Revisao de algebra elementar

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
CAPITULO 1: 
REVISÃO DE ALGEBRA ELEMENTAR 
FUNÇÕES 
 
Fernando Mori 
11/3/2008 
 
 
 
 
Esta apostila contém uma breve revisão de assuntos básicos para o aluno interessado em 
sanar suas lacunas de aprendizado. A partir do item 4 inicia-se o programa do curso com 
exemplos e exercícios ao final do capítulo 1. 
FERNANDO MORI - USJT Página 2 
 
 
ÁLGEBRA ELEMENTAR 
 
1) Operações com monômios e polinômios. 
Seja x uma variável indeterminada pertencente a um conjunto qualquer. 
As expressões do tipo: são chamadas expressões 
algébricas ou literais em x. As expressões algébricas podem ser: 
a) Inteira: 
 
b) Fracionais: 
 
 
c) Racionais: Exemplos a) e b) 
 
d) Irracionais: 
 
Monômios são expressões do tipo: 
Polinômios em uma variável sobre é toda expressão da forma: 
 sendo os coeficientes do 
polinômio, sendo . 
Grau de um polinômio em uma variável é o maior valor de n tal que 
 
Exemplo: é um polinômio do 4ºgrau, pois n = 4 
 é um binômio do 1ºgrau, pois n = 1 
 Termos semelhantes são os que possuem a mesma parte literal. 
 Exemplo: 
 
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1. 1) Operações 
 
A) Adição e Subtração 
Dados dois ou mais termos semelhantes, estes podem ser somados ou 
subtraídos, bastando para isso somarem-se algebricamente os 
coeficientes e somar-se a parte literal. 
Exemplo: 
 
 
Para somarmos ou subtrairmos polinômios, basta somarmos ou 
subtrairmos seus termos semelhantes. 
 
B) Multiplicação Algébrica 
O produto de dois monômios é um monômio, onde o coeficiente é o 
produto dos coeficientes dos monômios dados e a parte literal é 
formada por todas as letras desses monômios, cada uma delas tomada 
uma só vez e elevada a um expoente que é igual a soma dos expoentes 
que essa variável tem em cada um dos monômios dados. 
Exemplo: 
 
Potência de um monômio 
A Potência n-ésima de um monômio é o produto de n fatores iguais ao 
monômio dado. 
Exemplo: 
 
 
Multiplicação de monômio por polinômio 
Para se multiplicar um monômio por um polinômio, multiplica-se 
cada um dos termos do polinômio pelo monômio dado. 
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Exemplo: 
 
 
 
Para multiplicar polinômio por polinômio é necessário multiplicar 
cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio. 
Exemplo: 
 
 
 
B.1) Produtos notáveis 
 I) Quadrado da soma de dois termos: 
Exemplo: 
 II) Quadrado da diferença de dois termos: 
Exemplo: 
 III) Produto da soma pela diferença de dois termos: 
 
 Exemplo: 
 IV) Cubo da diferença de dois termos: 
 
 Exemplo: 
 
 V) Cuba da diferença de dois termos 
 
 Exemplo: 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 5 
 
Exercícios 
1) Efetuar as operações entre polinômios: 
 
a) 
b) 
c) – 
 
2) Efetuar as multiplicações: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
3) Efetuar os produtos notáveis: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 6 
 
2) Fatoração 
Existem expressões algébricas que podem ser decompostas em um 
produto de duas ou mais expressões. Estas expressões são chamadas 
expressões compostas e são fatoráveis. O processo que as decompõe é 
chamado de fatoração. 
Casos de fatoração: 
1. Fator comum 
Sabe-se que , pela propriedade simétrica 
da igualdade pode-se escrever: 
O fator a é comum aos termos do 1º membro e pode ser colocado em 
evidência no segundo membro. Se os termos de um polinômio possuir 
um fator comum, esse polinômio pode ser fatorado. Esse fator comum 
é o maior divisor comum dos termos. 
Exemplo: 
 
