2.1) CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO 1

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CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO. 
 
Definição. A constante de integração pode ser determinada quando 
conhecemos o valor da integral para algum valor da variável. É 
necessário ter outros dados além da expressão a ser integrada. 
 
Exemplo 1. Achar uma função cuja derivada primeira é 5x2x3 2 +− e que para x = 1 tenha o 
valor 12. 
 
Solução. A expressão diferencial da derivada dada é: 
 
( ) ( ) dx5x2x3dy5x2x3
dx
dy 22 +−=∴+−= 
 
Integrando ambos os membros teremos: 
 
( )
)1(Cx5xxyCx5
2
x
2
3
x
3y
dx5dxx2dxx3y
dx5x2x3dy
23
23
2
2
++−=∴++−=
+−=
+−=
∫∫ ∫
∫ ∫
 
 
Como y = 12 para x = 1 , teremos então: 
 
7CC1.51112 23 =→++−= 
 
Logo, a função pedida será: 7x5x2xy 23 ++−= 
 
 
Graficamente, temos: 
 
 
Significado geométrico da constante de 
integração. 
 
Se em (1) atribuirmos a C uma série de 
valores, teremos então uma família de 
curvas tais que C será o ponto de interseção 
de cada curva com o eixo y. 
 
No caso da função pedida pelo problema, a 
curva em linha mais escura terá C = 7, cuja 
coordenada é o ponto C(0,7). 
 
Deve-se notar também que todas as curvas 
têm o mesmo valor de dy/dx, isto é, a reta 
tangente têm a mesma direção, para um 
mesmo valor de x. (veja as retas tangentes 
às curvas no ponto x = 1). 
 
Logo, todas as curvas são obtidas movendo-
se qualquer uma delas para cima ou para 
baixo, pois o valor da constante C não afeta 
o coeficiente angular da curva. 
 
Exemplo 2. Determinar a equação da curva em cada ponto da qual a tangente tem x2 por 
coeficiente angular. 
 
Solução. O problema diz que o coeficiente angular da reta tangente à curva é 2x, ou seja, 
 
dxx2dyx2
dx
dy
=⇒= 
 
Integrando : )1(Cxy
2
x
2ydxx2dy 2
2
+=∴=⇒=∫ ∫ 
 
onde C é a constante de integração. Se dermos a C uma série de valores, digamos 6, 0 e -3, a 
equação (1) nos conduzirá às funções 
 
 
 
que serão uma família de parábolas com eixos coincidindo com o eixo y e tendo 6, 0, -3 
respectivamente, como pontos de interseção com o eixo y (veja figura). 
 
Essa família de parábolas originadas de (1) têm o mesmo valor de dy/dx, isto é, têm a 
mesma direção (mesmo coeficiente angular das retas tangentes) para um mesmo valor de x. 
 
Deve-se notar também que a diferença entre os comprimentos das ordenadas é constante 
para todo valor de x. Logo, todas as parábolas podem ser obtidas movendo-se qualquer delas 
para cima ou para baixo, pois o valor da constante C não afeta o coeficiente angular da curva, 
neste caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,3xy,xy,6xy 222 −==+=
Exemplo 3. Determinar a equação de uma curva cuja tangente tenha, em cada ponto, coeficiente 
angular igual ao simétrico da razão entre a abscissa e a ordenada do ponto. 
 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação 
y
x
dx
dy
−= 
 
ou, separando as variáveis, dxxdyy −= 
 
Integrando, 
 
 
C2yxC
2
x
2
y
C
2
x
2
y
dxxdyy
22
22
22
=+⇒=+
+−=
−=∫ ∫
 
 
A equação obtida representa uma família de círculos com centro na origem. Se impusermos 
ainda a condição da curva passar pelo ponto (3,4), então 
 
C2169 =+ , ou seja, ,25C2k == 
 
e portanto 22222 5yx25yx =+⇒=+ é a particular curva pedida. 
 
 
 
Usando os pontos (0,0) e (3,4), pela 
Geometria Analítica e através da fórmula 
 
( )0
12
12
0 xx
xx
yy
yy −
−
−
=− , 
 
encontramos a equação da reta que passa 
por esses dois pontos : 
 
 x
3
4
y = 
 
Note então que se tomarmos vários 
pontos pertencentes a essa reta e 
traçarmos seus respectivos círculos 
passando pelos mesmos, as tangentes a 
esses pontos terão a mesma direção, ou 
seja, serão paralelas. 
Perceba também que nesses pontos 
as tangentes serão perpendiculares a 
y = (4/3)x, ou seja, seus coeficientes 
angulares são iguais a –(3/4), isto é, 
conforme exigido no problema. 
 
PROBLEMAS 
 
Problema 1. Dado que a derivada de uma função é igual a 3x − , achar tal 
função quando x = 2 e y = 9 . Faça um esboço do seu gráfico. 
 
Solução. Temos que ( ) dx3xdy3x
dx
dy
−=⇒−= 
 
Integrando, temos: 
 
 ( ) Cx3
2
x
ydx3dxxydx3xdy
2
+−=⇒−=⇒−= ∫ ∫∫ ∫ (1) 
 
 
daí, para x = 2 e y = 9 teremos : 
 
13CC2.3
2
2
9
2
=∴+−= 
 
 
Logo, a função será 13x3x
2
1
y 2 +−= (resposta) 
 
 
 
 
 
 
 
Se em (1) atribuirmos a C uma série de 
valores, teremos então uma família de 
curvas (neste caso, parábolas) tais que C 
será o ponto de interseção de cada curva 
com o eixo y. 
 
No caso da função pedida pelo 
problema, a curva em linha mais escura terá 
C = 13, cuja coordenada é o ponto C(0,13). 
 
Deve-se notar também que todas as 
curvas têm o mesmo valor de dy/dx, isto é, 
a reta tangente têm a mesma direção, para 
um mesmo valor de x. (veja as retas 
tangentes às curvas no ponto x = 4) 
 
Logo, todas as curvas são obtidas 
movendo-se qualquer uma delas para cima 
ou para baixo segundo a direção da reta 
x = 3, pois o valor da constante C não afeta o 
coeficiente angular da curva. 
 
 
 
 
Problema 2. Dado que a derivada de uma função é igual a 2x5x3 −+ , 
achar tal função quando x = 6 e y = -20 . Esboce o seu gráfico. 
 
Solução. Temos que ( ) dxx5x3dyx5x3
dx
dy 22
−+=⇒−+= 
 
Integrando temos : 
 
( )
)1(Cx
3
5
x
2
1
x3ydxx5dxxdx3y
dxx5x3dy
322
2
∫ ∫∫
∫ ∫
+−+=⇒−+=
−+=
 
 
 
daí, para x = 6 e y = -20 teremos : 
 
304CC6
3
5
6
2
1
6.320 32 =∴+−+=− 
 
Logo, a função (traçado mais escuro) será: 304x3x
2
1
x
3
5
y 23 +++−= (resposta) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se em (1) atribuirmos a C uma série de 
valores, teremos então uma família de curvas 
tais que C será o ponto de interseção de cada 
curva com o eixo y. 
 
No caso da função pedida pelo 
problema, a curva em linha mais escura terá 
C = 304, cuja coordenada é o ponto C(0 ; 304). 
 
Deve-se notar também que todas as 
curvas têm o mesmo valor de dy/dx, isto é, a 
reta tangente têm a mesma direção, para um 
mesmo valor de x. (veja as retas tangentes às 
curvas no ponto x = 1,5) 
 
Logo, todas as curvas são obtidas 
movendo-se qualquer uma delas para cima 
ou para baixo, pois o valor da constante C não 
afeta o coeficiente angular da curva. 
 
