Construção das Cônicas

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Construção das Cônicas 
Parábola, elipse e hipérbole 
 Hévilla Nobre Cezar 
2 
 
 Evolução histórica das cônicas. 
 Definições e aplicações das cônicas. 
 Construção da parábola, elipse e 
hipérbole pelo método da 
dobradura, utilizando papel e o 
computador (Cabri Géomètre II). 
Conteúdo 
3 
Objetivo 
 Mostrar o processo evolutivo. 
 Construção das cônicas explorando 
suas propriedades com a ajuda de 
recursos didáticos. 
 Despertar o interesse do aluno para 
o estudo da geometria analítica. 
 
4 
Introdução 
 O tratamento dado pelo geômetra 
grego Apolônio às curvas planas 
elipse, hipérbole e parábola no século 
III a.C. é considerado uma das 
realizações mais importantes da 
Geometria clássica. 
 Estudadas há mais de dois milênios, 
essas curvas tem aplicações 
importantes até hoje. 
5 
Evolução histórica 
 Menaecmus (380 a.C. - 320 a.C.) 
 Resolução da duplicação do cubo. 
 Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) 
 Área de um segmento parabólico. 
 Apolônio de Perga (262 a.C. – 200 a.C.) 
 Foi chamado o “Pai das Cônicas” 
 denominações (elipse, hipérbole, parábola) 
 Obra “As Cônicas” , 8 volumes 
 
 
6 
Evolução histórica 
 Piero della Francesca (1412 - 1492) 
 Pintor – inventou a perspectiva cônica 
 Galileu (1564 - 1642) 
 Usou a parábola para descrever o 
movimento de projéteis. 
 Kepler (1517 - 1630) 
 Órbitas elípticas 
 Desargues (1591 - 1661) 
 Criou a geometria projetista 
 
 
 
 
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Evolução histórica 
 Fermat (1601 - 1665) 
 Primeiro a estudar as cônicas a partir das 
equações de 2º grau. 
 Frans Van Shooten (1615 -1660) 
 Construção de instrumentos que permitam 
desenhar as seções cônicas. 
 Pascal (1623 - 1662) 
 Baseado nos métodos de Desargues, 
escreveu um “Ensaio sobre as cônicas”. 
8 
Evolução histórica 
 Halley (1656 - 1742) 
 Mostrou que o cometa Halley movia-se em órbita 
elíptica – previu o seu retorno passado 76 anos. 
 Dandelin (1794 -1847) 
 Demonstrou que as cônicas, vistas como 
intersecções de um plano com um cone, são as 
mesmas curvas que as definidas num plano da 
maneira usual, à custa das conhecidas 
propriedades métricas envolvendo os focos. 
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Definições 
 Apresentar as definições referentes 
a interseção de plano com um cone 
de duas folhas, e as definições 
referentes as propriedade focais. 
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Cone 
 Cone – superfície de revolução. 
 
11 
Cônicas 
 Cônicas são curvas obtidas por meio 
da intersecção de um plano com a 
superfície lateral de um cone. 
 
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Circunferência 
Plano corta a 
superfície 
perpendicular ao 
eixo. 
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Elipse 
Plano intecepta 
apenas uma folha da 
superfície, não 
paralela a geratriz e 
não perpendicular ao 
eixo. 
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Parábola 
Plano intercepta 
apenas uma folha da 
superfície, paralela a 
geratriz. 
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Hipérbole 
Plano intercepta as 
duas folha da 
superfície, não 
paralela a geratriz e 
não perpendicular ao 
eixo. 
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Aplicações: Engenharia 
Famoso avião 
Britânico Spitfire 
 asas em formato 
de arcos de elipses 
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Aplicações : Arquitetura 
 
 
 O cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso 
total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal 
 da ponte, toma a forma de uma parábola. 
18 
Aplicações: Astronomia 
Trajetórias elípticas 
dos planetas. 
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Parábola 
 É o conjunto de pontos do plano 
equidistantes de um ponto fixo F 
(foco) e uma reta fixa D (diretriz). 
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Equação da parábola 
 Aplicando a definição de parábola, obtemos 
a equação reduzida: 
 
 
onde é o parâmetro da parábola. 
 
 
pyx 22 
p
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Propriedade Refletora 
 A parábola possui 
propriedade refletora: 
 Todo elemento que 
incide paralelamente ao 
eixo, reflete-se 
passando por um ponto 
fixo (Foco). 
 Todo elemento que 
incide passando pelo 
Foco, reflete-se 
paralelamente ao eixo. 
 
