Você pode verificar por si só que a ordem 
em que nomeamos os pontos é irrelevante. 
 
 
 
 
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Retas e Planos no espaço 
 
Equação cartesiana do plano 
 
Um plano no espaço pode ser caracterizado de diversas maneiras. A primeira que 
estudaremos vem das seguintes considerações intuitivas. Dada uma direção, que 
você pode imaginar como sendo uma reta, existem uma infinidade de planos 
paralelos entre si, e perpendiculares a essa direção. No entanto, se além de 
fixarmos uma direção, também fixarmos um ponto, um e somente um plano dessa 
família de planos conterá o ponto em questão. Em outras palavras, um plano ficará 
fixado se dermos uma direção e um ponto. 
 
 
Figura 5.1 Um vetor não-nulo v determina uma infinidade de planos ortogonais a essa direção e 
paralelos entre si. Se, além de v, fixarmos um ponto ()P, selecionamos um único plano ( ) ortogonal a v 
e contendo P. 
Mais adiante veremos outras maneiras de descrever planos. No entanto, a fim de 
verificar que todas essas descrições são equivalentes, é necessário ter uma 
definição precisa do que é um plano em nosso contexto. A idéia intuitiva acima pode 
ser tornada rigorosa e utilizada para esse fim. 
 
Definição 5.1. Um subconjunto é dito ser um plano se existir um vetor 
(,,)vabc não-nulo e um ponto , tais que 
 
 
 
 
Equivalentemente, para todo 
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Essa definição não faz nada mais que capturar de forma precisa a ideia intuitiva 
acima. O vetor não nulo v=(a, b ,c ) é chamado vetor normal ao plano P, assim 
definido por razões óbvias. Um resultado dessa definição é a seguinte: 
 
Um conjunto é um plano se, e somente se, existirem números a, b, c, d 
 com (a, b, c) tais que: 
 
 
 
Demonstração: 
 
( ) Supondo que P seja um plano, pela nossa definição existem um vetor v=(a, b, c) 
não-nulo e um ponto P0 (x0, y0,z0 ) tais que: 
 
 
 
Tome as componentes a, b, c de v, notando que escolha e escolha d 
:= ax0 +by0 + cz0 . Nesse caso, sendo P (x ,y, z) um ponto arbitrário, temos: 
 
 
 
 
e, portanto, os ponto de P são precisamente os que satisfazem à equação 
ax +by + cz = d . 
( ) Supondo agora existirem números a, b, c, d com. (a, b,c ) 
(0,0,0) tais que: 
 
 
 
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podemos por exemplo assumir que a 0 (os casos b 0 ou c 0 são inteiramente 
análogos). Nesse caso, escolha o vetor v=(a, b, c ) e o ponto 
 
 
 
Temos, sendo (P, x, y, z) um ponto arbitrário, 
 
 
 
 
 
 
completando a demonstração. 
 
 
Essa Proposição significa que os pontos de um plano são precisamente as soluções 
(x, y, z ) de uma equação linear da forma ax +by + cz = d, com a, b e c não todos 
nulos. Uma equação dessa forma será dita uma equação cartesiana para o plano 
em questão. No que segue, definiremos um plano por sua equação cartesiana. 
 
Exemplo: Obter uma equação do plano que contém o ponto A (3,0,-4) e tem como 
vetor normal v=(5,6,2). 
 
Resolução: Para qualquer ponto P (x, y ,z) do plano, temos que ter que é a equação 
cartesiana procurada. 
 
Exemplo: A equação z=0 descreve o plano XY. De fato, note que podemos 
reescrever essa equação como: 
 
0x+0y+1z=0, 
 
donde inferimos que o vetor (0,0,1) é normal ao plano. Mas esse vetor é obviamente 
paralelo ao eixo OZ e, portanto, o plano em questão é perpendicular a esse eixo. 
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Além disso, uma simples inspeção mostra que o plano contém a origem, e o único 
plano com essas especificações é o plano XY. Analogamente, as equações x=0 e 
y=0 descrevem os planos YZ e XZ, respectivamente. 
 
Exemplo: Obtenha a interseção do plano P cuja equação é x+2y=4 com os eixos 
coordenados. 
 
Resolução: Para que um ponto P1 (x, y, z) esteja na interseção de P com o eixo OX, 
deve ser solução simultaneamente das equações do seguinte sistema: 
 
 
 
 
O P único tal ponto é P1(4,0,0). De maneira similar, para que um ponto 
 2( x ,y, z) esteja na interseção de P com o eixo OY , deve ser solução do 
sistema 
 
 
 
e a solução é o ponto P2 (0,2,0). Entretanto, para que um ponto P3 (x, y, z ) esteja na 
interseção de P com o eixo OZ, deveria ser solução do sistema: 
 
 
 
 
que obviamente não possui solução. Isso que dizer que o plano P não intersecta o 
eixo OZ, sendo portanto paralelo a este (faça um desenho dessa situação!). 
Outra maneira de caracterizar um plano é através de três de seus pontos. 
 
Teorema 
Dados três pontos distintosA, B, C e não-colineares, existe um único plano 
que os contém. 
 
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Demonstração (Existência) Sejam A ( ), B ( ), C ( ) 
os pontos do enunciado, e considere os vetores Ambos são não-nulos, 
por serem os pontos distintos, e não paralelos, por serem os pontos não-colineares. 
O vetor x é, portanto não- nulo (por quê?) e ortogonal a ambos. Seja P o plano 
que tem n como vetor normal e contém A, ou em outras palavras, o conjunto de 
todos os pontos P (x, y, z ) tais que 
 
 
 
Claramente esse é o plano procurado (fig. 5.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É imediato verificar que A, B, C , bastando substituí-los alternadamente no lugar 
de P em (*). A demonstração de que este é de fato o único plano contendo A, B, C é 
mais complexa e será omitida. 
 
Exemplo: Obter a equação do plano definido pelos pontos A(3,1,-2), B(5,2,1) e 
C(2,0,2). 
 