 
Problema 3. Dado que a derivada de uma função é igual a xbx 23 − , achar 
tal função quando x = 2 e a função for igual a 9. Esboce o seu gráfico . 
 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação xbx
dx
dy 23
−= 
 
ou, diferenciando, ( ) dxxbxdy 23 −= 
 
Integrando, 
 
( )
)1(Cxb
2
1
x
4
1
ydxxbdxxy
dxxbxdy
22423
23
+−=⇒−=
−=
∫ ∫
∫ ∫
 
 
daí, para x = 2 e y = 9 teremos : 
 
)2(4b2CC2b
2
1
2
4
1
9 2224 −=∴+−= 
 
 
Logo, a função será: 4b2xb
2
1
x
4
1
y 2224 −+−= (resposta) 
 
 
 
A tabela abaixo mostra alguns valores 
dados a C e os seus respectivos valores 
de b² , estes calculados através de (2). 
 
Substituindo-se esses valores em (1), 
obtemos uma família de curvas conforme 
mostrado ao lado. 
 
Note que os valores de C são as 
ordenadas dos pontos onde cada curva 
intercepta o eixo y, neste caso. 
 
 
 
 
C 2b 
-0,5 3,5/2 
-1 3/2 
-1,5 2,5/2 
-2 1 
-2,5 1,5/2 
-3 1/2 
-3,5 0,5/2 
-4 0 
-4,5-0,5/2 
0 2 
1 5/2 
3 7/2 
Problema 4. Dado que a derivada de uma função é igual a θ+θ cossen , 
achar tal função quando θ = pi/2 e a função for igual a 2. Esboce o gráfico. 
 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação θ+θ= cossen
dx
dy
 
 
ou, diferenciando, ( ) dxcossendy θ+θ= 
 
Integrando, 
 
( )
)1(Csencosydcosdseny
dxcossendy
+θ+θ−=⇒θθ+θθ=
θ+θ=
∫ ∫
∫ ∫
 
 
daí, para θ = pi/2 e y = 2 teremos : 
 
1CCcossen2
22
=∴+−= pipi 
 
 
Logo, a função será: 1cos +−= θθseny (resposta) 
 
Se em (1) atribuirmos a C uma série de valores, teremos então uma família de curvas como 
mostradas abaixo. No caso da função pedida pelo problema, a curva em linha mais escura terá 
C = 1. Perceba também que, neste caso, o valor de C não será a interseção da curva com o eixo 
y , e sim o ponto C – 1. Para o problema pedido, a curva corta o eixo y no ponto (0,0). 
 
Deve-se notar também que todas as curvas têm o mesmo valor de dy/dx, isto é, a reta 
tangente têm a mesma direção, para um mesmo valor de x. (veja as retas tangentes às curvas 
no ponto x = pi/2 ), por exemplo. 
 
Logo, todas as curvas são obtidas movendo-se qualquer uma delas para cima ou para baixo, 
pois o valor da constante C não afeta o coeficiente angular da curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5. Dado que a derivada de uma função é igual a 
t2
1
t
1
−
− , achar 
tal função quando x = 1 e a função for igual a 0. Esboce o seu gráfico . 
 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação 
t2
1
t
1
dt
dy
−
−= 
 
ou, diferenciando, dt
t2
1
t
1
dy 





−
−= 
 
Integrando, 
 
)1(Ct-2tLn y 
 ou 
Ct2LntLny
t2
dt
t
dt
y
dt
t2
1
t
1
dy
2 +=
+−+=⇒
−
−
+=






−
−=
∫ ∫
∫ ∫
 
 
daí, para t = 1 e y = 0 teremos : 
 
0CC11.2Ln0 2 =∴+−= 
 
Logo, a função será: 0tt2Lny 2 +−= (resposta) 
 
 
 
Se em (1) atribuirmos a C uma 
série de valores, teremos então uma 
família de curvas tais que C será o 
ponto de interseção de cada curva com 
a reta x = 1 . 
 
No caso da função pedida pelo 
problema, a curva em linha mais 
escura terá C = 0, cuja coordenada é o 
ponto C (1 ; 0). 
 
Deve-se notar também que todas 
as curvas têm o mesmo valor de 
dy/dx, isto é, a reta tangente têm a 
mesma direção, para um mesmo valor 
de x. (veja as retas tangentes às curvas 
no ponto x = 3) 
 
Logo, todas as curvas são obtidas 
movendo-se qualquer uma delas para 
cima ou para baixo, pois o valor da 
constante C não afeta o coeficiente 
angular da curva. 
 
 
Problema 6. Dado que a derivada de uma função é igual a ϕ+ϕ tgsec2 , 
achar tal função quando ϕ = 0 a função for igual a 5. Esboce o gráfico. 
 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação ϕ+ϕ=
ϕ
tgsec
d
dy 2 
 
ou, diferenciando, ( ) ϕϕ+ϕ= dtgsecdy 2 
 
Integrando, 
 
( )
)1(sec y 
 ou 
cossec
sec
2
2
CLntg
CLntgydtgdy
dttgdy
++=
+−=⇒+=
+=
∫ ∫
∫ ∫
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
 
 
daí, para ϕ = 0 e y = 5 teremos : 
 
5CC0secLn0tg5 =∴++= 
 
 
Logo, a função será: 5secLntgy +ϕ+ϕ= (resposta) 
 
 
 
 
 Se em (1) atribuirmos a C uma 
série de valores, teremos então uma 
família de curvas tais que C será o 
ponto de interseção de cada curva com 
o eixo y. 
 
No caso da função pedida pelo 
problema, a curva em linha mais 
escura terá C = 5 cuja coordenada é o 
ponto C (0 ; 5). 
 
Deve-se notar também que todas 
as curvas têm o mesmo valor de 
dy/dx, isto é, a reta tangente têm a 
mesma direção, para um mesmo valor 
de x. (veja as retas tangentes às curvas 
no ponto x = 2,2). 
 
Logo, todas as curvas são obtidas 
movendo-se qualquer uma delas para 
cima ou para baixo, pois o valor da 
constante C não afeta o coeficiente 
angular da curva. 
 
 
 
Problema 7. Dado que a derivada de uma função é igual a 
22 ax
1
+
 , achar 
tal função quando x = a e a função for igual a 5. Esboce o seu gráfico. 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação 
22 ax
1
dx
dy
+
= 
 
ou, diferenciando, dx
ax
1
dy
22 




+
= 
 
Integrando, 
 
 ( ) )1( Carctg
a
1
y
ax
dx
dy
a
x
22
+=⇒
+
=∫ ∫ 
 
daí, para x = a e y = pi/2a teremos : 
 
( )
a4
C
a4
2
4
.
a
1
a2
C
1arctg
a
1
a2
C
Carctg
a
1
a2 a
a
pi
=∴
pi−pi
=
pi
−
pi
=
°−
pi
=
+=
pi
 
 
 
Logo, a função será: ( )
a4
arctg
a
1
y
a
x pi+= (resposta) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 8. Dado que a derivada de uma função é igual a 
2t2et3 , achar 
tal função quando t = 0 e a função for igual a 4. Esboce o seu gráfico. 
 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação 
2t2et3
dt
dy
= 
 
ou, diferenciando, dtet3dy
2t2






= 
 
Integrando, 
 
 
)1( Ce
4
3
ydtt4.e
4
1
.3y 
dtet3dy
22
2
t2t2
t2
+=⇒=






=
∫
∫ ∫
 
 
daí, para t = 0 e y = 1 teremos em (1) : 
 
4
13
C
4
3
4C
Ce
4
3
4
20.2
=∴−=
+=
 
 
 
Logo, a função será: 
4
13
e
4
3
y
2t2 += (resposta) 
 
 
Se em (1) atribuirmos a C uma série de 
valores, teremos então uma família de curvas 
como mostradas ao lado. No caso da função 
pedida pelo problema, a curva em linha mais 
escura terá C = 13/4 ou 3,25. Perceba 
também que, neste caso, o valor de C não 
será a interseção da curva com o eixo y , e sim 
o ponto C + 0,75 ( ou C+ 3/4). Assim 
sendo, para o problema pedido a curva corta 
o eixo y no ponto ( 0 ; 4 ). 
 
