Aula 01 Movimento Retilineo Uniformemente Variado

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Movimento Retilíneo 
Uniforme (M.R.U.) e 
Movimento Retilineo 
Uniformemente Variado 
(M.R.U.V.) 
Prof. Carlos Alberto 
(Físico) 
MRU 
Velocidade constante. 
Não tem aceleração nenhuma. 
Lembrete sobre o M.R.U. 
𝒗 =
∆𝑺
∆𝒕
=
𝑺−𝑺𝒐
𝒕−𝒕𝒐
 
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑟𝑜𝑛ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 
 𝑡0 = 0 , 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
𝑣 =
𝑆−𝑆0
𝑡
 
 
 
 𝑺 = 𝑺𝟎 + 𝒗𝒕 ("sorvete") 
 
Função horária do M.R.U 
 
 
Trem em túnel ou ponte 
A distância percorrida é a soma dos 
comprimentos do: trem + túnel ou ponte 
 
𝒗 =
𝑺𝑻 + 𝑺𝑷
𝒕
 
 
M.R.U - Trem em Túneis ou Pontes 
Cinemática Escalar (M.R.U.) 
Definição: estudo do movimento sem se preocupar com 
suas causas. 
vtSS 0 
Velocidade Média: Δt
ΔS
Vm 
Função Horária 
𝑣𝑚: Velocidade Média (m/s) 
∆𝑆: Variação do Espaço (m) 
∆𝑡: Variação do Tempo (s) 
S: Posição Final (m) 
S0: Posição Inicial (m) 
v: Velocidade (m/s) 
t: Tempo (s) 
4 
(A) 70 km/h (B) 50 km/h 
Exemplo M.R.U: Alcance 
móvel A e móvel B 
No instante em que móvel A passa do Km 200 o 
móvel B também passa pelo km 600, ambos tem 
velocidade “praticamente constante” (M.R.U.). 
Quanto tempo levará para que o móvel A alcance 
o móvel B ? 
A) 50 km/h B) 70 km/h 
Exemplo M.R.U: Encontro do 
móvel A e móvel B 
No instante em que móvel A parte do marco zero 
(0 km) o móvel B também parte doo km 400, 
ambos tem velocidade “praticamente constante” 
(M.R.U.). Quanto tempo levará para que o móvel A 
encontre o móvel B e a que distância eles estarão 
do marco zero ? 
M.R.U.V. – Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado 
Tem aceleração escalar constante. 
Velocidade variável em módulo. 
Percorre distâncias diferentes 
em tempos iguais. 
Movimento acelerado ou retardado 
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎 > 0 
𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑎 < 0 
Galileu Galilei 
• Galileu Galilei (Pisa, 15 de fevereiro 
de 1564 — Florença, 8 de janeiro de 
1642 ) foi um físico, matemático, 
astrônomo e filósofo italiano. 
 
• Desenvolveu os primeiros estudos 
sistemáticos do movimento 
uniformemente acelerado e do 
movimento do pêndulo. 
 
• Melhorou significativamente o 
telescópio refrator, descobriu as 
manchas solares, as montanhas da 
Lua, as fases de Vénus, quatro dos 
satélites de Júpiter,4 os anéis de 
Saturno, as estrelas da Via Láctea. 
Estas descobertas contribuíram 
decisivamente na defesa do 
heliocentrismo (O Sol é o centro do 
sistema planetário). 
8 
atvv 0 
2
2at
tvSS 00 
M.R.U.V. 
Aceleração Média 
Δt
Δv
am 
𝒂𝒎 : Aceleração Média (m/s2) 
∆𝒗 : Variação da Velocidade (m/s) 
∆𝒕 : Variação do Tempo (s) 
9 
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
 
Aceleração Instantânea é o limite do 
quociente entre a variação da 
velocidade quando o tempo tende para 
zero. 
 