Resolução: Primeiro, calcule que 
 
 
 
Este vetor será normal ao plano buscado, que ademais deve passar por A. Portanto 
se P (x, y, z) é um ponto do plano, 
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Logo, a equação procurada é 
7x-11y- z=12 
 
Equações paramétricas do plano 
 
Sejam u e v vetores não-nulos e não-paralelos, e um ponto P0 . Intuitivamente, se 
consideramos retas ru e rv paralelas às direções de u e v, respectivamente, e 
concorrentes em P0 , teremos um único 
plano contendo as retas ru e rv e o ponto P0. De fato, esse é precisamente o plano P 
que tem u x v como vetor normal e contém P0. Seja P um ponto qualquer do plano, e 
trace por P paralelas ru e rv a ru e rv respectivamente. A reta ru intersectará a reta rv 
no ponto P2 e rv intersectará a reta ru no ponto P1 , como mostra a Figura 5.3. 
 
 
Agora é paralelo a u, e, portanto, existe tal que 
Analogamente, é paralelo a v, logo existe tal que 
Mas pela regra do paralelogramo, e, portanto, 
 
 
 
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Se P0 =(x0, y0,z0 ), u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3), então para um ponto qualquer P (x, 
y, z ) do plano podemos escrever 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
as equações paramétricas do plano P, por causa dos parâmetros s, t, cujos valores 
determinam os pontos do plano. 
O argumento acima é bastante geométrico e intuitivo. Sua versão rigorosa (que 
omitiremos) é a demonstração do seguinte teorema. 
 
Um conjunto é um plano se, e somente se, existirem um ponto P 
e vetores u, v não-nulos e não-paralelos tais que 
 
 
 
Esse teorema garante que um plano fica univocamente caracterizado por suas 
equações paramétricas. 
 
Exemplo: Obtenha equações paramétricas e cartesianas do plano que contém o 
ponto P0 (2,3,-1) e é paralelo aos vetores u=(3,4,2) e v=(2,-2,6). 
 
Resolução: As equações paramétricas podem ser obtidas imediatamente dos 
dados: 
 
 
 
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Para obter uma equação cartesiana, como U x v é normal ao plano, a equação 
procurada deve ter a forma 
 
 
ou 
 
 
 
 
Exemplo: Se x+ y+ z 6 é equação cartesiana de um plano, obtenha equações 
paramétricas desse plano. 
 
Resolução: Escreva a equação na forma z= 6- x- y. Os pontos do plano terão que 
ser precisamente os da forma P (x,y,6- x- y), com x e y arbitrários. Separando a 
parte constante e as contribuições de x e y, temos 
 
 
 
Note que os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) são não-nulos, não-paralelos e ortogonais a 
(1,1,1), que é normal ao plano. Portanto, P (x, y, z) pertencerá ao plano se, e 
somente se, 
 
 
 
 
 
que são as equações paramétricas procuradas. 
 
Equação da reta 
 
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Nossa intuição geométrica mais elementar nos diz que dois pontos determinam uma 
reta de maneira unívoca. No contexto da Geometria Analítica, dois pontos A,B 
distintos determinam um vetor Se P é um ponto qualquer na reta , o vetor 
 é paralelo ao vetor , e, portanto, existe um número único t tal que 
 
 
 
Note que, ao determinar P, são realmente necessários um ponto (no caso, A) e uma 
direção (nesse caso definida por ). Isso motiva a seguinte definição: 
 
Definição. Um subconjunto é uma reta se existirem um ponto 
 e um vetor v não-nulo tais que 
 para alguma 
 
As características geométricas dessa situação estão ilustradas na figura 5.4. 
 
 
 
Algumas observações são pertinentes: 
 
1) Dada uma reta o vetor v e o ponto A não precisam de modo algum ser 
únicos. Se tomamos outro ponto A' e outro vetor v' não-nulo que seja paralelo a v, o 
conjunto 
 
 
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é exatamente igual a De fato, sendo v' paralelo a v, existe um número 
 tal que Se 
para algum número Mas então 
 
 
 
 
Por outro lado, para algum pois 
 
Portanto, se definimos 
 
 Logo 
 
 De forma inteiramente análoga, prova-se que: 
 
 
 
e então como havíamos afirmado. Um vetor v e um ponto A nas condições 
são chamados vetor diretor e ponto inicial da reta, respectivamente. 
 
2) Dada uma reta e dados A (x 0, y0,z0 ) e v= (v1, v2, v3), e P (x, y, z) um ponto 
qualquer de a condição 
 
 
 
é equivalente a afirmar que as coordenadas x, y e z de P satisfazem as equações 
 
 
 
 
 
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para algum t . À medida que t as ternas (x, y, z) correspondentes 
(isto é, satisfazendo esse sistema de equações) descrevem toda a reta Essas 
são ditas equações paramétricas da reta, pois são escritas em termos de um 
parâmetro t. 
 
 
 
 
3) Uma analogia mecânica para visualização de uma reta é a seguinte: podemos 
pensar em uma reta como descrevendo a trajetória de uma partícula pontual em 
movimento retilíneo uniforme no espaço. Nesse caso, escolher um ponto de 
referência equivale a escolher uma posição inicial, e um vetor diretor corresponde ao 
vetor velocidade. Nesse caso o parâmetro t pode ser pensado como um instante de 
tempo. As várias possibilidades de escolha do vetor diretor e do ponto inicial 
corresponderão ao fato de que partículas com velocidades diferentes e com 
posições iniciais diferente podem percorrer uma mesma trajetória no espaço. Mas 
não leve a analogia longe demais. Em mecânica, uma trajetória retilínea não precisa 
corresponder a um movimento uniforme. Por exemplo, se uma partícula se move no 
espaço de acordo com as equações horárias seu movimento é retilíneo. De fato, 
fazendo s=t3, obtemos as equações paramétricas: 
 
 
 
 
 
 
que descrevem uma reta passando pela origem e com vetor diretor (1,1,1). 
Por exemplo, no instante t = 2 a partícula está no ponto da reta correspondente ao 
valor 8 (oito) do parâmetro s. Veja que, como a função F (x )= x3 é bijetora, para 
qualquer valor de s, isto é, para qualquer ponto da reta, existe um únicoinstante de 
tempo t tal que s=t3. O movimento em questão não é uniforme, no entanto, e com as 
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ferramentas que você aprenderá nos cursos de Cálculo, será possível provar que o 
vetor velocidade é dado em termos do tempo por: 
 
 
 
Note que esse vetor muda de norma, mas não de direção e nem de sentido, sendo 
sempre paralelo a (1,1,1). 
 
