002 LISTA 02 - Propriedades da média e da variância - Prof. Marcelo de Paula

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Lista 2 - Propriedades da me´dia e da variaˆncia
Prof. Marcelo de Paula
Exerc´ıcio 1. Seja um conjunto de dados quantitativos formado por X1, X2, ..., Xn e seja Yi = XiX,
i = 1, 2, ..., n. Mostre que a me´dia da varia´vel Y e´ o quadrado da me´dia da varia´vel X, isto e´, mostre
que Y = X
2
.
Exerc´ıcio 2. Seja um conjunto de dados quantitativos formado por X1, X2, ..., Xn e seja Yi =
Xi
X
,
i = 1, 2, ..., n. Mostre que a me´dia da varia´vel Y e´ a constante 1, independentemente dos valores da
varia´vel X, isto e´, mostre que Y = 1.
Exerc´ıcio 3. Seja um conjunto de dados quantitativos formado por X1, X2, ..., Xn e seja outro
conjunto de dados quantitativos formado por Y1, Y2, ..., Yn tal que Yi > Xi, i = 1, 2, ..., n. Em outras
palavras, temos dois conjuntos de dados quantitativos de mesma dimensa˜o tal que Y1 > X1, Y2 >
X2, ..., Yn > Xn. Mostre que, nesse contexto, a me´dia da varia´vel Y e´ maior que a me´dia da varia´vel
X, isto e´, mostre que Y > X. Ajuda: Sabemos que, se Yi > Xi, enta˜o Yi−Xi = bi > 0, i = 1, 2, ..., n,
o que implica em Yi = Xi + bi, i = 1, 2, ..., n.
Exerc´ıcio 4. Sejam a e b duas constantes arbitra´rias (a, b ∈ R) tal que a < b. Seja X1, X2, ..., Xn um
conjunto de dados quantitativos tal que a < Xi < b, i = 1, 2, ..., n. Mostre que a me´dia da varia´vel
X tambe´m esta´ entre as constantes a e b, isto e´, a < X < b.
Exerc´ıcio 5. Considere X1, X2, ..., XN um conjunto de dados quantitativos com me´dia µ e seja
(Xi − µ) o i-e´simo desvio em relac¸a˜o a me´dia, i = 1, 2, ..., N . Mostre que a soma de todos os desvios
de um conjunto quantitativo de dados e´ sempre nula, isto e´, mostre que
N∑
i=1
(Xi − µ) = 0.
Exerc´ıcio 6. Seja X1, X2, ..., XN um conjunto de dados quantitativos com me´dia µX e variaˆncia σ
2
X .
Seja Zi =
(
Xi−µX
σX
)
, i = 1, 2, ..., N . Mostre que a me´dia populacional e a variaˆncia populacional da
varia´vel Z, denotados respectivamente por µZ e σ
2
Z sa˜o µZ = 0 e σ
2
Z = 1.
Observac¸a˜o: A varia´vel Z =
(
X−µX
σX
)
e´ conhecida como varia´vel padronizada.
Exerc´ıcio 7. Mostre que a variaˆncia populacional dada por σ2 = 1
N
N∑
i=1
(Xi − µ)2 tambe´m pode ser
expressa por σ2 = 1
N
N∑
i=1
X2i − µ2.
Exerc´ıcio 8. Seja um conjunto de dados formado por X1, X2, ..., Xn com me´dia µX e variaˆncia
σ2X . Seja outro conjunto de dados formado por Y1, Y2, ..., Yn com me´dia µY e variaˆncia σ
2
Y . Seja
Zi = Xi + Yi, i = 1, 2, ..., n. Mostre que a variaˆncia de Z1, Z2, ..., Zn denominada de σ
2
Z e´ dada por
σ2Z = σ
2
X + σ
2
Y + 2
(
1
n
n∑
i=1
XiYi − µXµY
)
Exerc´ıcio 9. Se Yi = a+ bXi, i = 1, 2, ..., n, mostre que Y = a+ bX.
