Pontos direçoes e planos cristalográficos

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Aula Passada 
Estrutura Cristalina dos Sólidos
Prof. Dr. Ranyere Lucena de Souza
Curso: Engenharia Civil
CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DOS MATERIAIS
Ano 2016
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Materiais Cristalinos...
Arranjos 3D periódicos
- metais
- muitas cerâmicas
- alguns polímeros
SiO2 cristalino
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lli
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SiO2 amorfo
Si O
Materiais Amorfos...
Sem estrutura periódica
- estruturas complexas
- resfriamento rápido (quenching) 
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Estrutura cristalina da Halita (NaCl)
São paralelepípedos ou prismas cujos vértices 
coincidem com o centro dos átomos.
Célula unitária
* os átomos são representados como esferas rígidas.
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Número de coordenação
Número de coordenação:
• Corresponde ao número de átomos vizinhos mais próximos.
• Para a estrutura cúbica simples o número de coordenação é 6.
Número de coordenação
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Fator de Empacotamento Atômico 
(FEA)
Volume de átomos em uma célula unitária
Volume total da célula unitária
FEA =
Fator de empacotamento: É a fração do espaço numa célula
unitária ocupado pelos átomos, supondo que eles sejam
esferas rígidas.
Vol. dos átomos = Vol. Esfera= 4R3/3
Vol. da célula = Vol. Cubo = a3
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ESTRUTURA CRISTALINA DOS METAIS
Três são as estruturas cristalinas mais comuns em metais:
 Cúbica de corpo centrado
 Cúbica de face centrada
 Hexagonal compacta
Cúbica de corpo 
centrado
Cúbica de face 
centrada
Hexagonal 
compacta
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Metais que apresentam polimorfismo
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ALOTROPIA DO FERRO
 Na temperatura ambiente, o
Ferro têm estrutura ccc,
número de coordenação 8,
fator de empacotamento de
0,68 e um raio atômico de 1,241
Å.
 A 912°C, o Ferro passa para
estrutura cfc, número de
coordenação 12, fator de
empacotamento de 0,74 e um
raio atômico de 1,292 Å.
 A 1394°C o ferro passa
novamente para ccc.
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Pontos, direções e planos cristalográficos
Curso: Engenharia Civil
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DOS 
MATERIAIS
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Pontos, direções e planos 
cristalográficos
Freqüentemente é necessário identificar direções e planos
específicos em cristais.
Por exemplo:
Propriedades x Direções e Planos:
Módulo de elasticidade (direções mais compactas: maior
módulo)
Como exemplo de propriedade que varia conforme o plano,
temos os chamados planos de clivagem dos cristais. Os
cristais podem ser clivados com maior facilidade ao longo
de certos planos cristalográficos.
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Coordenadas dos Pontos:
Foram estabelecidas convenções de identificação, onde três números
inteiros são utilizados para designar as localizações de direções e
planos.
Ponto P: Esse ponto é 
formado por 3 valores nos 
eixos x, y e z: q, r e s.
A posição de qualquer ponto localizado no interior de uma célula
unitária pode ser especificada em termos de suas coordenadas,
calculadas como múltiplos fracionários dos comprimentos das
arestas das células unitárias.
Pontos, direções e planos cristalográficos
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Exemplo1: Para a célula abaixo (a) localize o ponto ½ 1 ½
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a=1
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Exemplo 2: Especifique as coordenadas de pontos para todas 
as posições atômicas da célula CCC.
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Direções Cristalográficas
É definida como uma linha entre dois pontos (vetor)
Um vetor com comprimento conveniente é posicionado de tal
modo que ele passa através da origem;
O comprimento da projeção de vetor é medido em termos das
dimensões da célula unitária a, b e c (valor unitário);
Estes 3 números são multiplicados ou divididos por um fator
comum (reduzir aos menores valores inteiros);
Os 3 índices, não separados por vírgulas, são colocados
entre colchetes: [uvw].
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Direção cristalográfica é definida por um vetor 
passando pela origem.
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x
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b
c
a,b,0=1,1,0
a,0,c=1,0,1
a,b,c=1,1,1
a/2,b/2,c/2=½, ½, ½ 
Pontos Coordenados
Direções Cristalográficas
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• São representadas
entre colchetes=[uvw]
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Se a subtração der 
negativa, coloca-se uma 
barra sobre o número.
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• São representadas entre 
colchetes= [hkl]
Índices de Miller 
Os números devem ser divididos
ou multiplicados por um
fator comum para dar números 
inteiros
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Direções Cristalográficas
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Alguns pontos são interessantes destacar:
• Orientações positivas e negativas não são idênticas
Elas representam a mesma direção mas sentidos opostos!