Deve-se notar também que todas as 
curvas têm o mesmo valor de dy/dx, isto é, a 
reta tangente têm a mesma direção, para um 
mesmo valor de x. (veja as retas tangentes às 
curvas no ponto x = 0,5 ). 
 
Logo, todas as curvas são obtidas 
movendo-se qualquer uma delas para cima 
ou para baixo, pois o valor da constante C 
não afeta o coeficiente angular da curva. 
 
 
 
Problema 9. A derivada de uma função é igual a θ−θ 2seccosgcot . 
Achar tal função quando θ = pi/2 e a mesma for igual a 3. Esboce o seu 
gráfico. 
Solução. A condição do problema é expressa pela equação θ−θ=
θ
2seccosgcot
d
dy
 
 
ou, diferenciando, ( ) θθ−θ= dseccosgcotdy 2 
 
Integrando, 
 
( )
)1(CgcotsenLnydseccosd
sen
cos
y 
dtseccosgcotdy
2
2
+θ+θ=⇒θθ−θ
θ
θ
=
θ−θ=
∫ ∫
∫ ∫
 
 
daí, para θ = pi /2 e y = 3 teremos : 
 
3CC1Ln3
CgcotsenLn3
22
=∴+∃/+=
++= pipi
 
 
 
Logo, a função será: 3cot ++= θθ gsenLny 
 
 
 
 
 Se em (1) atribuirmos a C uma 
série de valores, teremos então uma 
família de curvas, como mostradas ao 
lado. No caso da função pedida pelo 
problema, a curva em linha mais escura 
terá C = 3. Perceba também que esta 
família de curvas não interceptam o eixo 
y. 
 
Deve-se notar também que todas 
as curvas têmo mesmo valor de dy/dx, 
isto é, a reta tangente têm a mesma 
direção, para um mesmo valor de x. 
(veja as retas tangentes às curvas no 
ponto x = pi/2 ). 
 
Logo, todas as curvas são obtidas 
movendo-se qualquer uma delas para 
cima ou para baixo, pois o valor da 
constante C não afeta o coeficiente 
angular da curva. 
 
 
 
 
 
Problema 10. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja y/1 . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é 1/x, e que pode ser expressa pela equação 
y
1
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dxdyy = 
 
 
Integrando, 
 
 
Cx
2
y
 
dxdyy
2
+=⇒
=∫ ∫
 
 
 
O gráfico corresponde a uma família de parábolas . 
 
 
 
 
Problema 11. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja 2y/x . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é x/y 2, e que pode ser expressa pela equação 
2y
x
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dxxdyy2 = 
 
 
Integrando, 
 
 
C
2
x
3
y
 
dxxdyy
23
2
+=⇒
=∫ ∫
 
 
 
 
 
 
A figura acima mostra a família de curvas chamadas parábolas semicúbicas para diferentes 
valores de C . Em particular, se C = 0 , o gráfico corresponderá à linha mais escura da família. 
 
Problema 12. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja y/x2 . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é x²/y, e que pode ser expressa pela equação 
y
x
dx
dy 2
= 
 
ou, separando as variáveis, dxxdyy 2= 
 
 
Integrando, 
 
 
Cxy 
dxxdyy
3
3
12
2
1
2
+=⇒
=∫ ∫
 
 
 
A figura acima mostra uma família de curvas chamadas parábolas semicúbicas para diferentes 
valores de C . Em particular, se C = 0 , o gráfico corresponderá à linha vermelha da família. 
 
 
Problema 13. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja 2x3 . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é 2x3 e que pode ser expressa pela equação 2x3
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dxx3dy 2= 
 
 
Integrando, 
 
 
 
Cxy 
C
3
x
3y 
dxx3dy
3
3
2
+=
∴
+=
=∫ ∫
 
 
 
O gráfico corresponde a uma família de parábolas cúbicas . 
Em particular, se C = 0 o gráfico corresponderá à linha mais 
escura da família.
Problema 14. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja 2y/1 . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é 2y/1 e que pode ser expressa pela equação 
2y
1
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dxdyy2 = 
 
Integrando, 
 
 
 Cxy 
dxdyy
3
3
1
2
+=
∴
=∫ ∫
 
 
O gráfico corresponde a uma família de parábolas cúbicas . Em particular, se C = 0 o gráfico 
corresponderá à linha mais escura da família. 
 
 
 
Problema 15. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja y/x . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é y/x e que pode ser expressa pela equação 
y
x
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dxxdyy = 
 
Integrando, 
 
 
Kxy 
C2xy 
 C
2
x
2
y
 
dxxdyy
22
22
22
=−
=−
+=
∴
=∫ ∫
 
 
 
 
O gráfico corresponde a uma família de hipérboles eqüiláteras. Se C > 0 o gráfico são as linhas 
pretas da família. No caso de C < 0 são as linhas azuis. 
 
Problema 16. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja x/y− . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é x/y− e que pode ser expressa pela equação 
x
y
dx
dy
−= 
 
ou, separando as variáveis, 
x
dx
y
dy
−= 
 
Integrando, 
 
 
x
C
youCxy 
xye 
CxyLn 
CxLnyLn 
 CxLnyLn 
x
dx
y
dy
1C
1
1
1
==
=
=
=+
+−=
∴
−=∫ ∫
 
 
 
O gráfico corresponde a uma família de hipérboles eqüiláteras. Se C > 0 o gráfico são as linhas 
pretas da família. No caso de C < 0 são as linhas azuis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 17. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja 
ya
xb
2
2
− . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é 
ya
xb
2
2
− e que pode ser expressa pela equação 
ya
xb
dx
dy
2
2
−= 
 
ou, separando as variáveis, dxxbdyya 22 −= 
 
Integrando, 
 
 
Cxbya 
C2xbya 
 C
2
xb
2
ya
 
dxxbdyya
2222
1
2222
1
2222
22
=+
=+
+−=
−=∫ ∫
 
 
 
 
 
Os gráficos correspondem a uma família de 
elipses cujos eixos maiores podem ser paralelas 
ao eixo y ou ao eixo x , ou até mesmo 
coincidentes com o eixo y ou eixo x , 
dependendo dos valores de a e b . 
 
Se b > a as elipses possuem o eixo maior 
paralelas ao eixo y e se b < a elas terão o eixo 
maior paralelas ao eixo x . 
 
Note que os termos x2 e y2 da equação 
obtida , na verdade são equivalentes a (x - 0 )2 e 
(y – 0)2 , o que significa que o centro das elipses 
coincidem com a origem dos eixos 
coordenados. Daí, nos dois casos do nosso 
problema, os eixos maiores das elipses 
coincidem com o eixo y e com o eixo x, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Problema 18. Achar a equação da família de curvas tais que o coeficiente 
angular da tangente em cada ponto de cada uma delas seja 
y1
x1
−
+
 . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é 
y1
x1
−
+
 e que pode ser expressa pela equação 
y1
x1
dx
dy
−
+
= 
 
ou, separando as variáveis, ( ) ( ) dxx1dyy1 +=− 
 
Integrando, 
 
 
( ) ( )
( )
( )1222
2
2
1
2
2
2
1
2
C22CC ondeCy2x2yx
C2xx2C2yy2 
2C
2
x
xC
2
y
y 
 dxxdxdyy-dy
dxx1dyy1
−==−++∴
++=+−
×++=+−
+=
+=−
∫ ∫∫ ∫
∫∫
 
 
 
 
 
Se atribuirmos a C uma série de valores, 
teremos então uma família de círculos , como 
mostradas ao lado. 
 
Vejamos, por exemplo, o círculo de R = 3. 
Se tomarmos a metade dos coeficientes das 
variáveis de x e y (ambas do 1º grau) e com os 
seus sinais invertidos, encontraremos o ponto 
(xC ; yC) = (-1 ; 1) e que será a coordenada do 
centro do círculo em questão. 
 