A aceleração instantânea corresponde 
à variação da velocidade num dado 
intervalo de tempo, provocada por uma 
força constante. 
M.R.U.V. 
Função Horária da Velocidade 
10 
atvv 0 
v : Velocidade Final (m/s) 
v0 : Velocidade Inicial (m/s) 
a : Aceleração (m/s2) 
t : Tempo (s) 
Função Horária do M.R.U.V. 
2
2at
tvSS 00 
x: Posição Final (m) 
x0: Posição Inicial (m) 
v0: Velocidade Inicial (m/s) 
t: Tempo (s) 
a: Aceleração (m/s2) 
M.R.U.V. S2avv 22 0 ΔFunção de Torricelli v: Velocidade Final (m/s) 
v0: Velocidade Inicial (m/s) 
a: Aceleração (m/s2) 
∆𝑆: Variação do Espaço (m) 
11 
• Evangelista Torricelli (Faenza, 15 de 
outubro de 1608 — Florença, 25 de 
outubro de 1647) Físico e Matemático 
italiano, invenção do barômetro e 
descobertas na área de óptica. 
 
• A descoberta do princípio do 
barômetro perpetuou a sua fama ("tubo 
de Torricelli", em 1643). 
Gráficos do M.R.U. (v x t ) 
Gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme 
t 
v 
ΔS 
 
Observe que a velocidade é 
constante. 
 
A Área da figura é 
numericamente igual ao 
deslocamento ∆𝑆 ou seja: 
∆𝑆 = Á𝑟𝑒𝑎 
 
 
 
12 
Gráficos do M.R.U. (S x t) 
Gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme 
t 
S 
𝜽 
Reta 
crescente: 
Movimento é 
Progressivo 
 
V > 0 
13 
𝜃 letra grega, lê-se: téta 
𝟎 
Trigonometria do Triângulo Retângulo 
 
14 
Cateto 
Oposto 
(CATOP) 
Cateto Adjacente 
(CATADJ) 
𝜃 
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝑪𝑨𝑻𝑶𝑷
𝑯𝑰𝑷
 𝒆 𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝑪𝑨𝑻𝑨𝑫𝑱
𝑯𝑰𝑷
 ∴ 
∴ 𝒕𝒈𝜽 =
𝑪𝑨𝑻𝑶𝑷
𝑯𝑰𝑷
.
𝑯𝑰𝑷
𝑪𝑨𝑻𝑨𝑫𝑱
=
𝑪𝑨𝑻𝑶𝑷
𝑪𝑨𝑻𝑨𝑫𝑱
 ∴ 
 
∴ 𝒕𝒈𝜽 =
𝑪𝑨𝑻𝑶𝑷
𝑪𝑨𝑻𝑨𝑫𝑱
=
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
 
 
 
Gráficos do M.R.U. (S x t) 
Gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme 
t 
S 
S0 
𝜽 
𝒗 =
𝑺 − 𝑺𝟎
𝐭 − 𝟎
∴ 
 
∴ 𝒗 =
𝐬𝐞𝐧𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
= 𝒕𝒈𝜽 
 
0 
15 
Gráficos do M.R.U. (S x t) 
Gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme 
t 
S 
a 
S0 
𝜽 
Reta decrescente: 
Movimento 
Retrógrado 
𝒗 < 𝟎 
𝒗 = 𝒕𝒈a 
 
16 
𝟎 
(a é o complemento do ângulo 𝜽) 
Gráficos do M.R.U.V. (V x t) 
Gráficos do Movimento Retilíneo 
Uniformemente variado 
t 
v 
A Área é 
numericamente igual 
ao deslocamento ∆𝑺, 
ou seja: 
∆𝑺 ≝ Á𝒓𝒆𝒂 
 
Reta crescente: 
Movimento Acelerado 
𝒂 > 𝟎 
vo 
∆𝑺 ≝ á𝒓𝒆𝒂 
17 
𝟎 
Gráficos do M.R.U.V. (V x t) 
Gráficos do Movimento Retilíneo 
Uniformemente variado 
t 
v 
Reta 
decrescente: 
Movimento 
Retardado ou 
seja: 
 𝒂 < 𝟎 
18 
𝟎 
Gráficos do M.R.U.V. (a x t) 
Gráficos do Movimento Retilíneo Uniformemente variado 
t 
a 
No M.R.U.V. a 
aceleração é 
constante. 
 