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(1,2,3) e 
é paralela ao vetor v=(1,-2,2). 
 
Resolução: Usando a prescrição acima, as equações são 
 
 
 
 
 
Para se obter um ponto qualquer dessa reta, basta atribuir a t um valor particular. 
Para t =0 recobramos A. Para t =1 temos: 
 
 
 
 
 
e, portanto, (2,0,5) é um ponto da reta. Já (3,2,1) não pertence à reta, pois não 
existe t tal que as equações 
 
 
 
 
 
sejam simultaneamente satisfeitas. 
 
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A nossa intuição inicial é formalizada no seguinte resultado: 
 
Dados dois pontos A,B distintos, existe uma única reta com 
 
Demonstração: Sendo A e B distintos, o vetor é não-nulo. Seja 
a reta definida por A e Um ponto P estará nessa reta se, e somente se, 
 
 
 
para algum t . Pondo t =0 e t =1, vemos que A e B estão ambos na reta. 
Para provar a unicidade da reta, seja uma reta qualquer contendo A e B e sejam 
C um ponto arbitrário nessa reta e v um vetor diretor. Existem 
tais que 
 
 
 
uma vez que A e B são pontos distintos de por hipótese. Subtraindo uma 
equação da outra, temos: 
 
 
 
Portanto, v é paralelo a 
 
Exemplo: Ache a reta que passa pelos pontos A(1,1,1) e B(2, -3,4). 
 
Resolução: Podemos tomar (1,-4,3) como vetor diretor e A como ponto inicial. 
As equações serão 
 
 
 
 
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Poderíamos escolher B como ponto inicial, e, nesse caso, teríamos as equações 
 
 
 
Finalmente, qualquer múltiplo não-nulo do vetor diretor é ainda vetor diretor. Por 
exemplo, podemos tomar v=( -2,8,6) =( -2) . (1,- 4,3) como vetor diretor, e escolher 
um ponto inicial diferente de A e B. Você pode verificar que C(-3, 7,7) é um ponto da 
reta. Com essa escolha, as equações paramétricas ficam 
 
 
 
Fica a seu encargo mostrar que todo ponto (x, y, z ) satisfaz um desses sistemas 
se, e somente se, satisfaz o outro (com valores do parâmetro diferentes para cada 
sistema!). 
Posições relativas de planos 
Sejam planos dados respectivamente por equações 
ax+by+cz+d 
a' x +b' y +c 'z =d '. 
Note que esse sistema de equações pode ser olhado de duas formas. Primeiro, de 
forma geométrica: o problema algébrico de dar uma solução do sistema de duas 
equações lineares com três incógnitas representa geometricamente obter os pontos 
de interseção de dois planos. De fato, isso pode ser generalizado para sistemas 
de n equações lineares com três incógnitas. Resolver um tal sistema 
corresponde geometricamente a obter os pontos comuns a n planos. Na outra forma, 
invertemos a ênfase, e vemos que o problema geral de encontrar a interseção de n 
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planos se reduz ao de resolver um sistema de n equações lineares com três 
incógnitas. É exatamente o tipo de interplay que torna a Geometria Analítica tão útil. 
 
 
Sejam n=(a, b, c) e n'=(a' ,b, ' c') os respectivos vetores normais. Intuitivamente, 
temos as seguintes três possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira possibilidade corresponde ao fato trivial de que, se temos uma equação 
do plano e a multiplicamos por um número real não-nulo, ainda obteremos uma 
equação descrevendo o mesmo plano. Na segunda possibilidade, os planos não 
podem ter pontos em comum. Isto ocorre porque o sistema é incompatível nesse 
caso, isto é, não admite soluções. Com efeito, se subtraímos membro a membro a 
 
segunda equação de vezes a primeira, obtemos que em contradição 
com nossa hipótese de que 
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O terceiro caso é o mais interessante. Como os vetores n e n' não são paralelos, seu 
produto vetorial n x n' tem ao menos uma componente não-nula, digamos a terceira: 
(n x n')3 =ab'= a b' 0. 
 
Nesse caso você pode verificar, que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, os pontos de interseção são da forma 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo z=0, obtemos uma solução particular 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos introduzir um novo parâmetro t pondo 
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Deixamos como exercício então, provar que a solução geral Pt se expressará em 
termos desse parâmetro como 
 
 
 
Esta é precisamente a forma paramétrica da equação da reta, e, portanto, provamos: 
Dois planos quaisquer ou são paralelos ou se intersectam em uma reta. 
Note que P0 funciona como o ponto inicial, e o vetor diretor da reta é ortogonal ao 
vetor normal de cada plano, como seria de se esperar (figura 5.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Obter a interseção dos planos x+y+z=1 e x- -y3+z=1. 
 
 
 
Resolução: Os vetores normais não são paralelos, logo os planos são transversos, 
e sua interseção é uma reta. Para obter equações paramétricas para essa reta, 
tomamos dois pontos arbitrários da mesma, ou um ponto e um vetor paralelo à reta. 
Temos que resolver o sistema 
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Resolvendo esse sistema em termos da variável z, temos: 
 
 
 
 
Os pontos de interseção são da forma 
(x, y,z ) = (1-2z, z, z). 
 