• Uma direção e seus múltiplos são idênticas
[100] = [ 200]
– Isto se deve ao fator da redução
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• Para algumas estruturas cristalinas, várias direções não
paralelas com índices diferentes, são na realidade equivalentes;
isto significa que o espaçamento entre os átomos ao longo de
cada direção é o mesmo.
• Por exemplo, em cristais cúbicos, todas as direções
representadas pelos seguintes índices são equivalentes:
[100], [100], [010], [010], [001] e [001]
• Por conveniência as direções equivalentes são agrupadas em
família, que é representada : 100
FAMÍLIA DE DIREÇÕES
- - -
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DIREÇÕES PARA O SISTEMA CÚBICO
 A simetria desta estrutura permite que as direções equivalentes 
sejam agrupadas para formar uma família de direções:
 <100> para as arestas das faces
 <110> para as diagonais das faces
 <111> para a diagonal do cubo
<110>
<100>
<111>
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Algumas direções da 
família de direções <100>
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 Direções da familia <111>
<111>
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Exercícios:
1. Desenhe a célula cúbica unitária para as seguintes
direcções:
a) [1 1 0] 
b) [1 1 2]
c) [1 1 0]
d)[1 2 1]
e) [1 1 0]
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DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC
 No sistema ccc os átomos se 
tocam ao longo da diagonal 
do cubo, que corresponde a 
família de direções <111>
 Então, a direção <111> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema ccc
1
4
/0
3
/2
0
1
6
26
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DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC
 No sistema CFC os átomos
se tocam ao longo da
diagonal da face, que
corresponde a família de
direções <110>
 Então, a direção <110> é
a de maior
empacotamento atômico
para o sistema cfc
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PLANOS CRISTALINOS
POR QUÊ SÃO IMPORTANTES?
Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de
difração medem diretamente a distância entre planos paralelos
de pontos de rede cristalina. Esta informação é usada para
determinar os parâmetros de rede de um cristal.
Para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo
deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no
cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente
ao longo de planos específicos do cristal.
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Exemplo : supercondutores a
base de YBa2Cu3O7
Alguns planos contêm somente Cu e
O. Estes planos conduzem pares de
elétrons (chamados pares de cobre)
que são os responsáveis pela
supercondutividade.
A camada condutora é formada pelos
planos CuO2-Y-CuO2. Estes
supercondutores são eletricamente
isolantes em outras direções.
Para as propriedades de transporte 
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos
causa o transporte de elétrons e/ou acelera a condução nestes
planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes
destes.
Figure 1. Unit cell of YBa2Cu3O7
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PLANOS CRISTALINOS
 São representados de maneira similar às direções.
 São representados pelos índices de Miller = (hkl)
 Planos paralelos são equivalentes e possuem índices
idênticos.
 Os números representam o inverso das interceptações
axiais.
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PLANOS CRISTALINOS
 São paralelos aos eixos x e z 
(paralelo à face)
 Cortam um eixo (neste exemplo: 
y em 1 e os eixos x e z em )
Planos (010)
4. Índices de Miller (010)
1. Interseção  1 
2. Inverso 1/  1/1 1/
0 1 0
3. Redução 0 1 0
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a  São paralelos a um eixo (z)
 Cortam dois eixos :
(x e y) 
PLANOS CRISTALINOS
Planos (110)
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z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (110)
1. Interseção 1 1 
2. Inverso 1/1 1/1 1/
1 1 0
3. Redução 1 1 0
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c
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n
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 S
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PLANOS CRISTALINOS
Plano (?)
exemplo
a b c z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (100)
1. Interseção 1/2  
2. Inverso 1/½ 1/ 1/
2 0 0
3. Redução 1 0 0
Plano (100)
C
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n
c
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 T
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c
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g
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 Cortam os 3 eixos cristalográficos
PLANOS CRISTALINOS
Planos (111)
z
x
y
a b
c



4. Índices de Miller (634)
1. Interseção 1/2 1 3/4
a b c
2. Inversos 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3
3. Redução 6 3 4
C
iê
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c
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c
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g
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PLANOS CRISTALINOS
35
Outros planos
equivalentes
(001)(001)
Outros planos
equivalentes
(111)
(110)
Outros planos
equivalentes
Famílias de Planos
C
iê
n
c
ia
 e
 T
e
c
n
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g
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 d
o
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FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É PARALELO À UM EIXO
36
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n
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FAMÍLIA DE PLANOS {111}
INTERCEPTA OS 3 EIXOS
1
4
/0
3
/2
0
1
6
37
C
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PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA 
NO SISTEMA CCC
 A família de planos {110}
no sistema ccc é o de
maior densidade atômica.