A área da figura é 
numericamente 
igual a velocidade, 
ou seja: 
∆𝒗 ≝ Á𝒓𝒆𝒂 
19 
𝟎 
∆𝒗 ≝ Á𝒓𝒆𝒂 
Gráficos do M.R.U.V – Parábola (S x t) 
Gráficos do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
20 
Concavidade voltada para cima 
a > 0 
S 
t1 t2 
t 
𝑌𝑉 = −
∆
4𝑎
 
Gráficos do Movimento Retilíneo Uniformemente 
variado 
Gráficos do M.R.U.V – Parábola (S x t) 
21 
Concavidade 
voltada para baixo 
a < 0 
𝑌𝑉 = −
∆
4𝑎
 
S 
t 
t2 
CLASSIFICAÇÃO 
DO 
 MOVIMENTO 
M.R.U 
V (+) 
Progressivo 
V (-) 
Regressivo 
M.R.U.V. 
V (+) . a (+) 
Progressivo 
acelerado 
V (+) . a (-) 
Progressivo 
retardado 
V (-) . a (-) 
Regressivo 
retardado 
V (-) . a (+) 
Regressivo 
acelerado 
22 
Formulário até agora (decore !) 
(M.R.U.): 𝒗 =
∆𝑺
∆𝒕
=
𝒅𝒔
𝒅𝒕
 𝑺 = 𝑺𝒐 + 𝒗𝒕 
Progressivo quando v > 0 e Regressivo quando a < 0 
No M.R.U. não tem aceleração ( a = 0 ) 
(M.R.U.V.): 𝒂 =
∆𝒗
∆𝒕
=
𝒅𝒗
𝒅𝒕
 (Existe aceleração 
constante) 
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 
𝑺 = 𝑺𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +
𝒂𝒕𝟐
𝟐
 
 
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐 + 𝟐𝒂∆𝑺 
 
Acelerado: (+) a > 0 e Retardado: (-) a < 0 
 
23 
Derivada 
• A derivada pode ser 
interpretada como a 
medida da inclinação ou 
coeficiente angular da 
reta tangente a uma 
curva em um ponto 
específico e, também, 
pode ser interpretada 
como a taxa de variação 
instantânea de uma 
função. 
• Por exemplo, quando 
definimos a aceleração 
instantânea: 
𝒂 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒕→𝟎
∆𝒗
∆𝒕
=
𝒅𝒗
𝒅𝒕
 
 
 
 
24 
Cálculo por derivada 
(“regra do tombo”) 
Regras de derivação: Seja 𝒚 = 𝒂𝒙𝒏
 
 
Multiplica-se a função pelo expoente do x, 
e subtrai-se uma unidade do expoente. 
𝒚 = 𝒂𝒙𝒏 𝒚′ = 𝒏. 𝒂. 𝒙𝒏−𝟏 
𝟏) 𝒚 = 𝟑𝒙𝟒𝒚′ = 𝟒. 𝟑. 𝒙𝟒−𝟏 𝒐𝒖 𝒚′ = 𝟏𝟐𝒙𝟑 
 
𝟐) 𝒚 = 𝟕𝒙 𝒚′ = 𝟏. 𝟕. 𝒙𝟏−𝟏 𝒚′= 𝟕 
 
25 
𝟑) 𝒚 = 𝟕 
 𝒚′ = 𝟎 (𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 é 𝟎) 
 
𝟒) 𝒚 = 𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 𝒚′ = 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟐 
 