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Faróis 
  Um exemplo prático são as luzes 
emitidas pelos faróis dos automóveis que 
devem estar colocadas no foco da 
parábola. 
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Antenas Parabólicas 
 As antenas 
parabólicas 
captam as ondas 
eletromagnéticas, 
de rádio ou radar 
e são refletidas 
num único ponto, 
onde serão 
conduzidas a um 
decodificador que 
as transformarão 
em imagem ou 
som. 
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Fornos Parabólicos 
25 
Arquitetura 
 Maior parábola do 
mundo, com 200m 
de altura de aço 
inoxidável. 
 S. Louis, Missouri 
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Trajetórias Parabólicas 
 Também as 
trajetórias de bolas 
ou outros projéteis, 
dentro da 
atmosfera terrestre, 
são, em geral, arcos 
de parábola, tanto 
mais perfeitos 
quanto menor é a 
resistência do ar. A 
ciência que estuda a 
trajetória e impacto 
de projéteis chama-
se Balística. 
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Elipse 
 Lugar geométrico dos pontos, no plano, 
tais que é constante a soma das 
distâncias de cada um desses pontos a 
dois pontos fixos (focos da elipse) 
desse plano. 
 
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Equação da Elipse 
 Considerando o 
centro da elipse na 
origem e os focos 
no eixo das 
abscissas. 
Aplicando a 
definição da elipse 
obtemos a 
equação reduzida: 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
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Excentricidade da elipse 
 Excentricidade 
é responsável 
pela forma da 
elipse. 
 
a
c
e 
30 
Aplicações 
 Na Astronomia, Kepler mostrou que os 
planetas do sistema solar descrevem órbitas 
elípticas, as quais têm o sol num dos focos. 
 
 Terra – e = 0,02 
 Júpter – e = 0,05 
 Marte – e = 0,09 
 Mercúrio – e = 0,21 
 Plutão – e = 0,25 
 Cometa Halley – e = 0,967 
 
 
31 
Aplicações: Na Arquitetura 
 Um dos maiores arquitetos é Oscar 
Niemeyer. 
 famoso, principalmente, pelas curvas 
impostas a edificações de arquitetura 
singular em Brasília e pelas formas 
revolucionárias de seu estilo 
arquitetônico 
 
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Projeto de Niemeyer 
 Projeto do museu de 
Curitiba que tem o nome do 
Arquiteto. 
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Elipses em objetos do cotidiano 
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Hiperbóle 
 Denominamos hipérbole ao lugar 
geométrico dos pontos de um plano para 
os quais a diferença das distâncias a dois 
pontos dados, F1 e F2, do plano é, em 
valor absoluto, igual a uma constante 2a, 
menor que a distância F1F2. 
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Equação da hipérbole 
 Aplicando a 
definição, 
obtemos a 
equação 
reduzida da 
hipérbole: 
 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
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Propriedade Refletora 
 Um raio emitido de um dos seus focos é 
refletido de modo que seu prolongamento 
passe no outro foco. Esta propriedade é 
utilizada na construção de câmeras 
fotográficas e de telescópios. 
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Aplicações 
 Tanto a hiperbóle como a hiperbolóide 
são utilizadas na arquitetura e na 
tecnologia. 
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Catedral de São Paulo 
39 
Planetário de St. Louis 
40 
Aplicação em tecnologia 
 Em pleno vôo 
um avião 
produz um 
ruído que se 
propaga em 
várias direções. 
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Formação de “esteira sonora” 
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Zona de audibilidade 
A intersecção da esteira com o plano do 
solo será uma hipérbole que limita a zona 
de audibilidade 
 