2. Agrupamento 
Este caso analisa os polinômios que podem ser decompostos em 
grupos com o mesmo número de termos, possuindo cada grupo um 
fator comum. 
Exemplo: 
 
3. Trinômio Quadrado Perfeito 
Sabe-se que: 
 
Os trinômios dos segundos membros são chamados quadrados 
perfeitos, porque provem da elevação ao quadrado de outra expressão. 
Exemplo: 
Verificam-se as características que devem ter os trinômios quadrados 
perfeitos: 
1) admitem raízes quadradas, respectivamente 
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2) O duplo produto dessas raízes resulta o terceiro termo . 
Portanto: 
Exemplo: e 
 
 
4. Trinômio do Segundo Grau 
Do tipo onde S é a soma de dois números e P o produto. 
Exemplo: 
 
Todo Trinômio do Segundo Grau do tipo pode ser 
decomposto no produto de dois binômios do primeiro grau do tipo 
, sendo dois números tais que 
 Exemplo: 
 
 
 
5. Diferença de dois quadrados 
 
Uma diferença de dois quadrados pode ser fatorada no produto da 
soma pela diferença das raízes desses quadrados. 
 Exemplo: 
 
 
6. Soma e Diferença de Cubos 
 
 
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Uma soma ou diferença de cubos é igual ao produto de um binômio 
por um trinômio, onde o binômio é a soma ou diferença das raízes 
cúbicas dos termos e o trinômio é formado pela soma dos quadrados 
das raízes cúbicas e o produto das mesmas. 
 Exemplo: 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 9 
 
Exercícios 
Fatorar as expressões: 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
 
7) 
 
8) 
 
9) 
 
10) 
 
11) 
 
12) 
 
13) 
 
14) 
 
15) 
 
16) 
 
17) 
 
18) 
 
19) 
FERNANDO MORI - USJT Página 10 
 
3) Equações 
Ao se estudar um determinado assunto em matemática, deve-se admitir 
a existência de um conjunto ao qual pertencem todos os elementos 
utilizados em tal assunto. Esse conjunto recebe o nome de conjunto 
Universo. Por exemplo, se procurarmos as raízes de uma equação, então 
. 
Chama-se conjunto verdade, representado por V, de uma sentença 
matemática, ao subconjunto de que torna essa sentença verdadeira 
. 
Chama-se equação a toda sentença sobre um universo cujo conjunto 
verdade V é um subconjunto de , isto é . Raiz de uma equação é 
qualquer elemento de seu conjunto verdade, é raiz. 
Exemplo: 
2 5 
5 2
3 V = 3 
x N
x
x
 
A) Equações racionais e inteiras do 1º grau. 
É toda equação do tipo , onde 
 Exemplos: 
1) 
3 7 10 3 7 7 10 7 3 3
3 3
1 
3 3 V= 1
x x x
Rx
x

 
2) 
 
1 6 1 2
3 1 
2 2 2
6 1 2
 2 6 1 2
2 2
6 3
6 1 1 2 1 6 3
6 6
3 1
6 2
1
 
2
x
x N
x
x
x
x x
x x
V pois N
 
FERNANDO MORI - USJT Página 11 
 
B) Equações fracionárias do 1º grau. 
São equações do tipo 
Domínio de validade (D) de uma equação fracionária é o conjunto dos 
números reais que não anulam quaisquer dos denominadores dessa 
equação. No exemplo acima, nenhum valor que anule pode pertencer ao 
domínio de validade, portanto: 1 0 1
 1, 1
1 0 1
x x
D R
x x
 
 Resolvendo a equação acima: 
 Menor denominador comum: 
 
2 2 2
2 2 2
2 1 1 1 1 1 2 1
1 1 1 1
2 2 1 1 2 2
2 2 2 1 2 1
2 4 2 2
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x V
 
 
c) Equaçõesdo 2º grau. 
É toda equação da forma com . 
As equações do 2º grau podem ser: 
I) Completas: quando aparecem na forma acima, 
II) Incompletas: quando se apresentarem nas formas: 
 
