022 LISTA 22 - Estimação da proporção populacional - Prof. Marcelo de Paula

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Lista 22 - Estimac¸a˜o da proporc¸a˜o populacional
Prof. Marcelo de Paula
Exerc´ıcio 1. Uma grande construtora imobilia´ria esta´ interessada em saber qual a proporc¸a˜o p de
clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel. Para isso consultou-se 230 clientes, dentre os
quais 82 se declararam insatisfeitos com a empresa.
a. Encontre e interprete os intervalos de confianc¸a IC (90%), IC (95%) e IC (99%) para a proporc¸a˜o
p de clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel.
b. Considerando o mesmo n´ıvel de confianc¸a, qual deveria ser o tamanho da amostra considerando
um erro de estimativa de 4%? A amostra consultada e´ suficiente? Justifique. Supondo que ainda
na˜o foi consultado nenhum cliente, qual deve ser o tamanho da amostra, para esse n´ıvel de confianc¸a,
considerando um erro de estimativa de 4%?
Exerc´ıcio 2. O setor de controle da qualidade de uma grande empresa fabricante de eletrodome´sticos
esta´ interessado em saber qual a proporc¸a˜o de produtos defeituosos produzidos diariamente. Para
isso, em um determinado dia, extraiu-se uma amostra aleato´ria de tamanho n = 192 produtos da
linha de produc¸a˜o, dentre os quais, 26 apresentaram defeitos.
a. Encontre os intervalos IC (90%), IC (95%) e IC (99%) para a proporc¸a˜o populacional p de
produtos defeituosos e interprete os intervalos obtidos.
b. Supondo que ainda na˜o foi colhida nenhuma amostra dessa linha de produc¸a˜o, qual deve ser o
tamanho da amostra considerando 95% de confianc¸a e uma margem de erro de 2, 5%, 6% e 12%?
Exerc´ıcio 3. Em uma pesquisa de intenc¸a˜o de votos foram entrevistados 800 eleitores. O objetivo
era saber em qual dos treˆs candidatos a eleic¸a˜o eles sera˜o favora´veis no dia da votac¸a˜o. Os resultados
encontram-se na tabela abaixo.
Candidato Intenc¸o˜es de votos a favor
A 262
B 118
C 238
Na˜o souberam ou na˜o responderam 282
Total: 800
Construa o intervalo de confianc¸a IC (95%) para cada um dos treˆs candidatos e fac¸a comenta´rios
pertinentes a respeito dos intervalos obtidos.
Exerc´ıcio 4. A satisfac¸a˜o da populac¸a˜o em relac¸a˜o a determinado governo foi pesquisada por meio
de uma amostra com a opinia˜o de 1000 habitantes do estado. Destes, 585 se declararam insatisfeitas
com a administrac¸a˜o estadual. Admitindo-se um n´ıvel de significaˆncia de 5%, solucione os itens
abaixo.
a. Estime pontualmente o percentual da populac¸a˜o que esta´ insatisfeita com a administrac¸a˜o estadual
e construa o IC (95%) para a proporc¸a˜o populacional p de habitantes insatisfeitos.
b. Qual o tamanho da amostra necessa´rio para a estimac¸a˜o se a empresa responsa´vel pela pesquisa
estipulou uma margem de erro de 2, 5%?
c. A atual administrac¸a˜o decidiu que se o percentual de descontentamento fosse superior a 50%
deveria ser redirecionado o plano governamental. Utilizando a informac¸a˜o amostral o que pode-se
concluir?
Exerc´ıcio 5. Em uma pesquisa de mercado, acerca da prefereˆncia pelo produto BETA, 300 con-
sumidores foram entrevistados, sendo que 100 declararam consumir o produto.
a. Construa o intervalo de confianc¸a IC (95%) para a proporc¸a˜o populacional de pessoas que con-
somem o produto.
b. Um dos diretores do fabricante exige que o intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o populacional
tenha 99% de confianc¸a, com uma margem de erro ma´xima de 2, 5%. A amostra retirada e´ suficiente
para satisfazer estes crite´rios?
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c. No passado, o produto BETA era a marca lider de mercado, com cerca de 40% da prefereˆncia do
consumidor. Com base nos dados dessa amostra, e usando uma significaˆncia de 1%, a marca ainda
tem a lideranc¸a no mercado?
