Cap31-CorrenteAlternada

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Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F´ısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky - Edic¸a˜o: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
25 de julho de 2011
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como os fasores facilitam a descric¸a˜o senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reataˆncia para descrever a voltagem atrave´s de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em se´rie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de poteˆncia que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em se´rie responde a fems senoidais de frequ¨eˆncias
diferentes.
I Por que os transformadores sa˜o u´teis e como eles funcionam.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como os fasores facilitam a descric¸a˜o senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reataˆncia para descrever a voltagem atrave´s de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em se´rie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de poteˆncia que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em se´rie responde a fems senoidais de frequ¨eˆncias
diferentes.
I Por que os transformadores sa˜o u´teis e como eles funcionam.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como os fasores facilitam a descric¸a˜o senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reataˆncia para descrever a voltagem atrave´s de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em se´rie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de poteˆncia que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em se´rie responde a fems senoidais de frequ¨eˆncias
diferentes.
I Por que os transformadores sa˜o u´teis e como eles funcionam.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como os fasores facilitam a descric¸a˜o senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reataˆncia para descrever a voltagem atrave´s de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em se´rie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de poteˆncia que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em se´rie responde a fems senoidais de frequ¨eˆncias
diferentes.
I Por que os transformadores sa˜o u´teis e como eles funcionam.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como os fasores facilitam a descric¸a˜o senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reataˆncia para descrever a voltagem atrave´s de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em se´rie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de poteˆncia que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em se´rie responde a fems senoidais de frequ¨eˆncias
diferentes.
I Por que os transformadores sa˜o u´teis e como eles funcionam.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como os fasores facilitam a descric¸a˜o senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reataˆncia para descrever a voltagem atrave´s de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em se´rie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de poteˆncia que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em se´rie responde a fems senoidais de frequ¨eˆncias
diferentes.
I Por que os transformadores sa˜o u´teis e como eles funcionam.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Introduc¸a˜o
Introduc¸a˜o.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Introduc¸a˜o
Nu´meros complexos e fasores.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜R(t)
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜R(t)
v˜R(t) = ε˜(t) = R I˜(t)
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜R(t)
v˜R(t) = ε˜(t) = R I˜(t)
I˜(t) =
ε˜(t)
R
=
ε0
R
e iωt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜R(t)
v˜R(t) = ε˜(t) = R I˜(t)
I˜(t) =
ε˜(t)
R
=
ε0
R
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜R(t)
v˜R(t) = ε˜(t) = R I˜(t)
I˜(t) =
ε˜(t)
R
=
ε0
R
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
I =
ε0
R
= I0e
iφ
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜R(t)
v˜R(t) = ε˜(t) = R I˜(t)
I˜(t) =
ε˜(t)
R
=
ε0
R
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
I =
ε0
R
= I0e
iφ
XR = R ; φ = 0 ; ε0 = XRI0
I(t) = Re(I˜(t)) =
ε0
R
cos(ωt)
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜R(t)
v˜R(t) = ε˜(t) = R I˜(t)
I˜(t) =
ε˜(t)
R
=
ε0
R
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
I =
ε0
R
= I0e
iφ
XR = R ; φ = 0 ; ε0 = XRI0
I(t) = Re(I˜(t)) =
ε0
R
cos(ωt)
I A voltagem AC e a corrente AC em um
resistor esta˜o em fase.
I XR e´ chamada de reataˆncia resistiva.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜L(t)
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜L(t)
v˜L(t) = ε˜(t) = L
d I˜(t)
dt
= ε0e
iωt
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜L(t)
v˜L(t) = ε˜(t) = L
d I˜(t)
dt
= ε0e
iωt∫
d I˜(t) =
ε0
L
∫
e iωtdt =
ε0
iωL
e iωt
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜L(t)v˜L(t) = ε˜(t) = L
d I˜(t)
dt
= ε0e
iωt∫
d I˜(t) =
ε0
L
∫
e iωtdt =
ε0
iωL
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜L(t)
v˜L(t) = ε˜(t) = L
d I˜(t)
dt
= ε0e
iωt∫
d I˜(t) =
ε0
L
∫
e iωtdt =
ε0
iωL
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
I =
ε0
iωL
=
ε0
XL
e−i
pi
2 = I0e
iφ
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜L(t)
v˜L(t) = ε˜(t) = L
d I˜(t)
dt
= ε0e
iωt∫
d I˜(t) =
ε0
L
∫
e iωtdt =
ε0
iωL
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
I =
ε0
iωL
=
ε0
XL
e−i
pi
2 = I0e
iφ
XL = ωL ; φ = −
pi
2
; ε0 = XLI0
I(t) = Re(I˜(t)) =
ε0
XL
cos(ωt − pi
2
)
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜L(t)
v˜L(t) = ε˜(t) = L
d I˜(t)
dt
= ε0e
iωt∫
d I˜(t) =
ε0
L
∫
e iωtdt =
ε0
iωL
e iωt
I˜(t) = Ie iωt
I =
ε0
iωL
=
ε0
XL
e−i
pi
2 = I0e
iφ
XL = ωL ; φ = −
pi
2
; ε0 = XLI0
I(t) = Re(I˜(t)) =
ε0
XL
cos(ωt − pi
2
)
I A corrente AC em um indutor esta´ com
atraso de fase de pi
2
em relac¸a˜o a`
voltagem AC.