1) Resolução das equações incompletas 
1º caso: 
2
2 2
2 2
2
0
0
 0 0
0
Exem plo: 5 =0 =
5
 =0 0 0
ax
x x V
a
x x
x x V
 
FERNANDO MORI - USJT Página 12 
 
2º caso: 
2
2 2
2
2 2 2
0
;
: 3 12 0
12
 3 12 4 2
3
 2; 2
ax c
c
ax c x
a
c c c
x V
a a a
Exemplo x
x x x x
V
 
Obs.: Lembrar que raízes quadradas de números negativos não 
pertencem ao conjunto dos números reais. 
 
3º caso: 
2
1
2
2
1
2
0 0
0 ou 0
=- 0;
:
3 6 0
3 6 0 0 ou 3 6 0
3 6 2 0, 2
ax bx x ax b
x ax b
b b
ax b x V
a a
Exemplo
x x
x x x x
x x V
 
 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 13 
 
2) Resolução de equações completas do 2º grau. 
 
 Fórmula: , chamando 
 
 
Se a equação terá duas raízes reais e diferentes. 
Se a equação terá duas raízes reais e iguais. 
Se a equação não terá soluções reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 14 
 
Exercícios 
1) Determine o conjunto verdade das seguintes equações do 1º grau, em . 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
2) Nas equações seguintes em , determine o domínio de validade e o 
conjunto verdade: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 15 
 
3) Determine o conjunto verdade e o domínio de validade (se necessário) 
das seguintes equações do 2ºgrau em 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
h) 
 
 
i) 
 
j) 
 
 
 
k) 
 
 
 
l) 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 16 
 
4) Inequações 
Dizemos que dois números a e b são desiguais quando: 
(a maior que b) 
(a menor que b) 
(são desigualdades) 
Propriedades das desigualdades: 
Se , então: 
1) 
2) 
3) 
4) 
 
I) Inequações do 1º grau 
São inequações da forma: 
 
Exemplos: 
1) 
2) 
3) 
4) 
 
II) Inequações do 2º grau 
 
É do tipo 
Resolvê-las significa determinar quais os valores da variável x que 
tornam o trinômio maior ou menor que zero. Para tanto é 
necessário que se determine as raízes da equação e a 
partir daí determinar o sinal do trinômio. 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 17 
 
Temos 3 casos a considerar: 
1) ; a equação possui duas raízes reais e diferentes. O sinal do 
trinômio será o mesmo de a fora do intervalo das raízes e contrário ao 
sinal de a no intervalo das raízes. 
Geometricamente: 
 
 
 
2) ; a equação possui duas raízes reais e iguais. O sinal do trinômio 
será o mesmo sinal de a nos dois intervalos. 
Geometricamente: 
 
 
 
 
3) ; a equação não possui raízes reais. O sinal do trinômio é o 
mesmo sinal de a para todo x real. 
Geometricamente: 
 
 
 
 Exemplos: 
1) 
2
2 1
2
4 3 0
1
4 3 0
3
x x
x
x x
x
 
 
 
Sinal de a Sinal contrário a a Sinal de a 
 
 
 
 
 Sinal de a Sinal de a 
Sinal 
 
 
Sinal de a 
FERNANDO MORI - USJT Página 18 
 
2) 
2
2 1
2
2 7 3 0
1
2 7 3 0 2
3
x x
x
x x
x
 
 
 
3) 
2
2
1 2
4 4 0
4 4 0 2
x x
x x x x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 19 
 
5) Logaritmos 
Chama-se logaritmo de um número em relação a uma base 
·, o expoente que se deve dar a base b, a fim de que a 
potência obtida seja igual a N. Assim se temos: 
Exemplo: 
 
 
Dizemos que: N é o logaritmando 
 b é a base 
 n é o logaritmo 
Observação: 
 (o logaritmo de 1 em qualquer base é zero) 
 (o logaritmo de um número na mesma base é igual a 1) 
 