Usando a equação canônica ou reduzida 
do círculo, teremos : 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
7y2x2yx
91y2y1x2x
91y1xRyyxx
22
22
22
22
c
2
c
=−++∴
=+−+++
=−++
=−+−
 
 
Portanto, para C = 7 teremos R = 3 . 
Problema 19. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1,1) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função x das coordenadas . 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é x , o qual pode ser expressa pela equação x
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dxxdy = 
 
Integrando, 
 
 
( )
( )122
12
2
2
2
1
2
2
1
C22CC )1(Cxy2
C2C2xy2 
C2xC2y2
 2C
2
x
Cy
dxxdy
−=+=∴
−+=
+=+
×+=+
= ∫∫
 
 
Como a curva passa pelo ponto (1,1), temos em (1) : 
 
1CC11.2 2 =→+= 
 
 
Daí a curva terá por equação : 1xy2 2 += (parábola) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 20. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1,1) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função y4 das coordenadas. 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é y4 , o qual pode ser expressa pela equação y4
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dx
y4
dy
= 
 
Integrando, 
 
 
( )
( )12
12
21
21
C44CC )1(Cx4yLn 
C4C4x4yLn
C4x4C4yLn
 4CxCyLn
4
1
dx
y
dy
4
1
−=+=∴
−+=
+=+
×+=+
= ∫∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (1,1) , temos em (1) : 
 
4CC1.41Ln −=→+= 
 
 
Daí a curva terá por equação : 4x4yLn −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 21. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (3,1) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função xy2 das coordenadas. 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é xy2 , o qual pode ser expressa pela equação xy2
dx
dy
= 
 
ou, separando as variáveis, dxx2
y
dy
= 
 
Integrando, 
 
 
( )122
12
2
2
2
1
CCC )1(CxyLn
CCxyLn
 CxCyLn
dxx2
y
dy
−=+=∴
−+=
+=+
= ∫∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (3,1), temos em (1) : 
 
9CC31Ln 2 −=→+= 
 
 
Daí a curva terá por equação : 9xyLn 2 −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 22. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (0,2) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função xy− das coordenadas. 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é xy− , o qual pode ser expressa pela equação xy
dx
dy
−= 
 
ou, separando as variáveis, dxx
y
dy
−= 
 
Integrando, 
 
 
( )
)1(C
2
x
yLn
2
C2C2
C ,
2
C2C2
2
x
yLn
C2C2xyLn2
2 C
2
x
CyLn
dxx
y
dy
2
1212
2
12
2
2
2
1
+−=∴





 −
=
−
+−=
−+−=
×+−=+
−= ∫∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (0,2), temos em (1) : 
 
2LnCC
2
0
2Ln
2
=⇒+−= 
 
Daí , a curva terá por equação : 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
ey
e
y
x
Ln
x
LnyLn
Ln
x
yLn
y
−
−
=∴
=
−=
−=−
+−=
 
 
Problema 23. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (0,1) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
1y
1x
+
+
 das coordenadas. 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é ( ) ( )1y/1x ++ , o qual pode ser expressa pela equação : 
 
 ( ) ( )1y/1xdx/dy ++= 
 
ou, separando as variáveis, ( ) ( ) dx1xdy1y +=+ 
 
Integrando, 
 
 
( ) ( )
( )
K2C,Cx2y2xy
Kxy
2
x
2
y
CCK,Cx
2
x
Cy
2
y
 dxdxxdydyy
dx1xdy1y
22
22
122
2
1
2
==−+−
=−+−
−=++=++
+=+
+=+
∫∫∫∫
∫ ∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (0,1), temos : 
 
3CC0.21.201 22 =⇒=−+− 
 
 
Daí, a curva terá por equação : 
 
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ) hipérbole(31x1y
311x11y
311x11y
3x2xy2y
3x2xy2y
3x2y2xy
22
22
22
22
22
22
=+−+
∴
=++−−+
=−+−−+
=+−+
=−−+
=−+−
 
 
 
 
 
continua na página seguinte 
CONSIDERAÇÕES : 
 
A equação de uma hipérbole cujo centro ( )cc y,x está fora da origem do sistema cartesiano e 
cujo eixo real é paralelo ao eixo y , é dada por : 
( ) ( )
1
b
xx
a
yy
2
2
c
2
2
c
=
−
−
−
 
 
No caso da hipérbole encontrada, esta possui centro (-1,-1) e podemos escrever : 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3ba3ba aqui,1
3
1x
3
1y
331x1y
22
22
22
==∴==⇒=
+
−
+
∴
÷=+−+
 
 
As equações paramétricas desta hipérbole são escritas como : 
 
 
1sec.3yysec.ay
e
1tg.3xxtg.bx
c
c
−θ=⇒+θ=
−θ=⇒+θ=
 
 
 
Para o ponto (0,1), teremos : 
 
°=
pi
=θ∴





=θ→=θ→−θ= 30
63
1
arctg
3
1
tg1tg.30 
ou então 
°=
pi
=θ∴





=θ→=θ→−θ= 30
62
3
arccos
3
2
sec1sec.31 
 
O que se calculou acima são os ângulos correspondentes da tangente e do cosseno (ou da 
secante) a fim de achar coordenada do ponto (0,1). Perceba que o ângulo θ = 30° encontrado acima 
simplesmente coincidiu com o ângulo que a reta tangente faz com o eixo x, no ponto (0,1). 
Problema 24. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (0,0) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
ky
hx
−
−
 das coordenadas. 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é ( ) ( )ky/hx −− , o qual pode ser expressa pela equação : 
 
 ( ) ( )ky/hxdx/dy −−= 
 
ou, separando as variáveis, ( ) ( ) dxhxdyky −=− 
 
Integrando, 
 
 
( ) ( )
( )
( )
K2C, Chx2ky2xy
2Khxky
2
x
2
y
CCK,Chx
2
x
Cky
2
y
 dxhdxxdykdyy
dxhxdyky
22
22
122
2
1
2
==+−−
×=+−−
−=+−=+−
−=−
−=−
∫∫∫∫
∫ ∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (0,0), temos : 
 
0CC0.h.20.k.200 22 =⇒=−+− 
 
 
Daí, a curva terá por equação : 
 
 
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
) hipérbole(1
hk
hx
hk
ky
hkhkhxky
0hhxkky
0hhxkky
0hx2xky2y
0hx2xky2y
ou
0hx2ky2xy
22
2
22
2
222222
2222
2222
22
22
22
=
−
−
−
−
−
−÷−=−−−
=+−−−−
=−−−−−
=−−−
=+−−
=+−−
 
continua na pág. Seguinte 
Perceba que a expressão anterior está na forma : 
( ) ( )
1
b
xx
a
yy
2
2
c
2
2
c
=
−
−
−
 
 
e que é a equação de uma hipérbole cujo centro ( )cc y,x está fora da origem do sistema cartesiano 
e cujo eixo real é paralelo ao eixo y . 
 