Exerc´ıcio 6. Um pesquisador pretende estudar a incideˆncia, a n´ıvel nacional, de uma doenc¸a que
ataca os pinheiros. Observac¸o˜es efetuadas no do pa´ıs resultaram em 1233 casos de pinheiros afetados
pela doenc¸a num total de 4250 observac¸o˜es. Construa o intervalo de confianc¸a IC (95%) para a
proporc¸a˜o populacional p de pinheiros afetados no pa´ıs.
Exerc´ıcio 7. Somente uma parcela dos pacientes que sofrem de uma determinada s´ındrome neu-
rolo´gica consegue cura completa. Em uma amostra de 64 pacientes observados, curaram-se 41.
a. Construa o intervalo de confianc¸a IC (95%) para a proporc¸a˜o dos pacientes que sa˜o curados.
b. Quantos pacientes portadores dessa s´ındrome dever´ıamos observar para estimar a proporc¸a˜o de
curados, considerando uma margem de erro de 5% e uma confianc¸a de 95%?
Exerc´ıcio 8. Queremos estimar a incideˆncia da hipertensa˜o arterial na gravidez. Considerando
uma confianc¸a de 95%, quantas gra´vidas temos que observar, para estimar tal incideˆncia com uma
margem de erro de 2% nos seguintes casos:
a. Sabendo que, em uma sondagem pre´via, se observaram 9% de hipertensas.
b. Sem nenhuma informac¸a˜o pre´via.
Exerc´ıcio 9. Em uma pesquisa eleitoral, deseja-se estimar a proporc¸a˜o p de eleitores favora´veis a
certo candidato. Determine o nu´mero de eleitores que devem ser entrevistados, considerando um
n´ıvel de confianc¸a de 95% e uma margem de erro de:
a. 15% b. 10% c. 5%
Exerc´ıcio 10. Refac¸a o exerc´ıcio anterior considerando um n´ıvel de confianc¸a de 90%.
Exerc´ıcio 11. Sabe-se que a obesidade esta´ diretamente relacionada a hipertensa˜o arterial. Em uma
amostra de n = 525 indiv´ıduos obesos verificou-se que 378 indiv´ıduos apresentaram a hipertensa˜o
arterial.
a. Determine e interprete o IC (95%) para a proporc¸a˜o populacional p de indiv´ıduos obesos com
hipertensa˜o arterial.
b. Determine e interprete o IC (99%) para a proporc¸a˜o populacional p de indiv´ıduos obesos com
hipertensa˜o arterial.
c. Qual deveria ser o tamanho da amostra caso assumı´ssemos um erro de 5% com um n´ıvel de
significaˆncia de 5%?
d. E se o erro assumido fosse 3%, qual deveria ser o tamanho da amostra?
e. Supondo que ainda na˜o foi coletada nenhuma amostra, qual deve ser o tamanho da amostra de
indiv´ıduos obesos afim de estimar a proporc¸a˜o populacional p de hipertensos assumindo um erro de
1, 5% com um n´ıvel de significaˆncia de 5%?
Exerc´ıcio 12. O diretor de uma renomada TV por assinatura gostaria de verificar o n´ıvel de
satisfac¸a˜o dos seus assinantes em relac¸a˜o ao conteu´do do canal A. Para isso analisou uma amostra
de n = 150 assinantes, e os resultados encontram-se abaixo:
Satisfeitos Insatisfeitos
Homens 68 20
Mulheres 26 36
a. O diretor afirma que mais de 50% dos assinantes esta˜o satisfeitos com o conteu´do do canal A.
Construa um IC (95%) para a proporc¸a˜o populacional de assinantes satisfeitos e explique com suas
palavras se o diretor tem raza˜o ou na˜o. Interprete o intervalo de confianc¸a obtido.
b. O diretor esta´ desconfiado que metade das assinantes do sexo feminino esta˜o insatisfeitas com o
conteu´do do canal A. Construa um IC (95%) para a proporc¸a˜o populacional de assinantes do sexo
feminino que esta˜o insatisfeitas e explique com suas palavras se o diretor tem raza˜o ou na˜o. Interprete
o intervalo de confianc¸a obtido.
c. Construa um IC (95%) para a proporc¸a˜o populacional de assinantes do sexo masculino que esta˜o
satisfeitos com o conteu´do do canal A. Interprete o intervalo de confianc¸a obtido.
d. Construa um IC (95%) para a proporc¸a˜o populacional de assinantes do sexo feminino que esta˜o
satisfeitos com o conteu´do do canal A. Interprete o intervalo de confianc¸a obtido.
e. O que voceˆ pode perceber nos intervalos obtidos nos itens c e d a respeito da satisfac¸a˜o?