 
Propriedades: 
Sendo temos: 
1) 
O logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é a soma 
dos logaritmos dos números. 
 2) 
 O logaritmo do quociente de dois números positivos é o logaritmo do 
numerador menos o logaritmo do denominador. 
 3) 
O logaritmo de uma potência de um número positivo é o expoente da 
potência multiplicado pelo logaritmo do número. 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 20 
 
 4) 
A base de um logaritmo pode ser mudada, isto é, o logaritmo de um 
número b numa base a é igual ao quociente do logaritmo de b numa 
nova base x pelo logaritmo de a também na mesma base x. 
Observação: Logaritmo neperiano (ln b) é o logaritmo na base e 
. 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 21 
 
6) Equações exponenciais e logarítmicas 
 
Equação exponencial é aquela na qual a incógnita figura como 
expoente. 
 
Exemplos: 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
1 2
1 2
1 2
2
3 3 3 13
3 3 3 3 3 13
1 1
3 1 3 3 13 3 1 13
3 9
13
3 13 3 9 3 3 2 2
9
x x x
x x x
x x
x x x
x V
 
 
 d) 
 
 
 Mas 
 Para 
 Para 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 22 
 
Equação logarítmica é aquela na qual a incógnita aparece no 
logaritmando. 
 Exemplos: 
 a) 
 2 2
2 log log 49 / 0
log log 49 49 7
7
x D x R x
x x x
V
 
 b) 
 
7 7
7 7
2 1
2
log log 6 =1 / 6
log 6 log 7
7
6 7 6 7 0 7
1
x x D x R x
x x
x
x x x x V
x
 
 
 c) 
 Fazendo temos: 
 Mas, 
 Para 
 Para 
 
 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 23 
 
Exercícios: 
1) Determinar o logaritmo de na base 2. 
2) Para que valores de x se têm 
3) Em qual base a se tem 
4) Desenvolver por logaritmos decimais as expressões abaixo: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 d) 
 
 5) Determinar o conjunto verdade em das seguintes equações: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 24 
 
7) Funções 
 
1.1. Produto Cartesiano 
Definição: somente se . Deste modo, 
garante-se a ordem do par. Assim, por exemplo, 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B o 
conjunto: 
 A notação A, B lê-se “A cartesiano B” 
 Exemplos: 
 a) Seja então: 
 
 
 
 
 
 Construir o gráfico de A x B onde e 
 
 
 
B 
A 
e 
 
d 
 a b c 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 25 
 
1.2. Conjuntos Numéricos 
 = conjunto dos números naturais 
 = conjunto dos números naturais não nulos 
 = conjunto dos números inteiros 
 = conjunto dos números inteiros não negativos 
 = conjunto dos números inteiros não positivos 
 = conjunto dos números inteiros não negativos= conjunto dos números inteiros estritamente positivos 
 =conjunto dos números inteiros estritamente negativos 
 = conjunto dos números racionais 
Da mesma forma temos: 
Existem outros números além dos racionais como, por exemplo, que não é 
racional isto é, não pode ser colocado como razão de dois números inteiros. 
Portanto, estende-se o conjunto dos números racionais para o conjunto dos 
números reais , como sendo a união dos números racionais e dos 
números irracionais I, ou seja, . 
Temos igualmente, os subconjuntos de: 
Conclusões interessantes que neste texto são tratadas sumariamente são as 
inclusões: . 
De modo geral os números cuja representação decimal é exata ou periódica, 
são racionais como: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Os demais são irracionais como, e . Existem mais números irracionais 
do que números racionais no sentido de que a potência do conjunto dos 
números irracionais é maior do que a dos racionais. 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 26 
 
As figuras que se seguem são os gráficos de: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem infinitos pontos de planos aos quais não estão associados 
pares ordenados de números racionais. 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 Representa todos os planos, no sentido de que a cada par de 
números reais está associado um único ponto P do plano e reciprocamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 27 
 