1
RESOLUC¸A˜O DOS EXERCI´CIOS
Exerc´ıcio 1. Por definic¸a˜o temos que a me´dia da varia´vel Y e´ dada por Y = 1
n
n∑
i=1
Yi. Como
Yi = XiX, i = 1, 2, ..., n, segue imediatamente que:
Y =
1
n
n∑
i=1
Yi =
1
n
n∑
i=1
XiX =
X
n
n∑
i=1
Xi = X ×X = X2.
Y = X
2
.
Logo, a me´dia da varia´vel Y e´ o quadrado da me´dia da varia´vel X.
Exerc´ıcio 2. Por definic¸a˜o temos que a me´dia da varia´vel Y e´ dada por Y = 1
n
n∑
i=1
Yi. Como Yi =
Xi
X
,
i = 1, 2, ..., n, segue imediatamente que:
Y =
1
n
n∑
i=1
Yi =
1
n
n∑
i=1
Xi
X
=
1
nX
n∑
i=1
Xi =
X
X
= 1.
Y = 1.
Logo, a me´dia da varia´vel Y e´ a constante 1, independentemente dos valores da varia´vel X.
Exerc´ıcio 3. Sabemos que se Yi > Xi, enta˜o Yi − Xi = bi > 0, i = 1, 2, ..., n, o que implica em
Yi = Xi + bi, i = 1, 2, ..., n. Portanto temos
Y =
1
n
n∑
i=1
Yi =
1
n
n∑
i=1
(Xi + bi) =
1
n
n∑
i=1
Yi +
1
n
n∑
i=1
bi = X + b.
Y = X + b.
Como bi > 0, i = 1, 2, ..., n, enta˜o a me´dia b > 0. Logo, a me´dia da varia´vel Y e´ maior que a me´dia
da varia´vel X, isto e´, Y > X.
Exerc´ıcio 4. Se a < Xi < b, i = 1, 2, ..., n, enta˜o
n∑
i=1
a <
n∑
i=1
Xi <
n∑
i=1
b
Dividindo todos os termos por n temos
n∑
i=1
a
n
<
n∑
i=1
Xi
n
<
n∑
i=1
b
n
na
n
< X <
nb
b
a < X < b.
Logo, a me´dia da varia´vel X tambe´m esta´ entre as constantes a e b, isto e´, a < X < b.
Exerc´ıcio 5. Desenvolvendo a expressa˜o, temos:
N∑
i=1
(Xi − µ) =
N∑
i=1
Xi −
N∑
i=1
µ =
N∑
i=1
Xi −N × µ =
N∑
i=1
Xi −N × µ
=
N∑
i=1
Xi −N × 1
N
N∑
i=1
Xi =
N∑
i=1
Xi −
N∑
i=1
Xi = 0.
N∑
i=1
(Xi − µ) = 0.
2
Logo, a soma de todos os desvios de um conjunto quantitativo de dados e´ sempre nula, isto e´, mostre
que
N∑
i=1
(Xi − µ) = 0.
Exerc´ıcio 6. Por definic¸a˜o temos que a me´dia populacional da varia´vel Z e´ dada por µZ =
1
N
N∑
i=1
Zi.
Como Zi =
(
Xi−µX
σX
)
, para i = 1, 2, ..., N , enta˜o segue imediatamente que:
µZ =
1
N
N∑
i=1
Zi =
1
N
N∑
i=1
(
Xi − µX
σX
)
=
1
NσX
N∑
i=1
(Xi − µX) .
Conforme vimos na questa˜o anterior, a soma de todos os desvios de um conjunto de dados quantita-
tivos e´ sempre nula, isto e´,
N∑
i=1
(Xi − µX) = 0. Dessa forma temos que:
µZ =
1
NσX
× 0 = 0.
Logo, a me´dia populacional da varia´vel Z e´ zero, isto e´, µZ = 0.
No caso da variaˆncia da varia´vel Z temos, por definic¸a˜o, que:
σ2Z =
1
N
N∑
i=1
(Zi − µZ)2 .
