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MAW 117-Introdução ao cálculo-2015/1 Gabarito-Lista 1 1. Função que representa, em cm2, a área do chão de um banheiro quadrado de lado (R + 170)cm: A(R) = (R + 170)2 cm2 = (R2 + 340R + 28900) cm2 Número de azulejos necessários para azulejar este banheiro: (R+170)2 R2 = R 2+340R+28900 R2 = 1 + 340 R + 28900 R2 Se R = 30, A(R) = (30 + 170)2cm2 = 40000cm2 = 40000 10000 m2 = 4m2 2. D(r) = V (r + 1)− V (r) = 1 3 pi(3r2 + 3r + 1)cm3 3. Se um dos lados tem comprimento x metros, a área em m2 é A(x) = (10− x)x m2 = (−x2 + 10x)m2 4. (a) f(x) = (4− 2x)2 − 1 Sol: (4− 2x)2 ≥ 0 para todo x ∈ R ⇔ (4− 2x)2 − 1 ≥ −1 para todo x ∈ R Logo im f ⊂ [−1,+∞) Se y ∈ [−1,+∞), y = (4− 2x)2 − 1⇔ y + 1 = (4− 2x)2 (como y ≥ −1⇔ y + 1 ≥ 0) ⇔ √y + 1 = |4− 2x| ⇔ x = 4+ √ y+1 2 ou x = 4− √ y+1 2 Logo [−1,+∞) ⊂ im f ∴ im f = [−1,+∞) (b) g(x) = 100(x+ 3)5 − 80 Sol: im g = R (c) h(x) = 2x−6 Sol:imh = (0,+∞) 5. (a) f(x) = 5x2 − x 2−x Sol: f(3) = 5 · 32 − 3 2− 3 = 48 (b) f(x) = −(1− x)3 + 3x Sol:f(3) = −(1− 3)3 + 33 = 35 6. (a) f(x) = 1 2x2 + 28x+ 98 −√(x2 − 3x− 9)(2− x) Sol: domf = {x ∈ R | 2x2 + 28x+ 98 6= 0 e (x2 − 3x− 9)(2− x) ≤ 0 } 2x2 + 28x+ 98 = 0⇔ x = −7 x2 − 3x− 9 ≥ 0 para todo x ∈ R pois p(x) = x2 − 3x− 9 não tem raíz real. Logo (x2 − 3x− 9)(2− x) ≤ 0⇔ 2− x ≥ 0⇔ 2 ≥ x ∴ domf = {x ∈ R | x ≤ 2 e x 6= −7 } 1 (b) f(x) = −(1− x)3 + 2−x − √ 3(x− 2) x2 − 6x+ 9 Sol: domf = {x ∈ R | x ≥ 2 e x 6= 3 } 7. (a) f(x) = |x+ 5| Sol: −6 −4 −2 2 4 6 x y (b) f(x) = √ 3− x −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 1 2 3 x y (c) f(x) = 1 x2 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 1 2 3 x y 2 (d) f(x) = 9− x2 x+ 3 −4 −3 −2 −1 1 2 4 6 x y (e) f(x) = |x| x −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 x y 3 (f) f(x) = 5x+ |x| x −3 −2 −1 1 2 3 2 4 6 x y (g) f(x) = |5 + x| x −20 −10 10 20 −5 5 x y −4 −2 2 4 6 5 10 15 x y 8. (a) f(x)− f(2) x− 2 , se f(x) = 3x 2 − 4, x 6= 2 Sol: f(x)− f(2) x− 2 = 3(x+ 2) (b) f(1 + h)− f(1) h , se f(x) = 1 x Sol: f(1 + h)− f(1) h = −1 1 + h 4 (c) f(2 + h)− f(2) h , se f(x) = 3x2 − 4, h 6= 0 Sol: f(2 + h)− f(2) h = 3h+ 12 (d) f(h)− f(0) h , se f(x) = 3x3 − 4x2 + 7x− 3, h 6= 0 Sol: f(h)− f(0) h = 3h2 − 4h+ 7 5
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