1.3. Intervalo de Números Reais 
 Definição: 
 Sejam números reais com . 
 Os conjuntos: , / 
, / 
a b x R a x b
a b x R a x b
e 
 São chamados, respectivamente, intervalo fechado e intervalo aberto de 
números reais . 
 Na reta real são representados do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
Referem-se também e intervalos de números reais aberto à 
esquerda e fechado à direita; fechado à esquerda e aberto à direita, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
Intervalo fechado 
Intervalo aberto 
FERNANDO MORI - USJT Página 28 
 
1.4. Relações 
 Definição: 
Uma relação binária de um conjunto A em um conjunto B é um subconjunto 
de . 
Exemplos: 
Dados 
a) Seja a relação de A em B onde é a relação de igualdade. 
Então: 
b) Seja S a relação de A em B tal que S é a relação 
Neste caso temos: 
Note que se é a relação temos: 
 
c) Seja T a relação definida por se e só se . 
Aqui e b deve resultar em um elemento de B. 
 
Para: 
 
1 2 1 1 1 1, 1
0 2 0 1 1 0,1
1 2 1 1 3
4 2 4 1 9
5 2 5 1 11
a b B T
a b B T
a b B
a b B
a b B
 
 Portanto: 
 
Denota-se uma relação de A em B por 
 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 29 
 
Definição: 
 
 
Dada , chama-se domínio da relação , o conjunto: 
 
Chama-se imagem da relação o conjunto: 
 
 Observe que , denominado contra domínio da relação . 
 
Nos exemplos do item anterior, temos respectivamente: 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 30 
 
Exercícios: 
1) Dados construa os conjuntos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
2) Sejam A e B do exercício anterior e , construa o conjunto: 
 
3) Construa o gráfico dos conjuntos: 
a) 
b) 
c) 
 
4) Coloque V ou F conforme a afirmação for verdadeira ou falsa. 
a) A soma de dois números naturais é um número natural. 
b) A diferença de dois números naturais é um número natural. 
c) A diferença de dois números inteiros é um número inteiro. 
d) Zero não é um número racional. 
e) é um número real. 
f) Todo número real é racional. 
g) Todo número irracional é real. 
h) Para se demonstrar a falsidade de uma afirmação basta 
apresentar um contra-exemplo. 
 
 
5) Podemos obter um número racional como produto de números 
irracionais? Em caso positivo, apresente um exemplo. 
 
 
6) Seja 
Construa o conjunto definidos pelas relações: 
a) tal que se e só se 
b) S tal que se e só se 
c) T tal que se e só se 
FERNANDO MORI - USJT Página 31 
 
1.5. Função 
Definição: 
Uma relação é uma função de A em B se e só se: 
i. 
ii. Se então 
 
A definição nos diz simplesmente que todo elemento de A tem imagem 
única em B. 
Usa-se normalmente, para as funções, as letras minúsculas f, g, h. 
Se então b é dito imagem de a pela função f e indica-se por: 
. 
 
 Exemplos e Contra Exemplos: 
 Seja . Assim, 
a) é uma função f de A em B. Podemos também 
representá-la graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
2. 
3. 
. 9 
.11 
.15 
A B 
f 
FERNANDO MORI - USJT Página 32 
 
 
b) não é uma função de A em B pois (ii) 
não se cumpre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) não é uma função de A em B pois 
tal que . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se é uma função então A é o domínio da função. O conjunto B 
é chamado de contra domínio e o conjunto imagem I é portanto, o conjunto 
das imagens ou seja dos tais que com . Assim . 
 Uma função é completamente dada quando é conhecido o seu domínio 
o seu contra domínio e a imagem de cada elemento . Assim ao dar uma 
função, significa explicitar os seus elementos, ou seja, escrevemos: 
 tal que . 
 1 
2 
3 
 
 
. 9 
.11 
.15 
A B 
 . 9 
.11 
.15 
1. 
2. 
3. 
 