Derivada da derivada 
𝟓) 𝒚 = 𝟓𝒙³ − 𝟑𝒙² + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 
 𝒚′ = 𝟏𝟓𝒙² − 𝟔𝒙 + 𝟐 
 𝒚′′ = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟔 
26 
Outras derivações importantes 
Sejam U e V duas funções. No caso de 
ser y = U.V, temos: Se 𝒚 = 𝑼. 𝑽, então 
𝒚’ = 𝑼𝑽’ + 𝑽𝑼’ 
Exemplo: 
𝟔) 𝒚 = (𝟐𝒙 + 𝟑). 𝟖𝒙𝟐, sendo 
𝑼 = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒆 𝑽 = 𝟖𝒙² 
y’ = 𝟐𝒙 + 𝟑 . 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐 . (𝟖𝒙²) 
 𝐲’ = 𝟑𝟐𝒙² + 𝟒𝟖𝒙 + 𝟏𝟔𝒙² 
 𝒚′ = 𝟒𝟖𝒙² + 𝟒𝟖𝒙 
 
27 
𝟕) 𝑺𝒆𝒋𝒂𝒎 𝑼 𝒆 𝑽 𝒅𝒖𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒏çõ𝒆𝒔.𝑵𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 
𝒚 =
𝑼
𝑽
 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒚′ =
𝑼𝑽′ − 𝑽𝑼′
𝑽𝟐
 
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝑺𝒆𝒋𝒂 𝒚 =
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐
𝟑𝒙 + 𝟐
 
𝑼 = 𝟐𝒙² − 𝟐 𝒆 𝑽 = 𝟑𝒙 + 𝟐 
𝒚′ =
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐 . 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐 . 𝟒𝒙
𝟑𝒙 − 𝟐 𝟐
 
 𝒚′ =
𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 − (𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙)
𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒
 
 
 𝒚′ =
−𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟔 
 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒
 
 
28 
Outras derivadas importantes: 
𝟖) 𝑨 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐: 
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 é 𝒚’ = 𝒄𝒐𝒔𝜽 
 
𝟗) 𝑨 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐: 
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 é 𝒚’ = − 𝒔𝒆𝒏𝜽 
 
Obs.: Para outras muitas funções a 
tabela de derivação deve ser consultada. 
 
 
29 
Integrais 
• A integral definida representa a área sob 
uma determinada curva. 
Passo-a-Passo 
• Integral Definida - Uma integral definida 
consta basicamente em integrar uma 
função constante nos intervalos, através 
das primitivas, que nada mais são do que 
a função integrada a cada membro. 
𝑺𝒆𝒋𝒂 𝒚 = 𝒂𝒙𝒏 𝒂. 𝒙𝒏𝒅𝒙 =
𝒂. 𝒙𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
 
30 
• Seja a função: 𝑦 = 𝑥² + 2𝑥 + 4 para o 
intervalo de (0 a 3) 
 𝑥2 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥 + 4 𝑑𝑥 
Aplicando a fórmula primitiva teremos: 
𝑥2+1
2 + 1
+
2𝑥1+1
1 + 1
+
4. 𝑥0+1
0 + 1
 
𝑥3
3
+ 𝑥² + 4𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑓(0) = 0 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 𝑓 3 =
33
3
+ 3² + 4.3 = 30 
31 
• Seja a curva hachurada da parábola 
abaixo: 
 
32 
S (m) 
t (s) 
𝑠 = 4 + 2𝑡² 
Á𝑟𝑒𝑎 = 4 𝑑𝑡 + 2𝑡² 𝑑𝑡 
Á𝑟𝑒𝑎 = 4𝑡 +
2𝑡3
3
 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑓 0 = 0 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 2 
Área= 𝑓 2 = 4.2 +
2.23
3
= 13,33 𝑚² 
0 
Integrais 
• A integral definida representa a área sob 
uma determinada curva. 𝒂 = 𝟒𝒎/𝒔² 
 