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Construções 
 Utilizando as definições referentes 
as propriedades focais e as 
proposições referentes a reta 
tangente, podemos justificar as 
construções pelo método de 
dobradura (Método de Van 
Schooten). 
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Recursos didáticos 
 Papel 
 Software (Cabri) 
 ..\..\cabri\Cabri\WCABRI2.EXE 
45Parábola - método da dobradura. 
 1- Dobre uma folha de papel ao meio. 
 2- Marque pontos em uma metade, na margem 
inferior, distanciados por volta de 1 cm. 
 3- Vire a folha e marque um ponto A, na linha 
que divide a folha ao meio, uns 3 cm acima da 
margem inferior. 
 4- Dobra-se o papel de modo que o primeiro 
ponto marcado venha coincidir com o ponto A, 
vincando bem. 
 5- Abra o papel e dobra-se outra vez, até 
terminar todos os pontos. 
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Construção utilizando o computador 
 Utilizando uma reta e um ponto fora dela. 
 Construa um segmento de reta r. 
 Construa um ponto A sobre r. 
 Construa um ponto F fora de r. 
 Construa um segmento AF e o seu ponto 
médio M. 
 Construa a reta perpendicular ao segmento AF 
e que passa por M. 
 Deixe a perpendicular formar rastro 
 Anime o ponto A sobre r. 
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Elipse - método da dobradura. 
1-Sobre uma folha de papel manteiga marque um 
ponto F1 mais ou menos no centro da folha. 
2-Com o auxílio do compasso, desenhe dois círculos 
centrados em F1 e de raios a e c. (c<a). 
3- Trace uma semi-reta horizontal com origem em 
F1 e tome o ponto F2 interseção da semi-reta 
com o círculo de raio c. 
4- Escolha um ponto D sobre o círculo de raio a e 
dobre o papel-manteiga de forma a fazer coincidir 
os pontos D e F2. 
5- Repita essa operação para diferentes escolhas do 
ponto D. Quando você tiver realizado esta 
operação um grande número de vezes poderá 
observar que as dobras parecem tangenciar uma 
curva. 
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Construção utilizando o computador 
1-Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r. 
2-Construa dois círculos concêntricos de centro em 
F1 com raios a e c (a>c). 
3-Com a ferramenta ponto de interseção obtenha o 
ponto F2, interseção da reta r com o círculo de 
raio c. 
4-Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome D 
sobre o círculo de raio a. 
5-Construa a mediatriz t do segmento DF2. 
6-Construa a reta l passando por F1 e D. 
7- Com a ferramenta ponto de interseção obtenha o 
ponto P, interseção de t e l. 
8-Utilize a ferramenta rastro para selecionar a 
mediatriz t e, em seguida movimente o ponto D 
sobre o círculo. 
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Hipérbole - método da dobradura. 
1-Sobre uma folha de papel manteiga marque um 
ponto F1 mais ou menos no centro da folha. 
2-Com o auxílio do compasso, desenhe dois círculos 
centrados em F1 e de raios a e c (c>a). 
3- Trace uma semi-reta horizontal com origem em 
F1 e tome o ponto F2 interseção da semi-reta 
com o círculo de raio c. 
4- Escolha um ponto D sobre o círculo de raio a e 
dobre o papel-manteiga de forma a fazer coincidir 
os pontos D e F2. 
5- Repita essa operação para diferentes escolhas do 
ponto D. Quando você tiver realizado esta 
operação um grande número de vezes poderá 
observar que as dobras parecem tangenciar uma 
curva. 
 
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Construção Utilizando o Computador 
 1-Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r. 
 2-Construa dois círculos concêntricos de centro 
em F1 com raios a e c (a<c). 
 3-Com a ferramenta ponto de interseção obtenha 
o ponto F2, interseção da reta r com o círculo de 
raio c. 
 4-Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome 
D sobre o círculo de raio a. 
 5-Construa a mediatriz t do segmento DF2. 
 6-Construa a reta l passando por F1 e D. 
 7- Com a ferramenta ponto de interseção obtenha 
o ponto P, interseção de t e l. 
 8-Utilize a ferramenta rastro para selecionar a 
mediatriz t e, em seguida movimente o ponto D 
sobre o círculo. 
 
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Proposição1 – Reta tangente 
52 
Proposição2 – Reta tangente 
 
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Proposição3 – Reta tangente 
 
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Referências 
 Baldin, Y. Y. ET. Alli., Atividades com Cabri-
Géomètre II. São Carlos. Ed. EdUFSCar, 2002. 
 Boyer, C. B., História da Matemática, Ed. 
Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1974. 
 Camargo, I. e Boulos, P., Geometria Analítica – 
um tratamento vetorial, 3ª Edição. Ed. Pearson, 
São Paulo, 2005. 
 Revista do Professor de Matemática, INPA-SBM, 
Rio de Janeiro.