Façamos, por exemplo, h = 2 e k = 4 . A equação da hipérbole será escrita como : 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1
12
2x
12
4y
1
24
2x
24
4y 22
22
2
22
2
=
−
−
−
⇒=
−
−
−
−
−
 
 
As equações paramétricasdesta hipérbole são escritas como : 
 
 
4sec.12yysec.ay
e
2tg.12xxtg.bx
c
c
+θ=⇒+θ=
+θ=⇒+θ=
 
 
 
Para o ponto (0,0), teremos : 
 
°−=θ∴




 −
=θ→−=θ→+θ= 30
12
2
tgarc
12
2
tg2tg.120 
ou então 
°=
pi
=θ∴





−
=θ→−=θ→+θ= 150
6
5
4
12
cosarc
12
4
sec4sec.120
 
O que se calculou acima são os ângulos correspondentes da tangente e do cosseno (ou da 
secante) a fim de achar coordenada do ponto (0,0). Com os dados fornecidos inicialmente no 
problema calcula-se facilmente o ângulo que a reta tangente faz com o eixo x, aproximadamente 
26,56° no ponto (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 25. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (2,1) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
15x4
xy4
2
−
 das coord. 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é 
15x4
xy4
2
−
 , o qual pode ser expressa pela equação : 
 
 
15x4
xy4
dx
dy
2
−
= 
 
ou separando as variáveis, 
15x4
dxx4
y
dy
2
−
= 
 
Integrando, 
 
 
( )
( )
( ) ( )
C15x4y
C2C2C,C15x4LnyLn
C215x4LnC2yLn2
)2(C15x4Ln
2
1
CyLn
15x4
dxx4.2
2
1
CyLn
15x4
dxx4
y
dy
22
12
22
2
2
1
2
2
1
21
2
=+−
∴
−=+−=
+−=+
×+−=+
−
=+
−
=
∫
∫ ∫
 
 
Como a curva passa pelo ponto (2,1), temos : 
 
0CC152.41 22 =⇒=+− 
 
 
Daí, a curva terá por equação : 
 
 
( )
( )
) hipérbole(
15b e a aqui, 1
15
yx
1
15
y
15
x4
1515yx4
015yx4
1015x4y
2
4
152
2
4
15
2
22
22
22
22
==∴=−
=−
÷=−
=−−
−×=+−
 
 
continua na página seguinte 
Perceba que a expressão anterior está na forma 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− , 
 
e que é a equação de uma hipérbole cujo centro ( ) ( )0,0y,x cc = está na origem do sistema 
cartesiano e cujo eixo real é paralelo ao eixo x . 
 
 
As equações paramétricas desta hipérbole são escritas como : 
 
 
θ=⇒+θ=
θ=⇒+θ=
tg.15yytg.by
e
sec.xxsec.ax
c
2
15
c
 
 
 
Para o ponto (2,1), teremos : 
 
°≈θ∴





=θ→=θ→θ= 47,14
4
15
cosarc
15
4
secsec.2
2
15
 
ou então 
°≈θ∴





=θ→=θ→θ= 47,14
15
1
tgarc
15
1
tgtg.151 
 
O que se calculou acima são os ângulos correspondentes da tangente e do cosseno (ou da 
secante) a fim de achar a coordenada do ponto (2,1). Com os dados fornecidos inicialmente no 
problema calcula-se facilmente o ângulo que a reta tangente faz com o eixo x, aproximadamente 
82,87° no ponto (2,1). 
 
Problema 26. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1,1) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
2x
y
 das coordenadas. 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é 
2x
y
 , o qual pode ser expressa pela equação 
2x
y
dx
dy
= 
ou, separando as variáveis, 
2x
dx
y
dy
= 
 
Integrando, 
 
 
( )
( )
( )
)1(Cx1yLnx
xC
x
1
yLn
CCC ,CCxyLn
2 CdxxCyLn
x
dx
y
dy
1212
1
2
2
1
2
+−=
∴
×+−=
−=−+−=
×+=+
=
−
−∫
∫∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (1,1), temos em (1) : 
 
1C1.C11Ln.1 =⇒+−= 
 
 
Daí , a curva terá por equação : 1xyLnx −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 0 
Problema 27. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (4,1) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função xy das coordenadas. 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é xy , o qual pode ser expressa pela equação xy
dx
dy
= 
ou, separando as variáveis, dxx
y
dy
= 
 
Integrando, 
 
 
( )
( )
)1(C3xx2yLn3
C3x2yLn3
3Cx
3
2
yLn
CCC ,Cx
3
2
CyLn
dxxCyLn
dxx
y
dy
3
1221
1
2
3
2
3
2
1
+=
∴
+=
×+=
−=+=+
=+
=
∫
∫∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (4,1), temos em (1) : 
 
3/16CC34.4.21Ln.4 −=⇒+= 
 
 
Daí , a curva terá por equação : 16xx2yLn3 −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 0 
θ ≈ 63,5° 
y = 16x - 12 
Problema 28. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1,4) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função x/y2 das coordenadas. 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é x/y2 , o qual pode ser expressa pela equação 
x
y
dx
dy 2
= 
ou, separando as variáveis, 
x
dx
y
dy
2
= 
 
Integrando, 
 
 
( )21
21
2
2
2
CCC ,C
y
1
xLn
CxLnC
y
1
CxLndyy
x
dx
y
dy
−==+
+=+−
+=
=
∫
∫∫
−
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (1,4), temos em (1) : 
 
4
1
CC
4
1
1Ln =∴=+ 
 
 
Daí , a curva terá por equação : 
4
1
y
1
xLn =+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 0 
Problema 29. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1,9) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função yx das coordenadas. 
 
Solução. Em outras palavras, o problema diz que a derivada ( coeficiente angular da reta 
tangente à curva) é yx , o qual pode ser expressa pela equação yx
dx
dy
= 
ou, separando as variáveis, dxx
y
dy
= 
 
Integrando, 
 
 
( )12
2
2
2
1
2
2
CCC ,C
2
x
y
C
2
x
Cy
C
2
x
dyy
dxx
y
dy
2
1
2
1
−==−
+=+
+=
=
∫
∫∫
−
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (1,9), temos em (1) : 
 
2
5
CC
2
1
9 =∴=− 
 
 
Daí , a curva terá por equação : 
 
 
2
5
2
x
y
2
=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 30. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (3,0) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
y1
3x
−
−
 das coordenadas. 
Solução. O problema pode ser expresso pela equação : 
 
 
y1
3x
dx
dy
−
−
= 
 
ou, separando as variáveis, ( ) ( ) dx3xdyy1 −=− 
 
Integrando, 
 
 
( ) ( )
( )
12
22
2
2
1
2
2
2
1
2
C2C2C, C2y-6x-yx
C2x6xC2yy2
2Cx3
2
x
C
2
y
y
 dx3dxxdyydy
dx3xdyy1
−==+
∴
+−=+−
×+−=+−
−=−
−=−
∫∫∫∫
∫ ∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (3,0), temos : 
 
9CC2.0-6.3-03 22 −=⇒=+ 
 
 
Daí, a curva terá por equação : 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) )reduzida oucanônica eq. (11y3x
0911y93x
ou
) círculo (092y-6x-yx
22
22
22
=−+−
∴
=+−−+−−
=++
 
 
Se na equação geral do círculo tomarmos a metade dos coeficientes das variáveis de x e y 
(ambas do 1º grau) e com os seus sinais invertidos, encontraremos o ponto (xC ; yC) = (3 ; 1) e que 
será a coordenada do centro do círculo em questão. 
 
 
Asequações paramétricas círculo são escritas como : 
 
1sen.1yysen.ry
e
3cos.1xxcos.rx
c
c
+θ=⇒+θ=
+θ=⇒+θ=
 
 
 
 
Problema 31. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (4,2) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
3y2
x4
−
−
 das coordenadas. 
Solução. O problema pode ser expresso pela equação : 
 
 ( ) ( ) dxx4dy3y2
3y2
x4
dx
dy s variáveias
separando
−=− →
−
−
= 
Integrando, 
 
 
( ) ( )
( )
12
22
2
2
1
2
2
2
1
2
C2C2C, C6y8xy2x
C2xx8C2y6y2
2C
2
x
x4Cy3
2
y2
 dxxdx4dy3dyy2
dxx4dy3y2
−==−−+
∴
+−=+−
×+−=+−
−=−
−=−
∫∫∫∫
∫ ∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (4,2), temos : 
 
20CC6.28.42.24 22 −=⇒=−−+ 
 
Daí, a curva terá por equação : 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
)reduzida oucanônica eq. (
1
y4x
1y44x2
)2(y24x
1620y24x
1620y24x
20y2164x
20y3y2164x
20y6y2x8x
ou
) elipse (20-6y8xy2x
4
1
2
2
3
2
1
2
2
2
32
2
12
2
32
2
92
2
32
2
92
2
32
4
92
2
32
22
22
22
=
−
+
−
∴
=−+−
×=−+−
++−=−+−
+−=−−+−
−=



−−+−−
−=−+−−
−=−+−
=−−+
 
Problema 32. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (2,6) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
y3
x2
+
+
 das coordenadas. 
 
