Unidade 8 Carregamento Dinâmico

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Unidade 8 – CARREGAMENTO DINÂMICO 
 
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8. CARREGAMENTO DINÂMICO 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Definir carregamento dinâmico. 
- Aplicar o princípio de D’Alembert. 
- Conceituar carga estática equivalente. 
- Definir fator dinâmico. 
- Deduzir a expressão do fator dinâmico para corpos em queda livre. 
- Resolver exercícios envolvendo carregamento dinâmico. 
 
 
8.1 - PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT 
 
Até o presente momento, estudamos a ação de cargas estáticas sobre as peças 
estruturais. Estas variam sua intensidade de zero ao valor definitivo muito lentamente de 
modo que as acelerações que nestas condições recebem os elementos das estruturas são 
desprezíveis. No entanto, as cargas podem apresentar caráter dinâmico, variando em função 
do tempo com grande rapidez. Suas ações são acompanhadas de vibrações nas estruturas e 
seus elementos, e de deflexões apreciáveis. 
 
) Estas cargas dão origem a tensões que podem ser de intensidades muitas vezes maiores que as tensões correspondentes a cargas estáticas. 
 
O cálculo das peças estruturais sob cargas dinâmicas é muito mais complexo que 
o cálculo sob cargas estáticas. A dificuldade reside em que, por um lado, os esforços e as 
tensões provenientes de cargas dinâmicas, são obtidos por métodos mais complicados e por 
outro, os processos que determinam as características mecânicas dos materiais sob 
carregamento dinâmico, são mais complexos. Muitos materiais dúteis, sob carregamento 
estático, se comportam como frágeis sob carregamento dinâmico. Em caso de cargas variáveis 
repetidas, a resistência mecânica do material decresce. 
 
) O método geral de cálculo sob carregamento dinâmico se baseia no princípio de D’Alembert da mecânica teórica. Segundo este princípio, qualquer sólido em 
movimento pode ser considerado em estado de equilíbrio instantâneo se, as forças que 
atuam sobre ele, seja acrescentada a força de inércia, igual ao produto de sua massa 
por sua aceleração e dirigida em sentido oposto ao da aceleração. 
 
Por isto quando se conhece a força de inércia, pode-se empregar sem limitação 
alguma, o método das seções e aplicar as equações de equilíbrio para cálculo dos esforços. 
Quando é difícil a determinação da força de inércia, como no caso de impacto, 
emprega-se o princípio da conservação da energia para cálculo dos esforços, tensões e 
deformações. 
 
) Para todos os casos tratados nesta apostila, consideraremos que as características mecânicas dos materiais continuarão as mesmas sob carregamento estático e 
dinâmico, o que nem sempre é verdade (velocidade de aplicação de cargas muito 
elevada). 
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8.2 - CARGA DE IMPACTO: CARGA ESTÁTICA EQUIVALENTE 
 
As tensões e deformações geradas durante uma carga de impacto dependem da 
velocidade de propagação da onda de deformação através do volume do corpo que recebe o 
impacto (corpo golpeado). Em nossos exemplos desprezaremos este fato e vamos admitir que 
o comportamento do corpo sob carregamento estático e dinâmico seja o mesmo (o que é 
verdade para velocidades de propagação da onda de deformação não muito elevadas). Assim 
podemos imaginar uma carga lentamente aplicada ao sistema que produza a mesma 
deformação que acontece no instante do impacto que é a deformação máxima que ocorre, 
chamada deformação ou deflexão dinâmica. 
Vejamos o que acontece com a viga em balanço da Figura 84a abaixo, sobre a 
qual cai do repouso um bloco de peso W em sua extremidade livre. A variação da deflexão da 
extremidade livre em função do tempo é indicada na Figura 84b onde, ∆ é a deflexão máxima 
sofrida pela viga no instante de impacto. A outra deflexão, δ , é a deflexão estática resultante 
quando a viga e o bloco finalmente entram em equilíbrio. É a deflexão que seria obtida se o 
bloco W fosse colocado lentamente sobre a extremidade livre da viga. 
 