Atribuindo valores a z, podemos encontrar pontos particulares. Pondo z=0 e z=1, 
obtemos os pontos P0 (1,0,0) e P1( -1 ,1,1), e a reta que passa por esses pontos tem 
equações paramétricas 
 
 
 
 
Note que isso corresponde a escolher a própria coordenada z como parâmetro. 
Alternativamente, podemos tomar, por exemplo, P0 como ponto inicial, mas escolher 
(1,1,1) x (1,-1,3) = (4,-2,-2) como vetor diretor. As equações paramétricas nesse 
caso serão 
 
 
 
 
Posições relativas de reta e plano 
 
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Sejam agora :ax+by+cz=d um plano, e 
 
 
 
Podemos ter No primeiro caso, dizemos que 
são paralelos. Para que haja interseção, é necessário e suficiente que 
 
 
 
 
 
Mas note que, se ax0 +by0 +cz0 d e não é possível achar t 
de modo a satisfazer a equação. 
Pondo notamos então que para que 
sejam paralelos é suficiente (e de fato necessário) que 
O vetor normal ao plano é ortogonal à direção da reta nesse caso, como seria de se 
esperar. 
 
Se não são paralelos, temos duas possibilidades: 
 
i) 
 
ou seja, P (x0, y0,z0 ) Se =o , então, nesse subcaso, qualquer t satisfaz 
(**). Isso significa que todo ponto da reta está no plano, isto é, 
 Geometricamente, se o ponto inicial da reta está noplano e seu vetor diretor é 
ortogonal ao vetor normal do plano, então a reta toda permanece dentro do plano. 
Por outro lado, se então só podemos satisfazer (**) pondo t = 0. Ou seja, 
nesse subcaso a reta intersectará o plano somente no ponto P0. 
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ii) 
 
ou seja, P 0 (x 0, y0,z0 ) Nesse subcaso, obrigatoriamente 
 só podemos satisfazer (**) pondo 
 
Provamos assim que: 
 
Proposição. Uma reta não contida em um plano ou é paralela ao plano, ou o 
intersecta em um único ponto. 
 
Exemplo: Determine a interseção da reta 
 
 
 
com o plano 
 
Resolução: É fácil ver, usando o produto interno, que o vetor normal ao plano 
não é ortogonal à direção de , e portanto intersecta P em um único ponto De 
acordo com o esquema geral acima (Eq.(**)), temos que obter para o qual 
 
(3-2 t ) -4(1+ t)+(2+3 t) = -2, 
 
isto é, t =1. O ponto de interseção é portanto I (1,2,5). 
 
Posições relativas de duas retas 
 
Dadas as retas 
 
 
 
 
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Intuitivamente, temos as seguintes possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
Figura 5.7- Posição relativa de retas: (a) coincidentes, (b) concorrentes, (c) paralelas 
e (d) reversas. Nos casos (a)-(c), as retas l e l estão sobre um mesmo plano, 
mas em (d) não existe um plano contendo ambas as retas. 
Se v (v1, v2, v3) e v'=(v1,'v' 2, v' 3), temos que estudar essas possibilidades de acordo 
com a direção relativa desses vetores diretores. Dividiremos nossa análise em dois 
casos. 
Caso (i): v é paralelo a v'. 
Nesse caso, intuitivamente podemos ter retas paralelas ou coincidentes. Para ver 
que isso de fato é assim, escreva , com 
 
Agora, ou o ponto P 0 = (x0 , y0 , z0 ) P 0=( x0 , y0 , z0 ) pertence à reta l ou não. No 
caso positivo, existirá tal que: 
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Mas então, dado um ponto P'0=(x'0 ,0 y0' , z0 ' ) arbitrário de existe um s' 
tal que 
 
 
 
 
 
 
pelo paralelismo dos vetores. Concluímos, então, que com valor do 
parâmetro Portanto, todo ponto de está em Analogamente, 
podemos checar que ou seja, as retas coincidem. 
 
Se o ponto P 0 = (x0 , y0 , z0 ) não pertence à reta então podemos verificar que 
nenhum ponto de pertence a pois se elas tivessem um ponto em comum, 
existiriam para os quais 
 
 
 
 
 
 
e, portanto, 
 
 
 
 
 
 
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Logo, P 0 = (x0 y0 z0 ) R para o valor t= do parâmetro, e temos uma 
contradição. Portanto, nesse caso as retas seriam paralelas. 
 
Exemplo: Determine a posição relativa das retas 
 
 
 
 
 
 
 Resolução: Os vetores diretores são v=(1,-3,2) e (4,2,-6) 2(2,1,-3), e portanto 
paralelos. O ponto inicial de nessa parametrização é (1,-1,5). Veja que esse 
ponto não pertence a ', pois teríamos que ter 1=4s e -1= 2+ 2s das equações 
para a primeira e segunda coordenada dos pontos de ', o que é impossível. Mas 
então as retas não têm pontos em comum, isto é, são paralelas. 
Exemplo: Determine a posição relativa das retas 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Os vetores diretores são (2,1,-3) e (6,3,-9)= 3. (2,1,-3), e portanto 
paralelos. O ponto inicial de é (9,3,-7). Você pode verificar que esse ponto 
está na reta resolvendo o sistema 
 
 
 
 
 
 
que admite a solução t =4, portanto as retas são coincidentes. 
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 Caso (ii): v não é paralelo a v'. 
 
Nesse caso, considere o vetor n= v X v'. Esse vetor é não-nulo, e podemos 
considerar a coleção de todos os planos que têm n como vetor normal. Note que há 
infinitos planos com essa propriedade, todos paralelos (fig. 5.8) entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para selecionar um dado membro dessa família, basta escolher um ponto (lembre 
que uma direção e um ponto fixam um plano de forma unívoca). Os vetores diretores 
de são paralelos a qualquer plano dessa coleção, se tomamos um plano 
qualquer dessa coleção, ou será paralela a ou estará inteiramente contida 
nesse plano. Sejam os membros dessa coleção contendo os pontos 
iniciais P 0(x 0, y 0, z 0) e de respectivamente. Claro que 
 
Temos então duas possibilidades: ou são paralelos ou 
 O primeiro caso corresponde precisamente a retas reversas, e em particular 
não se intersectam. No segundo caso, as retas são coplanares. Mas então, uma vez 
que o plano admite equações paramétricas 
 
 
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e como por hipótese existirão (únicos) t0,s0 tais que 
 
 
 
 
 
O sistema pode ser reescrito na forma 
 
 
 
 
 
Proposição. Duas retas distintas contidas em um mesmo plano ou são paralelas ou 
se intersectam em um único ponto. 
 