I XL e´ chamada de reataˆncia indutiva.
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜c (t)
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜c (t)
v˜c (t) = ε˜(t) =
q˜(t)
C
d ε˜(t)
dt
=
1
C
dq˜(t)
dt
=
I˜(t)
C
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜c (t)
v˜c (t) = ε˜(t) =
q˜(t)
C
d ε˜(t)
dt
=
1
C
dq˜(t)
dt
=
I˜(t)
C
I˜(t) = ε0iωCe
iωt = Ie iωt
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜c (t)
v˜c (t) = ε˜(t) =
q˜(t)
C
d ε˜(t)
dt
=
1
C
dq˜(t)
dt
=
I˜(t)
C
I˜(t) = ε0iωCe
iωt = Ie iωt
I =
ε0
Xc
e i
pi
2 = I0e
iφ
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜c (t)
v˜c (t) = ε˜(t) =
q˜(t)
C
d ε˜(t)
dt
=
1
C
dq˜(t)
dt
=
I˜(t)
C
I˜(t) = ε0iωCe
iωt = Ie iωt
I =
ε0
Xc
e i
pi
2 = I0e
iφ
Xc =
1
ωC
; φ =
pi
2
; ε0 = XcI0
I(t) = Re(I˜(t)) =
ε0
Xc
cos(ωt +
pi
2
)
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Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜c (t)
v˜c (t) = ε˜(t) =
q˜(t)
C
d ε˜(t)
dt
=
1
C
dq˜(t)
dt
=
I˜(t)
C
I˜(t) = ε0iωCe
iωt = Ie iωt
I =
ε0
Xc
e i
pi
2 = I0e
iφ
Xc =
1
ωC
; φ =
pi
2
; ε0 = XcI0
I(t) = Re(I˜(t)) =
ε0
Xc
cos(ωt +
pi
2
)
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε˜(t))
ε˜(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε˜(t)− v˜c (t)
v˜c (t) = ε˜(t) =
q˜(t)
C
d ε˜(t)
dt
=
1
C
dq˜(t)
dt
=
I˜(t)
C
I˜(t) = ε0iωCe
iωt = Ie iωt
I =
ε0
Xc
e i
pi
2 = I0e
iφ
Xc =
1
ωC
; φ =
pi
2
; ε0 = XcI0
I(t) = Re(I˜(t)) =
ε0
Xc
cos(ωt +
pi
2
)
I A corrente AC em um capacitor esta´
com avanc¸o de fase de pi
2
em relac¸a˜o a`
voltagem AC.
I Xc e´ chamada de reataˆncia capacitiva.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reataˆncia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC .
I XL = ωL.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reataˆncia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC .
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reataˆncia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC .
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reataˆncia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC .
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reataˆncia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC .
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reataˆncia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC .
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedaˆncia
Fonte AC e circuito R-L.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedaˆncia
Fonte AC e circuito R-C.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedaˆncia
Fonte AC e circuito R-L-C.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedaˆncia
Ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
ε˜(t) = L11
d I˜1(t)
dt
+ L12
d I˜2(t)
dt
− R2I˜2(t) = L21 d I˜1(t)
dt
+ L22
d I˜2(t)
dt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
ε˜(t) = L11
d I˜1(t)
dt
+ L12
d I˜2(t)
dt
− R2I˜2(t) = L21 d I˜1(t)
dt
+ L22
d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
ε˜(t) = L11
d I˜1(t)
dt
+ L12
d I˜2(t)
dt
− R2I˜2(t) = L21 d I˜1(t)
dt
+ L22
d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
ε˜(t) = L11
d I˜1(t)
dt
+ L12
d I˜2(t)
dt
− R2I˜2(t) = L21 d I˜1(t)
dt
+ L22
d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
ε0e
iωt = iω(L11I1 + L12I2)e
iωt
− V2 = −R2I2e iωt = iω(L21I1 + L22I2)eiωt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
ε˜(t) = L11
d I˜1(t)
dt
+ L12
d I˜2(t)
dt
− R2I˜2(t) = L21 d I˜1(t)
dt
+ L22
d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
ε0e
iωt = iω(L11I1 + L12I2)e
iωt
− V2 = −R2I2e iωt = iω(L21I1 + L22I2)e iωt
V2
ε0
= − (L11I1 + L12I2)
(L21I1 + L22I2)
L12 = L12 = k
√
L11L22
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
L12 = L12 = k
√
L11L22
V2
ε0
= −
√
L22
L11
(
k
√
L11 I1 +
√
L22 I2√
L11 I1 + k
√
L22 I2
)
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
L12 = L12 = k
√
L11L22
V2
ε0
= −
√
L22
L11
(
k
√
L11 I1 +
√
L22 I2√
L11 I1 + k
√
L22 I2
)
Se, k = 1
V2
ε0
= −
√
L22
L11
= −N2
N1
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
µ = IA
µ =
ev
2pir
(pir2) =
evr
2
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
µ = IA
µ =
ev
2pir
(pir2) =
evr
2
L = mvr =
h
2pi
h = 6, 626× 10−34Js
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
O magneton de Bohr
I =
e
T
T =
2pir
v
I =
ev
2pir
µ = IA
µ =
ev
2pir
(pir2) =
evr
2
L = mvr =
h
2pi
h = 6, 626× 10−34Js
µ =
e
2m
L =
eh
4pim
µ = 9, 274× 10−24Am2
µ = 9, 274× 10−24J/T
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮
~B · d~l − µ0Im = µ0Ic
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮
~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
~Jm · d~A = µ0Ic
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮
~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮
~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮
~M · d~l = µ0Ic
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮
~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮
~M · d~l = µ0Ic∮
(~B − µ0 ~M) · d~l = µ0Ic∮
(µ0~H) · d~l = µ0Ic
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I Vimos que efeitos magne´ticos sa˜o gerados por correntes ele´tricas.