) A carga P, aplicada lentamente na extremidade da viga produz a mesma deflexão máxima ∆ ocorrida no momento de impacto. Esta carga é chamada de carga 
estática equivalente (equivalente ao impacto, pois produz deflexões e tensões 
idênticas as que ocorrem no instante de choque), Figura 84c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 84 
 
Conforme já dissemos, vamos admitir que o material se comporte igualmente sob 
carregamento estático e dinâmico. Assim, a energia de deformação da viga em (a) e (c) é a 
mesma. Ela é igual ao trabalho realizado contra a viga. Vamos denominar de energia efetiva a 
parcela da energia aplicada que realiza trabalho de deformação. Parte da energia aplicada se 
perde na forma sonora, na forma de calor e até de deformação local. 
Logo podemos equacionar: 
[Energia efetiva aplicada] = [Trabalho realizado pela carga estática equivalente] 
Em muitas aplicações a energia efetiva aplicada é considerada igual, à favor da 
segurança, à energia aplicada. É difícil medir a parcela da energia aplicada dissipada nas 
outras formas de energia. 
Como a carga estática equivalente é proporcional à deflexão da viga, o trabalho 
realizado por ela é igual a: 
P∆
2
 
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Se a energia é devida a uma variação de velocidade de um corpo em movimento 
ela pode ser escrita: 
η mv2
2
 
onde η é a parcela da energia aplicada que realiza trabalho de deformação. Muitas vezes 
η = 1, a favor da segurança. 
 
Se a energia aplicada é proveniente de um corpo em queda livre (partindo do 
repouso) que se choca contra uma estrutura deformável elasticamente, a energia efetiva 
aplicada é: ( )ηW H + ∆ 
onde W é o peso do corpo em queda livre, H a distância vertical até o sistema e ∆ a deflexão 
dinâmica do sistema. 
 
Para um carregamento dinâmico de torção, a energia efetiva aplicada gera um 
torque dado por: 
 
Tθ
2
 
onde T é o momento torçor aplicado lentamente (carga ou esforço estático equivalente) que 
produzirá o mesmo ângulo máximo de rotação θ do momento de choque. 
 
Definimos como fator dinâmico ou de impacto a relação entre a carga estática 
equivalente e a carga W. Pelo fato de haver proporcionalidade entre carga e deflexão, o fator 
dinâmico também é igual ao quociente entre a deflexão dinâmica (∆) e a deflexão estática 
(δ ). Assim: 
Fator dinâmico (F.D.) = 
P
W
= ∆δ 
 
8.3 - CÁLCULO DO FATOR DINÂMICO PARA CORPOS EM QUEDA LIVRE (TODA ENERGIA 
POTENCIAL GRAVITACIONAL SE TRANSFORMA EM ENERGIA DE DEFORMAÇÃO η = 1) 
 
Supondo a viga da Figura 84 com um comprimento l, momento de inércia I e 
módulo de elasticidade E, podemos escrever: 
 
δ = Wl
EI
3
3
 e ∆ = Pl
EI
3
3
 
Energia efetiva aplicada: 
( )W H P+ =∆ ∆
2
 
Mas: W
EI
l
= 3 3 δ e P
EI
l
= 3 3 ∆ 
Substituindo na equação da energia acima, P e W e simplificando: 
∆
δ δ= = ± +F D
H
. . 1 1
2
 
O sinal negativo não serve, pois significaria um fator dinâmico menor do que um, 
ou seja, tensões e deflexões menores que as provenientes do carregamento estático da mesma 
carga (absurdo). 
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Finalmente: 
 
P
W
F D
H= = = + +∆δ δ. . 1 1
2
 
Esta expressão deve ser usada quando se conhece a altura de queda H, o peso W e 
quando η= 1. 
 
• Observações: 
1- A unidade sob o radicando pode ser ignorada se 
2
10
H
δ ≥ , o erro não excederá a 5%. 
2- Investigações apuradas confirmam que o erro não excede a 10 % se 
2
100
H
δ ≤ . 
 
3- Se H = 0, F.D. = 2 ao aplicar subitamente a carga, as tensões e as deformações são 
duas vezes maiores que as que ocorrem no caso da ação estática da mesma carga. 
 
4- O método da energia foi desenvolvido considerando as seguintes restrições a mais: 
 
* as tensões estão abaixo do limite de escoamento do material; 
* os corpos após o impacto nãose separam; 
* a massa que golpeia é considerada pequena em relação à massa da barra que recebe 
o golpe. 
 
5- Se o impacto ocorre a elevadas velocidades, a deformação do corpo que recebe o 
impacto não possui tempo suficiente para se distribuir através de todo ele e uma 
tensão local de considerável intensidade ocorrerá, cuja intensidade poderá exceder a 
tensão de escoamento do material, na região de impacto. Exemplo: uma viga de aço 
sendo golpeada por um martelo de aço – grande parte da energia cinética é 
transformada em energia local de deformação. Fenômeno similar ocorre mesmo a 
baixas velocidades de impacto, se o corpo que recebe o impacto for muito rígido. 
 