Exemplo: Determine a posição relativa das retas 
 
 
 
Resolução: Note que os vetores diretores v= (1,-3,2) e v'=(4,-5,3) não são paralelos, 
logo as retas não podem ser paralelas e muito menos coincidentes. Considere o 
vetor n= vX v' (1,5,7). 
O plano com vetor normal n passando pelo ponto inicial 
P0 (2,-1,1) tem equação 
 
 
 
 
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Para obter uma equação para esse plano, temos que obter primeiramente um vetor 
normal. Note que o vetor n X v= ( -31,-5,8) cumpre bem esse papel. A seguir, 
tomemos um ponto de referência. Como queremos que o plano contenha , podemos 
tomar P0 (2,-1,1). O plano terá então uma equação 
 
 
 
Você deve verificar explicitamente que 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine a posição relativa das retas 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Os vetores diretores v=(2,- 1, -1) e v'=(1,1,-2) não são paralelos, logo 
as retas não podem ser paralelas nem coincidentes. 
Tomando o vetor n= v X v' (3,3,3). O plano com vetor normal n passando pelo 
ponto inicial P0 ( -1 ,0,2) de tem equação 
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Note que esse plano contém o ponto inicial P 0 (2,-3,2) de e portanto 
 As retas precisam ser concorrentes. De fato, podemos considerar o sistema 
 
 
 
 
 
Deixamos a seu cargo verificar que a (única) solução é t =2, s=1, e que, portanto, as 
retas se intersectam no ponto (3,-2,0). 
 
Distâncias no espaço 
Nesta seção, queremos discutir como calcular distâncias: 
a) de ponto a plano; 
b) de ponto a reta; 
c) de plano a plano; 
d) de reta a plano; 
e) de reta a reta. 
 
Em cada caso, o que temos em mente é a menor distância possível entre os pontos 
dos respectivos conjuntos. 
 
Distância de ponto a plano 
 
Dados um plano : ax+by+cz=d (com a, b e c não todos nulos) e um ponto P0 (x 0, 
y0,z0 ), é claro que a distância d (P 0, ) P0 a é obtida computando-se o 
comprimento do segmento P P0 ', onde P' é o pé da perpendicular baixada de P0 a 
(figura 5.10). 
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Para obter P '(x ', y ', z '), tudo o que precisamos fazer é escrever equações para a 
reta que passa por P0 e é perpendicular ao plano. 
Basta tomar o vetor normal n=(a, b, c ) como vetor diretor da reta. Temos então as 
equações paramétricas 
 
 
 
 
 
 
A interseção de a com ocorre quando 
 
 
 
isto é, quando 
 
 
 
 
A substituição desse valor do parâmetro em (1) nos dá as coordenadas de P': 
 
 
 
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Temos, portanto: 
 
 
 
daí um cálculo simples usando (2) nos dá a fórmula 
 
 
 
 
 
 
Note que essa equação faz sentido inclusive quando P0 Nesse caso, a distância 
é identicamente nula, como seria de se esperar. 
 
A fórmula acima é tão simples e simétrica que vale a pena você memorizá la. Apesar 
disso, sugerimos fortemente que você compreenda a construção geométrica que nos 
levou a tal fórmula, para que você possa desenvolvê-la sempre que necessário, ou 
mesmo para usar tal construção para calcular a distância diretamente. 
 
Exemplo: Ache uma equação do plano paralelo ao plano x-2y+2z=1 
cuja distância ao ponto P0 (3,7,10) é de 100 unidades. 
 
 Resolução: Todo plano paralelo a será da forma 
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onde cada valor de d determina exatamente um de tais planos. A distância de 
qualquer para P0 pode ser calculada através da fórmula da distância de ponto a 
plano. O resultado é 
 
 
 
 
Quando impomos que obtemos duas possíveis soluções (conforme 
assumamos d < 9 ou d > 9 ): 
 
 
 
correspondendo aos planos paralelos 
 
 
 
 
 
Os planos são paralelos a e simetricamente colocados com respeito a 
ambos distando 100 desse ponto. 
 
Distância de ponto a reta 
Seja agora P 0 (x 0, y0,z0 ) um ponto, e 
 
 
 
 
 
A distância d (P 0, P 0 ) é exatamente a distância procurada. Essa situação está 
ilustrada na fig. 5.11 abaixo. 
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O plano buscado terá equação 
a (x -x0 )+b (y -y0 )+c (z -z0 )=0. 
 
 
algumas manipulações algébricas nos dá 
 
 
 
 
 
sendo P 1(x 1, y 1, z 1). 
Note que introduzimos uma notação vetorial na última igualdade. Temos, portanto, 
 
 
 
 
Usando a fórmula de distância usual entre pontos, vem 
 
 
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Mas, introduzindo a forma vetorial para t0, você pode verificar que essa equação 
pode ser reescrita na forma 
 
 
 
 
 
 
Esta fórmula requer explicação. Primeiro, note que o ponto P0 já não aparece na 
equação, só o ponto P0 e os parâmetros da reta Isto é, v e P1(x 1, y 1, z 1). A fim 
de entender o significado geométrico dessa fórmula, introduzimos a seguinte 
definição: 
Definição. Sejam u, v vetores, com v 0. A projeção (ortogonal) de u sobre v é o 
vetor 
 
 
 
Muito bem, mas qual o significado geométrico dessa definição? Na verdade, é 
bastante simples. Suponha que u, v são ambos não-nulos e o ângulo entre eles 
(se u é nulo, a projeção também é). Teremos então 
 
 
Ora, é o vetor unitário na direção e sentido de v, e mede o 
u sobre v, conforme ilustrado na fig. 5.12. 
 