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f. Com relac¸a˜o ao item a e considerando o mesmo n´ıvel de confianc¸a, qual deveria ser o tamanho da
amostra se o diretor assumisse um erro de estimativa de no ma´ximo 10%? A amostra analisada no
in´ıcio atende a essas exigeˆncias? Explique.
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
Exerc´ıcio 1.
a. O IC (90%) para a proporc¸a˜o p de clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel e´
[0, 3045 ; 0, 4085]. Interpretac¸a˜o: Temos 90% de confianc¸a de que o intervalo [0, 3045 ; 0, 4085]
conte´m a proporc¸a˜op de clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel.
O IC (95%) para a proporc¸a˜o p de clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel e´ [0, 2946 ; 0, 4184].
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [0, 2946 ; 0, 4184] conte´m a proporc¸a˜o p
de clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel.
O IC (99%) para a proporc¸a˜o p de clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel e´ [0, 2752 ; 0, 4378].
Interpretac¸a˜o: Temos 99% de confianc¸a de que o intervalo [0, 2752 ; 0, 4378] conte´m a proporc¸a˜o p
de clientes insatisfeitos com o prazo de entrega do imo´vel.
b. Considerando 95% de confianc¸ao mesmo n´ıvel de confianc¸a, e um erro de estimativa de 4% o
tamanho da amostra deveria ser n = 551 clientes. Supondo que ainda na˜o foi consultado nenhum
cliente, e considerando o mesmo erro de estimativa de 4%, o tamanho da amostra deve ser de n = 600
clientes.
Exerc´ıcio 2.
Item a. Temos que p̂ = 26
192
= 0, 1354.
Para 90% de confianc¸a, temos que Zα/2 = 1, 645 e o IC (90%) para a proporc¸a˜o de produtos defeitu-
osos p e´ [0, 0948; 0, 1760].
Interpretac¸a˜o: Temos 90% de confianc¸a de que o intervalo [0, 0948; 0, 1760] conte´m a verdadeira
proporc¸a˜o de produtos defeituosos p.
Para 95% de confianc¸a, temos que Zα/2 = 1, 96 e o IC (95%) para a proporc¸a˜o de produtos defeituosos
p e´ [0, 0870; 0, 1838].
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [0, 0870; 0, 1838] conte´m a verdadeira
proporc¸a˜o de produtos defeituosos p.
Para 99% de confianc¸a, temos que Zα/2 = 2, 575 e o IC (99%) para a proporc¸a˜o de produtos defeitu-
osos p e´ [0, 0718; 0, 1990].
Interpretac¸a˜o: Temos 99% de confianc¸a de que o intervalo [0, 0718; 0, 1990] conte´m a verdadeira
proporc¸a˜o de produtos defeituosos p.
Item b. Se ainda na˜o foi colhida nenhuma amostra temos que o tamanho da amostra deve ser:
Para um erro de estimativa de 2, 5% temos n = 1.537.
Para um erro de estimativa de 6% temos n = 267.
Para um erro de estimativa de 12% temos n = 67.
Exerc´ıcio 3.
No caso do candidato A, o IC (95%) para a proporc¸a˜o de eleitores favora´veis e´ [0, 2950 ; 0, 3600].
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [0, 2950 ; 0, 3600] conte´m a proporc¸a˜o
populacional de eleitores favora´veis ao candidato A.
No caso do candidato B, o IC (95%) para a proporc¸a˜o de eleitores favora´veis e´ [0, 1229 ; 0, 1721].
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [0, 1229 ; 0, 1721] conte´m a proporc¸a˜o
populacional de eleitores favora´veis ao candidato B.
No caso do candidato C, o IC (95%) para a proporc¸a˜o de eleitores favora´veis e´ [0, 2658 ; 0, 3292].
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [0, 2658 ; 0, 3292] conte´m a proporc¸a˜o
populacional de eleitores favora´veis ao candidato C.
Podemos verificar que os candidatos A e C esta˜o tecnicamente empatados.