 
33 
8 s 
4 m/s² 
𝟎 
∆𝒗 ≝ Á𝒓𝒆𝒂 
 
8
0
4)( dxdxxf
4)( xf
8
04)( xdxxf 
smvdxxf /32320)84()( 
Um móvel que partiu da posição inicial 5m se 
movimenta segundo a função horária da 
velocidade 𝑣 = 𝟐 − 𝟒𝒕 (SI). Pede-se a função 
horária do MRUV. 
𝑺 = 𝟐𝒅𝒕 + −𝟒𝒕 𝒅𝒕 
𝑺 =
𝟐. 𝒕𝟎+𝟏
𝟎 + 𝟏
+
−𝟒. 𝒕𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
+ 𝑪 
𝑺 = 𝟐𝒕 −
𝟒𝒕𝟐
𝟐
+ 𝒄 
Logo, inserindo a posição inicial no lugar do C 
teremos a função horária do MRUV 
𝑺 = 𝟓 + 𝟐𝒕 − 𝟐𝒕² 
 
34 
Exemplo: Aplicação na Física 
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑀𝑅𝑈𝑉: 
S = 5 + 2t – 2t² (S.I.) 
Pede-se: 
a)derive para obter a função 
horária da velocidade 
 
a)calcule a velocidade para t=2s 
Solução a seguir: 
35 
Solução: S = 5 + 2t – 2t² (S.I.) 
 
𝑎) 𝒚′ = 𝟎 + 𝟏. 𝟐𝟏−𝟏 − 𝟐. 𝟐. 𝒕𝟐−𝟏 
 𝒗 = 𝒚′ = 𝟐 − 𝟒𝒕 
𝑏) 𝑣 2𝑠 = 2 − 4.2 𝒗 = −𝟔𝒎/𝒔 
 
𝑐) 𝑓𝑎ç𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜: 𝒗 = 𝒚′ = 𝟐 − 𝟒𝒕 
𝑦′′ = 0 − 1.4. 𝑡1−1 
𝑦′′ = a = 4m/s² 
 
36 
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑 5 + 2t – 2t²
𝑑𝑡
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 2 − 4𝑡 
𝑑𝑡
 
Exemplo (M.R.U.V.) 
 
1 A função horária do espaço de um 
móvel é dada por S = 20 – 10t + 5t² 
(S.I.). Determine: a) a função da 
velocidade c) a aceleração do 
movimento d) calcule a 
velocidade em t = 3s e) calcule o 
espaço percorrido em t = 5s. 
 
 
 
 
 
37 
Exemplo (M.R.U.V.) 
2 Uma partícula tem velocidade 
escalar variável dada pela função: 
v = 30 – 6t (S.I.). Determine: a) 
Sabendo que no instante t = 0 esta 
partícula se encontra na posição 
inicial S0 = 6 m, monte a função 
horária do espaço desta partícula 
b) a posição desta partícula no 
instante t = 5 s. 
 
 
 
 
38 
3 Um ciclista realiza um movimento uniforme e 
seu espaço s varia com o tempo conforme 
indica o gráfico. Determine: a) o espaço inicial 
𝑺𝒐 b) velocidade escalar v c) a função 
horária d) o deslocamento ∆𝑺 do ciclista. 
 
 
 
39 
4 A velocidade escalar de um carro varia com o tempo 
conforme indica o gráfico. Pede-se: 
a) A aceleração nos instantes t0 = 0 e t = 10s e t0 = 10 e 
t = 30 s; 
b) O tipo de movimento nos instantes t0 = 0 e t = 10s e 
t0 = 10 e t = 30 s; 
c) Qual é a variação de espaço ∆𝑺 entre os instantes 0 e 
30 s; 
d) Qual é a velocidade escalar média entre os instantes 0 
e 30 s. 
 
40 
5) Dadas as funções horárias do MRUV com 
medidas do Sistema Internacional de 
Unidades (mks). 
1) S = 2 – 5t + 2 t² { 0,5 ; 2 } 
2) S = -3 + 4t - t² {1 ; 3} 
3) S = -5 + 6t – t² {1 ; 5} 
a) Calcule as respectivas funções da 
velocidade; 
b) Esboce o gráfico do tipo parábola (S x t) 
para os instantes iguais 0s, 1s, 2s, 3s, 4s, 
5s 
c) Esboce os respectivos gráficos para a 
funções velocidades (v x t ) para os instantes 
1s, 2s, 3s, 4s. 
 
 
 
41