 
 
 
 
 
 
v 
v 
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A projeção portanto, é um vetor com mesma direção de v e módulo 
Em particular, se u e v são ortogonais, é o vetor nulo. É interessante notar 
que não depende do módulo de v, e nem do seu sentido, só de sua direção! 
Pois se consideramos v='t.v, com teremos 
 
 
 
 
 
Outro aspecto interessante de nossa definição é que, se pomos 
 
 
temos 
 
 
 
 
isto é, é ortogonal a v (fig. 5.12). O vetor pode então ser pensado 
v. Além disso, 
podemos escrever 
 
 
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Ou seja, o vetor u pode ser escrito como uma soma vetorial entre um vetor com 
mesma direção de v com outro ortogonal a v. Essa decomposição de fato é única. 
Com efeito, suponha que escrevamos onde é ortogonal e paralelo a 
v. Nesse caso, podemos escrever e temos 
 
 
 
 
e, portanto, isto é 
 
 
 
 
Mas então 
 
 
A unicidade da decomposição acima tem outra consequência interessante. Suponha 
que u seja um vetor com mesma direção de v. Nesse caso, se escrevemos 
estamos de fato decompondo u em uma soma de um vetor na direção de v (a saber, 
o próprio u), e outro ortogonal a v (o vetor nulo, que é ortogonal a qualquer vetor). 
Pela unicidade da decomposição, teremos que Isso também 
 pode ser verificado diretamente das definições de assumindo-se que 
 para algum t . Moral da história: a projeção em v de um vetor u 
paralelo a v é o próprio u. 
 
Voltemos à nossa fórmula de distância. Usando a notação de projeção, podemos 
reescrevê-la na forma (veja a figura 5.13.) 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Obtenha as projeções do vetor v=(x, y, z) sobre os vetores unitários 
i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k =(0,0,1). 
 
Resolução: Usando a definição, temos 
 
 
Analogamente, obtemos que 
 
 
Duas últimas observações: Primeiro, sugerimos que você não se preocupe em 
decorar fórmulas. Tente, ao invés disso, entender bem a geometria da situação e 
levar em conta o significado do vetor Em segundo lugar, a distância calculada 
pelas fórmulas acima não depende da escolha do vetor diretor para pois a 
projeção sobre v só depende de sua direção, como vimos, e qualquer outro vetor 
diretor terá a mesma direção de v. Mas essa fórmula dá a impressão de que a 
distância de depende de qual ponto inicial P1(x 1, y 1, z 1) escolhemos para 
escrever as equações paramétricas de Essa dependência, no entanto, é apenas 
aparente. Com efeito, seja dado outro ponto P 2 (x 2, y2,z2 ) sobre a reta Teremos 
 
 
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e temos também 
 
 
 
Note que na última igualdade usamos o fato de que P1 e P2 estão em e portanto 
o vetor tem a mesma direção de v. Assim, obtemos 
 
 
 
 
 
o que mostra que o resultado é o mesmo, independentemente do ponto inicial. A 
razão geométrica deste fato está ilustrada na figura 5.14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Uma partícula movendo-se no espaço sai do ponto A( -2 ,3,2) no instante 
t =0 e tem movimento retilíneo uniforme com velocidade 
(distâncias em metros, intervalos de tempo em segundos). Qual a menor distância 
que essa partícula tem da origem? 
Resolução: A reta ao longo da qual a partícula se move terá equações 
paramétricas 
 
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sendo o parâmetro t o tempo. Queremos calcular a distância d dessa reta à origem 
O (0,0,0). Podemos tomar a projeção do vetor também 
funciona, como você poderá verificar) sobre a direção de v. Calculando: 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 Logo, a distância buscada é metros. 
 
Distância entre planos e de reta a plano 
 
Os dois casos desta seção podem ser calculados por um mesmo método. 
Comecemos com distância entre planos. 
Sejam planos. Nosso interesse é calcular a distância d ( ) entre eles, 
supondo que são paralelos (se não são paralelos, então se intersectam, e definimos 
sua distância nesse caso como sendo zero). Podemos então escrever, sem perda de 
generalidade 
 
 
 
em que (a, b, c ) (0,0,0) e d d '. Nossa estratégia é a seguinte: escolha 
arbitrariamente P0(x 0, y 0, z 0) e tome a distância desse ponto a Essa é a 
distância procurada. Usando a fórmula da distância de ponto a plano, temos 
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o qual usamos o fato de que ax0 +by0 +cz0 =d, pois P0 (por hipótese), para obter 
a última igualdade. 
Exemplo: Dados os planos 
 
 
obtenha, se possível, os valores de a e b para os quais os planos são paralelos e 
calcule a distância entre eles. 
Resolução: Para que e sejam paralelos, devemos ter que o vetor n= (2,-3,1) 
normal a é paralelo ao vetor 
 
 
 
 
 
e portanto é preciso ter 
 
O plano tem equação -4x+6y-2z=2, ou alternativamente 2x-3y+z= -1. A 
distância será 
 
 
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Se contemplamos calcular a distância entre uma reta e um plano, novamente o 
único caso de interesse é quando a reta é paralela ao plano. Basta tomar 
novamente um ponto arbitrário da reta e calcular a distância desse ponto ao plano. 
Esse caso é tão simples e similar ao anterior que o deixamos como exercício para 
você: 
 
Distância de reta a reta 
 
O único caso não-trivial é o caso de retas reversas. Se as retas são coincidentes ou 
concorrentes, tomaremos a distância entre elas igual a zero por definição. Se são 
paralelas, para calcular a distância entre elas basta tomar um ponto arbitrariamente 
em uma delas (qualquer ponto em qualquer uma das duas retas funcionará) e 
calcular a distância desse ponto a outra reta: essa é a distância buscada. Faremos 
isso concretamente em um exemplo. 
Exemplo: Calcule a distância entre as retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Essas retas são claramente paralelas, pois seus vetores diretores são 
iguais e você pode checar que o ponto A'(1,2,1) está em mas não em 
Tomemos arbitrariamente um ponto em digamos a origem 0(0,0,0), e calculemos 
a projeção de (1,2,1) sobre v=(1,1,1) (vetor diretor de ): 
 
 
 
 
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A distância buscada é o módulo do vetor 
 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
 
 
 
Quando as retas, digamos são reversas, já vimos que é possível obter planos 
 paralelos, contendo respectivamente A distância entre as retas é a 
distância entre esses planos. Novamente, basta trabalhar com um exemplo. 
 