Solução. O problema pode ser expresso pela equação : 
 
 ( ) ( ) dxx2dyy3
y3
x2
dx
dy s variáveias
separando
+=+ →
+
+
= 
 
Integrando, 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 123232
23
2
13
2
,23
23
23
23
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
CCCCxy
CxCy
dxxdyy
dxxdyy
−==+−+
++=++
+=+
+=+
∫∫
∫ ∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (2,6), temos : 
 
 ( ) ( )
3
38
3
2
3
2
2
3
2
3
2263 =⇒=+−+ CC 
 
 
Daí, a curva terá por equação : 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) 1923
23
33
3
38
3
2
3
2
2
3
2
3
=+−+
=+−+
xy
ou
xy
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que para valores de 2x −< 
a função não existe, pois o 2º termo do 
1º membro da equação se reduz a uma 
raiz quadrada de um número negativo, 
o que não existe no conjunto dos 
números reais. 
Problema 33. Achar a equação da curva que passa pelo ponto (3,5) e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função 
2x
1y
−
−
 das coordenadas. 
 
Solução. O problema pode ser expresso pela equação : 
 
 ( ) 2x
dx
1y
dy
2x
1y
dx
dy s variáveias
separando
−
=
−
 →
−
−
= 
 
Integrando, 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
C2x1y
ou
C,C2x1y
C2x2C1y2
dx2xdy1y
2x
dx
1y
dy
2x
dx
1y
dy
2
CC
21
12
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=−−−
==−−−
+−=+−
−=−
−
=
−
−
=
−
−
∫ ∫
∫∫
∫ ∫
−−
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto (3,5), temos : 
 
 1CC2315 =⇒=−−− 
 
Daí, a curva terá por equação : 
 
 
( ) ( )
12x1y
ou
12x1y 2
1
2
1
=−−−
=−−−
 
 
 
 
 
Perceba que para valores de 2x < 
a função não existe, pois o 2º termo do 
1º membro da equação se reduz a uma 
raiz quadrada de um número negativo, 
o que não existe no conjunto dos 
números reais. 
 
 
Problema 34. Achar a equação da curva que passa pelo ponto ( )
4
,4 pi e cujo 
coeficiente angular nesse ponto é dada pela função ycosx 2 . 
 
Solução. O problema pode ser expresso pela equação : 
 
 dxx
ycos
dy
ycosx
dx
dy
2
s variáveias
separando
2
= →= 
 
Integrando, 
 
 
12
2
2
2
1
2
2
2
2
CCC,C
2
x
)y(tg
C
2
x
C)y(tg
C
2
x
dyysec
dxx
ycos
dy
−==−
∴
+=+
+=
=
∫
∫ ∫
 
 
 
Como a curva passa pelo ponto ( )
4
,4 pi , temos : 
 
 7CC
2
4
)(tg
2
4
−=⇒=−pi 
 
 
Daí, a curva terá por equação : 7
2
x
)y(tg
2
−=− 
 
 
 
 
 
Problema 35.. Dados dxpx2dA = , 
3
p
A
2
= quando 
2
p
x = , achar o valor 
de A quando x = 2p . 
 
Solução. Integrando ambos os membros da equação dada, temos : 
 
 
( )
( )
( )
( )
( ) Cpx2
p3
1
A
CCC,Cpx2
3
2
.
p2
1
A
Cpx2
3
2
.
p2
1
CA
dx.p2.px2
p2
1
CA
dxpx2CA
dxpx2dA
3
12
21
1
1
2
3
2
3
2
1
2
1
+=
∴
−=+=
+=+
=+
=+
=
∫
∫
∫ ∫
 
 
Como conhecemos os valores de A e de x, substituímos na equação anterior : 
 
 
0CCp
p3
1
3
p
Cp
p3
1
3
p
C
2
p
p2
p3
1
3
p
3
2
6
2
32
=⇒+=
+=
+





=
 
 
Logo, a expressão de A será : ( )3px2
p3
1
A = 
 
 
Portanto, quando x = 2p , teremos : 
 
 
( )
( )
2
3
6
32
3
p
3
8
A
p3
p8
A
p64
p3
1
A
p4
p3
1
A
p2.p2
p3
1
A
=∴=
=
=
=
 
 
 
Observe o gráfico supondo p = 2. 
Problema 36.. Dados dxx100xdy 2−= , y = 0 quando x = 0 , achar o valor 
de y quando x = 8 . 
 
Solução. Integrando ambos os membros da equação dada, temos : 
 
 
( )
( )
( )
( ) 1232
2
2
1
2
1
2
1
2
CCC,Cx100
3
1
y
Cx100
3
2
.
2
1
Cy
dx.x2.x100
2
1
Cy
dxx100xCy
dxx100xdy
2
3
2
1
2
1
−==−−
∴
+−=+
−=+
−=+
−=
∫
∫
∫∫
 
 
Como conhecemos os valores de y e de x, substituímos na equação anterior : 
 
 ( )
3
1000
CC0100
3
1
0
32
−=⇒=−− 
 
Logo, a expressão de y será : ( )
3
1000
x100
3
1
y
32
−=−− 
 
 
Quando x = 8 , teremos : 
 
 
( )
3
784
y
3
1000
8100
3
1
y
32
−=⇒−−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que para valores de x > 10 ou x < -10 a função não existe. 
Problema 37.. Dados θθ=ρ d2cosd , ρ = 6 quando 
2
pi
=θ , encontrar o valor 
de ρ quando 
4
3pi
=θ . 
 
Solução. Integrando ambos os membros da equação dada, temos : 
 
 
12
2
2
2
1
1
CCC,C2cos
4
1
C
2
2cos
.
2
1
C
d2.2cos
2
1
C
d2cosd
−==θ−ρ
∴
+
θ
=+ρ
θθ=+ρ
θθ=ρ
∫
∫∫
 
 
 
Como conhecemos os valores de ρ e de θ , substituímos na equação anterior : 
 
 ( )
4
23
CCcos
4
1
6
2
22
=⇒=− pi 
 
 
Logo, a expressão de y será : 
4
23
2cos
4
1 2
=θ−ρ 
 
 
Quando 
4
3pi
=θ , teremos : 
 
 
( )
( )
4
23
cos
4
1
4
23
4
23
2cos
4
1
2
32
4
32
=ρ∴+=ρ
=−ρ
pi
pi
 
 
 
Problema 38. Tem-se y ″ = x em cada ponto de certa curva. Achar a equação 
dela, sabendo-se que ela passa pelo ponto (3 ; 0) e tem nesse ponto coeficiente 
angular igual a 7/2. 
 
Solução. x"y = pode ser escrito como : x
dx
dy
dx
d
=





 e 'y
dx
dy
= 
 
Daí, podemos escrever dxx'dyx
dx
'dy
=⇒= 
 
Integrando, 
 
)1(C
2
x
'ydxx'dy 1
2∫∫ +=⇒= 
 
Como a curva passa pelo ponto (3 ; 0) e nesse ponto o coeficiente angular ( y ′) vale 7/2, então 
 
1C
2
9
2
7
CC
2
3
2
7
111
2
−=∴−=⇒+= 
 
Logo, (1) será escrito como : 
 
 )2(dx1
2
x
dyou1
2
x
dx
dy
'y
22








−=−== 
 
Integrando (2) , 
 
 
 
que é a equação geral da curva e, uma vez que ela passa 
pelo ponto (3; 0), teremos: 
 
2
3
C3
6
27
C
C3
6
3
0
22
2
3
−=∴+−=
+−=
 
 
Portanto, a curva pedida terá por equação : 
 
9x6xy6
2
3
x
6
x
y
3
3
−−=∴
−−=
 
 
 
)3(Cx
6
x
yCx
3
x
2
1
y
dxdxx
2
1
y
dx1
2
x
dy
2
3
2
3
2
2
+−=⇒+−=
−=








−=
∫ ∫
∫ ∫
 
Problema 38. Em cada ponto de certa curva, 
3x
12
"y = . Achar a equação da 
curva se ela passa por (1,0) e é tangente neste ponto à reta 6x + y = 6 . 
 