6- Se a carga W é aplicada lentamente em um sistema, a força transmitida a ele é W e 
não depende do material do sistema ou de seu tamanho. No caso de uma carga de 
impacto a carga P depende da aceleração que o corpo que recebe o impacto possuirá, 
ou seja, P depende do tempo durante o qual a velocidade do corpo varia. A 
aceleração é função da flexibilidade da barra que recebe o impacto. Quanto maior a 
flexibilidade, isto é, quanto menor o módulo de elasticidade e maior o comprimento 
da barra, maior é a duração do impacto e menor a aceleração e a força P. Devido a 
isto, molas são colocadas no sistema que recebe o impacto. Além disto, as vigas são 
posicionadas de modo a trabalharem à flexão com a menor inércia de sua seção 
transversal. 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BELYAEV, N. M., Strength of Materials, 2a edição, Mir Publishers, Moscou. 
HIGDON e outros, Mecânica dos Materiais, 3a ed., Guanabara Dois S.A., R.J., 1981. 
STIOPIN, P., Resistencia de Materiales, Mir Publishers, Moscou, 1968. 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
¾ Exercício 8.1 
Um corpo de peso Q move-se para cima com aceleração a. Determinar a tensão 
máxima no cabo, desprezando o peso deste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
yt
d
estestdd
d
S
FD= 
g
a1= 
g
a1
A
Q
A
N
g
a+(1=F.D. - 
g
a1Qa
g
QQN
≤
++==
+=+=
σ
σσσ .)()(
))(.
 
A - Área da seção do cabo. 
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¾ Exercício 8.2 
Uma mola helicoidal de passo estreito, de comprimento l = 30 cm, com raio R = 2 
cm (da espira) e raio r = 0,2 cm (do arame), e com n = 10 espiras, suporta sobre seu extremo 
uma massa de peso Q = 1 kgf e gira no plano vertical em torno de uma articulação imóvel, 
realizando 200 revoluções por minuto. Determinar a tensão tangencial máxima, no arame da 
mola, e o deslocamento máximo do peso Q, sabendo-se que o módulo de Coulomb é 8.105 
kgf/cm2. Desprezar o peso da mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
cm 43,16.25,0Q.25,0l
S 3
0= , 3
kgf/cm 2723
2,0.14,3
2,16
2,0.
2
14,3
2,0.6,32
kgf 16,3 =V
kgf.cm 6,322.3,16T
3,16
1
16,3=F.D. kgf 3,16Q 
980
)Q25,030(211.1Q 1 2
 2 )Q25,030(21)ll(=a
rad/s 21
30
n.
Q25,0
G
n.
d
D.Q.8l
)ll( = a ,1 )
g
a1(QQ
dd
yt
d
eq
22
eq
2
2
4
d
d
d
d2
d
d2d2
d
4
3
dd
d2d
===
≤=
+=
=+=
==
=→=


 ++=⇒→
→+=+
==
==
+→+=
∆
τσ
στσσ
τ
∆ω
πω
∆
∆ω
 
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¾ Exercício 8.3 
Analisemos a resistência de uma haste de conexão AB unindo duas rodas de um 
sistema a vapor. A roda motora O1 é que transmite o torque do mecanismo a vapor. A haste de 
conexão é fixada às rodas nos pontos A e B com a ajuda de articulações de pinos cilíndricos. 
AO1 e BO2 são ambas iguais a r. O diâmetro das rodas é D (raio R) e o comprimento da haste 
é l. A velocidade do sistema é v, constante. 
 Pede-se a tensão máxima de flexão na haste. 
 Dados numéricos: 
ω = 30 rad/s 
l = 150 cm 
r = 50 cm 
peso específico do material: 7,86 gf/cm3 
aceleração da gravidade: 981 cm/s2 
seção retangular de 10 x 4,5: 45 cm2 
módulo de resistência à flexão: 75 cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
γ = =
=
7 86 7 86
981
, , gf / cm .10 kgf / cm
 cm / s
3 -3 3
2g
 
 
Cálculo de q (peso próprio) 
q volume= = =−. . . , . ,γ 45 1 7 86 10 0 3543 kgf / cm. 
 