Exemplo: Calcule a distância entre as retas reversas 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Para obter os planos paralelos, temos que obter um vetor normal comum, o que é 
feito através do produto vetorial dos vetores diretores das retas, n=(1,1,- 1) X (3,2,1) 
= (3,- 4, -1). O plano contendo o plano de vetor normal n passando 
pelo ponto A( -1, -1,3) de que é 
 
 
 
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Nem precisamos obter a equação para pois, sabendo que esse plano é 
paralelo a só precisamos tomar um ponto nele, digamos A'(2,1,1) e 
calcular sua distância a Portanto 
 
 
 
 
Superfícies Quádricas 
 
Apresentamos uma classe de figuras geométricas em três dimensões isto é, 
subconjuntos do de grande interesse em aplicações fora e dentro da 
Matemática, as superfícies quádricas. 
 
Quádricas 
As (superfícies) quádricas são subconjuntos de pontos (x, y, z) que satisfazem 
uma equação da forma 
 
 
em que a,...,j são números reais quaisquer. Por exemplo, a esfera com centro na 
origem e raio r > 0 é uma quádrica, pois se fazemos a=b=c=1, d=e=f=g=h=i =0 e j=-r 
obtemos sua equação como um caso particular da equação geral. É conveniente 
escrever essa equação na forma matricial 
 
 
 
Verifique fazendo 
 
 
 
 
 
 
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podemos reescrever aquela equação na forma mais simples 
 
 
 
Assim como fizemos no estudo das cônicas (que, aliás, podem ser pensadas como 
versões, no plano, das quádricas), dada uma equação na forma quadrática acima, 
podemos realizar rotações e translações dos eixos coordenados de modo a reduzir a 
equação a uma forma mais simples, que nos permita identificar e esboçar as quádri-
cas. No entanto, esse processo é bem mais difícil em três dimensões, pois no 
espaço há um número maior de possibilidades geométricas ao se realizarem 
rotações e translações. Apesar disso, o resultado final desse processo pode ser 
resumido no seguinte resultado, a ser provado na Álgebra Linear: 
Dada uma matriz simétrica M de ordem n, existe uma matriz ortogonal isto é, 
tal que 
 
 
 
tal que é uma matriz diagonal. Dizemos que diagonaliza M. 
 
Dada uma matriz M simétrica qualquer, em geral não é tarefa fácil obter uma matriz 
ortogonal que a diagonaliza. Esse processo corresponde, como mencionamos, a 
obter novos eixos coordenados, realizando rotações em três dimensões, com 
respeito aos quais a equação da quádrica se simplifica. Para nós, os detalhes desse 
processo não serão importantes. O que importa é que a matriz que realiza a 
diagonalização existe. Dada a matriz M, seja Q uma matriz 3 por 3 ortogonal que a 
diagonaliza. 
 
Note que, se A e B são matrizes (quadradas de ordem n) quaisquer, temos 
 
 
 
 
para quaisquer e, portanto, 
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 Assim, 
 
 
 
lembrando-se que que é o elemento neutro para o produto de 
matrizes. Logo, 
 
 
 
 
Agora, escrevendo 
 
 
 
 
 
a equação da quádrica ficará 
 
 
 
No que segue, omitimos o sobrescrito '. 
 
Quádricas centrais 
 
Temos uma variedade bastante grande de possíveis quádricas. Concentrar-nos-
emos inicialmente no caso em que 
 
 
 
As quádricas correspondentes são ditas centrais, pois se um ponto (x, y, z) pertence 
à quádrica, então (-x,- y,- z) também pertence, ou seja, quádricas desse tipo 
permanecem inalteradas se realizamos uma reflexão em torno da origem. Por 
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exemplo, uma esfera de raio unitário com centro em (1,1,1) não é uma quádrica 
central, pois sua equação pode ser escrita na forma: (verifique!) 
 
 
 
que não tem a forma geral. De fato, por uma reflexão emtorno da origem, essa 
esfera seria levada em uma esfera de raio unitário, mas com centro em (-1,-1,- 1). 
Geralmente, não é difícil se convencer de que somente uma esfera com centro na 
origem pode ser uma quádrica central. 
Mesmo entre as quádricas centrais, existe uma variedade bastante grande, 
dependendo dos sinais relativos dos e de j. Temos as seguintes possibilidades: 
 
i) Os três são nulos. 
Esse caso é meramente uma curiosidade. Nesse caso, a equação reduzida se torna 
J = 0 
 
Se, de fato, j=0, todo ponto de de soluções é 
vazio. Portanto, e o conjunto vazio são tipos particulares de quádricas. 
 
ii) Só dois dos são nulos. 
 
Para fixar ideias, tome (os demais casos serão 
inteiramente análogos, diferindo por uma troca adequada de direções). Nesse caso, 
a equação reduzida se torna 
 
 
 
 
Se j = 0, essa é uma equação do plano XY, que é portanto uma quádrica central. Se 
 não podemos ter solução, pois nesse caso o segundo membro seria 
negativo, enquanto que e a quádrica correspondente é novamente o conjunto 
vazio. Se escrevemos e a equação reduzida se torna 
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que descreve um par de planos paralelos ao plano XY (z = a e z = -a). 
 
iii) Somente um dos é nulo. 
 