Solução. 
3x
12
"y = pode ser escrito como : 
3x
12
dx
dy
dx
d
=





 sendo que 'y
dx
dy
= 
 
Daí, podemos escrever 
33 x
dx12
'dy
x
12
dx
'dy
=⇒= 
Integrando, 
 
 
)1(KKK,K
x
6
'yK
x
6
K'y
K
2
x
12K'y
dxx12K'y
x
dx12
'dy
122221
2
2
1
3
1
3
−==+→+−=+
+
−
=+
=+
=
−
−∫
∫∫
 
 
Sendo a curva tangente à reta 6yx6 =+ , ou seja, 6x6y +−= , o valor de y ’ de (1) será 
igual ao coeficiente angular desta reta, ou seja, y ’ = - 6. Substituindo-o em (1), tem-se : 
 
 K
x
6
6
2
=+− , e como a curva passa por (1,0) , teremos 0KK
1
6
6
2
=∴=+− 
 
Logo, a expressão de (1) será : 
22 x
6
dx
dy
'y0
x
6
'y −==→=+ (2) 
 
Diferenciando e integrando (2), teremos : 
 
 
12
2
1
1
2
1
2
CCC,C
x
6
y
C
1
x
6Cy
dxx6Cy
x
dx6
dy
−=+=
+
−
−=+
−=+
−
=
−
−∫
∫ ∫
 
 
Como a curva passa por (1,0), temos então : 
 
 6CC
1
6
0 −=→+= 
 
Daí, a equação da curva pedida será : 
 
6x6xy6
x
6
y =+→−= 
 
Problema 39. Achar a equação de uma curva em cada ponto da qual 
3x
3
"y
+
= , 
sabendo-se ainda que ela passa por (1,1) com uma inclinação de 45°. 
 
Solução. 
3x
3
"y
+
= pode ser escrito como : 
3x
3
dx
dy
dx
d
+
=




 sendo que 'y
dx
dy
= . 
 
Daí, podemos escrever 
3x
dx3
'dy
3x
3
dx
'dy
+
=⇒
+
= 
 
Integrando, 
 
 ( )
( )
)1(KKK,K3x6'yK
3x
.3K'y
dx3x3K'y
3x
dx3
'dy
122
2
11
1
2
1
2
1
−==+−→+
+
=+
+=+
+
=
∫
∫∫
−
 
Se a curva passa no ponto (1,1) com inclinação de 45°, então 145tg'y =°= e, daí, o valor da 
constante K em (1) será : 
 
 11KK3161 −=→=+− 
 
com isso, a expressão (1) será : 
 )2(113x6
dx
dy
'y113x6'y −+==→−=+− 
 
Diferenciando e integrando (2), tem-se : 
 
 
( )
( )
( )
( ) 123
2
3
1
21
CCC,Cx113x4y
Cx113x
3
2
.6Cy
Cdx11dx3x6Cy
dx113x6dy
2
1
−==++−
∴
+−+=+
+−+=+
−+=
∫ ∫
∫∫
 
 
 
Como a curva passa por (1,1), teremos : 
 
 ( ) 20CC1.113141 3 −=→=++− 
 
e com isso, a equação procurada será : 
 
 
( )
( ) 20x113x4y
20x113x4y
3
3
−−+=
∴
−=++−
 
 
Note que para valores de x< -3 
a função passa a não existir 
Problema 40. Achar a equação de uma curva sabendo que em cada ponto dela 
x
1
"y = e que ela passa por (1,0) com a inclinação de 135°. 
 
Solução. 
x
1
"y = pode ser escrito como : 
x
1
dx
dy
dx
d
=




 sendo que 'y
dx
dy
= . 
 
Daí, podemos escrever 
x
dx
'dy
x
1
dx
'dy ndodiferencia
= →= 
 
Integrando, 
 
 
)1(KKK,KxLn3'y
KxLn3K'y
x
dx
'dy
12
21
−=+=
∴
+=+
= ∫∫
 
 
Se a curva passa no ponto (1,0) com inclinação de 135°, então 1135tg'y −=°= e, daí, o valor 
da constante K em (1) será : 
 
 1KK1Ln31 −=→+=− 
 
com isso, a expressão (1) será : 
 )2(1xLn3
dx
dy
'y1xLn3'y −==→−= 
 
Diferenciando e integrando (2), tem-se : 
 
 
( )
( )
( ) 12
21
1
CCC,Cx1xLnxy
Cx1xLnxCy
 partes) porintegraçãoa usamos(aqui,dxdxxLn3Cy
dx1xLn3dy
−==+−−
∴
+−−=+
−=+
−=
∫ ∫
∫∫
 
 
 
Como a curva passa por (1,0), teremos : 
 
 
( ) 2CC111Ln.10 =→=+−− 
 
e com isso, a equação procurada será : 
 
 
( )
( ) 2x1xLnxy
2x1xLnxy
+−−=
∴
=+−−
 
 
 
 
 Note que para valores de x< 0 
a função passa a não existir 
Problema 41. Achar a equação de uma curva cuja subnormal é constante e 
igual a 2a . 
 
Solução. A figura abaixo ilustra a tangente, a normal, a subtangente e a subnormal de uma 
curva y = f(x) num dado ponto (x,y) da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos pela figura : 
 
 
y
a2
dx
dy
y
a2
y
S
dx
dy
tg N =→===θ 
 
 
Diferenciando e integrando, 
 
 
12
2
21
2
21
2
CCC,
Cax4y
C2ax4C2y
)2(Cax2C
2
y
dxa2dyy
−=
+=
∴
+=+
×+=+
= ∫∫
 
 
 
Suponha, por exemplo, a = 1 e M (1,3). 
Teríamos então C = 5 e a curva será : 
 
 ) parábola (5x4y2 += 
 
 
 
Problema 42. Achar a curva cuja subtangente é constante e igual a a . 
 
Solução. A figura abaixo ilustra a tangente, a normal, a subtangente e a subnormal de uma 
curva y = f(x) num dado ponto (x,y) da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos pela figura : 
 
 
a
y
dx
dy
a
y
S
y
dx
dy
tg
T
=→===θ 
 
 
Diferenciando e integrando, 
 
 
constante é a"" , aCaCC,CxyLna
aCxaCyLna
)a(C
a
x
CyLn
dx
a
1
dy
y
dy
12
21
21
−=+=
∴
+=+
×+=+
= ∫∫
 
 
 
 
 
 
 
Suponha, por exemplo, a = 1 e M (1,e). 
Teríamos então C = 0 e a curva será : 
 
 
xey
ou
xyLn
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 43. Achar a curva cuja subnormal é igual à abscissa do ponto de 
contato . 
 
Solução. A figura abaixo ilustra a tangente, a normal, a subtangente e a subnormal de uma 
curva y = f(x) num dado ponto (x,y) da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos pela figura : 
 
 
y
x
dx
dy
y
x
y
S
dx
dy
tg N =→===θ 
 
Diferenciando e integrando, 
 
 
) equilátera hipérbole( 
 
CCC,Cxy
)2(C
2
x
C
2
y
dxxdyy
12
22
2
2
1
2
−==−
∴
×+=+
= ∫∫
 
 
 
 
Suponha, por exemplo, C = 4. 
 
A curva será : 
 
 4xy 22 =− 
 
Perceba que a abscissa de M é 2 
e a subnormal também é 2, tal qual 
exigido no problema. 
 