Exerc´ıcio 4.
a. Temos que p̂ = 0, 5850 e o IC (95%) para p e´ [0, 5545 ; 0, 6155]. Interpretac¸a˜o: Temos 95%
de confianc¸a de que o intervalo [0, 5545 ; 0, 6155] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de
habitantes insatisfeitos com a administrac¸a˜o estadual.
b. n = 1492.
c. Redirecionar o plano, pois o IC mostra que este valor e´ superior a 50%.
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Exerc´ıcio 5.
a. Temos que o IC (95%) para p e´ [0, 2800 ; 0, 3867]. Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a
de que o intervalo [0, 2800 ; 0, 3867] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de pessoas que
consomem o produto.
b. Na˜o, pois n = 2358.
c. Sim, pois o IC mostra que 40% esta´ dentro do IC (99%). O IC (99%) para p e´ [0, 2632 ; 0, 4034].
Interpretac¸a˜o: Temos 99% de confianc¸a de que o intervalo [0, 2632 ; 0, 4034] contem a verdadeira
proporc¸a˜o populacional p de pessoas que consomem o produto.
Exerc´ıcio 6.
a. p̂ = 0, 2901.
b. O IC (95%) para p e´ [0, 2763 ; 0, 3036]. Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o
intervalo [0, 2763 ; 0, 3036] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de pinheiros afetados pela
doenc¸a.
Exerc´ıcio 7. Temos que p̂ = 0, 6406 e o IC (95%) para p e´ [0, 5230 ; 0, 7582]. Interpretac¸a˜o:
Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [0, 5230 ; 0, 7582] contem a verdadeira proporc¸a˜o popu-
lacional p de pacientes que sofrem desta s´ındrome neurolo´gica que sa˜o curados. Na continuac¸a˜o do
exerc´ıcio temos que n = 354 doentes teriam que ser observados.
Exerc´ıcio 8.
a. n = 787 gra´vidas. b. n = 2401 gra´vidas.
Exerc´ıcio 9.
a. n = 43. b. n = 96. c. n = 384.
Exerc´ıcio 10.
a. n = 30. b. n = 68. c. n = 271.
Exerc´ıcio 11.
a. O IC (95%) para p e´ [68, 16%; 75, 84%]. Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o
intervalo [68, 16%; 75, 84%] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de indiv´ıduos obesos com
hipertensa˜o arterial.
b. O IC (99%) para p e´ [66, 95%; 77, 05%]. Interpretac¸a˜o: Temos 99% de confianc¸a de que o
intervalo [66, 95%; 77, 05%] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de indiv´ıduos obesos com
hipertensa˜o arterial.
c. n = 310.
d. n = 861.
e. n = 4.268.
Exerc´ıcio 12.
a. O IC (95%) para p e´ [54, 93%; 70, 41%]. Sim, o diretor da TV por assinatura tem raza˜o em
afirmar que mais de 50% dos assinantes esta˜o satisfeitos com o conteu´do do canal A, pois temos 95%
de confianc¸a de que o intervalo [54, 93%; 70, 41%] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de
assinantes satisfeitos com o conteu´do do canal A.
b. O IC (95%) para p e´ [45, 78%; 70, 35%]. Sim, o diretor da TV por assinatura tem raza˜o em
afirmar que metade das assinantes do sexo feminino esta˜o insatisfeitas com o conteu´do do canal A,
pois temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [45, 78%; 70, 35%] contem a verdadeira proporc¸a˜o
populacional p de assinantes do sexo feminino que esta˜o insatisfeitos com o conteu´do do canal A.
c. O IC (95%) para p e´ [68, 52%; 86, 03%]. Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o
intervalo [68, 52%; 86, 03%] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de assinantes do sexo
masculino que esta˜o satisfeitos com o conteu´do do canal A.
d. O IC (95%) para p e´ [29, 62%; 54, 22%]. Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o
intervalo [29, 62%; 54, 22%] contem a verdadeira proporc¸a˜o populacional p de assinantes do sexo
feminino que esta˜o satisfeitos com o conteu´do do canal A.
e. Podemos observar que, a partir dos intervalos de confianc¸a obtidos em c e d, a proporc¸a˜o de
homens satisfeitos para o conteu´do do canal A e´ maior que a proporc¸a˜o de mulheres satisfeitas.
f. Sim, a amostra e´ suficiente, pois, para um erro de no ma´ximo 10% temos n = 90.
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