Suponha que Nesse caso, podem ter o mesmo sinal ou 
sinais opostos. 
Caso j = 0 , teremos, em resumo, que: 
 
 
 
+ t) com é solução, e 
teremos então uma parametrização do eixo Z (verifique!). Do contrário, teremos 
 
 
que descreve dois planos paralelos ao eixo Z (por quê?). 
 
j e ficamos com 
 
 
 
Se a solução é o conjunto vazio. Do contrário, escrevemos 
 
 
para obter as possibilidades 
 
 
a) 
 
 
 
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b) 
 
 
c) 
 
 
O caso (a) corresponde ao cilindro (reto) de base elíptica, representado na figura 
6.1. Isso porque, para todo plano z= constante, a equação em (a) descreve a mesma 
elipse, independentemente do valor de z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um caso particular interessante ocorre quando a=b, em que os cortes transversais 
do cilindro são circunferências de raio a. Nesse caso, podemos pensar no cilindro 
como tendo sido gerado pela rotação da reta paralela ao eixo z passando por 
(a,0,0)a em torno do eixo Z. Esse é o chamado cilindro (reto) de revolução. 
Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação 
 
Resolução. Note que a interseção da quádrica com os planos 
x= constante não dependem do valor de x. Basta identificar o aspecto dessa 
interseção quando x=0. Nesse caso, a equação dada descreve uma elipse no plano 
ZY, e temos então um cilindro de base elíptica. 
 
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Os casos (b) e (c) descrevem, por razões semelhantes às do caso (a), um cilindro 
(reto) de base hiperbólica, pois suas seções transversais são hipérboles (fig. 6.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv) Nenhum dos é nulo. 
Essa é a situação mais rica. Novamente temos dois subcasos: 
 
iv.a) j=0 
 
Nessa situação, a equação reduzida se torna 
 
 
 
Se todos os tiverem o mesmo sinal, podemos escrever essa equação na forma 
 
 
 
que só admite uma solução, a saber x=y=z=0, e, portanto, a quádrica será um único 
ponto (a origem). Do contrário, teremos dois dos negativos (positivos) e o 
terceiro positivo (negativo). Você pode verificar, como exercício, que todas as 
possibilidades são dadas por equações da forma: 
 
 
 
 
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Estas três possibilidades correspondem a um cone duplo de base elíptica. Vamos 
considerar a primeira dessas equações. Para ver o porquê dessa denominação, 
basta notar que a interseção com um plano paralelo ao plano XY é dada, tomando-
se z= constante na equação. Se z=0, temos que ter x=y=0, e, portanto, o plano XY 
intersecta essa quádrica em um único ponto. Quando , a equação descreve 
elipses, cujo tamanho, porém, depende do valor de , e em particular a equação é 
invariante pela transformação o que mostra que a figura se mantém 
inalterada por uma reflexão com respeito ao plano XY. A interseção dessa quádrica 
com o plano YZ (x=0) são as retas e com o plano XZ (y=0) são as retas 
 A representação desse tipo de cone está na figura 6.3. 
 
O eixo Z nesse caso coincide com o eixo do cone. No caso particular em que a=b, 
temos um cone duplo de revolução, pois podemos pensa lo como tendo sido gerado 
pela rotação da reta z = em torno do eixo Z. As duas equações restantes 
descrevem cones cujo eixo coincide com os eixos Y e X, respectivamente. 
 
Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação 
 
 
 
Resolução. Podemos escrever essa equação na forma 
que tem a forma da primeira equação, sendo portanto um cone duplo de base 
elíptica. Para esboça lo, considere elipses representativas com z= 1. 
 
iii.b) j=0. 
Nessa situação, além do conjunto vazio, as demais possibilidades se reduzem a um 
dos grupos abaixo: 
 Grupo (E) 
 
 
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 Grupo (H1) 
 
 
 
 
 Grupo (H2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Grupo (E) tem um único representante, o elipsóide (figura 6.4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suas interseções com os planos XY, XZ e YZ são respectivamente as elipses 
 
2a, 2b e 2c são os comprimentos dos eixos do elipsóide, cada um deles contido em 
um eixo ordenado (figura 6.4a). Se dois desses três são iguais, temos um elipsóide 
de revolução. Por exemplo, se b=c, o elipsóide pode ser pensado como gerado pela 
rotação da elipse em torno do eixo X (figura 6.4b). 
 
 
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As quádricas do Grupo (H1) são hiperbolóides de uma folha (figura 6.5). Por 
exemplo, se tomamos a terceira das equações acima, temos que a interseção da 
quádrica correspondente com o plano XZ é a hipérbole com o plano YZ é a hipérbole 
Por outro lado, a interseção com um plano z=d paralelo ao plano XY é dada por 
 
 
 
 
que é a equação de uma elipse. No caso em que a=b, essas elipses são 
circunferências, e temos um hiperbolóide de revolução de uma folha, gerado pela 
rotação da hipérbole situada no plano XZ em torno do eixo Z. 
 
As quádricas do Grupo (H2) são hiperbolóides de duas folhas (figura 6.6). 
 
 
 
 
 
 
 
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Novamente, se tomamos a terceira das equações acima, e reescrevemo-la na forma 
 
 
 
 
fica claro que todo ponto dessa quádrica satisfaz a condição |z| c . 
Ou seja, essa quádrica não possui pontos entre os planos z=c e z= -c. A interseção 
da mesma com qualquer plano z=d com |d| > c é dada pela equação 
 
 
 
que descreve uma elipse. A quádrica intersecta o plano XZ, segundo a hipérbole 
 e com o plano YZ, segundo a hipérbole .Novamente, se 
a=b, temos o hiperbolóide de revolução de duas folhas. 
 
Quádricas não centrais 
 
Essas quádricas correspondem à situação na qual algum dos da equação reduzida 
não nulo. Os únicos casos que vamos considerarserão aqueles que possam ser 
reduzidos aos seguintes grupos: 
 
 Grupo (PE) 
 
 
 
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 Grupo (PH) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações do Grupo (PE) descrevem o parabolóide elíptico (figura 6.7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SBM, 2004. 
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LIMA, Elon L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1998. 
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Hill, 1987. 
GREENBERG, M. J. Euclidean & non-Euclidean geometry: development and history. 
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IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 
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LIMA, E. L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002. 
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SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003. (Schaum). 
SANTOS, N. M. dos. Vetores e matrizes. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.