Como Zi =
(
Xi−µX
σX
)
, para i = 1, 2, ..., N , e µZ = 0, enta˜o segue imediatamente que:
σ2Z =
1
N
N∑
i=1
(Zi − µZ)2 = 1
N
N∑
i=1
(
Xi − µX
σX
− 0
)2
=
1
N
N∑
i=1
(
Xi − µX
σX
)2
=
1
N
N∑
i=1
(Xi − µX)2
σ2X
=
1
σ2X
N∑
i=1
(Xi − µX)2
N
=
1
σ2X
× σ2X = 1.
σ2Z = 1.
Logo, a variaˆncia populacional da varia´vel Z vale um, isto e´, σ2Z = 1.
Exerc´ıcio 7. Temos que a variaˆncia populacional e´ expressa por
σ2 =
1
N
N∑
i=1
(Xi − µ)2
=
1
N
N∑
i=1
(
X2i − 2Xiµ+ µ2
)
=
N∑
i=1
X2i
N
−
N∑
i=1
2Xiµ
N
+
N∑
i=1
µ2
N
=
N∑
i=1
X2i
N
− 2µ
N∑
i=1
Xi
N
+
Nµ2
N
=
N∑
i=1
X2i
N
− 2µ2 + µ2
σ2 =
N∑
i=1
X2i
N
− µ2.
3
Exerc´ıcio 8. Se Zi = Xi + Yi, i = 1, 2, ..., n, enta˜o pelas propriedades da me´dia sabemos que
µZ = µX + µY . Por definic¸a˜o a variaˆncia populacional de Z e´ expressa por
σ2Z =
1
N
N∑
i=1
(Zi − µz)2
=
1
N
N∑
i=1
[(Xi + Yi)− (µX + µY )]2
Desenvolvendo o quadrado da diferenc¸a temos
σ2Z =
1
N
N∑
i=1
[
(Xi + Yi)
2 − 2 (Xi + Yi) (µX + µY ) + (µX + µY )2
]
=
1
N
N∑
i=1
[
X2i + 2XiYi + Y
2
i − 2 (XiµX +XiµY + YiµX + YiµY ) + µ2X + 2µXµY + µ2Y
]
=
1
N
N∑
i=1
[
X2i + 2XiYi + Y
2
i − 2XiµX − 2XiµY − 2YiµX − 2YiµY + µ2X + 2µXµY + µ2Y
]
Rearranjando os termos temos
σ2Z =
1
N
N∑
i=1
[
X2i + 2XiYi + Y
2
i − 2XiµX − 2XiµY − 2YiµX − 2YiµY + µ2X + 2µXµY + µ2Y
]
=
1
N
N∑
i=1
X2i − 2XiµX + µ2X︸ ︷︷ ︸
(Xi−µX)2
+ Y 2i − 2YiµY + µ2Y︸ ︷︷ ︸
(Xi−µY )2
+ 2XiYi − 2XiµY − 2YiµX + 2µXµY

=
1
N
N∑
i=1
[
(Xi − µX)2 + (Xi − µY )2 + 2 (XiYi −XiµY − YiµX + µXµY )
]
σ2Z =
1
N
N∑
i=1
(Xi − µX)2︸ ︷︷ ︸+
1
N
N∑
i=1
(Xi − µY )2︸ ︷︷ ︸+
2
N
N∑
i=1
(XiYi)− 2µY
N
N∑
i=1
Xi − 2µX
N
N∑
i=1
Yi +
2
N
N∑
i=1
µXµY
= σ2X + σ
2
Y +
2
N
N∑
i=1
(XiYi)− 2µY µX − 2µXµY + 2µXµY
= σ2X + σ
2
Y + 2
[
1
N
N∑
i=1
(XiYi)− µY µX
]
Exerc´ıcio 9. Por definic¸a˜o, a me´dia de Yi, i = 1, 2, ..., n, e´ dada por:
Y =
1
n
n∑
i=1
Yi
Como Yi = a+ bXi, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o segue que
Y =
1
n
n∑
i=1
(a+ bXi) =
1
n
n∑
i=1
a+
1
n
n∑
i=1
bXi =
na
n
+
b
n
n∑
i=1
Xi = a+ bX
Y = a+ bX.
4