Cálculo da força de inércia : 
q r
ql
M
I
y
1
2 2
2 2
3
0 354
981
0 354
981
30 50 16 24
16 24 0 354 16 59
8
16 59 150
8
46659
46659
4 5 10
12
5 622
= = =
= + =
= = =
= = =
, . , . . ,
, , ,
, .
, .
.
ω
σ
 kgf / cm
q kgf / cm
M kgf.cm
 kgf / cm
total
max
d 2
 
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¾ Exercício 8.4 
Um eixo está submetido a uma carga de impacto de torção. Ele tem 180 cm de 
comprimento e 5 cm de diâmetro. Calcular a tensão tangencial máxima do eixo, no momento 
de impacto. 
 
W = 4,5 kgf 
e = 15 cm 
h =10 cm 
G = 850000 kgf/ cm2 
 Toda a energia de queda realiza trabalho de deformação. 
 
Solução: 
 
δ -deflexão sob o ponto de aplicação de W 
ϕ -ângulo de torção do eixo 
 
2000 < 365,5 =211 . 3
kgf/cm 211
2,5 . 
2 . 2,5 . 67,5 . 676
cm 0,27 = .76,6 10 . 3,5 =
kgf 344,7 = 76,6 . 54P
676
1053
10211H211DF
cm10 . 3,5 = 15 . 1032
rad 1032
2,5 . . 10 . 850
2 . 180 . 567
GI
Tl
kgf.cm 67,5 = 15 . 4,5=T 15 
eq
2
4
d
3-
3
 3-4est
4
46
p
est
=
==
∆
=
=++=++=
=
===
→=
−
−
−
σ
πτ
δ
δ
πϕ
ϕδ
,
,
,
.,
...
.,
.,
,
,
.
 
 
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¾ Exercício 8.5 
Um peso de 2 kgf cai do repouso, de uma altura de 2 cm sobre o meio de uma 
viga de alumínio de seção 3 cm por 1 cm. A extremidade direita da viga de 2 m apoia-se 
contra uma mola helicoidal de constante igual a 20 kgf/ cm. Supondo-se que toda energia de 
queda realiza trabalho de deformação, pede-se: 
 
a) a carga estática equivalente 
b) o fator dinâmico 
c) a tensão máxima de flexão na viga, no momento do impacto, 
d) a porcentagem de energia absorvida pela viga e pela mola, no momento de impacto. 
 
Módulo de elasticidade do Al: 0,7. 106 kgf/cm2 
L = 2 m, h = 2 cm, W = 2 kgf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
δ - deflexão total sob W = δV +δmeioMola 
Para cálculo de δV a mola é considerada rígida e para cálculo de δmola a viga é 
considerada rígida. 
 
kgf.cm 0,188 = 2,75 . 0,050 . .2,75 1 
2
1U
050002502
kgf.cm 14,36 = 2,75 . 1,9 . 5,5 .
2
1Ud
kgf/cm 55012
1 . 3
0,5 . .100 1 .752
kgf 5,5 = 2,75 . 2Pc
752
1,925
2 . 2+1+ 1=b)F.D
cm 9251025091
 20 . 2
1
.1 3 . 10 . 0,7 . 48
 .12 200 . 2a
M
mola
V
2
3
d
36
3
.
,,.
)
.,
)
,
,,,)
=
==
=
==
=
=
=+=+=
δ
σ
δ
 
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¾ Exercício 8.6 
A Figura abaixo representa um esmeril com dois rebolos abrasivos nas 
extremidades do eixo movido por correias, através de uma roldana central. Quando são 
atingidas 2400 rpm, o rebolo de 6 in é travado, causando uma parada instantânea. Determinar 
a máxima tensão tangencial e o ângulo de torção do eixo. 
 
Módulo de Coulomb do material do eixo: 11,5.106 psi 
Peso específico do material do rebolo: 0,07 lb/in3 
Aceleração da gravidade: 386 in/s2 
 
K = 0,5. I. ω2; I = 0,5. m. r2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
2
4
p
d
46
d
46
2
46p
2
222
2
lb/in 92078
0,5 . 
2 . 0,5 . 18079
I
Tr
rad 19,0
0,5 . . .10 11,5
2 . 12 . 18079
lb.in 18079T
0,5 . . .10 11,5
2 . 12.T.2
11737
0,5 .
2
. 10 . 5,11
T . 12
GI
Tl=
lb.in 1737
30
2400 . 14,3)055,0(
2
1U
055,04 . 
386
0,07 . 
4
3 . 4 . 
2
1mr
2
1I
T
2
1I
2
1U
===
==
=
=
=
=

=
=

==
==
πτ
πϕ
π
πϕ
π
ϕω