A B 
FERNANDO MORI - USJT Página 33 
 
Exemplo: 
 tal que 
 
1 1 2 1 3
2 1 2 2 6
3 1 2 3 7
4 1 2 4 9
5 1 2 5 11
f
f
f
f
f
 
Assim 
 
 
1.6. Funções Iguais 
Definição: 
 Duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo 
contra-domínio e cada elemento do domínio A tem a mesma imagem isto é, 
 . 
 Neste estudo consideremos tão somente aquelas funções cujo domínio 
e contra-domínio sejam subconjuntos de números reais, ditas funções reais. 
 
 
1.7. Domínio Máximo de uma Função Real 
Definição: 
 Chama-se domínio máximo de uma função real o conjunto: 
 
 Convenciona-se, quando não são mencionados explicitamente o 
domínio e o contra domínio, considerá-los, respectivamente, o domínio 
máximo e o conjunto dos números reais. 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 34 
 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
1.8. Gráfico de uma Função Real 
Definição: 
 O gráfico de uma função real é o conjunto dos pontos do plano de 
coordenadas . 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x f(x) 
-3 
-2 
-4 -1 
 -2 
 -3 
 3 
 2 
1 1 
2 
3 
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b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
x g(x) 
0 0 
 
1 4 
2 
3 
4 2 
 
x h(x) 
-1 -3 
0 -1 
1 1 
2 3 
x i(x) 
-3 
-2 
-1 
0 1 
1 2 
2 4 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 36 
 
1.9. Função par e Função impar 
Definição: 
Uma função é dita par se e somente se 
1)
 , f fa D a D
 
2) 
( ) ( )f a f a
 
Se 
( ) ( )f a f a
 a função f é dita impar. 
Existem muitas funções que não são nem pares e nem impares. 
 
1.10. Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora 
Definição: 
Seja uma funçãoreal com domínio A, f é dita injetora se e somente se 
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
 , ou seja valores distintos do domínio A têm 
imagens distintas. 
Uma função 
:f A B
 é chamada de sobrejetora se e somente se 
fI B
, o cojunto imagem for igual ao contradomínio. 
Uma função 
:f A B
 é bijetora se e somente se f for injetora e 
sobrejetora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 37 
 
1.11 Exercícios 
1) Dadas as funções definidas no conjunto dos Reais, f e g definidas por 
2
( ) 2 3 e ( )f x x g x x
 determine: 
a) f(-1) , f(4) 
b) f(2+h) 
c) g(5-h) 
d) g(1+h)-f(1+h) 
 
 
2) Determine o domínio das funções definidas por: 
 
 
a) 
( ) 1f x x
 
b) 
2
1
( )
1
g x
x
 
c) 
2
3
( )
1 2
x
h x
x
 
d) 
( ) 1 2f x x x
 
e) 
2
2
2
( ) 3
4
x
g x
x
 
f) 
2
( ) log(3 9)h x x
 
g) 
3
( ) 4 log
x
f x e x
 
 
 
3) Estudar a variação de sinal e construir o gráfico das seguintes funções 
do primeiro grau: 
a) 
( ) 2 1f x x
 
b) 
1
( )
2
f x x
 
c) 3 2
( )
3
x
f x
 
d) 5
( ) 3
2
x
f x
 
e) 
( ) 5f x
 
 
 
FERNANDO MORI - USJT Página 38 
 
4) Construir os gráficos das funções do segundo grau indicando seus 
vértices e interceptos com o eixo x. 
a) 2
( ) 1f x x
 
b) 2
( ) 2f x x x
 
c) 2
( ) 2 1f x x x
 
d) 2
( )f x x x
 
 
5) Construir o gráfico das funções modulares. 
 
a) 3
( ) 2
2
f x x
 
 
b) 5
( ) 3
2
x
f x
 
 
 
c) 
( ) 1 3f x x x
 
 
d) 
( ) 1 3f x x x
 
 
 
6) Determine as funções compostas sabendo que 
2
4
( ) 3 4 , ( ) 5 e ( )
3
x
f x x g x x h x
x
 
a) 
 o f g
 
b) 
 o g f
 
c) 
 o h g
 
d) 
 o g g
 
e) 
 o o f h g
 
f) 
 o f f