 
 
 
Problema 44. Achar a curva cuja normal é constante ( = R), admitindo que 
y = R quando x = 0 . 
 
Solução. A figura abaixo ilustra a tangente, a normal , a subtangente e a subnormal de uma 
curva y = f(x) num dado ponto (x,y) da mesma.Temos : y'.yS
y
S
'y
dx
dy
tg N
N
=→===θ 
 
Além disso, 
 
 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) )1(dyy.yNdx
yN
dy.y
dxyNy.
dx
dy
yNy'.yyN
y
1
'yyN
y
1
'y
y
yN
)'y(y.)'y(yNSyN
2
1
2
1
2
1
2
1
22
22
22
222222
2
2
22
222222
N
22
−
−=∴
−
=→−=→
→−=→−=→−=→
→
−
=→+=→+=
 
Integrando (1) , 
 
 
( )
( )
12
22
2
22
1
22
1
22
CCC,CyNx
CyNCx
dy).y2.(yN
2
1
Cx
dy.y.yNdx
2
1
2
1
−==−+
∴
+−−=+
−−−=+
−=
∫
∫ ∫
−
−
 
 
 
Como y = R para x = 0 e N = R , 
 
 0CCRR0 22 =→=−+ 
 
Daí, 
 ( )
222
2
222
22
22
Ryx
yRx
0yRx
0yNx
=+
∴





−−=
=−+
=−+
 
Problema 45. Determinar as curvas nas quais o comprimento da subnormal 
é proporcional ao quadrado da ordenada. 
 
Solução. A figura abaixo ilustra a tangente, a normal, a subtangente e a subnormal de uma 
curva y = f(x) num dado ponto (x,y) da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos pela figura : 
 
 y.k
dx
dy
y
y.k
y
S
dx
dy
tg
2
N
=→===θ 
 
Diferenciando e integrando, 
 
 
kx
QQkx
Qkx
12
21
eCy
eC,e.ey
ey
QQQ,QkxyLn
QkxQyLn
dxk
y
dy
=
∴
==
=
−=+=
+=+
=
+
∫∫
 
 
 
Suponha C = 1 , K = 1 e ponto M (1, e). Então a 
curva terá por equação : 
 
 kxey = 
 
Perceba então que o comprimento da subnormal é 
2e , ou seja, o mesmo é proporcional ao quadrado da 
ordenada, conforme solicitado pelo problema. 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 46. Determinar a equação da curvas na qual o ângulo compreen-
dido entre o raio vetor e a tangente é a metade da anomalia. 
 
Solução. A figura abaixo ilustra a tangente, a normal, a subtangente e a subnormal de uma 
curva y = f(x) num dado ponto (x,y) da mesma. 
Coordenadas Polares. Ângulo entre o raio vetor e a tangente 
 
Teorema. Se ψ é o ângulo compreendido entre o raio vetor OP e a 
tangente em P, então 
 
 )1(',
' θ
ρρ
ρ
ρψ
d
d
ondetg == 
 
Seja P ( )θρ, um ponto de ( )θρ f= . 
Por P e um ponto Q ( )θθρρ ∆+∆+ , da 
curva, próximo de P, tracemos uma reta 
secante AB. Tracemos também PR 
perpendicular a OQ. 
 
Então, ρρ ∆+=OQ , ∡ θ∆=POQ 
θρ ∆= senPR e θρ ∆= cosOR . 
 
Ainda, )2(
cos θρρρ
θρ
σ
∆−∆+
∆
=
−
==
sen
OROQ
PR
RQ
PR
tg 
 
Seja ψ o ângulo compreendido entre o raio vetor OP e a tangente PT. 
Fazendo θ∆ tender a zero, temos que 
 
(a) o ponto Q tende a P ; 
 
(b) a secante AB gira em torno de P e tende à tangente PT ; 
 
(c) o ângulo σ tende a ψ . 
 
Logo 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) '
2
2
2
 
2
 
cos1
 
)3(
cos
0
2
0
2
00
00
2
2
0
2
2
0
2
20
0
0
ρ
ρ
θ
ρ
ρ
θ
ρ
θρ
θ
θρ
θ
ρ
θρ
θ
θρ
θ
ρ
θ
ρ
θ
θρ
ρρ
θρ
ρθρ
θρ
θρρρ
θρψ
θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
θ
θθ
θ
θθ
θθ
θ
θ
==
∆
∆
+∆
∆
∆
=
∆
∆
+∆
∆
∆
=
∆
∆
+
∆
∆
∆
=
∆+
∆
=
∆+∆−
∆
=
∆−∆+
∆
=
→∆
∆
→∆
∆
→∆→∆
→∆→∆
∆
∆→∆
∆
∆→∆
∆→∆
→∆
→∆
d
d
Lim
sen
LimsenLimLim
sen
LimLim
sen
sen
sen
Lim
sen
sen
sen
Lim
sen
sen
Lim
sen
Lim
sen
Limtg
 
= 1 
= 1 = 0 ρ 
ρ 
[ Da Trigonometria : cos(2x) = 1 – sen²(x) ] 
Para achar o coeficiente angular da tangente PT ( )τtg da curva ( )θρ f= 
dada em coordenadas polares e no ponto P ( )θρ, , tomamos, como usualmente, os 
eixos cartesianos OX e OY e, a partir daí, usamos o mesmo ponto P(x,y), agora em 
coordenadas cartesianas, 
 
 θρθρ senyex == cos 
 
Daí, θρθρ
θ
θρθρ
θ
cos'cos' +=−= sen
d
dy
esen
d
dx
 
 
[ visto que du/dv = uv’ + vu’ ] 
 
 
Derivando, 
 
) da tg angular ecoeficient (
cos'
cos'
'
'1
..
θρθρ
θρθρ
τ
θ
θ
θ
τ
θ
θ
θ
sen
sen
tg
x
y
d
dy
dx
d
d
dy
dx
dy
tg
d
dx
d
dy
d
dx
−
+
=⇒
=====
 
 
 
Podemos também deduzir a fórmula acima através das fórmulas da 
trigonometria, tal como segue abaixo: 
 
No triângulo OPT tem-se que ψθτ += ( teorema do ângulo externo ) 
 
Daí, 
 
 
( )
θρθρ
θρθρ
τ
θρ
θρθρ
θρ
θρθρ
ρ
ρ
θ
θ
ρ
ρ
θ
θ
ψθ
ψθ
ψθτ
coscos'
cos'
cos'
coscos'
cos'
cos'
 
'
.
cos
1
'cos
 
.1
 
−
+
=⇒
−
+
=
−
+
=
−
+
=
+=
sen
tg
sen
sen
sen
tgtg
tgtg
tgtg
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ tangente da soma de dois arcos ] 
Comprimento da subtangente polar e da subnormal polar 
 
Definição. Tracemos uma reta NT pela origem, perpendicular ao raio 
vetor do ponto P da curva. Se PT é a tangente e PN a normal à curva em P, 
então 
 
OT = comprimento da subtangente polar, 
ON = comprimento da subnormal polar, 
da curva em P . 
 
No triângulo OPT, 
ρ
ψ OTtg = . 
Logo 
 
ρ
θρρ
ρ
ρ
ρ
ρρψρ
θ
ρ d
d
OTOT
OTOTtgOT
d
d
2
2
2
''
=∴=→
=→=→=
 
 
 
 
No triângulo OPN, 
ON
tg
ρψ = . 
Logo 
 
θ
ρρρ
ψ
ρ
ρ
ρ d
d
ONONON
tg
ON =∴=→=→= '
'
 
 
 
 
Pela figura acima percebe-se que o comprimento da tangente polar (=PT ) e o 
comprimento da normal polar (=PN ), podem ser achadas como sendo cada uma 
delas a hipotenusa de um triângulo retângulo. 
 comprimento da 
Subtangente Polar 
 
 comprimento da 
 Subnormal Polar