38Deformação em metais envolve deslizamento de planos
atômicos. O deslizamento ocorre mais facilmente nos planos
e direções de maior densidade atômica
C
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a
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA 
NO SISTEMA CFC
 A família de planos {111}
no sistema cfc é o de
maior densidade atômica
39
C
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n
c
ia
 e
 T
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c
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a
ARRANJOS ATÔMICOS
A distribuição dos átomos em um plano cristalográfico depende 
da estrutura cristalina
C
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Materiais cristalinos e 
Não cristalinos
 Monocristais
 Materiais Policristalinos
 Anisotropia
 Difração de Raio X
C
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Materiais cristalinos e 
Não cristalinos
Monocristais
 Existem na natureza, mas
podem ser produzidos
artificialmente.
Monocristal de granada (Y3Fe5O12)
 São sólidos cristalinos onde o arranjo repetitivo dos átomos 
se estende ao longo de toda a amostra (sem interrupções).
 Arranjo periódico se estende por todo o material sem
interrupção.
 As células unitárias se ligam da mesma maneira e possuem a
mesma orientação.
C
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 e
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a
Monocristal artificial de grandes dimensões 
Nos últimos anos monocristais se tornaram extremamente
importantes na tecnologia.
Em particular nos microcircuitos eletrônicos (monocristais de
silício).
43
Monocristais
C
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n
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 S
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a
Materiais Policristalinos
São compostos por um conjunto de
muitos cristais pequenos ou grãos.
A maioria dos sólidos cristalinos.
Esses materiais são inicialmente
formados por pequenos cristais que se
formam em várias posições durante o
processo de solidificação.
44
C
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 S
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a
Materiais Policristalinos
No final do processo de solidificação as extremidades dos grãos
adjacentes interferem umas com as outras.
A área de encontro dos grãos tem átomos desalinhados e é
chamada de contorno de grão.
Solidificação de um 
material policristalino
45
C
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 d
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 S
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a
Existe uma má combinação atômica dentro da região 
onde 2 grãos se encontram: contorno de grão.
Contorno de grão
46
A orientação cristalográfica varia de grão para grão.
Materiais Policristalinos
C
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n
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g
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 d
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 S
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a
Anisotropia
Por exemplo, a condutividade térmica pode ter valores diferentes 
nas direções [100] e [111].
Exemplo: o módulo de 
elasticidade (E) no ferro
CCC
47
 Quando as propriedades físicas dependem da direção
cristalográfica.
 O grau de anisotropia depende da simetria da estrutura
cristalina.
C
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48
Metal
Al
Cu
Fe
W
Módulo de elasticidade (GPa)
Anisotropia
C
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 d
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 S
o
u
z
a
Assim, embora cada grão seja anisotrópico, a amostra
inteira se comporta como um material isotrópico.
As substancias onde as propriedades medidas são
independentes da direção são chamadas de isotrópicas.
Para muitos materiais policristalinos, as orientações
dos grãos individuais são totalmente aleatórias.
 Policristais
49
Anisotropia
C
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n
c
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c
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 L
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 d
e
 S
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z
a Difração é o espalhamento de ondas por obstáculos com
dimensões comparáveis ao comprimento de onda, .
Difração de Raios X 
Difração 
C
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 S
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a
Interferência 
Construtiva
Interferência 
Destrutiva
FENÔMENO DA DIFRAÇÃO
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA 
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
C
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a
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA 
POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
FENÔMENO DA DIFRAÇÃO
 Quando um feixe de raios x é dirigido à um material
cristalino, esses raios são difratados pelos planos dos
átomos dentro do cristal.
52
C
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n
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a
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA 
POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
n= 2 dhkl.sen
 - comprimento de onda
n - número inteiro de ondas
d - distância interplanar 
 - ângulo de incidência
53
dhkl
dhklsen  dhklsen 
Lei de Bragg
C
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Válido 
para 
sistema 
cúbico
DISTÂNCIA INTERPLANAR
Conhecendo-se os parâmetros da célula unitária e os índices de
Miller (h k l) associados aos planos cristalográficos responsáveis
pela difração de raios X é possível calcular o valor da distância
interplanar, dhkl, utilizando a seguinte equação:
54
dhkl = √h2+k2+l2
a
C
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a
55
Podemos obter informações relevantes:
 Medir a distância média entre planos atómicos;
 Determinar a orientação de um grão;
 Identificar a estrutura cristalina de um material.
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA 
POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
C
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56
(110)
(200)
(211)
z
x
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a b
c
z
x
y
a b
c
z
x
y
a b
c
Ângulo de difração (◦)
In
te
n
s
id
a
d
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 (
re
la
ti
v
a
)
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA 
POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
C
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a
Figura: Difratogramas característicos de cada 
tipo de material 57
C
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58