I Ampe`re propoˆs que a magnetizac¸a˜o espontaˆnea dos meios magne´ticos deveriam
ser geradas por correntes microsco´picas.
I A magnetizac¸a˜o sera´ definida pela soma dos momentos magne´ticos por
unidade de volume: ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Da lei de Ampe`re temos,∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮
~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮
~M · d~l = µ0Ic∮
(~B − µ0 ~M) · d~l = µ0Ic∮
(µ0~H) · d~l = µ0Ic
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico∮
~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮
~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮
~B · d~l − µ0
∫
(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮
~M · d~l = µ0Ic∮
(~B − µ0 ~M) · d~l = µ0Ic∮
(µ0~H) · d~l =µ0Ic
I O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´pico
I O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´picoI O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Magnetismo Microsco´picoI O campo ~H e´ o campo gerado por correntes
de conduc¸a˜o ou um campos externo.
I O campo ~B e´ o campo efetivo incluindo os
campos gerados pelo pro´prio material
magne´tico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ou
seja a magnetizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o do
campo externo. ~M = 1
V
∑
i ~µi
I Quando o um material magne´tico for linear,
homogeˆneo e isotro´pico teremos:
~M = χm~H.
I χm e´ chamado de susceptibilidade
magne´tica.
I Km = (1 + χm) e´ chamado de
pemeabilidade magne´tica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Paramagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I 0 < χm < 10+2
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Paramagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I 0 < χm < 10+2
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Diamagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I −10+2 < χm < 0
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Diamagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I −10+2 < χm < 0
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magne´ticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =
~B
µ0
− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e´ a resisteˆncia do fio do prima´rio.
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e´ a resisteˆncia do fio do prima´rio.
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e´ a resisteˆncia do fio do prima´rio.
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
R1I˜1(t) = ε˜(t)− L11 d I˜1(t)
dt
− L12 d I˜2(t)
dt
R2I˜2(t) = 0− L21 d I˜1(t)
dt
− L22 d I˜2(t)
dt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e´ a resisteˆncia do fio do prima´rio.
I R2 e´ a resisteˆncia do fio do secunda´rio
+ resisteˆncia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
R1I˜1(t) = ε˜(t)−L11 d I˜1(t)
dt
− L12 d I˜2(t)
dt
R2I˜2(t) = 0− L21 d I˜1(t)
dt
− L22 d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I˜1(t) = ε˜(t)− L11 d I˜1(t)
dt
− L12 d I˜2(t)
dt
R2I˜2(t) = 0− L21 d I˜1(t)
dt
− L22 d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
R1I1e
iωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2e
iωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I˜1(t) = ε˜(t)− L11 d I˜1(t)
dt
− L12 d I˜2(t)
dt
R2I˜2(t) = 0− L21 d I˜1(t)
dt
− L22 d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
R1I1e
iωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2e
iωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2
0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I˜1(t) = ε˜(t)− L11 d I˜1(t)
dt
− L12 d I˜2(t)
dt
R2I˜2(t) = 0− L21 d I˜1(t)
dt
− L22 d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
R1I1e
iωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2e
iωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2
0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2(
ε0
0
)
=
[
R1 + iωL11 iωL12
iωL21 R2 + iωL22
](
I1
I2
)
Cap´ıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I˜1(t) = ε˜(t)− L11 d I˜1(t)
dt
− L12 d I˜2(t)
dt
R2I˜2(t) = 0− L21 d I˜1(t)
dt
− L22 d I˜2(t)
dt
ε˜(t) = ε0e
iωt
I˜1(t) = I1e
iωt ; I˜2(t) = I2e
iωt
R1I1e
iωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2e
iωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2
0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2(
ε0
0
)
=
[
R1 + iωL11 iωL12
iωL21 R2 + iωL22
](
I1
I2
)
I1 =
ε0(R2 + iωL22)
(R1 + iωL11)(R2 + iωL22) + ω2L12L21
I2 = − ε0iωL21
(R1 + iωL11)(R2 + iωL22) + ω2L12L21
	Introdução
	Circuitos de Corrente Alternada(AC)
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